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Matemática Financeira

Sumário

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

9.2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

9.3 A Fórmula das Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . 7

9.4 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 9

Unidade 9 Introdução

9.1 Introdução

Nesta unidade e na próxima, serão apresentados rudimentos de Matemática

Financeira, cuja inspiração vem da vida real. Esse conhecimento é fundamental

em sociedades de consumo, como a nossa, e deve fazer parte da bagagem

cultural de todo cidadão que nelas vive para que saiba defender minimamente

os seus interesses.

Quotidianamente, estamos frente a problemas práticos, tais como se deve-

mos ou não parcelar uma compra e, se for o caso, em quantas parcelas? Se

devemos ou não antecipar o pagamento de uma dívida, usando o décimo ter-

ceiro salário? Esses são desa�os que, se resolvidos corretamente, nos auxiliam

a tomar decisões que podem proporcionar uma boa economia.

A ferramenta matemática básica que é utilizada nesse tipo de questões são

as progressões geométricas, bastando, para resolvê-las, modelar corretamente

cada problema.

O assunto principal de que tratamos é o cálculo de juros em diversas si-

tuações decorrentes da operação de empréstimo, seja em aplicações (quando

emprestamos), seja em compras a crédito (quando tomamos emprestado).

Esta unidade repousa sobre um resultado (teorema) fundamental que nos

diz como se transforma um capital inicial quando aplicado por um período de

tempo, sendo submetido a um regime de juros compostos.

9.2 Juros Compostos

Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemá-

tica Financeira. A operação básica da matemática �nanceira é a operação de

empréstimo.

Alguém que dispõe de um capital C (chamado de principal), empresta-o

a outrem por um certo período de tempo, e após esse período, recebe o seu

capital C e volta, acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa

remuneração é chamada de juro. A soma C+J é chamada de montante e será

representada por M . A razão i =J

Cque é a taxa de crescimento do capital,

será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros.

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Unidade 9Matemática Financeira

Exemplo 1Lúcia tomou um empréstimo de R$ 100,00. Dois meses após, pagou R$

140,00. Os juros pagos por Lúcia são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de40

100= 0, 40 = 40% ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Lúcia,

é igual a R$ 100,00; o montante, que é a dívida na época do pagamento, é de

R$ 140,00.

Exemplo 2Manuel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao mês.

Após um mês, a dívida de Manuel será acrescida de 0, 10 × 100 reais de juros

(pois J = iC), passando a 110 reais. Se Manuel e seu credor concordarem em

adiar a liquidação da dívida por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros,

o empréstimo será quitado, dois meses depois de contraído, por 121 reais, pois

os juros relativos ao segundo mês serão de 0, 10× 110 reais = 11 reais. Esses

juros assim calculados são chamados de juros compostos. Mais precisamente, no

regime de juros compostos, os juros em cada período são calculados, conforme

é natural, sobre a dívida do início desse período.

As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que

juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10%

ao mês dão em dois meses de juros de 21%.

Teorema 1No regime de juros compostos de taxa i, um principal C0 transforma-se,

depois de n períodos de tempo, em um montante Cn = C0(1 + i)n.

DemonstraçãoBasta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante i

e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão 1 + i.

Exemplo 3Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o montante de

Pedro três meses depois?

Solução. C3 = C0(1 + i)3 = 150(1 + 0, 12)3 = 210, 74 reais.

É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual

ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês,

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Unidade 9 Juros Compostos

é-me indiferente pagar agora R$ 100,00 ou pagar R$ 110,00 daqui a um mês.

é mais vantajoso pagar R$ 105,00 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00

agora. é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que pagar R$ 120,00 daqui

a um mês.

No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar

quantias no tempo.

Outro modo de ler o Teorema 1, Cn = C0(1+ i)n, é que uma quantia, hoje

igual a C0, transformar-se-á, depois de n períodos de tempo, em uma quantia

igual a C0(1 + i)n. Isto é, uma quantia, cujo valor atual é A, equivalerá no

futuro, depois de n períodos de tempo, a F = A(1 + i)n.

Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter o valor

futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor atual, basta

dividir o futuro por (1 + i)n.

O exemplo a seguir é, pode-se dizer, um resumo de todos os problemas de

Matemática Financeira.

Exemplo 4 Pedro tomou um emprétimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois

meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro

liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Solução. Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo, 300 reais,

na data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após, mais um paga-

mento igual a P , na data 3.

Figura 9.1: Esquemas de pagamento

Igualando os valores, na mesma época (0, por exemplo), dos pagamentos nos

dois esquemas, obtemos

300 =150

(1 + 0, 15)2=

p

(1 + 0, 15)3.

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Unidade 9Matemática Financeira

daí, P = 283, 76. O último pagamento foi de R$ 283,76.

Exemplo 5Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor:

i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada;

ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada.

Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o

dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?

Solução. Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de paga-

mentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os esquemas de pagamentos

são:

Figura 9.2: Esquemas de pagamento

Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na

mesma época. Por exemplo, na época 2, temos,

a = 60(1 + 0, 02)2 + 160(1 + 0, 02) + 160 = 489, 66

b = 70(1 + 0, 02)2 + 70(1 + 0, 02) + 70 +70

1 + 0, 02

+70

(1 + 0, 02)2+

70

(1 + 0, 02)3+

70

(1 + 0, 02)4= 480, 77.

Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações.

é um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem que o

primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$ 480,00 ao passo que no

segundo esquema o total pago é de R$ 490,00.

Para �xar, faremos mais alguns exemplos.

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Unidade 9 Juros Compostos

Exemplo 6 Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.

i) à vista, com 30% de desconto.

ii) em duas pretações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um

mês após a compra.

iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no

ato da compra.

Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?

Solução. Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas abaixo

Figura 9.3: Esquemas de pagamento

Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos:

a = 21

b =15

1 + 0, 25+

15

(1 + 0, 25)2= 21.6

c = 10 +10

1 + 0, 25+

10

(1 + 0, 25)2= 24, 4.

A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações.

Exemplo 7 Uma loja oferece duas opções de pagamento:

i) à vista, com 30% de desconto.

ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo

paga no ato da compra.

Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?

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Unidade 9Matemática Financeira

Solução. Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de pagamentos

abaixo:

Figura 9.4: Esquemas de pagamento

Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas comparações

é chamada de data focal), obtemos 70 = 50 +50

1 + i. Daí, i = 1, 5 = 150%. A

loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo.

Exemplo 8Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo você

dobrará o seu capital inicial?

Solução. Temos C0(1 + 0, 08)n = 2C0. Daí,

1, 08n = 2 e n =log 2

log 1, 08∼= 9

Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital inicial.

9.3 A Fórmula das Taxas Equivalentes

Um importante resultado que já foi obtido na Unidade 6 e será repetido é a

Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente a um

determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativamente a n

períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i)n.

Exemplo 9A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I tal que 1 + I =

(1 + 0, 12)12. Daí, I ∼= 2, 90 = 290% ao ano.

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Unidade 9 A Fórmula das Taxas Equivalentes

Um erro muito comum é achar que juros de 12% ao mês equivalem a juros

anuais de 12× 12% = 144% ao ano. Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano

são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre elas é igual à razão

dos períodos aos quais elas se referem.

Taxas proporcionais não são equivalentes. Um (péssimo) hábito em Ma-

temática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como se fossem equi-

valentes. Uma frase como �144% ao ano, com capitalização mensal� signi�ca

que a taxa usada na operação não é a taxa de 144% anunciada e sim a taxa

mensal que lhe é proporcional.

Portanto, a tradução da expressão �144% ao ano, com capitalização mensal�

é �12% ao mês�. As pessoas menos educadas matematicamente podem pensar

que os juros sejam realmente de 144% ao ano, mas isso não é verdade. Como

vimos no Exemplo 9, os juros são de 290% ao ano.

A taxa de 144% ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de 290% ao

ano é chamada de taxa efetiva.

Exemplo 10 �24% ao ano com capitalização semestral� signi�ca �12% ao semestre�; �1%

ao mês com capitalização trimestral� signi�ca �3% ao trimestre� e �6% ao ano

com capitalização mensal� signi�ca �0,5% ao mês�.

Exemplo 11 Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalização

mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de Verônica?

Solução. O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa i = 0, 5% ao mês.

A taxa anual equivalente a I tal que 1+I = (1+i)12. Daí, I = 0, 0617 = 6, 17%

ao ano. A taxa de 6% ao ano é nominal e a taxa de 6,17% ao ano é efetiva.

Exemplo 12 A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com capitali-

zação mensal é I tal que 1 + I = (1 + 0, 04)6. Daí, I = 26, 53% ao semestre.

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Unidade 9Matemática Financeira

9.4 Exercícios Recomendados

1. Investindo R$ 450,00 você retira, após 3 meses, R$ 600,00. A que taxa

mensal de juros rendeu seu investimento?

2. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimes-

tre.

3. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12% ao trimestre.

4. Determine as taxas efetivas anuais equivalente a:

a) 30% ao ano, com capitalização mensal.

b) 30% ao ano, com capitalização trimestral.

c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano.

5. Qual o limite, quando k tende para in�nito, da resposta ao item c) do

problema anterior? Neste caso diz-se que os juros estão sendo capitalizados

continuamente e i é chamado de taxa instantânea de juros.

6. Use a resposta do problema anterior para dar uma de�nição �nanceira do

número e.

7. Determine

a) a taxa efetiva trimestral equivalente a 12% ao trimestre com capitalização

contínua.

b) a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de 60%.

c) a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de 60%.

8. A Mesbla, em vários natais, ofereceu a seus clientes duas alternativas de

pagamento:

a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra.

b) pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato

da compra.

Se você fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opção?

9. O Foto Studio Sonora convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes

a liquidarem suas prestações mensais vincendas, oferecendo-lhes em troca um

desconto. O desconto seria dado aos que pagassem, de uma só vez, todas as

prestações a vencer em mais de 30 dias, e seria de 30%, 40% ou 50%, conforme

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Unidade 9 Exercícios Recomendados

fossem pagas uma, duas ou três prestações. Supondo que o dinheiro valia 27%

ao mês, a oferta era vantajosa?

10. Lúcia comprou um exaustor, pagando R$ 180,00, um mês após a compra

e R$ 200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de 25% sobre o saldo

devedor, qual é o preço à vista?

11. Uma geladeira custa R$ 1 000,00 à vista e pode ser paga em três prestações

mensais iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês sobre o saldo devedor,

determine o valor da prestação, supondo que a primeira prestação é paga:

a) no ato da compra;

b) um mês após a compra;

c) dois meses após a compra.

12. Ângela tomou um empréstimo de R$ 400,00, por dez meses. Os juros

foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mês durante

os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último mês. Calcule:

a) a taxa média de juros.

b) o montante pago.

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Referências Bibliográ�cas

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beira, João Bosco. Trigonometria e Números Complexos. Rio de Janeiro:

SBM, Coleção Professor de Matemática.

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Holt, Rinehart and Winston, 1964.

[3] Figueiredo, Djairo G. Análise I Rio de Janeiro: LTC, 1996.

[4] Figueiredo, Djairo G. Números Irracionais e Transcedentes Rio de Janeiro:

SBM, Coleção Iniciação Cientí�ca.

[5] Halmos, Paul. Naive Set Theory. New York: Springer, 1974.

[6] Hefez, Abramo e Fernandez, Cecília de Souza. Introdução à Álgebra Linear.

Rio de Janeiro: SBM, Coleção PROFMAT, 2012.

[7] Fernandes, C. S. Hefez, A. Introdução à Álgebra Linear. SBM, Coleção

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[8] Lima, Elon Lages. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: SBM, Coleção

Professor de Matemática.

[9] Lima, Elon Lages. Curso de Análise, Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, Projeto

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[10] Lima, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de

Matemática.

[11] Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Rio

de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.

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IMPA, Coleção Matemática Universitária.

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