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Conceitos basicos Angulos Exercıcios e atividade

MA093 – Matematica basica 2Conceitos basicos de geometria

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018


Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 As nocoes de ponto, reta, plano e angulo.

2 As principais definicoes associadas a retas, planos e angulos.

3 Os principais axiomas da geometria plana.


Nocoes primitivas

Ponto, reta e plano

Um ponto nao tem dimensao e e representado por uma letramaiuscula (A, B, C, ...)

Uma reta tem uma dimensao e e representada por uma letraminuscula (r, s, t, ...)

Um plano tem duas dimensoes e e representado por uma letragrega maiuscula (α, β, γ, ...)


Axiomas basicos

Primeiros axiomas sobre retas e planos

A1 Uma reta continua indefinidamente.

A2 Uma reta contem infinitos pontos (a figura mostra A ∈ r eB ∈ r , mas ha, por exemplo, infinitos pontos entre A e B).

A3 Um plano contem infinitas retas(a figura mostra t ⊂ α e s ⊂ α, mas ha, por exemplo,infinitas retas em α que cruzam com t).


Pontos e retas

Definicao e axioma sobre reta

D1 Pontos que pertencem a uma mesma reta sao colineares.A, B e C sao colineares. A, B e V nao sao colineares.

A4 Dois pontos distintos determinam uma unica reta que passapor eles.s e a unica reta que passa por P e Q.

Assim, escrevemos s =←→PQ.


Planos

Definicao e axiomas sobre planos

D2 Pontos que pertencem a um mesmo plano sao coplanares.A, B e C sao coplanares.

A5 Tres pontos nao colineares definem um unico plano que oscontem. A, B e C definem α.

A6 Se dois pontos distintos (de uma reta) pertencem a umplano, entao a reta esta contida nesse plano.

Como A,B ∈ α e A 6= B, temos←→AB ⊂ α.


Exercıcio 1

Problema

Indique quais afirmacoes abaixo sao verdadeiras. No caso daafirmacao ser falsa, exiba um contraexemplo.

A) Por um ponto passam infinitas retas.

B) Dois pontos distintos determinam uma unica reta.

C) Por tres pontos dados passa uma so reta.

D) Tres pontos distintos sao sempre coplanares.


Segmentos e semirretas

Definicoes

D3 Dados dois pontos distintos de uma reta, o conjuntoformado por esses pontos e todos os pontos que estao entreeles e denominado segmento de reta.AB e um segmento com extremidades A e B.

D4 Um ponto pertencente a uma reta divide a reta em duassemirretas que tem o ponto como origem.O ponto O divide r em uma semirreta vermelha e outra azul.−→PQ tambem e uma semirreta.


Relacoes entre segmentos de reta

Definicoes

D5 Dois segmentos de reta podem ser:

a) Consecutivos, se possuem uma extremidade comum.Ex: AB e BC .

b) Colineares, se estao contidos em uma mesma reta.Ex: PQ, PR, PS , QR, QS e RS .

c) Adjacentes, se sao consecutivos e colineares e sopossuem um ponto comum. Ex: QR e RS .


Exercıcio 2

Problema


A) Se dois segmentos sao colineares, entao eles sao consecutivos.

B) Se dois segmentos sao adjacentes, entao eles sao colineares.

C) Se dois segmentos sao consecutivos, entao eles sao adjacentes.


Congruencia de segmentos

Definicao

D6 Dois segmentos de reta sao congruentes se, postos um sobreo outro, todos os seus pontos coincidem.


Comprimento de segmentos

Definicao

D7 A cada segmento de reta associamos um numero realdenominado comprimento, de modo que:

a) Segmentos congruentes tem comprimentos iguais.b) Se um segmento e maior que outro, seu comprimento e

maior que o desse outro.c) O comprimento da soma de dois segmentos e a soma

dos comprimentos dos segmentos.


Semiplanos

Definicao

D8 Uma reta r de um plano α separa esse plano em doisconjuntos α′ e α′′.Cada um dos conjuntos de pontos r ∪ α′ e r ∪ α′′ e chamadosemiplano.


Angulo

Definicoes

D9 A reuniao de duas semirretas de mesma origem e chamadaangulo.

D10 A origem das semirretas e o vertice do angulo.

O angulo AOB tem vertice O e lados−→OA e

−→OB.


Angulos consecutivos e adjacentes

Definicoes

D11 Dois angulos sao consecutivos se possuem um lado comum.

D12 Dois angulos consecutivos sao adjacentes se nao tem pontosinternos em comum.AOC e BOC sao consecutivos, mas nao adjacentes.AOB e BOC sao consecutivos e adjacentes.


Angulos opostos pelo vertice e suplementares adjacentes

Definicoes

D13 Dois angulos sao opostos pelo vertice se sao formados pelaintersecao de duas retas e nao sao consecutivos.ROQ e POS sao opostos pelo vertice.

D14 Dado um ponto O sobre a reta←→AB e dada a semirreta

−→OC ,

os angulos AOC e COB sao suplementares adjacentes.


Angulos congruentes e retos

Definicoes

D15 Dois angulos sao congruentes se, postos um sobre o outro,todos os seus elementos coincidem.

D16 Um angulo congruente a seu suplementar adjacente e ditoangulo reto. AOB e DOC sao retos.


Medidas de angulos

Definicoes

D17 A medida usual de um angulo e o grau.Um grau (1◦) corresponde a 1/90 da medida de um anguloreto (que tem, portanto, 90◦).

D18 Um grau e dividido em 60 minutos[1′ = ( 1

60 )◦].

D19 Um minuto e dividido em 60 segundos[1′′ = ( 1

60 )′].


Angulos agudos e obtusos

Definicoes

D20 Um angulo e agudo se mede menos que 90◦.POQ e agudo.

D21 Um angulo e obtuso se mede mais que 90◦.JKL e obtuso.


Angulos complementares e suplementares

Definicoes

D22 A medida da soma de dois angulos e a soma das medidasdesss angulos.

D23 Dois angulos sao complementares se a soma de suas medidase 90◦. AOC e BOC sao complementares.(BOC e o complemento de AOC e vice-versa.)

D24 Dois angulos sao suplementares se a soma de suas medidas e180◦. PQS e RQS sao suplementares.


Exercıcio 3

Problema


A) Dois angulos adjacentes sao consecutivos.

B) Dois angulos opostos pelo vertice sao consecutivos.

C) Dois angulos complementares sao adjacentes.


Exercıcio 4

Problema

P, Q e R sao tres pontos distintos de uma reta.

Determine as medidas dos segmentos PQ e QR, sabendo que

PQ e igual ao triplo de QR.

PR = 32 cm.

PQ = 24 cm e QR = 8 cm, ou PQ = 48 cm e QR = 16 cm.


Exercıcio 5

Problema

Calcule o suplemento de um angulo que mede 72◦.

108◦


Exercıcio 6

Problema

Calcule o complemento de um angulo que mede 54◦15′.

35◦45′


Atividade

Problema

Determine a medida do angulo que vale o triplo de seucomplemento.

67, 5◦

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