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Unidade II

MATEMÁTICA APLICADA

Prof. Emanuel Matos

Sumário 1/2

1. Definição de função

1.1 Domínio – contradomínio – imagem de uma função

1.2 Gráfico de uma função

1 3 Função constante1.3 Função constante

1.4 Função linear

1.5 Função linear afim

1.6 Função quadrática

1 7 Raízes da função1.7 Raízes da função

1.8 Vértices da parábola

Sumário 2/2

2. Aplicações

2.1 Demanda e oferta de mercado

2.2 Preço e quantidade de equilíbrio

2.3 Receita total

2.4 Custo total

2.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crítico

2.6 Lucro total

2 7 Margem de contribuição2.7 Margem de contribuição


A função nada mais é que estabelecer uma relação entre duas ou mais grandezas.

Exemplo:

Quando viajamos, o tempo e a distância podem se tornar uma relação: esta relaçãopodem se tornar uma relação: esta relação será a velocidade.

Se viajamos 300 km em 5 horas, logo podemos racionalizar que a velocidade é de 60 km/h.


Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A x B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B, tal que (x y) ftal que (x, y) f.

A sentença “f é função de A em B” pode ser indicada por f: A → B.


É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x, y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha.

Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, então f não é funçãofunção.


Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas, então f não será função.


Toda função é uma relação binária de A x B; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados.

Dados os conjuntos A e B, a função f é definida pela lei y = f(x), mediante a qual, dado x A, determina-se y B, tal que (x,y)

f. Então:

f = {(x,y) | x A, y B e y = f(x)}

1. Definição de função – Exemplo 1

1) Dados os conjuntos A = {-2, 0, 4} e B = {0, 1, 2, 3}, e a relação de A em B dada por y = x/2, tal que x A e y B, verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.

f = {(x,y) | x A, y B e y = x/2}

1. Definição de função – Exemplo 2

2) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, e a relação de A em B dada por y = x², sendo que x A e y B, verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.

f = {(x,y) | x A, y B e y = x²}

1.1 Domínio – contradomínio –imagem de uma função

Toda função f é uma relação binária de A x B; portanto, há um domínio e uma imagem.

Chama-se domínio de f o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B, tais que (x, y) f.

Pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade. Portanto, nas funções, temos:

Domínio = conjunto de partida.Domínio conjunto de partida.

D = A


Chama-se imagem de f o conjunto Imdos elementos y B para os quais existe x A, tais que (x, y) f. Portanto:

Imagem e subconjunto do contradomínio:


Importante: ao estudarmos uma função definida em conjuntos numéricos e com lei de formação algébrica sem domínio indicado, devemos considerar como domínio todos os valores reais de x que tornam possíveis as operaçõestornam possíveis as operações indicadas na lei de formação no conjunto dos números reais.

1.1 Domínio – contradomínio –imagem de uma função - Exemplo

1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2) e B = {1, 3, 5, 7}, determine o domínio, contradomínio e imagem da função f: A → B, definida pela lei f(x) = 2x + 1

Solução:

Domínio: D(f) = A = {0, 1, 2}

Contradomínio: CD(f) = B = {1, 3, 5, 7}

Imagem: Im(f) = {1, 3, 5}

Interatividade

X2

sendo


A representação do gráfico de uma função é feita assinalando-se alguns de seus principais pontos no plano cartesiano.

Importante: o domínio da função é representado no plano cartesiano, e o conjunto de valores, no eixo das abscissas (eixo x), enquanto os valores do conjunto imagem são representados no eixo das ordenadas (eixo y).


Para que exista a função de A em B, cada elemento x do conjunto A deve estar associado a um único elemento y de B.

Para descobrir se um gráfico representa uma função, faça o seguinte: trace retas perpendiculares ao eixo x. Se qualquer uma dessas retas cortar o gráfico em um único ponto do domínio, então o gráfico representará uma função.

1.2 Gráfico de uma função –Exemplo 1

1) A relação f, representada no diagrama a seguir, tem domínio:

D = {x | - 1 ≤ x ≤ 2} e é função, pois toda reta perpendicular ao eixo x encontra o gráfico da função f num só ponto.

1.2 Gráfico de uma função –Exemplo 2

2) A relação f, representada no diagrama a seguir, tem domínio D = {x | 0 ≤ x ≤ 2} e não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos:

1.3 Função constante

Uma aplicação f de em recebe o nome de função constante quando, a cada elemento x , associa-se sempre o mesmo elemento c .

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x, passando pelo ponto (0,c).

Sua imagem é o conjunto Im = {c}

1.3 Função constante - Exemplo

1) Construa o gráfico da função f(x) = 3, se 0 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 1 e 2 ≤ x ≤ 3.

1.4 Função linear

Considere a função y = ax + b, sendo a ≠ 0. Quando b = 0, a função recebe o nome de função linear e é indicada por y = ax, coma ≠ 0.

O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem (0, 0) do sistema cartesiano.

1.4 Função linear - Exemplo

Considere a função y = 3xx y = f(x)

‐1 ‐3

0 0

1 3

3 9

O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema cartesiano.


Uma aplicação f de em recebe o nome de função linear afim quando associa, a cada x , o elemento (ax + b) , em que a ≠ 0. Isto significa que:

(x, ax + b) f, x

A função linear afim é indicada por f: x → ax + b, com a ≠ 0.


O gráfico da função afim é uma reta. A imagem da função afim é o conjunto Im = .

A função afim é crescente se, e somente se, a > 0, e decrescente, se e somente se, a < 0.

1.5 Função linear afim - Exemplo

1.5 Função linear afim - Exemplo

Um carro percorre 10 metros em 1 segundo, e um outro carro percorre 40 metros em 3 segundos. Como fica este gráfico?

1.6 Função quadrática

Uma aplicação f de em recebe o nome de função quadrática ou função do 2º grau quando associa, a cada x , o elemento (ax² + bx + c) , a ≠ 0. Isto significa que: (x, ax² + bx +c) f, x .

O gráfico da função quadrática é uma parábola cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo x.

1.6 Função quadrática - Exemplo

1.6 Função quadrática - Exemplo

Se a > 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para cima.

Se a < 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para baixo.

ax² + bx + c

Interatividade

Dada a função -3x², qual é o seu tipo?

a) Função linear.

b) Função linear afim.

c) Função quadrática.

d) Função constante.

e) Nenhuma das acima.

1.7 Raízes da função

:,


Quando Δ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais.

Quando Δ < 0, a função não admite raízes reais.


Δ > 0

Δ = 0

Δ 0 Δ < 0


O vértice da parábola é o ponto da curva correspondente à ordenada máxima ou mínima de uma função f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

As coordenadas do vértice V (Xv,Yv) de uma função são obtidas da seguinte forma:

Ordenada (Yv):

temos ax² + bx + c = y

ax² + bx + (c – y) = 0


Ordenada (Yv):

Temos ax2 + bx + c = y

ax2 + bx + (c – y) = 0

Existem valores reais de x quando Δ ≥ 0, isto é b² 4a(c y) ≥ 0isto é, b² - 4a(c – y) ≥ 0

b² - 4ac + 4ay ≥ 0

Δ + 4ay ≥ 0

4ay ≥ -Δ

y ≥ -Δ/4a y ≥ -Δ/4a

Portanto, Yv = -Δ/4a


Abscissa (Xv):

Na função y = ax2 + bx + c, vamos substituir y por (Yv) = -Δ/4a

-Δ/4a = ax2 + bx + c

ax2 + bx + c +Δ/4a = 0 ax2 + bx + c +Δ/4a = 0

( MMC = 4a)


Abscissa (Xv):

ax2 + bx + c

Substituindo os termos a = 4a2, b = 4ab e c = b2 , teremos:


Quando a > 0, dizemos que a função tem seu valor mínimo.

Quando a < 0, dizemos que a função tem seu valor máximo.

1.8 Vértices da parábola - Exemplo

Construa o gráfico cartesiano da função y = 2x² - 5x + 2.

a > 0, então a concavidade está voltada para cimapara cima.

Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4(2)(2) = 25 . 16 = 9 Como Δ > 0, temos duas raízes distintas.

Substituindo em:

Temos x’ = 2 e x’’= 1/2.

1.8 Vértices da parábola - Exemplo

Determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Devemos considerar x = 0, isto é, y = 2(0)2 - 5(0) +2 y = 2

Determinar as coordenadas do vértice

V(5/4 , -9/8).( , )

Esboço do gráfico:

1.8 Vértices da parábola - Resumo

1º passo: verificar o sinal de a para saber o sentido da concavidade.

2º passo: calcular as raízes da função para sabermos em quais pontos a parábola corta o eixo x.

3º passo: determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y.

4º passo: determinar as coordenadas do vértice.

5º passo: esboço do gráfico5º. passo: esboço do gráfico.

Interatividade

Dada uma função com Δ < 0, o que podemos dizer de suas raízes?

a) Há uma única raiz real.

b) São duas, distintas e reais.

c) Não estão definidas no campo realc) Não estão definidas no campo real.

d) São iguais a zero.


2. Aplicações

Após aprendermos sobre a função linear e a função quadrática, vamos utilizar este conhecimento em aplicações mais genéricas.


O mercado é um conjunto de dispositivos que permitem que compradores e vendedores de um bem ou serviço entrem em contato para comercializá-lo.

A função demanda de um determinado consumidor por um bem X é aquela que mostra os preços de X referentes à quantidade que a pessoa deseja comprar.


Em outras palavras, a demanda indica o preço máximo que esse consumidor está disposto a pagar por cada uma das unidades de X.

É uma função de 1º grau decrescente, representada por:

Qd = - a(P) + b, em que Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo, e P é o preço do bem.

O gráfico de P em função de x é conhecidoO gráfico de P em função de x é conhecido como “curva de demanda”.


Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, isto é, o preço é constante, independentemente da demanda.

No eixo das abscissas, foi colocado x(t) fazendo referência à definição da demanda por unidade de tempo. A demanda pode ser mensal, semestral etc.


A função oferta de determinado produtor de um bem X é aquela que mostra cada um dos preços de X e a quantidade que se deseja vender. Em outras palavras, a oferta indica o preço mínimo que o produtor está disposto a receber por cada uma dasdisposto a receber por cada uma das unidades de X.

É uma função de 1º grau crescente, que representa a relação entre o preço do bem P e a quantidade ofertada X, dada por:

P = g(x)

O gráfico de P em função de x é conhecido como “curva de oferta”.


O gráfico de P em função de x é conhecido como “curva de oferta”.

Do mesmo modo que a demanda, a oferta de um bem real depende de um conjunto de p jfatores. São eles: a tecnologia, os preços de fatores produtivos e o preço do bem que se deseja oferecer.

2.2 Preço e quantidade de equilíbrio

O preço de equilíbrio e a quantidade oferecida e demandada (comprada e vendida) denomina-se quantidade de equilíbrio. Costuma-se também dizer que o preço de equilíbrio zera o mercado.

2.3 Receita total

Considerando x a quantidade vendida de um produto e p(x) o preço do produto x, calcula-se a Receita Total (RT) multiplicando o preço de venda pela quantidade vendida.

A função da receita total é dada pela sentença RT(x) = p(x) • x

A receita total RT = p • q é traduzida pela área do retângulo entre a origem e o ponto de coordenadas (q, p).

2.4 Custo total

Chamamos de custo o gasto relativo ao bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou serviços.

Os custos fixos são aqueles que não variam em função das alterações dos níveis de produção da empresa.

A classificação variável aplica-se ao custo que demonstra um comportamento dependente exclusivamente das variações do nível de produção. O custo total é a somatória dos vários custos incorridos pela empresa.

2.4 Custo total – fixo + variável

Em outras palavras, o Custo Total (CT) da produção de uma empresa tem dois componentes: o Custo Fixo (CF), que deve ser pago independentemente da quantidade produzida, e o Custo Variável (CV), que varia conforme o nível de produção Sendovaria conforme o nível de produção. Sendo x a quantidade produzida, o custo variável depende de x.

A fórmula do custo total é, de forma simplificada, uma função linear:

CT = Cf + Cv(x)

2.4 Custo total – Custo médio

O custo unitário ou custo médio pode ser definido pela relação entre os custos totais e a quantidade de produto. Obtém-se o custo unitário de acordo com a fórmula a seguir:

Cm = CT/n, em que:

Cm = custo unitário ou custo médio;

CT = custo total;

n = número de unidades produzidas.

2.4 Custo total

2.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crítico

O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas.

Em outras palavras, o ponto de equilíbrio representa a quantidade de venda que precisa ser realizada mensalmente para gerar receita suficiente para pagar todo o custo variável gerado (todas as despesas comerciais geradas e todas as despesas fixas que a empresa tiver no mês), isto é, não ter lucro acumulado no mês mas também não ter prejuízomês, mas também não ter prejuízo.

2.6 Lucro total

O Lucro Bruto (LB) é igual à diferença entre o Preço de Venda (PV) e o Preço de Compra (PC):

LB = PV – PC

A função Lucro Total (LT) é dada como aA função Lucro Total (LT) é dada como a diferença das funções de Receita Total (RT) e Custo Total (CT):

LT = RT - CT

2.7 Margem de contribuição.

É a diferença entre a receita total (vendas) da empresa menos seus custos e despesas variáveis.

Podemos entender, ainda, que a margem de contribuição é a parcela da receita total que ultrapassa os custos e despesas variáveis e que contribuirá para cobrir as despesas fixas e ainda formar o lucro.

MC = RT - (C + DV)

Em que:q

MC = margem contribuição;

RT = receita total;

C = custos;

DV = despesas variáveis.

Interatividade

O que é o break even point?

a) Ponto de equilíbrio entre receitas e despesas.

b) Margem de contribuição.

c) Custo zeroc) Custo zero.

d) Receita marginal.


ATÉ A PRÓXIMA!

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