Geometria Analítica

I – PLANO CARTESIANO – PONTO O sistema cartesiano é constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si, formando assim quatro qua-drantes. Denominações: ⇒ reta x – eixo das abscissas; ⇒ reta y – eixo das ordenadas; ⇒ ponto O – origem; ⇒ a ∈ ℜℜℜℜ – abscissa do ponto P; ⇒ b ∈ ℜℜℜℜ – ordenada do ponto P; ⇒ (a, b) – coordenadas do ponto P. II – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância entre os pontos A e B, no plano cartesiano acima é dada pelo Teorema de Pitágoras:

III – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA Como M é ponto médio de AB, temos que:

xM − xA = xB − xM ⇒ 2.xM = xA + xB Desta forma, concluímos que: IV – BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO O baricentro de um triângulo é determinado na inter-secção de suas medianas. Mediana – é o segmento de reta que une um vértice do triângulo com o ponto médio do lado oposto. Na figura acima, M,N e P são pontos médios dos lados AB, AC e BC ⇒ CM, BN e AP são as medianas relativas aos lados AB, AC e BC e o ponto G é o baricentro do triângulo ABC. Sabemos que CG = 2.GM. Desta forma:

(xG – xC) = 2.(xM – xG)

Como xM = (xA + xB)/2, teremos que:

Analogamente, para o eixo das ordenadas, teremos: V – ÁREA DE UM TRIÂNGULO E ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.

2º quadrante 1º quadrante x < 0 x > 0 y > 0 y > 0

3º quadrante 4º quadrante x < 0 x > 0 y < 0 y < 0

y

x P (a, b)

O

dAB = 2

AB2

AB )y(y)x(x −+−

A

B

M

yB

yM

yA

xA xM xB

y

x

xM = 2

xx BA + e yM =

2yy BA +

xG = 3

xxx CBA ++

yG = 3

yyy CBA ++

x

y

A

B

xA

dAB

yB

yA

xB

G

A (xA, yA)

C (xC, yC)

N (xN, yN) P (xp, yp)

M (xM, yM) B(xB, yB)

y

yA

yC

yB

xA xB xC

x

C

B

A

I III

II

Geometria Analítica - Resumo teórico

By Kovest : https://twitter.com/Kovest

2

Uma maneira de determinar a área do triângulo ABC é calculando a área do retângulo tracejado e retirando as áreas dos triângulos retângulos I, II e III.

Desta forma, área do triângulo ABC é dada por:

Onde D é o determinante da matriz:

1 yx

1 x

1 yx

CC

B B

A A

y

Observação: Se o determinante D da matriz for igual a zero, indicará que o triângulo ABC tem área nula. Portanto pode-se afirmar que os pontos A, B e C, neste caso, são colinea-res (alinhados).

Então, a condição para que os três pontos sejam co-lineares é D = 0. VI – ESTUDO DA RETA ⇒ Equação geral da reta.

Considere uma reta que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB). Seja um ponto P(x, y) alinhado com A e B, como mostra o gráfico da figura abaixo.

Como os pontos A, B e P são colineares, pode-se

considerar que:

Det

1 yx

1 yx

1 yx

B B

AA

= 0

Desenvolvendo a equação, teremos:

(yA – yB).x + (xB – xA) + xA.yB – xB.yA = 0

Em que: a = yA – yB b = xB – xA c = xA.yB – xB.yA

Assim, a equação geral da reta terá a forma dada por:

⇒ Equação reduzida da reta. Tomando a equação geral da reta e isolando y, tere-mos:

bc

bax

y−+−=

Fazendo m = –a/b e q = –c/b, a equação ficará da forma: Sendo: m = coeficiente angular q = coeficiente linear ⇒ Equação fundamental da reta. Utilizando a definição de coeficiente angular, onde m = ∆y/∆x, para os pontos (x, y) e (x0, y0), pertencentes à reta, teremos: Onde (xo, yo) é um ponto dado da reta e m o coeficien-te angular. ⇒ Equação segmentária da reta. A equação segmentária de uma reta é importante na visualização gráfica. Ela é formulada destacando os pon-tos onde a reta intercepta os eixos coordenados, A(0, q) e B(p, 0). Estabelecendo a condição de alinhamento

0

1 q 0

1 0 p

1 y x

= , teremos:

r

Sendo tg αααα = m ⇒⇒⇒⇒ m = ba

xxyy

AB

AB −=−−

a.x + b.y + c = 0

y – y o = m.(x – x o)

y = m.x + q

q A

B

p r

x

y

1qy

px =+

|D|.21A =

P

xB

yB

α

y

x

B

q α A

Xp xA

yp

yA

3

(ax+by+c = 0)

y

x

α d

α

P(x0, y0)

x0

y0

y1

θ = β – α

⇒ Equações paramétricas da reta.

São equações que representam x e y em função de uma terceira variável, denominada parâmetro.

Observe o exemplo abaixo:

+=+=

dc.ty

ba.tx , sendo a,b,c,d ∈ ℜℜℜℜ e t o parâmetro.

Para relacionar x e y numa mesma equação, basta isolar t numa delas e fazer a devida substituição na outra. VII – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS ⇒ Retas paralelas – duas retas r e s são paralelas

quando têm a mesma inclinação em relação ao eixo x. Pode-se concluir, então, que elas têm o mesmo coefi-ciente angular.

⇒ Retas concorrentes – evidentemente que, no plano,

se duas retas não têm a mesma inclinação em relação ao eixo x, então elas são concorrentes.

Obs.: As retas concorrentes que formam um ângulo de 90° são perpendiculares. Neste caso, teremos:

VIII – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS Sejam duas retas r e s, como mostra o gráfico abaixo:

mr = tgα – coeficiente angular da reta r ms = tgβ – coeficiente angular da reta s θ – ângulo formado por r e s. Sabemos que: β = θ + α ⇒

Neste caso, teremos: tgα . tgβ1

tgαtgβtgθ

+−

=

Para determinar a medida de θ agudo, utilizando mr

e ms, teremos:

Observação: Se r ou s for perpendicular ao eixo das abscissas, mr ou ms não existe. Neste caso, não poderemos utilizar a equação acima. θ + α = 90° ⇒ θ = 90° – α ⇒ tgθ = 1/tgα Para determinar o ângulo θ agudo, teremos:

IX – DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA Dados um ponto P(x0, y0) e uma reta r cuja equação geral é ax + by + c = 0. A distância entre o ponto P e a reta r é dada por: Demonstração:

α + θ = 90º ⇒ tgα = 1/tgθ θ + β = 180º ⇒ tgθ = - tgβ ⇒ tgα = 1/(-tgβ) Então: mr.mx = - 1

mr.ms = – 1

y

x

s

α β

r

θ

r // s ⇒⇒⇒⇒ mr = ms

r x s ⇒⇒⇒⇒ mr ≠≠≠≠ ms

sr

sr

.mm1

mmtgθ

+−

=

22

00

ba

cbyaxd

+

++=

rm1

tgθ =

y

x

s r

α

θ

x

θ

y s

α β

r

4

Sabemos que: tgα = mr = -a/b e que

αtg1

1αcos

22

+= (1)

Observe que (x0, y1) ∈ r ⇒ ax0 + by1 + c = 0 ⇒

b

caxy 0

1−−

= (2)

Como 10 yy

dcosα

−= , substituindo em (1), teremos:

2

2210

2

b

a1

1

)y(y

d

+=

−(3)

Substituindo (2) em (3), podemos concluir que a distância d será dada por: X – EQUAÇÃO DAS BISSETRIZES DOS ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS Sejam as reta (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0.

Como P(x,y) pertence à bissetriz 1, podemos dizer que d1 = d2. Então, a equação da bissetriz 1 ficará:

Um ponto da bissetriz 2 tem as mesmas características de P(x, y). Portanto, a equação acima é também da bissetriz 2.

XI – CIRCUNFERÊNCIA 1. DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES Consideremos uma circunferência λ de centro C(a, b) e raio r. Se um ponto P(x, y) pertence à λ, pode-se con-cluir que a distância do ponto P até o ponto C é igual a raio da circunferência. Neste caso, teremos: Desenvolvendo a equação acima, teremos: Exemplo : A equação de uma circunferência é dada por x² + y² – 6x + 8y + 21 = 0. Determine o centro e o raio desta circunferência. Comparando com a equação geral, teremos: – 2.a = – 6 ⇒ a = 3 – 2.b = 8 ⇒ b = – 4 a² + b² – r² = 21 ⇒ r² = 25 – 21 ⇒ r = 2

Resposta: Centro (3, –4) e raio r = 2. 2. POSIÇÕES RELATIVAS 2.1 – PONTO E CIRCUNFERÊNCIA Seja o ponto P(x, y) e a circunferência de equação (λ) (x –a)² + (y – b)² = r², onde (a, b) é o centro e r o raio. a) (x – a)² + (y – b)² < r² ⇒ P(x, y) está no interior de λ b) (x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ P(x, y) pertence à λ c) (x – a)² + (y – b)² > r² ⇒ P(x, y) está no exterior de λ Exemplo:

Considere o ponto P(2, 1) e a circunferência de equa-ção (λ) (x – 4)² + (y + 1)² = 9. Verifique a posição relativa de P e λ. (2 – 4)² + (1 + 1)² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8 8 < 9 ⇒ P é interno de λ. 2.2. RETA E CIRCUNFERÊNCIA a) Reta r secante à circunferência λ de centro O e raio

R.

22

22

222

21

21

111

ba

cybxa

ba

cybxa

+

++=

+

++±

22

00

ba

cbyaxd

+

++=

s

bissetriz 1

r bissetriz 2

P(x, y) d1

d2

(x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ.

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

⇒ Equação geral de λ

λ

r

d < R d

O

5

b) Reta r tangente à circunferência λ de centro O e raio R.

c) Reta r exterior (disjunta) à circunferência λ de cen-

tro O e raio R 2.3. DUAS CIRCUNFERÊNCIAS a) DISJUNTAS EXTERNAS ( d > R + r ) b) TANGENTES EXTERNAS ( d = R + r ) c) SECANTES ( |R – r| < d < R + r )

d) TANGENTES INTERNAS ( d = |R – r| )

e) DISJUNTAS INTERNAS ( d < |R – r| )

Exemplo: Sejam as circunferências (λ1) x² + y² = 4 e (λ2) x² + y² + 2x – 2y = 0. Determine: a) A posição relativa de λ1 e λ2.

(λ1) ⇒ centro (0, 0) e raio R = 2;

(λ2) ⇒ centro (-1, 1) e raio r = 2 ;

distância entre os dois centros d = 2 . Como |R – r| < d < R + r ⇒ λ1 e λ2 são secantes. b) Os pontos de intersecção de λ1 e λ2.

Substituindo λ1 em λ2, teremos: 4 + 2x – 2y = 0 ⇒ y = x + 2 Voltando em λ1, teremos: x² + (x + 2)² = 4 ⇒ 2x² + 4x + 4 = 4 ⇒ x(x + 2) = 0 Então: x1 = 0 e x2 = –2

Os pontos de intersecção serão: A(0, 2) e B(–2, 0) c) A reta que passa pelos pontos de intersecção de λ1 e

λ2. Substituindo λ1 em λ2, teremos y = x + 2 que é a reta que passa pelos seus pontos comuns.

λ

d d > R

r O

λ

d = R

r

d

O

d

R r

d

R r

d

R r

d

R r

d

R r

6

XII – ELIPSE 1. DEFINIÇÃO

Dados dois pontos A e B (focos) e um segmento de reta de medida 2a maior que a distância entre A e B. Denomina-se ELIPSE de focos A e B e eixo maior 2a o lugar geométrico formado pelos pontos P(x, y) do plano cuja soma das distâncias aos pontos A e B é igual a 2a. A e B ⇒ focos da elipse; V1 e V2 ⇒ vértices;

21VV = 2a ⇒ eixo maior (a = semi-eixo maior)

21MM = 2b ⇒ eixo menor (b = semi-eixo menor)

AB = 2c ⇒ distância focal. O ⇒ centro da elipse. 2. ESTUDO ANALÍTICO – EQUAÇÕES.

Inicialmente, consideremos uma elipse com o centro no ponto (0, 0), origem do sistema cartesiano e o eixo maior contido no eixo das abscissas. Observe que: A(-c, 0), B(c, 0) e P(x, y). Como P ∈ à

elipse e 2aPBPA =+ , teremos: PA = 2.a – PB ⇒

⇒ 2222 )0y()cx(a2)0y()cx( −+−−=−++ ⇒

Elevando os dois membros ao quadrado, teremos:

⇒ x² + 2cx + c² + y² = 4.a² - 4.a. 22 )0y()cx( −+− + x²

– 2cx + c² + y² Simplificando, teremos:

⇒ a. 22 )0y()cx( −+− = a² – cx

Elevando, novamente, os dois membros ao quadrado, teremos: ⇒ a².x² – 2.a²cx + a²c² + a²y² = a 4 – 2.a².cx + c²x² ⇒ (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²) como b² = a² - c², teremos: b²x² + a²y² = a²c² . Logo: ,

Num segundo momento, consideremos uma elipse

com o centro na origem (0, 0) e com o eixo maior contido no eixo das ordenadas. Analogamente, a equação reduzida da elipse será:

Obs.: Chama-se excentricidade da elipse a relação en-tre a distância do centro a um dos focos e o comprimento de seu semi-eixo maior. Ou seja:

ac

e = Como c < a ⇒ 0 < e < 1

Num terceiro momento, consideremos a elipse com o centro no ponto (x0, y0). Neste caso, a equação reduzida sofrerá as seguintes modificações: 1º) Eixo maior paralelo ao eixo x. 2º) Eixo maior paralelo ao eixo y: Analogamente, teremos a troca de a² por b², como foi feita para as elipses com o centro na origem. Assim, te-remos.

1a

)y(y

b

)x(x2

20

2

20 =

−+

−

1a

y

b

x2

2

2

2=+

2aPBPA =+

M1 P

M2

b

a a

V2 V1 O A B c

P (x, y)

x

y

O A B

B

A

x

1b

)y(y

a

)x(x2

20

2

20 =

−+

−

x xo

A B yo

y

1b

y

a

x2

2

2

2=+ sendo a > b.

7

XIII – HIPÉRBOLE. 1. DEFINIÇÃO

Dados os pontos A e B, denomina-se hipérbole o lugar geométrico dos pontos P(x,y) do plano cujo módulo da diferença |PA – PB| é constante e menor que a dis-tância AB.

Onde: A e B – focos da hipérbole; V1 e V2 – vértices da hipérbole; V1V2 – eixo real = 2a (ou eixo transverso); MN – eixo imaginário = 2b (construção abaixo); AB – distância focal = 2c;

2. EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE

No gráfico: A(-c, 0), B(c, 0), P(x, y). Como |PA – PB| = 2.a, teremos: PA – PB = ± 2.a ⇒ PA = ± 2.a + PB ⇒

2222 )0y()cx(a.2)0y()cx( −+−+±=−++

Elevando os dois membros à potência 2, teremos:

x² + 2.c.x + c² + y² = 4.a² ± 4.a. 22 )0y()cx( −+− + x² –

2.c.x + c² + y² ⇒ ± a. 22 )0y()cx( −+− = a² – c.x ⇒

a²x² – 2. a².c.x + a²c² + a²y² = a 4 – 2.a².c.x + c²x² ⇒

c²x² – a²x² – a²y² = a²c² – a 4⇒(c²–a²)x² – a²y² = a²(c²–a²)

Como c² = a² + b² ⇒ b²x² – a²y² = a².b² Dividindo os dois membros por a².b², teremos:

Obs.: Se o eixo real da hipérbole for paralelo ao eixo Oy, teremos:

As equações apresentadas acima foram demonstradas com o centro da hipérbole no ponto (0, 0). Se o centro da hipérbole for deslocado para O(x0, y0), teremos:

EXCENTRICIDADE

A excentricidade da hipérbole é dada pela relação e = c/a. Como c > a, teremos: e > 1. Obs.: Uma hipérbole é eqüilátera quando suas assínto-tas são perpendiculares. O que significa a = b. Como c² =

a² + b², teremos c = a. 2 . Neste caso a excentricidade

da hipérbole mede 2 .

|PA – PB| = 2.a

M

N

A V1 O V2 B

assíntota assíntota

a b c

P(x, y)

1b

x

a

y2

2

2

2

=−

1b

)x-(x

a

)y-(y2

20

2

20 =−

1b

)y-(y

a

)x-(x2

20

2

20 =−

1b

y

a

x2

2

2

2=−

8

XIV – PARÁBOLA 1. DEFINIÇÃO

É o lugar geométrico dos pontos de um plano for-

mado por pontos eqüidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma reta fixa r (diretriz). Onde: F – foco da parábola; r – diretriz da parábola reta VF – eixo de simetria; p – distância do foco ao vértice; V – vértice da parábola; EQUAÇÕES DA PARÁBOLA

Fazendo PF = PQ, teremos: (x – p)² + (y – 0)² = (x + p)² + (y – y)² ⇒ x² – 2.p.x + p² + y² = x² + 2.p.x + p² + 0 ⇒

(concavidade para direita)

(concavidade para esquerda) Obs.: Se a parábola tiver a concavidade voltada para cima ou para baixo, teremos:

As equações mostradas acima foram demons-tradas com o vértice das parábolas no ponto (0, 0). Se o vértice for deslocado para o ponto (x0, y0), teremos:

p

dist(PF) = dist(Pr)

(y – y0)² = ±±±± 4.p.(x – x 0)

(x – x 0)² = ±±±± 4.p.(y – y 0)

x² = ±±±± 4.p.y

y² = + 4.p.x

y² = −−−− 4.p.x