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Luiz Eduardo Teixeira Brandão

UMA APLICAÇÃO DA TEORIA DAS OPÇÕES REAIS EM TEMPO DISCRETO PARA AVALIAÇÃO DE UMA

CONCESSÃO RODOVIÁRIA NO BRASIL

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção do Departamento de Engenharia Industrial da PUC-Rio como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Doutor em Engenharia de Produção.

Orientador: José Paulo Teixeira

Rio de Janeiro

Dezembro de 2002

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da Universidade, do autor e do orientador.

Luiz Eduardo Teixeira Brandao

Engenheiro Civil pela PUC-Rio, Mestre em Engenharia Civil pela Universidade de Stanford (1977) e Mestre em Administração de Empresas (MBA) pela Stanford Graduate School of Business (1979). Trabalhou na Shell Brasil e foi Diretor Financeiro da Encal Consultoria e Aerolevantamentos S/A. Foi professor do IAG da PUC-Rio e do FGV Management. Atualmente é consultor de empresas e Professor Visitante da McCombs School of Business da Universidade do Texas em Austin.

Ficha Catalográfica

CDD: 658.5

Brandão, Luiz Eduardo Teixeira

Uma aplicação da teoria das Opções Reais em tempo discreto para avaliação de uma concessão rodoviária no Brasil / Luiz Eduardo Teixeira Brandão; orientador: José Paulo Teixeira. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Industrial, 2002.

[14], 118 f. : il. ; 30 cm

Tese (doutorado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Industrial.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia industrial – Teses. 2. Finanças. 3. Opções reais. 4. Análise de projetos. 5. Investimento sob incerteza. 6. Análise de decisões. I. Teixeira, José Paulo. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Industrial. III. Título.

À minha família

Agradecimentos

Ao meu orientador Prof. José Paulo Teixeira pela orientação e auxílio nesta

caminhada,

Ao meu co-orientador Prof. Tara Nanda K. Baidya, pelo incentivo, exemplo e

apoio inestimável,

Ao Prof. Jim Dyer, que me recebeu na Universidade do Texas em Austin e abriu

as portas para novos conhecimentos,

Aos professores e colegas José Carlos Abreu Filho, Celso Funcia Lemme,

Roberto Montezano, Roberto Moreno, Nelson Leão Pedrozo e Walter Lee Ness,

que participaram da Comissão examinadora,

À CAPES, CNPq e PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este

trabalho não teria sido possível,

Às funcionárias Claudia Teti, do Dept. de Engenharia Industrial, e Etiene Farias e

Magda Flegr do IAG PUC-Rio, pela colaboração e ajuda,

Aos meus pais, Desio (in memorian) e Ilvaita Brandão, pelo carinho e pela

formação que recebi,

À minha esposa Sonia, pelo apoio incansável e incentivo nas horas difíceis, e aos

meus filhos, Luiz Felipe e João Pedro, pela compreensão.

Resumo

Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. Uma aplicação da teoria das opções reais em tempo discreto para avaliação de uma concessão rodoviária no Brasil. Rio de Janeiro, 2002, 132p.Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Um dos problemas da avaliação por Opções Reais é a exigência de se ter

mercados completos para que possam ser utilizados métodos baseados no

princípio da não arbitragem para a sua solução. Outro problema é a inclusão de

duas ou mais fontes de incerteza na modelagem matemática do projeto, que

aumenta a complexidade do problema, especialmente quando essas incertezas

envolvem risco privado, não correlacionado com o mercado. Este trabalho

sintetiza conceitos aplicados a Teoria das Opções Reais desenvolvidos por

diversos autores com ferramentas de Decision Analysis para propor uma

metodologia de avaliação de projetos em tempo discreto utilizando algoritmo

próprio aplicado a modelo de árvore de decisão com malha binomial que pode ser

implementada utilizando-se programas de software padrão já existentes no

mercado. O método é computacionalmente intenso, mas de modelagem mais

simples e intuitiva que os métodos tradicionais de Opções Reais, permitindo assim

uma maior flexibilidade na elaboração do modelo. Esta metodologia é aplicada ao

problema de valoração de uma concessão rodoviária no Brasil com flexibilidade

gerencial em mercados incompletos e risco político.

Palavras-chave Finanças; Opções Reais; Análise de Projetos; Investimento sob Incerteza;

Análise de Decisões.

Abstract

Brandão, Luiz Eduardo Teixeira; Teixeira, José Paulo. A discrete time application of Real Options theory for the valuation of a highway concession project in Brazil. Rio de Janeiro, 2002, 132p. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

One of the problems of the evaluation for Real Options is the need to have

complete markets so that non arbitrage methods can be used for its solution. When

that is not the case, or when the determination of a dynamic portfolio of market

securities that replicate the stochastic characteristics of the project is not feasible

for any reason, the alternative is to use an exogenous and arbitrary discount rate.

Another problem is the inclusion of two or more uncertainty sources in the

mathematical modeling of the project, which brings a certain degree of

complexity to the problem, especially when those uncertainties involve private

risk, not correlated with the market. This work synthesizes some Real Options

Theory concepts developed by several authors with Decision Analysis tools to

propose a method for evaluation of projects in incomplete markets by dynamic

programming using an innovative algorithm to model the project’s stochastic

process with a binomial lattice and decision tree. The method is computationally

intense, but simpler and more intuitive than that the traditional methods of Real

Options, allowing for a greater flexibility in the modeling of the problem.

This methodology is applied to the problem of the valuation a highway

concession in Brazil with managerial flexibility in incomplete markets and

political risk.

Keywords Finance; Real Options; Valuation; Capital Budgeting, Investment under

Uncertainty; Decision Analysis.

Sumário

1 Introdução 15

1.1. A Decisão de Investimento na Empresa 15

1.2. Programa de Privatização de Rodovias no Brasil 16

1.3. Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnoló-gico 17

1.4. Estrutura da Tese 18

2 Revisão da Literatura 19

2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) 19 2.1.1. Taxa Ajustada ao Risco (CAPM) 20 2.1.2. Equivalente Certo 20 2.1.3. Probabilidades Neutras a Risco 21 2.1.4. Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado 22

2.2. Método das Opções Reais 24 2.2.1. Opções Reais em Mercados Completos 26 2.2.2. Opções Reais em Mercados Incompletos 26 2.2.3. Contingent Claims Analysis 28 2.2.4. Programação Dinâmica 33 2.2.5. Decision Tree Analysis (DTA) 35 2.2.6. O Modelo Binomial 37

3 Modelo Teórico 40

3.1. Determinação da Taxa de Desconto em Mercados Incompletos 40 3.1.1. Premissa Primeira 42

3.2. O Processo Estocástico do Valor do Projeto 42 3.2.1. Premissa Segunda 46

3.3. Modelagem do Risco Privado 48 3.3.1. Premissa Terceira 49 3.3.2. Investidor Neutro a Risco Privado 49 3.3.3. Investidor Avesso ao Risco Privado 50

3.4. Um Modelo em Tempo Discreto 54 3.4.1. Modelagem Determinística 55 3.4.2. Simulação de Monte Carlo (SMC) 56 3.4.3. Árvore Binomial do Projeto 59 3.4.4. Árvore de Decisão do Projeto 62 3.4.5. Generalização da Fórmula do Valor do Projeto 64 3.4.6. Modelagem das Opções 65 3.4.7. Exemplo 68

4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária 73

4.1. Introdução 73

4.2. Histórico 74

4.3. A Concessão Rodoviária 77

4.4. O Projeto 78 4.4.1. Investimento e Depreciação 79 4.4.2. Custos Operacionais 79 4.4.3. Plano Financeiro 80

4.5. Análise de Risco 80 4.5.1. Risco de tráfego 80 4.5.2. Risco Cambial 81 4.5.3. Riscos de Inflação e taxa de juros 83 4.5.4. Risco Político 84

4.6. Modelo Financeiro 86

4.7. Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais 89 4.7.1. Opção de Abandono 89 4.7.2. Opção de Expansão 91

4.8. Solução 94 4.8.1. Modelagem Determinística: FCD sem Opções 94 4.8.2. Determinação da Volatilidade do Projeto 95 4.8.3. Árvore do Projeto 96 4.8.4. Modelo 1 - Opção de Expansão 98 4.8.5. Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono 102 4.8.6. Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com Risco Político 105

5 Conclusões e Recomendações 109

5.1. Conclusões 109

5.2. Limitações da metodologia 111

5.3. Recomendações para trabalhos futuros: 112 5.3.1. Modelagem de Opções Reais 112 5.3.2. Ferramentas de Análise 113

6 Apêndices 114

6.1. Processos Estocásticos 114

6.2. Programação Dinâmica com Processos Estocásticos Distintos 115

6.3. Transformação Algébrica da Árvore Binomial 117

6.4. Código VBA 123 6.4.1. Determinação da Volatilidade do Projeto através da SMC 123 6.4.2. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto 124 6.4.3. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto com Opção de Abandono 124

6.5. Simulação de Monte Carlo 126 6.5.1. Risco de Tráfego 126 6.5.2. Risco de Câmbio 126 6.5.3. Risco de Taxa de Juros 127

6.6. Verificação da Premissa de Normalidade dos Retornos 128

7. Referências Bibliográficas 130

Lista de Figuras

Figura 1 – Projeto com dois estados da natureza 35

Figura 2 – Portfólio livre de Risco 36

Figura 3 – Modelo de Cox, Ross e Rubinstein 37

Figura 4 – Modelo Binomial de um Período 38

Figura 5 – Strip de Contratos Futuros 45

Figura 6 – Nível de Tolerância ao Risco 53

Figura 7 – Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto 56

Figura 8 – Árvore Binomial Recombinante 59

Figura 9 – Árvore Binomial com Dividendos 60

Figura 10 – Pseudo Fluxos de Caixa 63

Figura 11 – Valor do Projeto em (T,S) 65

Figura 12 – Árvore de Decisão do Projeto 69

Figura 13 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono 70

Figura 14 – Projeto com Opção de Abandono 70

Figura 15 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão 71

Figura 16 – Projeto com Opção de Abandono e Expansão 72

Figura 17 – Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total 76

Figura 18 – Carga transportada por modalidade no Brasil (1990-

1999) 76

Figura 19 – Variação Anual do PIB (1970 - 2001) 81

Figura 20 – Variação Mensal da Taxa de Câmbio (1994-2002) 82

Figura 21 – LIBOR 6 meses 84

Figura 22 – Dinâmica do Valor do Projeto 95

Figura 23 – Modelo Binomial do Projeto 97

Figura 24 – Árvore de Decisão do Projeto 98

Figura 25 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão 99

Figura 26 – Valor do Projeto com Opção de Expansão 100

Figura 27 – Política Ótima de Investimentos 100

Figura 28 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão 101

Figura 29 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na

Expansão 101

Figura 30 – Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono 102

Figura 31 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão e

Abandono 103

Figura 32 – Política Ótima de Investimentos 104

Figura 33 – Modelagem do Risco Político 106

Figura 34 – Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco 108

Figura 35 – Modelo Matemático para Árvores de Decisão 121

Figura 36 – Tráfego: Simulação de Monte Carlo 126

Figura 37 – Taxa de Câmbio: Simulação de Monte Carlo 127

Figura 38 – Taxa de Juros: Simulação de Monte Carlo 127

Figura 39 – Erro da Distribuição dos Retornos 128

Figura 40 – QQ Plot dos Retornos 129

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais 23

Tabela 2 – Fatores de Tolerância ao Risco de Howard 54

Tabela 3 – Planilha Determinística do Projeto 68

Tabela 4 – Comparação da Malha de Transporte 75

Tabela 5 – Resumo das Concessões 77

Tabela 6 – Parâmetros do Risco Político 85

Tabela 7 – Fluxo de Caixa do Projeto 87

Tabela 8 – Dados do Projeto 88

Tabela 9 – Parâmetros para a Opção de Abandono 91

Tabela 10 – Parâmetros para a Opção de Expansão 93

Tabela 11 – Simulação de Monte Carlo 96

Tabela 12 – Determinação da Tolerância ao Risco para CNO 107

1 Introdução

1.1. A Decisão de Investimento na Empresa

Devido à sua importância para a criação de valor para o acionista, a

decisão de investimento na empresa sempre foi o foco de grande interesse

acadêmico e empresarial. O método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD),

introduzido nas empresas na década de 50, foi inicialmente considerado um

método sofisticado de avaliação de projetos devido à necessidade do uso de

tabelas de Valor Presente. Apesar das suas óbvias vantagens sobre o

obsoleto método do Payback utilizado até então, a sua popularização só se

deu após o advento dos computadores e calculadoras portáteis que

automatizaram os cálculos de matemática financeira necessários, sendo

atualmente o método de uso mais difundido nas empresas.

Mais recentemente, a partir do trabalho pioneiro de Black, Scholes e

Merton (1973) para a avaliação de opções financeiras, surgiu a idéia de se

incorporar métodos semelhantes ao problema do investimento sob

condições de incerteza. Estes métodos visam agregar o valor da

flexibilidade gerencial à metodologia de valoração tradicional do FCD, e

passaram a ter denominação geral de Teoria das Opções Reais, para indicar

o conceito de opções sobre ativos reais, ao invés de sobre ativos financeiros.

No entanto, apesar de representar uma importante evolução sobre o método

do FCD, devido a sua complexidade teórica e matemática avançada, o seu

uso mais difundido na indústria tem sido limitado. Um dos motivos é a

complexidade adicional que decorre do uso de opções reais. Opções

financeiras têm como ativo básico, ativos financeiros ou commodities que

possuem determinadas características que facilitam o seu tratamento, como

preço de mercado, series históricas, divisibilidade e razoável conhecimento

das suas distribuições probabilísticas, que permitem modelar as suas

distribuições futuras com alguma facilidade. Já o mesmo não ocorre com as

opções reais, onde o ativo básico geralmente não possui essas características

16

necessárias. Outro motivo é o alto grau de complexidade matemática

exigido para a modelagem em tempo contínuo, geralmente acima das

qualificações dos gerentes tradicionais. Mas, da mesma forma com o que

ocorreu com o método do FCD, a contínua evolução das ferramentas

computacionais disponíveis para automatizar as partes trabalhosas do

processo e alguns avanços teóricos tendem a tornar o seu uso cada vez mais

difundido.

1.2. Programa de Privatização de Rodovias no Brasil

Em 1995 o governo brasileiro anunciou um plano para transferir

rodovias e outras instalações públicas e serviços para concessionários

particulares, com o objetivo de reduzir os encargos de investimento e

manutenção das redes de estradas federais e estaduais. Desde então, o

governo federal e diversos estados brasileiros iniciaram um processo de

licitação pública dos contratos de concessão, através do qual diversos

grupos nacionais passaram a investir e operar estradas em troca do direito de

cobrança de pedágio. Dada a extensão territorial do país e a continuada

ausência de capacidade de investimento do Estado existem grandes

perspectivas de um crescimento continuado nestas concessões e de um

aumento significativo da presença do setor privado na infra-estrutura de

transportes do país.

Por outro lado, esses investimentos apresentam um certo grau de risco.

Como acontece em muitos países, ocorre na sociedade brasileira um intenso

debate a respeito dos custos e benefícios para a população das políticas de

desregulamentação e privatização nos setores de serviço e infra-estrutura e

sobre qual deve ser o papel do governo nessas áreas. Embora na década de

90 tenhamos visto uma maior desregulamentação e grande crescimento nas

privatizações, seguindo uma tendência mundial, a continuidade dessas

políticas é incerta, o que cria um fator de risco político aos investimentos

nessa área.

Dado que essas concessões são outorgadas a empresa que, atendendo

as demais exigências do contrato, ofereçam o menor preço para o pedágio, a

correta análise do valor da concessão se torna imprescindível para que a

17

empresa possa ganhar a concessão ofertando o menor preço possível dentro

dos seus objetivos de risco de retorno. Os métodos de opções reais permitem

que sejam incluídos na análise os benefícios da flexibilidade gerencial

presente nestes projetos e a incorporação adequada da análise de risco

político.

1.3. Posicionamento da Tese no Contexto Científico e Tecnoló-gico

Esta tese pertence à linha de pesquisa de Análise de Investimentos em

condições de incerteza, considerando a existência de opções reais. O

objetivo deste trabalho é a análise da dinâmica de investimento privado no

setor de infra-estrutura de transporte rodoviário no Brasil através da Teoria

das Opções Reais, considerando-se inicialmente mercados incompletos. Ao

contrário de projetos do setor de energia ou de exploração mineral onde o

produto do projeto (energia, petróleo, minério, etc.) é comercializado em

mercado, uma concessão rodoviária não representa um processo industrial,

mas sim uma prestação de serviços, para o qual os mercados são

incompletos. Isso faz com que a solução usual de se aplicar os métodos de

opções reais considerando que os mercados são completos não possa ser

aplicado nesse caso, tornando-se necessário um outro tipo de solução.

A grande maioria dos problemas de decisão de investimento na prática

cai nesta categoria. Mesmo quando o produto do projeto é uma commodity

negociado em mercado, é comum adotar-se a premissa de que o produto do

projeto é perfeitamente correlacionado com os riscos do projeto em todos os

estados da natureza, e em todos os períodos futuros, o que nem sempre é

verdadeiro, mas tal premissa permite considerar-se que o mercado é

completo e a partir daí aplicar-se os métodos de avaliação neutra a risco ao

problema em questão.

Outro problema que surge da aplicação de métodos de opções reais é

que a modelagem matemática do projeto quando há mais de uma fonte de

incerteza torna o problema extremamente complexo e de solução trabalhosa.

Por outro lado, neste trabalho mostraremos que a flexibilidade gerencial

pode ser mais facilmente modelada através de ferramentas de Análise de

18

Decisão, como Árvores de Decisão, que são uma forma de Programação

Dinâmica. A incerteza e a flexibilidade que possibilitam a adoção de

diferentes estratégias à medida que as incertezas vão se resolvendo são

características tradicionais dos métodos de Análise de Decisão, que

permitem a modelagem dos fluxos de caixa em grande detalhe e a

consideração de diversas fontes de incerteza com facilidade.

Até recentemente, os modelos de Árvores de Decisão em tempo

discreto não apresentavam a mesma complexidade dinâmica dos modelos de

opções reais em tempo contínuo. No entanto, avanços recentes em

capacidade computacional têm possibilitado o desenvolvimento de

ferramentas de modelagem cada vez mais poderosas, possibilitando a

construção de árvores de decisão com centenas de milhares de alternativas.

Com a contínua evolução dessas ferramentas computacionais, os métodos

de Análise de Decisão começam a se aproximar da complexidade dinâmica

dos modelos em tempo contínuo. Este trabalho mostra como podemos

incorporar diversas fontes de incerteza ao projeto com facilidade com o uso

da Simulação de Monte Carlo, modelando-se o processo estocástico do

projeto e suas opções reais através de um modelo binomial e árvore de

decisão, através do uso de probabilidades neutras a risco.

1.4. Estrutura da Tese

Essa tese está organizada da seguinte forma. O capítulo 1 apresenta o

problema da avaliação de ativos em condições de incerteza em mercados

incompletos e indica os métodos que serão adotados para a sua análise. O

capítulo 2 apresenta a revisão da literatura e o estado da arte da Teoria das

Opções Reais. O capítulo 3 apresenta as premissas do modelo teórico

adotado e sua modelagem matemática. O capítulo 4 apresenta a aplicação

desta metodologia para a valoração de um projeto de concessão rodoviária

no Brasil e seus resultados. No capítulo 5 mostramos as conclusões e propõe

extensões para pesquisa futura. O capítulo 6 apresenta os apêndices técnicos

e referências bibliográficas.

2 Revisão da Literatura

2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD)

Em mercados completos, podemos determinar o valor de um projeto

pelo método do FCD, observando o preço de mercado de um conjunto de

investimentos financeiros que repliquem os fluxos de caixa futuros do

projeto em todos os estados da natureza e em todos os períodos futuros. Para

assegurar o direito aos fluxos de caixa futuros, o gerente então estaria

indiferente entre adquirir o projeto ou os ativos financeiros que compõe este

portfólio replicante, já que ambos produzem exatamente os mesmos fluxos

de caixa. Em conseqüência disso, pelo princípio da não arbitragem, ambos

terão necessariamente o mesmo valor.

Por outro lado, os custos de cada um desses investimentos podem ser

diferentes. Num mercado de ativos financeiros eficiente, não é possível criar

valor adquirindo este portfólio, pois o seu custo será sempre igual ao seu

valor, e conseqüentemente, o seu VPL será zero. Já o mercado de ativos

reais não é eficiente, e a empresa poderá criar valor se puder comprar os

direitos aos fluxos de caixa futuros através de um projeto que tenha um

custo menor do que o do seu portfólio replicante, e conseqüentemente, VPL

positivo. Uma empresa pode então criar valor para seus acionistas se ela

consegue gerar essas oportunidades de arbitragem entre os mercados de

ativos reais e os mercado de ativos financeiros.

Em condições de incerteza em mercados incompletos, haverá sempre

um erro (“tracking error”) oriundo da diferença entre os fluxos do portfólio

replicante e os do projeto, a não ser em alguns casos especiais como em

alguns projetos de extração mineral onde os fluxos do projeto podem ser

perfeitamente replicados por um portfólio de contratos futuros da

commodity e investimentos em ativos sem risco. Nesses casos, algumas

alternativas existentes para avaliar um projeto de risco pelo método do FCD

são a de descontar os fluxos futuros esperados a uma taxa ajustada ao risco,

20

descontar os Equivalente Certos dos fluxos de caixa futuros à taxa livre de

risco, ou utilizar Probabilidades Neutras a Risco para descontar os fluxos de

caixa futuros à taxa livre de risco.

2.1.1. Taxa Ajustada ao Risco (CAPM)

A taxa de desconto apropriada ao risco do projeto é determinada

através do CAPM, sendo o ajuste ao risco feito no denominador. O Valor

Presente nesse caso é dada por:

( ) k t

o

VP E C t e dt∞

−= ∫ onde ( )f m fk R E R Rβ = + − e

( )C t = Fluxos de Caixa futuros no instante (t).

ou, em tempo discreto:

( )

( )( )1

( )

1

n

it

f m f

E C tVP

R E R Rβ=

= + + −

∑ (2.1)

2.1.2. Equivalente Certo

O ajuste ao risco pode também ser feito no numerador, substituindo-se

o Fluxo de Caixa Esperado pelo seu Equivalente Certo (EC) e descontando-

se este à taxa livre de risco. Começando pelo retorno no modelo

uniperiódico, temos:

( )1 j

E CVPk

=+

e 1CkVP

= − e também

( )( )

( )( )

cov , cov ,1var var

m mj

m m

k R C R

VPR Rβ = =

Substituindo a expressão de β em (2.1), ficamos com:

( )( )( ) ( )

cov ,11var

mf m f

m

E CVP

C RR E R R

VP R

=

+ + −

21

( ) ( )cov ,

(1 )m

f

E C C RVP

R

λ− ⋅=

+ onde

( )( )var

m f

m

E R R

Rλ

−=

para chegarmos a:

( )(1 )f

EC CVP

R=

+ (2.2)

onde ( ) ( ) ( )cov , mEC C E C C Rλ= − ⋅

O Valor Presente é determinado descontando-se o Equivalente Certo à

taxa livre de risco. No caso de commodities negociados em mercados

futuros, os preços futuros de mercado são os equivalentes certos do valor

destas commodities. Em projetos cujos fluxos de caixa futuro sejam

perfeitamente correlacionados com o valor destas commodities, podemos

achar o seu valor simplesmente utilizando estes preços futuros diretamente e

descontando-os à taxa livre de risco. No caso de um investidor avesso a

risco, o Valor Esperado do Fluxo de Caixa ( )E C é substituído pelo seu

Valor Esperado da Utilidade do Fluxo de Caixa ( )EU C , onde a função

utilidade U(.) reflete a aversão a risco do investidor.

2.1.3. Probabilidades Neutras a Risco

O ajuste ao risco pode também ser feito nas probabilidades de

mercado atribuídas aos diversos estados da natureza. Esse método é

simplesmente uma aplicação do princípio da não arbitragem, em que os

preços dos ativos devem ser consistentes de forma que seja impossível

auferir lucros sem correr risco. Dessa forma, sempre existirá uma

distribuição neutra a risco em relação a qual o retorno esperado de qualquer

ativo é à taxa livre de risco. Isso foi primeiro constatado por De Finetti

(1937) na década de 30 e posteriormente por Arrow (1950). Em mercados

completos, onde o número de ativos linearmente independentes é igual ou

maior do que o número de estados, as distribuições de probabilidades

neutras a risco e o preço dos ativos têm solução única. Em mercados

22

incompletos, a distribuição neutra a risco não tem solução única, mas é

composta de um conjunto de distribuições que determinam os limites

superior e inferior de preços dos ativos. No caso de um projeto em que o

investimento necessário representa uma parcela significativa da riqueza (ou

do orçamento de investimento de uma empresa), a distribuição de

probabilidades neutra a risco em mercados incompletos pode ser

determinada através da sua função utilidade e probabilidades subjetivas.

Infelizmente essas ferramentas não nos dão o valor de mercado do projeto,

mas apenas um valor que leva em conta a aversão a risco de um

determinado investidor.

Segundo Smith & Nau (1993), uma alternativa utilizada é a de separar

os riscos do projeto em riscos de mercado (riscos que podem ser replicados

por um portfólio de títulos de mercado) e riscos privados (riscos que não

podem ser replicados no mercado), Para o primeiro caso, é considerado que

o mercado é completo, e para o segundo caso, pode ser desenvolvida uma

função utilidade que leve em conta a aversão a risco do investidor, a partir

do qual se determina o Equivalente Certo, que é então descontado à taxa

livre de risco.

2.1.4. Limitações do Método do Fluxo de Caixa Descontado

Como a maioria das ferramentas utilizadas para valoração de ativos, o

método do FCD foi desenvolvido para valorar ativos financeiros como

títulos e ações. Lemme (2000) identifica alguns dos problemas decorrentes

da aplicação deste método para ativos reais: (Tabela 1)

23

Ativos Financeiros Ativos Reais Comentário

Divisibilidade Indivisibilidade Projetos não são divisíveis ;valor do controle faz com que o todo não corresponda a soma das partes

Repetição de Eventos Eventos únicos Não replicabilidade reduz utilidade de medidas estatísticas

Alta liquidez Baixa Liquidez Baixa liquidez aumenta o risco

Baixo custo de transação

Alto custo de transação Viola premissa do CAPM

Informações amplamente difundidas

Assimetria de informação entre investidores

Permite ganhos de arbitragem

Existe Mercado Ausência de Mercado Sem preço de mercado

Risco de Mercado Risco de Mercado e Risco Privado

Risco Privado não correlacionado com o Mercado

Curto Prazo Longo Prazo Tempo para expiração

Tabela 1 – Diferenças entre Ativos Financeiros e Ativos Reais

Além desses, outra característica importante é que ativos financeiros

são investimentos tipicamente passivos onde o preço é determinado pelo

mercado e independe de qualquer ação que um investidor individual possa

tomar. Embora isso possa ser verdade no caso de alguns ativos reais,

certamente não o é para muitos outros que apresentam flexibilidade

operacional e interações estratégicas com outros projetos. Deparado com

uma incerteza futura a respeito do nível de preços ou de demanda do

mercado, o método do FCD atribui probabilidades a cada um dos estados

possíveis e calcula o Valor Esperado desta incerteza. Dessa forma, o método

do FCD avalia o projeto apenas com as informações disponíveis no instante

zero. Na prática, ao tomar conhecimento na época futura do real nível de

preço e de demanda, o gerente pode ajustar a sua produção e/ou estratégia

empresarial a realidade do mercado para maximizar o seu lucro ou para

minimizar o seu prejuízo. O importante é notar que a operação do projeto, e

conseqüentemente, os seus fluxos de caixa futuros, podem ser alterados em

função de decisões gerenciais à medida que esse futuro for se revelando,

fato esse que é desconsiderado no método do FCD.

Dessa forma, o gerente de uma empresa que investe em um ativo real

como um projeto de investimento que apresente flexibilidade gerencial, tem

a responsabilidade de administrar e operar este investimento visando

maximizar o valor para os acionistas. Para tanto, ele tem a flexibilidade de

24

escolher entre diferentes estratégias de investimento e operacionais e tomar

decisões que afetarão os fluxos de caixa futuros deste projeto, e

conseqüentemente, o seu valor. Nestas condições, o método tradicional do

FCD é falho porque não captura o valor que essa flexibilidade gerencial traz

para o projeto ao assumir que o projeto é gerenciado de forma estática, e

não dinâmica. A premissa implícita no método do FCD é que a taxa de

desconto e o Valor Esperado dos fluxos de caixa futuros são conhecidos, e

que o projeto será iniciado imediatamente. Ao considerar que projetos de

investimento são operados de forma passiva, sem nenhuma interferência ou

flexibilidade gerencial após o seu início, o método do FCD ignora o valor de

opção existente nessa oportunidade de investimento, e pode levar a decisões

de investimento não ótimas.

2.2. Método das Opções Reais

Para que um projeto apresente valor de opção, três condições são

necessárias: que o investimento seja total ou pelo menos parcialmente

irreversível, que exista flexibilidade suficiente no projeto que permita ao

gerente operar o projeto de forma diferenciada (adiando, suspendendo,

ampliando, abandonando, etc.) dependendo do estado da natureza que venha

a ocorrer no futuro, e que exista incerteza sobre o nível dos fluxos de caixa

futuros que este projeto poderá gerar. O motivo disso é que uma empresa

que está considerando uma oportunidade de investimento é detentora de

uma opção de compra: ela tem o direito, mas não a obrigação de investir

num projeto num tempo futuro. Ao realizar o investimento, a empresa perde

a opção de adiar e de levar em conta novas informações que possam afetar a

sua decisão de investimento. Assim, tomar uma decisão de investimento

irreversível tem um custo de oportunidade que precisa ser considerado para

avaliarmos corretamente a decisão de investimento. Dessa forma, podemos

observar que existe valor mesmo que a empresa não tenha ainda realizado o

investimento: esse valor é o valor da opção de investir. Se esse valor é

perdido uma vez que o projeto é realizado, então o valor do projeto deve

cobrir não apenas o custo do seu investimento inicial, mas também o custo

de oportunidade da opção de investir.

25

Embora acadêmicos e executivos de empresas soubessem desde há

muito que projetos apresentam valor de opção, não existia uma metodologia

quantitativa que permitisse a sua valoração. Via de regra, esses valores são

incorporados através de análises qualitativas e subjetivas sob o titulo

genérico de “Valor Estratégico”, e a decisão tomada ignorando-se os valores

obtidos pelo método do FCD. Os problemas com esta metodologia são

vários:

1. Sendo subjetivos, esses ajustes são difíceis de terem a sua

consistência ou acerto verificados, ficando a sua determinação na

dependência da intuição do gerente responsável.

2. A presença de opções altera o risco do projeto, tornando difícil

determinar qual a taxa de desconto apropriada no caso.

Um dos primeiros trabalhos a abordar as limitações do método do

FCD foi Robichek & Van Horne (1967) que analisou a opção de abandono

de um projeto e concluiu que a análise tradicional não incorpora esse valor.

Embora as suas conclusões estivessem corretas, a sua função de valoração

estava incorreta, pois não incorporava os métodos de valoração de opções

que só seriam desenvolvidos anos mais tarde por Black, Sholes e Merton

(1973). Assim, foi apenas com o desenvolvimento da Teoria das Opções

Reais nos últimos vinte anos que se pode estabelecer uma metodologia para

se quantificar estes valores (Pindyck & Dixit, 1994).

Diversos trabalhos pioneiros abriram o caminho para a aplicação a

ativos reais dos conceitos desenvolvidos por Black & Scholes (1973) e

Merton (1974) para opções financeiras. Tourinho (1979) utilizou o conceito

de opção para avaliar uma reserva de recursos naturais não renováveis com

incerteza de preço; Brenann & Schwartz (1985) analisaram a política

operacional ótima de uma mina de cobre; McDonald e Siegel (1986)

determinaram o timing ótimo para se investir num projeto que demande

investimentos irreversíveis e cujos custos e benefícios sejam representados

por processos estocásticos de tempo contínuo. Nesse trabalho, verificaram

que este custo de oportunidade, não capturado pelo método do FCD, pode

assumir valores significativamente maiores que o investimento original no

26

projeto. Dixit e Pindyck (1994) e Trigeorgis (1995) foram os primeiros a

sintetizar diversas destas idéias em um único texto.

Quando existem significativas flexibilidades gerenciais como a de

adiar, abandonar, expandir, suspender ou retomar um projeto com

investimento irreversível em condições de incerteza, o método das opções

reais pode levar a valores substancialmente maiores que os determinados

pelo método do FCD. A implicação disso é que o método do FCD tende a

subestimar projetos que apresentem valor de opção.

2.2.1. Opções Reais em Mercados Completos

A literatura a respeito da aplicação da Teoria das Opções Reais em

mercados completos é bem extensa, sendo Dixit e Pindyck (1994),

Trigeorgis (1995), Brennan e Schwartz (1985), MacDonald e Siegel (1986)

alguns dos autores mais representativos. O fundamento teórico é o mesmo

aplicado as opções financeiras, e como tal, parte do princípio da não

arbitragem para determinar que o valor de um projeto é idêntico ao de um

portfólio dinâmico de mercado que replique perfeitamente as características

estocásticas desse projeto. Dado que o detentor do projeto tem direito a

exatamente o mesmo fluxo de caixa que o detentor deste portfólio, o valor

do projeto será o mesmo que o valor de mercado deste portfólio replicante,

pois qualquer diferença porventura existente daria margem a ganhos de

arbitragem. A premissa básica neste caso é de que existe no mercado um

número suficiente de ativos linearmente independentes que possibilite a

estruturação deste portfólio replicante. Nesse sentido, diz-se que o mercado

é completo, sendo que esta é uma premissa largamente utilizada na

avaliação de Opções Reais, e é o que torna possível a avaliação neutra a

risco. Tipicamente neste caso, o problema é resolvido por Contingent

Claims Analysis.

2.2.2. Opções Reais em Mercados Incompletos

Quando não é possível montar um portfólio de ativos que mapeie as

mudanças estocásticas do projeto, ou quando a correlação entre o projeto e o

27

portfólio de mercado é menos do que perfeita, diz-se que o mercado é

incompleto. Um dos principais problemas que ocorrem nesse caso é a

determinação da taxa de desconto apropriada para o projeto, uma vez que

não podemos, neste caso, utilizar a avaliação neutra a risco.

Dixit e Pindyck (1994) propõe o uso de Programação Dinâmica para a

solução destes casos, através da aplicação da Equação de Bellman, que

estabelece que o valor de um investimento é a soma do valor auferido em

um pequeno intervalo de tempo, acrescido do Valor Esperado de todos os

fluxos de caixa futuros, descontados a uma taxa de risco e considerando-se

que todas as decisões futuras são ótimas. O problema deste método é que ele

pressupõe uma taxa de desconto exógena arbitraria. Dixit e Pindyck

afirmam que sem mercados completos não existe uma teoria para determinar

o valor correto para a taxa de desconto, dado que nesse caso o CAPM não

pode ser utilizado para calcular a taxa de desconto ajustada ao risco da

maneira usual. Dessa forma, apenas na condição de neutralidade ao risco a

Programação Dinâmica dará os mesmos resultados que o CCM.

Copeland e Antikarov (2001) propõe que se adote o Valor Presente do

projeto sem nenhuma opção, com a taxa de desconto calculada de acordo

com o CAPM, como numa avaliação pelo método do FCD tradicional, como

o seu valor de mercado. Isso permitiria a utilização do próprio projeto como

o ativo básico do portfólio replicante (o outro seria um investimento sem

risco), ou seja, como o seu ativo básico do projeto com opções. A esta

premissa ele dá o nome de Marketed Asset Disclaimer (MAD). A utilização

do próprio projeto como o seu ativo básico e parte do seu portfólio

replicante torna o mercado completo para este projeto, garante uma perfeita

correlação entre o projeto e este portfólio replicante, e permite o uso da

condição de neutralidade ao risco para a solução do problema de valoração.

Smith e Nau (1993) fazem uma distinção entre o risco de mercado de

um projeto, para qual o mercado é completo, e o seu risco privado, para o

qual o mercado é incompleto. Os riscos correlacionados com o mercado

permitem a montagem de um portfólio replicante e o hedge desse risco, que

por ser tratar de um risco sistemático, não pode ser diversificado pelo

investidor. O risco privado não é correlacionado com o mercado, portanto,

não pode ser hedgeado, mas por ser um risco não sistemático, pode ser

28

diversificado pelo investidor. Os autores propõem que a função utilidade do

investidor seja utilizada para se determinar o Equivalente Certo do risco

privado, descontando-o em seguida pela taxa livre de risco.

2.2.3. Contingent Claims Analysis

A premissa fundamental no Contingent Claims Analysis é que o

mercado seja suficientemente completo para que as mudanças estocásticas

no valor do investimento possam ser replicadas através de um portfólio

dinâmico de ativos, cujo preço seja perfeitamente correlacionado com o

valor do projeto. Uma vez feito isso, podemos utilizar a avaliação neutra a

risco para resolver o problema. Caso se queira ainda saber qual a taxa de

desconto apropriada para o projeto, basta observar no mercado o retorno do

portfólio replicante, embora isso não seja necessário para a determinação do

valor do projeto.

Seja V(x,t) o valor de mercado de uma empresa que terá um fluxo de

lucro futuro C (x,t), onde x é uma variável de estado do preço do seu

produto e µ o retorno deste ativo, onde µ = α + δ = ganho de capital +

dividendos. Assumindo que este produto é negociado no mercado e que seu

preço x segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB), temos:

dx = α x dt + σ x dz (2.3)

onde dz é o incremento de processo de Wiener. Podemos montar um

portfólio composto de um investimento unitário em um ativo sem risco e n

unidades do ativo produzido pela empresa a um custo total de (1 + nx). Num

período de tempo dt o retorno deste portfólio será o retorno do investimento

no ativo sem risco, r dt, dividendos auferidos de n x δ dt e um ganho de

capital de n dx = nα x dt + nσ x dz. Dessa forma, a taxa de retorno deste

portfólio replicante será dada por:

( )( )1

r nx dt nxdznx

α δ σ+ + ++

.

29

O projeto tem um valor de V(x,t) e um retorno instantâneo de C(x,t)

dt, além de um ganho de capital de dV(x,t). Expandindo dV(x,t) pelo Lema

de Itô chegamos a 2 21

2( , )( , ) ( , )

t x xx xC x t V V x V x V xdt dzV x t V x t

α σ σ+ + ++ . Por

definição, ambos investimentos devem apresentar o mesmo risco e o mesmo

retorno, e igualando os termos ficamos com um sistema com duas equações:

2 212

1 ( , )( , )( )

1 ( , )

x

t x xx

V xnxnx V x t

C x t V V x V xr nx dt dtnx V x t

α σα δ

= +

+ + ++ + = +

A resolução deste sistema nos dá a equação diferencial parcial para o

valor do projeto: (Uma análise mais detalhada desta metodologia pode ser

encontrada em Dixit & Pindyck (1994)).

2 212 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0xx x tx V x t r xV x t V x t rV x t C x tσ δ+ − + − + = (2.4)

A mesma conclusão pode ser obtida montando-se um portfólio livre

de risco composto da firma e na venda a curto de n unidades do ativo

produzido pela empresa, onde n é determinado de forma a obrigar este

portfólio a não ter risco.

φ1+ = V1

+ - nx1+

φ0 = V - nx

φ1- = V1

- - nx1-

dφ = dV – n dx

Desenvolvendo dV por Itô, chegamos a:

( ) ( )2 212t x xx xd V V x V x n x dt V n xdzφ α σ α σ= + + − + −

30

Para eliminar o risco do portfólio fazemos 0xV n− = e xn V= .

Como este portfólio é livre de risco, o seu retorno livre de risco tem que ser

igual ao seu retorno total, e ficamos então com rφ dt = dφ + C(x,t) dt - δ

Vx x dt. Substituindo os valores de φ e dφ chegamos com a mesma

equação (2.4) derivada anteriormente:

2 212 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0xx x tx V x t r xV x t V x t rV x t C x tσ δ+ − + − + = (2.5)

O valor das opções reais do projeto é determinado estabelecendo-se

condições de contorno especificas para o tipo de opção em consideração.

2.2.3.1. Duas variáveis estocásticas lognormais

O nível de complexidade aumenta substancialmente quando

incorporamos mais de uma incerteza no projeto. Seja V(x,y,t) o valor de um

projeto com duas variáveis estocásticas, que gera um fluxo de caixa C(x,y,t)

ao longo de toda a sua vida útil. Assumimos que o mercado é

suficientemente completo que possibilite a montagem de um portfólio de

ativos de mercado que repliquem as características estocásticas do projeto e

utilizamos o método de Contingent Claims Analysis para resolver o

problema. Caso o mercado não seja completo, recorremos ao método da

Programação Dinâmica para a sua solução, adotando uma taxa de desconto

exógena ρ. Assumindo que x e y seguem uma MGB, temos:

x x x

y y y

dx xdt xdzdy ydt ydz

α σα σ

= + = +

2 2

0

( ) ( ) . ( )( ) ( ) ( )

Var dz Var dt dt Var dtVar dz E dz E dz dt

ε ε= = =

= − =

Assim temos 2 2( ) ( )x yE dz E dz dt= = e

( , ) ( . ).x y

x y

x y x ydz dz

dz dz

Cov dz dz E dz dzdt

ρ ρσ σ

= = =

31

( . )x yE dz dz dtρ=

Montamos a seguir um portfólio livre de risco φ com duas posições curtas,

uma para cada variável aleatória.

φ = V – mx – ny

dφ = dV – mdx – ndy onde

2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2

1 1 12 2 2

+

V V V V V VdV dx dy dt dx dy dtx y t x y t

V V Vdxdy dxdt dydtx y x t y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Eliminando os termos em dt2 e mudando a notação:

2 21 12 2x y t xx yy

xy xt yt

dV V dx V dy V dt V dx V dy

V dxdy V dxdt V dydt

= + + + + +

+ + + (2.6)

Mas

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2

0 0 0

, 0x y

x x x y y y

x y x y y y x x x y x y

dx x dt dy y dt e dt

dxdy xdt xdz ydt ydz

dxdy xydt xydz dt xydz dt xydz dz

σ σ

α σ α σ

α α α σ α σ σ σ

= = =

= + +

= + + +

x y x y

x y

dxdy xy dz dzdxdy xy dt

σ σ

σ σ ρ

=

=

0dxdt dydt= =

Substituindo em (2.6) ficamos com:

( ) ( )

2 2 2 21 1 +2 2

x x x x y y y y t

xx x yy y xy x y

dV V xdt xdz V ydt ydz V dt

V x dt V y dt V xy dt

α σ α σ

σ σ σ σ ρ

= + + + + +

+ +

Substituindo em dφ:

32

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

12

12

x x x x y y y y t xx x

yy y xy x y x x x y y y

d V xdt xdz V ydt ydz V dt V x dt

V y dt V xy dt m xdt xdz n ydt ydz

φ α σ α σ σ

σ σ σ ρ α σ α σ

= + + + + + +

+ + − + − +

2 2 2 2

( )( ) ( )( )1 1 2 2

x x x x y y y y t

xx x yy y xy x y

d V m xdt xdz V n ydt ydz V dt

V x dt V y dt V xy dt

φ α σ α σ

σ σ σ σ ρ

= − + + − + + +

+ + +

Como queremos que este portfólio seja sem risco, eliminamos os

termos estocásticos, o que conseguimos fazendo m = Vx e n = Vy.

Assim, ficamos com:

2 2 2 21 12 2t xx x yy y xy x yd V dt V x dt V y dt V xy dtφ σ σ σ σ ρ= + + +

Para evitar ganhos de arbitragem, o retorno deste portfólio sem risco

durante um espaço curto de tempo dt deverá ser (r φ dt). Por outro lado, os

ganhos com este ativo durante o mesmo período de tempo dt são o ganho de

capital (dφ), o fluxo de lucros C(x,y,t)dt, menos o custo de se manter a

posição curta deste portfólio, (m δ x x + n δ y y) dt. Igualando estes dois

retornos temos:

( )

( )

( , , )

( , , ) ( , , )x y

x y

x y x x y y

r dt d C x y t dt mx dt ny dt

r V x y t mx ny dt d C x y t dt mx dt ny dtdr V V x V y C V x V ydt

φ φ δ δ

φ δ δ

φδ δ

= + − −

− − = + − −

− − = + − −

( ) 2 2 2 21 12 2

x y t xx x yy y xy x y

x x y y

r V V x V y V V x V y V xy

C V x V y

σ σ σ σ ρ

δ δ

− − = + + + +

+ − −

2 2 2 21 1 ( ) ( )2 2 ( , , ) ( , , ) 0

xx x yy y xy x y x x y y

t

V x V y V xy r V x r V y

rV x y t V C x y t

σ σ σ σ ρ δ δ+ + + − + − −

− + + = (2.7)

A equação (2.7) fornece a função valor de um projeto sujeito a duas

fontes de incertezas estocásticas lognormais. Essa equação não tem solução

analítica, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para a sua solução.

33

No caso em que os mercados não forem completos para o projeto e não for

possível montar o seu portfólio replicante, a sua solução deve ser feita pelo

método da Programação Dinâmica, onde a taxa de desconto do projeto é

exogenamente arbitrada, conforme apresentado em 2.2.4.

2.2.4. Programação Dinâmica

O método dos ativos contingenciais requer que os mercados sejam

completos. Quando este não é o caso, uma solução utilizada é o método da

programação dinâmica, onde se adota uma taxa de desconto exógena ρ e o

problema de valoração é dividido em duas partes: a decisão imediata e uma

função de valoração que engloba as conseqüências de todas as decisões

subseqüentes. Uma vez modelado desta forma, a solução do problema é

obtida a partir da otimização estática do último período, e voltando-se deste

ponto final até o instante inicial, considerando-se que sempre serão tomadas

decisões ótimas em cada período a partir das informações existentes naquela

instante. Assim o valor de todas as oportunidades ótimas de investimento

será:

0 0 0 11max , ( )

1F V I E F

r = − +

A Programação Dinâmica pode ser expressa através da Equação Geral

de Bellman, onde ut é a variável de controle utilizada para maximizar o

valor do projeto, e Ct (xt, ut) é o fluxo de lucros no instante t.

[ ]1 11( ) max ( , ) ( )

1t

t t t t t t t tu

F x C x u E F xρ + +

= + +

Quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero e o tempo é contínuo, a

equação de Bellman, pode ser escrita como:

[ ]1( , ) max ( , , )u

F x t C x u t E dFdt

ρ = +

34

Se a variável aleatória x segue um processo de Itô na forma de

( , , ) ( , , )dx a x u t dt b x u t dz= + , temos:

21

2( , ) max ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )t x xxu

F x t C x u t F x t a x u t F x t b x u t F x tρ = + + +

No caso do problema de parada ótima, a equação se reduz a:

1( , ) max ( , ), ( , ) ( , )1

F x t x t C x t dt E F x dx t dt xdtρ

= Ω + + + +

onde Ω(x,t) é o benefício obtido exercendo-se a opção de abandono

(payoff terminal). Na região de continuação, o segundo termo do lado

direito da equação é o maior dos dois, por definição, portanto o payoff

terminal será ignorado e a expressão simplifica para:

1( , ) ( , ) ( , )1

F x t C x t dt E F x dx t dt xdtρ

= + + + +

Expandindo pelo Lema de Itô, após alguma álgebra chegamos a:

21

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0xx x tb x t F x t a x t F x t F x t F x t C x tρ+ + − + = (2.8)

Esta é a equação diferencial que satisfaz a Função de Valoração do

projeto na região de continuação, onde a segunda parcela da equação de

Bellman é maior do que a primeira, Ω(x,t), e vale para x > x*(t). Para

valores menores que x*(t), Ω (x,t) é maior, portanto vale mais a pena parar.

Podemos notar que se fizermos a(x,u,t) = α x e b(x,u,t) = σ x e lembrando

que α = r – δ e que em Programação Dinâmica arbitramos uma taxa de

desconto exógena ρ ao invés da taxa livre de risco r, verificamos que a

equação acima é a mesma equação (2.4) obtida pelo método de Contingent

Claims Analysis.

35

2.2.5. Decision Tree Analysis (DTA)

As limitações do método do FCD podem ser superadas também com o

uso de modelos de árvore de decisão. Com DTA, a flexibilidade gerencial é

modelada em tempo discreto através de instantes de decisão futuros que

permitem ao gerente maximizar o valor do projeto condicionado às

informações disponíveis naquele instante, quando diversas incertezas

possivelmente já foram resolvidas. Dessa forma, a presença da flexibilidade

gerencial embutida nos nós de decisões futuras permite que se modele um

processo de gerenciamento ativo do projeto. Essa modelagem, no entanto,

altera os fluxos de caixa futuros esperados, e conseqüentemente, as

características de risco do projeto. O desvio padrão dos fluxos de caixa do

projeto com flexibilidade não é o mesmo do projeto sem flexibilidade. Isso

faz com que a taxa de desconto ajustada ao risco determinada inicialmente

para o projeto sem flexibilidade, não possa ser utilizada para a determinação

do valor do projeto com opções reais.

Esse problema pode ser resolvido com o uso de probabilidades neutras

a risco, conforme demonstrado a seguir. Seja S0 o valor do projeto sem

flexibilidade e SS1+ e S1

- os fluxos de caixa esperados após um período nos

dois estados da natureza possíveis. Seja F0 o valor do projeto com

flexibilidade. (Figura 1)

S1+ F1

+

S0 F0

S1- F1

-

Figura 1 – Projeto com dois estados da natureza

Vamos supor ainda que p seja a probabilidade neutral a risco de S0.

Isso implica que p é a probabilidade que dá o valor do ativo básico quando

descontamos os fluxos de caixa futuros à taxa livre de risco.

p S1+

S0

1-p S1-

36

Então 0 11 10

1 1

(1 )(1 )1

S r SpS p SS pr S S

−+ −

+ −

+ −+ −= ⇒ =

+ − (2.9)

Montamos um portfólio sem risco (Φ) composto do projeto com

flexibilidade e n posições vendidas de S. Ao final de um período, os valores

possíveis para este portfólio serão: (Figura 2)

Φ1+ = F1

+ – n S1+

Φ0 = F0 – n S0

Φ1- = F1

- – n S1-

Figura 2 – Portfólio livre de Risco

Como este portfólio é sem risco, podemos fazer:

Φ1+ = Φ1-

F1+ – n S1

+ = F1- – n S1

-

n (S1+ – S1

-) = F1+ – F1

-

1 1

1 1

F FnS S

+ −

+ −

−=

−

Para evitar ganhos de arbitragem, um investimento sem risco tem

necessariamente que retornar a taxa livre de risco:

10 1 r

+ΦΦ =

+

1 10 0

1 1 00

1(1 )

1

F nSF nSr

F nS nS rFr

+ +

+ +

−− =

+− + +

=+

Substituindo o valor de n, após alguma álgebra chegamos a:

( ) ( )1 11 0 1 0 1

1 1 1 10

(1 ) (1 )

1

F FF S r S S r SS S S SF

r

+ −+ − +

+ − + −+ + − − + −− −

=+

37

1

0 1 1 01 1

1 1 1 10

(1 ) (1 )

1

p p

S r S S S rF FS S S S

Fr

−

− ++ −

+ − + −

+ − − ++ − − =+

Então:

1 10

(1 )1

pF p FFr

+ −+ −=

+ (2.10)

A equação (2.10) mostra que podemos determinar o valor do projeto

com opções (F0) utilizando probabilidades neutras a risco determinadas para

o projeto sem opções conforme equação (2.9), e descontando o valor

esperado destes fluxos de caixa através da taxa livre de risco.

2.2.6. O Modelo Binomial

A distribuição de probabilidade lognormal contínua pode ser

modelada através de uma árvore binomial discreta. De acordo com o modelo

primeiramente desenvolvido por Cox, Ross and Rubinstein (1979), a cada

passo o preço (S) é multiplicado por uma variável aleatória que pode tomar

dois valores, u ou d. (Figura 3) Su 3

Su 2

Su d

Su d 2

Su 2dSu

S d 2

S d 3

S d

S

Figura 3 – Modelo de Cox, Ross e Rubinstein

Para que essa representação emule uma distribuição lognormal, é

necessário escolher valores apropriados para u, d e a probabilidade p, de

forma que a média (µ) e a variância (σ2) dos retornos de S sejam os mesmos

que os parâmetros do Movimento Geométrico Browniano (MGB) de S,

38

dS S dt S dzµ σ= + . Definindo 1 0v tS S e ∆= , temos ( )1 0ln /v t S S∆ = . Para

simplificar, assumimos que S0 = 1 e ficamos com 1lnv t E S ∆ = .

Após um período, S1 assumirá o valor Su ou Sd. Da mesma forma, o

retorno ( )v nesse período será ( )ln / lnSu S u= ou ln d, com probabilidade

p e (1-p) respectivamente, conforme ilustrado na Figura 4.

Su

S

p

1 - pSd

υ+ = ln (Su/S) = ln up

1 - pυ- = ln (Sd/S) = ln d

Figura 4 – Modelo Binomial de um Período

O Valor Esperado e a Variância destes retornos serão respectivamente

1ln ln (1 ) lnE S p u p d = + − e ( )21ln (1 ) ln lnVar S p p u d = − − . É

sabido que os retornos de uma distribuição lognormal têm distribuição

normal. Assim, temos lnd S dv vdt dzσ= = + e ficamos com:

1

21

ln

ln

E S v t

Var S tσ

= ∆ = ∆

Igualando esses valores às fórmulas determinadas anteriormente,

ficamos com:

ln (1 ) lnv t p u p d∆ = + − (2.11)

( )22 (1 ) ln lnt p p u dσ ∆ = − − (2.12)

Temos um grau de liberdade uma vez que temos três incógnitas e

apenas duas equações. Fazendo ln u = - ln d, ou seja, u = 1/d temos:

(2 1) lnv t p u∆ = − (2.13)

( )22 (1 )4 lnt p p uσ ∆ = − (2.14)

39

Fazendo (2.13)2 + (2.14) obtemos ( )2 2 2 2ln u v t tσ= ∆ + ∆ .

Substituindo em (2.13) chegamos a:

2

2

1 1 12 2

1p

v tσ

= +

+∆

Substituindo o valor de p em (2.13) obtemos o valor de ln u:

2 2

ln1 1 12 12 2 1

v tu

v tσ

∆=

+ −

∆ +

2 2 2

2 2 2

ln

ln

u v t t

d v t t

σ

σ

= ∆ + ∆

= − ∆ + ∆

2 2 2

2 2 2

v t t

v t t

u e

d e

σ

σ

∆ + ∆

− ∆ + ∆

=

= onde

2

2v σ

µ= −

Para valores pequenos de ∆t, essas fórmulas podem ser simplificadas

para:

1 12 2

vp tσ

= + ∆ (2.15)

tu eσ ∆= (2.16)

td e σ− ∆= (2.17)

Essas fórmulas estão apresentadas em função dos parâmetros dos

retornos da variável lognormal. (v e σ são o valor esperado e o desvio

padrão dos retornos). Podemos também definir o valor de p em função da

própria variável lognormal:

[ ][ ]

0

0 0(1 )

tT

T

E S S e

E S pS u p S d

µ=

= + −

0 0 0(1 )(1 )

t

t

S e pS u p S de pu p d

µ

µ

= + −

= + −

.te dp

u d

µ −=

− (2.18)

3 Modelo Teórico

O modelo teórico adotado é baseado em três premissas. A primeira é

que o Valor Presente do projeto sem flexibilidade é o melhor estimador não

tendencioso do seu valor de mercado (Copeland & Antikarov, 2001). Essa

premissa faz com que possamos considerar o mercado completo para o

projeto, e conseqüentemente, permite a utilização de um portfólio replicante

e do princípio da não arbitragem para determinar as probabilidades neutras a

risco do projeto da forma usual em mercados completos. A segunda

premissa é que a as variações no valor do projeto seguem um “random

walk”, o que implica que podemos modelar o processo estocástico do valor

do projeto através de um Movimento Geométrico Browniano. A terceira é a

de que podemos separar os riscos de mercado dos riscos privados de um

projeto, dando tratamento diferenciado a estas duas fontes de incerteza. As

considerações a respeito da validade e do impacto destas premissas será

analisada posteriormente.

3.1. Determinação da Taxa de Desconto em Mercados Incompletos

A aplicação dos métodos usuais de avaliação de opções reais como

Contingent Claims Analysis e Programação Dinâmica apresentam, na

prática, algumas limitações. A primeira é que, exceto em alguns casos muito

especiais, de um modo geral os mercados são incompletos para a grande

maioria dos projetos, o que invalida o uso do Contingent Claims Analysis.

Por exemplo, uma empresa que esteja analisando a oportunidade de investir

na prestação de serviços de atendimento ao cliente através de um “call

center” terá dificuldade de encontrar ativos de mercado que repliquem as

características de risco deste investimento. Se o investimento for numa

fábrica de sapatos, a dificuldade será a mesma, uma vez que não existe

mercado futuro para serviços de atendimento nem sapatos.

41

Segundo, mesmo quando estas condições ideais ocorrem, é

extremamente difícil determinar um portfólio de mercado que possua uma

perfeita correlação com os risco do projeto. A solução tradicional de assumir

que a volatilidade do projeto é igual à de uma commodity negociada em

mercado nem sempre é verdadeira, pois ignora o fato de que o projeto pode

ter outras fontes de incerteza além do preço que podem afetar essa

correlação. Por fim, a atribuição da taxa de desconto exógena (ρ) no método

da programação dinâmica não é derivada de considerações de equilíbrio de

mercado, mas apenas reflete a avaliação subjetiva de risco do investidor, e

portanto, o valor encontrado para o ativo não pode ser considerado um preço

de mercado. Dixit & Pindyck (1994), pag. 152, afirmam que sem um

portfólio replicante,

“não existe uma teoria para determinar o valor “correto” para a taxa de desconto (ρ) a não ser que façamos premissas restritivas sobre as funções utilidade dos investidores ou gerentes. O CAPM, por exemplo, não seria aplicável, e portanto, não poderia ser utilizado para calcular a taxa de desconto ajustada ao risco da maneira usual”.

O problema aqui levantado, e que limita a utilização dos métodos

mencionados anteriormente é que a existência de flexibilidade gerencial em

projetos de investimento, ou seja, de opções reais, faz com que o risco deste

projeto se altere, uma vez que, agora, o gerente pode escolher exercer estas

opções se o projeto estiver no dinheiro, eliminando desta forma parte do

“downside risk” e/ou maximizando o retorno do projeto. A conseqüência

desta alteração do risco é que a taxa de desconto apropriada para este

projeto também se altera. Dessa forma, mesmo que possamos determinar a

taxa de desconto apropriada para o risco do projeto tradicional, através do

CAPM, por exemplo, com a presença de opções de flexibilidade gerencial o

risco do projeto se altera, e conseqüentemente, a taxa computada pelo

CAPM não é mais válida. Em mercados completos, o portfólio replicante

pode ser rebalanceado para refletir com exatidão os novos fluxos de caixa

decorrentes do projeto e suas opções reais, e ao fazermos isso,

implicitamente estamos buscando no mercado a taxa de desconto atribuída a

este portfólio replicante, e conseqüentemente, ao projeto. Em mercados

42

incompletos, como não é possível estabelecer um portfólio replicante, não

sabemos qual a taxa de desconto a aplicar ao projeto que tenha opções reais.

3.1.1. Premissa Primeira

Copeland e Antikarov (2001) propõem uma alternativa para esse

problema (Marketed Asset Disclaimer – MAD) que envolve a utilização do

CAPM para determinar o valor de mercado do projeto, antes da inclusão das

opções reais. Os autores partem do princípio de que o Valor Presente do

projeto sem as opções, conforme calculado pelo método do FCD tradicional

usando CAPM, é o melhor estimador não tendencioso do valor de mercado

do projeto, caso ele fosse negociado no mercado. Dessa forma, o mercado

implicitamente se torna completo para o projeto com as opções, uma vez

que agora ele pode ser perfeitamente replicado por um portfólio que inclua o

projeto original, sem opções. Os autores têm como argumento final o fato de

que nada pode ser melhor correlacionado com o projeto do que o próprio

projeto. Dessa forma, adotamos a premissa de que uma vez definido o Valor

Presente do projeto original, este é o seu valor de mercado, e o problema

pode então ser resolvido por qualquer um dos métodos tradicionais para

condições de mercado completo.

3.2. O Processo Estocástico do Valor do Projeto

O teorema de Samuelson (1965) mostrou que em mercados eficientes,

onde os investidores têm informações completas sobre as expectativas

futuras dos fluxos de caixa esperados de um ativo, os preços atuais já

refletem toda as informações disponíveis até o momento, e as variações da

taxa de retorno deste ativo serão aleatórias, isto é, seguirão um random

walk. A implicação disso é que como os investidores já têm expectativas a

respeito das flutuações futuras do valor do ativo, essas expectativas já foram

incorporadas nos preços. Se as expectativas se realizarem, os investidores

irão receber exatamente a sua taxa de retorno esperada, e apenas eventos

43

imprevistos, e portanto, aleatórios, podem alterar esses resultados. Assim, as

variações sobre a taxa de retorno esperado também serão aleatórias.

A extensão destes conceitos para o mercado de ativos reais decorre da

aplicação da premissa primeira de que o valor presente de um projeto é o

melhor estimador do seu valor de mercado. Valendo-nos desta premissa,

podemos tratar o projeto como um ativo negociado dentro de um mercado

eficiente, uma vez que existe agora um valor de mercado para ele, que é o

seu valor presente. Assim, consideramos que o processo estocástico deste

ativo real terá comportamento idêntico ao do ativo financeiro de mercado

postulado por Samuelson .

Isso significa que mesmo que os fluxos de caixa de um projeto sejam

crescentes, decrescentes, ou até cíclicos, os seus retornos seguirão um

random walk. Isso será verdade ainda que o projeto esteja sujeito a uma

única fonte de incerteza de reversão a média, contando que essa informação

já esteja disponível no mercado e incorporada ao seu preço atual.

Copeland e Antikarov aplicaram este teorema para o caso de projetos

de investimento, e concluem que qualquer que seja o padrão de evolução

dos fluxos de caixa de um projeto, as variações no seu Valor Presente

seguirão um random walk também. Dessa forma, se os retornos (R) de um

projeto podem ser representados por um random walk na forma de um

Movimento Aritmético Browniano (MAB)1 lnR d x dt dzµ σ= = + , então

podemos concluir que o processo seguido por dx é um Movimento

Geométrico Browniano (MGB) onde 2

2dx xdt xdzσµ σ

= − +

. Essa

premissa permite a combinação de qualquer número de incertezas no

modelo do projeto em uma única incerteza representativa, cujos parâmetros

podem ser obtidos através de Simulação de Monte Carlo.

Para provar o teorema de Samuelson, assumiremos inicialmente

algumas premissas. A primeira é que o risco do ativo é zero, e portanto, a

taxa de retorno de mercado ajustada ao risco para este ativo será a taxa livre

de risco. Em seguida, assumimos também que todas as taxas de juros do

mercado são zero, inclusive a taxa livre de risco, e finalmente, supomos que

1 O Apêndice 6 mostra os processos estocásticos mais comuns

44

o preço spot de mercado do ativo segue um processo autoregressivo

estacionário na forma:

2

1 (0, ) ( , ) 0 1t t t t t tS aS onde N e Cov S aεε ε σ ε+ = + = <∼

St é o preço spot atual do ativo, portanto, é uma constante conhecida,

e St+1 é o preço spot no próximo período. No tempo atual (t), temos E[St]

= St e Var[St] = 0. No tempo futuro (t+1) temos:

10

[ ] [ ] [ ] [ ]t t t t t tE S E aS aE S E aSε ε+ = + = + =

2 2

0 0

[ ] [ ] [ ] 2 [ , ] [ ]t t t t t t tVar S Var aS a Var S a Cov S Var εε ε ε σ= + = + + =

No tempo futuro (t+2), temos:2

2 1 1 12

2 1

( )t t t t t t

t t t t

S aS a aS

S a S a

ε ε ε

ε ε+ + + +

+ +

= + = + +

= + +

2 22 1[ ] [ ] [ ] [ ]t t t t tE S a E S aE E a Sε ε+ += + + =

22 2 2

2 2 22 1

2 2 22 1 1

2 22

[ ] [ ( )][ ] [ ]

[ ] [ 2 ][ ] ( 1)

t t t

t t t t t

t t t t t

t

Var S E S E SVar S E a S a a S

Var S E a aVar S aε

ε ε

ε ε ε ε

σ

+ + +

+ +

+ + +

+

= −

= + + −

= + +

= +

A fórmula de recorrência será então:

[ ] [ ]T Tt T t tE S a E S a S+ = =

2 2( 1)

1[ ] 1 1 1, 2,....

Tn

t Tn

Var S a Tεσ−

+=

= + + = ∞ ∑

Dependendo do valor do parâmetro a, o processo de St pode ser

crescente ou decrescente. Se a<1, o processo será estacionário.

2 Note que 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) , portanto [ ]t t t tVar E E Eε εε ε ε σ ε σ= − = =

45

Mostraremos que qualquer que seja a evolução dos preços de St, mesmo que

St seja declinante, a taxa de retorno de St será constante e igual à taxa de

mercado ajustada ao risco, que no caso é zero.

Um ativo tem valor porque ele dá direito a um fluxo de caixa futuro ao

seu detentor. Considerando a ausência de custos de armazenamento,

podemos expressar o valor de um ativo como o somatório do valor presente

de um “strip” de contratos futuros (Figura 5) para a entrega de $1 em um

tempo futuro (t + T). Se o preço dos contratos futuros não se alterar no

tempo, num mundo onde as taxas de juros são zero e sem convenience yield,

então o valor do ativo também será constante.

t t +1 t +2 t +3 t+T

Ft(St+1) - - - - - - - - - -›

Ft(St+2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -›

Ft(St+3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - › - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -›

Ft(St+T) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ›

Figura 5 – Strip de Contratos Futuros

O preço no tempo (t) de um contrato futuro para entrega de $1 no

tempo (t+T) sem juros e sem convenience yield é dado por Ft(St+T) =

Et(St+T). Para T = 3, teremos:

3 3

3 2 33 1 2 3

( ) ( )

( ) ( )t t t t

t t t t t t t t

F S E S

F S E a S a a a Sε ε ε+ +

+ + + +

=

= + + + =

O preço no tempo (t+1) de um contrato futuro para entrega de $1 no

tempo (t+3) será:

1 3 1 33 2 3 2

1 3 1 1 2 3 1

( ) ( )

( ) ( )t t t t

t t t t t t t t t

F S E S

F S E a S a a a S aε ε ε ε+ + + +

+ + + + + + +

=

= + + + = +

A única diferença neste caso é que em (t+1), o erro εt+1 já existe e é

conhecido. A variação no preço futuro de um período para o outro, visto do

tempo (t) é:

46

[ ][ ] [ ][ ]

3 3 23 1 3 1

23 1 3 1

3 1 3

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

t t t t t t t t t

t t t t t t t

t t t t t

E F S F S E a S a S a

E F S F S a E

E F S F S

ε

ε

+ + + +

+ + + +

+ + +

− = − + − =

− =

Concluímos que mesmo que o preço spot se altere, o valor esperado

das mudanças no preço futuro não se altera. Como o valor do ativo é o

somatório dos preços futuros, o valor esperado do preço spot também não se

altera, e o valor do ativo será constante (contanto que adicionemos de volta

os dividendos pagos a cada período). Como o valor é constante, a taxa de

retorno esperada deste ativo será zero. Quaisquer alterações que ocorram no

futuro serão fruto de efeitos imprevistos, e portanto, aleatórios, e o retorno

deste ativo terão variações aleatórias seguindo um random walk.

3.2.1. Premissa Segunda

Baseado nas conclusões de Samuelson (1965), e seguindo Copeland e

Antikarov (2001), assumimos que o retorno do projeto tem distribuição

normal, portanto, o processo estocástico do valor do projeto segue um

Movimento Geométrico Browniano, ou seja, o projeto tem uma distribuição

lognormal. A premissa da lognormalidade do valor do projeto é utilizada

por diversos autores, entre eles McDonald e Siegel (1986). As principais

críticas à consideração da lognormalidade de projetos vem de Dixit e

Pindyck (1994, pg. 137). Os autores argumentam que se o projeto não

apresenta flexibilidade gerencial que permita a suspensão da produção

quando os custos superarem as receitas, então o valor do projeto poderá

assumir valores negativos, descaracterizando a sua lognormalidade. Da

mesma forma, se o gerente tiver flexibilidade para suspender a operação do

projeto nestes casos, o valor também não seguirá uma distribuição

lognormal. E finalmente, numa indústria competitiva, o equilíbrio de longo

prazo forçará o preço, e conseqüentemente o projeto, a seguir um processo

de reversão à média.

É padrão na literatura sobre opções financeiras assumir que ações de

empresas negociadas em bolsa seguem uma distribuição lognormal, embora

47

isso também seja apenas uma aproximação da realidade. Ações não podem

ter valor negativo porque são opções sobre o valor da empresa – o detentor

de uma ação tem direito aos fluxos futuros líquidos da empresa. Caso os

fluxos se tornem desinteressantes, o detentor da ação abre mão desses

direitos e o valor da ação vai para zero. Um projeto com opção de abandono

tem características semelhantes a uma ação. Em Project Finance, onde o

projeto tem características de empresa independente, essa identidade é total,

pois se o valor do empreendimento ficar negativo o acionista abandonará o

projeto entregando-o aos credores.

No modelo adotado para a premissa segunda, assume-se que os fluxos

de caixa do projeto a cada período são distribuídos aos acionistas, e que o

valor do empreendimento sofre uma descontinuidade no instante dessa

distribuição, reduzindo-se o seu valor pelo valor do dividendo distribuído.

Dessa forma, esse modelo implicitamente assume que se o fluxo de caixa

for negativo em qualquer período, o dividendo será também negativo,

representando uma necessidade de aporte/investimento do acionista naquele

período, e evitando que o projeto se torne negativo. Dado que a modelagem

do processo estocástico do projeto é realizada com base na planilha do valor

esperado dos fluxos de caixa, em ocorrendo um fluxo esperado futuro

negativo, esse valor será considerado como um investimento necessário, e o

seu valor presente adicionado ao valor do investimento inicial exigido pelo

projeto.

Seja Vi o valor de um projeto que não paga dividendos no período i e

Vi+1/Vi o seu retorno no período de tempo entre i e i+1. De acordo com a

premissa segunda de que os retornos seguem um caminho aleatório, o

logaritmo do retorno )/ln( 1 ii VV + é normalmente distribuído, e definimos v e

σ 2 como a média e variância desta distribuição normal. Quando os períodos

de tempo tendem a zero, este modelo estocástico pode ser expresso como

um Movimento Aritmético Browniano (MAB) na forma dzdtVd σν +=ln ,

onde dz dtε= é o processo de Wiener padrão.

A premissa de que a distribuição do logaritmo do valor dos retornos

do projeto em qualquer tempo é normal implica em que a distribuição do

valor do projeto em si é lognormal. Dessa forma, mudanças em Vi serão

48

lognormalmente distribuídas em podem ser modeladas através de um

Movimento Geométrico Browniano (MGB) na forma VdzVdtdV σµ += ,

onde 2

21σνµ += .

3.3. Modelagem do Risco Privado

Smith e Nau (1993) propõem a separação entre o risco privado de um

projeto, não correlacionado com o mercado, e o risco de mercado, para o

qual o mercado é completo. O risco de mercado é definido como o risco que

pode ser perfeitamente hedgeado através de negociação de títulos de

mercado. O risco privado, ou técnico, decorre de uma incerteza do projeto

que não pode ser hedgeada. A incerteza de preço num projeto de exploração

de petróleo, por exemplo, é um risco de mercado, uma vez que pode ser

eliminado através de operações de hedge no mercado futuro. As incertezas a

respeito do volume de petróleo que pode ser extraído do reservatório, por

sua vez, configuram um risco privado, já que não existe nenhum ativo de

mercado que replique as características dessa incerteza.

Com essa separação, podemos decompor os fluxos do projeto nos seus

componentes privados e de mercado. O risco de mercado é então valorado

observando-se o preço de mercado de ativo ou portfólio de ativo que

repliquem o risco e retorno do projeto e utilizando-se a condição de não

arbitragem. O risco privado pode ser modelado utilizando-se as preferências

subjetivas de um investidor avesso a risco, através de uma função utilidade

para determinar o seu Equivalente Certo, que é então descontado à taxa livre

de risco. No item 3.3.3 este conceito será apresentado em mais detalhe.

Se considerarmos que o investidor possui uma carteira diversificada

de investimentos, e que este projeto não representa uma parcela significativa

da sua riqueza, então podemos assumir que ele será neutro ao risco privado,

e o Equivalente Certo será somente o Valor Esperado. Essa premissa se

baseia no fato de que o mercado irá remunerar o investidor apenas pela

parcela de risco não diversificável (sistemático), uma vez que o risco não

sistemático pode ser totalmente eliminado através da diversificação dos seus

investimentos. Uma outra maneira de chegarmos a esta mesma conclusão é

49

observar que o risco privado medido pelo seu Beta será zero, uma vez que

não possui correlação alguma com o índice de mercado, supondo sempre a

premissa de diversificação do investidor.

3.3.1. Premissa Terceira

Assumimos que podemos fazer a separação entre o risco privado e o

risco de mercado, e dar tratamento diferenciado para cada um deles. Dessa

maneira, efetivamente substituímos o problema de mercados incompletos

por um problema onde o mercado é parcialmente completo. Com o

tratamento diferenciado do risco privado, podemos considerar o mercado

completo para o risco de mercado e utilizar uma função utilidade para

calcular o Equivalente Certo do risco privado.

3.3.2. Investidor Neutro a Risco Privado

O risco privado decorre de uma incerteza não correlacionada com o

mercado, portanto, não passível de ser hedgeado com instrumentos do

mercado financeiro. Um investidor diversificado, ou uma empresa de grande

porte com uma carteira de investimentos diversificada e milhares de

acionistas, deve ser neutro ao risco privado, uma vez que este é um risco não

sistemático que pode ser eliminado através de uma estratégia adequada de

diversificação. Por não ser correlacionado com o mercado, o seu Beta é

zero, e nenhum prêmio de risco deve ser atribuído ao risco privado nesses

casos, e a modelagem é feita determinando-se o Valor Esperado desta

incerteza considerando-se que o investidor é neutro ao risco privado, que é

então descontado a valor presente à taxa livre de risco. Como o modelo

utilizado já utiliza a avaliação neutra a risco para determinar o Valor

Presente do projeto, a inclusão do risco privado nesse caso não implica em

nenhuma modificação teórica maior no modelo.

50

3.3.3. Investidor Avesso ao Risco Privado

O conceito de que empresas de capital aberto devem ter

comportamento neutro a risco não sistemático vem de Ekern e Wilson

(1974), que mostraram que para uma empresa com um grupo de acionistas

com função utilidade exponencial, a tolerância ao risco da empresa é o

somatório da tolerância ao risco de cada um dos seus acionistas. À medida

que o número de acionistas aumenta, este somatório também aumenta e a

aversão ao risco diminui. Lintner (1965, 1970) conclui também que à

medida que o número de investidores aumenta em um mercado de capitais

perfeito, o preço de risco de mercado tende a zero no limite e a aversão ao

risco desaparece, fazendo com que os Equivalentes Certos sejam iguais ao

Valor Esperado. No entanto, se considerarmos que o investidor não é

suficientemente diversificado, e este investimento no projeto representar

uma parcela considerável da sua riqueza, é provável que este investidor

apresente um comportamento avesso ao risco privado.

É comum observar-se empresas abrir mão de quotas de investimento

em projeto grande porte com o objetivo de reduzir a sua exposição ao risco

– essa inclusive é a principal justificativa para a estruturação de projetos na

modalidade de Project Finance. Se uma empresa detém poucos projetos no

seu portfólio e as cotas de investimento na empresa representam uma

parcela significativa da riqueza dos seus acionistas, isso implica que os

acionistas não estão suficientemente diversificados.

A principal justificativa para esse comportamento na literatura

financeira é que os mercados não são perfeitos, existindo fricções (riscos de

insolvência, custos de transação, informação imperfeita, pequeno número de

acionistas, acionistas não diversificados, conflitos de interesse entre

credores e acionistas, etc.) que criam assimetrias com relação a possíveis

perdas advindas do projeto. Greenwald e Stiglitz (1990) argumentam que as

empresas agirão de forma avessa a risco como resultado de problemas de

informação imperfeita no mercado de capitais, incluindo assimetrias de

informação entre provedores de capital e gerentes. March e Shapira (1987)

observaram que na prática os gerentes sistematicamente demonstram

aversão a risco a partir do momento em que a empresa atingiu os seus

51

objetivos ou metas pré-estabelecidas. Hackett (1985) observou que não é

realista assumir que os gerentes são meros agentes dos acionistas, uma vez

que eles são os responsáveis também por tentar conciliar os interesses de

todos os “stakeholders” da empresa (acionistas, credores, empregados,

fornecedores, clientes, comunidade e os próprios gerentes). Swalm (1966)

levantou funções utilidade para um grupo de 100 executivos numa grande

empresa industrial, e notou que eles eram fortemente avessos a risco.

Spetzler (1966) chegou as mesmas conclusões em um estudo semelhante

numa grande empresa de petróleo entre os gerentes responsáveis por

decisões de investimento.

Walls, Morahan e Dyer (1995) observaram que na Phillips Petroleum

os gerentes apresentavam comportamento fortemente avesso a risco nas

decisões de alocação de capital envolvendo investimentos que poderiam

trazer importantes conseqüências negativas para a empresa, mesmo quando

o risco sistemático já havia sido levado em consideração. Num estudo

empírico sobre as atitudes a risco de gerentes, MacCrimmon and Wehrung

(1986), e Shapira (1995) também apresentaram evidências que gerentes são

freqüentemente avessos a risco não sistemático.

Uma das justificativas é que os acionistas nem sempre estão

otimamente diversificados. Embora isso seja claro em empresas familiares

ou de capital fechado, alguns estudos apontam para o fato de que esta

situação é mais comum do que deveria. Concluímos então que no contexto

da empresa, os gerentes na prática apresentam comportamento avesso a

risco privado em projetos de grande volume de investimentos relativo a

empresa, e que este comportamento é ditado por imperfeições do mercado.

Em empresas de menor porte, como é típico de empresas familiares com

pequeno número de acionistas, é de se supor que este tipo de

comportamento seja mais acentuado. E se os acionistas não são

suficientemente diversificados, é provável que vejamos uma tendência de

diversificação via empresa para compensar este fato.

Smith e Nau (1993) sugerem adotar nesses casos uma função utilidade

que reflita a aversão a risco do investidor para achar o Equivalente Certo do

risco privado, a partir do qual pode ser utilizada à taxa livre de risco para

52

descontar esse fluxo a valor presente. Uma forma comum para a modelagem

da aversão ao risco é a função utilidade exponencial negativa na forma:

( ) cxu x a b e−= − (3.1)

onde a > 0 e b > 0 são constantes e c é o coeficiente de aversão

absoluta ao risco de Arrow-Pratt, ''( )'( )

u xc ARAu x

= = − . Definimos TR como

sendo o nível de tolerância ao risco da empresa, onde TR = 1/c, e sem perda

de generalidade, podemos fazer os coeficientes a =1 e b =1, para ficar então

com:

( ) 1x

TRu x e−

= − (3.2)

O Equivalente Certo (EC) é o Valor Esperado de uma loteria ou

investimento, menos o seu prêmio de risco. Considerando uma função

utilidade exponencial na forma da Equação (3.2) e probabilidades discretas,

temos:

1( ) ln 1

ixnTR

ii

EC x TR p e−

=

= − −

∑ (3.3)

Em tempo contínuo, teremos:

( ) ln ( )EC x TR y f y dy = − ∫ (3.4)

onde ( ) 1x

RTy u x e−

= = −

A função utilidade exponencial permite que a utilidade do investidor

seja caracterizada unicamente pelo seu coeficiente de aversão ao risco c ou

pelo seu nível de tolerância ao risco TR. A TR, por sua vez, é o valor

monetário que faz a empresa indiferente entre jogar ou não uma loteria onde

existe probabilidade de 50% de ganhar X e 50% de perder X/2, conforme

diagrama da Figura 6:

53

X

- X/2

0.50

0.50

TR

Figura 6 – Nível de Tolerância ao Risco

Note que o Valor Esperado desta loteria é positivo, de forma que um

investidor neutro a risco sempre preferiria jogar a loteria, se ela lhe fosse

oferecida a custo zero, como é o caso. Apenas a aversão ao risco do

investidor, ou seja, o receio de perder o valor de X/2, o levaria a recusar

jogar esta loteria. Para pequenos valores de X, a loteria é preferida por quase

todos os investidores, dado o seu valor esperado positivo. À medida que X

aumenta, a aversão ao risco leva o investidor a considerar a loteria cada vez

menos atraente devido ao incremento do valor do possível resultado

negativo, até o ponto em que o investidor prefere não mais jogar a loteria. O

valor de X que reflete o ponto de equilíbrio onde o investidor é indiferente

entre aceitar jogar a loteria ou não é o que denominamos nível de tolerância

ao risco deste investidor (TR).

A medição do nível de Tolerância ao Risco é feita através de

sucessivos questionários onde o valor de X vai sendo modificado até se

obter o ponto de equilíbrio acima mencionado. Muitas vezes, no entanto,

não é possível a determinação da TR através deste método pela

impossibilidade de se realizar as entrevistas necessárias, ou até mesmo,

definir-se quem entrevistar. Nesses casos, na ausência de um processo de

medição direta, Howard (1988) propõe que o nível de Tolerância ao Risco

da empresa pode ser inferido a partir dos seus principais dados econômico-

financeiros. Analisando um grupo de empresas dos setores de petróleo e

petroquímica, ele apresenta um estudo que sugere existir uma relação entre a

medida de Tolerância ao Risco (TR) e alguns dos principais indicadores

econômicos da empresa, como vendas, lucro e patrimônio líquido. Os

54

valores encontrados por Howard, e que representam a média para as

empresas pesquisadas, estão apresentados na Tabela 2:

TR/Vendas 0.064

TR/Lucro 1.24

TR/Patr. Líquido 0.157

Tabela 2 – Fatores de Tolerância ao Risco de Howard

Para o caso do projeto analisado neste trabalho, foram utilizados os

parâmetros acima para determinação do grau de Tolerância ao Risco da

empresa.

3.4. Um Modelo em Tempo Discreto

Seja um projeto com uma vida útil de m períodos, que exige um

investimento inicial I para ser implantado e que se espera irá gerar um fluxo

de caixa esperado Ci, i = 1,2,...,m em cada período. Esses fluxos de caixa

representam os dividendos distribuídos pelo projeto, onde δi é a taxa de

distribuição instantânea destes dividendos representada por Ci / Vi , e Vi é o

valor do projeto pré-dividendos no período i. A taxa de desconto ajustada

ao risco do projeto conforme determinada pelo CAPM é µ. Isso significa

que dado o atual valor de mercado do projeto, um investidor exigiria uma

taxa de retorno µ para investir nele.3

Se o projeto representa a totalidade da empresa, então a taxa µ será a

taxa de retorno exigida pelos acionistas (ke). O projeto está sujeito tanto a

incertezas privadas quanto de mercado, que irão afetar os seus fluxos de

caixa futuros, e também apresenta suficiente flexibilidade gerencial que

permita uma administração ativa dos seus gerentes visando maximizar o seu

valor ao longo de sua vida útil. No entanto, a existência desta flexibilidades

que representam as Opções Reais do projeto alteram o risco do projeto, uma 3 Note que µ é a taxa de desconto do projeto. A taxa interna de retorno (TIR) do projeto

poderá ser maior ou menor do que µ, dependendo do montante do investimento inicial exigido.

55

vez que o gerente pode escolher exercer estas opções se elas resultarem num

aumento do valor do projeto ou numa redução das possíveis prejuízos, de

forma que a taxa de desconto µ anteriormente determinada não é mais a taxa

apropriada para descontar os fluxos do projeto com as opções reais. Por esse

motivo, utilizaremos probabilidades neutras a risco para que os fluxos do

projeto possam ser descontados com a taxa livre de risco.

A modelagem do problema será feita em três etapas onde

primeiramente o projeto é analisado em condições de certeza para se

determinar o seu Valor Presente Esperado no instante inicial, que de acordo

com a premissa primeira, será considerado o seu valor de mercado. Em

seguida é realizada uma Simulação de Monte Carlos com o objetivo de

reduzir as fontes de incerteza a uma só, definindo com isso o processo

estocástico do Valor do Projeto. A terceira e última etapa envolve a criação

da árvore binomial do projeto e posterior transformação em árvore de

decisão com a incorporação dos instantes de decisão que representam as

opções reais, onde ocorre a maximização de valor do projeto.

3.4.1. Modelagem Determinística

Inicialmente determinamos o Valor Presente do Projeto no instante

inicial através do método do Fluxo de Caixa Descontado tradicional,

utilizando-se para isso uma planilha Excel. Para tanto, calculamos o Valor

Esperado dos Fluxos de Caixa do Projeto , = 1, 2, ..., iC i m em condições

de certeza, ainda sem a inclusão das opções reais decorrentes de eventuais

flexibilidade gerenciais que o projeto possa apresentar. Estes fluxos de caixa

são em seguida descontados a taxa de risco determinada pelo CAPM (µ)

para a determinação do Valor Presente do Projeto a cada período, através da

fórmula (3.5):

[ ](1 )

mt

i t it i

E CV

µ −=

=+∑ Valor do Projeto pré-dividendos (3.5)

De um modo geral consideramos que não existe fluxo de caixa

positivo no instante inicial, apenas os investimentos necessários, que não

56

são computados para o cálculo do Valor do Projeto. O Valor Presente do

Projeto no instante inicial então é dado por:

[ ]0

1 (1 )

mt

tt

E CV

µ=

=+∑

Além do valor do projeto no instante inicial, nessa etapa são também

calculados o Valor Presente em cada um dos períodos do projeto. O valor do

projeto tende a se reduzir em cada período, à medida que os fluxos de caixa

são pagos como dividendos e menos períodos de operação restam no

projeto. Na Figura 7 podemos ver a dinâmica da evolução do Valor do

Projeto com o tempo em condições de certeza.

(250)

0

250

500

750

1,000

1,250

1,500

0 1 2 3 4

V0

V3

V2

V1

V4

Figura 7 – Dinâmica da Evolução do Valor do Projeto

3.4.2. Simulação de Monte Carlo (SMC)

A distribuição lognormal do valor do projeto pode ser complemente

definida através da média e desvio padrão dos seus retornos. Note que pela

premissa primeira, assumimos que o valor presente do projeto sem opções é

o seu valor de Mercado, como se o projeto fosse um ativo negociado

livremente. Assumindo a premissa de mercados eficientes, adquirir o projeto

a este preço garante um VPL nulo, e o retorno esperado do projeto será

57

exatamente igual a sua taxa de retorno ajustada ao risco µ . Disso resulta

que a média dos retornos µ do projeto é definida exogenamente.

O desvio padrão dos retornos, ou seja, a volatilidades do projeto, pode

ser determinada através de uma simulação de Monte Carlo do Movimento

Aritmético Browniano dos retornos lnd V vdt dzσ= + . Os impactos das

incertezas que afetam as variáveis relevantes do projeto e o seu impacto nos

retornos podem ser determinados através da simulação dos processos

estocásticos de cada um, e como resultado, os fluxos de caixa do projeto

também se tornam estocásticos. Cada iteração da simulação gera um novo

conjunto de fluxos de caixa futuros dos quais um novo valor de projeto ao

final do primeiro período V1 é computado usando-se (3.5) com i = 1, e uma

amostra da variável aleatória v é determinada através da equação (3.6)

1

0

ln VvV

=

(3.6)

onde .)~( νν =E

Com um número suficiente de iterações (10.000) computadas pela

simulação, podemos determinar a volatilidade do projeto através a partir das

amostras de v . Definimos a volatilidade do projeto como o desvio padrão

dos retornos (σ ), conforme equação (3.7)4.

( )22

2i in

nµ µ

σ−

= ∑ ∑ (3.7)

Em um projeto que paga dividendos, a taxa de retorno total do

investidor (µ) é composto de uma parcela de ganho de capital, que é a taxa

de crescimento do valor do projeto com o tempo (α), mais os dividendos (δ)

gerados pelo projeto ao longo da sua vida útil. Assim temos:

µ = α + δ

4 O código VBA que efetua a Simulação de Monte Carlo necessária na planilha do projeto

está apresentado no apêndice 6.4.

58

Como veremos a seguir, no modelo de aproximação binomial da

evolução do valor do projeto adotado, os dividendos são explícita e

discretamente incluídos na árvore binomial do projeto. Assim, nenhuma

outra consideração a respeito dos dividendos se faz necessária, e a

determinação dos parâmetros do modelo binomial é feita desconsiderando-

se qualquer efeito da taxa de distribuição de dividendos a fim de evitar

inclui-los novamente. Assim, para a árvore binomial temos δ = 0 e µ = α.

Conforme já mencionado anteriormente, pela premissa segunda

assumimos que os retornos do projeto tem distribuição normal, com média 2

2σµ − e volatilidade σ, e conseqüentemente, 1V tem distribuição

lognormal. (Equação(6.1)). O projeto será então definido por

( )0 , , , ,iV Iµ σ δ , e o seu processo estocástico em tempo contínuo será:

( , ) ( ) ( , ) ( , )tdV x t V x t dt V x t dzµ δ σ= − + onde αt = µ – δt

Em um projeto com vida útil ilimitada, podemos considerar δ como

uma constante. De forma inversa, uma taxa de distribuição de dividendos e

retorno esperado constantes, implicam que o projeto tem vida infinita5. No

caso de um projeto com vida útil finita, a taxa de distribuição de dividendos

não é constante, pois podemos observar que no último período a taxa de

distribuição de dividendo corresponderá a 100% do valor do projeto, uma

vez que o valor do projeto será zero após a distribuição do último dividendo

e final da sua vida útil. Nesses casos, se considerarmos que a taxa ajustada

ao risco do projeto (µ) é uma constante de mercado, uma variação em δt

implica que também a taxa de crescimento do valor do projeto também é

variável, uma vez que µ = αt + δt.

5 Definimos o valor do projeto como o valor presente dos fluxos de caixa futuros,

00

Tt

tT

V C e dtµ=∞

−

=

= ∫ . Sabemos que o valor esperado de um ativo sujeito a uma taxa de

crescimento α num tempo futuro t é 0( ) ttE C C eα= . Se δ é a taxa de distribuição de

dividendos, então temos C0 = δ V0 e α = µ – δ, e ficamos com

( ) ( ) 00 0

0 0

TT Tt t

T

V eV V e e dtδ

µ δ µ δδδ

−− −

=

= = − ∫ . Como sabemos que o valor desta

expressão é V0, podemos verificar que isso apenas ocorrerá se T = ∞.

59

3.4.3. Árvore Binomial do Projeto

Dado o Valor do Projeto V0 , o custo de capital µ e a volatilidade σ,

conforme determinados anteriormente, o Valor do Projeto é agora modelado

no tempo como um processo estocástico lognormal com volatilidade σ,

através de uma árvore binomial recombinante discreta, conforme o modelo

de Cox, Ross and Rubinstein (1979) (Figura 8).

V10

V0

V11

V33

V32

V31

V30

V22

V21

V20

……...

……...

……...

……...p

(1-p)

V0 ud

V0 ud2

V0 u2dV0 u

V0 d2

V0 d3

V0

V0 u2

V0 d

V0 u3 ……...

……...

……...

……...

(1-p)

p

Figura 8 – Árvore Binomial Recombinante

onde tu eσ ∆= e td e σ− ∆= e a probabilidade de subida é dado por .te dp

u d

µ −=

− e , 0

i j ji jV V u d−= i = 0,1,2,...m, j = 0,1,2,....i.

O projeto, no entanto, gera fluxos de caixa (dividendos) em cada

período, portanto, o valor do projeto sofre uma descontinuidade no instante

dessa distribuição, à semelhança do que ocorre com uma ação que paga

dividendos. A taxa de distribuição dos dividendos é dada pela razão entre os

Fluxos de Caixa e o Valor do Projeto em cada período conforme computado

através do modelo determinístico, onde Vi é dado pela equação (3.5):

ii

i

CV

δ = (3.8)

Em condições de incerteza e com variáveis estocásticas, assumimos a

taxa de distribuição de dividendos, embora variável de um período para o

60

outro, se mantém constante para todos os estado de um período, de tal forma

que os fluxos de caixa em qualquer estado de um mesmo período sejam

sempre uma proporção fixa do valor do projeto naquele período e estado, ou

seja:

,

,

i ji

i j

Cj

V

δ = ∀ (3.9)

onde i = período (i = 0, 1, 2, ..., m)

j = estado (j = 0, 1, 2, ..., i)

δi = taxa de distribuição de dividendos no período i

Assim, uma representação mais correta do valor do projeto no tempo é

mostrada na Figura 9:

VP0 ud(1-δ1)(1-δ2)

VP0 ud2(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)

VP0 u2d(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)

VP0 d2(1-δ1)(1-δ2)

VP0 d3(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3)

VP0 VP0 u2(1-δ1)(1-δ2) VP0 u3(1-δ1)(1-δ2)(1-δ3) ……...

……...

……...

……...

VP0 u(1-δ1)

VP0 d(1-δ1)

Figura 9 – Árvore Binomial com Dividendos

Podemos verificar que em condições de incerteza, o valor V (i,j) do

projeto no período i, estado j, é dado pela seguinte fórmula recorrente: 1

, 01

(1 )i

i j ji j k

k

V V u d δ−

−

=

= −∏ pré-dividendos (3.10)

*, 0

1

(1 )i

i j ji j k

k

V V u d δ−

=

= −∏ ex-dividendos (3.11)

61

onde ,i jV = valor do projeto no período i e estado j, pré-dividendos

*,i jV = valor do projeto no período i e estado j, ex-dividendos

A probabilidade P(i,j) e ocorrer o valor V(i,j) é:

( , ) (1 )i j jiP i j p p

j−

= −

(3.12)

onde !( )! !

i ij i j j

= −

é o coeficiente binomial e .te dp

u d

µ −=

−.

Com a árvore binomial apresentada podemos determinar o valor do

projeto em condições de incerteza em cada período e estado. A seguir

passamos a inserir as flexibilidades gerenciais que o projeto apresenta de

forma a observar o seu impacto sobre o valor do projeto. Dado que as

opções do projeto alteram o seu fluxo de caixa (e o seu risco), para calcular

o valor do projeto com opções é necessário determinar um novo portfólio de

mercado que replique os fluxos do projeto em todos os estados e períodos.

Alternativamente, podemos utilizar probabilidades neutras a risco para

a mesma finalidade e resultados. Isso é possível devido à premissa do

Marketed Asset Disclaimer (MAD) que ao assumir que o Valor Presente do

Projeto sem opções de flexibilidade é o melhor estimador não tendencioso

do seu valor de mercado, permite modelar o problema como se o mercado

fosse completo, computando-se as probabilidades neutras a risco, e dessa

forma utilizar a taxa livre de risco para descontar os fluxos de caixa do

projeto, ao invés de se adotar uma taxa de desconto exógena arbitrária.

Por ser mais simples no caso, este será o método adotado, e com isso,

os fluxos do projeto serão descontados à taxa livre de risco e a probabilidade

p modificada para:

.r te dp

u d−

=−

(3.13)

62

Antes de passar para a fase seguinte, faremos uma transformação na

árvore binomial do projeto, de forma a expressá-la em função dos seus

fluxos de caixa determinísticos, ao invés de ser função do valor do projeto

nos períodos e estados anteriores. Essa transformação visa facilitar a

inclusão das opções de flexibilidade do projeto, que transformarão a árvore

binomial numa árvore de decisão. Uma vantagem disso é que a definição

das opções do projeto em função dos seus fluxos de caixa permite um maior

nível de detalhe do que é possível quando as definimos sobre o valor do

projeto a cada período, já que o fluxo de caixa é uma variável mais básica

do que o valor do projeto, que é determinado a partir do fluxo de caixa. Uma

opção para suspender temporariamente a operação do projeto é mais

facilmente modelada como função dos fluxos de caixa suspensos do que

como função do valor do projeto. E a partir dos novos fluxos de caixa o

valor do projeto pode ser facilmente computado. Outra vantagem é que o

valor do projeto sofre descontinuidade ao longo do tempo devido às saídas

dos fluxos de caixa em cada período, e com a transformação proposta isso é

incorporado automaticamente no modelo.

3.4.4. Árvore de Decisão do Projeto

No modelo de árvore binomial desenvolvido anteriormente, o valor

pré-dividendo do projeto no período i e estado j, é dado em função do valor

V0 do projeto no instante inicial, da taxa de drift µ, da volatilidade σ e da

taxa de distribuição de dividendos δi. (Equação (3.10)). Dessa forma temos

( ), 0 , , ,i j iV f V σ µ δ= , onde ( )0 ,iV f C µ= . Ao incorporamos as opções

reais do projeto, transformamos a árvore binomial (incerteza) em uma

árvore de decisão (incerteza + opções).

Por outro lado, a modelagem das opções é mais facilmente implantada

determinando-se o seu impacto sobre os fluxos de caixa do que sobre o

valor do projeto. Dessa forma, fazemos uma transformação algébrica para

explicitar o valor do projeto em função de uma série de fluxos de caixa

artificiais que têm a propriedade de garantir que o processo estocástico

seguido pela função Valor do projeto siga o mesmo Movimento Geométrico

63

Browniano estabelecido anteriormente. Esses fluxos, que denominaremos de

pseudo fluxos de caixa, por sua vez, serão função dos fluxos determinísticos

do projeto Ci (i = 1, 2, ..., m), do drift µ e dos parâmetros u e d do modelo

binomial. Como estaremos descontando os pseudo fluxos à taxa livre de

risco utilizando probabilidades neutras a risco, temos também .r te dp

u d−

=−

.

A principal vantagem desta transformação é que ela permite explicitar a

função de valor do projeto em termos de uma variável mais básica, que é o

fluxo de caixa do projeto, possibilitando uma maior flexibilidade na

modelagem das opções reais do projeto.

Na Figura 10 podemos ver a árvore binomial onde o valor do projeto

está expresso em função desses pseudo fluxos. ( ( ), , , ,i j i iV f C σ δ µ= )

C10

V0

C11

C33

C32

C31

C30

C22

C21

C20

……...

……...

……...

……...

Figura 10 – Pseudo Fluxos de Caixa

Para programas geradores de árvore de decisão, que possuem

estrutura incremental, a fórmula do valor do projeto como função dos

pseudo fluxos de caixa é dado por:

,

00 0

(1 )

(1 )

i j ji jm i

ii j

ip p C

jV

r

−

= =

−

=+∑ ∑ (6.14)

64

Para uso com linguagens de programação que utilizam estrutura

matricial, a fórmula absoluta é mais indicada:

00 0

(1 )

(1 ) (1 )

i j jm i

i j jii i

i j

ip p

j CV u dr µ

−

−

= =

−

= ⋅+ +∑ ∑ (6.15)

O desenvolvimento destas fórmulas está apresentado no Capítulo 6,

apêndice 6.3.

3.4.5. Generalização da Fórmula do Valor do Projeto

A determinação do valor do projeto em outros períodos e estados que

não o inicial também pode ser feita. Seja (t) o período e (s) o estado da

natureza. O valor pré-dividendos do projeto no período t e estado s será:

,, (1 )

m i s ti j

t s i ti t j s

E CV

r

+ −

−= =

=+∑ ∑ (3.14)

onde , ,(1 )i t j s j si j i j

i tE C p p C

j s− − + −−

= − − .

Na Figura 11 podemos ver uma ilustração do valor do projeto onde

t = 3 e s = 1.

65

V1,0

V0,0

VP1,1

VP3,3

VP3,2

VP3,1

VP3,0

VP2,2

VP2,1

VP2,0

VP4,3

VP4,2

VP4,1

VP4,0

VP4,4

VP5,3

VP5,2

VP5,1

VP5,0

VP5,4

VP5,5

Figura 11 – Valor do Projeto em (T,S)

A fórmula absoluta de valor nesse caso é dada por 6:

,

(1 )

(1 ) (1 )

i t j s j sm i s t

i j jit s i t i

i t j s

i tp p

j s CV u dr µ

− − + −+ −

−−

= =

− − − = ⋅

+ +∑ ∑ (3.15)

3.4.6. Modelagem das Opções

Uma vez definido e estruturado o modelo de difusão do valor do

projeto, a inclusão das flexibilidades gerenciais é feita inserindo-se os

instantes de decisão onde será maximizada a função valor do projeto. A

cada oportunidade de se exercer uma opção do projeto, a decisão ótima será

do tipo:

max valor de continuação; valor da opção

6 Os valores dos pseudo fluxos de caixa Cij são fixos e constantes, e são função apenas do

período i e estado j . Para o cálculo de Vt,s o que muda é apenas o conjunto dos pseudo fluxos de caixa a serem incluídos no somatório e a probabilidade de ocorrência de cada um destes.

66

O valor de continuação é dado pela fórmula (3.14) já vista. O valor da

opção dependerá, é claro, das características dessa flexibilidade gerencial

naquele período. Uma opção de abandono, por exemplo, pode significar que

a empresa abre mão dos fluxos de caixa futuros em favor de um valor

terminal Ω. Uma opção de expansão pode multiplicar o valor dos fluxos de

caixa futuros por um fator qualquer, menos o custo do novo investimento.

Nesse caso, o novo valor do projeto daquele instante para frente supondo o

exercício desta opção há que ser determinado para que possa ser comparado

com o valor do projeto sem o exercício, e escolhido o maior. Vamos

considerar o caso de uma única opção de abandono no período (T) com

valor terminal Ω. A decisão ótima em cada estado possível do período (T)

será:

max valor de continuação; Ω

O valor do projeto agora, incluindo a opção de abandono no período

(T) será a soma de duas partes: os fluxos pré e pós-opção. Primeiramente

computam-se os valores esperados dos pseudo fluxos de caixa entre o

instante inicial e o instante da opção no período (T). Em seguida,

computam-se o valor esperado do projeto em cada estado do instante da

opção em diante, até o final da vida útil do projeto. Esse valor de

continuação (VT) é comparado ao valor de abandono, e a decisão ótima é

tomado visando sempre a maximização do valor do projeto. Assim, o valor

do projeto com opção de abandono no período (T) é dado por:

1,*

00 0

max ,(1 ) (1 )

T ii j T

i Ti j

E C E VV

r r

−

= =

Ω = ++ +∑∑

, ,10*

00 0

(1 ) (1 ) max ,

(1 ) (1 )

Ti j j T S S

i j T ST iS

i Ti j

i Tp p C p p V

j SV

r r

− −−

=

= =

− − Ω

= ++ +

∑∑∑

67

Substituindo o valor de continuação do projeto da equação (3.14), ficamos

com:

,

,1 0*0

0 0

(1 ) max ,(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

T m i S Ti jT S Si j j

i Ti jT i S i T j S

i Ti j

E CTi p pp p C S rjV

r r

+ −−−

−− = = =

= =

− Ω − + = ++ +

∑ ∑ ∑∑∑

Substituindo o valor dos fluxos de caixa da equação (3.15) temos:

1*

00 0

0

(1 )(1 )

(1 )

(1 )(1 )

(1 ) max ,(1 )

(1 )

i j j i j jiiT i

ii j

i T j S j S i j jiiT m i S T

T S Si T

S i T j S

T

i Cp p u dj

Vr

i T Cp p u dT j S

p pS r

r

µ

µ

− −−

= =

− − + − −+ −

−−

= = =

− + = +

+

− − ⋅ − + − Ω +

++

∑∑

∑ ∑ ∑

(3.16)

A equação (3.16) nos dá o valor do projeto considerando uma única

opção de abandono num período qualquer T7. Como definimos

anteriormente a função valor como sendo o valor pré-dividendos, o valor de

continuação VT inclui os dividendos do período T. No caso, foi considerado

que o eventual abandono do projeto se dará imediatamente após o

recebimento dos dividendos do período T. Dessa forma, tanto o dividendo

quanto o valor de abandono serão recebidos, portanto, para efeito da análise

o valor dos dividendos no período T deve ser acrescido ao valor de

abandono Ω na fórmula (3.16) acima.

No caso também foi considerado que o valor terminal Ω é constante.

Pode-se verificar que a modelagem de um valor terminal Ω variável em

função do período e estado pode ser facilmente implementada. A

implementação de outros tipos de opções exige a alteração e adequação das

fórmulas apresentadas de forma a considerar as particularidades e o impacto 7 A verificação da fórmula pode ser feita mostrando que ela reverte para a fórmula (6.15)

quando se faz T = S = 0.

68

de cada tipo de opção. A inclusão de opções múltiplas implica em modelar o

valor de continuação de forma a incluir as opções futuras. Em um modelo de

programação dinâmica isso é feito automaticamente à medida que o valor do

projeto vai sendo computado desde o último período até o período inicial,

incorporando o valor de opção a cada instante de decisão existente.

3.4.7. Exemplo

Ilustraremos a estruturação do modelo teórico com um exemplo

simples de um projeto de quatro períodos. O projeto está sujeito a uma única

fonte de incerteza que é o valor futuro das suas receitas. A taxa de desconto

ajustada ao risco do projeto é de 10%, e a taxa livre de risco é de 5%.

Começamos a análise calculando o valor esperado dos fluxos de caixa

futuros e o valor presente do projeto no instante zero, conforme Tabela 3.

0 1 2 3 4

Receita 1000 1100 1200 1300 Custo Variável (400) (440) (480) (520)

Custo Fixo (240) (240) (240) (240) Depreciação (300) (300) (300) (300)

LAIR 60 120 180 240 IR 50% (30) (60) (90) (120)

Depreciação 300 300 300 300 Investimento (1,200)

Fluxo de Caixa (1,200) 330 360 390 420

VP0 = 1,177 WACC = 10% Investim = (1,200)

VPL = (23)

Tabela 3 – Planilha Determinística do Projeto

De acordo com a premissa primeira, assumiremos que $1.177 é o seu

valor atual de mercado. Como o projeto exige um investimento de $1.200,

podemos observar que o projeto tem VPL negativo, o que indique não é

ótimo a sua implantação. A evolução do valor do projeto no tempo foi

apresentada na Figura 7.

Assumiremos que as receitas futuras do projeto seguem uma

distribuição lognormal na forma dx xdt xdzα σ= + , com drift α = 6.5% e

volatilidade σ = 30%. Em seguida fazemos uma Simulação de Monte Carlo

69

modelando as receitas futuras como um Movimento Geométrico Browniano

com os parâmetros acima, e computando a cada iteração o valor da taxa de

retorno µ, onde ( )1 0ln /VP VPµ = . Calculando o desvio padrão de µ obtemos

uma estimativa para volatilidade do projeto de σ = 24.4%. Pela premissa

segunda, assumimos que a taxa de retorno µ tem distribuição normal,

portanto, o valor do projeto terá distribuição lognormal, que será

aproximada através de uma árvore binomial.

O próximo passo é o cálculo dos valores de u, d, e da probabilidade

neutra a risco p, conforme fórmulas já definidas anteriormente. Os pseudo

fluxos de caixa são computados utilizando-se as fórmulas (6.11) e (6.12), e

o valor do projeto é determinado aplicando-se os procedimentos usuais de

Programação Dinâmica, começando-se do período final e retornando ao

instante inicial descontando-se os fluxos à taxa livre de risco com

probabilidades neutras a risco. Na Figura 12 podemos ver o modelo

utilizado, observando-se que o valor presente obtido através da árvore

binomial é o mesmo da planilha determinística.

A lto

626.3 .541

[1957]

Baixo

384.5 .459

[1715]

T4 A lto

526.3 .541

[1846]

A lto

384.5 .541

[1512]

Baixo

236 .459

[1363]

T4 Baixo

323.1 .459

[1444]

T3 A lto

439.6 .541

[1661]

A lto

384.5 .541

[1342]

Baixo

236 .459

[1194]

T4 A lto

323.1 .541

[1274]

A lto

236 .541

[1069]

Baixo

144.9 .459

[977.7]

T4 Baixo

198.3 .459

[1027]

T3 Baixo

269.9 .459

[1160]

T2 A lto

364.7 .541

[1431]

A lto

384.5 .541

[1201]

Baixo

236 .459

[1053]

T4 A lto

323.1 .541

[1133]

A lto

236 .541

[928]

Baixo

144.9 .459

[836.9]

T4 Baixo

198.3 .459

[886.2]

T3 A lto

269.9 .541

[1020]

A lto

236 .541

[823.8]

Baixo

144.9 .459

[732.7]

T4 A lto

198.3 .541

[782]

A lto

144.9 .541

[656.1]

Baixo

88.93 .459

[600.2]

T4 Baixo

121.7 .459

[630.4]

T3 Baixo

165.7 .459

[712.4]

T2 Baixo

223.9 .459

[878.6]

T1 [1177]

Figura 12 – Árvore de Decisão do Projeto

70

O projeto tem uma opção de abandono no terceiro ano da sua vida útil,

pelo valor terminal de $350. Inserimos um nó de decisão que modela a

flexibilidade gerencial existente no ano 3 do projeto, conforme demonstrado

na Figura 13.

A lto

T 4/(1+ r) 4 B aixo

T 4/(1+ r) 4

C ontinua

T 4

A bandona

A bn_V alue/(1+ r) 3

A lto

T 3/(1+ r) 3 B aixo

T 3/(1+ r) 3

D ecisao

A lto

T 2/(1+ r) 2 B aixo

T 2/(1+ r) 2

T 3

A lto

T 1/(1+ r) B aixo

T 1/(1+ r)

T 2T 1

Figura 13 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono

Com a inclusão da opção de abandono, um novo valor presente do

projeto é calculado utilizando-se probabilidades neutras a risco, conforme

ilustrado na Figura 14. Em alguns estados a opção de abandono será

exercida, e o valor do projeto com esta opção real aumenta para $1.232. T 4

C o n tin u a [1 8 4 6 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [1 6 3 3 ]

D e c is a o A lto

5 2 6 .3 .5 4 1 [1 8 4 6 ]

T 4 C o n tin u a [1 4 4 4 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [1 4 3 0 ]

D e c is a o B a ix o

3 2 3 .1 .4 5 9 [1 4 4 4 ]

T 3 A lto

4 3 9 .6 .5 4 1 [1 6 6 1 ]

T 4 C o n tin u a [1 2 7 4 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [1 2 6 0 ]

D e c is a o A lto

3 2 3 .1 .5 4 1 [1 2 7 4 ]

T 4 C o n tin u a [1 0 2 7 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [1 1 3 5 ]

D e c is a o B a ix o

1 9 8 .3 .4 5 9 [1 1 3 5 ]

T 3 B a ix o

2 6 9 .9 .4 5 9 [1 2 1 0 ]

T 2 A lto

3 6 4 .7 .5 4 1 [1 4 5 4 ]

T 4 C o n tin u a [1 1 3 3 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [1 1 1 9 ]

D e c is a o A lto

3 2 3 .1 .5 4 1 [1 1 3 3 ]

T 4 C o n tin u a [8 8 6 .2 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [9 9 4 .4 ]

D e c is a o B a ix o

1 9 8 .3 .4 5 9 [9 9 4 .4 ]

T 3 A lto

2 6 9 .9 .5 4 1 [1 0 6 9 ]

T 4 C o n tin u a [7 8 2 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [8 9 0 .2 ]

D e c is a o A lto

1 9 8 .3 .5 4 1 [8 9 0 .2 ]

T 4 C o n tin u a [6 3 0 .4 ]

A b a n d o n a 3 0 2 .3 [8 1 3 .6 ]

D e c is a o B a ix o

1 2 1 .7 .4 5 9 [8 1 3 .6 ]

T 3 B a ix o

1 6 5 .7 .4 5 9 [8 5 5 ]

T 2 B a ix o

2 2 3 .9 .4 5 9 [9 7 0 .9 ]

T 1 [1 2 3 2 ]

Figura 14 – Projeto com Opção de Abandono

71

O mesmo resultado pode ser obtido utilizando-se a linguagem de

programação Visual Basic (VBA). No apêndice 6.4 é apresentado o código

VBA utilizado para a função que calcula o valor do projeto sem opção

(ComputeValue) e para o valor do projeto com opção de abandono no

terceiro ano (ComputeOption).

Uma vez definida a árvore de decisão do projeto e seus parâmetros

estocásticos, opções adicionais podem ser incluídas com facilidade.

Supondo que a opção de abandono possa ser exercida também no ano 2, e

que exista ainda a opção de expandir o projeto 30% neste mesmo ano um

custo de $100. A modelagem do problema está apresentada na Figura 15 e

na Figura 16 está representada a árvore de decisão completa do projeto.

Podemos observar que o valor do projeto aumenta nesse caso para $1.301, e

que a opção de expansão apenas não será exercida no estado mais

desfavorável do ano 2, enquanto que a opção de abandono continua sendo

exercida apenas no ano 3. As linhas em negrito na Figura 16 indicam a

decisão ótima que a empresa deve tomar naquele estado.

E xpande

-Invest/(1+ r) 2 a

C ontinua a

A bandona

A bn_V alue/(1+ r) 2

A lto

T 2/(1+ r) 2 B aixo

T 2/(1+ r) 2

D ecisao2

A lto

T1/(1+ r) B aixo

T1/(1+ r)

T2T1 A lto

T 4/(1+ r) 4 B aixo

T 4/(1+ r) 4

C ontinua

T4

A bandona

A bn_V alue/(1+ r) 3

A lto

T 3/(1+ r) 3 B aixo

T 3/(1+ r) 3

D ecisao3

a

T3

Figura 15 – Modelo do Projeto com Opção de Abandono e Expansão

Mesmo para um modelo simples como o apresentado aqui, podemos

ver que a árvore de decisão se torna complexa com rapidez. Para problemas

reais, a complexidade da árvore de decisão será tal que a sua visualização

será impossível, e adotaremos apenas a sua estrutura de modelagem para

representar a visualização do projeto.

72

C ontinua [2068]

Abandona 302.3 [1700]

D ecisao3 Alto

684.2 .541

[2068]

T4 C ontinua [1545]

Abandona 302.3 [1436]

D ecisao3 Baixo

420 .459 [1545]

T3 Expande

-90.7 [1827]

T3 C ontinua [1661]

Abandona

317.5

[1122]

D ecisao2 Alto

439.6 .541 [1827]

T4 C ontinua [1375]

Abandona 302.3 [1266]

D ecisao3 Alto

420 .541

[1375]

T4 C ontinua [1054]

Abandona 302.3 [1104]

D ecisao3 Baixo

257.8 .459 [1104]

T3 Expande

-90.7 [1251]

T3 C ontinua [1210]

Abandona

317.5

[952]

D ecisao2 Baixo

269.9 .459 [1251]

T2 Alto

364.7 .541 [1563]

T4 C ontinua [1234]

Abandona 302.3 [1125]

D ecisao3 Alto

420 .541

[1234]

T4 C ontinua [913.2]

Abandona 302.3 [963.2]

D ecisao3 Baixo

257.8 .459 [963.2]

T3 Expande

-90.7 [1110]

T3 C ontinua [1069]

Abandona 317.5 [811.2]

D ecisao2 Alto

269.9 .541 [1110]

T3 Expande

-90.7

[813.2]

T4 C ontinua [782]

Abandona 302.3 [890.2]

D ecisao3 Alto

198.3 .541 [890.2]

T4 C ontinua [630.4]

Abandona 302.3 [813.6]

D ecisao3 Baixo

121.7 .459 [813.6]

T3 C ontinua [855]

Abandona 317.5 [707]

D ecisao2 Baixo

165.7 .459 [855]

T2 Baixo

223.9 .459 [992.7]

T1 [1301]

Figura 16 – Projeto com Opção de Abandono e Expansão

4 Aplicação ao Caso de uma Concessão Rodoviária

4.1. Introdução

Devido à falta de capacidade de investimento do setor público no

Brasil, e também seguindo uma tendência mundial, na década de 90 o

governo federal e diversos governos estaduais reorganizaram as suas

prioridades de investimento e passaram a leiloar concessões públicas ao

setor privado, que assumiria a responsabilidade dos investimentos

necessários em troca dos direitos de exploração do serviço concedidos.

Uma das áreas em que isso ocorreu foi no setor de infra-estrutura, em

particular, nos setores de energia e transporte.

Dado que investimentos em infra-estrutura são tipicamente de longo

prazo de maturação, para o investidor privado, estes investimentos

apresentam considerável risco econômico e também, político. No caso de

uma concessão rodoviária, o risco econômico é decorrente da volatilidade

do tráfego na rodovia, da taxa de câmbio, visto que estes projetos

geralmente têm parcela significativa do investimento financiada em moeda

estrangeira, e outras fontes de incerteza como taxas de juros e inflação. O

risco político é decorrente da incerteza sobre o compromisso de longo prazo

do setor público com a política de privatização de serviços.

Numa concessão rodoviária o risco político é relevante devido aos

grandes investimentos necessários nos anos iniciais, que só passam a ser

compensados por grandes fluxos de caixa para os investidores muitos anos à

frente, quando o ambiente político pode estar significativamente diferente

do ambiente reinando no inicio da concessão. Além disso, ao contrário dos

Estados Unidos e principalmente da Europa, praticamente não havia no

Brasil rodovias pedagiadas, sendo que o custo de implantação e operação

das rodovias no país sempre foi arcado por toda a sociedade e não apenas

por seus usuários. Nesse contexto, é natural que o usuário em geral fosse

74

avesso a um processo que passasse a lhe cobrar por um serviço que até então

lhe era gratuito.

Para lidar com o risco político, o investidor tipicamente adota um

prêmio de risco arbitrário, que é adicionado à taxa de desconto ajustada ao

risco econômico do projeto. Essa taxa é arbitraria porque o risco político é

um risco privado da empresa, isto é, não correlacionado com o mercado.

Dessa forma, não é possível determinar um prêmio de risco para essa

incerteza baseando-se em condições de equilíbrio de mercado. Infelizmente,

o uso desta metodologia pode levar a empresa a tomar decisões não ótimas,

como aumentar em demasia o valor ofertado para o pedágio para compensar

o risco político percebido, e correr o risco de ser preterido no leilão da

concessão por excesso de conservadorismo.

Além disso, uma concessão rodoviária apresenta flexibilidades

operacionais. A operação, por exemplo, pode ser expandida através da

construção de faixas de trafego adicionais para aumentar a capacidade de

escoamento da rodovia e conseqüente incremento nas receitas de pedágio,

ou mesmo através do investimento em novas concessões. No caso das

receitas ficarem muito aquém do esperado por qualquer motivo, o projeto

também pode ser abandonado através de uma opção contratual implícita. A

presença dessas opções faz com que a análise pelo método do Fluxo de

Caixa Descontado tradicional leve o investidor a subestimar o real valor do

empreendimento. A metodologia proposta no Capítulo 3 será aplicada a

valoração de um projeto de concessão rodoviária típico em condições de

incerteza de mercado, considerando suas opções reais e incorporando os

efeitos do risco político.

4.2. Histórico

Em 1995, o governo brasileiro aprovou uma revisão da Lei de

Concessão das estradas que permitia ao governo transferir rodovias, bem

como outras instalações públicas e serviços, para concessionários

particulares. Esse processo foi deflagrado com a concessão pelo Ministério

dos Transportes em cerca de 856,4 km de rodovias federais, incluindo a

ponte Rio-Niterói, cujos 13,2 km conectam a cidade do Rio de Janeiro ao

75

norte do país. O plano do governo era reduzir a rede de estradas federais de

67.000 km para cerca de 50.000km e de transferir a operação, manutenção e

execução das melhorias necessárias em cerca de 10.700 km de estradas de

alto volume de tráfego para concessionários particulares, que recuperariam

os seus investimentos através da cobrança de pedágio. O plano do governo

era composto de um programa de descentralização, elaborado com a

assistência do Banco Mundial, que previa também a transferência da

responsabilidade de estradas para os governos estaduais.

A malha rodoviária brasileira possui aproximadamente 1,6 milhão de

km, volume esse considerado insuficiente para atender as necessidades de

um país com as dimensões continentais do Brasil. Essas estradas são

classificadas em três níveis administrativos:

3. Uma rede com 67.000 km sob jurisdição federal, dos quais 50.000 km são pavimentados e 17.000 km não pavimentados;

4. Redes estaduais com 200.000 km sob as jurisdições das 27 estados, dos dois territórios federais e o Distrito Federal, dos quais 87.000 km são pavimentados; e

5. Redes municipais que se estendiam por mais de 1,4 milhão km, sob as jurisdições de mais de 4.000 municípios, dos quais apenas 10.000 são pavimentados.

O Ministério dos Transportes considera que 92% dessas estradas não

tem o grau de segurança mínimo desejado. Na Tabela 4 podemos ver a

comparação da extensão das malhas de transporte do Brasil com a de outros

países8.

País Rodovias (x 1.000 km)

Ferrovias (Km)

EUA 6.300 177,712 Brasil 1.700 30,277 Japão 1.100 20,251 França 811 32,574

Alemanha 636 40,398 Índia NA 62,486

Tabela 4 – Comparação da Malha de Transporte

8 U. S. Department of Commerce - National Trade Data Bank, November 3, 2000

76

Devido à pequena extensão da sua malha ferroviária e hidroviária, e o

alto custo do transporte aéreo, o transporte rodoviário representava mais de

60% do transporte de carga doméstica e 90% do movimento de passageiros

no Brasil. Os gastos anuais com o transporte rodoviário eram significativos,

e em 1995 eram estimados em US$ 60 bilhões, o que correspondia a quase

15% de Produto Interno Bruto (PIB) do país. Na Figura 17 podemos ver a

importância do transporte rodoviário no transporte de carga no Brasil, em

relação a outros países no mundo, em toneladas por km.

8%

24% 26%

63%

0%

25%

50%

75%

China Australia EUA Brasil

Figura 17 – Participação do Transporte Rodoviário de Carga no Total

Na Figura 189 podemos observar o crescimento da importância da

malha rodoviária no país, em relação aos demais meios de transporte.

TKm milhões

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

1990 1993 1996 1999Dutos Hidrovias Ferrovias Rodovias

Figura 18 – Carga transportada por modalidade no Brasil (1990-1999)

9 Confederação Nacional dos Transportes

77

Até o momento cerca de 10.000 km de estradas, sendo 1.700 km

federais e 8.300 km estaduais foram privatizadas (Tabela 5), envolvendo 32

empresas concessionárias e US$ 12 bilhões de dólares de investimento

previstos, sendo que a maior parte dessas concessões se localizam em cinco

estados do Sul e Sudeste, onde se encontram os maiores centros urbanos e

industriais. A continuação deste programa levará o Brasil a ser o país com o

maior número de estradas privatizadas no mundo, seguido da Argentina com

10.000 km e Estados Unidos com 8.500 km.

Concessões Km

Concessões federais contratadas 1.700

Concessões estaduais contratadas 8.300

Concessões em licitação ou a licitar 13.000

Total 23.000

Tabela 5 – Resumo das Concessões10

4.3. A Concessão Rodoviária

Uma concessão rodoviária é um acordo contratual entre a companhia

vencedora do leilão e o governo. De um modo geral, as principais

características desse tipo de concessão são a existência de um prazo definido

para explorar o negócio, a necessidade de altos investimentos durante os

primeiros anos da concessão e pagamento de ônus ao Estado. Uma das

vantagens da concessão rodoviária em estradas de alto tráfego é que

geralmente elas apresentam uma grande capacidade de geração de caixa,

que no caso da concessão de rodovias já existentes podem ser estimados

com razoável grau de confiabilidade a partir de dados históricos. Por outro

lado, a cobrança de pedágio é uma atividade de alta visibilidade para

usuários e obriga a concessionária a lidar diretamente com o público para

cobrar pela prestação de serviços que até então eram gratuitos para estes

usuários. Isso muitas vezes provocava conflitos de interesse com grupos

10 Fonte: ANTT - http://www.antt.gov.br , ABCR - http://www.abcr.org.br

78

prejudicados com algum poder de influência política ou da mídia, que

exacerbavam o potencial de interferência governamental na concessão,

especialmente dado o longo prazo do projeto.

A concessão da rodovia obriga a empresa vencedora a uma série de

investimentos na estrada conforme estabelecido em contrato, podendo

incluir ou não a exigência de construção de novos trechos, e geralmente é

outorgada a empresa que ofereça o menor preço para o pedágio. O vencedor

ganha então o direito de operar a rodovia durante um período de 20 anos e

de cobrar o pedágio proposto, enquanto o governo retém a posse legal dos

bens físicos. Depois deste período, a rodovia volta ao poder concedente livre

de quaisquer obrigações. O contrato prevê também que a tarifa do pedágio

seja reajustada de acordo com a inflação acumulada no período segundo

fórmula preestabelecida, e tem como objetivo de manter o equilíbrio

econômico-financeiro do projeto no mesmo nível daquele proposto

inicialmente. Situações excepcionais, fora do controle da concessionária, e

que venham a afetar o retorno do projeto, também poderão ser considerados

para efeito de reajuste de tarifa. A fiscalização da concessão é

responsabilidade da Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT)11,

criada em junho de 2001 através da Lei n.º 10.23312, a quem cabe a

responsabilidade de outorgar, administrar e fiscalizar as concessões do

transporte público rodoviário e ferroviário no país.

4.4. O Projeto

O projeto em questão trata de uma concessão rodoviária no Brasil de

uma estrada de grande porte por um período de 20 anos. O projeto será

estruturado como um Project Finance, onde será constituída uma empresa

com o propósito específico de participar da licitação, e investir e operar o

projeto se vencedora, nos moldes de uma SPC (Special Purpose Company).

Os acionistas da empresa são privados. O capital necessário para os

investimentos virá de fontes de financiamento externo, geração de caixa do

11 http://www.antt.gov.br 12 http://www.antt.gov.br/Lei10233.htm

79

projeto e aporte de recursos dos acionistas. Além das incertezas a respeito

dos riscos de mercado e do risco privado, o projeto apresenta flexibilidades

gerenciais, ou opções reais, que podem levar os gerentes a um extremo de

abandonar a concessão caso o cenário futuro se mostre extremamente

desfavorável, ou de expandir o negócio para outras oportunidades internas

ou externas à concessão, caso os resultados iniciais do projeto sejam

satisfatórios.

4.4.1. Investimento e Depreciação

A maior parte dos investimentos necessários, estimados em R$ 300

milhões, será realizada nos primeiros cinco anos, o que é típico em projetos

deste tipo. Após os primeiros cinco anos, com a rodovia já dentro dos

padrões de segurança e qualidade pré-estabelecidos, o volume de

investimentos se reduz e a prioridade passa a ser a sua manutenção. Nos

cinco anos seguintes, considerou-se que os investimentos sejam distribuídos

uniformemente ao longo desse período. Após o décimo ano da concessão

não estão previstos novos investimentos, além das despesas normais de

manutenção da rodovia, sendo que o contrato de concessão requer que a

rodovia seja entregue em boas condições operacionais e livre de quaisquer

ônus após o período de concessão. Os investimentos realizados serão

depreciados pelo prazo restante, independente de quando executadas, de

forma que o valor contábil dos ativos seja zero ao final da concessão.

4.4.2. Custos Operacionais

Os custos operacionais da rodovia envolvem a prestação de serviços

aos motoristas, estações de primeiros socorros médicos e serviço de

ambulância, veículos de emergência para reboque de veículos acidentados,

recapeamento do pavimento, reparo de cercas e guard-rails, sinalização,

limpeza e reparos nos muros de contenção e sistemas de drenagem,

renovação estrutural, alargamento e reconstrução de pontes, viadutos e obras

de arte, barreiras divisórias do canteiro central, construção de novos acessos,

e a operação das estações de pesagem e das praças de pedágio e

80

administração. A concessionária também é responsável pelos custos

adicionais referentes aos seguros a serem contratados, garantias contratuais,

performance bond, taxas de inspeção e outras despesas correlatas durante

todo o período da concessão. Esses valores crescem nos primeiros cinco

anos e depois se mantêm constantes até o final do prazo de concessão.

4.4.3. Plano Financeiro

Os custos do projeto estão estimados em R$ 300 milhões, sendo que

R$ 120 milhões serão financiados com capital de terceiros, e o restante com

capital acionário e pela própria geração de caixa do projeto. No caso foi

considerado que 50% do financiamento foi contratado internamente através

de uma agencia de desenvolvimento nos moldes do BNDES, e o restante no

mercado externo em moeda norte americana, na modalidade “stand by”.

Ambos empréstimos tem prazo de carência e serão amortizados em 10 anos

pelo sistema de amortização constante (SAC), onde o principal é pago em

parcelas iguais, e os juros são calculados sobre o saldo devedor do período.

Os valores ficam disponíveis para a concessionária a partir do início da

concessão, e vão sendo sacados à medida das necessidades de investimento,

com os juros pagos apenas sobre o saldo devedor. Considerou-se que o

empréstimo local tenha um custo de TJLP + 3% a.a., e o empréstimo

externo de LIBOR + 3.5% a.a.

4.5. Análise de Risco

4.5.1. Risco de tráfego

A Taxa Média Diária Anual (TMDA) de tráfego na rodovia é

atualmente de 10.000 veículos. É largamente utilizado na análise de

rodovias a premissa de que o volume de tráfego é correlacionado com o PIB

do país, dado que o aumento de renda amplia as oportunidades das pessoas e

o incremento da vontade de viajar está vinculado ao fato de que as pessoas

querem tirar mais vantagem das novas oportunidades. O aumento da

produção também leva a um aumento na demanda por transporte dos bens

81

produzidos. Utilizando dados históricos do PIB desde 1970 (Figura 19),

obtemos um crescimento médio de µ = 4.44% a.a. e volatilidade σ = 4.54%

para o período, assumindo que tanto o PIB quando o volume de tráfego tem

distribuição lognormal. No caso de existirem séries históricas de volume de

tráfego, essas séries podem ser correlacionadas com a série do PIB para

estabelecer uma projeção de crescimento futura, através de uma análise de

regressão. Foi estabelecido também um limite superior para o tráfego na

rodovia equivalente a sua capacidade máxima de tráfego, de 20.000

veículos/dia, equivalente ao dobro da sua atual capacidade de tráfego. Este

limite já considera as melhorias que serão realizadas na rodovia ao longo do

período de concessão, mas não inclui futuras expansões como a construção

de faixas de tráfego adicionais.

-5%

0%

5%

10%

15%

1970 1980 1990 2000

Figura 19 – Variação Anual do PIB (1970 - 2001)13

4.5.2. Risco Cambial

Uma parte do financiamento do projeto é denominado em moeda

estrangeira (USD), enquanto que as receitas serão todas em Reais. Isso pode

acarretar o risco de perdas no curto prazo no caso de desvalorização

acentuada da moeda, uma vez que a periodicidade do reajuste da tarifa é

anual.

A evolução recente da taxa de câmbio histórica real no Brasil pode ser

dividida em duas épocas distintas, se desconsideramos o período de alta

13 Fonte: IPEA

82

inflação antes do início do Plano Real em 1994. De 1994 até janeiro de

1999, ocorre uma fase de baixa volatilidade em que o taxa de câmbio era

determinada pelo Banco Central. Essa fase terminou abruptamente em meio

à crise econômica mundial de 1998, que levou o Banco Central a liberar o

câmbio em janeiro de 1999. Desde então, o câmbio passou a apresentar

uma volatilidade significativamente maior, além de um expressivo

crescimento em termos reais, da ordem de 21% a.a. (Figura 20).

-10%

0%

10%

20%

Ago 94 96 98 00 Ago 02

Figura 20 – Variação Mensal da Taxa de Câmbio (1994-2002)

Também não se observa um processo de reversão a média como era de

se esperar para essa variável. Mesmo considerando esse valor excessivo, no

segundo semestre do ano de 2002 observou-se um aumento ainda mais

significativo tanto na volatilidade quanto na sua taxa de crescimento, o que

nos parece insustentável no longo prazo. Dessa forma, dado que o tamanho

da série histórica disponível relativa ao período de câmbio flutuante é

insuficiente para que possamos determinar a partir dele o processo

estocástico desta variável ou os seus parâmetros, para o crescimento foi

arbitrada a taxa de µ = 8%, e para a volatilidade adotou-se a volatilidade

observada no período desde 1994, obtendo σ = 11.4%. Assumimos ainda

que a variável tem distribuição lognormal.

83

4.5.3. Riscos de Inflação e taxa de juros

Tanto os empréstimos em moeda local quanto os empréstimos em

moeda estrangeira tem taxas de juros flutuantes, portanto, o custo financeiro

do projeto pode sofrer variações ao longo do prazo de concessão.

Geralmente a fórmula de reajuste do contrato estabelece previsão para

reajustes periódicos que levam em conta os efeitos da inflação, mas o risco

de juros corre por conta da concessionária, que pode optar por fazer hedge,

se necessário. O empréstimo do BNDES adota uma parcela variável que é a

Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP), cujo valor em março/2002 era de

10% a.a., e o seu custo total de TJLP + 3% a.a.14. A TJLP reflete o custo de

captação dos recursos do BNDES, e é fixada trimestralmente pelo Conselho

Monetário Nacional. A TJLP é dada pelo somatório da meta de inflação,

calculada pro rata para os doze meses seguintes ao primeiro mês de

vigência da taxa, inclusive, baseada nas metas anuais fixadas pelo Conselho

Monetário Nacional (CMN) e do prêmio de risco, que incorpora uma taxa

de juro real internacional e um componente de risco Brasil. O empréstimo

em moeda estrangeira tem um custo de LIBOR + 3.5% a.a., sendo que

março de 2002 o seu valor era de 2.63% a.a.15.

Considera-se que um processo de reversão à média reflete melhor o

processo estocástico da evolução da taxa de juros, e também para

commodities, que um Movimento Geométrico Browniano. Assumimos que

o processo da taxa de juros é o Ornstein-Uhlenbeck Geométrico, na forma:

( ) PdP P P Pdt Pdzη σ= − +

onde ή é o fator de reversão à média

P é a taxa de juros média no longo prazo

σP é a volatilidade da taxa de juros

14 http://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp 15 http://www.hsh.com/indices/libor.html

84

Dado que a série da TJLP é pequena (desde 1995 apenas) e que a

TJLP incorpora uma componente de juros internacional, utilizamos a série

histórica mensal da LIBOR de 6 meses desde 1987 (Figura 21) para a

determinação da taxa de juros de longo prazo. O valor encontrado de P =

5.85% está coerente com Luenberger (1998), pág. 407, que considera que a

taxa de juros de longo prazo do mercado é cerca de 6% a.a. A volatilidade

da série foi de σP = 6.7% e o fator de reversão à média foi arbitrado em ή =

4.0.

0%

3%

6%

9%

12%

1987 1990 1993 1996 1999 2002

Figura 21 – LIBOR 6 meses

4.5.4. Risco Político

Dado que a operação da concessão envolve a cobrança de pedágio

numa estrada até então de trânsito livre, era provável que houvesse uma

reação dos usuários contra essa cobrança obrigatória. Esperava-se, no

entanto, que as melhorias realizadas na rodovia servissem para mostrar aos

usuários que havia uma relação custo/benefício positiva. Um dos problemas

é que a cobrança de pedágio é um serviço de alta visibilidade pública, e que

torna o governo sujeito a pressões políticas de usuários da rodovia, não

acostumados a pagar diretamente pelos serviços recebidos. Outro, é que

devido ao grande volume de investimentos necessários nos anos iniciais, a

maior parte da geração de caixa do projeto só ocorre muitos anos dentro do

projeto. Assim, na hora em que a concessão estiver tendo uma alta

85

lucratividade e com poucos investimentos sendo realizados, a

concessionária fica exposta a pressões políticas visando à redução da tarifa.

O próprio processo de privatização, não só das rodovias, mas como de todos

os ativos em poder do governo que agora estava sendo transferido para o

setor privado, tem sido alvo de críticas constantes por parte de setores da

sociedade que discordam desta política, e que advogam uma participação

mais extensiva do Estado na economia. Dessa forma, é possível que durante

o longo prazo da concessão, possam ocorrer mudanças políticas

significativas no país que levem ao poder um governo com objetivos

distintos no tocante ao processo de privatização.

Considera-se que o efeito do risco político seja o de não repassar

aumentos de custos não administrados para a tarifa, como variações

extraordinárias na taxa de câmbio, juros ou inflação, repasse para a

concessionária de ônus não previstos inicialmente no contrato, e até a

intervenção na concessão resultando em sua encampação ou rescisão

contratual. Para o estudo de caso, foi considerado que as intervenções mais

extremas estão previstas em contrato e implicam em indenização da

concessionária pelos investimentos realizados. Assim, para efeitos deste

estudo de caso, considerou que o impacto do risco político é o de afetar

negativamente a tarifa básica do pedágio, qualquer que seja a justificativa

para isso. A maneira usual de incorporar os impactos do risco político em

projetos é incluir um prêmio de risco adicional, geralmente na faixa de 2% a

3%, à taxa de mercado do projeto. No entanto, essa taxa adicional é

arbitrária e não leva em conta as particularidades da diversificação de risco

dos investidores. O tratamento proposto incorpora explicitamente estas

características e não implica na utilização de taxas arbitrárias.

Assumimos que a distribuição de probabilidades de perda de valor no

pedágio é discreta, e seus parâmetros são os da Tabela 6:

Prob Valor da Redução

50% 0

30% 5%

20% 10%

Tabela 6 – Parâmetros do Risco Político

86

Na modelagem do problema considerou-se que a fase crítica de maior

exposição ao risco político ocorre a partir na segunda metade da concessão,

do ano 10 ao ano 15, inclusive. A justificativa para isso é que nos anos

iniciais, quando a concessionária está incorrendo em pesados investimentos

e a rentabilidade do projeto é baixa ou negativa, o risco de interferência

externa é pequeno. Por outro lado, o risco também tenderia a diminuir à

medida que se aproxima o final do período de concessão. Essas premissas

têm a vantagem adicional de simplificar a parte computacional do projeto,

que cresce exponencialmente com cada opção acrescentada.

4.6. Modelo Financeiro

A partir dos parâmetros estabelecidos para a evolução do volume de

tráfego na rodovia, foram projetados os níveis de tráfego médios diário

anuais para os próximos 20 anos. O tráfego na rodovia ocorre 365 dias no

ano e é cobrado nos dois sentidos. Os dados de tráfego são dados em

unidades, sem fazer distinção entre automóveis e veículos de carga. Como

os veículos de carga pagam mais pedágio do que os automóveis, utiliza-se

um fator multiplicador para normalizar os dados de tráfego, conhecido como

Veiculo Equivalente (VHE). Para o caso em questão, o VHE é de 2.2 e

assumido constante durante todo o período da concessão. A receita total da

concessão no ano t então é dada pela fórmula:

365 2t t tR TMDA P VHE= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Onde

Rt = Receita total no ano t

TMDAt = Tráfego Médio Diário Anual no ano t

Pt = Preço do Pedágio no ano t

VHE = Fator Multiplicador de Veiculo Equivalente

87

Em toda a análise foram considerados valores reais. O modelo do

fluxo de caixa adotado está apresentado Tabela 7:

Fluxo de Caixa Receita de Pedágio - Imposto sobre pedágio = Receita Liquida

- Custos Oper e de Manut - Seguro, Taxas e Garantias - Juros - Depreciação = LAIR

- IR = Lucro Líquido

+ Depreciação + Financiamento - Investimentos - Amortizações

= Fluxo de Caixa do Acionista

Tabela 7 – Fluxo de Caixa do Projeto

(1 ) (1 )t t t t t t t t t tC R IP CO S J IR D F I AMδ= − − − − − − + + − − (4.1)

onde

21tInvest AcumD

t=

−

Rt = Receita de Pedágio

IP = Alíquota do Imposto sobre Pedágio

COt = Custo Operacional

St = Seguros, taxas e garantias.

Jt = Juros

IR = Alíquota de Imposto de Renda

Ft = Financiamento

It = Investimento

AMt = Amortização do Financiamento

88

Na Tabela 8 temos os principais dados utilizados na modelagem

financeira do projeto.

Variável Valor Unidade

Dados Técnicos Período da concessão 20 anos

Tráfego Inicial 10.000 TMDA Capacidade Máxima 20.000 TMDA

Início da Operação Jan/2003 VHE 2,2 Fator Veículo Equivalente

Dados Financeiros

Investimento 300 R$ Milhões Financiamento Local 60 R$ Milhões,

Cronograma Desembolso 20% Por ano durante cinco anos Taxa de Juros TJLP + 3% a.a.

Carência 3 anos Amortização SAC 10 anos

Financiamento Externo 60 R$ Milhões (equivalente em USD)

Cronograma Desembolso 20% Por ano durante cinco anos Taxa de Juros LIBOR + 3.5% a.a.

Carência 5 anos Amortização SAC 10 anos

Tarifa Pedágio 3.75 R$

Imposto sobre Pedágio 6% Percentual sobre Receita Pedágio Imposto de Renda 30% Percentual sobre LAIR

Taxa Ajustada ao Risco

Acionista 21% a.a.

Taxa Livre de Risco 8% a.a. Taxa inflação 5% Considerados valores reais.

Tabela 8 – Dados do Projeto

89

4.7. Flexibilidade Gerencial do Projeto: Opções Reais

Ao contrário de projetos de extração mineral como petróleo, cobre,

etc., ou mesmo projetos onde a empresa detém opção de investimento com

longo prazo de exercício, uma concessão rodoviária exige que o

concessionário inicie os seus investimentos de imediato, dado que é um

serviço público que não pode ser adiado sem prejuízo para a população. Não

existe, portanto, nenhuma flexibilidade quanto à possibilidade de se adiar o

investimento necessário. Por outro lado, podemos definir duas outras opções

relevantes para este projeto: a opção de abandono e a opção de expansão

para novos projetos.

4.7.1. Opção de Abandono

Embora não exista previsão explicita para a hipótese de abandono da

concessão por parte do concessionário, ela está implícita nas cláusulas

contratuais que abordam os casos de extinção do contrato. O contrato de

concessão da Via Dutra, o maior projeto da rede federal, menciona: (os

grifos são nossos).

“113. Nos casos de adventos do termo contratual e encampação... procederá aos levantamentos e avaliações necessários a determinação do montante de indenização que será devida a CONCESSIONARIA na forma prevista nos itens 114 e 115.

114. A reversão no advento do termo contratual far-se-á com indenização das parcelas dos investimentos que tenham sido realizados com o objetivo de garantir a continuidade e atualidade dos serviços pertinentes a concessão.

115. Considera-se encampação a retomada do serviço pelo poder concedente, durante o prazo da concessão, por motivo de interesse público, mediante lei autorizativa especifica e após prévio pagamento da indenização prevista no item anterior.

116. A inexecução total ou parcial do CONTRATO de concessão acarretará, a critério do DNER, a declaração de caducidade da concessão, ou a aplicação de sanções contratuais.

117. A caducidade poderá ser declarada pelo DNER quando:

a) O serviço estiver sendo prestado de forma inadequada ou deficiente, tendo por base as normas, critérios, indicadores e parâmetros definidores da qualidade do serviço;

b) A CONCESSIONARIA descumprir cláusulas contratuais ou disposições legais e regulamentadoras concernentes a concessão;

90

c) A CONCESSIONARIA paralisar o serviço ou concorrer para tanto, ressalvadas as hipóteses decorrentes de casos fortuitos ou forca maior;

d) A CONCESSIONÁRIA perder as condições economias, técnica ou operacionais para manter a adequada prestação do serviço concedido;

e) A CONCESSIONÁRIA não cumprir as penalidades impostas por infrações, nos devidos prazos;

f) A CONCESSIONÁRIA não atender a intimação do DNER no sentido de regularizar a prestação do serviço;

g) A CONCESSIONÁRIA for condenada em sentença transitada em julgado por sonegação de tributos, inclusive contribuições sociais.

....

120. Instaurado o processo administrativo e comprovada a inadimplência, a caducidade será declarada por decreto do Chefe do Poder Executivo, independente da indenização prévia, calculada no decurso do processo.

121. A indenização de que trata o item acima, será devida na foram dos itens 113 e 114, descontado o valor das multas contratuais e dos danos causados pela CONCESSIONÁRIA.”

Fica claro que qualquer que seja a forma ou o motivo da rescisão

contratual será devida uma indenização equivalente ao valor contábil dos

investimentos já realizados, deduzidos quaisquer custos e/ou multas

devidas, inclusive com execução das garantias, se for o caso. Se a empresa

quiser abandonar a concessão, ela poderá fazer isso de comum acordo, ou

unilateralmente, dando causa para que o DNER invoque a cláusula de

caducidade da concessão. Em ambos os casos haverá custos que reduzirão o

montante a ser recebido como indenização, sendo que na situação de litígio,

obviamente, os custos seriam maiores. No caso, consideramos a hipótese

mais conservadora de rescisão litigiosa, estimando os custos dessa opção de

abandono em 30% do valor da indenização a ser recebida. Qualquer saldo

devedor de financiamentos também deverá ser quitado previamente ao

abandono, pois o contrato de financiamento certamente tem cláusula que

resguarda os credores desse tipo de risco, e exigirão que os empréstimos

sejam quitados antecipadamente. Para efeitos de simplificação, o período de

exercício da opção foi limitado ao período entre o ano 4 e o ano 10 da

concessão. Na Tabela 9 podemos ver um resumo da opção de abandono.

91

Opção de Abandono

Preço de Exercício: Quitação do Saldo Devedor Financiamento

Inicio da Opção: Ano 4

Prazo de Expiração: Ano 10

Beneficio: 70% do Valor Contábil dos Investimentos

Tabela 9 – Parâmetros para a Opção de Abandono

A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de

continuação com o valor de abandono naquele período:

max Valor de Continuaçao , Valor de Abandono

max , 0.70t t t tV C VC SD+ −

onde

Vt = Valor de Continuação no período t

Ct = Fluxo de Caixa do Projeto no período t

VCt = Valor Contábil no período t

SDt = Saldo Devedor do Financiamento no período t+1

Note que em tempo discreto, por convenção, consideramos que todos

os eventos relativos ao projeto ocorrem ao final de cada período, quando são

distribuídos os dividendos. Os valores do projeto em qualquer período são

sempre valores pré-dividendos, e instante do abandono é após o recebimento

dos dividendos. Dessa forma, tanto o valor de continuação quando a opção

de abandono incluem o valor do dividendo do período. Podemos observar

também que esta opção tem preço de exercício variável.

4.7.2. Opção de Expansão

Caso o volume de tráfego o justifique, durante a vigência da

concessão a concessionária pode aumentar a escala do projeto, seja através

do aumento da capacidade de escoamento da rodovia ampliando o número

de faixas de tráfego dentro da sua faixa de domínio, seja através de possíveis

extensões do projeto para outras localidades, aumentando a quilometragem

da estrada. Essa decisão implicará no aumento da receita de pedágio e

92

exigirá um investimento nas obras civis que se fizerem necessárias,

caracterizando, portanto, uma opção de expansão do projeto.

Uma outra forma de expandir o projeto é através de investimentos em

outras concessões. O programa de privatização de estradas no Brasil ainda

está na sua fase inicial, e por ser um negócio ainda novo, existem vantagens

competitivas para os pioneiros. Até o momento foram privatizadas algumas

estradas federais, como a Ponte Rio-Niterói, a Via Dutra, a rodovia Rio-

Petrópolis-Juiz de Fora, Rio-Teresópolis, além de outras rodovias estaduais

no Rio de Janeiro, São Paulo, Minas, Paraná e Rio Grande do Sul. O nível

de conservação das rodovias existentes e o déficit de rodovias quando

comparado a países mais desenvolvidos mostra que existem ainda grandes

oportunidades e potencial para a expansão para outras concessões nesta

área. Dada a falta de recursos para investimento em projetos de infra-

estrutura do setor público, projetos de novas rodovias também podem ser

viabilizados através de esquemas de compartilhamento de riscos entre o

setor público e o setor privado. As oportunidades de expansão se estendem

também para além das fronteiras do país. Na América Latina, vários países

estão lançando seus próprios programas de privatização de estradas, atraindo

o interesse de diversas companhias multinacionais. O potencial de novos

negócios não se limita apenas a concessões rodoviárias, mas também a

outras concessões de infra-estrutura de transportes, como aeroportos,

ferrovias e hidrovias. Por outro lado, num ambiente competitivo, a expansão

para outras oportunidades de investimento em outras concessões não

representa uma opção proprietária, uma vez que essa opção é compartilhada

com outras empresas competidoras. No caso, dada a magnitude do

investimento exigido e o grande volume de concessões ainda por serem

licitadas, considerou-se que haverá oportunidades suficientes para todas as

empresas habilitadas, de forma a configurar uma opção proprietária para

cada uma.

Além das novas oportunidades de investimento futuro, existe a

possibilidade de se alavancar o valor do negócio através da abertura de

capital da concessionária (IPO) para atrair novos investidores. Um IPO

tipicamente tem um grande potencial de criação de valor para os

patrocinadores do projeto devido à diluição de capital que se observa nesses

93

casos, contanto que algumas pré-condições existam, como um bom histórico

de performance do projeto e potencial de crescimento.

A estratégia necessária para exercer a opção de crescimento implica

em expandir a concessão original para outras adicionais em condições de

alta rentabilidade, potencial de crescimento e abertura de capital para atrair

novos investidores. Consideramos que seriam necessários pelo menos 4

anos para a concessionária estabelecer um histórico de sucesso na

administração do projeto e para recuperar a sua capacidade de investimento.

Isso permitiria que ela estivesse preparada para aproveitar oportunidades de

expansão nos anos seguintes através de opções múltiplas. Para tanto foram

consideradas três novas oportunidades de concessão representando um

investimento num projeto com 50% do tamanho da concessão original, nos

anos 4, 7 e 10, levando-se em conta os ganhos que se traduzem num

investimento 50% menor decorrente do ganho de escala, know how e

experiência adquirida com o projeto original. Uma das características destas

opções é que elas são pontuais, pois surgem e expiram no ato do leilão de

licitação. Na Tabela 10 podemos ver um resumo das opções de

crescimento.

Opção de Expansão

Preço de Exercício: Investimento de 25% da Concessão Original

Opção 1: Ano 4

Opção 2: Ano 7

Opção 3: Ano 10

Prazo de Expiração: Imediato

Beneficio: Aumento de 50% no Fluxo de Caixa

Tabela 10 – Parâmetros para a Opção de Expansão

A decisão ótima em cada período é tomada comparando-se o valor de

continuação com o valor da opção de expansão naquele período:

max Valor de Continuaçao , Valor de Expansão

max , 1.5 0.25t t tV C V I+ −

94

Vt = Valor de Continuação no período t

Ct = Fluxo de Caixa do Projeto no período t

I = Investimento Líquido no Projeto16

4.8. Solução

A modelagem deste projeto através dos modelos tradicionais de tempo

contínuo tem formulação matemática complexa devido às suas

características, que são comuns a este tipo de projetos. Essas características

são as três fontes de incerteza estocásticas, o tempo finito da concessão (20

anos), o limite superior para o volume de tráfego na rodovia, e a existência

de opções múltiplas ao longo de sua vida útil. Na modelagem proposta

veremos que estas questões podem ser resolvidas sem maiores problemas

sem ter que recorrer a simplificações exageradas na modelagem do

problema.

4.8.1. Modelagem Determinística: FCD sem Opções

Foi considerado inicialmente apenas o projeto em condições de

certeza, para efeito da montagem do cenário básico, sem a inclusão de

nenhum tipo de opção de flexibilidade gerencial. Foi adotada a taxa de custo

de capital próprio (ke) de 21%, que foi considerado como o custo de capital

ajustado ao risco do projeto, e computado o valor presente do projeto

através do método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) tradicional

utilizando uma planilha, conforme dados da Tabela 8. O valor encontrado

foi de R$ 106,539 milhões. Dado que o valor presente dos investimentos

líquidos é de R$ 110,804 milhões, o Valor Presente Líquido (VPL) do

projeto é negativo em R$ 4,264 milhões, o que, de acordo como o FCD

tradicional, não recomendaria o investimento. Seguindo Copeland &

Antikarov, o valor do projeto de R$ 106,539 será tomado como o valor de

mercado do projeto, o que nos permitirá considerar o mercado completo e

utilizar probabilidades neutras a risco para descontar o fluxo de caixa do 16 Valor Presente do investimento total no projeto menos o financiamento de terceiros

95

projeto à taxa livre de risco. Para tanto, precisamos apenas determinar a

volatilidade do projeto para que o portfólio replicante e as probabilidades

neutras a risco possam ser determinados. Isso é feito através da modelagem

das incertezas de mercado do projeto. Na Figura 22 podemos observar a

dinâmica do valor do projeto no modelo determinístico, notando que devido

aos grandes investimentos necessários nos primeiros anos da concessão, o

valor do projeto tem uma queda nos anos iniciais e tem o seu valor máximo

apenas na segunda metade da concessão.

0

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

0 5 10 15 20

Figura 22 – Dinâmica do Valor do Projeto

4.8.2. Determinação da Volatilidade do Projeto

Dado que não utilizaremos nenhuma taxa de desconto exógena, nem

adotaremos premissas a respeito do comportamento estocástico dos retornos

do projeto em relação a um portfólio replicante qualquer, a volatilidade do

projeto será determinada através de simulação de Monte Carlo das variáveis

de risco de mercado existentes no projeto.

Uma vez determinado o valor de mercado do projeto, definimos em

seguida o processo estocástico das suas incertezas de mercado, que no caso

são o volume de tráfego diário, a taxa de câmbio e de juros que irão vigorar

ao longo de todo o período da concessão. Essas três incertezas contribuem

para a incerteza de mercado sobre o valor do projeto. Fazendo uma

Simulação de Monte Carlo, e considerando os parâmetros e as distribuições

estocásticos previamente determinados para cada uma dessas variáveis, a

96

cada iteração obtemos um novo conjunto de projeções para as variáveis

estocásticas do modelo, e consequentemente, para o Fluxo de Caixa, para o

Valor Presente e para a taxa de retorno do projeto. A variável estocástica

taxa de retorno é definida como:

1

0

ln VkV

=

onde V0 é o Valor Presente do projeto obtido no cenário

determinístico, V1 é a variável estocástica do valor do projeto daqui a um

ano, que incorpora o fluxo de caixa C1 do projeto no ano 1. A partir dessa

Simulação de Monte Carlo, com um número de iterações suficientes

podemos obter a volatilidade do projeto, que será o desvio padrão

anualizado da sua taxa de retorno k. Podemos verificar que a inclusão de

mais fontes de incerteza na modelagem de risco do projeto é trivial, uma vez

determinados os parâmetros estocásticos de cada uma das variáveis. Foram

feitas duas simulações com 10.000 iterações cada e uma terceira com 50.000

iterações, cujos resultados estão apresentados na Tabela 11.

Simulação n.º 1 2 3

Retorno (k) 0.1578 0.1592 0.1583

Volatilidade (σ) 0.2047 0.2002 0.2004

Tabela 11 – Simulação de Monte Carlo

Os resultados da simulação apresentados na Tabela 11 indicam que a

volatilidade do projeto é de cerca de σ = 0.20, demonstrando que a

volatilidade do projeto não guarda qualquer relação com as volatilidades das

suas fontes de incerteza de mercado.

4.8.3. Árvore do Projeto

Tendo determinado o Valor Presente do projeto e a sua volatilidade,

podemos modelar a distribuição estocástica do projeto como um Movimento

Geométrico Browniano (MGB) através de um modelo binomial. Essa

97

modelagem é semelhante ao de uma ação que paga uma taxa de dividendos

que é constante em cada estado de um mesmo período, mas que pode variar

de um período para outro, conforme solução proposta por Copeland &

Antikarov (2001), pg. 251. No entanto, além de ser de trabalhoso, este

método apresenta o inconveniente de não ser intuitivo, pois trabalha com o

Valor Presente do projeto em cada período ao invés do fluxo de caixa como

é de costume, e principalmente, não permite a inclusão das opções de

flexibilidade diretamente no modelo.

Neste trabalho propomos um método alternativo que utiliza uma

árvore de decisão com um modelo binomial para modelar o valor do projeto

em função dos seus fluxos de caixa estocásticos, de tal forma que o valor do

projeto siga um MGB com os parâmetros predeterminados. Esse método

tem a vantagem de ser de aplicação bem mais simples e pode ser utilizado

em softwares de árvores de decisão, o que permite a modelagem das opções

de flexibilidade diretamente no modelo. Além disso, ao contrário dos

valores presentes, os fluxos de caixa em cada ano mantêm uma relação

linear com os inputs do projeto, facilitando a análise e modelagem das

opções.

Dadas as dimensões da árvore de decisão final do projeto, a sua

elaboração manual e mesmo visualização por inteiro se tornam impossíveis,

uma vez que a sua complexidade cresce exponencialmente com o número de

períodos. Uma representação simplificada utilizada é mostrada no modelo

de árvore do projeto da Figura 23, onde cada nó de incerteza indica que esta

incerteza ocorre em cada um dos estados do período anterior17. A lto

T10/k 10 B aixo

T10/k 10

a

A lto

T9/k 9 B aixo

T9/k 9

A lto

T8/k 8 B aixo

T8/k 8

A lto

T7/k 7 B aixo

T7/k 7

A lto

T6/k 6 B aixo

T6/k 6

A lto

T5/k 5 B aixo

T5/k 5

A lto

T4/k 4 B aixo

T4/k 4

A lto

T3/k 3 B aixo

T3/k 3

A lto

T2/k 2 B aixo

T2/k 2

A lto

T1/k B aixo

T1/k

A lto

T20/k 20 B aixo

T20/k 20

A lto

T19/k 19 B aixo

T19/k 19

T20

A lto

T18/k 18 B aixo

T18/k 18

T19

A lto

T17/k 17 B aixo

T17/k 17

T18

A lto

T16/k 16 B aixo

T16/k 16

T17

A lto

T15/k 15 B aixo

T15/k 15

T16

A lto

T14/k 14 B aixo

T14/k 14

T15

A lto

T13/k 13 B aixo

T13/k 13

T14

A lto

T12/k 12 B aixo

T12/k 12

T13

A lto

T11/k 11 B aixo

T11/k 11

T12

a

T11

Figura 23 – Modelo Binomial do Projeto

17 No modelo binomial apresentado k = 1+r

98

Este modelo gera uma Árvore de Decisão com todas as ramificações

que representam o processo estocástico do Valor do Projeto, sendo que o

número de estados finais é de 220. A árvore de decisão correspondente está

apresentada na Figura 24, onde são mostrados apenas os cinco primeiros

períodos. Utilizando-se probabilidades neutras a risco, obtém-se um

resultado de V0 = R$ 106,540 milhões, idêntico ao da planilha. Foi

considerado que a taxa livre de risco é de 8% a.a.

T 5

A lto 1 4 8 5 7 .3 .6 2 6 [1 6 4 3 8 9 ]

T 5 B a ix o

9 5 6 8 .6 2 .3 7 4 [1 2 9 1 2 1 ]

T 4 A lto

1 4 6 4 4 .1 .6 2 6 [1 5 1 1 8 4 ]

T 5 A lto

9 5 6 8 .6 2 .6 2 6 [1 2 3 9 0 8 ]

T 5 B a ix o

6 1 6 2 .5 4 .3 7 4 [1 0 1 1 9 5 ]

T 4 B a ix o

9 4 3 1 .3 3 .3 7 4 [1 1 5 4 0 4 ]

T 3 A lto

2 4 4 0 3 .6 .6 2 6 [1 3 7 7 8 7 ]

T 5 A lto

9 5 6 8 .6 2 .6 2 6 [1 1 5 2 2 2 ]

T 5 B a ix o

6 1 6 2 .5 4 .3 7 4 [9 2 5 0 7 .8 ]

T 4 A lto

9 4 3 1 .3 3 .6 2 6 [1 0 6 7 1 7 ]

T 5 A lto

6 1 6 2 .5 4 .6 2 6 [8 9 1 5 0 .6 ]

T 5 B a ix o

3 9 6 8 .9 .3 7 4 [7 4 5 2 2 .1 ]

T 4 B a ix o

6 0 7 4 .1 2 .3 7 4 [8 3 6 7 3 .4 ]

T 3 B a ix o

1 5 7 1 6 .8 .3 7 4 [9 8 0 8 9 .1 ]

T 2 A lto

2 6 2 6 4 .1 .6 2 6 [1 2 2 9 2 3 ]

T 5 A lto

9 5 6 8 .6 2 .6 2 6 [1 0 5 8 7 3 ]

T 5 B a ix o

6 1 6 2 .5 4 .3 7 4 [8 3 1 5 8 .7 ]

T 4 A lto

9 4 3 1 .3 3 .6 2 6 [9 7 3 6 8 ]

T 5 A lto

6 1 6 2 .5 4 .6 2 6 [7 9 8 0 1 .5 ]

T 5 B a ix o

3 9 6 8 .9 .3 7 4 [6 5 1 7 3 ]

T 4 B a ix o

6 0 7 4 .1 2 .3 7 4 [7 4 3 2 4 .3 ]

T 3 A lto

1 5 7 1 6 .8 .6 2 6 [8 8 7 4 0 ]

T 5 A lto

6 1 6 2 .5 4 .6 2 6 [7 4 2 0 6 .9 ]

T 5 B a ix o

3 9 6 8 .9 .3 7 4 [5 9 5 7 8 .4 ]

T 4 A lto

6 0 7 4 .1 2 .6 2 6 [6 8 7 2 9 .7 ]

T 5 A lto

3 9 6 8 .9 .6 2 6 [5 7 4 1 6 .2 ]

T 5 B a ix o

2 5 5 6 .1 2 .3 7 4 [4 7 9 9 4 .9 ]

T 4 B a ix o

3 9 1 1 .9 5 .3 7 4 [5 3 8 8 8 .7 ]

T 3 B a ix o

1 0 1 2 2 .2 .3 7 4 [6 3 1 7 2 .9 ]

T 2 B a ix o

1 6 9 1 5 .3 7 4 [7 9 1 6 7 .2 ]

T 1 [1 0 6 5 4 0 ]

Figura 24 – Árvore de Decisão do Projeto

4.8.4. Modelo 1 - Opção de Expansão

Incorporamos três opções de expansão para esse projeto nos anos 4, 7

e 10, (Figura 25) representando oportunidades para expandir o negócio, seja

99

através de investimentos no aumento da capacidade de tráfego na rodovia,

seja através de novas licitações que virão a ser feitas pelo Estado no futuro.

Considerando o grande número de estradas ainda por privatizar e as

significativas exigências de investimento de capital para as futuras

concessões, considerou-se que haverá um número suficientemente grande de

licitações e suficientemente reduzido de empresas habilitadas a participar,

configurando-se então estas oportunidades de expansão como opções

proprietárias para este projeto.

E xpande

-E xp*Inv /k 4 a

N ao E xpande a

A lto

T4/k 4 B aixo

T4/k 4

D ec4

A lto

T3/k 3 B aixo

T3/k 3

T4

A lto

T2/k 2 B aixo

T2/k 2

T3

A lto

T1/k B aixo

T1/k

T2T1 E xpande

-E xp*Inv /k 7 b

N ao E xpande b

A lto

T7/k 7 B aixo

T7/k 7

D ec7

A lto

T6/k 6 B aixo

T6/k 6

T7

A lto

T5/k 5 B aixo

T5/k 5

T6

a

T5

E xpande

-E xp*Inv /k 10 c

N ao E xpande c

A lto

T10/k 10 B aixo

T10/k 10

D ec10

A lto

T9/k 9 B aixo

T9/k 9

T10

A lto

T8/k 8 B aixo

T8/k 8

T9

b

T8

A lto

T13/k 13 B aixo

T13/k 13

d

A lto

T12/k 12 B aixo

T12/k 12

T13

A lto

T11/k 11 B aixo

T11/k 11

T12

c

T11

A lto

T20/k 20 B aixo

T20/k 20

A lto

T19/k 19 B aixo

T19/k 19

T20

A lto

T18/k 18 B aixo

T18/k 18

T19

A lto

T17/k 17 B aixo

T17/k 17

T18

A lto

T16/k 16 B aixo

T16/k 16

T17

A lto

T15/k 15 B aixo

T15/k 15

T16

A lto

T14/k 14 B aixo

T14/k 14

T15

d

T14

Figura 25 – Árvore de Decisão com Opção de Expansão

A análise mostra que o valor do projeto aumenta de R$ 106,539

milhões para R$ 139,514 milhões com a presença das opções de expansão

(Figura 26), onde podemos ver os primeiros três períodos da árvore de

decisão.

100

T3 Alto

23446.7 .649 [186706]

T3 Baixo

15716.8 .351 [118971]

T2 Alto

25744 .649 [162920]

T3 Alto

15716.8 .649 [110484]

T3 Baixo

10535.3 .351 [70000.8]

T2 Baixo

17256.7 .351 [96267.6]

T1 [139514]

Figura 26 – Valor do Projeto com Opção de Expansão

A política ótima de investimentos é mostrada na Figura 27. Podemos

ver que na grande maioria das vezes (85% para a opção do ano 4) será ótimo

aproveitar as oportunidades de expansão que possam surgir no futuro.

E xpande

0.872407 N ao_E xpande

0.127593 (does not occur)

0

D ec4

E xpande

0.767537 N ao_E xpande

0.232463 (does not occur)

0

D ec7

E xpande

0.790581 N ao_E xpande

0.209419 (does not occur)

0

D ec10

Figura 27 – Política Ótima de Investimentos

É possível que exista uma margem de erro sobre o tamanho da

oportunidade de expansão. Foi feita então uma análise de sensibilidade

sobre o fator de expansão, que está apresentada na Figura 28. As mudanças

de cores indicam a fronteira onde ocorre uma alteração na estratégia ótima

da empresa. Os resultados indicam que o valor do projeto aumenta com o

tamanho da expansão, o que era de se esperar.

101

Figura 28 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Fator de Expansão

Foi analisada também a sensibilidade do projeto ao valor do

investimento necessário para a sua expansão. Os resultados estão na Figura

29. Podemos ver que o valor da opção de expansão é bastante sensível ao

valor do investimento, e é inversamente correlacionado com o volume do

investimento.

Figura 29 – Valor do Projeto: Sensibilidade ao Investimento na Expansão

102

4.8.5. Modelo 2 - Opção de Expansão e de Abandono

Nesta análise foi incluída a opção de abandono nos anos 4 a 10. A

modelagem parcial do problema mostrando apenas o trecho do projeto com

as opções entre os anos 4 e 10 pode ser observada na Figura 30, sendo que

os demais períodos não sofrem nenhuma alteração. O preço de exercício da

opção de abandono é o saldo entre os valores a receber pela indenização dos

investimentos realizados e o custo da quitação do saldo devedor dos

empréstimos.

E xpande

-E xp*Inv/k^7 b

C ontinua b

Abandona

74571/k^7

Alto

T7/k^7 B aixo

T7/k^7

D ec7

C ontinua

T 7

Abandona

67784/k^6

Alto

T6/k^6 B aixo

T6/k^6

D ec6

C ontinua

T 6

Abandona

60595/k^5

Alto

T5/k^5 B aixo

T5/k^5

D ec5

a

T 5

E xpande

-E xp*Inv/k^10 C ontinua

Abandona

86613/k^10

Alto

T10/k^10 B aixo

T10/k^10

D ec10

C ontinua

T 10

Abandona

86824/k^9

Alto

T9/k^9 B aixo

T9/k^9

D ec9

C ontinua

T 9

Abandona

80830/k^8

Alto

T8/k^8 B aixo

T8/k^8

D ec8

b

T 8

E xpande

-E xp*Inv/k^4 a

C ontinua a

Abandona

52971/k^4

D ec4

Figura 30 – Modelo Parcial com Opção de Expansão e Abandono

A Figura 31 nos mostra uma visão parcial da árvore de decisão

incorporando ambas os tipos de opções. Este modelo tem cerca de 8 milhões

de estados possíveis, e o Valor Presente do projeto é computado da forma

usual de Programação Dinâmica, começando-se do final, utilizando-se as

probabilidades neutras a risco em cada incerteza, e tomando-se a decisão

ótima em cada oportunidade de decisão. Em função do valor das opções

incluídas no modelo, o valor do projeto sobe agora para R$ 147,812

milhões.

103

T7

Contin

ua

[293676]

Abandona

42715.4

[121945]

Dec6

Alto

11020.7

.649

[293676]

T7

Contin

ua

[209966]

Abandona

42715.4

[118311]

Dec6

Baixo

7387.43

.351

[209966]

T6

Contin

ua

[264281]

Abandona

41239.9

[109449]

Dec5

Alto

11872.6

.649

[264281]

T7

Contin

ua

[206052]

Abandona

42715.4

[114397]

Dec6

Alto

7387.43

.649

[206052]

T7

Contin

ua

[151380]

Abandona

42715.4

[111962]

Dec6

Baixo

4951.94

.351

[151380]

T6

Contin

ua

[186854]

Abandona

41239.9

[105534]

Dec5

Baixo

7958.44

.351

[186854]

T5

Expande

-20361.1

[237091]

T5

Contin

ua

[189609]

Abandona

38935.3

[115632]

Dec4

Alto

13715

.649

[237091]

T6

Contin

ua

[182332]

Abandona

41239.9

[101013]

Dec5

Alto

7958.44

.649

[182332]

T6

Contin

ua

[134288]

Abandona

41239.9

[98389.1]

Dec5

Baixo

5334.7

.351

[134288]

T5

Expande

-20361.1

[165461]

T5

Contin

ua

[146357]

Abandona

38935.3

[111111]

Dec4

Baixo

9193.43

.351

[165461]

T4

Alto

1

3791.3

.649

[211937]

T4

Baixo

9244.57

.351

[147320]

T3

Alto

23446.7

.649

[189246]

T3

Baixo

15716.8

.351

[128801]

T2

Alto

25744

.649

[168020]

T2

Baixo

17256.7

.351

[110474]

T1

[147812]

Figu

ra 3

1 –

Árvo

re d

e D

ecis

ão c

om O

pção

de

Expa

nsão

e A

band

ono

104

A política ótima (Figura 32) mostra que a opção de abandono só será

exercida a partir do ano 9, o que aparentemente é contra intuitivo, pois seria

de se esperar que o seu valor fosse alto nos anos iniciais, quando existem

maiores probabilidades do projeto apresentar fluxos de caixa negativos. O

motivo da opção não ser exercida é que nos anos iniciais o valor de

abandono é onerado pela necessidade de se quitar o saldo devedor dos

empréstimos de longo prazo do projeto. Esse saldo devedor diminui à

medida que esses empréstimos vão sendo quitados, o que faz com que o

valor de abandono cresça com o tempo até tornar essa opção dentro do

dinheiro no ano 9.

Expande

0.560921 C ontinua

0.439079 Abandona

0 (does not occur)

0

D ec4

C ontinua

1 Abandona

0 (does not occur)

0

D ec5

C ontinua

1 Abandona

0 (does not occur)

0

D ec6

Expande

0.62939 C ontinua

0.37061 Abandona

0 (does not occur)

0

D ec7

C ontinua

1 Abandona

0 (does not occur)

0

D ec8

C ontinua

0.606595 Abandona

0.393405 (does not occur)

0

D ec9

Expande

0.567803 C ontinua

0 Abandona

0.0387921 (does not occur)

0.393405

D ec10

Figura 32 – Política Ótima de Investimentos

105

4.8.6. Modelo 3 - Opção de Expansão e de Abandono com Risco Político

O modelo adotado está apresentado em parte (apenas anos 10 a 15 da

concessão) na Figura 33, e incorpora o risco de uma redução no valor do

pedágio nesse período. Esse risco é modelado de forma cumulativa, o que

significa que poderá haver redução do pedágio em maior ou menor grau em

um, dois, ou todos os anos compreendidos neste período. Dado que o risco

político da concessão é um risco privado da concessionária, no sentido de

que ele não é correlacionado com o mercado, a sua presença torna o

mercado incompleto para este projeto, e consequentemente, não teríamos

mais como determinar a taxa de desconto apropriada. Ao contrário dos

riscos de tráfego (PIB) e de taxa de câmbio, o risco político não pode ser

hedgeado por nenhum portfólio de títulos de mercado. Analisaremos o

problema de duas formas, considerando inicialmente neutralidade a risco, e

posteriormente, de aversão ao risco não sistemático.

4.8.7.1. Investidor neutro ao risco não sistemático

Consideramos inicialmente que o acionista é suficientemente

diversificado para apresentar comportamento neutro ao risco não

sistemático, e portanto, é calculado o Valor Esperado da incerteza de risco

político em cada uma das suas ocorrências. Nesse sentido, a análise

demonstrou, como era de se esperar, que o risco político afeta

negativamente o resultado do projeto, fazendo com que o seu valor se

reduza de R$ 147,812 milhões para R$ 139,739 milhões.

106

Alto T13/k 13

Baixo T13/k 13

b

Nenhum

Medio

Grande

T13

Alto T12/k 12

Baixo T12/k 12

RP12

Nenhum

Medio

Grande

T12

Alto T11/k 11

Baixo T11/k 11

RP11

a

T11

Expande -Exp*Inv/k 10

a

Continua a

Abandona 86613/k 10

Nenhum

Medio

Grande

Dec10

Alto T10/k 10

Baixo T10/k 10

RP10T10

Nenhum

Medio

Grande

Alto T15/k 15

Baixo T15/k 15

RP15

Nenhum

Medio

Grande

T15

Alto T14/k 14

Baixo T14/k 14

RP14

Nenhum

Medio

Grande

T14

b

RP13

Figura 33 – Modelagem do Risco Político

O modelo tem cerca de 268 milhões de estados finais possíveis e sua

modelagem apenas é possível através de programas de geração automática

de árvores de decisão. Dada a impossibilidade de visualização de uma

árvore com estas dimensões, para efeito de simplificação, apresentamos

apenas a modelagem do risco político abrangendo os anos 10 a 15. Os

demais períodos permanecem inalterados desde a última modelagem.

4.8.7.2. Investidor avesso ao risco não sistemático

No caso em que o investidor não esteja adequadamente diversificado

em relação ao projeto, é provável que este investidor apresente

comportamento avesso ao risco com relação ao risco não sistemático.

Exemplos de comportamento avesso ao risco privado não se restringem a

pequenos investidores ou empresas familiares de pequeno porte. A

experiência brasileira no programa de privatização de serviços de infra-

estrutura mostrou que a formação de consórcios para participar dos leilões

107

de privatização foi um dos arranjos preferidos pelos investidores, com

exemplos como os da VBC (Grupo Votorantim, Bradesco e Camargo

Corrêa) no setor de energia e CCR – Companhia de Concessões

Rodoviárias, formada inicialmente pela Camargo Corrêa, Andrade Gutierrez

e Construtora Norberto Odebrecht, e ainda o Consórcio Brasil, que adquiriu

a Companhia Vale do Rio Doce – CVRD. A justificativa mais plausível para

que uma empresa reduza voluntariamente sua participação num

investimento rentável seria o interesse em reduzir também a sua exposição

ao risco não sistemático, o que indica um comportamento avesso a esse tipo

de risco por parte dessas empresas.

Para o caso do projeto em análise, foram aplicados os parâmetros

definidos por Howard (1988) para a Construtora Norberto Odebrecht (CNO)

para a época da concessão da Via Dutra no ano de 1996, temos:

CNO (1996) R$ Milhões Fator Tolerância ao Risco Vendas 4.763 0.064 304.8

Lucro 396 1.24 491.0

Patr. Líquido 3372 0.157 529.0

Tabela 12 – Determinação da Tolerância ao Risco para CNO

Com base na Tabela 12 foi feita uma análise de sensibilidade para

valores de Tolerância ao Risco entre R$ 100 milhões e R$ 600 milhões para

o cálculo do Equivalente Certo do projeto. Considerando uma função

utilidade com uma TR de R$300 milhões, o Equivalente Certo do projeto é

de R$ 133,803 milhões, o que implica numa redução de valor do projeto

devido a aversão do investidor ao risco político. Para valores de TR

maiores, a redução de valor diminui, uma vez que uma TR maior indica uma

menor aversão ao risco privado. Na Figura 34 vemos o resultado da análise

de sensibilidade do grau de Tolerância ao Risco (TR) que apresenta o

Equivalente Certo do projeto para diversos níveis de TR. Cada mudança de

cor indica que ocorre uma mudança na política ótima do projeto.

108

Figura 34 – Análise de Sensibilidade: Nível de Tolerância ao Risco

5 Conclusões e Recomendações

Apresentamos a seguir as principais conclusões alcançadas e

recomendações para trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos até

agora.

5.1. Conclusões

O modelo proposto apresenta uma maneira simples e direta de se

implementar técnicas de avaliação por opções reais utilizando-se

ferramentas computacionais padronizadas disponíveis no mercado,

permitindo incluir inúmeras fontes de incerteza e analisar diversos tipos de

opções reais simultaneamente sem tornar o método demasiadamente

complexo. Isso é feito através da modelagem do projeto através de uma

árvore binomial, e aplicando-se técnicas de Decision Analysis para a

incorporação das flexibilidades gerenciais e valoração da oportunidade de

investimento em larga escala. A análise realizada mostra que se aplicada

corretamente, esta metodologia pode vir a ser uma alternativa viável para o

problema de avaliação de projetos com flexibilidade em ambiente de

incerteza.

O uso de ferramentas de Decision Analysis em Opções Reais só é

possível devido à evolução das ferramentas computacionais modernas que

oferecem um poder de processamento que começa a tornar viável a sua

aplicação aos problemas de avaliação da flexibilidade gerencial de projetos.

Como ilustração do método proposto, no Capítulo 4 foi modelado um

problema complexo de um projeto com três fontes de incerteza estocásticas

que paga um dividendo que varia com o tempo, tem vida útil finita,

apresenta múltiplas opções reais e que está ainda sujeito a risco privado

(político). Os resultados mostraram, como era de se esperar, que o valor do

projeto aumenta com a presença de opções reais, e que a opção de expansão

tem valor significativamente superior ao da opção de abandono. Isso pode

110

ser explicado pela forma com que o projeto foi financeiramente estruturado

para reduzir o risco dos investidores (Project Finance), o que faz com que o

preço de exercício da opção de abandono seja suficientemente alto para

tornar essa opção pouco atrativa durante os primeiros anos do projeto. Se

por um lado o Project Finance permite aos investidores no projeto repartir o

risco de mercado com os credores, por outro os obriga preservar estes

credores de quaisquer ônus decorrentes de uma decisão de terminação

unilateral.

As conclusões gerais que obtemos dos resultados obtidos são:

♦ A metodologia proposta, desenvolvida a partir dos conceitos de

Copeland & Antikarov, permite a modelagem através da teoria

das Opções Reais de projetos complexos usando uma premissa

menos restritiva (premissa primeira) do que a premissa usual de

que o mercado é completo, e possibilita uma escolha mais

coerente da taxa de desconto para o projeto em mercados

incompletos.

♦ O uso da premissa de que o valor presente do projeto, conforme

calculado pelo Fluxo de Caixa Descontado tradicional, é um

estimador do valor de mercado do projeto permite que se

considere que o mercado seja completo e a solução do problema

seja feita através de probabilidades neutras a risco.

♦ Ao contrário dos métodos tradicionais de valoração de Opções

Reais em tempo continuo, o número de incertezas que podem ser

modeladas com esta metodologia é ilimitado.

♦ A modelagem de características particulares do projeto, como a

limitação da capacidade de trafego da rodovia a um determinado

volume de tráfego podem ser implementadas com bastante

facilidade.

♦ O uso de métodos de Árvore de Decisão permite a modelagem

de diversos tipos de opção, como opções múltiplas e opções com

preço de exercício variável. A modelagem de um tipo de opção

pode ser exercida em alguns períodos, mas não em outros, que é

111

comum em projetos de pesquisa e desenvolvimento, também

pode ser feita.

♦ A única limitação ao grau de complexidade de modelagem

possível é a capacidade atual de processamento matemático das

ferramentas computacionais atuais, tanto de hardware como de

software. Dado que a complexidade da árvore de decisão cresce

exponencialmente com o número de opções, a sua modelagem

somente pode ser feita através do uso de ferramentas de geração

de árvores de decisão. Mesmo modelos menos complexos

podem rapidamente escalar para árvores de decisão com

centenas de milhões de estados possíveis.

♦ A metodologia proposta oferece uma modelagem mais racional

para o problema do risco não sistemático, permitindo que o seu

impacto sobre o valor do projeto seja modelado a partir das

preferências de risco do investidor medidas pelo seu nível de

tolerância ao risco, ao invés de se adotar uma taxa de risco

arbitrária que pode levar a decisões não ótimas. Vimos também

que na ausência de meios para se medir diretamente a TR do

investidor, ela pode ser inferida a partir dos dados contábeis

5.2. Limitações da metodologia

A principal limitação desta metodologia é relacionada com as

premissas adotadas, que foram primeiro sugeridas por Copeland e Antikarov

(2001). O uso da premissa primeira como meio de se criar um mercado

completo e eficiente para um projeto que não é negociado, pode levar a

erros significativos uma vez que esta hipótese não pode ser testada no

mercado. A escolha da taxa de desconto apropriada para o projeto base fica

a critério do analista e o uso de custo médio ponderado de capital (WACC)

pode não ser adequada para todos os tipos de projetos. Esse problema não

decorre da metodologia proposta, mas é inerente e afeta igualmente a

metodologia do FCD tradicional já em uso há varias décadas.

O conceito de projeto sem opções pode não ser relevante para algumas

classes de projetos, como aqueles da industria farmacêutica onde as opções

112

associadas ao desenvolvimento de novas drogas são podem ser dissociadas

do projeto. Da mesma forma, a premissa segunda de que os retornos do

projeto seguirão um caminho aleatório deve ser considerada apenas como

uma aproximação, uma vez que requer mercados eficientes para o projeto e

exclui a possibilidade da ocorrência de eventos discretos como “jumps”.

5.3. Recomendações para trabalhos futuros:

As recomendações foram divididas em dois grupos: recomendações e

extensões futuras a respeito da modelagem do problema da valoração de

projetos através da teoria das Opções Reais, e recomendações a respeito das

ferramentas computacionais para a sua solução.

5.3.1. Modelagem de Opções Reais

♦ Projetos com volatilidade variável podem ser incorporados ao

modelo, alterando-se o valor dos incrementos u e d em cada nó ao

longo do tempo. O efeito disso é que a árvore de decisão deixa

de ser uma árvore recombinante e o número de estados aumenta

substancialmente.

♦ Na aplicação apresentada no Capítulo 4, foi considerado que as

opções do projeto eram opções proprietárias. Em muitas

situações, pode existir mais de uma empresa competindo pela

mesma oportunidade de investimento e a decisão ótima deve

levar em conta as possíveis decisões das empresas concorrentes.

O caso de duas empresas concorrentes foi abordado por

Grenadier (2000), Trigeorgis (1996) e Smit e Ankum (1993).

Uma extensão possível deste trabalho é a implantação de um

modelo incorporando os conceitos desenvolvidos por estes

autores em relação à Teoria dos Jogos.

113

5.3.2. Ferramentas de Análise

♦ Os programas de árvore de decisão existentes não levam em

conta as características da modelagem proposta, onde grande

parte da árvore de decisão é recombinante.

♦ Isso faz com que o número de alternativas possíveis cresça

exponencialmente com o tempo, independente do número de

opções. Por exemplo, para uma malha binomial não

recombinante, o número de nós ao final de n períodos é de 2n,

enquanto que para uma malha recombinante o número é de

apenas 2n –1.

♦ Dessa forma, uma direção para pesquisa futura nessa área seria o

desenvolvimento de software específico em linguagem de

programação para reduzir o tempo de processamento utilizando-

se o fato de que a estrutura particular da árvore de decisão do

projeto é uma malha binomial recombinante, o que reduz

drasticamente a quantidade de nós gerados.

♦ O programa necessitaria ter uma interface com o usuário

simplificada que lhe permita inserir os dados e características do

projeto com facilidade. Essa é uma das principais dificuldades a

serem vencidas, pois se a complexidade na entrada de dados e

modelagem do problema for demasiada o método será de pouca

utilidade.

♦ Uma ferramenta otimizada para as características do processo

desenvolvido com uma interface amigável permitiria a

modelagem de projetos ainda mais complexos e com um nível

ainda maior de detalhe do que o possível no momento com as

ferramentas disponíveis.

114

6 Apêndices

6.1. Processos Estocásticos

Processo de Markov é um processo em que a distribuição de

probabilidade do valor futuro de uma variável depende apenas do seu valor

atual. Random Walk é um processo de Markov que possui incrementos

independentes na forma xt = xt-1 + εt, onde εt é um fator de erro com

distribuição normal, onde 2(0, )t Nε σ∼ . Random walk pode ser com ou

sem crescimento (drift). Um Processo de Wiener, também conhecido como

Movimento Browniano, é um processo de Markov em tempo contínuo com

incrementos independentes, onde estes incrementos são normalmente

distribuídos com variância que cresce linearmente com o tempo. É uma

versão de Random Walk em tempo contínuo, na forma:

1 (0,1)t tx x dz onde dz dt e Nε ε−= + = ∼

Movimento Aritmético Browniano (MAB) é um processo de Wiener

com drift, portanto, também é um random walk. A sua forma é:

12( , )

t tx x dt dz

dx dt dz dx N t t

µ σ

µ σ µ σ−= + +

= + ∼

Movimento Geométrico Browniano (MGB) é um processo de tempo

contínuo onde os incrementos são proporcionais e não mais absolutos como

no MAB. A sua forma é:

dxdx xdt xdz ou dt dzx

µ σ µ σ= + = +

Podemos observar que o incremento proporcional, ou taxa de

incremento em x, ( dxx

) , é um MAB e portanto temos 2( , )dx N t tx

µ σ∼ .

115

Podemos também escrever ( ) 1lnd dxx dxdx x x

= = e verificar que dxx

é

também o incremento em ln x. Uma variável lognormal é uma variável cujo

logaritmo natural tem uma distribuição normal. Se dxx

tem distribuição

normal, e ( )lndx d xx dx= , então x tem distribuição lognormal, ou seja, um

MGB. A distribuição de d ln x pode ser determinada através do Lema de Itô.

Seja x uma variável lognormal na forma dx xdt xdzµ σ= + , e R = ln x.

Então 2 2 21 , 1 0R x x R x x e R t∂ ∂ = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = . Por Itô temos:

22 2

2

12

R R R RdR x x dt xdzx t x xµ σ σ

∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂

212

dR dt dzµ σ σ = − +

22ln ,

2R x N t tσµ σ

= −

∼ (6.1)

Podemos observar que se os incrementos proporcionais ∆x/x, ou

sejam, os retornos, são normalmente distribuídos, então os incrementos

absolutos ∆x são lognormalmente distribuídos.

6.2. Programação Dinâmica com Processos Estocásticos Distintos

No caso de duas variáveis estocásticas, em que uma das variáveis

segue um Movimento Geométrico Browniano e a outra siga um processo de

reversão à média, por exemplo, a equação de valor do projeto se altera.

A Equação Geral de Bellman para duas variáveis onde ut é a variável

de controle e C(x,y,u,t) ∆t é o fluxo de lucros durante um período de tempo

∆t é:

[ ]1( , , ) max ( , , , ) ( , , )1

t

t t t t tu

F x y t C x y u t t E F x y t ttρ +∆ +∆

= ∆ + + ∆ + ∆

116

[ ]

[ ]

(1 ) ( , , ) max ( , , , ) (1 ) ( , , )

( , , ) max ( , , , ) ( , , ) ( , , )t

t

t t t t tu

t t t t tu

t F x y t C x y u t t t E F x y t t

tF x y t C x y u t t E F x y t t F x y t

ρ ρ

ρ

+∆ +∆

+∆ +∆

+ ∆ = ∆ + ∆ + + ∆

∆ = ∆ + + ∆ −

Quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero e o tempo é contínuo, a

equação de Bellman, pode ser escrita como:

[ ]1( , , ) max ( , , , ) ( , , )u

F x y t C x y u t E dF x y tdt

ρ = +

Se x segue um MGB na forma de x x xdx xdt xdzα σ= + , e y segue um

processo de reversão a média na forma ( ) y ydy y y ydt ydzη σ= − + , por

exemplo, e ( . )x yE dz dz dtλ= , desenvolvendo dF(x,y,t) por Itô e

desprezando os termos dt de maior ordem, temos:

2 21 1( , , )2 2

x y t xx yy xy

xt yt

dF x y t F dx F dy F dt F dx F dy F dxdy

F dxdt F dydt

= + + + + + +

+ +

( ) ( )2 2 2 2

( , , )

1 1 2 2

x x x x y y y y

t xx x yy y xy x y

dF x y t F xdt xdz F ydt ydz

F dt F x dt F y dt F xy dt

α σ α σ

σ σ σ σ λ

= + + + +

+ + + +

Então

2 2 2 21 1[ ]2 2x x y y t xx x yy y xy x yE dF F x F y F F x F y F xy dtα α σ σ σ σ λ = + + + + +

Substituindo na equação de Bellman, temos:

2 2 2 2

( , , , )( , , ) max 1 1

2 2

x x y y t

u xx x yy y xy x y

C x y u t F x F y FF x y t

F x F y F xy

α αρ

σ σ σ σ λ

+ + + + = + +

Podemos expressar o valor ótimo de u como uma função de Ft(x,y,t),

Fx(x,y,t), Fxx(x,y,t), Fy(x,y,t), Fxy(x,y,t), Fyy(x,y,t), bem como de x, y, t, e

C(x,y,t). Assim, podemos reduzir a expressão da equação de Bellman para:

117

2 2 2 21 1 ( )2 2 ( , , ) ( , , , ) 0

xx x yy y xy x y x x y

t

F x F y F xy F x F y y y

F x y t F C x y u t

σ σ σ σ λ α η

ρ

+ + + + − −

− + + = (6.2)

A diferença desta equação para a solução obtida por Contingent

Claims Analysis é que em Programação Dinâmica substituímos a taxa livre

de risco por uma taxa de risco exógena ρ. Assim, a taxa de apreciação do

projeto (drift rate) α também é dada por α = ρ - δ. No caso de um

processo de reversão à média a taxa de distribuição de dividendos (δ), ou

convenience yield no caso de commodities, é uma função do valor do

projeto, e não constante como no caso de um MGB.

6.3. Transformação Algébrica da Árvore Binomial

Para fazermos esta transformação, inicialmente estabelecemos a

relação entre V0 e V1 do fluxo determinístico. A partir da equação (3.5)

temos:

[ ] [ ](1 )

mt

i t it i

E CE V

µ −=

=+∑ ou simplesmente

(1 )

mt

i t it i

CVµ −

=

=+∑

(1 )(1 )

mit

i tt i

CV µµ=

= ++∑

(1 )(1 )

mi t

i tt i

CV µµ=

= ++∑

1(1 )

(1 ) (1 )

mi i t

i i tt i

C CV µµ µ= +

= + + + +

∑

1(1 )

(1 )

mi t

i i tt i

CV C µµ= +

− = ++∑ (6.3)

Fazendo i = i + 1 e substituindo em (3.5)

1 ( 1)1 (1 )

mt

i t it i

CVµ+ − +

= +

=+∑

( 1)1

1(1 )

(1 )

mit

i tt i

CV µµ

++

= +

= ++∑

118

( 1)1

1(1 )

(1 )

mi t

i tt i

CV µµ

++

= +

= ++∑

11

(1 ) (1 )(1 )

i i

mi t

i tt i

V C

CV µ µµ+

= +

−

= + ++∑ como podemos ver pela equação (6.3)

Então:

( )1 (1 )i i iV V Cµ+ = + − (6.4)

Não há fluxo de caixa ou pagamento de dividendos no instante inicial

(i = 0), uma vez que o projeto ainda não foi iniciado, portanto C0 = 0. Os

únicos fluxos existentes no instante inicial são os que correspondem ao

valor presente dos investimentos no projeto, e que representam uma saída de

caixa, mas que não são computados para efeito do calculo do Valor Presente

do projeto. Dessa forma temos:

1 0(1 )V Vµ= + (6.5)

A taxa de distribuição dos fluxos de caixa é assumida constante em

cada período e igual a

ii

i

CV

δ = e i i iC Vδ= (6.6)

Em condições de incerteza temos:

, ,i j i i jC Vδ= (6.7)

Substituindo (3.10) em (6.7) temos18:

1

, 01

(1 )i

i j ji j i k

k

C V u dδ δ−

−

=

= −

∏

18 Note que usamos sempre o valor do projeto pré-dividendo.

119

Calculando Ci+1, j em função do fluxo de caixa anterior Ci,j, para

obtermos a fórmula de recorrência, temos:

1 1

11, 1 0

1

(1 )i

i j ji j i k

k

C V u dδ δ− +

+ −+ +

=

= −∏

,

11

1, 01

(1 ) (1 )

i j

ii j ji

i j i i kki

C

C u V u dδ δ δ δδ

+−+

+=

= − ⋅ −∏

11, ,

(1 )i ii j i j

i

C u Cδ δδ

++

−= ⋅ (6.8)

Ci+1,j

Ci,j

Ci+1, j+1

Por analogia temos:

11, 1 ,

(1 )i ii j i j

i

C d Cδ δδ

++ +

−= ⋅

2,3,...,0,1, 2,...

i mj i=

= (6.9)

e , 0 1i j ji j iC V u d iδ −= = (6.10)

Com (6.8), (6.9) e (6.10) obtemos as fórmulas para os pseudo fluxos

de caixa como função do pseudo fluxo do período anterior e da taxa de

distribuição de dividendos δi.

( )1, , 1, , ,i j i j i iC f C δ δ σ+ +=

Essas fórmulas podem ser também expressas em função dos fluxos

determinísticos, simplificando ainda mais o seu cálculo.

120

( )1, , ,i j iC f C σ µ+ =

Substituindo (3.8) em (6.10) temos:

, 0 1i j ji j iC V u d iδ −= =

Como ii

i

CV

δ = ficamos com:

, 0 1i j jii j

i

CC V u d iV

−= =

Substituindo (6.5) na equação, ficamos com:

1, 1

(1 )i j ji

i ji

C VC u d iV µ

−= =+

Como i = 1, ficamos com:

111, 1

j jj

CC u dµ

−=+

(6.11)

Fazendo substituição semelhante em (6.8) e (6.9) temos:

11, ,

(1 )i ii j i j

i

C u Cδ δδ

++

−= ⋅

11, ,

1

1i i ii j i j

i i i

C V CC C uV C V

++

+

= − ⋅

Usando (6.4) e substituindo na equação temos:

11, ,(1 )( )

i i i ii j i j

i i i i

C V V CC C uV C C Vµ+

+

−= ⋅ + −

121

11, ,

11, 1 ,

(1 )

2,3,..., 0,1,2,...(1 )

ii j i j

i

ii j i j

i

CC C uC

CC C d i m j iC

µ

µ

++

++ +

= ⋅ + = ⋅ = = +

(6.12)

A expressão (6.11) fornece o valor dos pseudo fluxos de caixa no

primeiro período do projeto. A partir deste, usando as fórmulas em (6.12)

podemos obter o valor dos pseudo fluxos de caixa nos períodos e estados

subseqüentes em função do fluxo de caixa imediatamente anterior, da taxa

de desconto µ e dos parâmetros u e d.

(6.12)

(6.11)

(6.12)

Figura 35 – Modelo Matemático para Árvores de Decisão

Essa modelagem é apropriada para utilização em programas de

software de geração de árvores de decisão, onde a estruturação do problema

através de fórmulas incrementais como as da Figura 35 é mais simples. Para

o caso de linguagens de programação geralmente é mais fácil trabalhar com

vetores e matrizes com fórmulas absolutas, demonstradas a seguir. Partindo

da equação (6.12) com uma mudança de variável, temos:

, 1,1(1 )

ii j i j

i

CC C uC µ −

−

= ⋅+

Substituindo o valor de Ci-1, j temos:

1, 2,

1 2(1 ) (1 )i i

i j i ji i

C CC u C uC Cµ µ

−−

− −

= ⋅ ⋅+ +

Substituindo o valor de Ci-2, j e assim sucessivamente até o período 1:

1 2, 1,

1 2 3

.......(1 ) (1 ) (1 )

i i ii j j

i i i

C C CC u u u CC C Cµ µ µ

− −

− − −

= ⋅ ⋅+ + +

122

11 2 1,

1 2 3

.......(1 ) (1 ) (1 ) 1

j ji i ii j

i i i

C C C CC u u u u dC C Cµ µ µ µ

−− −

− − −

= ⋅ ⋅+ + + +

, (1 )i j ji

i j i

CC u dµ

−=+

(6.13)

Com qualquer uma das fórmulas (6.12) ou (6.13), os pseudo fluxos de

caixa são expressos como funções de Ci, µ, u e d, todas constantes

conhecidas. Podemos estruturar uma árvore de decisão com probabilidades

neutras a risco p e (1-p) e os pseudo fluxos de caixa, que descontados a

valor presente à taxa livre de risco nos dará o valor do projeto no instante

zero. Sem a inclusão de nenhuma flexibilidade gerencial, o valor

determinado por este modelo será idêntico ao valor determinado para o

projeto em condições de certeza.

,0

0 0 (1 )

m ii j

ii j

E CV

r= =

=+∑∑ onde , ,(1 )i j j

i j i j

iE C p p C

j−

= −

e r te dpu d−

=−

Para programas que utilizem a expressão incremental, a fórmula a

utilizar será:

,

00 0

(1 )

(1 )

i j ji jm i

ii j

ip p C

jV

r

−

= =

−

=+∑ ∑ (6.14)

A fórmula absoluta é:

00 0

(1 )

(1 ) (1 )

i j jm i

i j jii i

i j

ip p

j CV u dr µ

−

−

= =

−

= ⋅+ +∑ ∑ (6.15)

123

6.4. Código VBA

6.4.1. Determinação da Volatilidade do Projeto através da SMC

A simulação de Monte Carlo considera as variáveis estocásticas

previamente definidas e tem como objetivo determinar a volatilidade do

projeto. Ela pode ser feita diretamente através de programas de simulação

amplamente disponíveis no mercado como @Risk e Crystall Ball.

Alternativamente, pode-se utilizar o código apresentado a seguir.

Sub Findvol2() 'Faz N recalculos do Fluxo de Caixa que está na planilha 'e acha a média e desvio padrão do retorno do projeto ‘(k) Dim Retorno As Double, Sk2 As Double, Vol As Double Dim I As Long Dim N As Long Sk2 = 0 Retorno = 0 N = Range("N").Value 'Application.ScreenUpdating = False Application.Calculation = xlManual For I = 1 To N Application.Calculate Retorno = Retorno + Range("k").Value Sk2 = Sk2 + Range("k").Value * Range("k").Value Range("counter").Value = I Next I m = N Vol = Sqr((m * Sk2 - Retorno * Retorno) / (m * m)) Mean = Retorno / m Range("vol").Value = Vol 'Retorna o valor de Vol Range("mean").Value = Mean Retorna o valor de Mean Application.Calculation = xlAutomatic End Sub

124

6.4.2. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto

O código a seguir calcula o Valor do Projeto sem Opções do exemplo

em 3.4.7:

Dim u As Double, d As Double, p As Double u = Exp(sigma) d = 1 / u p = (1 + r - d) / (u - d) V0 = 0 CI(1) = C1 CI(2) = C2 CI(3) = C3 CI(4) = C4 For i = 1 To M For J = 0 To i CIJ(i,J) = (CI(i)/(1 + k) ^ i) * (u ^ (i - J))*d^J

V0=V0+((WorksheetFunction.Fact(i)/ (WorksheetFunction.Fact(i-J)* WorksheetFunction.Fact(J)))*p^(i-J)*(1-p)^J *CIJ(i,J))/((1+r)^i)

Next J Next i ComputeValue = V0 End Function

6.4.3. Exemplo de 4 Períodos: Valor do Projeto com Opção de Abandono

O código a seguir calcula o Valor do Projeto com opção de abandono

no terceiro ano do exemplo apresentado em 3.4.7:

Public Function ComputeOption(C1, C2, C3, C4, sigma As Double, µ, r, M As Integer, Aband, T As Integer) 'Determina valor do projeto com opções a partir dos dados calculados anteriormente via SMC. 'Opção de abandono no ano 3. T é o período em que ocorre a opção 'Aband é o valor de abandono. M é o número de períodos do problema 'CI(4) são os fluxos determinísticos. CIJ(4,4) são os pseudo fluxos Dim CIJ(4, 4) As Double, V0 As Double, CI(4) Dim u As Double, d As Double, p As Double, S As Integer u = Exp(sigma)

125

d = 1/u p = (1+r-d)/(u-d) V0 = 0 CI(1)=C1; CI(2)=C2; CI(3)=C3; CI(4)=C4 'Calcula valor do instante zero até o periodo antes da opção For I=0 To T-1 For J=0 To I

CIJ(I,J)=(CI(I)/(1+µ)^I)*(u^(I-J))*d^J V0=V0+((WorksheetFunction.Fact(I)/(WorksheetFunction.Fact(I-J)* WorksheetFunction.Fact(J)))*p^(I-J)*(1-p)^J*CIJ(I,J)) /((1+r)^I)

Next J Next I 'Calcula o valor do período da opção até o final, compara com a opção 'de abandono e toma a decisão ótima. For S=0 To T

Prob=(WorksheetFunction.Fact(T)/(WorksheetFunction .Fact(T-S)* WorksheetFunction.Fact(S)))*p^(T-S)*(1-p)^S VX=0

For I = T To M

For J = S To I+S-T CIJ(I,J)=(CI(I)/(1+µ)^I)*(u^(I-J))*d^J

Prob1=(WorksheetFunction.Fact(I-T)/(WorksheetFunction.Fact(I-T-J+S)*WorksheetFunction.Fact(J-S)))*(p^(I-T-J+S))*(1-p)^(J-S)

A=(Prob1*CIJ(I,J))/((1+r)^(I-T)*(1+r)^T)

VX=VX+A

Next J Next I

Max=Prob*WorksheetFunction.Max(VX,(Aband+CIJ(T,S))/(1+r)^T)

V00=V00+Max Next S ComputeOption = V0 + V00 End Function

126

6.5. Simulação de Monte Carlo

6.5.1. Risco de Tráfego

O processo estocástico para o tráfego de veículos na rodovia foi

assumida como sendo um Movimento Geométrico Browniano, cujos

parâmetros foram obtidos a partir da série histórica do PIB brasileiro entre

1970 e 2001. Devido a limitações na capacidade da rodovia, estimou-se que

o tráfego máximo é limitado a 20.000 veículos TMDA. Na Figura 36 vemos

a projeção do tráfego no período (linha em negrito), bem como a Simulação

de Monte Carlo para esta variável, observado a limitação superior

estabelecida no tráfego de veículos.

5,000

10,000

15,000

20,000

0 5 10 15 20

Figura 36 – Tráfego: Simulação de Monte Carlo

6.5.2. Risco de Câmbio

O risco cambial foi modelado como uma MGB, dado que a série

histórica brasileira pós-plano Real não indica que a taxa de câmbio siga um

processo de reversão à média como seria de se esperar. A Figura 37 ilustra a

projeção realizada e também como o processo foi simulado.

127

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0 5 10 15 20

Figura 37 – Taxa de Câmbio: Simulação de Monte Carlo

6.5.3. Risco de Taxa de Juros

Para a taxa de juros foi utilizada a série histórica da LIBOR de 6

meses. O processo estocástico adotado foi o processo de reversão à média

Geométrico de Ornstein-Uhlenbeck. A média de longo prazo, a projeção e a

simulação realizada estão ilustrados na Figura 38.

2%

4%

6%

8%

0 5 10 15 20

Figura 38 – Taxa de Juros: Simulação de Monte Carlo

128

6.6. Verificação da Premissa de Normalidade dos Retornos

A premissa segunda afirma que em um mercado onde os preços

refletem todas as informações futuras disponíveis, os retornos do projeto

terão distribuição normal, uma vez que variações em torno do valor do

projeto serão fruto apenas de eventos imprevistos, e portanto, aleatórios.

Através de uma Simulação de Monte Carlo do projeto, foram obtidas

50.000 amostras dos retornos do projeto que foram em seguida analisadas

para verificação da premissa de normalidade da sua distribuição. Os testes

indicaram que a distribuição que mais se aproxima dos dados da amostra é

uma distribuição Logística, seguida da distribuição Normal, cuja

comparação através da distribuições de densidade e cumulativa estão

mostradas na Figura 39.

Normal(0.15831, 0.20437)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1.0

-0.5 0.0

0.5

1.0

< >5.0% 5.0%90.0%-0.1778 0.4945

@RISK Student VersionFor Academic Use Only

Normal(0.15831, 0.20437)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0

-0.5 0.0

0.5

1.0

< >5.0% 5.0%90.0%-0.1778 0.4945

@RISK Student VersionFor Academic Use Only

Figura 39 – Erro da Distribuição dos Retornos

O p-value para a normalidade da distribuição é p < 0.005, o que indica

uma boa aproximação para esta distribuição. Na Figura 40 podemos ver o

Q-Q plot da amostra, que é também um teste para normalidade da série que

indica os quantis de uma distribuição normal padrão.

129

Normal(0.15831, 0.20437)

Fitte

d qu

antil

e

Input quantile

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5 0.0

0.5

1.0

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Figura 40 – QQ Plot dos Retornos

7. Referências Bibliográficas

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