Seu Tartaruga LOGO responde:

Por quê as abelhas preferem o hexágonos?

Segue-se agora, um projeto elaborado na linguagem

computacional LOGO, em que o conceito mais diretamente

envolvido é de isoperimetria.

Além deste conceito, envolve-se implicitamente o

conceito de divisibilidade.

Abaixo, podemos observar os únicos polígonos que

permitem o ladrilhamento (justamente pelos ângulos internos

deles serem divisores de 360º).

Ladrilhamento do triângulo eqüilátero,

em que o ângulo interno é 60º, por isso,

o ladrilhamento com seis triângulos

6 . 60º = 360º

Ladrilhamento do quadrado, em que

o ângulo interno é 90º, por isso, o

ladrilhamento com quatro

quadrados

4 . 90º = 360º

Ladrilhamento do hexágono, nesse

caso, foi feito de uma forma mais

completa, pois já teríamos tal

ladrilhamento com apenas 3

hexágonos, já que o ângulo interno é

120º, logo: 3 . 120º = 360º

Perguntamos, então, por que as abelhas européias utilizam o

hexágono e não o triângulo ou o quadrado?

A esta pergunta, respondemos com os conceitos de

Isoperimetria. As abelhas utilizam a mesma quantidade de

cera para construir a colméia com prismas triangulares,

quadráticos e hexagonais, mas elas armazenam mais mel,

utilizando o hexagonal.

Verificando a área dos três polígonos, verifica-se que os três

possuem uma área comum, mas o hexágono possui além

desta área comum, uma área restante do quadrado. Logo, o

hexágono possui a maior área e, conseqüentemente o prisma

hexagonal tem o maior volume. Por isso, as abelhas européias

escolhem os prismas hexagonais, para que possam

armazenar um volume maior de mel.

Verificando, matematicamente, o resultado acima e

considerando o perímetro igual p, temos que:

- o triângulo terá lados com a medida (p/3) e

conseqüentemente sua área será p2 / 12 . 3(1/2) ;

- o quadrado terá lados com a medida (p/4) e

conseqüentemente sua área será p2/16;

- o hexágono terá lados com a medida (p/6) e

conseqüentemente sua área será p2 / 8 . 3(1/2) .

Temos então, que: p2 / 12 . 3(1/2) < p2/16 < p2 / 8 . 3(1/2) .

Portanto, a figura com maior área, sendo que o perímetro é

o mesmo, é o hexágono.

E, analisando o volume dos prismas de altura h, temos:

- volume do prisma triangular: h . p2 / 12 . 3(1/2) ;

- volume do prisma quadrangular: h . p2/16 ;

- volume do prisma hexagonal: h . p2 / 8 . 3(1/2) .

Podemos ver, que o prisma hexagonal é o de maior volume,

pois comparando os volumes, temos:

h . p2 / 12 . 3(1/2) < h . p2/16 < h . p2 / 8 . 3(1/2)

Assim sendo, as abelhas européias constróem colméias

hexagonais, pois dessa forma otimizam a quantidade de cera.

Ou seja, com uma mesma quantidade de cera, as abelhas

constróem favos que comportam uma maior quantidade de

mel (maior volume).

ABELHAS

GEÔMETRAS