Lógica Proposicional

Relações semânticas entre conectivos e

formas normais

Conjunto de conectivos completo

Um conjunto de conectivos é qualquer conjunto cujos elementos sejam conectivos (^, v, , , )

Num conjunto completo C, dada uma fórmula H do tipo (P), (PvQ), (P^Q), (PQ) ou (PQ), então é possível determinar uma fórmula G, equivalente, usando apenas os conectivos de C e os símbolos proposicionais de H.

Exemplo de conjunto de conectivos completo {,v} As fórmulas com conectivos {^,,}

são trocadas por equivalências com {,v}

Achar tautologias do tipo (P*Q) F, sendo

* € {^,,} F expressa com {,v}

Equivalência entre ^ e {,v} (P^Q) (Pv Q) é uma tautologia (P^Q) e (Pv Q) são equivalentes

Equivalência entre e {,v}

(PQ) (PvQ) é uma tautologia (PQ) e (PvQ) são equivalentes Resultado importante

Olha sob o ponto de vista de interpretação (valoração)

Equivalência entre e {,v}

(P Q) ((P Q)^(Q P)) Substituindo por seu equivalente

(P Q) ((P v Q)^(Q v P)) Substituindo ^ por seu equivalente

(P Q) ((P v Q)v(Q v P)) Está provada a completude de

{,v}

Regra de substituição de subfórmulas

Dadas as fórmulas da lógica proposicional Eg, Eh, G e H onde G é subfórmula de Eg H é subfórmula de Eh e Eh é obtida de Eg substituindo as

ocorrências de G em Eg por H então se G equivale a H, Eg equivale

a Eh

Transformação para o conjunto {,v} Dada uma fórmula E, como obter G

contendo apenas {,v} e.g. E=(P Q)v(R S)

Substituir PQ por ((P v Q)v(Q v P)) E=((P v Q)v(Q v P))v(R S)

Substituir PQ por (Q v P) G=((P v Q)v(Q v P))v(RvS)

G equivale a E!

Conjunto {nand} (P nand Q) = ((P^Q)) {nand} é completo! Demonstração

Se {nand} puder expressar {,v} P equivale a (P nand P) (1) (PvQ) equivale a (P nand Q)

Lei de Morgan: (P ^ Q) equivale a (P v Q)

Transformação para o conectivo nand H=P^(RS) Primeiro, transformar para {,v} Depois transformar para nand, usando

as equivalências P equivale a (P nand P) (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q)) (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q))

Possível Redefinição da Linguagem da Lógica Proposicional

Alfabeto Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false

true = false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1,

P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v

Formas normais e {,v,^}

Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação

Um bom conjunto completo é {,v,^}

Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos

Forma normal disjuntiva Uma fórmula está na forma normal

disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais

F é da forma F1 v F2 v ... v Fn, onde Fi é uma conjunção (da forma A1

^ A2 ^ ... ^ An ) e Ai é um literal

Ex: H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S)

Forma normal conjuntiva Uma fórmula está na forma normal

conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde Fi é uma disjunção (da forma

A1 v A2 v ... v An ) e Ai é um literal

Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)

Obtenção de formas normais

Observe que H e G são parecidos H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S), DNF G=(PvQ) ^ (RvQ vP) ^ (PvS), CNF

Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais Tabela verdade: DNF usa o T e CNF

usa o F

Obtenção de formas normais a partir de tabelas-verdade

H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=T

P Q R H

T T T T L1

F T T T L2F F T T L3 L1=P^Q^R L2=P^Q^R L3=P^Q^R H=L1 v L2 v L3, DNF H=(P^Q^R) v (P^Q^R) v (P^Q^R)

P Q R HT T T TT T F FT F T FT F F FF T T TF T F FF F T T F F F F

Obtenção de formas normais conjuntivas H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=FP Q R HT T F F T F T FT F F FF T F FF F F F H=L1 ^ L2 ^ L3 ^ L4 ^ L5, DNF H=(PvQvR) ^ (PvQvR) ^

(PvQvR) ^ (PvQvR) ^ (PvQvR)

P Q R HT T T TT T F FT F T FT F F FF T T TF T F FF F T T F F F F

Exercícios de obtenção de formas normais

Obter DNF de (P ^Q) R Obter CNF de (P ^Q) R

Algoritmos usando leis (repetidamente) 1 -Leis de eliminação

PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)

2 -Lei da negação (H) H

2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q

3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)

Exercícios

Obter DNF de (P v Q) R = (PvQ) v R (eliminação de ) = (P ^ (Q)) v R (De Morgan) = (P ^ Q) v R (negação)

Obter CNF de (P^(QR))S