lógica para concursos aula 01 a 03

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ANALISTA DO INSS 2013 Raciocínio Lógico

Bruno Villar

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LÓGICA PROPOSICIONAL Noção preliminar. Frase: Toda palavra ou conjunto de palavras que usamos para comunicar com alguém e possua sentido completo. As frases podem ser de vários tipos: Declarativa: O Brasil é um país do continente americano. Imperativa: Faça seu trabalho corretamente. Interrogativa: Que horas são? Como vai você? Exclamativa: Bom dia! PROPOSIÇÕES Definição: Uma proposição é toda sentença declarativa (com sujeito e predicado) á qual pode se atribuir, sem ambiguidade, apenas um do valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).

Treinamento comentado 1. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 2. Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6.

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03. (FCC) considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. é um número primo. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do estado de São Paulo em 2000. É verdade APENAS (A) I e II são sentenças abertas. (B) I e III são sentenças abertas. (C) II e III são sentenças abertas. (D) I é uma sentença aberta. (E) II é uma sentença aberta 04. (FCC) Uma proposição de uma linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Com base nessa definição, analise as seguintes expressões: I. 3 + 8 < 13 II. Que horas são? III. Existe um número inteiro x tal que 2x > −5. IV. Os tigres são mamíferos. V. 36 é divisível por 7. VI. x + y = 5 É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões: (A) I e IV. (B) I e V. (C) II, IV e VI. (D) III, IV e V. (E) I, III, IV e V Gabarito 01. D 02. C 03. A 04. E

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Princípios Fundamentais da lógica

Princípio da Identidade Todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição falsa é sempre falsa. Princípio da Não contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.

Treinamento 01.(CESPE) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. ( ) Certo ( ) Errado 02. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. ( ) Certo ( )Errado Gabarito 01.Certo 02.Errado CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES As proposições podem ser simples ou compostas. Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplos: p: O México fica na América do Norte. Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto. P: João é alto e André e baixo.

Treinamento 01.A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. ( ) Certo ( ) Errado 02. A proposição “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros” é uma proposição simples

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( ) Certo ( ) Errado Gabarito 01.Certo 02.Errado CONECTIVOS LÓGICOS *Definição: Conectivos lógicos (ou operadores lógicos) são palavras ou expressões que usamos para formar novas proposições, a partir de outras proposições. Os conectivos lógicos são: * não ( ~) Se Ligue! O CESPE utiliza o seguinte símbolo ¬ para representar a negação.

* e * ou

* se... então ...

* ... se e somente se... NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES A negação de uma proposição é mudar o valor lógico, sem perder o sentido. A forma simbólica da negação é ~p .

p ~p

V F

F V

O CESPE utiliza o símbolo para representar a negação. Para negar uma proposição simples colocamos o advérbio de negação o não antes do verbo de ligação. Se ocorrer da frase possui o termo não, então retira se o respectivo termo. Caso 01 A frase não possui o advérbio não, logo colocamos o advérbio antes do verbo de ligação. p: Salvador tem praia.

p : Salvador não tem praia . Outras formas de negar essa mesma proposição é: Não é verdade que Salvador tem praia. É falso que Salvador tem praia. Caso 02 A frase possui o advérbio não , nesse caso é só retirar o advérbio não. q: O Brasil não é um país do continente americano.

q : O Brasil é um país do continente americano.

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Caso 03 Utilização de antônimos. p : Mário é alto.

p: Mário não é alto. p : Mario é baixo.

Caso 04 Negação dos símbolos matemáticos

p p

=

<

>

> <

p : 2 + 3 = 5

p : 2 + 3 5.

Treinamento 01."No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime." Embora a dupla negação seja utilizada com certa frequência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 02.(CESPE PC-CE 2012) A negação da proposição “Toda pessoa pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa pobre que não é violenta”. ( ) Certo ( ) Errado 03.(CESPE PC-CE 2012) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação: “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos”. 04.(FEPESE) Analise a afirmação abaixo. "Nenhum número natural é primo e é par". Assinale a alternativa que indica a negação dessa afirmação. (A) Existe um número natural primo que é par.

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(B) Todo número natural não é primo e não é par. (C) Existe um número natural que é primo ou é par. (D) Nenhum número natural é par ou não é primo. (E) Existe um número natural ímpar que não é primo ou não é par. 05.(FGV) A negação de “todos os homens dirigem bem” é: (A) existem homens que dirigem mal. (B) existem homens que dirigem bem. (C) todas as mulheres dirigem bem. (D) todas as mulheres dirigem mal. (E) todos os homens dirigem mal. 06.(CESPE PF 2009) Se A for a proposição "Todos os policiais são honestos", então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por "Nenhum policial é honesto". ( ) Certo ( ) Errado 07.(CESPE) A negação da proposição "As palavras mascaram-se" pode ser corretamente expressa pela proposição "Nenhuma palavra se mascara". ( ) Certo ( ) Errado

08.(ESAF) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: (A) De dia, todos os gatos são pardos. (B) De dia, nenhum gato é pardo. (C) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. (D) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. (E) À noite, nenhum gato é pardo. 09.(BV) A negação da proposição “X ≤ 4” é “X>4”. ( ) Certo ( ) Errado 10.(FCC 2012) O diretor comercial de uma companhia, preocupado com as numerosas reclamações de clientes sobre a falta de produtos do catálogo nas lojas da empresa, deu a seguinte ordem a todos os gerentes: “Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em seu estoque todos os produtos de nosso catálogo.” Dois meses depois, o diretor constatou que sua ordem não estava sendo cumprida. Com essas informações, conclui-se que, necessariamente, (A) nenhum produto do catálogo estava disponível no estoque de todas as lojas da empresa. (B) no estoque de apenas uma loja da empresa não havia produtos do catálogo em falta. (C) alguma loja da empresa não tinha em seu estoque qualquer produto do catálogo. (D) algum produto do catálogo estava em falta no estoque de todas as lojas da empresa. (E) no estoque de cada loja da empresa faltava pelo menos um produto do catálogo. Gabarito 01.C 02.Certo

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03.Errado 04.B 05.A 06.Errado 07.Errado 08.D 09.Certo 10.E

OPERADORES LÓGICOS Operador da disjunção

Dadas duas proposições p e q, chama-se “disjunção de p e q” a proposição “p q” (lê-se: p ou q). A

disjunção p q será verdadeira se pelo menos uma das proposições (p ou q) for verdadeira e será falsa apenas no caso em que as duas (p e q) forem falsas. Exemplos: 1) p: O sol é uma estrela. q: O céu é azul.

p q: O sol é uma estrela ou céu é azul. A tabela da disjunção

Disjunção exclusiva

Dadas duas proposições p e q, chama-se “disjunção de p e q” a proposição “p q” (lê-se: ou p ou q). Exemplo: Ou Bruno é baiano ou Bruno é paraibano.

Treinamento de Sala 01(CESPE- PM) Considere as seguintes proposições: A 3 + 4 = 7 ou 7 - 4 = 3

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B 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8 C 3² = -1 ou 3² = 9 D 3² = -1 ou 3² = 1 Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V. ( ) Certo ( ) Errado 02. Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. A afirmação "Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata" é FALSA se (A) p é falsa e ~q é falsa. (B) p é falsa e q é falsa. (C) p e q são verdadeiras. (D) p é verdadeira e q é falsa. (E) ~p é verdadeira e q é falsa. 03. Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. ( ) Certo ( )Errado Gabarito 01.Errado 02. D 03.Errado

Operador da conjunção

“Dadas duas proposições p e q, chama-se conjunção de p e q” a proposição “p q” (lê-se: p e q). A

conjunção p q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras; e será falsa nos outros casos. Exemplo: p: O sol é uma estrela. q: A lua é um satélite.

P q : O sol é uma estrela e a lua é um satélite. Tabela da Conjunção.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

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Treinamento Texto para as questões 1 a 3

Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬, e , que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são

proposições, então P Q, P Q e ¬P também são proposições. Considere as proposições seguir: A: as despesas foram previstas no orçamento B: os gastos públicos aumentaram C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único D: a lei é igual para todos A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.

1. A (C (¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e os ou funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos aumentaram.” ( ) Certo ( ) Errado 2. A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único

nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬C) (¬B) ( ) Certo ( ) Errado 3. A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no

orçamento” está corretamente simbolizada por (B) (¬A). ( ) Certo ( ) Errado

4.(CESPE 2011) Caso Se duas das proposições P, Q e R forem verdadeiras, então a proposição

composta ¬(P R) (R Q)] será verdadeira. ( ) Certo ( ) Errado 05. (CESPE) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas” for considerada falsa por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha” tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto ( ) Certo ( )Errado 06. Considerando-se que a proposição “Começo do mês é tempo de receber salário” seja indicada por

P e a proposição “a alegria dura pouco” seja indicada por Q, e que o símbolo represente o conectivo “e”, é correto afirmar que a proposição “Começo do mês é tempo de receber salário, porém

a alegria dura pouco” pode ser corretamente representada por P Q. ( ) Certo ( )Errado 07. (ICMS FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa em concurso”.

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Nessa proposição o conectivo lógico é: (A) disjunção inclusiva (B) disjunção exclusiva (C) condicional (D) bicondicional (E) conjunção Gabarito 01.Errado 02.Errado 03.Certo 04.Errado 05.Errado 06.Certo 07.E

Operador da condicional

Dadas duas proposições p e q, a proposição se p, então q, que será indicada por “p q”, é chamada de

condicional. A proposição condicional p q será falsa quando p for verdadeira e q falsa; e será verdadeira nos outros casos. Exemplo: p : Mário é inocente. q: Jorge é culpado.

p q : Se Mário é inocente , então Jorge é culpado. Se Mário é inocente, Jorge é culpado.

Fique esperto! As outras formas filosóficas de escrever a condicional são : Se p, então q p implica q p é suficiente para q q é necessário para p p conseqüentemente q Quando p, q No caso de p, q q, contanto p q, se p q, no caso de p Todo p é q.

Treinamento 01. (CESPE) Considere as proposições seguintes. Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”; A: “O Estrela Futebol Clube vence”; B: “O Estrela Futebol Clube perde”; C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.

Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por (A B) C. 02. (CESPE) Considere as proposições a seguir. R: “Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão”; A: “O Saturno Futebol Clube vence”; B: “O Saturno Futebol Clube perde”; C: “O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.

Nesse caso, a proposição R pode ser expressa, simbolicamente, por A (B C).

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Gabarito

1. Errado 2. Certo

Dica 01: A causa é condição suficiente para o efeito (p é suficiente para q). Por isso podemos escrever a expressão da seguinte forma: Corro é condição suficiente para canso. Lembrem-se quando utilizar a expressão “ suficiente” está na ordem direta causa – efeito.

Cuidado a forma simbólica p q ( causa efeito) não muda a posição . Dica 02: O efeito é condição necessária para a causa. Logo podemos escrever a expressão da seguinte forma: Canso é condição necessária para corro.

Treinamento 1. (CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem”. 02. (MPOG 2009) Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo: (A) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. (B) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. (C) chover é condição necessária para o dia estar bonito. (D) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. (E) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Gabarito 01.Certo 02.A Tabela da condicional

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Operador da bicondicional

Dadas duas proposições p e q, a proposição “p se, e somente se, q”, que será indicada por “p q”, é

chamada de bicondicional. A proposição bicondicional p q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas; e será falsa nos demais casos.

p q ( lê-se : p se e somente se q)

Questões finais 1. (TRT-SP 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas:

Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (B) Apenas uma. (C) Apenas duas. (D) Apenas três. (E) Quatro. 2. (Oficial de Chancelaria 2009 FCC) Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os seguintes depoimentos: − Aristeu: “Se Boris faltou, então Celimar compareceu.” − Boris: “Aristeu compareceu e Celimar faltou.” − Celimar: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou.” Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é correto afirmar que (A) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade. (B) Aristeu e Boris mentiram. (C) os três depoimentos foram verdadeiros. (D) apenas Celimar mentiu. (E) apenas Aristeu falou a verdade. 3. Na tabela verdade abaixo , p e q são proposições

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

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A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

(A)P q

(B) ~( p q)

(C) p q

(D) p q

(E) ~( p q) 04. (ASSEMBLEIA LEGISLATIVA 2010 FCC) Paloma fez as seguintes declarações: − “Sou inteligente e não trabalho.” − “Se não tiro férias, então trabalho.” Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. 05. Considere um argumento composto pelas seguintes premissas: - Se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento. - Se a inflação é controlada, então o povo vive melhor. - O povo não vive melhor. Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então, uma conclusão que tornaria o argumento válido é: (A) A inflação é controlada. (B) Não há projetos de desenvolvimento. (C) A inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento. (D) O povo vive melhor e a inflação não é controlada. (E) Se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive melhor. Texto para as questões 6 e 7 Considere que, no argumento apresentado abaixo, as proposições P, Q, R e S sejam as premissas e T, a conclusão. P: Jornalistas entrevistam celebridades ou políticos.

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Q: Se jornalistas entrevistam celebridades, então são irônicos ou sensacionalistas. R: Ou são irônicos, ou perspicazes. S: Ou são sensacionalistas, ou sagazes. T: Se jornalistas são perspicazes e sagazes, então entrevistam políticos. A respeito dessas proposições, julgue os itens seguintes. 06. Caso sejam falsas as proposições “Jornalistas são perspicazes” e “Jornalistas são sagazes”, então também será falsa a conclusão do argumento. 07. Suponha que as proposições “Jornalistas são irônicos” e “Jornalistas são sensacionalistas” sejam falsas. Nesse caso, também será falsa a proposição “Se jornalistas entrevistam celebridades, são irônicos ou sensacionalistas”. 08. (CESPE) Considere que as proposições a seguir têm valores lógicos V. Catarina é ocupante de cargo em comissão CJ.3 ou CJ.4. Catarina não é ocupante de cargo em comissão CJ.4 ou Catarina é juíza. Catarina não é juíza. Assinale a opção correspondente à proposição que, como conseqüência da veracidade das proposições acima, tem valoração V. (A) Catarina é juíza ou Catarina ocupa cargo em comissão CJ.4. (B) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.3 nem CJ.4. (C) Catarina ocupa cargo em comissão CJ.3. (D) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.4 e Catarina é juíza. (E) Catarina não é juíza, mas ocupa cargo em comissão CJ.4. Gabarito 01.C 02.E 03.E 04.C 05.B 06.Errado 07.Errado 08.C

TABELA VERDADE É uma maneira prática de organizar os valores lógicos de uma proposição simples ou composta. O número de linhas de uma tabela verdade é fornecido pela expressão 2n , onde o n é o número de proposições simples (distintas) componentes e o 2 representa o número de valores lógicos possíveis (V ou F). Dica : A fórmula 2n será usada para descobrir o total de linhas ou saber a quantidade de valorações de uma proposição lógica. Exemplos: p : 2¹ = 2 linhas.

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A 1º coluna é calculada da seguinte forma: O resultado obtido fornecerá a interpolação da valoração (a seqüência de V e F) das linhas da tabela. No exemplo acima ficou na seqüência V- F pois o resultado foi 1.

Da 2º coluna em diante a forma é: Esse processo será repetido até chegar na última coluna que terá como resultado 1.

TREINAMENTO 1.(CESPE) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-

verdade da proposição (A B) (C D) será superior a 15. Gabarito 01.Certo Construção da tabela verdade.

01. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R T) R, a tabela-verdade correspondente será a seguinte.

02. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R T) (¬ R), a tabela-verdade correspondente será a seguinte.

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03. (CESPE) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “ ”, “ ”, “ ” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras — V — ou como falsas — F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P R) Q.

01-Errado 02-Certo 03-Errado

CLASSIFICAÇÃO DAS TABELAS VERDADES TAUTOLOGIA Uma proposição composta representa uma tautologia quando o seu valor lógico é sempre verdade, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove ou não chove ( p ~p) A tabela verdade é:

p ~p p ~p

V F V

F V V

TREINAMENTO 1.(FCC) Considere a seguinte proposição: “na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza. (A) um silogismo (B) uma tautologia (C) uma equivalência

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(D) uma contingência (E) uma contradição 2.(CESPE) A sentença “No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma proposição sempre verdadeira 03.(FCC) I.O número de linhas de uma tabela verdade é sempre um número par.

II. A proposição “(10 < 10 ) ( 8-3= 6)” é falsa.

III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p q ) ~ q é uma tautologia. É verdade o que se afirma apenas em (A)I e II (B) I e III (C) I (D) II (E) III Gabarito 01.B 02.Certo 03.B CONTRADIÇÃO Uma proposição composta representa uma contradição quando o seu valor lógico é sempre falso, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove e não chove ( p ~p) A tabela verdade é:

p ~p p ~p

V F F

F V F

INDETERMINAÇÃO OU CONTIGÊNCIA Uma proposição ( simples ou composta) representa uma indeterminação quando os valores da proposição apresentam dois resultados V e F. Exemplo: Fulano é culpado (V ou F) Maria é alta ou Mário é baixo. ( V ou F)

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Negação de uma proposição composta. Na negação da proposição simples o processo é apenas colocar o advérbio “não” antes do verbo de ligação ou retirar o citado advérbio se a proposição possuir. Exemplo: p: O sol é uma estrela. ~ p : O sol não é uma estrela. No caso das proposições compostas devemos utilizar as fórmulas de negação, isto é, expressões equivalentes a negação das proposições. Negação da disjunção. Fórmula: ~( p q ) ~ p ~ q Cuidado: As expressões : ~( p q) e ~ p q não representam a mesma coisa , a primeira expressão a negação da conjunção e a segunda a negação de p “ou” q Dica: Negar a primeira proposição ( simples ou composta ) depois colocar o conectivo “e” e negar a segunda proposição ( simples ou composta). Exemplos: P: Salvador tem praia ou Santos não tem praia. ~P ; Salvador não tem praia e Santos tem praia; Q: Catarina é ocupante de cargo de chefia ou diretoria. ~Q : Catarina não é ocupante de cargo de chefie e não é ocupante de cargo de diretoria. ~ Q : Catarina não é ocupante de cargo de chefia nem de diretoria. Negação da conjunção Fórmula: ~ ( p q ) ~ p ~ q Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta) depois colocar o conectivo “ou” e negar a segunda proposição (simples ou composta). P: Mário é alto e Jorge é culpado. ~ P : Mário não é alto ou Jorge não é culpado. ~ P Mário é baixo ou Jorge é inocente. Q : João Pessoa é a capital da Paraíba e Sergipe é a capital de Brasília. ~ Q : João Pessoa não é a capital da Paraíba ou Sergipe não é a capital de Brasília.

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Negação da condicional

Fórmula: ~ ( p q) p ~q Dica: Conserva a primeira proposição (simples ou composta) colocar o conectivo “e” e depois negar somente a segunda proposição ( simples ou composta) Exemplo: P : Se corro , então canso. ~ P : Corro e não canso. Negação da bicondicional

Fórmula: ~ ( p q ) = ~ p q outra opção p ~ q. Dica: Na negação da bicondicional o conectivo conserva e temos a livre escolha de negar uma proposição e conservar a outra. Cuidado não pode negar as duas simultaneamente. P : 2 é par se e somente se 3 é impar. ~P : 2 não é par se e somente se 3 é impar. ~P : 2 é par se e somente se 3 não é impar

Treinamento

01.(PC-ES CESPE 2011) A negação da proposição (P ~Q) R é (~PQ) (~R) 02.(FCC 2010) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ∧ ~ q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 03.(FCC 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que (A) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. (B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. (C) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. (D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. (E) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. 04. A negação da proposição “Se é período eleitoral, então todo candidato faz comício e promessa” é a expressa em: (A) É período eleitoral e todo candidato faz comício e não faz promessa. (B) É período eleitoral e todo candidato faz comício ou faz promessa. (C) É período eleitoral e existe candidato que não faz comício ou não faz promessa. (D) É período eleitoral e existe candidato que faz comício ou faz promessa. (E) É período eleitoral e todo candidato não faz comício e faz promessa.

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05.(FCC 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador. (A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. (D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. (E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. Gabarito 01. Errado 02.A 03.A 04.C 05.C

EQUIVALÊNCIA LÓGICA As proposições P e Q são equivalentes quando apresentam tabelas verdades idênticas.

Indicamos que p é equivalente a q do seguinte modo: p q. Para confirmar a equivalência lógica deve-se construir a tabela verdade das proposições e se apresentarem a mesma valoração ( na ordem das linhas correspondentes) , então as proposições são equivalentes. Vamos estudar as equivalências muitas cobradas em provas de concurso. A condicional possui duas expressões equivalentes

p q ¬ q p ¬ p q

1º forma: p q = q p (contra-positiva) Uma expressão equivalente a condicional é trocar a posição dos termos negando ambos e mantendo o

condicional. Se corro ,então canso.( p q) é equivalente a se não canso , então não corro. ( q p).

2º forma : p q = p q ( a negação da negação da condicional) Uma expressão equivalente a condicional é negar a primeira proposição colocar o conectivo “ou” e manter a

segunda proposição na forma original. Se não canso , então não corro. (q p) é equivalente a frase “Não corro ou canso”. ( p q) Resumo:

Se corro ,então canso.( p q)

Se não canso , então não corro. ( q p) Não corro ou canso. ( p q ) Essa três frases do ponto de vista lógico representam a mesma coisa

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Equivalente da bicondicional: (p q) (p q) ^ (q p)

Treinamento comentado 1. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: (A) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. (B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. (C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. (D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. (E) ou os juros bancários são altos , ou a inflação é baixa 2. (AFRFB – 2009) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que: (A) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. (B) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. (C) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. (D) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. (E) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou 03.A negação da sentença “A Terra é chata e a Lua é um planeta.” é: (A) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. (B) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. (C) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. (D) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. (E) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. 04. (ATA-MF - 2009 / ESAF) X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y > 7. Sendo assim:

Gabarito 01. A 02. E 03.A 04.A

QUANTIFICADORES Que valor lógico você atribuiria à sentença aberta x + 2 = 5?

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Não podemos classificá-la como V ou F, pois nos faltam informações sobre a variável x.

Quantificador Universal ( )

O símbolo pode ser lido das seguintes formas: Todo Qualquer que seja. Exemplo: Todo homem é mortal. A conclusão dessa afirmação é se você é homem então será mortal. Na representação do diagrama lógico seria.

Cuidado todo homem é mortal, mas nem todo mortal é homem. A forma Todo A é B pode ser escrita na forma Se A então B.

A forma simbólica da expressão Todo A é B é a expressão ( (x) / A (x) B)

Aplicação do quantificador universal.

x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora se escrevermos da forma (x) N/ x + 2 = 5 ( lê-se :para todo pertencente a N temos x + 2 = 5) .Será que qualquer valor que colocarmos no lugar de x a sentença será verdadeira ? Não! Depois de colocamos o quantificador a frase passou a possui sujeito e predicado definidos, logo uma proposição lógica.

Quantificador existencial ( )

O símbolo pode ser lido das seguintes formas: Pelo menos um Existe Algum Exemplo: Algum matemático é filósofo O diagrama lógico dessa frase é

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O quantificador existencial tem a função de elemento comum. A palavra algum do ponto de vista lógico

representa termos comuns, por isso Algum A é B possui a seguinte forma simbólica: ( (x)) ( A(x) B) Aplicação do quantificador existencial

x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora se escrevermos da forma ( x) N/ x + 2 = 5 ( lê-se :existe pelo menos um x pertencente a N tal que x + 2 = 5) .Será que existe um valor que colocarmos no lugar de x a sentença será verdadeira ? Sim! Depois de colocamos o quantificador a frase passou a possui sujeito e predicado definidoS, logo uma proposição lógica. Fique esperto! Parte 1 A palavra todo não permite inversão dos termos. Como assim? Exemplo: Todo A é B é diferente de Todo B é A. A palavra alguma permite a inversão dos termos. Como assim? Exemplo: alguma A é B é a mesma coisa que alguma B é A. Fique esperto! Parte 2 A frase todo homem é mortal possui as seguintes conclusões: 1º Algum mortal é homem ou algum homem é mortal. 2º Se José é homem, então José é mortal.

TREINAMENTO 01. (FCC) Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que: (A)"Nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. (B)"Algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. (C) "Algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. (D) "Algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. (E) "Algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 02.(FCC 2012) O responsável por um ambulatório médico afirmou: “Todo paciente é atendido com certeza, a menos que tenha chegado atrasado.” De acordo com essa afirmação, conclui-se que, necessariamente, (A) nenhum paciente terá chegado atrasado se todos tiverem sido atendidos. (B) nenhum paciente será atendido se todos tiverem chegado atrasados. (C) se um paciente não for atendido, então ele terá chegado atrasado. (D) se um paciente chegar atrasado, então ele não será atendido. (E) se um paciente for atendido, então ele não terá chegado atrasado. Gabarito 01-D 02.C Negação das proposições contendo quantificadores.

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Quantificador Universal p: Todo homem é mortal. ~p : Existe pelo menos um homem que não é mortal. Quantificador Existencial p: Existem homens que são sábios. ~p : Todos os homens não são sábios. A proposição “Todos os homens não são sábios” pode ser escrita na forma “ Nenhum homem é sábio” Dica para negar o quantificador existe ( algum) temos duas opções : 1º Troca-se pelo quantificador “todo” e faz a negação da frase. 2º Porém se utilizarmos o quantificador “nenhum” a frase deve ser conservada. Exemplo: p: Algum A é B. ¬ p: Todo A não é B.( utilizando o “todo” a frase deve ser negada ) ¬ p: Nenhum A é B. (utilizando o “nenhum” a frase deve ser conservada) Cuidado: No caso de negar o quantificador nenhum ou ninguém o único quantificador utilizado é o existe ( algum ou alguém )

ARGUMENTO

O argumento lógico é classificado em válido e não válido (sofisma ou falácia). Agora as premissas e a conclusão são classificadas em verdadeiras ou falsas. Nosso estudo sobre argumento é do ponto de vista lógico, por isso no inicio pode ocorrer um pouco de espanto, mas nossa finalidade é observar a relação entre as premissas e a conclusão. Vamos estudar a definição de argumento. Definição:

Sejam P1, P2, ... Pn(n ) e C proposições quaisquer (simples ou compostas). Chama-se de argumento a

seqüência finita de proposições P1,P2,...Pn (n ) que tem como conseqüência a proposição C.

Forma simbólica: P1,P2,...Pn C Podemos concluir que o argumento são premissas que resultam em uma conclusão , onde utilizamos uma relação de implicação lógica ( condicional verdadeira); por isso podemos resumir assim : Argumento é um encadeamento lógico de premissas que implicam em uma conclusão. Se ligue ! Segue as formas de expressar um encadeamento lógico ou argumento. Premissa(s), implica conclusão Premissa(s), logo a conclusão Premissa(s), portanto a conclusão Vamos estudar a forma básica de argumento! Silogismo são duas proposições e uma conclusão. Nesse primeiro caso de argumento vamos estudar frases que possuam elementos comuns.

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Caso 01- Todo e Todo.

TREINAMENTO 01- Considere que as proposições “Todo advogado sabe lógica” e “Todo funcionário do fórum é advogado” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é “Todo funcionário do fórum sabe lógica”. Então essa argumentação é válida. 02-Considere como premissas as proposições “Todos os hobits são baixinhos” e “Todos os habitantes da Colina são hobits”, e, como conclusão, a proposição “Todos os baixinhos são habitantes da Colina”. Nesse caso, essas três proposições constituem um raciocínio válido.

Gabarito 01-Certo 02-Errado Caso 02 Todo e algum.

TREINAMENTO 01. (FCC) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo, (A) todos os momorrengos são torminodoros. (B) alguns torminodoros são momorrengos. (C) todos os torminodoros são macerontes. (D) alguns momorrengos são pássaros. (E) todos os momorrengos são macerontes. 02.(PC-ES CESPE 2011) Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e conclusão P3 é válido. Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por "Todos os leões são pardos" e "Existem gatos que são pardos", e a sua conclusão P3 for dada por "Existem gatos que são leões", então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido. 03.(FCC) São dadas as afirmações: – Toda cobra é um réptil. – Existem répteis venenosos. Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza,também é verdade que (A) toda cobra é venenosa. (B) algum réptil venenoso é uma cobra. (C) qualquer réptil é uma cobra. (D) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra. (E) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil.

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Gabarito 01-B 02-Errado 03.E CASO 03 : TODO E NENHUM. Exemplo: Todo A é B. Nenhum B é C . Logo , nenhum A é C. Fazendo a união das relações temos a seguinte possibilidade.

Podemos concluir que todo elemento que pertence ao conjunto A não pertence ao conjunto C , pois nenhum elemento pertence ao conjunto B C. Logo Argumento válido.

TREINAMENTO 1. (FCC)Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo, (A) todos os planetas são estrelas. (B) nenhum planeta é estrela. (C) todas as estrelas são planetas. (D) todos os planetas são planetas. (E) todas as estrelas são estrelas. Gabarito 01-B

CASO 04 : Algum e nenhum. Se ligue! Algum A não é B é equivalente a Algum não B é A . Algum A não é B não é equivalente a Algum B não é A. TREINAMENTO 1. (CESPE) Considerando-se como premissas as proposições “Nenhum pirata é bondoso” e “Existem piratas que são velhos”, se a conclusão for “Existem velhos que não são bondosos”, então essas três proposições constituem um raciocínio válido

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2. (ESAF) Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que: (A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G; (D) algum G é A; (E) nenhum G é A; Gabarito 01-Certo 02- A

lógica para concursos aula 01 a 03

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