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Questões comentadas

Lógica/Matemáticapara concursos

Handbook de Questões de TI Comentadas para Concursos Volume questões de TI

Prefácio

Entre as principais atividades dos pro�ssionais de tecnologia de informação está a resoluçãode problemas de naturezas e complexidades diversas. Para formular soluções para tais proble-mas, o pro�ssional de tecnologia de informação muitas vezes necessita fazer uso de matemática,álgebra, lógica, análise combinatória, entre outras ferramentas que estão intimamente ligadas àcomputação.

É por este motivo que muitos concursos na área de TI tem cobrado noções de matemáticae lógica, como forma de averiguar o conhecimento e a capacidade dos candidatos em resolverproblemas de ordem geral. Este volume foi preparado pelo Grupo Handbook de TI justamentepara suprir esta lacuna, fornecendo uma série que questões de matemática e lógica comentadasem detalhes para você.

Bons estudos,

Grupo Handbook de TI

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1. Assuntos relacionados: Lógica,Banca: CESGRANRIOInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas - Eng. de SoftwareAno: 2008Questão: 39

((p ∨ q)→ (r ∧ s))↔ (¬t)

Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a proposição acima é verdadeira?

(a). V, V, V, V, V

(b). V, F, V, F, F

(c). F, F, V, F, F

(d). F, V, F, V, F

(e). F, F, V, V, V

Solução:

As Tabelas 1, 2, 3, 4 e 5 são as tabelas verdade para as operações utilizadas na proposiçãoda questão.

A ¬ A

V FF V

Tabela 1: Negação (¬).

A B A → B

V V VV F FF V VF F V

Tabela 2: Se - Então (→).

P Q P ∨ Q

V V VV F VF V VF F F

Tabela 3: Ou (∨).




A B A ∧ B

V V VV F FF V FF F F

Tabela 4: E (∧).

P Q P ↔ Q

V V VV F FF V FF F V

Tabela 5: Se e Somente Se (↔).

Vamos analisar cada alternativa.

(A)

((V ∨ V )→ (V ∧ V ))↔ (¬V )((V )→ (V ))↔ (F )

(V )↔ (F )F

(B)

((V ∨ F )→ (V ∧ F ))↔ (¬F )((V )→ (F ))↔ (V )

(F )↔ (V )F

(C)

((F ∨ F )→ (V ∧ F ))↔ (¬F )((F )→ (F ))↔ (V )

(V )↔ (V )V

(D)

((F ∨ V )→ (F ∧ V ))↔ (¬F )((V )→ (F ))↔ (V )

(F )↔ (V )F

(E)

((F ∨ F )→ (V ∧ V ))↔ (¬V )((F )→ (V ))↔ (F )

(V )↔ (F )F




Como podemos notar, os valores para p, q, r, s e t da alternativa (C) tornam a expressãoverdadeira e, por isso, é a alternativa a ser marcada.





Se Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado, então Ana não fez umpedido. Ou Ana fez um pedido ou a senha de Beatriz foi descoberta. Se Carlos conversoucom Ana, então Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado. Ora, nem asenha de Beatriz foi descoberta nem Beatriz conhece Carlos. Logo:

I - Ana fez um pedido.

II - Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado.

III - Carlos não conversou com Ana.

IV - Beatriz conhece Carlos.

São verdadeiras APENAS as conclusões:

(a). I e II

(b). I e III

(c). II e III

(d). II e IV

(e). III e IV

Solução:

Para facilitar, vamos representar as assertivas por letras:

X Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado;

Y Ana fez um pedido;

Z A senha de Beatriz foi descoberta;

W Carlos conversou com Ana;

U Beatriz conhece Carlos.

Agora, vamos representar as assertivas em um conjunto de proposições de acordo com otexto:

i X → ¬Y ;

ii Y ∨ Z;

iii W → X;

iv ¬Z;

v ¬U .

Agora vamos começar a analisar as proposições e tentar achar soluções que respondam avalidade das assertivas I, II, III e IV.

Na Proposição iv, sabemos que a senha de Beatriz não foi descoberta. Já na Proposiçãoii, podemos concluir que Ana fez um pedido, pois um dos valores Y e Z deveriam assumirvalor verdadeiro e como temos certeza que Z é falso, concluímos que Y assume verdadeiro.




Já podemos concluir que a assertiva I é verdadeira.

Analisando a Proposição i, temos que X deve implicar um valor falso (¬Y ). Da tabelaverdade da operação lógica se então, podemos concluir que a única maneira de tornar aproposição válida é que X assuma valor falso (F → F ). Concluímos, então, ¬X, ou seja,Ana não sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado. A assertiva II é falsa.

Analisando a Proposição iii, temos que o valor de W deve ser falso para tornar a pro-posição válida, já que X é falso como vimos anteriormente. Logo, Carlos não conversou comAna. A assertiva III é verdadeira.

A assertiva IV é claramente falsa de acordo com a Proposição v.

A alternava a ser marcada é a letra (B), já que as únicas assertivas verdadeiras são: I eIII.





�O projeto será bem-sucedido se ou o processo de desenvolvimento é o Processo Uni�cadoou a linguagem utilizada é Java.�. Uma possível tradução da sentença acima para a lógicade predicados de primeira ordem é

(a). (Sp→ JI)↔ (Sp→ Ud)

(b). Sp↔ (Ud ∨ JI)

(c). Sp↔ (JI ∨ Ud)

(d). (Ud ∨ JI)↔ Sp

(e). (JI ∨ Ud)→ Sp

Solução:

O enunciado pode ser modi�cado para que tenha o mesmo signi�cado da seguinte maneira:�Para que o projeto seja bem-sucedido é necessário que pelo menos uma das seguintes as-sertivas se torne verdadeira: o processo de desenvolvimento é o Processo Uni�cado ou alinguagem utilizada é Java.�.

Quando utilizamos a palavra necessário, estamos dizendo que para que o projeto seja bem-sucedido, obrigatoriamente a condição necessária deve ser atendida. Entretanto, não estamosdizendo que, caso a condição seja atendida (Processo Uni�cado ou Java), é su�ciente paraque o projeto seja bem-sucedido. Para representar isso, devemos utilizar o se-então.

No caso do uso do OU, devemos estar bem atentos. Pois, em muitos casos, em nossalinguagem natural, o uso do OU pode representar um Ou-Exclusivo da Lógica de PrimeiraOrdem. Um exemplo: hoje à noite, eu vou para casa ou para o trabalho. Claramente, noexemplo, somente uma das assertivas pode ser verdadeira: Eu vou para casa hoje à noiteou vou para o trabalho hoje à noite. Já no caso do enunciado da questão, encontramos ouso do OU menos corriqueiro, sendo utilizado duas vezes, reforçando o entendimento de quepelo menos uma das assertivas envolvidas deva ser verdadeira.

Dado o exposto acima, podemos concluir que a alternativa (E) é alternativa que corres-ponde ao signi�cado da frase. Entretanto, a ordem é um pouco diferente e Sp representaque o projeto será bem-sucedido. Isso ocorre porque a condição necessária é o segundooperador da operação se-então e a consequência é o primeiro.

Um bom exemplo para �xar os conceitos de su�ciência e necessidade é a seguinte pro-posição: CARIOCA → BRASILEIRO. Ser CARIOCA é su�ciente para ser BRASILEIRO,mas não necessário. Ser BRASILEIRO é necessário para ser CARIOCA.




4. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Álgebra Booleana,Banca: FCCInstituição: TRT 16a RegiãoCargo: Analista Judiciário - Tecnologia da InformaçãoAno: 2009Questão: 39

Considere p = FALSE e q = TRUE. Os resultados booleanos de p AND q, p OR q e NOTp serão, respectivamente,

(a). FALSE, TRUE e FALSE.

(b). TRUE, FALSE e FALSE.

(c). TRUE, TRUE e TRUE.

(d). FALSE, TRUE e TRUE.

(e). FALSE, FALSE e TRUE.

Solução:

A operação AND resulta em um valor verdadeiro se e apenas se os valores de ambas asvariáveis p e q assumirem valor verdadeiro. Como p é falso (FALE), o resultado da operaçãop AND q é falso (FALSE).

A operação OR resulta em um valor verdadeiro se o valor de qualquer uma das variá-veis p ou q assumir valor verdadeiro; caso contrário, o resultado da operação é falso. Comop é falso (FALSE) e q é verdadeiro (TRUE), o resultado da operação p OR q é verdadeiro(TRUE).

A operação NOT inverte o valor da variável p, isto é, o resultado desta operação é ver-dadeiro se p é falso, e falso se p é verdadeiro. Como p é falso (FALSE), o resultado daoperação NOT p é verdadeiro (TRUE).

O resultado das três operações são FALSE, TRUE, TRUE. Logo, a alternativa correta éa (D).




5. Assuntos relacionados: Lógica,Banca: CesgranrioInstituição: BNDESCargo: Analista de Sistemas - DesenvolvimentoAno: 2008Questão: 52

A expressão

(NOT A AND B) OR ((B AND NOT A) OR B)

equivale a

(a). B

(b). A

(c). NOT A

(d). tautologia

(e). contradição

Solução:

Antes de partirmos para a resolução desta questão, faremos uma breve revisão sobre algu-mas das propriedades de equivalência lógica. Para tanto, utilizaremos 3 (três) proposiçõessimples: p, q e r. As propriedades são expressas pelas seguintes Leis:

• Leis da Idempotência:

� p AND p ⇔ p

� p OR p ⇔ p

• Leis da Comutatividade:

� p AND q ⇔ q AND p

� p OR q ⇔ q OR p

• Leis da Absorção:

� p AND (p OR q)⇔ p

� p OR (p AND q)⇔ p

• Leis da Associatividade:

� (p AND q) AND r ⇔ p AND (q AND r)

� (p OR q) OR r ⇔ p OR (q OR r)

Pronto, agora estamos aptos a resolver a presente questão. Na expressão do nosso problema,identi�camos facilmente 2 (duas) proposições simples (A e B) e 3 operadores lógicos (NOT,AND e OR). Assim, podemos aplicar os seguintes passos:

1. Aplicando as leis da associatividade na expressão, teremos:

((NOT A AND B) OR (B AND NOT A)) OR B

2. Aplicando as leis da comutatividade na proposição composta (B AND NOT A), teremos:

((NOT A AND B) OR (NOT A AND B)) OR B




3. Aplicando as leis da idempotência na proposição composta ((NOT A AND B) OR (NOT AAND B)), teremos:

(NOT A AND B) OR B

4. Por �m, aplicando as leis da absorção, teremos:

B

Portanto, a alternativa A é a correta.




6. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico,Banca: CesgranrioInstituição: BR DistribuidoraCargo: Analista de Sistemas - DesenvolvimentoAno: 2008Questão: 23

Seja L a expressão lógica a seguir.

∼ ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)

Considerando-se que os símbolos ∼ e ¬ têm o mesmo signi�cado, o que é obtido após umasimpli�cação de L?

(a). P

(b). Q

(c). P v Q

(d). Contradição

(e). Tautologia

Solução:

Para resolver esta questão, podemos montar uma tabela verdade combinando os possíveisvalores, TRUE (T) ou FALSE (F), para P e Q. Lembrando que o símbolo ∨ de�ne umaoperação de OU e ∼ representa uma operação de NOT (negação).

1 2 3 4 5 6 7P Q ∼ P ∼ Q (∼ P∨ ∼ Q) (∼ P∨ ∼ Q) ∨Q ∼ ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)T T F F F T FT F F T T T FF T T F T T FF F T T T T F

Tabela 6: tabela verdade.

Primeiramente realizamos a operação de NOT em P (coluna 3) e Q (coluna 4). Em seguida,realizamos a operação de OR em (∼ P∨ ∼ Q) , obtendo os valores conforme (coluna 5).Diante desse resultado, realizamos novamente uma operação de OR em ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)(coluna 6).

Para chegarmos ao resultado desejado, realizamos uma operação de NOT no resultado an-terior. O resultado �nal são valores FALSE conforme a coluna 7. Como obtemos todos osvalores com FALSE para os possíveis valores de P e Q, concluímos que isso representa umacontradição, ou seja, qualquer valor que a�rmamos para P e Q sempre chegamos a um valorFALSE de acordo com a expressão lógica L.




7. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Lógica,Banca: CesgranrioInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas Pleno - ProcessosAno: 2006Questão: 34

Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas,assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo.

(a). ¬r ⇒ p ∧ q

(b). (r ⇒ s) ∧ (p ∧ q)

(c). (r ⇔ s)⇔ (p⇔ q)

(d). ¬((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q))

(e). r ⇒ q ⇔ (¬p⇔ r)

Solução:

O operador ¬ representa a negação de uma proposição, isto é, se p é verdadeira, ¬p é falsoou se p é falso, ¬p é verdadeiro.

O operador ∧ indica uma conjunção entre duas proposições, isto é, p ∧ q, que tambémé indicado por p e q. O resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 7.

p q p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

Tabela 7: tabela-verdade do operador ∧.

O operador ∨ indica uma disjunção entre duas proposições, isto é, p∨q, que também indicadopor p ou q. O resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 8.

p q p ∨ q

V V VV F VF V VF F F

Tabela 8: tabela-verdade do operador ∨.




O operador ⇒ representa uma implicação entre duas proposições, isto é, se p então q. Oresultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 9.

p q p⇒ q

V V VV F FF V VF F V

Tabela 9: tabela-verdade do operador ⇒.

O operador ⇔ representa uma equivalência entre duas proposições, isto é, p se somente

se q ou p equivalente a q. O resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 10.

p q p⇔ q

V V VV F FF V FF F V

Tabela 10: tabela-verdade do operador ⇔.

A análise de cada proposição das alternativas é apresentada na Tabela 11.

Alternativa Proposição(A) p q r s ¬r p ∧ q ¬r ⇒ p ∧ q

V V F F V V V(B) p q r s (r ⇒ s) (p ∧ q) (r ⇒ s) ∧ (p ∧ q)

V V F F V V V(C) p q r s (r ⇔ s) (p⇔ q) (r ⇔ s)⇔ (p⇔ q)

V V F F V V V(D) p q r s (r ⇒ p) (s⇒ q) ((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q)) ¬((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q))

V V F F V V V F(E) p q r s ¬p (¬p⇔ r) q ⇔ (¬p⇔ r) r ⇒ q ⇔ (¬p⇔ r)

V V F F F V V V

Tabela 11: análise das proposições das alternativas.

Conforme os resultados apresentados na Tabela 11, a alternativa que apresenta valor lógicofalso, é a alternativa (D). Portanto, a alternativa correta é a (D).




8. Assuntos relacionados: Lógica,Banca: CespeInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas Júnior - InfraestruturaAno: 2007Questão: 53�55

Uma proposição é uma a�rmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F),mas não como ambas. As proposições são simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto,como A, B, C etc., que podem ser conectadas por símbolos lógicos. A expressão A → B éuma proposição lida como �A implica B�, ou �A somente se B�, ou �A é condição su�cientepara B�, ou �B é condição necessária para A�, entre outras. A valoração de A → B é Fquando A é V e B é F, e nos demais casos é V. A expressão ¬A é uma proposição lida como�não A� e tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V.

Uma seqüência de 3 proposições da forma A, A → B, B constitui um argumento válidoporque sempre que A e A → B, chamadas premissas, tiverem valorações V, então a valora-ção de B, chamada conclusão, será obrigatoriamente V.

A partir das informações do texto acima, julgue os itens a seguir.

53 A proposição �O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado�pode ser corretamente lida como �O carro estar bem preparado é condição necessáriapara que o piloto vença a corrida�.

54 Uma proposição da forma (¬B → ¬A) → (A → B) é F exatamente para uma daspossíveis valorações V ou F, de A e de B.

55 Simbolizando-se adequadamente, é correto concluir que a seqüência formada pelas trêsproposições abaixo constitui um argumento válido.

Premissas:

1. A PETROBRAS patrocinar o Comitê Olímpico Brasileiro (COB) é condição su�-ciente para que o COB promova maior número de eventos esportivos.

2. O COB promove maior número de eventos esportivos.

Conclusão:

3. A PETROBRAS patrocina o COB.

Solução:

Os dois primeiros parágrafos contêm somente a�rmações e serve até como base para resoluçãodas três questões.

53 CERTO

O primeiro passo para resolver esta questão é simbolizar as partes da primeira pro-posição da seguinte forma:

A: o piloto vence a corrida;

B: o carro está bem preparado.




Agora podemos reescrever a primeira proposição: A somente se B.

Como o próprio enunciado da questão revela, �A somente se B� também pode serlido como �B é condição necessária para A�. Substituindo os valores de A e B obtemos:o carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida.

54 ERRADO

Uma forma bem direta e metódica de resolver esse tipo de questão é por meio detabela verdade. De acordo com a teoria da lógica proposicional, a tabela verdade dasentença A → B é:

- A B A → B1 F F V2 F V V3 V F F4 V V V

Tabela 12: tabela verdade A → B.

Portanto, podemos utilizar essa tabela verdade para compormos, passo a posso, a tabelaverdade da proposição (¬B → ¬A) → (A → B). Vejamos:

- A B ¬B ¬A (¬B → ¬A) (A → B) (¬B → ¬A) → (A → B)1 F F V V V V V2 F V F V V V V3 V F V F F F V4 V V F F V V V

Tabela 13: tabela verdade (¬ → ¬A) → (A → B).

Podemos notar facilmente que indiferentemente dos valores de A e B, sempre a propo-sição (¬B → ¬A) → (A → B) é verdadeira.

55 ERRADO

Similarmente à primeira questão desta série, o primeiro passo para resolver esta questãoé simbolizar as partes da primeira proposição da seguinte forma:

A: a PETROBRAS patrocina o Comitê Olímpico Brasileiro (COB);

B: o COB promove maior número de eventos esportivos.

Agora podemos reescrever as premissas e a conclusão para visualizarmos melhor a ló-gica envolvida.

Premissas:

1. A → B

2. B

Conclusão:

3. A




Como o próprio enunciado da questão revela, A → B pode ser lido como �B é con-dição necessária para A�. Ou seja, não NECESSARIAMENTE se B for verdadeiro Atambém será verdadeiro. Contudo, para que A seja verdade, B tem que ser verdadeiroNECESSARIAMENTE. En�m, a conclusão de que A é verdade é equivocada.

Uma forma mais direta e metódica de resolver esse tipo de questão é por meio detabela verdade. De acordo com a teoria da lógica proposicional, a tabela verdade dasentença A → B é:

- A B A → B1 F F V2 F V V3 V F F4 V V V

Tabela 14: tabela verdade A → B.

Eliminamos as linhas da tabela que divergem das premissas (a�nal de contas premissaé premissa) e obtemos as seguintes regras válidas:

- A B A → B2 F V V4 V V V

Tabela 15: regras válidas.

Uma rápida analise nessas regras obtidas veri�camos que A pode assumir tanto o valorF quanto V. Portanto, não se pode concluir que A é verdadeira. Ou seja, não se podeconcluir que �o COB promove maior número de eventos esportivos�.




9. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,Banca: CESGRANRIOInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas - Eng. de SoftwareAno: 2008Questão: 36

Um sistema legado utiliza uma senha alfanumérica de 4 posições, onde só são permitidosdígitos de 0 a 9 e caracteres alfabéticos maiúsculos de A a Z (incluindo as letras K, We Y). Uma senha válida deve ter exatamente 4 caracteres, conter pelo menos um caracteralfabético, e não pode conter ou ser igual ao login do usuário.

Assumindo que o sistema permite um número ilimitado de tentativas de acesso com se-nhas erradas, em quantas tentativas, no mínimo, é garantido que um software, capaz degerar todas as senhas válidas para um determinado login e tentar se autenticar no sistema,determine a senha do usuário cujo login é CID?

(a). 1.669.214

(b). 1.669.544

(c). 1.669.616

(d). 1.679.616

(e). 1.680.916

Solução:

Uma das melhores formas de se resolver esse tipo de questão é partir de um determinadoconjunto de elementos e seguir restringindo-o, passo a passo, até obter o subconjunto pedidona questão. A solução proposta para esta questão segue justamente essa metodologia.

De acordo com o enunciado, cada caractere pode assumir 36 valores distintos. Portanto,o conjunto formado por sequências distintas de 4 caracteres tem 1.679.616 (36*36*36*36)elementos. Perceba que nem todos esses elementos são senhas válidas. Temos que descobrirjustamente quantos elementos são senhas válidas.

O primeiro passo é subtrair desse conjunto o subconjunto formado pelas sequências for-madas por apenas dígitos (0 a 9), a�nal de contas uma senha válida tem que ter pelo menos1 caractere alfabético. Fazendo a primeira subtração temos o subconjunto formado pelassequências de 4 caracteres onde pelo menos 1 desses é alfabético (1.679.616 - 10*10*10*10= 1.669.616). Esse subconjunto ainda não representa todas as senhas válidas.

O segundo passo é subtrair desse último subconjunto as sequências de 4 caracteres quecontêm ou são iguais ao login CID. Para que uma sequência de 4 caracteres contenha o loginCID, ela tem que ser do tipo *CID (36 sequências) ou CID* (36 sequências). Ou seja, há 72sequências de 4 caracteres, onde pelo menos 1 é alfabético, que contém o login CID. Fazendoa segunda subtração temos o subconjunto formado por todas as senhas válidas (1.669.616 -72 = 1.669.544).

Para que se garanta que um software determine a senha do usuário CID, esse deve tentarno mínimo todas as possibilidades de senhas válidas, ou seja, 1.669.544 sequências. Logo, aalternativa B é a correta.




10. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,Banca: CESGRANRIOInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas - Eng. de SoftwareAno: 2008Questão: 37

Um sistema legado utiliza uma senha alfanumérica de 4 posições, onde só são permitidosdígitos de 0 a 9 e caracteres alfabéticos maiúsculos de A a Z (incluindo as letras K, We Y). Uma senha válida deve ter exatamente 4 caracteres, conter pelo menos um caracteralfabético, e não pode conter ou ser igual ao login do usuário.

Acrescentando ao sistema a restrição de que a senha não deve conter caracteres repetidos,quantas senhas válidas diferentes são possíveis para o usuário cujo login é NINA?

(a). 1.021.020

(b). 1.215.440

(c). 1.217.440

(d). 1.408.680

(e). 1.413.720

Solução:

Uma das melhores formas de se resolver esse tipo de questão é partir de um determinadoconjunto de elementos e seguir restringindo-o, passo a passo, até obter o subconjunto pedidona questão. A solução proposta para esta questão segue justamente essa metodologia.

De acordo com o enunciado, cada caractere pode assumir 36 valores distintos. Portanto, oconjunto formado por sequências distintas de 4 caracteres diferentes tem 1.413.720 (36*35*34*33)elementos. Perceba que nem todos esses elementos são senhas válidas. Temos que descobrirjustamente quantos elementos são senhas válidas.

O primeiro passo é entender que a única sequência de 4 caracteres que contém o loginNINA é a própria sequência NINA. Como há 2 Ns nessa sequência, ela não pertence aoconjunto de 4 caracteres diferentes. En�m, essa restrição já está sendo considerada.

O segundo passo é subtrair desse conjunto o subconjunto formado por sequências distin-tas formadas por apenas dígitos (0 a 9). É importante perceber que esses dígitos tem queser diferentes, já que estão no conjunto de sequências de 4 caracteres diferentes. Fazendo essasubtração temos o subconjunto formado por todas as senhas válidas (1.413.720 - 10*9*8*7= 1.408.680). Logo, a alternativa D é a correta.




11. Assuntos relacionados: Análise Combinatória, Permutação Circular, Permutação Sim-ples, Permutação com Repetição, Arranjo Simples, Arranjo com Repetição, CombinaçãoSimples, Combinação com Repetição,Banca: CesgranrioInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas Pleno - ProcessosAno: 2006Questão: 31

Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. De quantos modos podemosarrumar os 7 computadores na mesa de modo que dois deles, previamente determinados,não �quem juntos, considerando equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?

(a). 120

(b). 240

(c). 480

(d). 720

(e). 840

Solução:

Esta é uma questão clássica de Análise Combinatória. Esse tipo de questão sempre pode serresolvida �à mão�. Ou seja, você, um brasileiro que não desiste nunca, toma coragem e listatodas as possibilidades, elimina as exceções, uma a uma, e então chega ao resultado. Essaé até uma abordagem válida, mas é arriscada. Em algumas questões, onde o universo depossibilidades é relativamente grande, geralmente é necessário muito tempo para se chegarao resultado. Tempo esse que poderia �car curto no �nal da prova. Além disso, as chancesde se equivocar na contagem tem que ser levada em consideração.

Uma abordagem alternativa bastante interessante para resolver questões de Análise Com-binatória é pelas fórmulas. É muito importante destacar que não basta ter as fórmulasdecoradas. O mais importante, sem dúvida, é saber em que cenário cada fórmula deve serusada. A Tabela 16 apresenta de forma consolidada os cenários clássicos e as respectivasfórmulas que devem ser utilizadas. Nessa Tabela, N é o número de elementos do universoem questão e P é o número de elementos dentro de um grupo trabalhado. Esses parâmetros�carão mais claros nos exemplos de questões a seguir.

Permutação Simples

Questão: quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1, 2, 3, 4e 8?

Resolução: veja que: (1) N = P, pois o grupo (o número) tem a mesma quantidade dealgarismos; (2) a ordem in�uencia, pois 12348 é diferente de 84321; e (3) não há repetiçãoalguma entre os elementos do universo (1, 2, 3, 4 e 8). Portanto, a quantidade procurada éP5 = 5! = 120.




N = P? A ordem Tem repetição? Fórmula

in�uencia?

sim não não 1sim não sim 1sim sim não Permutação Simples

PN = N !sim sim sim Permutação com Repetição

PRa,b,c,...N = N !

a!b!c!...

não sim não Arranjo SimplesAN,P = N !

(N−P !)

não sim sim Arranjo com RepetiçãoARN,P = NP

não não não Combinação SimplesCN,P = N !

P !(N−P )!

não não sim Combinação com RepetiçãoCRN,P = C(N+P−1),P

Tabela 16: cenários clássicos de Análise Combinatória.

Permutação com Repetição

Questão: quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT?

Resolução: veja que: (1) N = P, pois temos que utilizar no anagrama as mesmas 6 le-tras da palavra fornecida; (2) a ordem in�uencia, pois ARATAR é diferente de TARARA; e(3) há repetições entre os elementos R e A do universo. Portanto, a quantidade procuradaé PR3,2

6 = 6!3!2! = 60.

Arranjo Simples

Questão: com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos dis-tintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5?

Resolução: veja que: (1) N != P, pois dos 6 números fornecidos, utilizaremos apenas 4;(2) a ordem in�uencia, pois 1234 é diferente de 4321; e (3) não há repetição alguma entre oselementos que formarão o número de 4 algarismos. Perceba que em Arranjos, deve-se olharse há repetições no grupo (número) a ser formado, e não no universo em si. Portanto, aquantidade procurada pode ser calculada mais facilmente com a fórmula de Arranjo Simples.

Contudo, há nesta questão uma restrição adicional que deve ser considerada: os númerosdevem ser divisíveis por 5. Vamos resolver a questão por partes, do aspecto mais restritivopara o menos restritivo. Para que o número seja divisível por 5, o seu algarismo menossigni�cativo deve ser 0 ou 5. Como o 0 não faz parte do universo, nos resta o 5. Uma parteda resolução já está pronta: o algarismo menos signi�cativa do número é 5. Agora nos restasaber quantas são as possibilidades de formação dos outros 3 algarismos utilizando-se oselementos restantes do universo (1, 2, 3, 4 e 6). Isso pode ser obtido com A5,3 = 5!

(5−3)! = 60.




Arranjo com Repetição

Questão: quantos números de 4 algarismos podem ser formados?

Resolução: veja que: (1) N != P, pois N = 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e P = 4; (2) a ordemin�uencia, pois 1234 é diferente de 4321; e (3) pode haver repetições entre os 4 algarismos.Portanto, a quantidade procurada pode ser calculada mais facilmente com a fórmula de Ar-ranjo com Repetição. Um equivoco comum seria calcular AR10,4. Isso porque o algarismomais signi�cativo, diferente dos demais, pode ser formado por apenas 9 diferentes possibi-lidades (o 0 �ca de fora!). Dessa forma, temos que calcular AR9,1 ∗AR10,3 = 91 ∗103 = 9000.

Combinação Simples

Questão: quantos tipos de salada com 3 tipos de frutas podem ser feitas se temos a dispo-sição 6 tipos de fruta?

Resolução: veja que: (1) N != P; (2) a ordem não in�uencia, pois uma salada com ma-mão, maça e banana é igual a uma salada com banana, maça e mamão; e (3) não faz sentidorepetições de tipos de frutas dentro de uma salada. Portanto, a quantidade procurada éC6,3 = 6!

3!(6−3)! = 20.

Combinação com Repetição

Questão: há a venda 5 marcas de pó de café. Quantas formas diferentes de comprar 7pacotes de café existem?

Resolução: veja que: (1) N != P; (2) a ordem entre as marcas dentro do pacote não in�u-encia; e (3) pode ter (na verdade sempre haverá) repetições entre marcas dentro do pacote.Portanto, a quantidade procurada é CR5,7 = C(5+7−1,7) = C11,7 = 11!

7!(11−7)! = 330.

Até este ponto 8 cenários clássicos forma expostos, mas nenhum deles é adequado pararesolver o nosso problema. Há um outro cenário clássico que nos serve: Permutação Circu-lar (ou Cíclica). Como qualquer outra permutação, N = P e a ordem entre os elementosin�uencia no resultado. A diferença é que sequências circulares são consideradas como umaúnica sequência distinta. Por exemplo, com 3 elementos distintos (A, B e C) teremos queas sequências ABC, CAB e BCA são consideradas iguais. Portanto, 2 delas devem ser sub-traídas do cálculo. A fórmula para esse cenário é a seguinte:

PCN = N !N = (N − 1)! (Permutação Circular)

Vejamos um exemplo típico.

Questão: de quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?

Resolução: PC5 = 5!5 = (5− 1)! = 24.

Agora sim vamos à resolução de fato do nosso problema. Vamos por partes. Inicialmente,não consideraremos a restrição de que dois dos computadores, previamente determinados,não �quem juntos. Perceba que é um cenário de Permutação Circular. Portanto, o númerode modos em que podemos arrumar os 7 computadores na mesa é PC7 = 7!

7 = (7−1)! = 720.




Contudo, em alguns desses modos dois computadores previamente determinados �cam jun-tos. Temos que descontar essa quantidade de 720.

Para resolver a segunda parte do problema, imagine que os dois computadores pré-determinadosé na verdade um único computador. A�nal eles estão juntos. Ao fazermos essa consideração,temos que multiplicar o resultado por 2, pois cada computador desse par pode estar ou na�primeira� posição ou na �segunda� posição. Nesse subproblema, temos 6 computadores equeremos saber quantos são os modos distintos de organizá-los de forma circular. Novamenteutilizamos a fórmula: PC6 = 6!

6 = (6− 1)! = 120.

Para obtermos o resultado �nal, subtraímos os 2 ∗ 120 = 240 modos em que podemosorganizar 7 computadores de forma circular com dois deles, pré-de�nidos, sempre juntos,dos 720 modos em que podemos organizar 7 computadores de forma circular sem outrasrestrições. En�m, 720− 240 = 480 é o valor que procuramos.




12. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Análise Combinatória, Permutação com Re-petição,Banca: CesgranrioInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas Pleno - ProcessosAno: 2006Questão: 32

Sabendo que cada anagrama da palavra PIRACICABA é uma ordenação das letras P,I,R,A,C,I,C,A,B,A,quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas?

(a). 1260

(b). 5040

(c). 30240

(d). 68040

(e). 70560

Solução:

Antes de resolvermos esta questão, primeiro, apresentamos o conceito de anagrama e depermutação.

Anagrama é uma palavra ou frase formada de outra por meio de uma transposição de letras.No nosso caso, a palavra PIRACICABA e APIRACICAB são dois anagramas possíveis comas letras P, I, R, A, C, I, C, A, B e A.

Note que as letras (P, I, R, A, C, I, C, A, B e A) utilizadas para formar os anagramaspossuem repetições, isto é, a letra A ocorre 3 vezes, as letras C e I ocorrem 2 vezes, e orestante das letras ocorrem 1 vez. Para obter o número de anagramas que não possuem duasletras A juntas, utilizaremos a fórmula de permutação com repetição. Dado n elementoscom p e q repetições, o número possível de combinações é:

P p,qn = n!/(p! ∗ q!)

Então, o número total de anagramas com essas letras, chamamos de NT , é:

NT 3,2,210 = 10!/(3! ∗ 2! ∗ 2!) = 151.200

Para determinar o número de anagramas que não possuem duas letras A juntas, preci-samos determinar o número de anagramas com duas letras A juntas, chamamos de NTDAJ .

O nosso anagrama contém 10 posições, sendo que duas letras A juntas podem ocorrer 9vezes e três letras A juntas podem ocorrer 8 vezes. A Figura 1 mostra possíveis posições deduas letras A e três letras A juntas.

Quando consideramos duas letras A juntas nas posições 1 e 2, temos 8 possibilidades (P, I,R, C, I, C, B e A) para colocarmos uma letra, inclusive outra letra A, para a posição 3 (videFigura 1). Para posição 4, temos 7 possibilidades, e assim por diante até a posição 10, ondetemos uma possibilidade. Isso caracteriza uma permutação, mas como temos letras repetidas(C e I ocorrem 2 vezes), temos uma permutação com repetição, isto é, P 2,2

8 . Note que nestapermutação, apenas as letras C e I estão repetidas, pois duas letras A estão nas posições 1 e 2.




Figura 1: possibilidades de anagramas com duas e três letras A juntas.

Para calcularmos o número total de anagramas com duas letras A juntas temos que multi-plicar o número de vezes que duas letras A juntas ocorrem em 10 posições (isto é, 9 vezes)por P 2,2

8 . Então, NTDAJ é:

NTDAJ = 9 ∗ P 2,28 = 9 ∗ (10.080) = 90.720

Note que NTDAJ leva em consideração o caso de anagramas com três letras A juntas,pois não excluímos a letra A no cálculo de P 2,2

8 . Para encontrarmos de fato o número totalde anagramas com duas letras A juntas, precisamos encontrar o número total de anagramascom três letras A juntas, chamamos NTTAJ , e descontar este valor de NTDAJ .

Com bases no cálculo de NTDAJ , encontrar NTTAJ temos que multiplicar o númerode vezes que três letras A juntas ocorrem em 10 posições (isto é, 8 vezes) por P 2,2

7 . Ocálculo de P 2,2

7 considera que das 10 letras possíveis para formar o anagrama, temos apenas7 letras para preencher as posições de 4 a 10 (vide Figura 1), considerando que temos trêsletras nas posições 1, 2 e 3. As repetições em P 2,2

7 são referentes às letras C e I. Então,NTTAJ é:

NTTAJ = 8 ∗ P 2,27 = 8 ∗ (1.260) = 10.080

Na verdade, o número total de anagramas com duas letras A juntas, chamados NTDAJV , é

NTDAJV = NTDAJ −NTTAJ = 90.720− 10.080 = 80.640

O número total de anagramas que não possuem duas letras A juntas, chamados de NTNAJ ,é

NTNAJ = NT −NTDAJV = NT − (NTDAJ −NTTAJ) = 151.200− 80.640 = 70.560

Portanto, a alternativa correta é a (E).




13. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,Banca: CespeInstituição: PetrobrasCargo: Analista de Sistemas Júnior - InfraestruturaAno: 2007Questão: 51�52

A PETROBRAS patrocina eventos esportivos como a Stock Car, a Fórmula Truck, o TeamScud PETROBRAS de Motovelocidade, o Rally dos Sertões, a equipe PETROBRAS Lubraxe também o Clube de Regatas do Flamengo. De acordo com essas informações, julgue ositens a seguir.

51 Se a PETROBRAS decidisse cortar aleatoriamente dois dos seis patrocínios acimacitados, então, a quantidade de possibilidades de cortes seria superior a 350.

52 Considere que cada atleta do Clube de Regatas do Flamengo possua, para momentoso�ciais do clube, 8 uniformes completos � conjunto de elementos de vestuário �, cujoselementos não podem ser trocados de um uniforme para outro, e, para momentos não-o�ciais do clube, 5 calças e 3 agasalhos distintos, que podem ser combinados. Nessasituação, cada atleta possui um total de 23 maneiras distintas de se vestir para osmomentos o�ciais e não-o�ciais do clube.

Solução:

51 ERRADO

Não é complicado concluir que se a PETROBRAS decidisse cortar aleatoriamente 2dos seis patrocínios, haveria apenas 15 possibilidades de cortes, que é menor que 350.

A forma mais simples de resolver esse tipo de questão é utilizando-se do princípiofundamental da contagem. Ele é um princípio combinatório que indica de quantasformas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos �nitos. Se o primeiroconjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, entãoo número total T de escolhas é dado por: T = k1 * k2 * k3 * ... * kn.

Especi�camente com relação a esta questão, para se escolher aleatoriamente o pri-meiro patrocínio a ser cortado, há 6 possibilidades (número de elementos do conjunto).Depois dessa escolha, haverá um novo conjunto com 5 elementos (conjunto original,menos o elemento escolhido). Portanto, para se escolher aleatoriamente o segundo pa-trocínio a ser cortado, há 5 possibilidades (número de elementos do novo conjunto).Pelo princípio fundamental da contagem, obtemos o número 30 (6 * 5). Neste ponto,é fundamental perceber que as possibilidades de cortes estão duplicadas dentro desseconjunto de 30. Por exemplo, as possibilidades P1P2 e P2P1, na verdade, cortam osmesmos patrocínios (P1 e P2). Portanto, para se obter o número de possibilidades decortar 2 dos seis patrocínios, é necessário dividir o número obtido com o princípio decontagem por dois, resultando no valor 15.

Uma outra forma (mais segura) de se resolver esta questão é por meio de fórmula.O mais importante neste caso é saber identi�car qual é o tipo de problema que se pre-tende resolver: combinação (com ou sem repetições), arranjo (com ou sem repetições),permutação (com ou sem repetições), etc. Como estamos interessados em descobrir onúmero de escolhas de 2 elementos, sem repetições, entre 6 elementos, onde a ordem




entres as escolhas não faz diferença, temos que utilizar a fórmula de combinação

sem repetições: C62 = 6!

2!∗(6−2)! = 15.

52 CERTO

Uma forma simples de resolver esta questão é dividir os uniformes completos em doiscenários: momentos o�ciais e momentos não-o�ciais. Para os momentos o�ciais, o textoé claro, são 8 uniformes completos. Já para os momentos não-o�ciais, são 15 uniformescompletos. Obter esse último número não é complicado. Cada uniforme completo écomposto por 1 calça e 1 agasalho. Para cada calça escolhida (dentre 5) é possívelescolher 3 agasalhos distintos. Exemplo: o atleta escolhe a calça 1, então, ele poderáformar 3 diferentes uniformes completos para momentos não-o�ciais, pois ele poderáescolher qualquer um dos 3 agasalhos. En�m, o número de uniformes completos paramomentos não-o�ciais é uma simples multiplicação (5 x 3 = 15).

Perceba que a a�rmação é de que cada atleta possui um total de 23 maneiras dis-tintas de se vestir para os momentos o�ciais �E� não-o�ciais do clube. Destaquei o �E�,pois ele deve ser visto como uma operação de soma de possibilidades. Ou seja, se há8 formas distintas de um atleta se vestir em momentos o�ciais e 15 formas distintasde um atleta se vestir em momentos não-o�ciais, então, há 23 formas distintas de umatleta se vestir nos dois tipos de momentos considerados.




Questão Resposta

1 C

2 B

3 E

4 D

5 A

6 D

7 D

8 53 CERTO 54 ERRADO 55 ERRADO

9 B

10 D

11 C

12 E

13 51 ERRADO 52 CERTO

Página 29 de 29 Handbook de TI Além do Gabarito

Índice Remissivo

Álgebra Booleana, 10

Análise Combinatória, 21, 25Arranjo com Repetição, 21Arranjo Simples, 21

Combinação com Repetição, 21Combinação Simples, 21

Lógica, 4, 7, 9, 11, 14, 16

Permutação Circular, 21Permutação com Repetição, 21, 25Permutação Simples, 21Probabilidade e Estatística, 19, 20, 27

Raciocínio Lógico, 10, 13, 14, 25

30

lógica/matemática -...

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