logaritmos
DESCRIPTION
LogaritmosTRANSCRIPT
1. LOGARITMOS Professor Marcelo Renato
1.1. LOGARITMO (Definição)
Sendo a e b números reais e positivos, com 1a ≠ , chama-se “logaritmo de b na base a” o expoente c ao
qual se deve elevar a base a de modo que a potência ca seja igual a b. bacblog c
a =⇔=
“Logaritmo” é o expoente ao qual devemos elevar a base “a” para resultar em “b”.
Exemplo: Qual o valor de 16log 2 ?
Resolução: 416log22162x16log 24xx
2 =∴=⇒=⇒= 1.2. PRINCIPAIS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Respeitadas as condições de existência de cada logaritmo:
P1: a a alog b log c log (b.c)+ =
P2: a a ablog b log c logc
− =
P3: na alog b n log b= ⋅ , b 0>
• OBS: Uma das aplicações importantes de propriedades dos logaritmos é quando precisamos
encontrar o valor de incógnita(s), presentes em expoentes, tais como o exemplo que segue: 52 x = , determine x sabendo que 30,02log10 ≅ .
• Exemplo: Calcule x em x2 5= .
Resolução: Sabemos que, numa igualdade de números “positivos” BA = , podemos efetuar BlogAlog aa = , ou seja, podemos aplicar “logaritmos” em ambos os membros da
equação, então...
⇒= 52 x 5log2log 10x
10 =
No 1º membro, propriedade P3, teremos 2logx 10⋅ , No 2º membro, fazendo-se 5 = ( )210 ÷ ,
=5log10 210log10 ( )
))) ())) 2P
1010 2log10log −=
Assim: 10 10 10x log 2 log 10 log 2⋅ = − ⇒ ( ) ( ) ( ) ⇒=⋅⇒−=⋅ 70,0x30,030,0130,0x37x =
• OBS: alog ba b=
Prova: Fazendo-se alog byalog b y a b a b= ⇒ = ⇒ =
Exemplo: Calcule 3log 281 .
Resolução: ( ) 433 3 3 3
log 2log 2 4 log 2 log 2 log 16481 3 3 3 3 16⋅= = = = =
• OBS: c clog b log aa b=
Verificação: ( )c
c c
a c c c cc
log alog b log blog b log a log a log b log alog aa b a b a b a b
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Exemplo: Mostre que 5 5log 3 log 22 3=
Resolução:
2 22 2 2 2
2 2 2 2
log 5 log 5log 3 log 2 log 3 log 2log 5 log 5 log 5 log 52 3 2 3
= ⇒ =
2 2 2log 3 log 2 log 32 3 2 3= ⇒ =
Como alog ba b= , verificamos que a igualdade dada é verdadeira.
1.3. LOGARITMOS NEPERIANOS (NATURAIS)
É o sistema onde os logaritmos são de base “e”, onde “e” é a constante de EULLER )72,2e( ≅ . Indicaremos com xlog e , ou simplesmente ln x, ou ainda Ln x.
• Exemplo: (UFU-MG adaptada) Uma peça metálica foi aquecida até atingir a temperatura de 50ºC. A partir daí, a peça resfriará de forma que, após “t” minutos, a sua temperatura (°C) será igual a
( )t2,0e2030 ⋅−⋅+
Usando a aproximação 7,02Ln ≅ , em quantos minutos a peça atingirá a temperatura de 35º C.
a) 7 min. b) 6 min. c) 5 min. d) 4 min. e) 2,5 min. Resolução: 35e2030 t2,0 =⋅+ ⋅−
5e20 t2,0 =⋅ ⋅− ⇒ 0,2 t 5e20
− ⋅ = ⇒41e t2,0 =⋅− ⇒
((2t2,0 2e −⋅− =
(Aplicando Logaritmos em ambos os membros...) 0,2 t 2
e elog e log 2 0,2 t 2 Ln 2− ⋅ −= ⇒ − = − ⋅ ⇒ ( )7,0210
t22ln2t2,0 ⋅=⇒⋅=
⇒=⇒= 14t24,110
t2 min7t = . (Alternativa A).
1.4. MUDANÇA DE BASE
alogblogblog
cc
a =
Exemplo: Sabendo-se que 30,02log10 ≅ , calcule o valor de 32,0log 8,0 .
Resolução:
108log
10032log
8,0log32,0log
32,0log10
10
10
108,0 ==
10log8log100log32log
108log
10032log
1010
1010
10
10
−
−==
10log12log310log22log5
10log2log
10log2log
1010
10101
103
10
210
510
⋅−⋅
⋅−⋅=
−
−=
( )( )
510,050,0
190,0250,1
130,03230,05
=−−
=−−
=−⋅−⋅
= .
• OBS: nm
aamlog b log bn
= ⋅
Exemplo: Calcule 32log 512 .
Resolução: ( ) ( )59
32 229 9 9log 512 log 2 log 2 15 5 5
= = ⋅ = ⋅ = .
• Exemplo: (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a
intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação
40h
0 8,0.II= na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a:
a) 0,64. b) 1,8. c) 2,0. d) 3,2.
Resolução: 40h
0 8,0.II= ( )1..........
Na superfície ( )0h = a intensidade da luz é ( )0I ;
Assim, no ponto P: 0I10032I ⋅= ( )2.......... .
Fazendo-se ( ) ( )21 = : ⇒=⇒⋅=100328,0I
100328,0.I 40
h
040h
0 2
540h
3
102
102
=
.
(Aplicando Logaritmos em ambos os membros)...
⇒
=
2
5
1040h
3
10 102log
102log ( ) ( )2
105
10103
10 10log2log10log2log40h
−=−⋅
Efetuando os devidos cálculos: ( ) ( )10log22log510log2log340h
10101010 ⋅−⋅=−⋅⋅
( ) ( ) ⇒=⇒=⇒−=−⋅
15
40h
1,05,0
40h25,1190,0
40h cm200h = ⇒ h 2m= . (Alternativa C).
TESTES E QUESTÕES – TURMA MILITARES 1) (IME – RJ 2012) Se 10log 2 x= e 10log 3 y= , então 5log 18 vale
a) x 2y1 x+−
.
b) x y1 x+−
.
c) 2x y1 x++
.
d) x 2y1 x++
.
e) 3x 2y1 x+−
.
2) (ITA – SP 2014) A soma n4
1/2n 2
n 1 1/2
log 32
log 8 +=∑ é igual a
a) 89
.
b) 1415
.
c) 1516
.
d) 1718
.
e) 1.
3) (IME – RJ 2013) Considere a equação ( )23x 33log log x 1x+ = . A soma dos quadrados das soluções dessa
equação está contida no intervalo a) [ )0,5 .
b) [ )5,10 .
c) [ )10,15 .
d) [ )15,20 .
e) [ )20,∞ .
4) (ITA – SP 2014) Determine as soluções reais da equação em x, ( ) ( )3 4 104 4
100
log 16xlog x log x 3 0
log 16− − ⋅ = .
4) 1 1, e 644 16
.
5) (IME–RJ 2009) Seja log 5 m= , log 2 p= e 35
1562,5N 1252
= ⋅ . O valor de 5log N, em função de m e p é:
a) 75m 6p15m
+ .
b) 70m 6p15m
− .
c) 75m 6p15m
− .
d) 70m 6p15m
+ .
e) 70m 6p15p+ .
6) (ITA – SP 2011) Resolva a inequação em IR: ( )2
15
log x x 191164
− + <
.
7) (ITA – SP 2009 adaptada) Seja S o conjunto solução da inequação ( ) ( )3x 4x 9 log x 26x 0+− ⋅ − ≤ .
Determine o conjunto cS , ou seja, o complementar do conjunto S.
8) (IME – RJ 2011) O valor de y real positivo na equação ( ) ( )x xlog 5 log 75y 7y 0− = , onde x é um número real maior do que 1 é:
a) 70. b) 35. c) 1.
d) 135
.
e) 170
.
9) (ITA – SP 2008) Para x IR∈ , o conjunto solução de 3x 2x 1 x x5 5 4 5 5 1+− + ⋅ = − é
a) { }0,2 5,2 3± ± .
b) ( ){ }50,1,log 2 5+ .
c) 5 5 51 1 20, log 2, log 3,log2 2 2
⋅ ⋅ .
d) ( ) ( ) ( ){ }5 5 50,log 2 5 ,log 2 3 ,log 2 3+ + − .
e) A única solução é x 0= . 10) (IME – RJ 2008) Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais da equação:
2
logx logx logxlog6x log3x cos x 0
1 1 log x
=
a) 1,0. b) π . c) 10,0. d) 11,0. e) 11,1.
RESPOSTAS:
1. A 2. D 3. C 4. 1 1, e 644 16
. 5. C 6. { }S x IR | x 2 ou x 3= ∈ < − > .
7. { }cS x IR | x 4 ou x 3 ou 0 x 26 ou x 9= ∈ ≤ − = − ≤ ≤ > .
8. D 9. D 10. E