livro de geometria-ii

Geometria II

Celso Melchiades Dria

Florianpolis, 2007

Universidade Federal de Santa CatarinaConsrcio ReDiSul

Campus Universitrio Trindade

Caixa Postal 476

CEP 88040-900 Florianpolis SC

Reitor: Lcio Jos Botelho

Vice-Reitor: Ariovaldo Bolzan

Secretrio de Educao a Distncia: Ccero Barbosa

Pr-Reitor de Ensino de Graduao: Marcos Laffin

Departamento de Educao a Distncia: Araci Hack Catapan

Pr-Reitora de Pesquisa: Thereza Christina M. Nogueira

Pr-Reitor de Ps-Graduao: Valdir Soldi

Pr-Reitora de Cultura e Extenso: Eunice Sueli Nodari

Pr-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva

Pr-Reitor de Oramento, Administrao e Finanas: Mrio Kobus

Pr-Reitora de Assuntos Estudantis: Corina Martins Espndola

Centro de Cincias da Educao: Carlos Alberto Marques

Centro de Cincias Fsicas e Matemticas: Mricles Thadeu Moretti

Centro de Filosofia e Cincias Humanas: Maria Juracy Filgueiras Toneli

Cursos de Licenciaturas na Modalidade DistnciaCoordenao Acadmica Matemtica: Neri Terezinha Both Carvalho

Coordenao de Ambientes Virtuais: Nereu Estanislau Burin

Coordenao de Infra-Estrutura e Plos: Vladimir Arthur Fey

Comisso EditorialAntnio Carlos Gardel Leito

Albertina Zatelli

Elisa Zunko Toma

Igor Mozolevski

Luiz Augusto Saeger

Roberto Corra da Silva

Ruy Coimbra Charo

Coordenao Pedaggica das Licenciaturas Distncia UFSC / CED / CFMCoordenao: Roseli Zen Cerny

Ncleo de Formao

Responsvel: Nilza Godoy Gomes

Ncleo de Criao e Desenvolvimento de Material

Responsvel: Isabella Benfica Barbosa

Design Grfico e Editorial: Carlos A. Ramirez Righi, Diogo Henrique Rope-

lato, Mariana da Silva.

Adaptao Design Grfico: Diogo Henrique Ropelato,

Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior.

Produo Grfica e Hipermdia: Thiago Rocha Oliveira

Design Instrucional: Alessandra Zago Dahmer, Elenira Oliveira Vilela.

Reviso Ortogrfica: Jane Maria Viana Cardoso.

Preparao de Grficos: Anita de Freitas Bitencourt, Joo Jair da Silva Romo,

Pricila Cristina da Silva.

Editorao Eletrnica: Diogo Henrique Ropelato, Gabriel Cordeiro Cardoso,

Jean Rissatti.

Ncleo de Pesquisa e Avaliao

Coordenao: Claudia Regina Flores

Copyright 2007, Universidade Federal de Santa Catarina / Consrcio RediSul

Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer

meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Coordenao

Acadmica do Curso de Licenciatura em Matemtica na Modalidade Distncia.

Ficha Catalogrfica

B288g Dria, Celso Melchiades Geometria II / Celso Melchiades Dria . Florianpolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2007. 246p. ISBN 85-99379-16-X 1. Geometria. II. Ttulo. CDU 51

Sumrio

1 Relaes Mtricas em Tringulos. Trigonometria ........ 131.1 Relaes Mtricas em Tringulos ............................................. 13

1.1.1 Relaes Mtricas num Tringulo Retngulo ................ 131.1.2 Relaes Mtricas num Tringulo qualquer ................... 171.1.3 Clculo das Medianas em Funo dos Lados ................ 181.1.4 Clculo das Alturas em Funo dos Lados .................... 221.1.5 Relao de Stewart ............................................................ 251.1.6 Clculo das Bissetrizes em Funo dos Lados ............... 27

1.2 Trigonometria ............................................................................ 301.2.1 Trigonometria no Tringulo Retngulo .......................... 311.2.2 Trigonometria no Crculo ................................................. 381.2.3 Funes trigonomtricas .................................................. 441.2.4 Lei dos Cossenos e dos Senos ........................................... 531.2.5 Aplicao: Crculos Circunscritos a Tringulos ............ 561.2.6 Identidades Trigonomtricas ............................................ 601.2.7 Aplicao: Crculo Inscrito a um Tringulo ................... 661.2.8 Secante, Cossecante e Cotangente ................................... 681.2.9 Equaes Trigonomtricas ................................................ 721.2.10 Resoluo de Tringulos ................................................. 75

2 Nmero .............................................................................. 872.1 A Questo da Quadratura do Crculo ..................................... 892.2 Polgonos Regulares .................................................................. 97

2.2.1 Construo de Polgonos Regulares ...............................1022.3 Construo de ........................................................................ 109

2.3.1 Valor de ............................................................................1192.4 Setores, Segmentos e Coroas Circulares ............................... 1222.5 Fascinante, Irracional e Transcendente ................................. 127

3 Geometria no Espao ........................................................ 1373.1 Ponto, Reta e Plano ....................................................................137

3.1.1 Posio Relativa entre Retas ............................................ 1393.1.2 Posio Relativa entre Reta e Plano ................................1403.1.3 Posies Relativas entre dois Planos...............................140

3.2 Construo de Slidos I ............................................................1433.2.1 Pirmides e Cones ............................................................1433.2.2 Prismas e Cilindros ..........................................................145

3.3 Teorema de Thales e Proporcionalidade ................................1463.4 Perpendicularismo ....................................................................149

3.4.1 Construo de Slidos II ..................................................1523.5 Projees Ortogonais ............................................................... 1543.6 Distncia .....................................................................................157

3.6.1 Distncia entre Pontos ......................................................1573.6.2 Distncia de um Ponto ao Plano .....................................1603.6.3 Distncia de um Ponto Reta .........................................1613.6.4 Distncias entre Retas Reversas .................................... 163

3.7 ngulos ..................................................................................... 1653.7.1 ngulo entre Retas ........................................................... 1653.7.2 ngulo entre Planos. Diedros e Triedros...................... 1653.7.3 ngulo entre Reta e Plano ..............................................168

3.8 A Esfera ......................................................................................1703.9 reas e Volumes ....................................................................... 175

3.9.1 Volume de um Paraleleppedo Retngulo .................... 1753.9.2 Princpio de Cavalieri ...................................................... 1773.9.3 Volume e rea do Prisma ................................................1783.9.4 Volume e rea da Pirmide ............................................ 1863.9.5 Volume e rea da Esfera ................................................. 197

4 Poliedros.............................................................................. 2054.1 Definies e Exemplos ............................................................. 2054.2 Contando Vrtices, Arestas e Faces ....................................... 226

4.2.1 Relao de Euler ............................................................... 2274.3 Poliedros Planos ....................................................................... 2284.4 Grafos Poliedros .................................................................... 2304.5 Classificao dos Poliedros Regulares .................................. 237

Apresentao

Historiadores dizem que a geometria surgiu da necessidade de estimarmos comprimentos, reas e volumes, mas isto no toda a verdade, apenas uma parte importante dela. Diversas manifesta-es culturais so estruturadas sobre princpios de simetria. Na geometria, o arqutipo a simetria. Isto mais evidente quando o aspecto visual est presente (figuras, danas, esculturas), po-rm, na poesia e na msica tambm percebemos a importncia da simetria. Nada mais sintetiza to expressivamente a busca pela simetria do que uma Mandala. O sentido literal da palavra mandala (do snscrito) circulo ou centro. Mandala uma re-presentao geomtrica ou dinmica entre o homem e o cosmos. Sua estrutura de combinaes variadas de crculos, quadrados e tringulos em torno de um centro simbolizando a unio do plano espiritual com o material, servindo para organizar vises religio-sas do mundo, sistemas csmicos e simblicos, assim como fato-res de nossa psique.

Figuras 0.1, 0.2 e 0.3

No entanto, a natureza humana acrescida do desejo e da habi-lidade para quantificar o que lhe cerca. Nosso objetivo ser de-senvolver mtodos eficientes para quantificarmos comprimentos, reas e volumes. Apesar desse aspecto racional e pragmtico que nosso objetivo nos impe, em momento algum ignoraremos a necessidade da intuio para resolvermos nossos problemas, por isto, importante fazermos figuras. Os problemas esto para a matemtica assim como a sobrevivncia est para a vida. Feliz-mente, as solues requerem mais do que simplesmente um al-goritmo lgico, requerem idias! claro, nosso objetivo no ser resolver questes em aberto, no precisaremos ter idias inditas como quem est na busca de uma descoberta, precisaremos, ape-

Veja na webteca diversas imagens interessantes que

mostram a importncia dos estudos geomtricos

e suas manifestaes nas artes e na religio.

Se lembra? Voc j estudou as simetrias no Captulo 6

da Geometria I. Naquele momento voc percebeu

a importncia deste conceito?

Arqutipo (grego arch, antigo) o primeiro modelo de al-guma coisa. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%A9tipo)

nas, estud-las, reconhec-las e aprender como aplic-las. Na Ma-temtica, necessrio entender as estruturas que regem as ques-tes sobre as quais estamos interessados.

muito importante que ao aprendermos Matemtica tambm re-flitamos sobre os fundamentos dos mtodos e da abrangncia dos mesmos. Desta forma, poderemos ganhar bastante experincia e capacidade para resolvermos os problemas. Geometria uma rea fundamental da Matemtica por exigir que o estudante alie razo com intuio, pragmatismo com esttica e, finalmente, do-mnio da linguagem matemtica.

A Geometria Euclidiana baseia-se sobre dois resultados: o Teore-ma de Thales e o Teorema de Pitgoras. Ambos eram conhecidos por povos mais antigos do que os gregos, porm, mrito dos gregos t-los demonstrado. Eles so fundamentais para os mtodos que desenvolveremos.

Teorema 1.1 (Thales) Sejam 21, ll e 3l retas paralelas e r, s retas transversais a 21, ll e 3l . Sejam i iA l r= e i iB l s= , 1,2,3i = , os pontos de interseo (figura 0.4). Ento,

1 2 1 2

2 3 2 3

B B A AB B A A

= .

Figura 0.4

Teorema 1.2. (Pitgoras) Seja ABC um tringulo retngulo no vrtice A ( 90A = ) tal que a hipotenusa mede a e os catetos medem b e c (figura 0.5). Ento,

2 2 2a b c= + .

Figura 0.5

O Teorema de Pitgoras ser o mais usado, o que no diminui a importncia do Teorema de Thales. O Teorema de Pitgoras ser usado direta ou indiretamente sempre que estivermos calculando o comprimento de algum segmento de reta, enquanto o Teorema de Thales, quando estivermos comparando comprimentos de fi-guras semelhantes.

Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois pon-tos definem uma nica reta no plano. Ao tomarmos trs pontos A , B e C no plano, duas situaes podem ocorrer: (1) os trs de-finem uma mesma reta, (2) os pontos no esto sobre uma mesma reta e definem trs retas. No segundo caso, a cada um dos pares corresponde uma reta:

( , )( , )( , )

AB

BC

CA

A B lB C lC A l

Definio 1.1. Um Tringulo a regio limitada do plano pelas retas definidas por trs pontos no colineares.

Sobre um ponto no h nada mensurvel, num segmento po-demos medir comprimentos e, num tringulo, podemos medir comprimentos, ngulos e reas. Logo, os tringulos so as figuras mais simples a serem tratadas aps os segmentos; mais do que isto, a partir do conhecimento de como as medidas num trin-gulo se relacionam podemos estimar as relaes em figuras mais complicadas. Este ser nosso caminho, aprendermos tudo sobre tringulos e aplicarmos a outras figuras.

Notao: Indicaremos:

Os pontos por letras latinas maisculas. As letras mins-1) culas sero empregadas para expressarmos as medidas dos segmentos, enquanto as letras gregas minsculas sero uti-lizadas para as medidas dos ngulos.

Por 2) AB o segmento definido pelos pontos A e B .

Por 3) ABl

a semi-reta orientada definida pelos pontos A e B .

Por 4) AOB o ngulo com vrtice em O formado pelas semi-retas OAl

e OBl

. Em algumas circunstncias, tambm usare-mos AOB para indicarmos a medida do ngulo.

Para efeitos de notao e de simplicidade da exposio, 5) ABC significa um tringulo com vrtices nos pontos A , B

e C do plano (figura 0.10). O lado oposto ao vrtice A mede a, o oposto a B mede b, e o oposto a C mede c. Os ngulos internos em cada um dos vrtices medem (no vrtice A ), (no vrtice B ) e (no vrtice C ).

Figura 0.6

1 Relaes Mtricas em Tringulos. Trigonometria.

13

1

Neste captulo, determinaremos diversas medidas relativas a um tringulo ABC em funo dos comprimentos dos lados. Inicialmente, obteremos algumas relaes quando

ABC retngulo e, a seguir, consideraremos o caso geral.

1.1 Relaes Mtricas em TringulosNesta seo, vamos obter relaes que nos permitem determinar diversas medidas importantes no estudo de tringulos. A primei-ra e mais famosa conhecida como Teorema de Pitgoras. Para realizar este estudo comeamos considerando tringulos retn-gulos para, ento, generalizarmos para tringulo qualquer.

1.1.1 Relaes Mtricas num Tringulo Retngulo

Consideramos que 90 = e D o p da altura relativa ao lado AB . Abaixo, a tabela estabelece uma nomenclatura e uma nota-o para os segmentos definidos no ABC , conforme ilustra a tabela 1.1;

segmento nome comprimento

BC hipotenusa a

AC cateto b

AB cateto c

BD Projeo m

CD projeo n

AD altura h

Tabela 1.1

Tpico 3.2 do livro de Geometria I.

Num tringulo retngulo, os segmentos que a

altura determina sobre a hipotenusa so chamados

de projees (sob ngulo de 90 ) dos catetos.

Relaes Mtricas em Tringulos. Trigonometria.

14

Figura 1.1

Os tringulos ,ABC DBA , e DAC so semelhantes (caso AA). Comparando-os, temos as seguintes relaes:

1) ABC DBA .

==

mc

hb

ca

2, ( ), ( ), ( )

bc ah ic am iibm ch iii

= = =

(1.1)

2) DBA DAC

==hc

nb

ba

2 , ( )

, ( )b an icn bh ii = =

(1.2)

3) DACDBA ~

b m hc h n= = 2h mn= (1.3)

Teorema 1. (Pitgoras) Num tringulo retngulo ABC cuja hipo-tenusa mede a e os catetos medem b e c, vale a identidade

2 2 2a b c= + (1.4)

Demonstrao: Decorre das identidades 1.1(ii) e 1.2(i) que

( )2 2 2b c a m n a+ = + =

O tringulo sendo retngulo tambm vale a identidade

2 2 2

1 1 1b c h

+ = (1.5)

Casos de semelhana de tringulo - livro de Geometria I, tpico 7.3.

No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma animao que facilita sua compreenso.

15

A verificao simples, pois

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1c b ab c b c a h h

++ = = =

Lista de Exerccios 1

1) Mostre que a diagonal de um quadrado de lado l mede 2l .

2) Seja DEF um tringulo eqiltero de lado l . Mostre que a altura mede

32

l.

3) Num tringulo retngulo, a hipotenusa mede 5 e as projees dos catetos sobre a altura relativa hipotenusa medem 95m = e

165n = . Determine os outros lados e a altura relativa hipotenusa.

4) Tringulos Pitagricos.

O conceito de nmero para os Pitagricos era restrito aos racio-nais, pois havia poucos exemplos de nmeros irracionais. Devido ao exemplo da diagonal do quadrado de lado 1, os gregos deram especial ateno aos tringulos cujas medidas dos lados so n-meros inteiros. Eles perguntaram-se sobre um mtodo para en-contrar ,m n e p tais que 2 2 2p m n= + e observaram que

( ) ( )2 2 2x y x y xy+ = +

Sejam ( )a x y= + , ( )2b x y= + e 2c xy= . Faa uma tabela para cada par de nmeros naturais ( ),x y , 1 , 10x y , associando-os trade ( ), , .a b c

5) Mostre que se um cateto for o dobro do outro, ento a altura divide a hipotenusa em dois segmentos tais que um o qudru-plo do outro.

Em cada um dos exerccios deste curso, faa um

desenho que o/a ajude a pensar sobre a situao

que est sendo descrita e quais as informaes de

que voc dispe.

16

6) Sejam ABC um tringulo retngulo em ,A D o p da altura relativa ao lado BC e DE o segmento perpendicular ao lado AB . Mostre que

( ) ( ) ( )2AD AC DE= .

7) Sejam a e b nmeros positivos. Mostre que a mdia geomtri-ca entre a e b menor que a mdia aritmtica, isto ,

2a bab + .

8) Seja a um nmero real positivo. Construa um segmento com comprimento igual a 7a .

9) Sejam ABC um tringulo retngulo em ,A D o ponto m-dio de AB e DE BC . Mostre que

( ) ( ) ( )2 2 2EC EB AC = .

10) Mostre que, dados dois crculos tangentes externamente, o segmento AA definido pelos pontos de contato a mdia geom-trica entre os dimetros dos crculos (figura 1.2).

Figura 1.2

11) Suponha que, no tringulo ABC , os ngulos B e C so agudos e a razo dos quadrados dos lados opostos a esses ngu-los igual razo das projees desses lados sobre BC . Mostre que ABC retngulo ou issceles.

12) Se os nmeros positivos ,b c e h satisfazem a relao

17

2 2 2

1 1 1b c h

+ =,

mostre que existem 2 tringulos com lados medindo ,b c e a altura relativa ao terceiro lado medindo h . Num dos tringulos, a soma dos ngulos opostos aos lados b e c , respectivamente, ser igual a 900, no outro, a diferena dos ngulos mencionados ser 900.

13) Considere duas circunferncias externas com raios r, r e cuja distncia entre os centros mede d. Determine os compri-mentos dos segmentos tangentes comuns (existem 4 tangentes comuns, figura 1.3).

Figura 1.3

1.1.2 Relaes Mtricas num Tringulo qualquer

Agora, seja ABC um tringulo qualquer (figura 1.4).

(a) (b)

Figuras 1.4.a e 1.4.b

Suponhamos que as medidas ,a b e c dos lados de ABC so conhecidas. Sejam D o p da altura relativa ao lado AB , ch a

18

medida da altura CD e m a medida da projeo do lado AC so-bre o lado AB . Observe que h dois casos para analisarmos: (a)

ABC acutngulo (b) ABC obtusngulo. Em ambos os ca-sos, a construo da altura CD gera dois novos tringulos, ambos retngulos ADC e BCD .

ABCa) acutngulo (figura 1.4a).

Suponhamos que 90A < . Neste caso, temos que D est entre A

e B , e ( )c m c m= + ;2 2 2

cADC b m h = + ,

( )22 2

cBDC a m c h = + ;

Conseqentemente,

2 2 2 2a b c cm= + (1.6)

b) ABC obtusngulo (figura 1.4b).

Suponhamos que 90A > . Neste caso, temos que D no est entre

A e B , e BD c m= + ;2 2 2

cADC b m h = +

( )22 2

cBDC a m c h = + +

Conseqentemente

2 2 2 2a b c cm= + + (1.7)


1) Mostre que num paralelogramo a soma dos quadrados dos lados igual a soma dos quadrados das diagonais.

1.1.3 Clculo das Medianas em Funo dos Lados

Num tringulo ABC , a mediana relativa ao vrtice A o segmen-to AD ligando o vrtice A ao ponto mdio D do lado BC (figura

Ponto mdio o ponto pertencente ao seg-mento que o subdivide em dois segmentos de mesma medida.

19

1.4). Existem trs medianas em ABC , cujas medidas denotamos por Am (relativa a A ), Bm (relativa a B ) e Cm (relativa a C ).

Figura 1.5

Existem dois tringulos resultantes da construo do ponto D , digamos que sejam ADB e ADC . Ao aplicarmos as identida-des 1.6 e 1.7, obtemos:

22 2 2

4 2Aa aADB c m x = + ,

22 2 2

4 2Aa aADC b m x = + + .

Somando as expresses acima, segue que2

2 2 222Aab c m+ = +

e

( )2 2 21 22Am b c a= + (1.8)Analogamente

( )2 2 21 22Bm a c b= + (1.9)

( )2 2 21 22Cm a b c= + (1.10)

O ponto de interseo das medianas denominado baricentro do tringulo (figura 1.6) e o denotamos por G.

20

Figura 1.6

A seguir, mostraremos algumas propriedades do baricentro. Inicial-mente, fixamos a seguinte notao: sejam , ,A B CP P P os ps das me-dianas , ,A B Cm m m , respectivamente, e G o baricentro (figura 1.6).

Proposio 2. Considerando o tringulo da figura 1.6, valem as seguintes igualdades:

12B A

P P AB= 12A C

P P AC= 12B C

P P BC= .

Demonstrao. Na figura 1.5, decorre do Teorema de Thales que

B A CP P P A um paralelogramo. Portanto, 1 12 2B A C

P P AP AB= = .

Os outros casos so anlogos.

Proposio 3. Num tringulo ABC qualquer valem as relaes

23 A

GA m= , 23 B

GB m= 23 C

GC m= (1.11)

Demonstrao. Conforme ilustra a figura 1.5, temos o caso de congruncia A BGAB GP P , do qual,

2A B A B

GA GB ABGP GP P P

= = =

e

( )2 AGA GP= ( )2 BGB GP= ( )2 CGC GP=

Conseqentemente,

3 ,3

A A AA

A A

m GA GP mGPGP GP

+= = =

Este teorema est discutido na Introduo e no livro de Geometria I, o Teorema 7.10.

21

3 .3

B B BB

B B

m GB GP mGPGP GP

+= = =

Analogamente, 3

CC

mGP = . Assim, a relao 1.11 est verificada, pois

2 .3 3

AA A

mm GA GA m= + =

Exemplo. Se G o baricentro de ABC , ento

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 23AB BC CA GA GB GC+ + = + + (1.12) Ao somarmos as relaes abaixo, satisfeitas pelas medianas de

ABC ;2

2 2 222Cca b m+ = + ,

22 2 22

2Aab c m+ = + ,

22 2 22

2Bba c m+ = + .

obtemos

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 22 22A B C

a b ca b c m m m + ++ + = + + +

da onde,

( )2 2 2 2 2 243 A B Ca b c m m m+ + = + + .

Como ( )32A

m GA= , ( )32B

m GB= e ( )32C

m GC= , a verificao

da expresso 1.12 est completa.


1) Num tringulo qualquer de lados medindo ,a b e c , seja D o p da mediana relativa ao lado BC e E o ponto obtido pela projeo da mediana AD sobre o lado BC . Fazendo n DE= , mostre que

2 2 2c b amn = .

22

2) Determine os lados de um tringulo em funo das medianas.

3) Mostre que num retngulo ABCD a soma dos quadrados das dis-tncias de um ponto M a dois vrtices opostos A e C igual soma dos quadrados de suas distncias aos dois outros vrtices B e D.

4) Mostre que em qualquer tringulo retngulo, a soma dos quadrados das trs medianas igual a trs vezes a metade do quadrado da hipotenusa.

5) Mostre que a soma dos quadrados dos lados de um quadril-tero igual soma dos quadrados das diagonais mais quatro ve-zes o quadrado do segmento que une os meios dessas diagonais.

6) Mostre que o lugar geomtrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distncias aos pontos fixos A e B 2k um crculo com centro no ponto mdio de AB .

7) Suponha que os lados de um tringulo ABC satisfazem a rela-o 2 2 22a b c= + . Calcule as medianas e mostre que o tringulo cujos lados tem comprimentos iguais s medianas semelhante a ABC .

8) Mostre que um tringulo ABC semelhante ao tringulo formado pelas suas medianas se, e somente se, os quadrados dos seus lados esto em progresso aritmtica.

9) Conclua que o baricentro existe e nico.

1.1.4 Clculo das Alturas em Funo dos Lados

O segmento altura relativo ao lado AB o segmento ortogonal reta que contm AB , passando pelo vrtice C ; sejam D o p desta altura e Ch a sua medida. Ao traarmos a altura relativa ao lado AB , obtemos tringulos DAC e DBC , ambos retngulos no vrtice D . Seja m a medida de AD . Os casos quando ABC acutngulo e quando obtusngulo (figura 1.7a e 1.7b) so tratados juntos:

23

(a) (b)

Figuras 1.7a e 1.7b

2 2 2CADC h b m = ,

2 2 2

2b c aABC m

c+ =

.

Ao substituirmos na 1 expresso o valor de m obtido na 2, temos

2 24 Cc h = ( )22 2 2 2 24b c b c a + =

2 2 2 2 2 22 2bc b c a bc b c a = + + + =

( ) ( )22 2 2 2 2b c a a b c = + + =

( )( )( )( )a b c a b c a b c a b c= + + + + + + .

Se considerarmos ( )2 p a b c= + + , a expresso acima se torna

( )( )( )2Ch p p a p b p cc= (1.13)

Analogamente,

( )( )( )2Ah p p a p b p ca= (1.14)

( )( )( )2Bh p p a p b p cb= (1.15)

p o semipermetro de ABC .

24

Uma conseqncia importante do clculo das alturas a determi-nao da rea A do tringulo em funo dos comprimentos dos lados, conhecida como frmula de Hero.

( )( )( )A p p a p b p c= (1.16)

O ponto de interseo das alturas denominado ortocentro do tringulo (figura 1.8).

Figura 1.8


1) Determine os lados de um tringulo em funo das alturas.

2) Num tringulo retngulo ABC , 90A = , traam-se a altura AD e, em seguida, DE e DF perpendiculares a AB e AC respec-tivamente. Se BE m= , CF n= e AD h= , mostre que:

1) 3 3 32 2 2m n a+ =

2) 2 2 2 23h m n a+ + =

3) 2h amn=

3) Num tringulo ABC , sejam 13AB = , 14AC = e a altura 1

5AD = . Calcule o comprimento do lado BC (h dois casos para

considerarmos, num deles 90C = e no outro 90C B = ).

Heron (ou Hero, ou Hero) de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.) foi um sbio do comeo da era crist. Gemetra e engenheiro grego. Seu trabalho mais importante no campo da geometria, Metrica, permaneceu desaparecido at 1896. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Hero_de_Alexandria acessado em 08 jun. 2006).

Sobre a frmula de Hero, leia o artigo da Revista do Professor de Matemtica atravs do link http://www.rpm.org.br/novo/conheca/57/pitombeira.pdf

25

4) Conhecendo-se os comprimentos dos lados de um tringulo issceles, calcule sua altura.

5) Mostre que o ortocentro existe.

1.1.5 Relao de Stewart

Num tringulo ABC de lados medindo a , b e c , seja D um ponto sobre o lado AB tal que AD x= , DB y= e CD z= , confor-me ilustra a figura 1.9.

Figura 1.9

Proposio 4. No ABC vale a relao de Stewart2 2 2a x b y z c cxy+ = (1.17)

Para demonstrarmos a relao acima, traamos a altura relativa ao lado AB e consideramos que a medida do segmento definido pelo p da altura D m (figura 1.9). Assim,

2 2 2 2ACD b x z xm = + (1.18)2 2 2 2BCD a y z xm = + (1.19)

Multiplicando a expresso 1.18 por y e a expresso 1.19 por x temos

2 2 2 2b y x y z y xmy= + 2 2 2 2a x y x z x xmx= +

26

Somando as expresses acima chegamos a

( ) ( )2 2 2a x b y xy x y z x y+ = + + + ,da qual, substituindo c x y= + , segue a relao 1.17.

Exemplo. Seja C um crculo de raio R e centro em O com trs crculos 1 2,C C e 3C dentro dele, conforme ilustra a figura 1.10a.

1C tem raio 1R e centro em 1O , enquanto 2C tem raio 2R e centro em 2O . Vejamos que a relao de Stewart determina o raio x de

3C , sabendo que 1OO a= e 2OO b= . Para isto, aplicamos a relao de Stewart 1.17 ao 1 2 3O O O (figura 1.10b):

(a) (b) Figuras 1.10a e 1.10b

( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 1a R x b R x a b R x ab a b+ + + + = + .

Aps expandirmos a expresso acima, obtemos

( )( ) ( )[ ]

2 2 22 1

2 12a b R ab aR bR

xaR bR R

+ + +=

+ +


1) Considere no exemplo acima 1 1R = , 2 2R = e desenhe o cr-culo 3C .

27

1.1.6 Clculo das Bissetrizes em Funo dos Lados

A reta bissetriz de um ngulo AOB a reta passando por O que eqidista das semi-retas OAl

e OBl

. Seja C um ponto sobre a bis-setriz do AOB , devido definio, a bissetriz divide o ngulo

AOB em dois ngulos congruentes AOC e COB (figura 1.11).

Figura 1.11

A cada ngulo tambm associamos a reta bissetriz do seu com-plemento. Desta forma, a cada vrtice de um tringulo ABC associamos a bissetriz interna (do ngulo interno) e a bissetriz externa (do ngulo externo).

O ponto de interseo das bissetrizes internas denominado o incentro do tringulo.

Proposio 5. Seja ABC um tringulo com lados medindo a , b e c .

Ao traarmos a bissetriz interna relativa ao vrtice 1) A obte-mos, na interseo com o lado BC o ponto D . Se x BD= e y DC= (figura 1.11a), ento

acxb c

=+

, aby

b c=

+

2) Ao traarmos a bissetriz externa relativa ao vrtice A obte-mos na interseo com o lado BC o ponto D . Se x BD= e y D C= (figura 1.11b), ento

abxc b

=

, acy

c b=

28

Demonstrao:

1) Pelo vrtice B , traamos uma reta paralela bissetriz ADgerando o ponto E na interseo com o prolongamento do lado AC . Segue do Teorema de Thales que

y bx AE= .

No entanto, decorre do paralelismo entre os segmentos BE e AD , que (1) AEB CAD DAB= = (2) EBA BAD= . Conseqentemen-te, o tringulo ABC issceles e, por isso, AE c= . Da que,

a x yy b y x b c a b cx c x c x c

= ++ + += = =

(a) (b)

Figura 1.12a e 1.12b

Portanto,acx

b c=

+,

abyb c

=+

.

2) Pelo vrtice C traamos uma reta paralela bissetriz ex-terna 'AD gerando o ponto E na interseo com o lado AB . Segue do Teoremade Thales que

x cy AE=

.

No entanto, o paralelismo entre os segmentos CE e AD impli-ca em (1) ACE CAD = e (2) AE C CAD = . Conseqentemente, o tringulo ACE issceles e, por isso, AE b = . Da que,

a x yx c x y c b a c by b y b y b

= = = =

Por que se pode afirmar esta igualdade?

29

Portanto,acx

c b=

,

abyc b

=

,

Agora, determinaremos os comprimentos As e As das bissetrizes interna e externa, respectivamente, relativas ao vrtice A . Para isto, usaremos a relao de Stewart 1.17;

Substituindo acx

b c=

+,

abyb c

=+

na Relao de Stewart

2 2 2Ab x c y s a axy+ = .

Obtemos

( )2

2 2 22A

ac ab a bcb c s a ab c b c b c

+ =+ + +

de onde,

( )( )

( )( )( )

2 2

22 2A

bc b c a bc a b c b c as a

b c b c

+ + + + = =+ +

.

Aplicando o semipermetro 2 p a b c= + + , chegamos a2 ( )As bcp p ab c

= +

(1.20)

Analogamente,2 ( )Bs acp p ba c

= +

(1.21)

2 ( )Cs abp p ca b=

+ (1.22)


1) Mostre que as bissetrizes externas so determinadas pelas expresses:

( )2 ( )As bcp p b p cb c = (1.23)

( )2 ( )Bs acp p a p ca c = (1.24)

30

( )2 ( )Cs abp p a p ba b = (1.25)

2) Um tringulo ABC , retngulo em A , tem lados 24AB = , 25BC = e 7AC = . Calcule a bissetriz do ngulo C .

3) Dado um tringulo ABC , retngulo em A , no qual AB c= , AC b= e a bissetriz do ngulo reto mede 1AD = , mostre que

2 1 1l b c= + .

1.2 Trigonometria Trigonometria o ramo da Matemtica que trata das relaes en-tre os lados e os ngulos de tringulos. A trigonometria comeou eminentemente prtica para determinar as distncias que no po-diam ser medidas diretamente. Serviu navegao, agrimensu-ra e astronomia.

De acordo com o axioma de congruncia, ao fixarmos o compri-mento de dois lados e a medida do ngulo formado entre eles (caso LAL), ento todas as medidas dos lados e dos ngulos do tringulo estaro fixas. Como conseqncia do axioma temos ou-tros 3 tipos de casos de congruncia:

LLL (lado-lado-lado),1)

LA (ngulo-lado-ngulo),2)

LLA (lado-lado-ngulo).3)

Em cada um dos casos de congruncia, se as medidas dos elemen-tos citados forem fixadas, todas as outras medidas relativas ao trin-gulo tambm estaro fixadas, a nossa tarefa ser determin-las. A estas relaes denominamos de relaes mtricas em tringulos.

Conforme j discutimos, o tringulo o elemento geomtrico mais simples aps o ponto e a reta. Desde a antiguidade o ra-ciocnio lgico-dedutivista est sempre baseado numa estratgia redutivista, onde entendemos o todo a partir dos elementos mais simples. Na geometria, o tomo o tringulo. A experincia com

Consulte o livro de Geometria I congruncia de tringulos, seo 3.4 (pg. 87).

Consulte o livro de geometria I congruncia de tringulos seo 3.4.

31

a determinao das distncias e dos comprimentos, muito comum na agrimensura e na astronomia, mostrou-nos que o conhecimen-to das relaes mtricas entre os lados e ngulos de um tringulo extremamente til para a soluo de problemas.

1.2.1 Trigonometria no Tringulo Retngulo

Sejam O , A e B trs pontos no colineares, OAl

e OBl

as semi-retas definidas por estes pontos, e ( )0 90 a medida do ngulo AOB , conforme mostra a figura 1.13.

Figura 1.13

Ao traarmos as retas 1 2, ,..., nr r r ortogonais a OAl

obtemos trin-gulos retngulos 1 1 2 2, ,..., n nOA B OA B A B . Decorre do Teorema de Thales que os comprimentos dos segmentos na figura 1.13 sa-tisfazem a relao;

1 1 2 2

1 2

... n nn

A BA B A BOB OB OB

= = = (1.26)

Ao considerarmos a famlia de tringulos retngulos { }|k kOA B k , a relao 1.26 significa que a razo entre o com-primento do cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa do trin-gulo, para cada um dos tringulos, constante (independe de n ). Portanto, associamos ao ngulo AOB a razo definida em 1.26, a qual denominamos por seno de e a denotamos ( )sen ;

( ) 1 1 2 21 2

... n nn

A BA B A BsenOB OB OB

= = = = (1.27)

Analogamente, ao considerarmos a razo do cateto adjacen-te pela hipotenusa para cada um dos tringulos da famlia { }|k kOA B k , conclumos que ela tambm constante. A esta razo, denominamos de cosseno de e a denotamos ( )cos ;

Para conhecer alguns destes problemas, leia o

artigo no endereo http://www.ensinomedio.impa.

br/materiais/tep/cap4.pdf que mostra questes interessantes resolvidas

por meio da trigonometria e suas resolues.

32

( ) 1 21 2

cos ... nn

OAOA OAOB OB OB

= = = = (1.28)

Alm destas duas quantidades associadas ao ngulo , tambm de-finimos a tangente de , denotada por ( )tg , que a razo do compri-mento do cateto oposto sobre o comprimento do cateto adjacente;

( ) 1 1 2 21 2

... n nn

A BA B A BtgOA OA OA

= = = = ( ) ( )cos( )sentg

= (1.29)

Ao considerarmos um tringulo retngulo ABC , no qual 90A = , a hipotenusa mede a e os catetos medem b e c , o seno, o cosseno e a tangente do ngulo B = valem

Decorre do Teorema de Pitgoras que2 2

2 2 2 1b ca b ca a

= + + = .

Assim, obtemos a Identidade Fundamental da Trigonometria


1) Seja ABC um tringulo retngulo com 90A = , 5a = , 4b = e 3c = . Seja a medida do ngulo interno do vrtice B. Calcule

( )cos , ( )sen e ( )tg .

2) No item anterior, seja a medida do ngulo interno do vr-tice C e calcule ( )cos , ( )sen e ( )tg . Compare os resultados com os obtidos no item anterior.

3) Conclua que ( )cos 90 0= e ( )90 1sen = ; ( )cos 0 1= e

( )0 0sen = .

2 2cos ( ) ( ) 1sen + = (1.30)

( ) bsena

= ,

( )cos ca

= ,

( ) btgc

= .

33

4) Desenvolva um mtodo para medir a altura de um prdio utilizando apenas de uma trena de 5 metros (dica: use a posio do sol e a sombra do prdio).

Proposio 6. Se dois ngulos e so complementares, ento

( ) ( )cossen = , ( ) ( )cos sen = , ( ) ( )1tg

tg

= . (1.31)

Demonstrao: Segue da hiptese que 90 + = . Seja ABC um tringulo retngulo com ngulos internos medindo 90A = , B = e C = , a hipotenusa mede a e os catetos medem b e c (figura 1.14). O seno e o cosseno do ngulo valem

( )cos ca

= , ( ) bsena

= .

Analogamente,

( )cos ba

= , ( ) csena

= .

Figura 1.14

Portanto ( ) ( )cossen = e ( ) ( )cos sen = . Alm disto, ( ) ( )

1tgtg

= .

Decorre, da proposio acima, que os valores de ( )cos , ( )sen , e ( )tg para ngulos no intervalo [ ]0 ,45 determinam os valores

do cosseno, seno, e da tangente para ngulos no intervalo [ ]45 ,90 .

Exemplo. A seguir, calcularemos os valores do cosseno e do seno para alguns ngulos:

Dois ngulos so di-tos complementares quando a soma de suas medidas 90 .

34

1) 30 = .

Seja ABC um tringulo eqiltero (figura 1.15) de lado a e D o p da altura relativa ao lado AB . Assim, o tringulo ADC retngulo e 90D = , 60A = e 30C = . Alm disto, AC a= ,

2aAD = e

32

CD a= . Conseqentemente,

( )3 32cos 30

2

a

a = = , ( ) 1230

2

asen

a = =

Figura 1.15

2) 45 = .

Consideramos o tringulo retngulo ABC (figura 1.16) tal que 45A C= = e 90B = . Desta forma, , 2AB BC l AC l= = = .

Conseqentemente,

( ) 1cos 452 2

ll

= = , ( ) 1452 2

lsenl

= = .

Figura 1.16

35

3) 60 = .

Basta aplicarmos a Proposio 6 para concluirmos que

( ) 1cos 602

= , ( ) 3602

sen = .

4) 18 = .

Consideramos o tringulo issceles ABC (figura 1.17) tal que 36A = , 72B C= = e AC b= . Ao traarmos a bissetriz do

vrtice C construmos o tringulo DBC , onde

72D B= = , 36BCD = .

Figura 1.17

Da semelhana entre os tringulos ABC e CDB (caso AAA), se DC x= , ento

5 12

x b x bb x x

= =

.

O valor de x a conhecida razo urea relativa medida b . Ao traarmos no tringulo ABC a altura relativa base BC , com p no ponto H , obtemos o tringulo retngulo ABH (figura 1.18).

36

Figura 1.18

No ABH temos

18A = , 72B = , 90H = , AB b= , 2xBH = .

Portanto, ( ) 5 12184

xsen

b = = e, pela identidade fundamen-

tal da trigonometria 1.30, ( ) 10 2 5cos 184+ = .

5) 72 = .

Basta aplicarmos a Proposio 6 para concluirmos que

( ) 5 1cos 724 = , ( ) 10 2 572

4sen + =

Como conseqncia dos conceitos introduzidos, a cada ngulo [ ]0,90 associamos os valores do seno e do cosseno;

( ) ( )( )cos , sen .

Lista de Exerccios 8Resolver um tringulo significa determinar os valores dos com-primentos dos lados e dos seus ngulos internos.

37

1) Resolva um tringulo retngulo ABC sabendo que a me-dida da hipotenusa 25a = , a soma dos catetos 31b c+ = e b c> (deixe os ngulos indicados em funo do cosseno).

2) Resolva um tringulo retngulo ABC de hipotenusa a , sa-bendo que 36a b m+ = e 50a c m+ = .

3) Os tringulos ABC e ACD (figura 1.19) so retngulos, res-pectivamente, em B e C .

Figura 1.19

Achar o valor aproximado dos comprimentos a) AB e CD .

Achar o comprimento exato do lado b) AD .

4) Seja ABC um tringulo retngulo. Calcule

o cosseno do maior ngulo agudo se os lados de a) ABC es-to em progresso aritmtica.

o cosseno do maior ngulo agudo se os lados de b) ABC es-to em progresso geomtrica.

5) Observando a figura 1.20 abaixo, mostre que( )( )2 1 cos

sentg

= +

Uma progresso arit-mtica (P.A.) uma seqncia numrica em que cada termo, a par-tir do segundo, igual soma do termo anterior com uma constante r. O nmero r chamado de razo da progresso aritmtica. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki)

Uma progresso geo-mtrica (P.G.) uma seqncia numrica em que cada termo, a partir do segundo, igual ao produto do termo ante-rior por uma constante q. O nmero q chamado de razo da progresso geomtrica. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki.)

38

Figura 1.20

6) Um observador em uma plancie v ao longe uma montanha segundo um ngulo de 15 (ngulo no plano vertical formado por um ponto no topo da montanha, o observador e o plano horizontal). Aps caminhar uma distncia d em direo montanha, ele passa a v-la segundo um ngulo de 30 . Qual a altura da montanha?

7) Um ponto A dista 5 cm de um crculo com raio de 3 cm. So traadas as tangentes AB e AC ao crculo. Calcule o seno do n-gulo OAB .

8) Para medir a altura de uma chamin (figura 1.21), um obser-vador utilizou um aparelho especial que estabeleceu a horizontal AB e mediu os ngulos e tendo a seguir medido BC h= . Determine a altura da chamin.

Figura 1.21

1.2.2 Trigonometria no Crculo

Para aplicarmos os conceitos de seno e cosseno aos problemas ge-omtricos envolvendo tringulos precisamos estend-los para ngulos 0 ,180

. At aqui, estes conceitos foram definidos

Aqui sua resposta ser dada em funo da distncia d.

39

usando tringulos retngulos, porm tambm existem os trin-gulos obtusngulos e os acutngulos.

Axioma: Fixada uma medida para o ngulo raso, denotada 180 , existe uma relao biunvoca entre o intervalo [ ]0,180 e as semi-retas de mesma origem que dividem um dado semi-plano, de modo que a diferena entre estes nme-ros seja a medida do ngulo formado pelas semi-retas correspondentes.

De acordo com o axioma anterior, a medida de um ngulo no plano est entre 0 e 360

, o que mostra a necessidade de ge-neralizarmos os conceitos trigonomtricos para qualquer ngulo

0 ,360 .

Introduziremos uma maneira mais propcia para medirmos um ngulo usando um crculo. Para este fim, consideramos um par de eixos ortogonais coordenados no plano, denominados eixo-x e eixo-y, de forma que a todo ponto do plano corresponde uma coordena-da ( ),p pP x y= , onde px a abscissa de P e py a ordenada de P so as projees ortogonais de P sobre cada um dos eixos (figura 1.22). A interseo dos eixos denominada a origem do sistema co-ordenado e a denotamos por O . O plano o conjunto dos pontos

( ) }{2 , / ,x y x y= . (1.32)

Figura 1.22

Desta forma, o plano fica subdividido em 4 quadrantes:

1 quadrante: 1) ( ){ }, , | 0, 0Q x y x y+ + = > >2 quadrante: 2) ( ){ }, , | 0, 0Q x y x y + = < >3 quadrante: 3) ( ){ }, , | 0, 0Q x y x y = <

40

De acordo com o Teorema de Pitgoras, a distncia do ponto ( ),p pP x y= origem O (medida do segmento OP )

2 2p pOP x y= + .

Assim, a cada ponto ( ) 2,p pP x y= associamos o nmero real P OP= , denominado o mdulo de P . Tambm associamos a P

o ngulo p formado pela semi-reta opl

e o eixo-x, o qual tambm denominamos de inclinao da semi-reta opl

em relao ao eixo-x. claro, para qualquer ponto opQ l

, Q P , temos Q P e q p = . Resumindo, a cada ponto 2P associamos

( ), pP P (1.33)

Radianos

O crculo de raio R centrado na origem, que denotamos por( ),C O R , o conjunto dos pontos do plano 2 que eqidistam

R da origem O ;

( ) ( ){ }2 2 2 2, , |C O R x y x y R= + = .Equivalentemente, ( ) { }2, |C O R P P R= = . Dois pontos

( )0 , ,P P C O R dividem o crculo em dois arcos (figura 1.23). Ob-servamos que confuso descrever os arcos, pois sobre o crculo no h uma posio entre os pontos; na reta mais fcil, porque te-mos o conceito de estarmos esquerda ou direita de um ponto.

Figura 1.23

Para resolvermos esta situao sobre um crculo, fixamos uma orientao: dizemos que um ponto ( ),P C O R desloca-se no sentido positivo sobre ( ),C O R se o deslocamento realiza-se no sentido anti-horrio, caso contrrio, dizemos que P desloca-se no sentido negativo (figura 1.24). Desta forma, ao representarmos um

Por abuso de linguagem, p corresponde ao ngulo e sua medida.

41

arco na forma 0P P , estamos dizendo que o arco comeou no pon-to 0P e, ao deslocar-se no sentido anti-horrio, termina em P .

Figura 1.24

O comprimento do crculo ( ),C O R 2C R= . muito antigo o conhecimento de que a razo

2CR

uma constante, ou seja, no

depende do comprimento do raio. Com base neste fato, os gregos introduziram uma forma muito eficiente para medirmos um n-gulo seguindo os seguintes passos;

1) fixamos o ponto ( )0 ,0P R= sobre o eixo-x. Cada ponto ( )0 ,p pP x y= determina um nico ngulo P , formado pela

semi-reta opl

e o eixo-x; e tambm determina o arco orien-tado ( )0 ,P P C O R cujo comprimento denotamos por 0P P . Desta forma,

0P P= 0p = , 0 0P P = .

2) Ao deslocarmos o ponto P no sentido positivo (anti-horrio), o ngulo P cresce e o comprimento do arco descrito tambm cresce. Se o deslocamento for no sentido negativo (horrio), as-sumiremos que o ngulo decresce e o comprimento tambm de-cresce. Isso significa que ao fixarmos ( )0 ,0P R= como o ponto de partida, como mostra a figura 1.25, teremos ngulos positi-vos e negativos. 0P P associaremos um nmero real pC , de valor positivo se o deslocamento for no sentido positivo e de valor negativo se o deslocamento for no sentido negativo ( p e

pC tero o mesmo sinal), tal que

0pC P P= .

Estudaremos no captulo 3 vrios dos mistrios deste

famoso nmero, o .

Chamado tambm ngulo central.

42

Se o ponto P desloca-se a partir de ( )0 ,0P R= , sobre ( )0,C R= , no sentido positivo at ( )0, R , a distncia percorrida pelo ponto P igual 14 da circunferncia de ( ),C O R que equivale a 2 R

;

portanto, 2p

C R= . Se o deslocamento for no sentido negativo

at o ponto ( )0, R , ento 2p

C R= .

Figura 1.25a

3) Para determinarmos pC , quando o ngulo central do arco

0P P medido em graus, digamos a , utilizamos a frmula.

2360p

aC R=

.

Desta forma, a razo pCR

depende apenas da medida a do n-

gulo, independe do raio R e adimensional. Isto motiva a defi-

nio da medida p do ngulo central 0 P OP ;

p = pC

R (1.34)

4) Decorre da definio dada que p pC R = . A unidade bsica para medirmos ngulos atravs da expresso (1.34) denomina-da radiano. Quando pC R= temos que 1p = radiano, ou seja, 1 57 30 'rad . Para convertermos a medida de um ngulo de graus para radianos utilizamos a frmula

a 2360ax = radianos. (1.35)

Uma alternativa ao uso desta frmula pode ser a utilizao de regra de trs.

43

5) Uma vez que a medida de um ngulo em radianos no depen-de do raio do crculo, mais simples considerarmos o ponto P pertencente ao crculo unitrio

( ){ }1 2 2, | 1S x y x y= + = (1.36)

Figura 1.25b

Um ngulo de 1 radiano corresponde ao arco de circunferncia de comprimento igual ao raio do crculo.


1) Complete a tabela abaixo e marque os ngulos sobre um cr-culo de raio R=10 cm:

grau 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

radiano6

4

3

Tabela 1.2

No estamos mais restritos a ngulos medindo entre 0 e 360 , a todo nmero real podemos associar um ngulo medindo . No que segue, as medidas dos ngulos sero sempre em radianos, salvo dito em contrrio.

Voc acha que o raio interfere em seus

resultados? Tente calcular a medida dos mesmos

ngulos em radianos para um crculo de R=15 cm.

44

1.2.3 Funes trigonomtricas

Motivados pelas definies sobre tringulos retngulos, temos a seguinte definio:

Definio 7. Seja ( ) 1,p pP x y S= e p o ngulo associado P em (1.33), ento

( )cos p px = , ( )p psen y = (1.37)

Figura 1.26

Observao. Na definio acima, observamos que;

Associado a cada ngulo 1) [ ]0,2 h um nico ponto ( ) 1,p pP x y S= .

2) P a inclinao da semi-reta opl

relativa ao eixo-x.

A partir do sculo VIII d.C., astrnomos islmicos aperfeioaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relao s funes trigonomtricas. A trigonometria moderna comeou com o trabalho de matemticos no Ocidente a partir do sculo XV. A inveno dos logaritmos pelo escocs John Napier e do clculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaram os clculos trigonomtricos (Fonte: http://educar.sc.usp.br/licenciatura/1999/TRIGO.HTML).

45

3) Sejam ( ),0x pP x= e ( )0,y pP y= . O tringulo xOP P retn-gulo ( 2xP

= ) e p = . Desta maneira, as definies do

seno e do cosseno de P , dadas na seo 1.2.1, coincidem com as definies na seo 1.2.2.

4) ( ) ( )2 2cos sin 1 + = .

5) Os valores de ( )cos p e ( )psen podem assumir valores positivos e negativos (figura 1.26), dependendo do valor das abscissas e das ordenadas do ponto P .

6) Com o que observamos no item 1, se 1P S , ento

( ) pp ysen P = , ( )cosp

p

xP

= e 2 2x yP P P= + (1.38)


1) Complete a tabela abaixo (use um transferidor e um papel milimetrado);

10 20 40 50 70 80

( )cos ( )sen ( )tg

Tabela 1.3

2) Estude o sinal de ( )sen e ( )cos de acordo com a posio de P em cada um dos quadrantes.

46

3) Complete as tabelas abaixo:

100 110 130 150 160 170

( )cos ( )sen ( )tg

Tabela 1.4

10 20 40 50 70 80

( )cos

( )sen

( )tg

Tabela 1.5

100 110 130 150 160 170

( )cos ( )sen ( )tg

Tabela 1.6

4) Qual o valor mximo para o cosseno de um ngulo? E o mnimo?

5) Repita o item anterior para o seno e para a tangente.

Proposio 8. Seja [ ]0,2 . Ento,( ) ( )cos cos = , ( ) ( )sen sen =

Demonstrao. suficiente considerarmos os seguintes casos:

1) 0, 2 .

47

Sejam ( ),p pP x y= e ( ),q qQ x y= , 0px > e 0qx > , os pon-tos sobre o crculo unitrio associados aos ngulos e - , res-pectivamente, conforme mostra a figura 1.27. Ao considerarmos ( ),0pA x= e ( ),0qB x= , os tringulos retngulos OPA e OPB

so congruentes (LAL). Portanto, pOA OB x= = , de onde A B= , e pPA QB y= = . Porm, B est sobre o lado negativo do eixo-y, por isto q px x= e q py y= . Conseqentemente,

Figura 1.27

( ) ( )cos cospx = = , ( ) ( )psen y sen = = .

2) [ ], 2 .Este caso fica como exerccio para voc. Qualquer dvida, con-verse com seu tutor.

Lista de Exerccios 11 Determine os valores do seno e do cosseno dos ngulos abaixo e, em cada item, enuncie alguma concluso sobre a relao entre os valores encontrados:

1) Prove o segundo caso da proposio anterior.

2)

5,6 6 = =

3)

3,4 4 = =

48

4)

2,3 3 = =

5)

9,10 10 = =

Proposio 9. Se 0, 2 e + = , ento

( ) ( )cos cos = , ( ) ( )sen sen = (1.39)

Demonstrao. H duas situaes a serem consideradas:

1) P est no 1-quadrante.

Sejam ( ) ( )( )cos ,P sen = o ponto sobre o crculo unitrio associado ao ngulo e ( )( )cos ,0P = , conforme mostra a figura 1.28. Ao traarmos por P a reta r paralela ao eixo-x, a in-terseo de r com o crculo unitrio define o ponto ( ),q qQ x y= . Seja ( ),0qQ x= ; os tringulos retngulos OP P e OQ Q so congruentes (LAL) implicando que o ngulo central asso-ciado ao ponto Q mede . Por isto, temos que ( )cosqx = e

( )qy sen = e, conseqentemente,( ) ( )cos cos = , ( ) ( )sen sen =

Figura 1.28

2) P est no 2 quadrante. (exerccio)

Neste caso, dizemos que e so ngulos suplementares.

49

A proposio acima nos permite calcular ( )sen e ( )cos para qualquer ngulo [ ]0, .


1) Prove o segundo caso na proposio anterior.

2) Calcule o cosseno e o seno dos seguintes ngulos e compare os resultados obtidos:

a) 30 330e .

b) 60 300e .

c) 45 315e .

d) 18 342e .

3) Mostre que se 2 = , ento( ) ( )cos cos = , ( ) ( )sen sen = . (1.40)

4) Determine ( )cos + e ( )sen + .

5) Seja 0, 2 . Suponha que os valores de cos( ) e de sen( ) so conhecidos e determine os seguintes valores (marque-os sobre o crculo unitrio):

a) ( )cos + e ( )sen . b) ( )cos e ( )sen . c) ( )cos 2 e ( )2sen .

Decorre do exerccio anterior que, para qualquer ngulo [ ]0,2 , os valores de ( )sen e ( )cos esto determinados por valores de pontos correspondentes no 1 quadrante. Isto :

50

se i) ,2 (2 quadrante), o ngulo correspondente

,

se ii) [ ],3 2 (3 quadrante), o ngulo correspondente ,

se iii) 3 ,22 (4 quadrante), o ngulo correspondente

2 .

Uma vez que a cada associamos os valores ( )sen e ( )cos , de fato, o que temos so funes.

Definio 10. Seja x . Temos assim funes trigonomtricas:

a funo cosseno definida pela relao 1) cos( ) ; da onde[ ]cos : 1,1

a funo seno definida pela relao 2) ( )sen ; da onde , [ ]: 1,1sen .

Decorre das igualdades ( ) ( )cos 2 cosx x+ = e ( ) ( )2sen x sen x+ = que as funes ( )cos x e ( )sen x so peridicas de perodo 2 . Da mesma maneira, temos funes

tangente : ( ) ( ),2 2x tg x , cotangente : ( ) ( ) ( )

10,x cotg xtg x

= ,

secante : ( ) ( ) ( )1, sec2 2 cos

x xx

= ,

cossecante : ( ) ( ) ( )10, cossecx x

sen x = .

Os domnios das funes definidas acima podem ser estendidos para intervalos maiores, porm preciso ter cuidado porque elas no esto definidas para quaisquer valores reais; por exemplo, o

maior domnio para a funo tangente, uma vez que tg( 2 ) no

est definido, (2 1) (2 1): ( , )

2 2kk ktg

=

+

Se uma funo associa valores de x com valo-res de y, seu domnio o conjunto dos possveis va-lores da varivel x. (Fonte: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Microdicionrio de Matemtica. So Paulo: Scipione, 1998.)

51

Exemplo. Estudaremos neste exemplo a funo seno:

1) O seu domnio .

2) O ( )sen x positivo nos quadrantes 1 e 2, e negativo nos quadrantes 3 e 4.

3) No intervalo, 0, 2 a funo ( )sen x crescente.

Para verificarmos a afirmao, consideramos ( )0 1,0P = , ( ) ( )( )cos ,P sen = e ( ) ( )( )cos ,Q sen = os pontos sobre

1S correspondentes aos ngulos e . Alm disto, tambm consideramos os pontos ( )( )0,yP sen = e ( )( )0,yQ sen = . Suponhamos que , 0, 2

e > . Lembrando que quan-

do dois segmentos oblquos a uma reta (eixo-y) so congruentes ( )y yOP OQ= , o que tem projeo ortogonal maior o segmento que forma o menor ngulo com a reta (figura 1.29), temos

( ) ( )0 0sen P P P Q sen = < = ,o que mostra que o seno uma funo crescente.

Figura 1.29

52

Portanto,

Intervalo ( )sen x ( )cos x ( )tg x ( )cotg x ( )sec x ( )cossec x

,2

o +, crescente

,2

+, decrescente

3,2

-, decrescente

3 ,22

-, crescente

Tabela 1.7

4) Sua imagem o intervalo [ ]1,1 .

5) O grfico da funo seno est representado na figura 1.30,

Figura 1.30


1) Complete a tabela acima, estudando a variao das funes trigonomtricas e o sinal em cada um dos quadrantes.

2) Determine os conjuntos dos valores reais para os quais as funes ( )cotg x , ( )sec x e ( )cossec x esto definidas, as respec-tivas imagens e os perodos.

Se os valores de y so funes de x, o con-junto dos valores de y chamado de imagem da funo.(Fonte: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Mi-crodicionrio de Mate-mtica. So Paulo: Scipio-ne, 1998.)

53

3) Determine os conjuntos dos valores reais para os quais as funes ( )3sen x e ( )cos 3x esto definidas, as respectivas ima-gens e os perodos. Faa o grfico das funes.

1.2.4 Lei dos Cossenos e dos Senos

Tendo em vista o caso (LAL) de congruncia, resolveremos a se-guinte questo:

Questo 1. Seja ABC um tringulo cujos lados AC e AB me-dem b e c, respectivamente, e cujo ngulo A formado entre eles mede . Determine a medida do lado BC .

Aplicaremos os conceitos introduzidos para obtermos relaes en-tre as medidas dos lados e dos ngulos de um tringulo qualquer. Para procedermos, h dois casos para considerarmos sobre o trin-gulo ABC : (1) quando acutngulo, (2) quando obtusngulo.

Inicialmente, consideramos o caso quando ABC acutngulo. Conforme a figura (1.31), ao traarmos a altura relativa ao lado AB obtemos os tringulos retngulos AHC e HBC .

Figura 1.31

Ao fazermos x AH= e h CH= , obtemos as seguintes relaes:2 2 2AHC b h x = + , ( )cosx b = (1.41)

( )22 2HBC a h c x = + (1.42)

54

Ao expandirmos a expresso (1.42) e substituirmos os valores de x e 2x obtidos em (1.41), obtemos a identidade, conhecida como Lei dos Cossenos.

De maneira anloga, segue que

( )2 2 2 2 cosb a c ac = + (1.44)( )2 2 2 2 cosc a b ab = + (1.45)

Observao. Se o tringulo ABC retngulo em A , a expresso da lei dos cossenos igual a expresso do Teorema de Pitgoras. No entanto, voc deve estar ciente de que a Lei dos Cossenos conseqncia do Teorema de Pitgoras e no o contrrio.

De acordo com a expresso (1.45), no tringulo ABC temos

( ) ( )22 2 2

22 2cos 4

b c ab c

+

= .

Segue da identidade fundamental 1.36 que

( ) ( ) ( )22 2 2 4 4 4

22 2

24

a b c a b csen

b c

+ + + +=

e, conseqentemente,

( ) ( ) ( )22 2 2 4 4 422 2 2 2

24

a b c a b csena a b c

+ + + +=

Observamos que o lado direito da expresso acima,

( ) ( ) ( )22 2 2 4 4 4

2 2 2

2, ,

4a b c a b c

k a b ca b c

+ + + += ,

invariante por uma permutao dos valores de a, b, e c. Portan-to, se em vez de termos usado o ngulo e o comprimento a ti-vssemos usado os pares e b ou e c, teramos obtido o mesmo resultado ( ), ,k a b c . Desta maneira, obtemos a Lei dos Senos:

Lei dos Cossenos 2 2 2 2 . ( )a b c bc cos a= + (1.43)

55


1) Demonstre as expresses (1.44) e (1.45) .

2) Mostre que a Lei dos Cossenos tambm vale para tringulos obtusngulos.

3) Num tringulo ABC qualquer, mostre que valem as seguin-tes desigualdades triangulares;

a b c< + ,b a c< + ,c a b< + .

4) Mostre, assim como na demonstrao da Lei dos Senos, que( ) ( ) ( )

2 2

2 , ,sen sen

k a b cb c

= =

(1.47)

5) A rea de um tringulo ABC definida pela expresso( ) ( )1

2A base altura= ,

onde (base) corresponde ao comprimento de um lado, e (altura) a medida da altura relativa a essa base. Siga os seguintes passos para obter uma outra demonstrao da Lei dos Senos:

Considere um tringulo a) ABC e verifique que a rea dada por

( )12

A c b sen = ,

onde ( )b sen a altura relativa ao lado AB .

Lei dos Senos

( ) ( ) ( )sen sen sena b c

= =

(1.46)

56

b) multiplique a expresso da rea por a para obter a expresso( ) 2sen A

a abc

= .

c) Repita os itens anteriores, considerando a expresso para a rea em funo de , c e a.

d) Repita os itens anteriores, considerando a expresso para a rea em funo de , b e a.

e) Compare os resultados e conclua que vale a Lei dos Senos.

6) Prove que a rea do tringulo ABC de lados medindo a, b e c dada pela expresso

( ) ( )22 2 2 4 4 41 24A a b c a b c= + + + + (1.48)

7) Mostre, usando a Lei dos Senos, que um tringulo issceles se, e somente se, ele tiver dois ngulos iguais.

8) Mostre que num ABC , temos as seguintes implicaes:

2 2 2a b c < + agudo,

2 2 2a b c = + retngulo,

2 2 2a b c > + obtuso.

9) Um observador examina a extremidade superior de uma torre sob um ngulo . Quando ele se aproxima 110 m o ngulo duplica e quando se aproxima mais 50 m, triplica. Calcule a altura da torre.

1.2.5 Aplicao: Crculos Circunscritos a Tringulos

Um crculo dito ser circunscrito a um tringulo ABC se o seu centro eqidista dos vrtices A , B e C ; neste caso, seu raio igual a distncia dos vrtices. Qualquer tringulo ABC admite um nico crculo circunscrito, pois o centro a interseo da mediatriz do segmento AB com a mediatriz do segmento AC (figura 1.32).

O prefixo eqi indica igualdade. Pontos ou retas que esto a uma mesma distncia em rela-o a alguma referncia so eqidistantes. (Fonte: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Microdicionrio de Matemtica. So Paulo: Scipione, 1998.)

57

Figura 1.32

Uma vez que fcil determinar o centro do crculo circunscrito, precisamos calcular seu raio. Primeiramente, vamos relembrar al-guns fatos:

Definio 11.

Um ngulo 1) central em relao a um crculo se o seu vrtice coincide com o centro do crculo (figura 1.33.a).

Um ngulo 2) inscrito num crculo se o seu vrtice um pon-to do crculo e cada um de seus lados contm uma corda dessa circunferncia (figura 1.33.b).

Figuras 1.33.a e 1.33.b

Proposio 12. Na figura (1.33.b) vemos que a cada ngulo ins-crito ACB corresponde um ngulo central AOB , definido pelas extremidades do ngulo. As medidas ACB = e AOB = satis-fazem a relao

2 = (1.49)

Corda qualquer segmento de reta cujos extremos

so pontos de uma circunferncia, totalmente

contido no crculo por ela delimitado. As cordas

que contm o centro da circunferncia so chamadas dimetros.

58

Para demonstrarmos a expresso 1.49 consideraremos trs casos:

Um dos segmentos que definem o ngulo inscrito 1) ACB , di-gamos CB , definem um dimetro do crculo (figura 1.34.a).

Demonstrao. Ao traarmos o raio OA , obtemos o tringulo issceles AOC . Assim, OAC ACB = = e 2AOB = = por-que a medida do ngulo externo.

2) O centro O do crculo encontra-se dentro do ngulo ACB (figura 1.34.b)

Demonstrao. Ao traarmos o dimetro CD o ngulo ACB fica dividido em dois ngulos inscritos, medindo 1 e 2 ( )1 2 = + e AOD DOB = + . Como cada um dos ngulos inscritos tem um lado passando pelo centro, podemos aplicar o caso anterior para concluirmos que 1 2AOD = e 2 2DOB = . Conseqentemente, 2 = .

3) O centro O do crculo encontra-se fora do ngulo ACB (fi-gura 1.34.c)

Demonstrao. Ao traarmos o dimetro CD , desta vez por fora do ngulo, o ngulo ACD fica dividido em dois ngulos inscritos medindo 1 e 2 ( )1 2 = e AOD BOD = . Como cada um dos ngulos inscritos tem um lado passando pelo centro, podemos aplicar o caso anterior para concluirmos que

1 2AOD = e 2 2BOD = . Conseqentemente, 2 = .

Figuras 1.34a, 1.34b e 1.34c

59

Proposio 13. Num ABC qualquer o raio R do crculo circuns-crito dado por

( ) ( ) ( )2a b cR

sen sen sen = = =

(1.50)

Demonstrao. No crculo circunscrito ABC traamos o di-metro BA (figura 1.35).

Figura 1.35

Decorre da relao (1.49) que podemos construir um tringulo retngulo BCA , inscrito tal que 2C

= . Alm disto, decorre que A A = . Seja R o raio do crculo circunscrito, ento,

( ) ( ) ( )2 2 2aa Rsen A a Rsen A R

sen A= = =

.

A relao 1.50 segue aplicando a lei dos senos.


1) Seja R o raio do crculo circunscrito ao tringulo ABC e A a sua rea. Se a , b e c so as medidas dos lados do ABC , mostre que

4abcA

R=

(1.51)

2) No tringulo ABC , o lado BC tem comprimento igual ao raio do crculo circunscrito ao tringulo. Determine o ngulo BAC .

3) ABC retngulo em A . Determine a medida do ngulo for-mado pela altura e pela mediana, ambas relativas a hipotenusa, sabendo que 20C = .

Voc capaz de dizer por que esta afirmao

verdadeira?

No se esquea de usar desenhos, para facilitar

sua visualizao e a conseqente resoluo dos

exerccios!

60

4) Num tringulo issceles, a base e a altura correspondente tm o mesmo comprimento b. Calcule o raio do crculo circuns-crito a esse tringulo.

5) Na figura 1.36, os pontos A e C so pontos de interseo das circunferncias e AB e AD so dimetros das mesmas. Prove que B , C e D so pontos alinhados.

Figura 1.36

6) Calcule o raio do crculo circunscrito a um tringulo sabendo que um lado mede 2a m= e o ngulo oposto mede 15 .

7) Dado um tringulo ABC , existe um nico crculo circuns-crito a ele. Conclua que a recproca desta afirmao falsa. D exemplos.

8) Sejam R , r os raios dos crculos, circunscrito e inscrito a um tringulo ABC , e d a distncia entre os centros desses crculos. Mostre que

2 2 2d R Rr= .

9) Prove que se o quadriltero ABCD inscritvel ento a soma dos ngulos opostos igual a .

1.2.6 Identidades Trigonomtricas

As funes trigonomtricas satisfazem identidades que tornam mais eficientes suas aplicaes. A seguinte questo fundamental para desenvolvermos ainda mais o contedo de Trigonometria:

61

Questo. Seja = + e suponhamos que o seno e o cosseno dos ngu-los e so conhecidos. Estes dados determinam ( )cos e ( )sen ?

Soma de Arcos: ( )cos x y , ( )sen x y .

Nesta seo, resolveremos a questo 1 acima. A distncia entre os pontos ( ),p pP x y= e ( ),q qQ x y= dada pela expresso

( ) ( ) ( )2 2, p q p qd P Q x x y y= + (1.52)

Essa expresso para a frmula da distncia, resulta do Teorema de Pitgoras (figura 1.37).

Figura 1.37

A expresso 1.52 ser utilizada para obtermos a identidade

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen sen = + , (1.53)conhecida como a frmula do cosseno da diferena, fundamental para o desenvolvimento e para as aplicaes da trigonometria. Confor-me mostra a figura 1.37, sejam 1,P Q S e sejam e os ngulos associados a cada um dos pontos, respectivamente; isto ,

( ) ( )( )cos ,P sen = , ( ) ( )( )cos ,Q sen = .

Ao considerarmos o tringulo OPQ , segue que o comprimento do lado PQ igual a distncia d de P Q , isto ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 cos cosp q p qd x x y y sen sen = + = +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cos cosd sen sen = + (1.54)

62

Ao aplicarmos a Lei dos Cossenos (1.43) ao tringulo OPQ , obte-mos a relao

( )2 2 2cosd = . (1.55)

Portanto, igualando as expresses 1.54 e 1.55,( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen sen = +

Se existe uma expresso para determinarmos o cosseno da dife-rena de ngulos, devemos nos perguntar se tambm existe uma expresso para determinarmos o cosseno da soma de ngulos, as-sim como tambm para o seno da soma e da diferena, e para a tan-gente da soma e da diferena. Para respondermos esta indagao precisamos apenas saber que ( ) ( )cos cos = , ( ) ( )sen sen = e aplicarmos a identidade 1.53, como mostramos a seguir;

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sin + = (1.56)

Demonstrao.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos cos sen sen + = = + = = ( ) ( ) ( ) ( )cos cos sen sen .

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen sen sen = (1.57)

Demonstrao.

( ) ( ) ( )cos cos2 2sen = = + = ( ) ( ) ( ) ( )cos cos2 2sen sen = =( ) ( ) ( ) ( )cos cossen sen = .

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen sen sen + = + (1.58)

Demonstrao. (Exerccio)

63


1) Mostre que( ) ( ) ( )( ) ( )1

tg tgtg

tg tg

=+

, ( ) ( ) ( )( ) ( )1tg tg

tgtg tg

+

+ =

(1.59)

2) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de ( )105 105 60 45= + .

3) Se ( ) 35

sen = e ( ) 1213

sen = , calcule ( )cos + .

4) Mostre que( ) ( )2cos 2 2cos 1 = , ( ) ( ) ( )2 2 cossen sen =

5) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 15 .

6) Verifique a identidade1

22 4 1

2

xxtg x

+ + = .

7) Se ( ) 13

sen = , calcule ( )3sen e ( )cos 3 .

8) Calcule ( )4cos x em funo de ( )cos x .

9) Os lados de um tringulo ABC medem 4, 5a b= = e 6c = . Mostre que 2C A= .

10) Mostre que num tringulo no retngulo ABC vale a identidade

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tg tg tg tg tg tg + + = .

64

11) Mostre as frmulas da bisseco:( )1 coscos

2 2xx + =

, ( )1 cos

2 2xxsen

= ,

( )( )

1 cos2 1 cos

xxtgx

= + (1.60)

12) Num tringulo ABC qualquer, seja 2 p a b c= + + (p o semipermetro). Mostre que valem as identidades abaixo:

( )( )( )2

p b p ctg

p p a =

, ( )( )

( )2p a p c

tgp p b

= ,

( )( )

( )2p a p b

tgp p c

= (1.61)

(dica: a lei dos cossenos implica em ( ) ( )( )21 cos p b p cbc

= e

( ) ( )1 cos p p abc

+ = ; a seguir use a expresso 1.60

Frmulas para ( ) ( ) ( ) ( ), cos cossen x sen y x y .

As frmulas abaixo decorrem das expresses para o cosseno e para o seno da soma e da diferena de ngulos. Elas so teis quando precisamos calcular a soma ou a diferena dos valores do seno ou do cosseno, transformando-as em produto de funes trigonomtricas:

( ) ( ) 2 cos2 2

sen sen sen + + = , (1.62)

( ) ( ) 2cos2 2

sen sen sen + = , (1.63)

( ) ( )cos cos 2cos cos2 2

+ + = , (1.64)

( ) ( )cos cos 2 cos2 2

sen + = , (1.65)

65

Verificaremos a identidade 1.64, as outras so verificadas de ma-neira anloga. Ao somarmos as identidades abaixo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen sen + = e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen sen = +obtemos

( ) ( ) ( ) ( )cos cos 2cos cos + + = , (1.66)

Agora, ao considerarmos o sistema + = , = ,

segue que 2

+= e 2

= . Substituindo os valores de e

em 1.66, segue que

( ) ( )cos cos 2cos cos2 2

+ + = .

Lista de Exerccios 17 Escreva as expresses abaixo como produto de funes trigono-mtricas:

1) ( ) ( )cos cosx y+ .

2) ( ) ( )tg x tg y+ .

3) ( )1 2sen x+ .

4) ( ) ( ) ( )2 3sen x sen x sen x+ + . Estenda para ( )1

n

isen ix

= .

5) ( ) ( ) ( )cos cos 3 cos 7x x x+ + . Estenda para ( )1

cosn

iix

= .

6) Mostre que num tringulo ABC , com ngulos internos , , valem as seguintes identidades:

66

a)

( ) ( ) ( ) 4cos cos cos2 2 2

sen sen sen + + = .

b) ( ) ( ) ( )cos cos cos 1 42 2 2

sen sen sen + + = + .

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4sen sen sen sen sen sen + + = .

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cos + + = .

7) Estude o comportamento das seguintes funes:

a) ( ) ( ) ( )cos2

sen x xf x

+= .

b) ( ) ( ) ( )cos 2 22

x sen xf x

= .

1.2.7 Aplicao: Crculo Inscrito a um Tringulo

Vimos que num tringulo ABC h um crculo circunscrito. Ago-ra analisaremos a existncia de um crculo inscrito a ABC .

Definio 14. Dizemos que um crculo C est inscrito a um tringulo ABC quando os lados do tringulo so tangentes ao crculo.

Figura 1.38

Conforme ilustra a figura 1.38, se o crculo inscrito centrado em O tem raio r , ento a b cOP OP OP r= = = e aOP BC e bOP AC e cOP AB . Nosso objetivo determinarmos r , para isto, enun-ciaremos algumas proposies auxiliares:

67

Proposio 15. Os seguintes tringulos da figura 1.38 so con-gruentes:

1) bc AOPAOP 2) ac BOPBOP .3) ab COPCOP .

Demonstrao. Apresentaremos a demonstrao para o caso 1, os outros seguem analogamente. Para demonstrarmos que

bc AOPAOP suficiente observarmos que

a) b cOP OP r= = ,

b) os tringulos sendo retngulos implicam em

2 2 2 2( ) ( ) ( )b cAP OA r AP= = .

A congruncia decorre do caso LAL.

Corolrio 16. O centro do crculo inscrito coincide com o baricen-tro do tringulo.

Demonstrao. A congruncia entre os tringulos

bc AOPAOP implica que cb PAOOAP = e, por conseguinte,

o segmento AO est sobre a bissetriz do ngulo A . Analoga-mente, BO e CO esto sobre a bissetriz, de onde conclumos que O o ponto de interseo das 3 bissetrizes do tringulo.

Consideramos b cx P A AP= = , c ay P B BP= = e a bz P C CP= = ; ou seja, temos o sistema linear

x y c+ = ,x z b+ = ,y z a+ = .

cujas solues so

2b c ax p a+ = = ,

2a c by p b+ = = ,

2a b cz p c+ = = , (1.67)

onde 2 p a b c= + + . Para procedermos ao clculo do raio r , obser-vamos o seguinte (figura 1.39);

68

1) ( )2rOA

sen =

2) ( ) ( )2 2 2OA p a r= + .

Figura 1.39

Assim, ( ) ( )2r p a tg = . Portanto, ao aplicarmos a expresso 1.61, segue que

( )( )( )p a p b p crp

=

(1.68)

Teorema 17. Qualquer tringulo ABC admite um nico crculo cir-cunscrito com centro sobre o incentro e raio dado pela expresso 1.68.


1) Seja R o raio do crculo circunscrito e r o raio do crculo inscrito ao tringulo ABC . Mostre que

4abcRr

p= ,

onde 2 p a b c= + + ( p o semi-permetro).

1.2.8 Secante, Cossecante e Cotangente

Em algumas situaes, pertinente considerarmos os valores in-versos do cosseno, do seno e da tangente de um ngulo.

69

Definio 18. Seja .

A secante de 1)

( ) ( )1sec

cos

= .

2) A cossecante de

( ) ( )1cossec

sen

= .

3) A cotangente de

( ) ( )1cot g

tg

= .

Cada um destes valores tem uma interpretao geomtrica:

Tangente1)

a) 0, 2 (figura 1.40).

Sejam OP P o tringulo retngulo onde ( ) ( )( )cos ,P sen = , ( )( )cos ,0P = e ( )0 1,0P = . Consideramos 0OP Q o tringulo

retngulo semelhante OP P ( 0P Q paralelo P P ).

Figura 1.40

Decorre da semelhana que

( )0 P PP Q tgOP = =

.

b) [ ]2, (exerccio)

70

2) Cotangente

a) 0, 2 (figura 1.41).

Seja OPP o tringulo retngulo onde ( )( )0,P sen = e ( )1 0,1P = . Consideramos 1OQP o tringulo retngulo seme-

lhante OPP ( 1PQ paralelo P P ).

Figura 1.41

Decorre da semelhana que

( )( ) ( )1

2cos 2senP PPQ cotg

OP

= = =

.

b) [ ]2, (exerccio)

3) Secante

a) [ ]0, 2 (figura 1.42).

Seja OP P o tringulo retngulo onde ( ) ( )( )cos ,P sen = e ( )( )cos ,0P = . Consideramos OPQ o tringulo retngulo se-

melhante OP P construdo assim: seja t a reta tangente 1S passando por P e Q o ponto na interseo de t com o eixo-x.

71

Figura 1.42

Decorre da semelhana de tringulos que

( )secOQ OP OQOP OP

= =

.

b) [ ], 2 (exerccio)

4) Cossecante

a) [ ]0, 2 (figura 1.43).

Seja OP P o tringulo retngulo onde ( ) ( )( )cos ,P sen = e( )( )0,P sen = . Consideramos OPQ o tringulo retngulo se-

melhante OP P construdo assim: seja t a reta tangente 1S passando por P e Q o ponto na interseo de t com o eixo-x.

Figura 1.43

72

Decorre da semelhana de tringulos que

( )cossecOQ OP OQOP OP

= =

.

b) [ ]2, (exerccio)

As seguintes identidades decorrem da identidade fundamental:

( ) ( )2 2sec 1 tg = + (1.69)( ) ( )2 2cossec 1 cot g = + (1.70)


1) Prove as identidades 1.69 e 1.70.

1.2.9 Equaes Trigonomtricas

Para resolvermos equaes trigonomtricas muitas vezes temos que obter o valor de uma das funes trigonomtricas e, s en-to, calcular o valor de x. Vejamos alguns exemplos de equaes trigonomtricas:

Exemplo

1) Determine o valor de x sabendo que ( ) 1cos2

x = .

J sabemos que 1cos

3 2 =

e tambm que ( ) ( )cos cosx x = . Portanto, 3x = e 3x = so solues da equao. No en-tanto, como ( ) ( )cos 2 cosx x+ = , conclumos que a soluo da equao 3 2nx n = + , n

2) Determine o valor de [ ]2 ,5 2x sabendo que ( ) 12

sen x = (eq. Fundamental).

De maneira anloga ao item anterior, sabendo que 1

4 2sen =

e que ( ) ( )2 cossen x x + = , temos que a soluo geral 2 4 2nx n = + , onde uma soluo corresponde a um n-

gulo no 1 quadrante e o outro no 2 quadrante. No entanto,

73

devido a restrio [ ]2 ,5 2x temos que a soluo procu-rada encontra-se no 1 quadrante, de onde conclumos que 9 4x = .

3) Encontre x tal que ( ) ( )cos 3 cosx x= .Existem duas possibilidades

a) 3 2 2 2x x n x n x n = + = =

b) 3 2 4 22nx x n x n x = + = = .

4) Encontre x tal que ( ) ( )cos 3 cos 2 4x x = .Novamente, existem duas possibilidades

a) 3 2 2 24 4

x x n x n = + = +

b) 23 2 2

4 20 5nx x n x = + = +

.

5) Quais so os ngulos [ ]0,2 tais que o seu seno igual ao seno do seu dobro?

Chamemos de x os ngulos procurados, ento:

( ) ( )1

2

22 22 22 2

3 3

x kx x ksen x sen x kx x k x

= = + = = + = +

Agora, basta ver para que valores de k temos [ ]0,2x . De acordo com a tabela abaixo,

k 0 1 2 31x 0 2 4 6

2x 3 5

3 7

3

Tabela 1.8

Portanto o conjunto soluo 50, , , , 2

3 3

74

6) Encontre k tal que ( ) ( )22cos 1x sen x= .

( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 1 0sen x sen x sen x sen x = = .Resolvendo, temos ( ) 1sen x = ou ( ) 1 2sen x = . Estas ltimas so equaes fundamentais e admitem as seguintes solues, para cada k :

( ) 1 22k

sen x x k = = + ,

( ) 1 5 22 6k

sen x x k = = + .

7) Encontre x tal que ( ) ( )3 cos 1x sen x+ = .Ao substituirmos ( )cosu x= e ( )v sen x= , obtemos o par de equaes

3 1u v+ = (1.71)2 2 1u v+ = (1.72)

Ao substituirmos 1 3v u= na equao 1.72 temos

2

0,4 2 3 0 2 2 3 0 3 .

2

uu u u u

u

= = = =

Ento,

( ) ( )0 1 cos 0, 1 22k

u v x sen x x = = = = = + ,

( ) ( )3 1 3 1cos , 22 2 2 2 6k

u v x sen x x = = = = = +

Uma outra forma de resolver a equao seria proceder assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 13 cos 2 cos 2 3

2 2x sen x x sen x sen x

+ = + = +

Portanto, a equao equivalente a equao

21 3 6

53 2 23 6

x ksen x

x k

+ = + + = + = +

75


1) ( ) ( )4cos 3 5x sen x+ = .

2) ( ) ( ) ( )22 6cos cos 2 5sen x x x+ = .

3) ( ) ( )cos 1sen x x+ = .

4) ( ) ( ) ( )3 5 0sen x sen x sen x+ + = .

5) ( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos 5 7 0sen x x x sen x+ + = .

6) ( ) ( )4 4 3cos4

sen x x+ = .

7) ( ) ( )3 cos 3sen x x+ = .

Desafios

1) Mostre que ( )10sen satisfaz a equao 38 6 1 0x x + = .

2) Prove que ( )10sen irracional.

3) Mostre que se ( )cos 2 irracional, ento ( ) ( ) ( )cos , ,sen tg tambm sero irracionais.

1.2.10 Resoluo de Tringulos

Como dissemos anteriormente, resolver um tringulo significa determinar o comprimento de todos os lados, a medida dos n-gulos internos e a rea. Existem quatro casos de congruncia de tringulos (1) LAL, (2) LLL, (3) ALA. Portanto, para resolvermos um tringulo, um dos casos de congruncia deve ser atendido.

76

caso LAL1)

So conhecidos dois lados b , c e o ngulo formado por eles . Precisamos determinar os valores de , , ,a e A ;

Lei dos Cossenos ( )2 2 2 2 cosa b c bc = + ,

Lei dos Cossenos ( )2 2 2

cos2

a b cac

+ = ,

Lei dos Senos ( ) ( )sensena

= ,

( )2bcA sen = .

Como qualquer ngulo de um tringulo menor que 180 , as me-didas obtidas so nicas.

2) caso LLL

So conhecidos os lados a , b , c Precisamos determinar os valo-res de , , e A ;


cos2

a b cbc

+ + = ,


cos2

a b cac

+ = ,

( )180 = + ,

( )2bcA sen = .

3) caso ALA

So conhecidas a medida a do lado BC e as medidas e dos ngulos adjacentes a BC . Precisamos determinar os valores de b , c , e A :

( )180 = + ,

Lei dos Senos ( )( )

sinsin

b a

= ,

Lei dos Cossenos ( )2 2 2 2 cosc a b ab = + ,

( )2bcA sen = .

77


1) Discuta a unicidade do tringulo obtido para cada um dos casos de resoluo apresentados acima, uma vez que ao deter-minarmos o valor do seno sempre h duas possibilidades para o valor do ngulo.

2) Determine em cada um dos casos apresentados de resoluo, o raio dos crculos inscrito e circunscrito.

Aplicaes

Nesta seo, apresentaremos algumas questes clssicas em Topografia:

Questo 1: Sejam A um ponto acessvel e B um ponto inaces-svel. Determine a distncia de A a B (figura 1.44).

Figura 1.44

Na regio acessvel, marcamos um ponto C de tal forma que a distncia AC b= conhecida. Visando B de A e tambm de C , medimos os ngulos e . Pela lei dos senos,

( ) ( ) ( )a b c

sen sen sen = = , ( )= +

Portanto,( )

( )bsen

csen

=+

.

Topografia a cincia que estuda todos os acidentes geogrficos de-finindo a situao e a lo-calizao de uma rea em geral. Tem a importncia de definir as medidas de rea, locao, loteamen-to, variaes de nvel e cubagem de terra. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Topografia)

78

Questo 2: Sejam A e B dois pontos inacessveis e C um pon-to acessvel. Determine as distncias AC e BC (figura 1.45).

Figura 1.45

Na parte acessvel ao observador, marcamos os pontos C e D de maneira que os pontos A e B sejam visveis. Seja CD a= e ABCD o quadriltero obtido ao ligarmos os pontos. Visando os pontos A e B de C medimos os ngulos:

ACB = , BCD = , ADC = , ADB = .

Nos tringulos BCD e ACD conhecemos o lado AC a= e os ngulos adjacentes. Aplicando a lei dos senos:

( ) ( )BC CDBCD

sen sen =

+ + +

( )( )

senBC a

sen

+

= + +

,

( ) ( )AC CDACD

sen sen =

+ +

( )( )sen

AC asen

= + +

Questo 3: Suponha que uma estrada est sendo construda de A at D . Porm, ao chegar em B no possvel prolongar a es-trada, devido a uma montanha, como ilustra a figura 1.46. Deter-mine um mtodo para prolongarmos a estrada a partir de C at D de maneira que os segmentos AB e CD estejam sobre uma mesma reta.

79

Figura 1.46

Suponhamos o problema resolvido e seja CD o prolongamento de AB . De um ponto E , de onde possamos ver a regio alm do obstculo, avistamos as direes EB e EC . Medimos BE c= e os ngulos ABE = e BEC E= . O tringulo BCE fica deter-minado porque conhecemos um lado e os dois ngulos adjacen-tes. Podemos determinar EC e o ngulo DCE = :

( ) E E = + = + .

Aplicando a Lei dos Senos,

( ) ( )( )

( )sin

cEC EB EC

sen sen E sen E

= =

.

Para terminar, marcamos o ponto C usando o valor calculado de EC e estendemos uma linha aps marcarmos o ngulo a partir do segmento CE .

Questo 4: Determine a altura de uma montanha (figura 1.47).

Sobre o plano da base da montanha e de onde podemos ver o cume V , ns marcamos os pontos A e B . Sejam m AB= , e os ngulos de AB com as direes AV e BV , respectiva-mente, e o ngulo de AV com a horizontal AC .

No tringulo ABV , temos ( )AVB = = + e

( ) ( )( )

( )m senAB AV AV

sen sen sen

= =+

80

Agora, construmos o tringulo retngulo ACV , reto em C e com hipotenusa AV . Portanto,

( ) ( ) ( )( )m sen sen

VC AVsensen

= =+

.

Figura 1.47

Questo 5: Considere que os pontos ,A B e C so coplanares (figura 1.48). Determine a posio de um ponto D , no mesmo plano, de tal forma que os segmentos BC e CA sejam vistos sob ngulos e , respectivamente (figura 1.48).

Figura 1.48

Pontos so coplanares quando esto em um mesmo plano. (Fonte: http://www.salonhogar.com/matemat/geome-tria/s/s.coplanar.points.html).

81

Os dados do problema so: a medida C do ngulo ACB , os comprimentos a BC= e b AC= , e as medidas e , dos ngulos BDC e CDA , respectivamente. Denotamos por x e y as medidas dos ngulos CBD e DAC , respectivamente. Temos ento que

( )2x y C + = + + (1.72)Precisamos determinar o valor de x y para respondermos a questo. Nos tringulos BCD e ACD temos

( ) ( )CD a

sen x sen = , ( ) ( )

CD bsen y sen

= ;

e, por conseguinte,( )( )

( )( )

sen x b sensen y a sen

=

.

Chegamos ento ao sistema

2 2x y C + + += , (1.74)

( )( )

( )( )

sen x b sensen y a sen

=

(1.75)

Da equao 1.75 temos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

sen x sen y b sen a sensen x sen y b sen a sen

+ + =

,

ou equivalentemente (ver equaes 1.62 e 1.63),

( ) ( )( ) ( )

2

2

x ytg b sen a senx y b sen a sentg

+ + =

, (1.76)

Ao multiplicarmos e dividirmos pelo termo ( )a sen e tambm

introduzirmos como soluo de ( ) ( )( )b sen

tga sen

=

, a expres-

so 1.76 torna-se

82

( )( )

( )( )

1 121 2 1 2

2

x ytg tg tgx y x ytg tgx y tg tgtg

+ + + = = +

(1.77)

Substituindo

2 2x y C + + += na expresso acima, segue

que( )( )

12 1 2 4 2

tgx y C Ctg tg tg tgtg

+ + + + = = +

Desta forma, determinamos o valor de 2

x ytg . Como

0 , 2x y < < , ento tambm obtemos o valor de 2

x y = .

Resolvendo o sistema

2 2

2

x y C

x y

+ + +=

=

conclumos que

2Cx + += + ,

2Cy + += .

Observao final: necessrio analisarmos a expresso (1.78) porque, tratando-se de um produto, um deles pode anular-se; neste caso, o outro dever ser finito para evitarmos uma indeter-

minao. O nico fator que poderia ser infinito

2Ctg

+ +

,

da onde teramos

2 2C + + = , ou seja, C + + = . Se isto

acontecer, o quadriltero ACBD

livro de geometria-ii

Documents