livro geometria i - unisulvirtual

Untitled-2 1 09/10/07 09:59

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoça

UnisulVirtual

2007

Geometria I

Disciplina na modalidade a distância

3ª edição revista e atualizada

geometria_I.indb 1geometria_I.indb 1 11/12/2007 16:40:0111/12/2007 16:40:01

515.15S58 Silva, Kelen Regina Salles Geometria I : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, Christian Wagner ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, [Carolina Hoeller da Silva Boeing]. – 3. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 227 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografi a. ISBN 978-85-7817-037-0

1. Cálculo. 2. Geometria. I. Wagner, Christian. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Título.

Edição – Livro Didático

Professor ConteudistaKelen Regina Salles Silva

Christian Wagner

Design InstrucionalKarla Leonora Dahse Nunes

Projeto Gráfi co e CapaEquipe UnisulVirtual

DiagramaçãoDuarte Miguel Machado Neto

Fernando Roberto Dias Zimmermann

IlustraçõesEdison Valim

Revisão Ortográfi caAmaline Issa Mussi

Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Copyright © UnisulVirtual 2007

Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.


Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 – Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

UNIDADE 2 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

UNIDADE 3 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

UNIDADE 4 – Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 201

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Sumário


UNIDADE 1

Representação Axiomática da Geometria Plana

Objetivos de aprendizagem

Conhecer alguns períodos da história da geometria.

Identifi car os principais axiomas da geometria.

Resolver problemas envolvendo segmentos e ângulos.

Seções de estudo

Seção 1 Aspectos históricos e noção intuitiva

Seção 2 Axiomas de Incidência e Ordem

Seção 3 Axiomas sobre medição de segmentos

Seção 4 Axiomas sobre medição de ângulos

1


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Para início de conversa

Nesta unidade, você terá contato com um pouco da história da geometria, sua evolução no tempo e a contribuição de alguns povos na sua contextualização. Verá também que a geometria, para ser construída, requer uma base sólida que se fundamenta em algumas noções intuitivas e também numa série de propriedades tidas como válidas, sem demonstração, os chamados axiomas ou postulados. Ao fi nal da unidade, pense e refl ita como a geometria é importante no seu caminho e no seu dia-a-dia.

Procure analisar e discutir bastante as atividades propostas nesta unidade, para que todas as suas dúvidas sejam esclarecidas. Lembre-se, o sucesso no campo da matemática requer esforço.

Nesta imensa aventura, que é o estudo da geometria, você vai encontrar-se com vários personagens importantes da história da matemática. Neste primeiro capítulo, você conhecerá Euclides e um jovem que, como você, também está estudando geometria. Seu nome é George. Toda vez que um assunto importante requerer um pouco mais de cuidado, Euclides encontrará George em um sonho e o ajudará no aprendizado. George gosta de ler, estudar e, claro, de estar com a família. Ele não dispensa uma balada com os amigos.

E então? Vamos conhecê-los e iniciar o estudo desta importante área da matemática?

Acompanhe, a seguir, o diálogo entre Euclides e George.


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Geometria I

Unidade 1

SEÇÃO 2 – Axiomas de Incidência e Ordem

E George adormece outra vez.

George: Euclides, você está aí?

Euclides: Oi meu jovem! E então, tudo entendido?

George: Até aqui, tudo ótimo! É fascinante saber que idéias tão simples, ou seja, o ponto, a reta e o plano são tão fundamentais para o desenrolar dessa fascinante disciplina, a geometria.

Euclides: E estas idéias são apenas o começo.

George: Estou começando a entender. Estas idéias intuitivas devem estar todas relacionadas, não é? É aí que você entra?

Euclides: Exatamente.

George: São os axiomas, não são?

Euclides: Correto, novamente. Apenas considerei algumas idéias verdadeiras e, a partir daí, foi possível provar outras mais complexas.

George: A geometria começa a se organizar.

Euclides: E o mais interessante, são idéias simples e de fácil entendimento.

George: Euclides, não leve a mal, mas preciso acordar, este nosso papo me deixou empolgado para conhecer os tais axiomas. Um abraço, e qualquer coisa eu o chamo de novo.

Euclides: Até breve, meu jovem. E sucesso!

Você deve estar se perguntando qual a importância destes axiomas para a geometria?


31

Geometria I

Unidade 1

E George cai em sono profundo:

Euclides: Você por aqui, meu jovem?

George: Problemas, Euclides, problemas. Preciso demonstrar um resultado, usando apenas os axiomas, você pode me ajudar?

Euclides: Claro meu rapaz. Vamos mostrar isto por absurdo.

George: Como fazemos isso?

Euclides: Qual a hipótese do seu resultado?

George: Hipótese? O que é isso?

Euclides: É o que é dado no teorema como verdadeiro.

George: Ah bom! O teorema dá como hipótese que as retas são distintas.

Euclides: E a tese?

George: Tese? Também não sei o que signifi ca.

Euclides: Tese é o que você quer demonstrar.

George: Só isso? A tese do problema é que devemos mostrar que as retas não se interceptam, ou se interceptam em um ponto.

Euclides: Este teorema pode ser demonstrado por absurdo. Nesse caso devemos negar a tese, ou seja, suponha que elas se interceptam em dois pontos e chega-se a uma contradição da hipótese.

George: Humm... Boa idéia. Vamos ver.

Euclides: Mas lembre-se de que nem todos os teoremas e proposições são demonstrados desta forma.

George: Ok! Vou lembrar disso.


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Geometria I

Unidade 1

Solução:

Os segmentos a. e são consecutivos, assim como os segmentos e , pois ambos têm a extremidade do ponto B em comum.

Os segmentos b. , e são colineares, pois pertencem à mesma reta.

Os segmentos adjacentes são c. e .

As semi-retas com origem no ponto A são denotadas por e . As Semi-retas com origem no ponto B são denotadas por

e . E fi nalmente, as Semi-retas com origem no ponto C são e .

Agora você já pode começar a fazer algumas das atividades de auto-avaliação que estão no fi nal da unidade, tente do 1o ao 9o.

SEÇÃO 3 – Axiomas sobre medição de segmentos

Euclides: Olá George, como vão os estudos?

George: Beleza, mas o que manda?

Euclides: Tenho uma pergunta a lhe fazer. Você sabe “Como” e “Quando” foi criada a unidade metro?

George: Não. Poxa, na verdade eu nunca pensei nisso.


41

Geometria I

Unidade 1

Num outro sono de George, Euclides aparece:

George: Amigo, preciso de você.

Euclides: Estou aqui para ajudar, o que houve?

George: Vou começar a estudar um assunto da geometria que é o ponto médio, fi quei assustado.

Euclides: Por que?

George: Percebi que a demonstração é grande e deve ser confusa.

Euclides: Caro George, percebo que você nem leu a demonstração e já acha que não conseguirá.

George: Verdade, só porque é extensa, já entrei em pânico.

Euclides: Extensa é, mas é apenas um conjunto de idéias que são deduzidas a partir de outras mais simples.

George: Verdade, os axiomas mais uma vez.

Euclides: Isso mesmo. Então fi que mais tranqüilo, e não se desespere antes da hora.

George: Obrigado!

Dado um segmento de reta , se conseguirmos um ponto C deste segmento tal que, AC = CB, dizemos que C é o ponto médio do segmento .

Figura 1.15 – Representação de C como Ponto Médio do segmento .


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O axioma VI nos garante que a dist ância é sempre positiva, já que a medida do segmento é dada pelo módulo da diferença das coordenadas.

b) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se:

O axioma VI também nos garante ist o, pois:

SEÇÃO 4 – Axiomas sobre medição de ângulos

George está no sono dos Deuses, depois de mais um dia de estudos, e encontra, mais uma vez, Euclides.

George: Euclides, que prazer em vê-lo de novo!

Euclides: O prazer é todo meu. Venho acompanhando o seu desempenho no estudo da geometria e confesso que estou gostando muito.

George: Ah, obrigado! Mas realmente o assunto é bem empolgante.

Euclides: E, então, qual o próximo passo?

George: Já sei medir segmentos e encontrar a coordenada do ponto médio. Preciso de algo mais?

Euclides: Com certeza. Você, que é bem moderno, já deve ter ouvido falar de GPS, de latitude, longitude.


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Exemplo: São dados dois ângulos agudos adjacentes, cujas bissetrizes formam um ângulo de 60o. Sabendo que a medida de um deles é 42o, determine a medida do outro.

Solução: Sejam 2x e 2y as medidas dos dois ângulos assim pela fi gura:

Como

Logo, os ângulos medem 42o e 78o.

George: Euclides, tudo bem com você?

Euclides: Com certeza, meu rapaz. E então, o que achou de todo o estudo?

George: Fascinante. Idéias simples, usadas para demonstrar resultados importantes e, o mais legal, demonstrações não tão difíceis de entender.

Euclides: Que bom que você gostou, fi co feliz em ter podido ajudá-lo nesse maravilhoso mundo da geometria. Mas lembre-se, isto é apenas o começo. Apenas o iniciei nos estudos.

George: Eu sei, Euclides, tenho muito que aprender ainda, esta é apenas a ponta do iceberg.

Euclides: Acredito que a partir de agora nos encontraremos com menos freqüência, pois você já consegue andar com suas próprias pernas. Mas, como dizem vocês jovens modernos, foi maneiro te ajudar. Um grande abraço!


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Euclides: Olá, meu rapaz, estou orgulhoso de você.

George: Que bom Euclides, fi co feliz por você reconhecer o meu esforço.

Euclides: Não é somente reconhecimento, é merecimento.

George: É, acho que me saí bem na Unidade 1. Sabe que entendi muitas coisas sobre as quais tinha dúvidas? Que bom ter tido você me acompanhando.

Euclides: Ótimo, como você se mostrou curioso e com vontade de aprender, vou apresentá-lo a um novo amigo.

George: Um novo amigo? Mas quem?

Euclides: Para falar de triângulos, só poderia ser Pitágoras.

George: Arrasou, hein, cara!

Euclides: É, realmente Pitágoras é um dos nomes mais conhecidos, não apenas na geometria, mas na matemática. Ele nasceu em Samos – Grécia, pelos anos 582 a.C., viajou bastante e, ao ir para a Itália, fundou a Escola de Crotona. Também conhecida como escola dos Pitagóricos, ensinava fi losofi a, matemática, música e astronomia. Veja o princípio que a regia: ‘A essência de todas as coisas é o número’.

George: E o tão famoso Teorema de Pitágoras?


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Obtusângulo : o triângulo obtusângulo tem um ângulo obtuso.

Assim, no triângulo JKH da fi gura 2.9, a medida do ângulo ˆJHK é maior que 90o.

Exemplo: Um triângulo isósceles pode ser classifi cado segundo seus ângulos, veja os exemplos a seguir.

SEÇÃO 2 – Teorema de Pitágoras

Pitágoras: Olá, George, tenho ouvido falar em você.

George: Olá, você deve ser o grande Pitágoras.

Pitágoras: Isso mesmo, meu caro, mas por que grande?


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Geometria I

Unidade 2

hipotenusa, um dos catetos é a altura do muro e o outro é a distância que estamos procurando, assim:

62 = 5 2 + d2

36 = 25 + d2

36 - 25 = d 2

d2 = 11 então 11 3,3d = ≅

Pense em algum problema do seu dia-a-dia que pode ser resolvido, utilizando o teorema de Pitágoras.

SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas do triângulo retângulo

George: Pitágoras, me ajude, por favor.

Pitágoras: Pois não rapaz, diga qual seu problema.

George: Eu tenho uma dúvida: a gente no colégio estuda Trigonometria, e quase ninguém gosta. Minha curiosidade é saber o que afi nal é Trigonometria e onde ela é utilizada.

Pitágoras: Meu caro, acredito que algumas pessoas não gostem de Trigonometria, por não conhecer bem esse assunto. Vou falar um pouco sobre o desenvolvimento da Trigonometria.


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2) Ângulos de 60o e 30o

Se o triângulo ABC é eqüilátero, como na fi gura 2.15, o segmento AD divide o lado ao meio, obtendo, assim, um triângulo retângulo com hipotenusa 1, e cateto ½. Logo, pelo teorema de Pitágoras, o outro cateto é 3 / 2 .

Utilizando o mesmo triângulo ABD, mostre que

sen 60o = cos 30o , sen 30o = cos 60o .

SEÇÃO 4 - Congruência de triângulos

Pitágoras: Olá, George, você precisa de ajuda?

George: Bem, na verdade estou meio curioso para entender essa história de congruência de triângulos. É muito complexo o assunto?


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Ortocentro de um Triângulo (H): Dado um triângulo ABC, chamamos de ortocentro ao ponto de intersecção das três alturas do triângulo.

Construa um triângulo. Trace as retas-suporte de suas três alturas. A seguir, construa um segundo triângulo de tal forma que seus lados sejam paralelos aos lados do primeiro e passem pelos três vértices. Movimente os vértices do primeiro triângulo e descubra qual a relação entre a reta-suporte das alturas com o triângulo maior?Se você descobriu a relação, o que você pode concluir sobre as alturas? Ver atividade de auto-avaliação 24.

Pitágoras: E aí, George, gostou dessa seção?

George: Muito, aprendi bastante sobre os triângulos, não imaginava a grande utilidade deles. Como vocês conseguiram provar tantas coisas?

Pitágoras: Estudando, pensando e, claro, acreditando.

George: Como acreditando?

Pitágoras: Ora, meu caro, temos que acreditar em nós mesmos e naquilo que achamos importante para nossas vidas.

George: Isso é verdade, acredito que você tem razão. Uma coisa, poderia então me ajudar nos exercícios?

Pitágoras: Não, rapaz, preste atenção, vou te dizer mais um lema no qual acredito:” Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues”, ou seja os exercícios são seus.

George: Falou!


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Figura 3.1 – A semelhança de triângulos utilizada por Talespara calcular a altura das pirâmides.

Euclides aparece em mais um sonho de George:

Euclides: E aí, meu rapaz, como vão as coisas?

George: Melhor do que eu imaginava. Confesso que estava com medo dessa disciplina e vejo que ela é muito rica e apaixonante. Mas o que traz você de volta, não me diga que é você quem vai me acompanhar nesta unidade?

Euclides: Eu até poderia, mas acho mais conveniente apresentá-lo a um novo amigo.

George: Já estou curioso, gostei muito do Pitágoras, quem virá agora?

Euclides: Tales, acho que você já ouviu falar dele, não?

George: Tales de Mileto? Do teorema de Tales?

Euclides: Esse mesmo, e vou até lhe contar um segredo: quando eu era jovem como você, eu também me perguntava sobre a geometria, e o Tales vinha conversar comigo.


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SEÇÃO 1 – Axioma das Paralelas

Tales: Olá, George, você precisa de ajuda?

George: Tales? Que bom conhecê-lo! Quanto à ajuda, é sempre bem-vinda.

Tales: Bem, vou mostrar-lhe um axioma muito importante, que gerou muita discussão na época de sua apresentação.

George: Já sei do que se trata.

Tales: Já?

George: Deve ser o tal Axioma das Paralelas.

Tales: Exato. Mas como você sabe?

George: Eu já tinha me adiantado um pouco, só não me aprofundei.

Tales: Então chegou a hora.

George: Pelo jeito é bem importante, mesmo.

Tales: Historicamente, sim. Ele foi visualizado pelo nosso amigo Euclides e, muitos depois dele, acharam que podiam demonstrá-lo. Não conseguiram, e, a partir daí, surgiram outras geometrias.

George: Outras Geometrias, que estória é essa?

Tales: Vou contar um pouco de história. Como você já deve saber, Euclides foi o primeiro matemático que apresentou a geometria de forma sistemática, ao escrever a obra “Os Elementos”. Euclides escolheu 5 postulados (afi rmações) que, por sua simplicidade, seriam aceitos. Porém o quinto postulado, que dá origem ao axioma das paralelas, não foi tão bem aceito por outros estudiosos. Ao longo de séculos, muitos matemáticos tentaram demonstrar o axioma das paralelas, o que o transformaria em um teorema. Proclus Diadochus, matemático crítico, que nasceu em 411, não aceitava o tal postulado e tentou prová-lo de diversas formas, porém,


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Exemplo: Determine o valor de x no triângulo abaixo:Solução:Como a soma dos ângulos internos do triânguloé 180o , então:x + 60o + 70o = 180o x + 130o = 180o x = 180o – 130o x = 50o

Mostre que, num triângulo eqüilátero, cada ângulo interno mede 60o. Ver atividade de auto avaliação 5.

SEÇÃO 2: Teorema de Tales

George: Tales, você está aí? Ando curioso.

Tales: Isso é bom, a curiosidade é fundamental para o aprendizado.

George: Então me fale um pouco sobre esse teorema tão importante, o Teorema de Tales.

Tales: Ah, essa conclusão é super simples. Como já dito antes, a beleza da geometria está em sua construção. Por isso, a grande importância desse teorema é que, a partir dele, foi possível deduzir outros teoremas.

George: Estou ansioso.

Tales: Então, vamos lá!


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Das relações métricas no triângulo retângulo tiramos:

2 .b a n= e 2c am= . Somando essas duas relações, temos:

2 2 ( )b c an am a n m+ = + = + . Como a = m+ n, temos

2 2 2.b c a a a+ = = , logo

2 2 2a b c= + , ou seja, 2 2 2

BC AB AC= +

Cálculo da altura de pirâmides

George: Tales, estou curioso, você já pode mostrar como calculou a altura de pirâmides?

Tales: Claro, George: para fazer essa demonstração, eu só precisava que você entendesse a idéia de semelhança de triângulos. Vou lhe contar, passo a passo, o meu raciocínio:

Primeiro, eu enterrei uma estaca de altura conhecida m ao lado de uma pirâmide, com o objetivo de observar a projeção e suas sombras.

Assim, consegui observar dois triângulos retângulos:

O primeiro ∆ABC, formado pelo topo da Pirâmide A, a extremidade da sombra C e o centro da base B. A altura da pirâmide x é um dos catetos desse triângulo.

O outro cateto pôde ser obtido pela soma do comprimento da sombra com a metade do lado ( )

2ab = . da base da

pirâmide (b + c).


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Euclides apresenta um novo amigo a George.

Arquimedes

Euclides: George, que saudades, meu rapaz.

George: Nossa, que surpresa vê-lo aqui nos meus sonhos novamente.

Euclides: Pois é, quero lhe apresentar um novo amigo.

George: Mais um para me ajudar?

Euclides: Com certeza. Você vai estudar área, não vai?

George: Isso mesmo, e quero começar entendendo tudo.

Euclides: Então você conhecerá Arquimedes.

George: Arquimedes? Mas por que ele?

Euclides: Por que ele foi um dos primeiros estudiosos a calcular a área do círculo e uma aproximação do número pi. Na verdade, Arquimedes de Siracusa nasceu por volta de 287 a.C. e morreu em 212 a.C., assassinado por um soldado romano. Ele também fi cou famoso por ter aperfeiçoado métodos de integração que permitem calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.


152


Exemplos:

Figura 4.12 – Polígonos regulares

Na próxima seção, vamos estudar como calcular a área das fi guras descritas acima. Nosso amigo Arquimedes já nos deu uma dica, mas George percebeu que ela não é tão simples assim. Necessitamos de algo mais prático para o cálculo de área.

SEÇÃO 2 – Áreas de Figuras Planas

Em sono profundo, George encontra-se com Arquimedes:

Arquimedes: Olá, George, tudo bem?

George: Arquimedes, já ouvi falar de você, prazer em conhecê-lo.

Arquimedes: Igualmente, e mais prazeroso ainda será ajudá-lo.

George: Você é craque em áreas, é? Eu queria entender direitinho o que signifi ca área.

Arquimedes: Posso lhe dar uma explicação bem informal no momento, que o ajudará bastante.


164


Agora 16 52

5D d= = e então

16 5 8 5 128128 645 5 5 ²

2 2 10 5A cm

⋅= = = =

Depois de um dia longo de trabalho, nosso amigo George descansa.

Arquimedes: George, meu caro, tudo bem com você?

George: Arquimedes, já estava com saudades.

Arquimedes: Pois é, nosso encontro demorou, não?

George: Bom, eu estava muito empolgado com o assunto, e nem pensei em descansar.

Arquimedes: Que bom, fi co feliz em ouvir isso. Preparado para um próximo passo?

George: Com certeza. O que temos pela frente?

Arquimedes: Polígonos regulares.

George: Regulares ???

Arquimedes: Isso mesmo, alguma idéia?

George: Regular, sei que são polígonos com lados iguais?


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Figura 4.18: Demonstração do teorema de Pitágoras utilizando o quadrado chinês.

Tente encontrar outra demonstração para o Teorema de Pitágoras. Você verá que existem várias, interessantes.

SEÇÃO 3 – Círculo e Circunferência

Nosso colega George dorme profundamente, depois de um dia cheio de novos conhecimentos, e vai atrás de Arquimedes novamente.

George: Arquimedes? Você está aí?


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Geometria I

Unidade 4

E George tem uma última conversa:

Euclides, Tales, Pitágoras e Arquimedes: Olá, grande jovem!

George: Euclides? Tales? Pitágoras? Arquimedes? Eu não acredito, todos os meus mestres juntos?

Euclides: Isto mesmo. Viemos nos despedir.

Tales: Afi nal, você merece todo o nosso apoio.

George: Mesmo, é?

Pitágoras: Você se mostrou um excelente aluno, mostrou muita garra e por isso chegou até aqui.

George: Confesso que, com a ajuda de vocês, a geometria fi cou muito mais fácil. Afi nal, estava com os especialistas de cada área, foi muito gostoso aprender com vocês.

Arquimedes: Não apenas conosco, não esqueça dos seus mestres verdadeiros, que o levaram a começar a gostar da geometria.

George: Destes não esquecerei, pois foram os primeiros a me incentivarem a chegar aqui.

Euclides: Nós apenas demos um empurrãozinho a mais.

Tales: Todos nós esperamos que, a partir de agora, você busque novos conhecimentos em geometria.

George: Com certeza, eu sei que posso aprender muito mais, com a base que eu tenho agora.

Pitágoras: A geometria é muito vasta e, daqui para frente, as coisas se tornarão mais fáceis.

Arquimedes: Todos nós estaremos olhando e torcendo por você.


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