livro de exercÍcios volume 2 · 6 exercícios globais de 2.ª oportunidade 1. exercícios globais...

Obra em 2 volumes (Não é permitida a venda em separado)

ISBN 978-989-97839-1-1

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ISBN 978-989-97839-1-1

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

NIU

aleph 12 – Livro de Exercícios – Volume 2

Manual de Matemática para o 12º anoMatemática A

NIUaleph 12

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro Machado

2012

LIVRO DE EXERCÍCIOS

VOLUME 2Edição dE autor

TítuloNiuAleph 12 - Livro de Exercícios para o 12.º ano de Matemática A

AutoresJaime Carvalho e Silva (Editor)Joaquim PintoVladimiro Machado

Capa e DesignElisa Silva

Conceção TécnicaVítor TeodoroJoão Fernandes

ColaboraçãoAntónio Marques do Amaral, Raul Gonçalves e Sofia Marques

Imagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html

Parte dos gráficos deste volume foram criados com o software livre Geogebra 4, disponível em http://www.geogebra.org

ISBN978-989-97839-1-1

Edição1.ª edição/versão 1

Data2012

© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é

permitida a impressão deste ficheiro.

Índice geral

Volume 1

(Capítulos 1 a 8)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Volume 2

(Capítulos 9 a 17)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Índice

Exercícios globais de 2.ª oportunidade 6

Capítulo 9 - Limites de funções 9

Capítulo 10 - Cálculo diferencial 12

Capítulo 11 - Aplicações do cálculo diferencial 15

Capítulo 13 - Funções trigonométricas 20

Capítulo 15 – A Álgebra dos números complexos 24

Capítulo 16 - A Geometria dos números complexos 26

Recomendações do GAVE 31

Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real 33

Tarefas resolvidas 33

Tarefas propostas 37

Capítulo 2 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais 43



Capítulo 3 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conj. dos números complexos 48



Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos 53



Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas 56



Testes de tempo limitado 60

Teste 7 – Funções – Escolha múltipla 60

Teste 8 – Funções – Resposta aberta 62

Teste 9 – Funções – Resposta aberta 63

Teste 10 – Funções – Escolha múltipla e resposta aberta 66

Teste 11 – Global - Escolha múltipla 70

Teste 12 – Global - Escolha múltipla 72

Teste 13 – Global - Resposta aberta 74

Teste 14 – Global - Resposta aberta 75

Teste 15 – Global 78

Soluções 81

Síntese 105

6 Exercícios globais de 2.ª oportunidade

1. Exercícios globais de 2.ª oportunidade

C9

Capítulo 9 – limites de funções

Pratica ↑

1. Verifica que tende para por valores inferiores a .

2. Dá exemplo de uma sucessão tal que

2.1 2.2

2.3

3. Observa os gráficos das funções e, em cada caso, indica justificando se existe limite no ponto .

3.1

3.2

3.3

4. Calcula:

7Exercícios globais de 2.ª oportunidade

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

5. Considera as funções: ; .

5.1 Recorre à tua calculadora para estudares a existência de .

5.2 Observa o gráfico da função e indica e .

5.3 Calcula, analiticamente, e .

6. Considera as funções de variável real definidas por f (x) = 23x − 9

e g(x) = 4 − 3 lnx .

6.1 Determina o domínio de f e de g.

6.2 Averigua se os gráficos de f e g têm assíntotas verticais.

7. Relativamente às funções definidas no exercício anterior, averigua a existência de assíntotas horizontais dos seus gráficos.

8. Seja g uma função definida em + que admite uma assíntota horizontal y = 3 . Qual o limi-te da sucessão (u

n) definida por u

n= g(n) com n ∈ ?

9. A figura seguinte é a representação gráfica de uma função real de variável real f.


9.1 Calcula:

9.1.1 limx→−2−

f (x) 9.1.2 limx→−2+

f (x)

9.2 Justifica que f é contínua à direita no ponto x = −2 .

10. Considera a função f (x) = −x − 7 se x ≤ −8(x + 9)2 se x > −8

⎧⎨⎪

⎩⎪ uma função real de variável real.

10.1 Prova que f é contínua à direita em x = −8 .

10.2 Prova que f é contínua à esquerda em x = −8 .

10.3 O que podes afirmar acerca da continuidade de f no ponto x = −8 ? Porquê?

11. Lançou-se uma bola, verticalmente de baixo para cima.

A altura h (em metros) a que a bola se encontra do solo é função do tempo t (em segundos) decorrido desde o lançamento e é dada pela expressão h(t) = −3x2 + 8x .

11.1 Passado 1 segundo do lançamento da bola a que altura se encontra esta do solo? E passados 2,5 segundos?

11.2 Prova, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que existe um instante c ∈]1.5,1.8[ ao fim do qual a bola se encontra a 5 metros do solo.

Pensa e Resolve ↑ ↑

12. Considera a função f definida graficamente no referencial da seguinte figura:


Relativamente às seguintes proposições indica o seu valor lógico (verdadeiro ou falso):

12.1 h(2 − 3n

) > 0, ∀n ∈

12.2 h(2 + 7n

) < −1, ∀n ∈

12.3 h(3 − 1n2

) = −1, ∀n ∈

13. Considera a função g representada graficamente e cujo gráfico tem as retas de equações x = −1 , x = 2 e y = 1 como assíntotas.

Considera as sucessões (un), (v

n), (w

n) e (s

n) de termos gerais:

un= n2 + 2 , v

n= −1 + 1

n, w

n= 2 + (−1)n

n, s

n= 1

2− n


Estuda quanto à convergência as sucessões de termos gerais:

13.1 f (un)

13.2 f (vn)

13.3 f (wn)

13.4 f (sn)

14. Prova, usando a definição de limite segundo Heine, que não existe limx→0

g(x) quando

g(x) =x se x ≥ 01x

se x < 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

15. Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que:

15.1 limx→0+

10x

= +∞ 15.2 limx→0−

10x

= −∞

16. Considera a função definida por f : \ 3{ }→ x 1 − 6

x − 3

Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que:

16.1 limx→0

f (x) = 3

16.2 limx→+∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = 1

16.3 limx→3−

f (x) = +∞

16.4 limx→3+

f (x) = −∞

16.5 não existe limx→3

f (x)

17. Calcula, se existir:

17.1 limx→7+

x − 7x2 − 49

17.2 limx→1

x − 1x2 − 1

17.3 limx→1+

3 x − 6x2 − 1

18. Calcula, se existir:

18.1 limx→+∞

x 4 + 2x + 33x 4 + 4x2

18.2 limx→−∞

3x2 + 42x 3 − 6


18.3 limx→−∞

4x − 5x2 + 6x 6

2 − 3x 5 + x218.4 lim

x→−∞

x − 2x2

3x2 − 2x

19. Investiga as assíntotas dos gráficos das funções definidas por:

19.1 m(x) = 2 + 1x 3

19.2 r(x) = (x − 3)2

2x

19.3 h(x) = −x + 2 + 4x9 − x2

19.4 g(x) = x + 1 − xx + 2

19.5 f (x) = 2x2 − 3x + 11x − 2

20. Procura as assíntotas do gráfico da função g(x) = 3x − 2 + lnx .

Reflete ↑ ↑ ↑

21. Considera a função f definida graficamente por

Seja (vn) uma sucessão tal que v

n= a − 1

n, a ∈ .

Qual o valor de a que faz com que:

21.1 lim f (vn) = −∞ 21.2 lim f (v

n) = +∞

22. Encontra exemplos de funções f e g que tenham o zero comum –2 e ainda:

22.1 limx→−2

f (x)g(x)

= 5 22.2 limx→−2−

f (x)g(x)

= +∞


22.3 limx→−2

f (x)g(x)

= −∞ 22.4 limx→−2

f (x)g(x)

= +∞

23. Considera a função definida por g(x) = 9 − x2 .

Encontra uma função f tal que:

23.1 limx→3

g(x)f (x)

= 1

23.2 limx→3+

g(x)f (x)

= −∞

23.3 limx→3−

g(x)f (x)

= +∞

24. Será possível existirem duas funções descontínuas no ponto 2 cuja soma seja contínua em 2?

C10

Capítulo 10 – CálCulo diferenCial

Pratica ↑

1. Determina a derivada de cada uma das seguintes funções, aplicando as regras de derivação.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14


1.15

2. Calcula a função derivada de cada uma das seguintes funções:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3. Determina a expressão que define a derivada de cada uma das seguintes funções:

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16


3.17

3.18

3.19

3.20


4. Considera a função f definida por .

Verifica, recorrendo à definição, que .

5. Determina através da definição, a função derivada de cada uma das seguintes funções:

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5 , no ponto

5.6

5.7

6. Seja f uma função, polinomial, tal que .

Calcula, usando a definição, e determina o seu domínio.

Determina:

6.1

6.2

6.3

Reflete ↑ ↑ ↑

7. Mostra que a função m(x)=|x −1| não é derivável em .

8. Determina, usando a definição, a derivada da função . Qual o domínio de ?


C11

Capítulo 11 – apliCações do CálCulo diferenCial

Pratica ↑

1. Considera a função f, de domínio tal que a sua derivada é dada por f '(x) = 4 − x2

ex, tam-

bém de domínio .

Estuda f quanto à monotonia e existência de extremos.

2. Considera a função h, definida por h(x) = ln(1 + x2) − ln(x) .

2.1 Determina o domínio de h.

2.2 Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

2.3 Determina a abcissa do ponto de inflexão do gráfico da função h.

3. Considera a função f definida por f (x) = ln(x2)x

.

3.1 Determina o domínio de f.

3.2 Estuda a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

3.3 Mostra que f ''(x) = 2 ln(x2) − 6x 3

.

3.4 Determina as coordenadas dos pontos de inflexão do gráfico de f.

4. Estuda e representa graficamente a função f, definida por f (x) = ln 1 + x1 − x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5. Admite que a temperatura, T, em graus Celsius, do café numa chávena, t minutos após ter sido tirado de uma máquina, é dada por T(t) = A + T

0− A( )e−0.04t , (t ≥ 0) , em que A é a

temperatura ambiente, considerada como constante, e T0 é a temperatura do café no instan-te em que acaba de ser tirado da máquina, ambas as temperaturas medidas em graus Celsius.

5.1 Determina quanto tempo demora o a temperatura do café a atingir os 10� C, no caso em que T

0= 5°C e A = 20°C .

Apresenta o resultado em minutos arredondados às unidades.


5.2 Mostra que T '(t) = −0.04 × T0− A( )e−0.04t .

5.2.1 Estuda a monotonia da função T no caso em que T0> A .

5.2.2 Estuda a monotonia da função T no caso em que T0< A .

5.3 Interpreta, no contexto do problema, e para cada um dos casos anteriores, as conclu-sões a que chegaste.

6. Considera qua a capacidade pulmonar média de um ser humano com idade superior ou igual a oito anos, é dada, em litros, em função da respetiva idade x, em anos, por

C(x) = 100 × −2 + ln(x)x

(x ≥ 8)

6.1 Mostra que C '(x) = 300 − 100 ln(x)x2

.

6.2 Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina em que idade a capacidade pulmonar média é máxima. Apresenta a resposta com arredon-damentos às unidades.

6.3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determina durante quantos anos é que o ser humano tem uma capacidade pulmonar média superior a 4 litros.

Apresenta o resultado arredondado às décimas.


7. Seja h a função definida por h(x) = ex

2x − 1.


7.2 Determina a função derivada da função h.

7.3 Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos.

7.4 Escreve a equação da reduzida da reta, r, que passa pelo ponto P = (2,1) e que é pa-ralela à reta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 0.

7.5 Usa as capacidades gráficas da tua calculadora para determinares, com uma aproxima-ção às centésimas, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção da reta r com o gráfico de h.

8. Seja h uma função real de variável real definida por h(x) = xe+ e−x .


8.2 Determina a função derivada da função h.


8.3 Estuda h quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.

8.4 Justifica que h é uma função positiva, isto é, h(x) > 0,∀x ∈Dh.

9. O Sérgio trabalha numa empresa de ultracongelados, todos os dias tem que entrar dentro de uma das câmaras frigoríficas para preparar as encomendas a fim de serem distribuídas pelos clientes. Assim que entra na câmara a sua temperatura corporal começa a diminuir. Essa diminuição ocorre até ao instante em que ele sai da câmara, começando a subir de imediato, assim prosseguindo até atingir o valor inicial.

Sabe-se que cada vez que o Sérgio entra numa das câmaras frigoríficas é provocada uma variação na sua temperatura corporal dada por

T(t) = 36.2 + 22.25 e−0.42t − e−0.26t( ) .em que T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo, em horas, decorrido em desde que o Sérgio entrou na câmara frigorífica.

9.1 Determina a temperatura corporal do Sérgio no instante em que entrou na câmara frigorífica.

9.2 Determina quanto tempo esteve o Sérgio dentro da câmara frigorífica. Apresenta o resultado arredondado às unidades.

9.3 Utiliza a calculadora para determinares quanto tempo é que a temperatura corporal do Sérgio foi inferior a 33�. Apresenta o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

9.4 Calcula limt→+∞

T(t) e interpreta o resultado obtido, no contexto do problema, relacionan-

do-o, inclusive, com o valor obtido na primeira alínea.

10. A D. Esmeralda acabou de fazer uma sopa e, às dez horas, colocou-a no frigorífico, onde nesse momento, a temperatura era de 6�.

Como era de esperar, assim que colocou a sopa no frigorífico, a temperatura dentro dele começou a aumentar, tendo atingido um valor máximo e voltado depois a diminuir, aproxi-mando-se da temperatura inicial.

Admite que a temperatura, T, no interior do frigorífico, medida em graus Celsius, t minu-tos após a sopa ter sido lá colocada, é dada por T(t) = 6 + 0.3te−0.03t , t ≥ 0 .

Nas duas primeiras alíneas, sempre que nos cálculos intermédios, procederes a arredonda-mentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

10.1 Qual era a temperatura no interior do frigorífico às dez horas e um quarto? Apresenta o resultado em graus Celcius, arredondado às décimas.

10.2 Recorrendo à calculadora, resolve o seguinte problema:

A que horas começou a temperatura no interior do frigorífico a diminuir?


Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

10.3 Determina ao fim de quanto tempo é que a temperatura no interior do frigorífico esta-va a diminuir mais rapidamente. Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Reflete ↑ ↑ ↑

11. Considera a função real de variável real, de variável real e de domínio definida por f (x) = x2 + 4 . Considera, também a função h, definida por h(x) = −f (x) .

Mostra que, tal como a figura sugere, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 também é tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa –2.

12. Considera a função f definida por f (x) = 3x2 − 23(ex + 1)

.

Na figura abaixo está representada, em referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função f e o quadrilátero [AOBC ].

Os ponto A e C são os ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação y = − 13

x − 13

O ponto B pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual à de C.


12.1 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determina um valor aproximado às centésimas da área do quadrilátero [AOBC ]. Se utilizares valores aproximados nos cálculos intermédios, utiliza, no mínimo três casas decimais.

12.2 Utiliza o teorema de Bolzano para garantires que existe, no intervalo −π

2, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, uma

abcissa de um ponto do gráfico de f em que a reta tangente ao gráfico é horizontal.

13. Considera a função f definida por f (x) = ln x + 1x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

13.1 Determina o domínio de f.

13.2 Mostra que a equação f (x) = 1 tem, pelo menos, uma solução no intervalo ]1,3[ .

13.3 Determina a função derivada de f.

13.4 Estuda f quanto à monotonia e determina o seu mínimo.

13.5 Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

Seja r a reta que passa no ponto A de coordenadas (10,4) e que é paralela à reta t. Determina a equação reduzida da reta r.

14. Admite que o peso médio p de um cão de raça A, até aos oito anos de idade, é dado em

quilogramas por p(t) =3 × 2kt se 0 ≤ t ≤ 16log

2t2( ) + 16 se 16 < t ≤ 96

⎧⎨⎪

⎩⎪

em que k é um número real e t é a idade do animal em meses.

14.1 Sem recorrer à calculadora, determina o valor de k sabendo que o peso do animal varia de forma contínua.

14.2 Relativamente a outra raça de cães, a raça B, o peso médio, em quilogramas, de um animal, desde a nascença até aos oito anos é dado por m(t) = 1.03t + 15 , sendo t a idade do animal em meses. Para que valores da idade é que os cães de ambas as raças têm o mesmo peso médio? Utiliza a calculadora gráfica para resolver esta questão. Apresenta o resultado em anos e meses.


15. Seja f uma função cuja derivada f ’ é crescente no intervalo aberto ]a,b[. Mostra que o gráfico de f em ]a,b[ fica acima do da tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), isto é que, dado um

ponto qualquer c de ]a,b[, se tem para todo o x no intervalo ]a,b[.

Sugestão: Estuda a função definida por .

C13

Capítulo 13 – funções trigonométriCas

Pratica ↑

1. Calcula

1.1 limx→0

tg(3x)sen(2x)

1.2 limx→0

tg(2x)tg(−5x)

2. Determina a expressão analítica da derivada das funções:

2.1 i(x)= x + cos(3x) 2.2 j(x)= cos2 t −3sen 3t

3. Calcula o declive da reta tangente ao gráfico da função g(x)= cos x2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ nos pontos

.

4. Para a função h(x)= sen3 + cos3 x3

em ]0,π [ indica: os intervalos em que são crescentes e

em que são decrescentes e os extremos relativos de cada uma nos intervalos indicados.

5. Qual o sinal da expressão ?

6. Determina o domínio da função .

7. Sabendo que determina e .


8. Determina o período das funções:

8.1 8.2

9. Calcula uma expressão analítica da função derivada de:

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

10. Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico das funções:

10.1 no ponto .

10.2 no ponto .

11. Calcula, sem usar a calculadora, as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo das fun-ções:

11.1 11.2 em

12. As fases da Lua podem ser determinadas pela função: em que f (n)

corresponde à percentagem da superfície lunar visível no dia n de observação. O dia 1 de janeiro de 2013 corresponde a n = 1.

12.1 Que percentagem da Lua é visível nesse dia?

12.2 Determina o período da função.

12.3 De acordo com a função, em que dia se verifica a lua cheia, ou seja, em que dia teremos 100% da superfície visível?

12.4 Que percentagem da lua será visível no dia 18 de fevereiro?

13. Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de inflexão da função em .

14. A respiração pulmonar isto é a inspiração e expiração, apresentam ciclos periódicos em função do tempo, em descanso, que podem ser modelados pela função


em que r(t) representa o volume em litros para um ciclo de expiração e inspiração e t é o tempo em segundos. Determina:

14.1 O período da função.

14.2 No período calculado no exercício anterior, os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente.

14.3 O volume de ar inspirado.


15. Sabendo que cos(a +b)= cosa ⋅cosb− sena ⋅ senb , determina uma expressão para:

15.1 15.2

16. Considera o triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 5 cm.

5cm

16.1 Determina o valor do ângulo para o qual a área do triângulo é máxima.

16.2 Calcula o valor da área máxima.

17. Sendo e g(x)= 12

sen(2x) mostra que verificam a igualdade

18. Calcula limx→0

sen(px)sen(qx)

, p,q ≠ 0 .

19. Determina o período das funções:

19.1 19.2

20. Calcula uma expressão analítica da função derivada de:

20.1 20.2


20.3

20.4

20.5

21. Calcula os limites seguintes:

21.1

21.2

21.3 21.4

22. Determina, sem usar a calculadora, as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo da fun-ção t(x)= ex(cosx + senx) em .

23. Resolve as equações:

23.1

23.2

23.3

Reflete ↑ ↑ ↑

24. Calcula limx→1

sen(πx − π)ax −a

com .

25. A altura atingida por um objeto em movimento oscilatório é dado em função de t pela função

f (t)= a cost +bsen t + 5 , em cm.

Se para o tempo t = 0s , a altura do objeto é de 6 cm e a sua velocidade é v = 3 cm/s de-termina:

25.1 a e b. 25.2 A aceleração inicial do objeto.

26. Seja a função f (x)= 12

x − senx definida em [0;π] .

26.1 Determina a função derivada da função f (x).

26.2 Determina os intervalos de monotonia da função f (x).

26.3 Prova que a equação f (x) = 0 admite um zero no intervalo . Indica um intervalo de amplitude 0,01 que contenha um zero da função.

27. Determina as assíntotas, horizontais e verticais, da função .


28. Calcula os limites:

28.1

28.2 limx→0

2tg2xx2

28.3

29. Considera a expressão .

Escreve a expressão em função de sen2α e indica os valores para os quais a expressão é válida.

30. Com uma chapa metálica de forma retangular de 1m×3m , queremos construir uma caleira para colocar num telhado. Para isso devemos dobrar a chapa, como indica a figura, para formar a superfície lateral e o fundo.

3m

1m

0,40,3 0,3

30.1 Prova que o volume da caleira é dado pela função V(α)= 3(0,09+ 0,09cosα)senα

para .

30.2 Determina o volume máximo, em litros, da caleira.

C15

Capítulo 15 – a álgebra dos números Complexos

Pratica ↑

1. Calcula a soma e o produto dos complexos se z1= 2− 3 i e z

2= 2 + 3 i


2. Determina a diferença e o quociente quando z1= 5 − i e z

2= 5 −2i

3. Escreve na forma a + bi o número complexo 1+ i1− i

+1− i1+ i

.

4. Escreve na forma a + bi o número complexo .

5. Determina os números reais x e y de modo que .

6. Sejam os números complexos calcula:

6.1

6.2

6.3

6.4

7. Resolve, em

, a equação 2iz + 3 – 5i = 0.

8. Efetua as operações apresentando o resultado na forma a + bi ( ):

8.1 (3 + 2i) + (5 – 3i)

8.2 (2 – 5i)(3 + 2i)

8.3

8.4

8.5

9. Escreve na forma algébrica o número complexo 10. Resolve em

as equações:

10.1 10.2

11. Usa a fórmula do binómio de Newton para calcular .

12. Calcula .

13. Representa graficamente os números complexos, os seus simétricos e os seus conjugados:

3 – 4i; –2i; –1 – i; –1 + i; 3



14. Prova que é o inverso de .

15. Considera em

a equação .

15.1 Prova que –1 é uma solução da equação.

15.2 Determina as soluções da equação.

16. Resolve em

a equação .

17. Calcula na forma algébrica:

17.1 17.2

18. Determina o número real a de modo que o número complexo pertença à bisse-triz dos quadrantes ímpares.

19. Calcula os valores reais de k de modo que a parte real do número complexo

Reflete ↑ ↑

20. Calcula .

21. Para que valores de é verdadeira a igualdade ?

22. Determina o conjunto solução da equação .

23. Mostra que se então z é um número real.

24. Representa no plano complexo os afixos de .

24.1 Prova que o quadrilátero de vértices é um paralelogramo.

C16

Capítulo 16 – a geometria dos números Complexos

Pratica ↑

1. Considera o número complexo z = 2cis π6

.


1.1 Representa-o na forma algébrica.

1.2 Determina o módulo e o argumento de .

1.3 Determina .

2. Calcula o módulo do número complexo .

3. Escreve na forma o complexo .

4. Qual é o módulo do número complexo ?

5. Determina o módulo e um argumento do número complexo tg π3− i .

6. Representa na forma trigonométrica os números complexos:

6.1 3i

6.2 1 – i

6.3

6.4

6.5 2 + i 6

7. Escreve na forma algébrica os números complexos:

7.1

7.2

7.3

7.4

8. Descreve o conjunto dos números complexos que satisfazem as condições:

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5 Im(z) = 2

9. Resolve em

a equação e mostra que apenas uma das soluções elevada à

quarta é um número real.

10. Determina na forma algébrica e trigonométrica as raízes quartas de –81.

11. Considera em

a equação .

11.1 Determina na forma trigonométrica as soluções z1 e z

2 da equação, em que a parte


imaginária de é positiva.

11.2 Prova que

12. Escreve na forma algébrica e na forma trigonométrica o número complexo

13. Seja um número real tal que e sen θ = 55

.

Calcula o módulo e o argumento de:

13.1 3i(2 + i)(4 + 2i)(1 + i)

13.2


14. Resolve em

a equação .

15. Calcula o valor de m para que o número complexo m + 4i tem o mesmo módulo que

.

16. Dados os complexos e z

2= 2cis 5π

4:

16.1 calcula na forma a + bi com ;

16.2 determina na forma trigonométrica.

17. Calcula, na forma trigonométrica, o número complexo u, sendo e as raízes que

a equação admite em

, supondo que , argumento de verifica a con-


dição .

18. Sabendo que determina um argumento de onde é o simétrico de z.

19. No conjunto dos números complexos.

19.1 Mostra que .

19.2 Considera a equação: .

19.2.1 Deduz da alínea anterior uma solução da equação.

19.2.2 A equação tem outra solução. Escreve-a na forma trigonométrica.

19.3 Deduz da primeira alínea uma solução para a equação , apresentando o re-sultado na forma trigonométrica.

20. Escreve na forma trigonométrica os números complexos:

20.1

20.2

20.3 ( 3 − i)2012

21. Seja o número complexo .

21.1 Escreve-o na forma a + bi.

21.2 Escreve-o na forma trigonométrica.

21.3 Calcula .

22. Considera em

a multiplicação . Determina:

22.1 o produto na forma algébrica.

22.2 o produto na forma trigonométrica.

22.3 deduz das alíneas anteriores o valor de cos 5π12

e sen5π12

.


23. Calcula o módulo e o argumento de , sabendo que e .

24. Escreve na forma trigonométrica os números complexos:

24.1

24.2

24.3

25. Resolve em

a equação .

Reflete ↑ ↑ ↑

26. Determina o conjunto dos pontos M do plano complexo de afixos z tais que z = 2 + bi, onde b ∈ e varia no intervalo [0,+∞[ .

27. Determina os valores de tais que é um número real positivo.

28. Resolve em

a equação .

29. Seja . Mostra que se e só se z é um número real.

30. Prova que a reta r que contém os pontos z1 e z

2, é perpendicular à reta s que contém os

pontos z3 e z

4 se e só se argz

1− z

2

z3− z

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ±

π

2.

31. Determina os números complexos z de modo que os números tenham o mesmo módulo.

31Recomendações do GAVE

2. Recomendações do GAVENo Relatório de setembro de 2010 publicado pelo GAVE com o título “Um olhar sobre os re-sultados dos exames nacionais” podem-se encontrar informações muito interessantes sobre os aspetos em que os alunos revelam melhor e pior desempenho nos exames nacionais, assim como re-comendações para a lecionação feitas a partir dessa análise. Documentos como estes são muito úteis para os alunos e os professores, embora em cada ano os alunos e as turmas possam exibir caracterís-ticas muito variadas. Mesmo assim, as dificuldades mais comuns são reveladas por tais documentos.

Entre os aspetos onde os alunos do ensino secundário têm melhor desempenho na disciplina de Ma-temática, segundo este relatório, estão os seguintes:a) “No ensino secundário, os itens com melhor desempenho, independentemente da tipologia, con-

vocam quase sempre operações mentais como transferir e, mais esporadicamente, argumen-tar, relacionar, interpretar. Os alunos também revelam facilidade nos itens de cálculo direto ou que apelem à leitura e seleção de informação.”

Entre os aspetos que os alunos do ensino secundário revelam mais dificuldades encontram-se:b) “No ensino secundário, as maiores dificuldades prendem-se com a resposta aos itens que mobili-

zam operações mentais como argumentar/justificar, analisar, relacionar, em geral, e, muito pontualmente, transferir e classificar. Também é fraco o desempenho nos itens em que se solicita a concretização de raciocínio dedutivo e a interpretação em contexto.”

O GAVE conclui ainda que, tanto no Ensino Básico como no Ensino Secundário os alunos revelam algumas dificuldades comuns:c) “os examinandos revelam fragilidades no domínio da compreensão da língua, na comunica-

ção escrita, no recurso ao cálculo, na interpretação de novas situações e dificuldades em utilizar as capacidades gráficas da calculadora.”

Em função destas conclusões, o relatório do GAVE recomendad) “No ensino secundário, considera-se muito importante a lecionação dos problemas a partir

de contextos reais e com a execução de cálculos mais complexos.”

Na conclusão deste relatório é afirmado quee) “O documento que agora se conclui pretende, através da identificação de níveis de desempenho

dos alunos, em sede de avaliação externa, contribuir para uma melhoria sustentada dos resultados, em consequência de um progressivo upgrade da qualidade dos saberes, das compe-tências e do saber-fazer dos nossos alunos.”

Nesta ordem de ideias foram selecionados para esta segunda parte algumas tarefas que permitem desenvolver as capacidades identificadas neste relatório do GAVE como sendo as que colocam mais dificuldades aos estudantes. As tarefas são de índole muito variada, podendo ser itens de exames ou tarefas para a sala de aula, para trabalho em pequenos grupos ou para trabalho de autoestudo.

Assim, a segunda parte do segundo volume deste Livro de Exercícios terá os seguintes capítulos:

Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real

32 Recomendações do GAVE

Capítulo 2 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais

Capítulo 3 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números complexos

Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos

Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas


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4052

2766

5

C1

Capítulo 1 - resolução de problemas da vida real

tr

tarefas resolvidas

1. A temperatura T, em graus Celsius, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em

que é ligado, de acordo com .

1.1 A que temperatura está o forno quando é ligado? Para que valor vai tender a estabili-zar a temperatura? Justifica a tua resposta.

1.2 Sem resolver a equação T(m) = 143, justifica que é verdadeira a seguinte afirmação:

«Num instante compreendido entre o 3.º e 4.º minuto, o forno atingirá a temperatura de 143�.»

1.3 Determina a taxa média de variação da temperatura do forno no intervalo [0, 1].

1.4 Diz qual o significado de e determina o seu valor.

resolução

1.1 Temos que . Logo, quando é ligado, o forno encontra-se à tempera-

tura de 26�. Como


concluímos que a temperatura de 180� é a temperatura para a qual o forno vai tender a estabilizar. O valor encontrado permite concluir que a temperatura do forno poderá ser tão próxima de 180� quanto se desejar, desde que o tempo durante o qual esteja ligado seja suficientemente grande.

1.2 A função T é contínua no intervalo [3, 4], pois é o quociente de duas funções contínuas (são polinomiais), não se anulando a função divisor nesse intervalo. Como T(3) = 141,5 e T(4) = 149,2 então T(3) < 143 < T(4).

Logo, de acordo com o teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um ponto m do inter-valo ]3, 4[ tal que se tem T(m) = 143 . Assim, «num instante compreendido entre o 3.º e 4.º minuto, o forno atingirá a temperatura de 143�».

1.3 Temos

pelo que a taxa média de variação da temperatura do forno no intervalo [0, 1] é 77�/min.

1.4 O limite apresentado traduz a taxa (instantânea) de variação da temperatura do forno no instante em que é ligado e é igual à derivada lateral direita da função T(m) no ponto m = 0. Temos então

2. Um objecto metálico é colocado numa panela com água à temperatura de 100�. Supõe que a temperatura da água se mantém constante. Para t = 30 s, a temperatura T do objecto é 50� e esta aumenta instantaneamente (nesse momento) na razão de 2� por segundo.

Determina a e b (reais), sabendo que a temperatura T do objecto em função do tempo t, em segundos, é dada por .


resolução

É dado que T ’(30) = 2. Temos

Assim . Por outro lado, é dado que T(30) = 50. Logo . Obtemos assim um sistema (não linear) envolvendo as duas constantes desconhecidas a e b:

A estratégia mais eficaz para resolver este tipo de sistemas é tentar usar uma das equações para obter o valor de uma das variáveis (ou uma expressão presente na segunda equação) e depois substituir o valor obtido na outra equação. A partir da segunda equação obtemos

,

Esta expressão pode substituir-se na primeira equação para obtermos , ou seja,

. Daqui vem, substituindo atrás .

3. Colocou-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada instante t (em minutos)

a quantidade do produto ainda não dissolvido é (em gramas) , com t ≥ 0.

3.1 Qual a quantidade de produto colocada inicialmente na água?

3.2 Estuda a monotonia da função definida em por e interpreta os resultados relativamente à situação inicial apresentada.

3.3 Ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 20 gramas de produto?

3.4 Considera a função Q, real de variável real, definida por . Estuda a existência de assíntotas do gráfico de Q.

resolução

3.1 Como

podemos concluir que foram colocados inicialmente 30 gramas de produto na água.


3.2 Como

concluímos que a derivada é sempre negativa pelo que a função é sempre decrescente. Temos ainda que

e

pelo que podemos concluir, no contexto da situação apresentada, que foram colocados ini-cialmente 30 gramas de produto solúvel no recipiente com água que, com o decorrer do tem-po, se foi dissolvendo na água, diminuindo por consequência a quantidade de produto não dissolvido. Passado um tempo suficientemente grande a quantidade de produto ainda não dissolvido será, na prática, nula, pois se tornará mais pequena que o detetor.

3.3 Como

Obtemos, aproximadamente, o valor 2,0258, pelo que, como a função é decrescente, podemos dizer que ao fim de 2 minutos ainda estão pro dissolver 20 gramas do produto.

3.4 A função não está definida quando o denominador é nulo. Temos

Designemos o valor obtido por M. Temos então

e a reta de equação x = M é uma assíntota vertical do gráfico de q.

Para determinar as outras assíntotas é preciso calcular

e

E ainda

e

Assim, as retas de equação e são assintotas não verticais do gráfico da fun-ção q.


4. Uma população de coelhos evolui de forma periódica, dependendo da existência de mais ou menos alimentação conforme as estações do ano e conforme os predadores (raposas sobretu-do) são mais ou menos numerosos. Foram feitas as contagens que a tabela apresenta:

meses 0 4 8 12 16coelhos 1200 3000 1200 3000 1200

4.1 Usando a regressão sinusoidal numa calculadora ou computador determina uma função seno que se ajuste aos dados fornecidos.

4.2 Usando a função obtida, estima quantos coelhos existiriam ao fim de 6 meses.

resolução

4.1 Pode-se recorrer a uma calculadora gráfica ou a um qualquer software de computador. Usando o software gratuito Geogebra obteve-se o que a imagem documenta:

A função seno obtida é definida por .

4.2 Recorrendo à função obtida conclui-se que , sendo portanto 2361 coelhos (aproximadamente) o número de coelhos existente passados 6 meses.

tp

tarefas propostas

1. A função , é usada para determinar o valor de um carro (em eu-

ros) x anos depois da sua compra.


1.1 Qual é o custo inicial do carro?

1.2 Determina o custo do carro um ano e meio depois da compra.

1.3 Quanto desvaloriza o carro ao ano?

2. Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pes-soa pode memorizar no tempo t, em minutos. A fórmula é .

2.1 Calcula, de acordo com a função f e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.

2.2 Uma pessoa memorizou 26 símbolos. Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa?

3. Considera as fórmulas da área do círculo de raio r, A = πr 2 , e do volume da esfera de raio

r, .

3.1 Determina A’(r). Qual é o seu significado geométrico?

3.2 Determina V’(r). Qual é o seu significado geométrico?

4. Para comparar a acidez de diferentes soluções, os químicos usam o pH. O pH é definido em termos da concentração, x, de iões de hidrogénio numa solução como: pH = –log x . Calcula a taxa de variação de pH com respeito à concentração de iões de hidrogénio quando pH é 3.

5.

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3778

4288

7


Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela expulsão dos gases resultantes da queima de combustível numa câmara. Desde o arranque até se esgotar o combustível, a velocidade do foguetão, em quilómetros por segundo, é dada por .

A variável t designa o tempo, em segundos após o arranque.

5.1 A massa inicial do foguetão é de 150 toneladas, das quais 80% correspondem à massa do combustível. Sabendo que o combustível é consumido à taxa de 0,75 toneladas por segundo, justifica que t pertence ao intervalo [0, 160] .

5.2 Prova que a taxa de variação média de v no intervalo [100, 150] é 0,05. Interpreta este valor no contexto da situação descrita.

6. Numa empresa o lucro L, originado pela produção de n peças, é dado em milhares de euros por onde k é uma constante real a determinar.

6.1 Sabendo que não havendo produção não há lucro, determina k e mostra que

6.2 Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja su-perior a 1 milhar de euros?

6.3 Justifica que, apesar de o lucro ir aumentando à medida que o número de peças produ-zidas aumenta, essa variação vai sendo feita de modo cada vez mais lento.

7. Uma roda gigante tem um eixo de 20 metros (raio) e cada cesto fica, no mínimo, a 1 metro

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do solo demorando 30 segundos a dar uma volta completa. Considera que um dos cestos da roda começa a girar no ponto mínimo e representa graficamente a distância da cesta ao solo (em metros) em função do tempo (em minutos). Determina uma expressão analítica da função.

8. Consulta o site do Instituto Hidrográfico de Portugal e faz um estudo da variação das marés ao longo de uma semana, num local à tua escolha. É um bom trabalho útil a quem quiser aproveitar ao máximo o Surf.

9. Uma companhia de eletricidade fornece energia a duas cidade diferentes A e B. As neces-sidades energéticas das duas cidades variam de forma previsível ao longo de um dia típico.

9.1 À meia noite, as necessidades energéticas da cidade A estão a um mínimo de 40 mega-watts. Pelo meio dia a cidade atingiu o máximo de consumo energético com 90 mega-watts e pela meia noite requer de novo apenas 40 megawatts. Seja f (t) a potência, em megawatts, necessária à cidade A, em função de t, o número de horas passadas desde a meia noite. Supondo que f se pode traduzir com uma relação trigonométrica simples, encontra uma fórmula possível para f (t).

9.2 As necessidades energéticas da cidade B diferem das da cidade A. Seja g (t) a potência, em megawatts, requerida pela cidade B em função de t, o número de horas passadas

desde a meia noite. Supõe que .

Determina a amplitude e o período de g (t) e interpreta esses valores no contexto da situação descrita.

9.3 Determina graficamente todos os pontos t tais que , e interpreta a tua solução em termos do consumo de energia das duas cidades.

9.4 A companhia de eletricidade está interessada em determinar o valor máximo da função

, .

Porque é que a companhia de eletricidade há-de estar interessada em conhecer esta função h? Determina um valor aproximado do máximo desta função.

10.

Nota

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O Palácio da Bolsa no Porto

O Vladimiro quer desenvolver um modelo matemático para prever o valor da ação de uma certa empresa cotada na Bolsa do Porto. Ele fez dois comentários em função do comporta-mento passado dessa ação:

a) o seu valor tem uma componente cíclica que aumenta nos três primeiros meses do ano, cai nos seguintes seis e depois aumenta de novo nos últimos três;

b) a inflação adiciona uma componente linear ao preço da ação.

Por estas razões, o Vladimiro usa um modelo da forma

onde t representa o tempo em meses desde janeiro de 2010. Ele tem ainda a seguinte tabela de dados:

Data Valor da ação1/1/2010 20,00€1/4/2010 37,50€1/7/2010 35,00€1/10/2010 32,50€1/1/2011 50,00€

10.1 Determina os valores de m, b e A de modo que a função f se ajuste aos dados.

10.2 Durante que meses é que a ação se valoriza mais?

10.3 Durante que período do ano é que a ação perde realmente valor?

11. Imagina uma corda com uma extremidade livre que nós estamos a segurar. Se imprimirmos à extremidade livre da corda uma sacudidela vertical, uma onda propaga-se ao longo da cor-da. Suponhamos que, repetidamente, sacudimos a extremidade livre de modo que uma série periódica de ondas se propague ao longo da corda.

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Esta situação pode ser descrita por meio de uma função de onda

Aqui, x é a distância ao longo da corda medida em metros; y é a deslocação sofrida pela corda, relativamente à posição de repouso, medida perpendicularmente à corda; t é o tempo

em segundos; A é a amplitude; é o comprimento de onda ( ), a distância que vai de

um valor máximo ao valor máximo seguinte; e é o tempo que um comprimento de onda

demora a passar. Suponhamos que, em determinada situação, se tem que A = 0,06 que k = 2π e que w = 4π.

11.1 Qual é o comprimento de onda do movimento?

11.2 Quantos valores máximos são atingidos por determinado ponto da corda em cada se-gundo?

11.3 Esboça o gráfico de y, supondo que t = 0, entre os valores x = 0 e x = 1,5.

11.4 Que outros valores de t permitiriam obter um gráfico semelhante ao obtido na alínea anterior?

12. A profundidade da água na extremidade de um pontão num porto varia com o tempo devido às marés.

A profundidade da água é dada pela fórmula

onde p é a profundidade da água em metros e t o tempo em horas depois da maré vaza. Qual é a taxa de variação da profundidade da água 5 horas depois da maré vaza?

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6078

969


(adaptado de exame da Nova Zelândia, 2010)

13. Num laboratório de física foram registados os seguintes dados sobre a altura acima do solo de um peso agarrado a uma mola agarrada ao teto. Usando a tua calculadora determina uma função seno que se ajuste bem a estes dados (usa, por exemplo, a regressão sinusoidal na tua calculadora).

Segundos 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1cm 120 136 165 180 166 133 120 135 164 179 165 133

14. Uma população de raposas evolui de forma periódica, dependendo da existência de mais ou menos alimentação (sobretudo coelhos) o que varia com as estações do ano. Foram feitas as contagens que a tabela apresenta,

meses 0 4 8 12 16raposas 500 120 500 120 500

14.1 Usando a regressão sinusoidal numa calculadora ou computador determina uma função seno que se ajuste aos dados fornecidos.

14.2 Usando a função obtida, estima quantas raposas existiriam ao fim de 10 meses.

C2

Capítulo 2 - problemas que envolvem CálCulos mais elaborados no Conjunto dos números reais

tr

tarefas resolvidas

1. Determina o valor que a constante k deve ter para que o limite exista (isto é, seja um número real) e determina esse limite.

(adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Espanha, 2002)

resolução

Se o limite do numerador for diferente de zero, o limite dado não existe

visto que o denominador tem limite zero. Logo, o limite do numerador precisa de ser zero para que o limite do quociente possa dar um número real. Como


terá de ser . Assim, temos de calcular o limite .

Temos de dividir o polinómio do numerador pelo polinómio do denominador, o que podemos

fazer pela Regar de Ruffini. Obtemos 2x2 −132

x + 5 = x −2( ) 2x − 52

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

Logo limx→2

2x2 −132

x + 5

x −2= lim

x→2

(x −2) 2x − 52

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

x −2= lim

x→22x − 5

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

32

.

2. Considera a função real de variável real definida por f (x)= e2x

x2+1 .

2.1 Determina as assintotas ao gráfico de f.

2.2 Determina os intervalos de monotonia e estuda a existência de extremos relativos para a função f.

resolução

2.1 Como o domínio de f é toda a reta real, não tem assíntotas verticais. Vejamos se tem assíntotas não verticais. Temos:

limx→+∞

f (x)= limx→+∞

e2x

x2+1 = e0 = 1 e portanto .

Assim f tem a assintota . Temos ainda e portanto

e não aparece outra assíntota.

2.2 Calculemos a derivada de f:


Determinemos agora o sinal da derivada. Como a exponencial e o denominador são sempre

estritamente positivos, o sinal da derivada de f é o sinal do polinómio . Como

, a derivada será positiva no intervalo ]–1,1[ e será ne-gativa nos intervalos ]–∞,–1[ e ]1,+∞[. A derivada é nula nos pontos –1 e 1. Podemos agora escrever o seguinte quadro de variações:

–∞ –1 1 +∞f ’ – 0 + 0 –

f

mínimo rela-tivo

máximo rela-tivo

Concluímos então que f tem Mínimo relativo para x = –1 e Máximo relativo para x = 1. Os

valores de f são respetivamente, e .

3.

Estuda a derivabilidade da função definida por

e calcula a sua derivada.


resolução

A função f está bem definida em ]0,1[ pois . A função é derivável por ser a função composta de duas funções deriváveis (uma raiz quadrada e um polinómio) adicionada com um polinómio (função derivável). A função f também está bem definida em ]1,+∞[ e nesse intervalo é derivável por ser a soma de um quociente de polinómios com um polinómio (fun-ções deriváveis).

Para calcular a derivada de f no seu domínio temos de calcular a derivada no intervalo aberto ]0,1[, no intervalo aberto ]1,+∞[ e no ponto x = 1.

No intervalo aberto ]0,1[ podemos aplicar as regras de derivação:


No intervalo aberto ]1,+∞[ também podemos aplicar as regras de derivação:

No ponto x = 1 teremos de estudar as derivadas laterais. Contudo, se a função não for con-tínua nesse ponto não poderá ser derivável e já não teremos de fazer todos os cálculos das derivadas laterais. Vejamos então se f é contínua para x = 1:

Como os limites laterais são diferentes, a função f não é contínua para x = 1 e assim também não é derivável nesse ponto. Temos então que o domínio de é e

4. Resolve a equação 22x+5 + 2×3x+2 = 3x+3 + 22x+4 .

resolução

Como estamos a adicionar potências de bases diferentes, a estratégia adequada será colocar todas as potências da mesma base de um lado da igualdade e todas as potências da outra base do outro lado da igualdade. Obtemos assim sucessivamente:

Aplicando agora logaritmos naturais a ambos os lados da desigualdade obtemos


Trata-se agora de uma equação do primeiro grau pelo que é fácil obter a solução

tp

tarefas propostas

5. Considera a função real de variável real definida por

Determina os valores de a e de b sabendo que f é derivável.


6. Considera a função real de variável real definida por .

6.1 Determina e limx→+∞

f (x) .

6.2 Determina os intervalos de monotonia e estuda a existência de extremos relativos para a função f.


7.

O gráfico da função definida por tem pontos onde a tangente ao gráfico seja paralela ao eixo dos XX? E pontos onde a tangente ao gráfico seja paralela ao eixo dos YY? Em caso afirmativo determina-os.

(adaptado de exame de acesso ao ensino superior de Itália, 2011)

8. Derivação logarítmica

Um modo de calcular rapidamente a derivada de muitas funções é usar o processo conhecido por derivação logarítmica, que consiste em calcular primeiro o logaritmo da função de que se quer calcular a derivada. Usando este procedimento calcula a derivada da função definida

por e .

9. Resolve a equação .




C3

Capítulo 3 - problemas que envolvem CálCulos mais elaborados no Conjunto dos números Complexos

tr

tarefas resolvidas

1. Seja a um número real qualquer. Coloca o número complexo definido por 1+ai1−ai

na forma

trigonométrica. Sugestão: Escreve a na forma a = tg θ2

. Como aplicação da fórmula obtida

coloca na forma trigonométrica 3+ i 3

3− i 3.

resolução

Se colocarmos o número real a na forma a = tg θ2

temos que

1+ai1−ai

=1+ itg θ

2

1− itg θ2

=cos θ

2+isen θ

2

cos θ2−isen θ

2

Agora usamos o procedimento habitual para a divisão de números complexos:

cos θ2+ i sen θ

2

cos θ2− i sen θ

2

=

cos θ2+ i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟× cos θ

2+ i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

cos θ2− i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟× cos θ

2+ i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

cos θ2+ i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2

cos2 θ

2+ sen2 θ

2

Assim, concluímos que

1+ai1−ai

=

cos θ2+ i sen θ

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2

cos2 θ

2+ sen2 θ

2

= cos2 θ

2+ 2i sen θ

2cos θ

2− sen2 θ

2= cos θ+ i sen θ


aplicando as fórmulas trigonométricas da duplicação do ângulo.

Apliquemos agora a fórmula obtida ao exemplo pedido. Temos de começar por colocar o número complexo na forma adequada para aplicar a fórmula obtida:

3+ i 3

3− i 3=

1+ i 33

1− i 33

Será então e teremos de procurar de modo que a = tg θ2

. Claramente poderá ser

pelo que . Podemos assim concluir que

3+ i 3

3− i 3=

1+ i 33

1− i 33

= cos π3+ i sen π

3

2. Resolve, no conjunto dos números complexos, o sistema iz −w = 2i(1− i)z + (2+ i)w = 1+ 4i

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

resolução

Da primeira equação tiramos que w = iz −2i .

Substituindo este valor na segunda equação obtemos

(1− i)z + (2+ i)(iz −2i)= 1+ 4i

Como

(1− i)z + 2iz − 4i + i2z −2i2 = 1+ 4i ⇔ 3− 4i + (i - 1)z = 1+ 4i

vem que

3− 4i + (i - 1)z = 1+ 4i ⇔ z = −2+ 8ii - 1

Efetuemos estes cálculos.

z = −2+ 8ii - 1

=(−2+ 8i)(i +1)

(i - 1)(i +1)=−2i −2+ 8i2 + 8i

i2 −1=−10+ 6i−2

= 5−3i


Substituindo este valor na expressão que define w vem:

w = iz −2i = i(5−3i)−2i = 5i −3i 2 −2i = 3i + 3

Logo, a solução do sistema é z = 5−3iw = 3+ 3i

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3. Efetua os cálculos z = (1+ i 3)5 + (1− i 3)5 ; w = (1+ i 3)5 −(1− i 3)5

resolução

Comecemos por colocar 1+ i 3 e 1− i 3 na forma trigonométrica. Temos

|1+ i 3 |= 1+ 3 = 2 ; |1− i 3 |= 1+ 3 = 2 .

O argumento de |1− i 3 |= 1+ 3 = 2 é um valor tal que se tenha

1=|1+ i 3 | cos θ e 3 =|1+ i 3 | senθ

Terá de ser então e e concluímos então que podemos escolher

Então 1+ i 3 = 2cis π3

. Do mesmo modo concluímos que 1− i 3 = 2cis − π3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟. Podemos

assim escrever que

z = (1+ i 3)5 + (1− i 3)5 = 2cis π3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5

+ 2cis−π3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5

= 25cis 5π3+ 25cis−5π

3

Como

cis 5π3= cos 5π

3+ i sen 5π

3= cos π+ π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ i sen π+ π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=−cos π

3− i sen π

3=−

12− i 3

2

cis−5π3= cos−5π

3+ i sen−5π

3= cos 5π

3− i sen 5π

3=−cos π

3+ i sen π

3=−

12+ i 3

2

Logo


z = 25 cis 5π3+ 25 cis−5π

3= 25 −

12− i 3

2−

12+ i 3

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−25 =−32

e, do mesmo modo,

w = (1+ i 3)5 −(1− i 3)5 = 25 −12− i 3

2+

12− i 3

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−i25 3 =−i32 3

4. Resolve, em

, a equação .

resolução

Fazendo obtemos a equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula resolvente:

z1=−1+ 1− 4 =−1+ i 3 ou z

2=−1− i 3

Vamos agora determinar as raízes quadradas destes dois números complexos. Vamos passar estes números para a forma trigonométrica. Temos, se for z

1= ρ cis θ =−1+ i 3 , que

e que terá de ser tal que e ; concluímos então

que podemos escolher . Assim z1=−1+ i 3 = 2cis 2π

3. Identicamente vem que

z2=−1− i 3 = 2cis 4π

3.

Precisamos agora de determinar as raízes quadradas destes números complexos. Pela fórmula de Moivre (NiuAleph, vol. 4, capítulo 16) vem que

;

As outras duas soluções obtêm-se das raízes quadradas de :

;


tp

tarefas propostas

1. Dados os números complexos e , determina , , e .

2. Resolve em

a equação z2i+

z +14−2i

= 3 .

3. Determina o(s) valor(es) que deve ter o parâmetro a de modo que o módulo do número com-

plexo a + i2+ i

seja igual a .

3.1 Determina o módulo e o argumento do número complexo tgπ

3− i .

3.2 Escreve o número complexo z = tgα+ itgα− i

na forma trigonométrica e na forma com .

(adaptado do exame de 12.º ano de Portugal de 1981)

4. Resolve, no conjunto dos números complexos, o sistema iz − w = 2i(1 − i)z + (2 + i)w = 1 + 4i

⎧⎨⎪

⎩⎪.

5. Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC] que tem um lado paralelo ao eixo horizontal e está inscrito numa circunferência de raio 2 cm. Está também representado um triângulo [A’B’C’] que resultou da rotação do triângulo [ABC] de amplitude 15º em torno da origem.

EA

A’

O

C C’

B’

B

0 5 10 15x0

5

10

15

y

–1 1 2 3 4 5

x

–4

–2

2

4

y

x

y


5.1 Sendo A, B, C, A’, B’ e C’ afixos dos complexos zA, zB, zC, zA’, zB’ e zC’; determina os complexos na forma trigonométrica e na forma algébrica.

5.2 Determina o número complexo cujas raízes cúbicas são zA , zB e zC.

5.3 Sabe-se que A’, B’ e C’ são afixos das raízes cúbicas de um complexo w. Determina w na forma algébrica.

5.4 Os vértices A’’, B’’ e C’’ de um triângulo que se obtém pela rotação de ângulo θ do triângulo [ABC] são afixos das raízes cúbicas de um número real. Qual é o menor valor positivo de θ ?

5.5 Determina, no conjunto dos números complexos uma condição que defina a região sombreada, incluindo os contornos.

6. Sejam z e w os números complexos e

Apresenta na forma algébrica e na forma trigonométrica o número complexo

7. Resolve em

a equação .

8. Representa no plano complexo (plano de Argand) o conjunto de pontos definido pela condi-ção , onde Re w representa a parte real do número complexo w.

C4

Capítulo 4 - exerCíCios que pressupõem raCioCínios demonstrativos

tr

tarefas resolvidas

1. Sejam f e g duas funções de domínio . Prova que se f e g possuem assintota não vertical então h = f + g também possui assíntota não vertical.

resolução

É dado que f e g possuem assintota não vertical. Como o seu domínio é tal assíntota só pode ser assíntota em +∞. Isto significa que existem retas de equação e

tais que e .

Para concluir que h = f + g também possui assíntota não vertical em +∞ teremos de en-


contrar uma reta que satisfaça a definição de assíntota. É de suspeitar que a reta de equação seja tal reta. Para ter a certeza teremos de provar esta conjetura. Temos

c.q.d.

2. Mostra, por meio de contraexemplos, que as funções da família definida por

nem são todas ímpares nem são todas pares, nem são todas “nem par nem ímpar”.

resolução

Uma função do tipo dado será uma função par se verificar ∀x∈

fm ,b

(−x) = fm ,b

(x) .

Mas

Logo, se for , uma função como a dada será par; se for , as correspondentes funções não serão pares. Logo, nem todas serão pares. Uma função do tipo dado será uma função ímpar se verificar .

Mas

Concluímos que, se for , algumas das funções da família dada serão ímpares. Mas se for as correspondentes funções não será ímpares. Logo, nem todas serão ímpares. E concluímos ainda que nem todas serão “nem par nem ímpar”.

c.q.d.

3. Mostra, por redução ao absurdo, que se f é uma função real de variável real, cujo domínio é toda a reta real, se é contínua para e se , então existe um intervalo aberto contendo o ponto a tal que se tenha para todo o ponto x desse intervalo.


resolução

Suponhamos então que, em vez da conclusão pretendida, se teria a conclusão contrária, isto é, que para todo o intervalo aberto contendo o ponto a haveria pelo menos um ponto x desse intervalo para o qual .

Tentemos chegar a um absurdo. A ideia é ir tomando intervalos cada vez mais pequenos de modo a obter uma sucessão de pontos onde a desigualdade supostamente não se veri-fica. Mas isso irá trazer problemas com a continuidade de f se escolhermos os intervalos de modo que essa sucessão convirja para .

Escolhamos então intervalos abertos contendo o ponto a cuja amplitude tenda para zero:

.

Pela nossa hipótese de trabalho, em cada um destes intervalos haverá pelo menos um ponto tal que .

Obtivemos assim uma sucessão de pontos do domínio de f e a convergir para a. Pela definição de continuidade terá de ser .

Mas é óbvio que se todos os termos da sucessão verificam também acon-

tecerá o mesmo com o seu limite. Ou seja, terá de ser . Mas isto é impossível pois contradiz a hipótese dada. Chegámos assim a um absurdo.

Concluímos então finalmente que terá de existir um intervalo aberto contendo o ponto a tal que se tenha para todo o ponto x desse intervalo.

c.q.d.

tp

tarefas propostas

1. Sejam f e g duas funções de domínio

. Prova que se é uma assíntota vertical para a função f e se g é contínua, então também é assíntota não vertical para a função h = f + g.

2. Demonstra que se o afixo do complexo está no eixo real e não coincide com a

origem, o afixo do complexo iz + zz − iz

está no eixo imaginário sobre uma circunferência de raio

1.


3. Reflete sobre a veracidade da seguinte afirmação:

“Há funções do tipo , que não são nem pares nem ímpares.”

4. Reflete sobre a veracidade da seguinte afirmação:

“Há funções do tipo que são ao mesmo tempo pares e ímpares.”

5. Usando um contraexemplo mostra a falsidade da afirmação:

“Uma função crescente é sempre positiva nalgum intervalo”

6. Seja um número real não nulo. Prova que é período da função definida por

.

7. Mostra, por meio de contraexemplos, que as funções da família definida por

nem são todas ímpares nem são todas pares, nem são todas “nem par nem ímpar”.

C5

Capítulo 5 - utilizar a CalCuladora gráfiCa para resolver proble-mas

tr

tarefas resolvidas

1. Considera a função real de variável real definida por .

Usando uma calculadora gráfica ou computador, determina os extremos relativos e os extre-mos absolutos.

resolução

A função dada tem um comportamento difícil de discernir. Por um lado e .

Por outro lado o outro fator oscila entre valores cujo módulo não é superior a 3. Experimen-


tando traçar o gráfico desta função, rapidamente concluímos que não conseguimos capturar no mesmo écran todos os extremos relativos.

Destes primeiros gráficos concluímos que haverá pelo menos 4 extremos relativos e nenhum máximo absoluto. Para os determinar com uma aproximação razoável (o enunciado não fala em aproximação pelo que será razoável uma aproximação às décimas para as abcissas) po-demos fazer ampliações sucessivas do gráfico ou então usar as ferramentas da calculadora ou computador para obter extremos:

Encontramos os máximos relativos 1,1 e 328655 e os mínimos relativos 0,04 e –7,6�106. Este método não nos garante que tenhamos encontrado todos os extremos (E não encontrámos! Consegues encontrar mais algum?). Apenas experimentámos alguns gráficos e pode haver mais em intervalos maiores do domínio, ou haver algum detalhe que seja preciso analisar com mais cuidado, o que é difícil de fazer sem um estudo mais aprofundado.

2. Num vale onde não existiam mosquitos caiu de um avião um contentor contendo uma coló-nia de mosquitos que um grupo de cientistas tinha encomendado para estudar. O contentor abriu-se e os mosquitos ocuparam o vale e começaram a reproduzir-se. O número M de mos-quitos existentes t anos após a queda do contentor é dado por .


2.1 Quantos mosquitos havia inicialmente no contentor?

2.2 Ao fim de quantos anos, aproximadamente, existirão 3000 mosquitos no vale?

2.3 Se o modelo matemático continuar a poder aplicar-se passados muitos anos, qual o número de mosquitos que existirá no vale passados muitos anos?

resolução

2.1 Para t = 0, temos que . Portanto havia 5000 mosqui-tos no contentor.

2.2 Temos

Recorrendo à calculadora gráfica, podemos obter um valor aproximado da solução:

Existirão 3000 mosquitos no vale passados 5,1 anos, ou seja, no segundo mês do quinto ano.

2.3 Temos que pelo que a colónia de mosquitos tenderá a

desaparecer do vale. Em que altura vai desaparecer? Recorrendo à calculadora gráfica obte-mos:

Concluímos então que no ano 86 morre o último mosquito (se considerarmos que apenas a


parte inteira do resultado diz respeito ao número de mosquitos existentes; se considerarmos o arredondamento do resultado a colónia de mosquitos extingue-se mais tarde – quando?).

tp

tarefas propostas

1. Considera as funções definidas por , , .

Esboça os gráficos na tua calculadora gráfica ou no computador. A partir dos gráficos que obtiveste diz se te parecem ser pares ou ímpares. Prova analiticamente as tuas conclusões.

2. Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por .

2.1 Utiliza o teorema de Bolzano-Cauchy (ver manual, vol. 3, capítulo 9) para mostrar que houve um instante, entre as 9h 30m e as 10h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg/ml.

2.2 Recorrendo à derivada da função C, determina o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máxima. Apresenta o resultado em horas e mi-nutos.

3. A lei de Dulong estabelece que se P atmosferas é a pressão absoluta de um vapor saturado

a uma temperatura de T graus Celsius, então para .

3.1 Calcula, arredondada às centésimas, a derivada da função P quando T = 100.

3.2 Esboça o gráfico da função no intervalo .

3.3 Determina, com aproximação às décimas, a temperatura para a qual a pressão é de 1,2 atmosferas.

4. Considera a função definida por g(x)= x43 + 4x

13 .

4.1 Determina analiticamente os extremos relativos e os pontos de inflexão da função g.

4.2 Usando a calculadora gráfica ou o computador esboça os gráficos de g, da sua primeira derivada e da sua segunda derivada e explica os resultados obtidos na alínea anterior.

60 Testes de tempo limitado

3. Testes de tempo limitado

t7

Teste 7 – Funções – Escolha múltipla45 minutos

Calculadora autorizada

1. As marés mais altas na superfície terrestre ocorrem na Baía de Minas, uma parte da Baía Fundy, que fica entre as províncias canadianas de Nova Brunswick e Nova Escócia, onde as marés podem atingir uma altura máxima de 16m. As alturas da maré, ao longo de determi-nado período estão assinaladas no gráfico abaixo.

EA

A’

O

C C’

B’

B

0 5 10 15x0

5

10

15

y

–1 1 2 3 4 5

x

–4

–2

2

4

y

x

y

Este gráfico pode ser a representação da função sinusoidal .

O valor de d na função sinusoidal é

(A) 0 (B) 8 (C) 12 (D) 16

(adaptado de exame do estado canadiano de Alberta, 2002)

2. Se log3y = c – log3x, onde x > 0 e y > 0, então y é igual a

(A) c – x (B) (C) (D)


61Testes de tempo limitado

3. Se satisfaz a igualdade então os valores possíveis de k são

(A) 6 e 1 (B) –1 e 6 (C) –5 e 6 (D) 2 e 3

(adaptado de exame do estado australiano de Victoria, 2002)

4. Qual das seguintes afirmações não é verdadeira sobre a função

f : + →

x f (x) = log2(x )

(A) Tem uma assíntota vertical de equação x = 0.

(B) Passa pelo ponto (2,0).

(C) O declive da tangente em qualquer ponto do gráfico da função é positivo.

(D) O conjunto de chegada é .


5. Uma determinada população de bactérias duplica a cada 7 dias. Que função nos dá o número N de bactérias ao fim de t dias, sabendo que o valor inicial de bactérias é 500?

(A) N(t)= 500×7t2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(B) N(t)= 500×27t( )

(C) N(t)= 500×72t( )

(D) N(t)= 500×2t7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(adaptado de exame do estado canadiano de Nova Escócia, 2008)

6. Que tipo de função seria o melhor modelo para estes dados?

x 1 2 3 4 5 6y 4 13 26 43 64 89

(A) cúbica (B) exponencial (C) logarítmica (D) quadrática

(adaptado de exame do estado canadiano de Terra Nova, 2003)


t8

Teste 8 – Funções – Resposta aberta45 minutos

Calculadora não autorizada

1. O número de pinguins, P, depois de estarem t anos numa nova colónia pode ser determinado usando a fórmula .

1.1 Se houver 24 pinguins passados 2 anos, determina o valor de a.

1.2 Quantos anos terão de passar para se ultrapassar o número de 1500 pinguins?

(adaptado de exame do estado australiano de New South Wales, 2008)

2. A Susana tentou obter na calculadora o valor do número real x a partir . Ob-

teve a mensagem de erro ‘NONREAL ANS’ (‘resposta não real’) na sua calculadora ao ten-tar calcular . Explica porquê.

(adaptado de exame do estado canadiano de British Columbia, 2005)

3. Resolve algebricamente


4. Seja f a função de domínio ]–∞,+∞[, definida por

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coor-denados, escrevendo as suas equações, caso existam.

(variação de exame nacional de Portugal, 1ª fase, 2008)

5. Numa piscicultura, existe um tanque que tem atualmente 300 robalos. Ao serem introduzi-das x trutas no tanque, a proporção P (x) do número de trutas, relativamente ao número

total de peixes que passam a existir no tanque, é tal que .

5.1 A equação P (x) = 1 é impossível. Interpreta este resultado no contexto do problema.

5.2 Pretende-se que a percentagem de trutas, relativamente ao número total de peixes, seja de 25%. Qual deve ser o número de trutas a introduzir no tanque?

5.3 Estuda a função P quanto à monotonia e interpreta-a no contexto do problema.

(variação de exame nacional de Portugal de Matemática B, 2ª fase, 2008)


t9

Teste 9 – Funções – Resposta aberta90 minutos


1. O gráfico da função derivada de uma dada função f é o que mostra a figura.

EA

A’

O

C C’

B’

B

0 5 10 15x0

5

10

15

y

–1 1 2 3 4 5

x

–4

–2

2

4

y

x

y

Esboça dois gráficos possíveis para a função f.


2. A Sara está a estudar as inundações que ocorreram na Europa no passado inverno. Ela descobriu que a profundidade do Rio Vltava em Praga mudou muito rapidamente durante as primeiras 12 horas da inundação. A Sara descobriu que a profundidade do rio podia ser modelada pela equação onde D é a profundidade do rio em metros e t é o número de horas decorridas desde que começou a chover.

Esboça o gráfico da profundidade do rio nas primeiras 12 horas da inundação.


3. Resolve algebricamente as equações:

3.1 3.2

(adaptado de exame do estado canadiano de Nova Scotia, 2008)

4. Lei de Moore

Um dos principais componentes de um computador é um chip. Um chip é um circuito elec-


trónico que é constituído por muitos milhares de transístores. Contudo, um chip não é maior do que uns milímetros quadrados.

Em 1961 foi feito o primeiro chip experimental que era formado por 4 transístores. Este chip é mostrado (muito ampliado) na figura acima. Gordon Moore foi uma das pessoas envolvidas na equipa que o criou. Em 1965 ele previu que que o número de transístores por chip iria aumentar exponencialmente. Esta previsão passou a ser conhecida por Lei de Moore.

Até ver parece que a cada dois anos o número de chips por transístor duplica. Portanto a

fórmula que traduz a Lei de Moore será A= 4×2t2 onde A representa o número de transís-

tores por chip e t o número de anos depois de 1961.

4.1 Calcula quantos transístores existiam em cada chip, de acordo com esta fórmula em 1961.

4.2 À medida que o número de transístores por chip aumenta há cada vez menos espaço disponível em cada chip. Supõe que em 2004 um certo chip tem um tamanho de 8 mm2

e cada transístor ocupa uma área igual. Calcula, usando a fórmula da Lei de Moore, quantos milímetros quadrados estavam disponíveis para cada transístor em cada chip. Dá a tua resposta, em milímetros quadrados, com um arredondamento de dez casas decimais.

4.3 A colocação de mais transístores numa chip chama-se miniaturização. De acordo com os cientistas de hoje, a miniaturização não pode continuar indefinidamente. Não será possível colocar mais de 107 transístores em cada mm2. A partir do momento que essa densidade for atingida, não será possível continuar a usar a Lei de Moore. Supõe que no futuro os chips têm 8 mm2. Calcula a partir de quando, de acordo com os cientistas actuais, a Lei de Moore já não se poderá aplicar.

4.4 Em 1968, Moore foi um dos fundadores da empresa que se tornou conhecida pelos chips particulares (processadores) que produz, a Intel. O primeiro processador da Intel foi


criado em 1971. Consistia em cerca de 2250 transístores. Supõe-se que o número de transístores num processador também duplica em cada dois anos. Tal lei é agora tradu-

zida pela fórmula onde P é o número de transístores no processador e T o número de anos decorridos desde 1971. Suponha que, ao contrário das expectativas dos cientistas actuais, as fórmulas para A (o número de transístores por chip) e P (o número de transístores por processador) se mantêm válidas indefinidamente. Deter-

mina a diferença de anos para os dois valores ultrapassarem um milhar de milhão .

(adaptado de exame da Holanda, 2007)

5. Seja z =−1+ i , onde i2 =−1 .

5.1 Usa a fórmula de Moivre para calcular e .

5.2 Mostra que .

(adaptado de exame da Irlanda, 2007)

6. Determina, a partir da definição, a derivada da função e a equação da tangente ao

gráfico de f no ponto .

(adaptado de exame da Irlanda, 2007)


t10

Teste 10 – Funções – Escolha múltipla e Resposta aberta90 minutos


Grupo I

1. Para que valor de x tem função f dada por um ponto de inflexão?

(A) 0,092 (B) 0,096 (C) 0,288 (D) 0,366

(adaptado de exame dos EUA, 2003)

2. Em qual dos seguintes pontos tanto a primeira derivada como a segunda derivadas de f são ambas negativas?

A

(0, 2)

(4, 10)

(6, 15.66)

(8, 18)

(12,10)

(16, 2)

O

B

CD

x

f

y

–4 –2 2 4x

–1

1

2

3

y

0 5 10 15t

5

10

15

h

P(z)

Q(w)

–6 –4 –2 2 4 6x

–1

1

2

3

4

5

6

y

y = f(x)

(A) A (B) B (C) C (D) D

(adaptado de exame dos EUA, 2003)

3. O gráfico da função f : [–2, 2] →

, f (x)=P × sen(k×ω×x)+Q é mostrado a seguir:

A

(0, 2)

(4, 10)

(6, 15.66)

(8, 18)

(12,10)

(16, 2)

O

B

CD

x

f

y

–4 –2 2 4x

–1

1

2

3

y

0 5 10 15t

5

10

15

h

P(z)

Q(w)

–6 –4 –2 2 4 6x

–1

1

2

3

4

5

6

y

y = f(x)


Os valores de P, k e Q são, respetivamente:

(A) 2; 0,5; 1 (B) 2; 2; 1 (C) –2; 2; –1 (D) –2; 0,5; 1


Grupo II

4. Considera a função dada por .

4.1 Quando m = –4, determina os valores de x para os quais f (x) = 0.

4.2 Determina todos os valores reais de m para os quais a equação f (x) = m + 1 não tem solução real x.

(adaptado de: exame vestibular brasileiro do estado de São Paulo)

5. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admite que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por

e

A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o me-dicamento é tomado ( ).

5.1 Determina o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze minutos depois de ela o ter tomado. Apresenta o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas.

5.2 No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determina quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

5.3 Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com algu-ma destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado?

Nota: Usa as capacidades gráficas da tua calculadora para responder a esta questão e, sem-pre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, cinco casas decimais.

(variação de exame nacional de Portugal, 1.ª fase, 2002)

6.

6.1 Determina um valor exato de .

6.2 Escreve como um único logaritmo.

(adaptado de exame do estado canadiano de Manitoba, 2009)


7. Resolve algebricamente em ordem a

32 14

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

x+2

= 843

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(adaptado de exame do estado canadiano de NewFoundLand, 2008)

8. A população numa comunidade tem vindo a declinar ao longo de um período de 40 anos como mostra a tabela abaixo, mas não se espera que desça abaixo de 2500. Determina a função exponencial que descreve esta população em qualquer instante de tempo e use-a para determinar a população no fim de 2020 se esta tendência continuar.

Ano 1960 1970 1980 1990 2000Tempo (t) 0 10 20 30 40

População (P (t)) 26500 9760 4696 3164 2701

(adaptado de exame do estado canadiano de NewFoundLand, 2009)

9. Considera a função , de domínio

, definida por .

Sem recorrer à calculadora, resolve as três alíneas seguintes:

9.1 Utilizando a definição de derivada de uma função calcula .

9.2 Estuda a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de ponto de inflexão.

9.3 Determina os valores de reais tais que .

Utilizando a calculadora responde à alínea seguinte:

9.4 Esboça o gráfico de na tua calculadora, num rectângulo de visualização adequado que explicitarás e justificarás, e explica em que medida observas no gráfico o que foi determinado nas alíneas 1, 2 e 3.

(variação de exame nacional de Portugal, 2º fase, 2003)

10. Determina a derivada de f (x)= e−

12

x−34

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2

. Para que valores de se tem que é negati-

va?

(adaptado de exame da Finlândia, 1999)

11. Alguém tomou anfetaminas. A quantidade de anfetaminas no corpo humano pode ser descri-

ta pelo modelo onde é o tempo depois de ter sido ingerida a substância (medido em horas), e é a quantidade de anfetaminas no corpo (medida em miligramas).


11.1 O que é que os números 15 e 1.19 significam em termos do volume de anfetaminas presente no corpo?

11.2 Determina a quantidade de anfetaminas no corpo após 2 horas. Determina a meia-vida (isto é o tempo decorrido até a substância se reduzir a metade) do volume de anfeta-minas no corpo.

(Fonte: Henrik Rindom: Biologia dos tóxicos, Departamento de Saúde, 2000)

(adaptado de: exame da Dinamarca, 2008)

12. Considera, para cada a função, de domínio + definida por . Prova que,

qualquer que seja o valor de , o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima.

(variação de: exame nacional de Portugal, 2.ª fase, 2004)


t11

Teste 11 – Global – Escolha múltipla45 minutos


1. A altura h, em metros, de um ponto de uma roda gigante no instante t, em segundos, pode ser representado por uma função sinusoidal da forma como se mostra na figura.

A

(0, 2)

(4, 10)

(6, 15.66)

(8, 18)

(12,10)

(16, 2)

O

B

CD

x

f

y

–4 –2 2 4x

–1

1

2

3

y

0 5 10 15t

5

10

15

h

P(z)

Q(w)

–6 –4 –2 2 4 6x

–1

1

2

3

4

5

6

y

y = f(x)

A função que melhor descreve a altura do ponto da roda gigante é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)

2. O contradomínio da função , é

(A) (B) (C) (D)

(adaptado de exames da Austrália, estado de Victoria, 2008)


3. Se e , então é igual a:

(A) (B) (C) (D)


4. O número de maneiras de arranjar 9 livros diferentes numa prateleira se 4 dos livros devem ficar estar sempre juntos é:

(A) 6! 4! (B) 5! (C) 9!4!

(D) 5! + 4!

(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2009)

5. O conjunto solução de é:

(A) {1} (B) {–1} (C) {–1,1} (D) {}

(adaptado de exames dos EUA, estado de Nova Iorque, 2006)

6. O David atira uma moeda ao ar 3 vezes. Qual é a probabilidade de que pelo menos num dos lançamentos a moeda mostre “cara”?

(A) 18

(B) 38

(C) 12

(D) 78

(adaptado de exames do Canadá, estado de Manitoba, 2007)

7. Qual é o inverso multiplicativo de 3i?

(A) −3i (B) –3 (C) (D) −i3

(adaptado de exames dos EUA, estado de Nova Iorque, 2006)

8. Um exemplo de acontecimentos dependentes é dado ao retirar um berlinde vermelho de uma caixa e tirar

(A) um berlinde vermelho de uma outra caixa

(B) um berlinde verde de uma outra caixa

(C) um berlinde vermelho da mesma caixa, depois de recolocar o primeiro berlinde na caixa

(D) um berlinde verde da mesma caixa, sem recolocar o primeiro berlinde na caixa

(adaptado de exames do Canadá, estado de Alberta, 2001)


t12

Teste 12 – Global – Escolha múltipla45 minutos


1. O número mínimo de vezes que uma moeda equilibrada com cara numa face e coroa na outra deve ser lançada ao ar de modo que a probabilidade de sair cara em todos os lançamentos seja inferior a 0,0005 é

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11


2. Resolve a equação . A solução é

(A) 0 (B) 1 (C) 1718

(D) 1819


3. No final do mês de Abril de 2003, a população de Belém do Pará viveu um dia de pânico por causa de boatos que se espalhavam rapidamente pela cidade. Tudo começou de manhã muito cedo, com um assalto a um carro blindado em frente a um banco, localizado numa avenida movimentada. A polícia perseguiu os bandidos e estes fizeram reféns. As testemunhas do ocorrido iniciaram os boatos ao espalhar, sem muita clareza, o que acontecera. A quantidade de pessoas que recebia informações distorcidas sobre o facto duplicava a cada 10 minutos e, depois de uma hora, 1024 cidadãos de Belém do Pará já se encontravam aterrorizados, achando que a cidade estava ser tomada por bandidos. Ao final da manhã, bancos, comércio, escolas e repartições públicas já estavam com o expediente encerrado. Com base nos números citados, quantas pessoas testemunharam o assalto?

(A) 4 pessoas (B) 8 pessoas (C) 16 pessoas (D) 32 pessoas

(adaptado de exame vestibular brasileiro do estado do Pará)

4. Qual das seguintes funções tem por derivada a função definida por no intervalo

]0,3[.

(A)

(B)

(C)

(D)



5. O gráfico de y = f (x) = bx, onde b > 1, é translatado de tal modo que a equação do novo gráfico é expressa por y – 2 = f (x – 1). O contradomínio da nova função é

(A) ]2,+∞[ (B) ]3,+∞[ (C) ]–1,+∞[ (D) ]–2,+∞[


6. Estudos científicos constatam que a quantidade de peças produzidas em uma empresa, x

anos após o início do lançamento do seu fabrico, é dada pela expressão

Nessas condições, daqui a quanto tempo, aproximadamente, após o início dessa fabricação serão produzidas 5000 peças?

(A) 38 dias (B) 56 dias (C) 78 dias (D) 114 dias

(adaptado de: exame vestibular brasileiro do estado do Mato Grosso do Sul, Brasil)


t13

Teste 13 – Global – Resposta aberta45 minutos


1. Os pontos P e Q no diagrama de Argand representam os números complexos z e w respec-tivamente.

A

(0, 2)

(4, 10)

(6, 15.66)

(8, 18)

(12,10)

(16, 2)

O

B

CD

x

f

y

–4 –2 2 4x

–1

1

2

3

y

0 5 10 15t

5

10

15

h

P(z)

Q(w)

–6 –4 –2 2 4 6x

–1

1

2

3

4

5

6

y

y = f(x)

Copia o diagrama para a tua folha de resposta e assinala nele os seguintes pontos:

1.1 o ponto R a representar iz;

1.2 o ponto S a representar z ;

1.3 o ponto T a representar z + w.

(adaptado de: exame do estado australiano de New South Wales, 2009)

2. Uma função f é definida no conjunto dos números reais tal que o declive da reta tangente ao gráfico da função num ponto arbitrário (x,y) é . O valor mínimo da função é 2. Procura f.

(adaptado de exames da Finlândia, 2000)

3. Seja f a função assim definida com a e b números reais dife-rentes de zero.

Mostra que, qualquer que seja o a e de b, existe sempre um valor de x tal que .

(adaptado de exames de Itália, 2004)

4. Dá um exemplo de um função g, não constante, tal que: e .

(adaptado de exames de Itália, 2004)

5. Define o conjugado z do número complexo z. Mostra que se tem que z1×z

2= z

1×z

2 para

dois números complexos e . Resolve a equação z 2 + z +1= 0 .

(adaptado de exames da Finlândia, 2001)


t14

Teste 14 – Global – Resposta aberta90 minutos


1. O gráfico da função f é dado por

A

(0, 2)

(4, 10)

(6, 15.66)

(8, 18)

(12,10)

(16, 2)

O

B

CD

x

f

y

–4 –2 2 4x

–1

1

2

3

y

0 5 10 15t

5

10

15

h

P(z)

Q(w)

–6 –4 –2 2 4 6x

–1

1

2

3

4

5

6

y

y = f(x)

A partir deste gráfico determina:

1.1 ;

1.2 ;

1.3 os valores de x para os quais y = f (x) não é derivável.


2. Sabe-se que, para qualquer n inteiro positivo .

Este limite continua verdadeiro mesmo que n seja um número racional, desde que a seja

positivo. Usando este resultado calcula

(adaptado de exame estadual da Índia, 2007/2008)


3. Considera a função , de domínio + , definida por

Sem recorrer à calculadora, resolve as duas alíneas seguintes:

3.1 Utilizando a definição de derivada de uma função calcula .

3.2 Estuda a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à exis-tência de ponto de inflexão.

Utilizando a calculadora responde às duas alíneas seguintes:

3.3 Determina os valores de reais tais que .

3.4 Esboça o gráfico de na tua calculadora, num rectângulo de visualização adequado que explicitarás e justificarás, e explica em que medida observas no gráfico o que foi determinado nas duas primeiras alíneas.

(variação de exame nacional de Portugal, 2º fase, 2003)

4. A invenção dos logaritmos teve como resultado imediato o aparecimento de tabelas, cujos cálculos eram feitos um a um. O projeto do inglês Charles Babbage (séc. XIX), “pai dos computadores modernos”, era construir uma máquina para a montagem dessas tabelas, como por exemplo:

x 2 3 4 5 6 ...log x 0,30 0,47 0,60 0,70 0,78 ...

Usando esta tabela determina o valor que se obtém para log 450.

(adaptado de exame vestibular brasileiro do estado de São Paulo)

5. Seja , β = 3 + i e γ = 1+ i , com i2 =−1 . Determina o valor absoluto r e o argu-

mento de ( ).

(adaptado de exame do Japão, 2008)

6. Os microrganismos proliferam por divisão celular. Pretende-se retardar a divisão celular numa determinada amostra de microrganismos contidos num tecido particular. Faz-se a in-jeção de um medicamento no tecido e o número de microrganismos desde essa altura é dado

pela função definida por , , sendo f (t) medido em milhões em

função do tempo t medido em horas.

6.1 Determina o número de microrganismos ao fim de 3 horas do medicamento ser injeta-do.

6.2 Determina e dá uma interpretação desse valor.


6.3 Resolve a desigualdade .

6.4 Determina o valor máximo que o número de microrganismos atingiu após o medica-mento ter sido injetado.

(adaptado de exame da Dinamarca, 2007)

7. Acha a e b para que a função

seja contínua em todo o

.

(adaptado de exame de Espanha, 2007)


t15

Teste 15 – Global90 minutos


Grupo I

1. A fracção é igual a:

(A) 1 (B) 2 (C) −52

(D) −116

(adaptado de exame vestibular brasileiro do estado de São Paulo)

2. O gráfico da função f, de domínio

, definida por , tem uma única assíntota.

Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?

(A) y = 0 (B) y = 0,1 (C) y = 0,2 (D) y = 0,3


3. Usando a fórmula de aproximação onde com § = 3, um valor aproximado de é dado por

(A)

(B)

(C)

(D)


4. Uma casa foi comprada em 1984 por 35 000 dólares. Suponhamos que o valor da casa au-mentou 3% por ano desde essa altura.

Que expressão nos dá o valor da casa em 2009?

(A)

(B)

(C)

(D)

(adaptado de exame do estado australiano de New South Wales, 2009)

5. De uma função g, de domínio , sabe-se que a recta de equação y = x é assíntota do seu gráfico.


Qual é o valor de ?

(A) –∞ (B) +∞ (C) 0 (D) 17


6. Que tipo de função modelaria melhor os dados da tabela?

x –2 –1 0 1 2

y –1 –1 1 5 11

(A) cúbica (B) exponencial (C) linear (D) quadrática

(adaptado de exame do estado canadiano de Terra Nova, 2005)

Grupo II

7. Pode-se modelar a previsão de doença em Angola a partir de .

onde y exprime o número de doentes em milhares, em função do tempo x expresso em anos passados desde o ano 2000.

7.1 Qual dos valores 14 ou 1,023 exprime o número de milhares pessoas doentes no ano 2000?

7.2 Em que ano o número de doentes duplicará relativamente ao número de doentes exis-tentes no ano 2000?

Fonte: www.globalis.dk

(adaptado de exame da Dinamarca, 2008)

8. Considera a função f, definida em [1 , +∞[ por .

8.1 Justifica a continuidade de f em [1, +∞[.

8.2 Mostra que f é crescente em [1, +∞[.

(adaptado de exame da França - baccalauréat, 2005)

9. Demonstra que a equação tem uma e uma só solução e determina um valor aproximado às centésimas, usando um método de iteração à tua escolha.

(adaptado de exame da Itália, 2004)


10. Seja f a função definida por

com a e b números reais diferentes de zero. Considera a função g obtida a partir de f pondo . Estuda a função g e esboça o seu gráfico.

(adaptado de exame da Itália, 2004)

11. Considera as letras ABDDDETX.

11.1 Quantos arranjos são possíveis se se usarem todas as 8 letras?

11.2 Quantos arranjos são possíveis se o A e o E ficarem juntos e se se usarem todas as 8 letras?

11.3 Quantos arranjos são possíveis se o A e o E não ficarem juntos e se se usarem todas as 8 letras?

(adaptado de exame do estado canadiano de Manitoba, 2007)

81Soluções

Soluções1 – Exercícios globais de 2.ª oportunidade

C9

Capítulo 9 – limites de funções

Pratica ↑

1. –

2.

2.1 Por exemplo,

2.2 Por exemplo,

2.3 Por exemplo,

3.

3.1 Sim. Os limites laterais são iguais

3.2 Não. Os limites laterais são diferen-tes

3.3 Não. Os limites laterais são diferen-tes

4.

4.1

4.2

4.3 +∞

4.4 −∞

4.5 −∞

5.

5.1 Consideremos o gráfico obtido com

a calculadora da função :

Pela análise do gráfico podemos conjeturar que

não existe pois os limites laterais são di-

ferentes. limx→2−

y1

y2

= −∞ e

5.2

Pela análise do gráfico somos levados a constatar

que e que , apesar da fun-

ção não estar definida para .

82 Soluções

6.

6.1 Df= \{2} ; D

g= +

6.2 O gráfico de f tem uma assíntota vertical e que é x = 2 e x = 0 é uma assíntota vertical do gráfico de g

7. O gráfico da função f tem uma assíntota horizontal quando e que é a reta

de equação

O gráfico da função f tem uma assíntota horizontal quando e que é a reta de equação

O gráfico da função g não tem nenhuma assíntota horizontal.

8.

9.

9.1

9.1.1

9.1.2

9.2 f é contínua à direita de porque

10.

10.1 –

10.2 –

10.3 É contínua

11.

11.1 h(1)= 5 ; h(2,5)= 1,25

11.2 –


12.

12.1 Verdadeira

12.2 Falsa

12.3 Verdadeira

13.

13.1 Converge para 1

13.2 Divergente



14. –

15.

15.1 –

15.2 –

16.

16.1 –

16.2 –

16.3 –

16.4 –

16.5 –

17.

17.1 +∞

17.2

17.3 −∞

18.

18.1

18.2 0

18.3 +∞

18.4

19.

83Soluções

19.1 é uma assíntota vertical do gráfico de m e é uma assínto-ta horizontal

19.2 é assíntota vertical do gráfico

da função r e é assínto-

ta oblíqua do gráfico de função r

19.3 As retas de equação e são assíntotas verticais do gráfico da função h e é assín-tota oblíqua do gráfico de função h

19.4 é assíntota vertical do gráfi-co de g e é assíntota oblíqua do gráfico de g

19.5 é assíntota vertical do gráfico de f e é assíntota oblí-qua do gráfico de f

20. é assíntota vertical do gráfico da função g e é única

Reflete ↑ ↑ ↑

21.

21.1 2

21.2

22.

22.1 Por exemplo consideran-do e

22.2 Por exemplo considerando e



23.

23.1 Por exemplo considerando a função

23.2 Por exemplo considerando a função

23.3 Por exemplo considerando, tam-bém, a função

24. Consideremos, por exemplo, as funções:

e

A soma destas duas funções é uma função contínua em

.

C10

Capítulo 10 – CálCulo diferenCial

Pratica ↑

1.

1.1 f '(x)= 20x + 9

1.2 f '(x)= 18x2 −10x +1

1.3 f '(s)=−1+ 8s−20s3

1.4 f '(t)=−12t 3 + 24t 5

1.5 g '(x)= 3x2(2x2 + 3)+ (x 3 −7)4x= 6x 4 + 9x2 + 4x 4 −28x= 10x 4 + 9x2 −28x

1.6 k '(x)= 36x2 −68x + 26

1.7 h '(r)= 18r 5 −21r 2 + 4r

84 Soluções

1.8 g '(s)= 8s3 + 3s2 −20s +13

1.9 f '(x)= 239x2 +12x + 4

1.10 h '(x)= 8x2 −16x −5x2 −2x +1

1.11 h '(z)= 70+12z −27z 2

4−36z + 81z 2

1.12 f '(w)= −4w 3 −14w 6 −14w 3 − 49

1.13

f '(x)= −1−2x −3x2

1+ 2x + 3x2 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 6

1.14 g '(x)= −3x + 2x 3

1.15 t '(x)= −2x2 − 4x 5

2.

2.1

f '(x)= 6x 5 − 45x 4 + 204x 3 −513x2 + 816x −576

2.2 r '(x)= 1

3 x23

2.3 g '(z)= 12(z 4 −1)(z 4 +1)z13

2.4 s '(t)=−135(3t + 4)2

(6t −7)4

2.5 k '(u)= 2(x2 +1)2(2x2 −15x −10)(4x −5)6

2.6 f '(x)= 124x(3x2 −5)(2x2 + 7)3

2.7 m '(x)= 8x −7

2 4x2 −7x + 4

2.8 h '(x)= 2 x 5 (x2 +1)7

2.9 f '(x)= 3x 5 −3x2

3.

3.1 f '(x)= 5(3x + 2)x 3(x +1)2

3.2 g '(x)= x −3

2 x + 3+ x + 3

3.3 h '(x)=− 1

2x2 x

3.4 f '(x)= 3ex

3.5 g '(x)= 3e3x+2

3.6 h '(x)= (4x + 3)e2x2+3x−2

3.7 f '(x)= (2x2 + x + 2)ex

3.8 g '(x)= ex(x −1)x2

3.9 h '(x)= (x −1)ex −3x 3(3x −8)(x + 2)2

3.10 f '(x)= 9x − 4x(3x −2)

85Soluções

3.11 g '(x)= ln(x)+1

3.12 j '(x)= (2x −3)ln(x + 2)+ x(x −3)x + 2

3.13 h '(x)= 1− ln(x)x2

3.14 f '(x)=− 1x(ln(x))2

3.15 g '(x)= 1x(x −3)

−ln(x)

(x −3)2

3.16 h '(x)= ex(x −1)x(x +ex )

3.17 f '(x)= 1x(x +1)

3.18 g '(x)= 4+ 2 ln(x)x

3.19 h '(x)= ex −e xe−1

3.20 f '(x)= ln(2) ⋅2x


4. –

5.

5.1 f '(x)= 2

5.2 f '(x)= 2x

5.3 f '(x)= 3x2

5.4 f '(x)=− 1x2

5.5 f '(2)= 1

5.6 f '(x)= ex

5.7 f '(x)= 1x

6.

6.1 f '(x)= 6x − 5 ; Df '=

6.2

6.2.1 f '(2)= 7

6.2.2 f '(− 2)=−6 2−5

6.2.3 f '(a)= 6a + 5

Reflete ↑ ↑ ↑

7. –

8. f '(x)= limh→0

x +h − xh

= limh→0

x +h − xh

⋅x +h + x

x +h + x

= limh→0

x +h−x

h( x +h + x)

= limh→0

h

h ( x +h + x)

= limh→0

1

x +h + x

=1

x + x=

1

2 x

O que é válido para todo o x > 0 .

Estudemos o que se passa no caso de x = 0 .

f '(0)= limh→0+

0+h − 0h

= limh→0+

hh= lim

h→0+

1

h=

10+= +∞

Dado que não obtivemos um número real este limite não existe e, consequentemen-

86 Soluções

te, f '(0) não existe. Logo, o domínio de f ' é + .

C11

Capítulo 11 – apliCações do CálCulo di-ferenCial

Pratica ↑

1. A função f é monótona decrescente em e em , é monótona

crescente em . Apresenta um mí-nimo relativo para e um máximo absoluto para .

2.

2.1

2.2 h é decrescente de e crescente de . A função apresenta um mínimo absoluto igual a para

.

2.3

3.

3.1

3.2 A reta de equação é as-síntota vertical do gráfico de f, e é a única vertical porque f é con-tínua em e em . A reta de equação é uma as-síntota horizontal do gráfico de f.

3.3 –

3.4 Coordenadas dos pontos de infle-

xão: e .

4.

- Domínio:

- Paridade

A ímpar, basta, portanto, estudá-la em .

- Assíntotas

é a equação de uma assíntota ver-tical do gráfico de f.

Não tem assíntotas não verticais.

- Variação da função

Aplicando as regras de derivação obtém--se:

, para .

Como em , a função é crescente nesse intervalo.

- Sentido das concavidades

, para .

Como para , o grá-fico de f tem concavidade voltada para cima em e, por f ser ímpar, tem con-cavidade voltada para baixo em .

A origem do referencial é ponto de infle-xão do gráfico de f.

- Representação gráfica

Atendendo ao estudo feito e ao facto de a função ser ímpar, podemos construir uma representação gráfica da função f.

87Soluções

5.

5.1 10 minutos.

5.2 –

5.2.1 A função é estritamente de-crescente.

5.2.2 A função é estritamente crescente.

5.3 No primeiro caso, o facto de a fun-ção T ser estritamente decrescente, significa que quando a temperatura inicial do café é maior do que a tem-peratura ambiente, o café vai arrefe-cendo à medida que o tempo passa. No segundo caso, o facto de a fun-ção T ser estritamente crescente, significa que quando a temperatu-ra inicial do café é menor do que a temperatura ambiente, o café vai aquecendo à medida que o tempo passa.

6.

6.1 –

6.2 20 anos

6.3 33,5 anos


7.

7.1

7.2

7.3 A função tem um extremo relativo

igual a e 3

22 2,24 para

7.4

7.5 Pontos de interseção: (0,71,4,88)e (1,58,2,25)

8. A

8.1

8.2

8.3 A função é monótona decrescente em e monótona crescente em

8.4 –

9.

9.1 T(0)= 36,2+ 22,25(e0 −e0)= 36,2

9.2 3 horas

9.3 3 horas

9.4 limt→+∞

T(t)= 36,2

Isto significa que à medida que o

88 Soluções

tempo passa, e o Sérgio está fora da câmara frigorífica, a sua tempera-tura corporal tende a igualar a temperatura que ele tinha antes de entrar dentro da câmara.

10.

10.1

10.2 10 horas e 33 minutos.

10.3 1 hora e 7 minutos depois da sopa ter sido colocada no frigorífico.

Reflete ↑ ↑ ↑

11. –

12.

12.1

12.2 –

13.

13.1

13.2 –

13.3

13.4 f é monótona decrescente no inter-valo e é monótona crescente no intervalo , apresenta um mínimo absoluto igual a para

.

13.5

14.

14.1

14.2 Façamos a representação gráfica das funções p e m e determinemos as abcissas dos seus pontos de in-terseção.

Os cães de ambas as raças têm o mesmo peso médio com 1 ano e 1 mês e 7 anos e 5 meses.

15. –

C13

Capítulo 13 – funções trigonométriCas

Pratica ↑

1.

1.1

1.2

2.

2.1

2.2

3.

89Soluções

4. Crescente:

Decrescente:

Mínimo relativo:

Máximo relativo:

5. Positivo

6.

7. ;

8.

8.1

8.2

9.

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

10.

10.1 y = 2x −2π

10.2 y =−x + π2

11.

11.1 Máximos: π

4+ kπ,1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

Mínimos: 3π4+ kπ,−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

11.2 Máximo: 5π3

, 5π+ 3 36

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Mínimo: π

3, 5π−3 3

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

12.

12.1 61%

12.2 28 dias

12.3 7 de janeiro

12.4 0%

13. e

14.

14.1 3 segundos

14.2 decrescente: e crescente:

14.3 0,5 litros.


15.

15.4

15.5

16.

16.1

90 Soluções

16.2

17. –

18.

19.

19.1 1

19.2

20.

20.1

20.2

20.3

20.4

20.5

21.

21.1

21.2

21.3

21.4 1

22. Máximo: ; Mínimo: 3π2

,−e3π2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

23.

23.1

23.2

23.3

Reflete ↑ ↑ ↑

24.

25.

25.1 a = 1 e b = 3

25.2

26.

26.1

26.2 Decrescente em:

Crescente em:

26.3

27. x = 0 e y = 0

28.

28.1 1

28.2 2

28.3 0

29. ;

30.

30.1 –

30.2

91Soluções

C15

Capítulo 15 – a Álgebra dos números Complexos

Pratica ↑

1. 2 2;5

2. i; 79+

59

i

3. 0

4. 12+

12

i

5. x = 1 e y = 0

6.

6.1 3 – i

6.2 8 + i

6.3

6.4

7.

8.

8.1 8 – i

8.2 16 – 11i

8.3

8.4

8.5 –3

9. 3 + 10i

10.

10.1 1 – 5i; 1 + 5i

10.2 –3; 3; –i; i

11. –38 – 41i

12. –i; –i; 1; 1; i; –1

13.


14. –

15.

15.1 –

15.2 –1; 3 – 4i; 3 + 4i

16.

17.

17.1

17.2 2

18.

19.

92 Soluções

Reflete ↑ ↑ ↑

20.

21. Para todo o

22. –

23. Sugestão: Os lados opostos são paralelos ou as diagonais bissetam-se

C16

Capítulo 16 – a Geometria dos números Complexos

Pratica ↑

1.

1.1

1.2

1.3

2.

3. –38 – 41i

4.

5.

6.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

7.

7.1 3 + 3i

7.2

7.3 4i

7.4

8.

8.1 Circunferência de centro em (0,–3) e raio 5

8.2 Circunferência de centro em (–2,3) e raio 4

8.3 Mediatriz do segmento de extremos (1,1) e (–2,3)

8.4 Semirreta de origem no ponto

(3,–1) e que faz um ângulo de como eixo Ox.

8.5 Reta paralela ao eixo Ox que con-tém o ponto (0,2).

9.

apenas .

10.

93Soluções

e

11.

11.1

11.2 –

12. Forma algébrica:

Forma trigonométrica:

13.

13.1

13.2


14.

15. –3 e 3

16.

16.1

16.2

17.

18.

19.

19.1 –

19.2

19.2.1

19.2.2

19.3

20.

20.1

20.2

20.3

21.

21.1

21.2

21.3 8

22.

22.1

22.2

22.3

94 Soluções

23. Módulo = 1 e argumento =

24.

24.1

24.2

24.3

25.

Reflete ↑ ↑ ↑

26. Semirreta de origem em (2,0) paralela ao eixo Oy e com a direção do sentido posi-tivo do eixo Oy.

27. Os múltiplos de 6.

28.

29. –

30. –

31.

2 – Recomendações do GAVE

C1

Capítulo 1 – resolução de problemas da vida real

1.

1.1 22 500€

1.2 Aproximadamente 14 614€

1.3 25%

2.

2.1 22 símbolos

2.2 6 minutos

3.

3.1 2πr. Este valor traduz o perímetro de um círculo de raio r, pelo que se pode concluir que a taxa de va-riação da área de um círculo é nu-mericamente igual ao perímetro do mesmo círculo e, em consequência, a taxa de variação da área de um círculo é tanto maior quanto maior for o seu perímetro.

3.2 4πr 2. Este valor traduz a área da superfície de uma esfera de raio r, pelo que se pode concluir que a taxa de variação do volume de uma esfera é numericamente igual à área da mesma esfera e, em consequên-cia, a taxa de variação do volume de uma esfera é tanto maior quanto maior for a sua área.

4.

5.

5.1 A massa de combustível é 0,8×150 = 120 toneladas. Como o combustível é consumido à taxa de 0,75 t/s, o combustível dura 120 ÷ 0,75 = 160

95Soluções

segundos. Como v está definida desde o arranque do foguetão até se esgotar o combustível, conclui-se que t pertence ao intervalo [0, 160]

5.2 O valor da taxa de variação média quer dizer que, no intervalo dado, a velocidade aumenta em média 0,05 km/s por cada unidade de tempo.

6.

6.1 L(0)= 0⇔ k =−2

6.2 901 peças

6.3 Porque a derivada de L é sempre positiva, o lucro vai sempre au-mentando, mas porque a segunda derivada é sempre negativa a ve-locidade de crescimento do lucro é negativa, ou seja, o aumento do lucro vai sendo cada vez mais lento.

7. Se considerarmos que a origem das coor-denadas está no ponto onde a cesta inicia o seu percurso, isto é, no ponto de altura mínima, o gráfico será do tipo

e a expressão que define a função é:

f (x)= 11+10sen 2πt30+

3π2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

8. –

9.

9.1

9.2 Amplitude = 60; Período = 24

9.3

9.4 A companhia tem que conhecer qual o consumo máximo simultâneo das duas cidades para lhes poder fornecer energia sem problemas. O máximo é de aproximadamente 184,1 megawatts.

10.

10.1

10.2 Durante os últimos três meses do ano.

10.3 De março a setembro.

11.

11.1 1 metro

11.2 2

11.3

96 Soluções

11.4 t = k2

, com k inteiro

12. π

13.

14.

14.1 y = 310+190sen(0,79x +1,57)

14.2 310

C2

Capítulo 2 - problemas que envolvem Cál-Culos mais elaborados no Conjunto dos nú-meros reais

1. Como f terá de ser contínua concluímos que b = 1. Calculando as derivadas late-rais de f no ponto zero virá 3a = b. Logo

b = 1 e a = 13

.

2.

2.1 ;

2.2 A função é monótona decrescente em e monótona crescente em

apresenta um mínimo relativo

igual a zero para

3. Não há pontos onde a tangente seja pa-ralela ao eixo dos XX e em x = 1 há uma tangente paralela ao eixo dos YY.

4.

5. w '(x)= w(x)× 2(x2 + x −1)3x(x −2)(x2 +1)

6. x = 1

7. x = ln2ln 3

8. Não tem solução real

C3

Capítulo 3 - problemas que envolvem Cál-Culos mais elaborados no Conjunto dos nú-meros Complexos

1.

2.

3.

3.1 O módulo é 2 e o argumento é 11w6

97Soluções

3.2 m +ni =−cos(2α)+ i sen(2α)

4.

5.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

|z ≤ 2| ∧

∧ arg(z − zA)≥ 4π3∧ arg(z − zA)≤ π

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟∧

∧ arg(z − zB)≥ 0∧ arg(z − zB)≤ 5π3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟∧

∧ arg(z − zC )≥ 2π3∧ arg(z − zC )≤ π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟∧

6. ; − 38+

18

i

7. As 6 soluções são

8. Duas retas de equações: e

C4

Capítulo 4 - ExErCíCios quE prEssupõEm ra-CioCínios dEmonstrativos

1. –

2. –

3. É falsa a afirmação porque todas as fun-ções desse tipo são pares

4. É verdadeira a afirmação porque basta ter

5. Basta considerar , definida

em , que é crescente e sempre negati-va em todo o seu domínio

6. –

7. Serão ímpares se , serão pares se e não serão nem pares nem ímpares se .

C5

Capítulo 5 - utilizar a CalCuladora gráfi-Ca para rEsolvEr problEmas

1. f é par, g é ímpar e h não é par nem ím-par.

98 Soluções

2.

2.1 C é contínua no intervalo

logo

2.2 12h 20m

3.

3.1 0,04

3.2

3.3 105,2

4.

4.1 Mínimo relativo para x = –1 e pon-to de inflexão para x = 0.

4.2 Observa-se um mínimo relativo para x = 0 onde a primeira deriva-da se anula; observa-se um ponto onde não há primeira derivada por a tangente ao gráfico da função ser vertical nesse ponto; neste mesmo ponto há um ponto de inflexão pois muda a concavidade do gráfico da função ao passar por esse ponto.

3 –Testes de tempo limitado

T7

TesTe 7 – Funções – escolha múlTipla

1. B

2. D

3. D

4. B

5. D

6. A

T8

TesTe 8 – Funções – ResposTa abeRTa

1.

1.1 a = 6

1.2 8 anos

2. Obteve a mensagem de erro porque a função não está definida para valores ne-gativos de x.

3. x = 7

4. Assíntota horizontal para y = 0; Assínto-ta vertical para x = 2

5.

5.1 A equação é impossível porque se P (x) = 1 significaria que no tanque só haveria trutas, mas o enunciado refere que existem 300 robalos.

5.2 100 trutas

5.3 A função é monótona crescente para x > 0 e aproxima-se de 1, no entanto, como vimos, nunca chega-rá a ser 1. No contexto do problema o número de trutas vai sempre au-

99Soluções

mentando, tendendo a estabilizar a longo prazo.

t9

teste 9 – funções – itens de resposta aberta

1.

2.

3.

3.1 x = 1

3.2 x = log2

158

4.

4.1 4

4.2 0,0000006744 mm2

4.3 A partir de 2010.

4.4 São necessários pouco mais de 8 anos.

5.

5.1 z 5 = 4 2 cis 7π4

; z 9 = 16 2 cis 3π4

5.2 –

6. f '(x) = − 1x2

e y = − 14

x + 1

t10

teste 10 – funções – esColha múltipla e resposta aberta

1. B

2. B

100 Soluções

3. D

4.

4.1 x = −1∨ x = 0

4.2 −2 3 < m < 2 3

5.

5.1 A 14

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ 0.05mg/l

5.2 1h 43m

5.3 Não acontece com ninguém, confor-ma se pode observar no gráfico

6.

6.1 7

6.2 loga

6x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

7. x = 12

8. P(t) = 24000 × e−0.12x + 2500 ; No ano de

2020, t = 60 , logo, P(60) = 2518

9.

9.1 f '(0) = 2

9.2 f ''(x) = ex

Como f ''(x) > 0,∀x ∈ a função tem concavidade voltada para cima em todo o e não tem pontos de inflexão.

9.3 x = 0

9.4

10. f '(x) = 3e− 932

4− e

− 932

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

e3x4−x2

2

f '(x) < 0 ⇔ x > 34

11.

11.1 15 é a quantidade de anfetaminas existente no corpo no instante em que a substância é ingerida. 1,19 dá-nos a rapidez com que as anfetaminas se vão reduzindo no corpo humano.

11.2 Ao fim de duas horas existem 10,59 miligramas de anfetaminas. A meia-vida é de aproximadamen-te 4 horas.

12. f ''(x) = a(a − 1)xa−2

Como o domínio é + verifica-se que xa−2 > 0,∀x . Dado que a > 1 o sinal do

101Soluções

fator a(a − 1) é positivo logo a segunda derivada é sempre positiva e consequente-mente a concavidade está sempre voltada para cima.

t11

teste 11 – global - esColha múltipla

1. B

2. C

3. C

4. A

5. B

6. B

7. D

8. C

t12

teste 12 – global - esColha múltipla

1. D

2. A

3. D

4. B

5. A

6. A

t13

teste 13 – global - resposta aberta

1.

2. f (x) = 12

e−2x + x + 32

3. Usa-se o teorema de Bolzano-Cauchy

4. Pode ser, por exemplo, a função definida

por g(x) = x 2 − 1 se x ≠ 24 se x = 2

⎧⎨⎩

5. z = 12(1 ± i 7)

t14

teste 14 – global - resposta aberta

1.

1.1 –1

1.2 0

1.3 −2,0{ }

2. 12

102 Soluções

3.

3.1 f '(1)= 2

3.2 f tem concavidade voltada para baixo e não tem pontos de inflexão.

3.3 x = 0,0067 ∨ x = 1,1648

3.4

4. 2,67

5. r = 1+ 3 ; θ =− π6

6.

6.1 16,52 milhões

6.2 f '(3) = 0,759 significa que ao fim de 3 horas os microrganismos ainda estão a crescer.

6.3 f (t) > 13 ⇔ 0,84 < t < 5,47

6.4 3,58 milhares

7. a = b = π

T15

TesTe 15 – Global

1. D

2. B

3. A

4. A

5. A

6. D

7.

7.1 14

7.2 Em meados do ano 2030

8.

8.1 f é contínua em [1 , +∞[ porque é o quociente de duas funções contí-nuas.

8.2 f '(t)= et(t −1)t2

, como t ≥ 1 , o fa-

tor t − 1 é sempre não negativo o que garante que f é crescente em [1, +∞[.

9. –0,26

10. Temos g(x)= 12

sen(πx)+ x . Função ím-

par sem assíntotas, tem máximos relati-vos em x = α+ 2k e mínimos relativos em x =−α+ 2k com α aproximada-mente igual a 0,72 e k um inteiro qual-quer. Concavidade voltada para cima nos intervalos −1+ 2k,2k⎤

⎦⎥⎡⎣⎢ para todo o k in-

teiro. Pontos de inflexão para x =−1+ 2k e x = 2k para todo o k inteiro.

103Soluções

11.

11.1 6720

11.2 1680

11.3 5040

104 Síntese

síntese

Um resumo do essencial

O essencial passado em revista

Diremos que , ou que o limite de f(x) quando x tende para a é L, se e somente se

para qualquer sucessão de termos no domínio de f, diferentes de a, tal que ,

se tenha que a sucessão tende para L:

Teorema da unicidade do limite: Se uma função tem limite num ponto então esse limite é único.

Teorema - Operações com limitesa) O limite de uma função constante é a própria constante, isto é, se L for um número real

limx→a

L = L

b) Sendo e , com L e M números reais, temos que

c) Sendo , com L número real, e sendo k outro número real, temos que

d) Sendo e , com L e M números reais e M ≠ 0, e com g(x) ≠ 0 num

intervalo aberto contendo a, temos que

limx→a

1g(x)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

M limx→a

f (x)g(x)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = L

M

e) Sendo e p um número natural, temos que

f) Sendo e sendo p um número natural ímpar, temos que

105Síntese

g) Sendo com f(x) ≥ 0 num intervalo aberto contendo a e sendo p um número

natural par, temos que

Limite Lateral Direito: Diz-se que se e somente se para qualquer sucessão

tal que e tal que os termos da sucessão sejam superiores a a se tenha

que limn→+∞

f (un)= L

Limite Lateral Esquerdo: Diz-se que se e somente se para qualquer sucessão

tal que e tal que os termos da sucessão sejam inferiores a a se tenha que

Teorema - limites laterais: Temos que o limite de uma função f quando a variável indepen-dente tende para a é L, se e somente os limites laterais esquerdo e direito de f no ponto a são ambos iguais a L.

Indeterminações

indeterminação do tipo ∞∞

: Num quociente de polinómios deve-se colocar em evidência no

numerador e no denominador a maior potência de x.

indeterminação do tipo : Num quociente de polinómios deve-se colocar em evidência no

numerador e no denominador a menor potência de x.

indeterminação do tipo ∞ − ∞ : Numa diferença de polinómios basta efetuar os cálculos al-gébricos. Numa diferença de raízes basta multiplicar e dividir pela mesma quantidade, a soma das duas raízes (dita “soma conjugada”).

indeterminação do tipo 0 × ∞ : recorrer a um limite notável.

Limites Notáveis

limx→0

ex − 1x

= 1

limx→0

ln(x + 1)x

= 1 limx→+∞

loga

x

x p= 0

limx→+∞

ax

x p= +∞

onde a é um número real superior a 1 e p é um número real positivo.

106 Síntese

Assíntotas

Uma reta de equação y = b, com b ∈ , diz-se uma assíntota horizontal do gráfico de uma

função f se e somente se limx→+∞

f (x) = b ou limx→−∞

f (x) = b .

Uma reta de equação x = k, com k ∈ , diz-se uma assíntota vertical do gráfico de uma

função f se e somente se limx→k+

f (x) = +∞ ou limx→k−

f (x) = +∞ .

Uma reta de equação y = ax + b é uma assíntota do gráfico da função f se e somente se tivermos lim

x→+∞f (x) − (ax + b)( ) = 0 ou tivermos lim

x→−∞f (x) − (ax + b)( ) = 0 .

Teorema - determinação de assíntotas: O gráfico de uma função f admite a assíntota não

vertical se e somente se existirem dois números reais a e b tais que a = limx→+∞

f (x)x

e

b = limx→+∞

(f (x) − ax) ou então a = limx→−∞

f (x)x

e b = limx→−∞

(f (x) − ax)

Função contínua num ponto: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto a (ou num intervalo fechado com extremidade no ponto a). Dizemos que a função f é contínua no ponto x = a se e somente se lim

x→af (x) = f (a) .

Continuidade lateral: Diremos que uma função f é contínua à direita num ponto x = a do seu domínio se e somente se lim

x→a+f (x) = f (a) .

Diremos que uma função f é contínua à esquerda num ponto x = a do seu domínio se e somente se lim

x→a−f (x) = f (a) .

Continuidade num intervalo: Diremos que uma função f é contínua no intervalo aberto ]a,b[ se f for contínua em todos os pontos desse intervalo. Diremos que f é contínua no inter-valo fechado [a,b] se f for contínua em todos os pontos do intervalo aberto ]a,b[, for contínua à direita no ponto x = a e for contínua à esquerda no ponto x = b.

Função contínua (no seu domínio): Uma função diz-se contínua se for contínua em todos os intervalos que constituem o seu domínio.

Lista de algumas funções contínuas a) Funções polinomiais

b) Função módulo

c) Funções racionais em intervalos que não incluam os zeros do denominador

107Síntese

d) Função exponencial

e) Função logarítmica

Teorema – Operações com funções contínuas

Sejam f e g funções contínuas num mesmo intervalo. Então, são contínuas nesse mesmo in-tervalo a soma, o produto fg , o produto por uma constante, o quociente f / g (exceto nos pontos onde a função g se anula), a potência f n , sendo n um número inteiro positivo, a raiz

fn , sendo n um número inteiro positivo ímpar e a raiz fn , se f for positiva ou nula, sendo n um número inteiro positivo par.

Teorema de Bolzano-Cauchy (ou dos valores intermédios)

Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e seja k um valor intermédio entre f(a) e f(b). Então existe (pelo menos) um ponto c do intervalo ]a,b[ onde se tem que

Teorema - Corolários do Teorema de Bolzano-Cauchy

I. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e suponhamos que f(a) e f(b) têm sinais contrários. Então a função f tem (pelo menos) um zero no intervalo ]a,b[.

II. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e suponhamos que . Então a função f tem (pelo menos) um zero no intervalo ]a,b[.

Derivada: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto fixo a. Por de-

finição, a derivada da função f no ponto a é o valor f '(a) dado por f '(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)h

desde que o limite exista (isto é seja um número real). Diz-se que a derivada é infinita se o limite for igual a +∞ ou for igual a –∞. Quando existe derivada e a derivada não é infinita, diz-se que temos uma derivada finita. A função f diz-se derivável no ponto a se e somente se existe (isto é, é um número real) a derivada de f no ponto a.

Se f for uma função derivável em todos os pontos do intervalo ]a,b[ então a função que a cada ponto x de ]a,b[ faz corresponder f '(x) é a função derivada de f e designa-se simplesmente por f ' .

A derivada lateral direita da função f no ponto a é o valor f 'd(a) dado por

f '

d(a) = lim

h→0+

f (a + h)− f (a)h

desde que o limite exista (isto é seja um número real). Diz-se que a derivada lateral direita é infinita se o limite for igual a +∞ ou –∞.

Teorema - derivadas laterais: Existe derivada num ponto se e somente se as derivadas la-terais nesse ponto existem e são iguais. Ou seja, f '(a) existe, se e somente se f '

d(a) e f '

e(a)

existem e são iguais. O mesmo se pode dizer se a derivada for +∞ ou –∞.

Teorema - Derivabilidade e Continuidade: Uma função que seja derivável num ponto é

108 Síntese

contínua nesse ponto.

Teorema - Derivada da soma: (f + g)' = f '+ g '

Teorema - Derivada do produto de duas funções: (f × g)' = f '× g + f × g '

Teorema - Derivada do produto de uma constante por uma função: (kf )' = kf '

Teorema - Derivada da potência de uma função: (f w )' = w × f w−1 × f '

Teorema - Derivada do quociente de duas funções: fg

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟′= f '× g − f × g '

g2

Teorema - Derivada da Função composta:

(f g)'(a) = f '(g(a))× g '(a) (f g)'(a) = f '(y) |y=g(a)

×g '(a)

As derivadas das funções exponencial e logarítmica são:

(ex )' = ex

ln'(x) = 1x (ax )' = ax lna log

a′(x) = 1

x lnaReta tangente: A equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (a,f (a)) é dada por

Se a derivada de uma função é (estritamente) positiva num intervalo aberto, a função é (es-tritamente) crescente nesse intervalo, e se a derivada for (estritamente) negativa a função é (estritamente) decrescente nesse intervalo.

O Teorema de Fermat diz que se uma função é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto desse intervalo, então a derivada é nula nesse ponto. Os pontos onde a derivada se anula não são necessariamente pontos onde há extremo (basta pensar na função g(x)= x 3 que tem derivada nula para e contudo não tem aí extremo).

Se a função g = f ' for derivável então à função derivada de g chamaremos a segunda deri-vada de f e designamo-la por f ''.

Se a função h = f '' for derivável então à função derivada de h chamaremos a terceira deri-vada de f e designamo-la por f ''' .

Teorema - Monotonia e derivadas: Num intervalo aberto a função f ’ é crescente se e so-mente se f ’’ ≥ 0 nesse intervalo. Num intervalo aberto a função f ' é decrescente se e somente

se f '' ≤ 0 nesse intervalo.

Concavidade: Diz-se que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima num in-tervalo aberto quando nesse intervalo a segunda derivada de f é positiva ou nula. Diz-se que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo num intervalo aberto quando nesse

109Síntese

intervalo a segunda derivada de f é negativa ou nula.

Ponto de inflexão: Diz-se que o ponto (a, f (a)) é ponto de inflexão do gráfico de f se exis-tirem intervalos abertos ]a1,a[ e ]a,a2[ tais que os sentidos da concavidade nesses dois intervalos sejam contrários.

Círculo trigonométrico: é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado na origem de um referencial ortonormado XOY e onde se podem traçar facilmente os valores do seno, do cosseno e da tangente de qualquer ângulo. Basta considerar um triângulo retângulo com ca-teto assente no semieixo OX de modo que um dos vértices fique na origem e o terceiro vértice sobre a circunferência do círculo trigonométrico. O seno do ângulo α feito pelo cateto sobre o semieixo OX e pela hipotenusa é a ordenada do terceiro vértice, o cosseno de α é a abcissa do terceiro vértice e a tangente de α é a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigono-métrico (a linha da tangente).

seno cosseno tangente

Domínio toda a reta real toda a reta real

toda a reta real

exceto π2+ kπ , com k

inteiroContradomínio [–1,1] [–1,1] toda a reta real

Período 2π 2π π

Simetrias ímpar par ímpar

Interseção com os eixos em

[0,2π]

eixo dos YY (0,0)

eixo dos XX (0,0), (π,0), (2π,0)

eixo dos YY (0,1)

eixo dos XX (π/2,0), 3π2

,0⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

eixo dos YY (0,0)

eixo dos XX (0,0), (π,0), (2π,0)

Monotonia em ]0,2π]

crescente nos interva-

los e 3π2

,2π⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢,

e decrescente no

intervalo π

2, 3π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

crescente nos intervalos ]0, 2π] e ]π,2π[ e decres-cente no intervalo ]0,π[

crescente em 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢,

π

2, 3π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, 3π

2, 5π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, ...

Continuidade contínua em todo o seu domínio

contínua em todo o seu domínio

contínua em todo o seu domínio

110 Síntese

Assíntotas não tem não tem

assíntotas verticais

e

em

Limites nos ramos infinitos não existem não existem não existem

Extremos em ]0, 2π]

um máximo para

x = π2

e um mínimo

para x = 3π2

um máximo para x = 2π e um mínimo para x = π não tem extremos

Gráficoπ

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

Números complexos: números da forma a + bi, onde a e b são números reais e

O conjunto dos números complexos representa-se por

Parte real do número complexo a + bi: a

Parte imaginária do número complexo a + bi: bi

Número imaginário: número complexo a + bi com b ≠ 0

Número imaginário puro: número complexo a + bi com a = 0 e b ≠ 0

Número complexo conjugado de c + di é o número complexo c – di

Ao número i chama-se unidade imaginária.

−a = a −1 = i a

Adição de números complexos: Se e são dois números complexos, então

111Síntese

Subtração de números complexos: Se e são dois números complexos, então

Multiplicação de números complexos: Se e são dois números complexos, então

Divisão de números complexos: Se e são dois números complexos, então

As potências de números complexos calculam-se pela fórmula do binómio de Newton:

(a + bi)n =0n( )an +

1n( )an−1(bi)+

2n( )an−2(bi)2 + ...

... +kn( )an−k(bi)k + ... +

n−1n( )a(bi)n−1 +

nn( )(bi)n

Forma algébrica dos números complexos: z1= a +bi , com .

Forma trigonométrica dos números complexos:

z = ρ cos θ+ iρ sen θ = ρ(cos θ+ i sen θ)= ρ cis θ ,

com módulo e argumento . Para o módulo tem-se ρ =|z |=|a +bi |= a2 +b2 e para o argumento tem-se que e .

Operações com complexos na forma trigonométrica: se z1= ρ

1(cos θ

1+ i sen θ

1) e

z2= ρ

2(cos θ

2+ i sen θ

2) .

O produto dos dois números é z1×z

1= ρ

1ρ

2(cos(θ

1+ θ

2)+ i sen(θ

1+ θ

2)) ;

O quociente dos dois números é z

1

z2

=ρ

1

ρ2

(cos(θ1− θ

2)+ i sen(θ

1− θ

2)) .

Fórmula de Moivre: Seja n um número natural e z um número complexo cuja forma trigo-

nométrica é z = ρ(cos θ+ i sen θ) . Então .

Fórmula de Moivre generalizada: Seja n um número natural e z um número complexo cuja forma trigonométrica é z = ρ(cos θ+ i sen θ) . As n raízes índice n de z são:

zk= ρn cis θ+ 2kπ

n com .

112 Síntese

Principais domínios planos:

|z |= r Circunferência de centro na origem e raio r

|z − z1|= r Circunferência de centro em z

1 e raio r

|z − z1|=|z − z

2| Mediatriz do segmento de reta que une z

1 e z2

semirreta que começa na origem e que faz um ângulo α com o semieixo OX

semirreta que começa em z1 e que é paralela à semirreta que

começa na origem e faz um ângulo α com o semieixo OX

|z − z1|<|z − z

2|

semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta que une z

1 e z2 e que está do lado de z

1

Obra em 2 volumes (Não é permitida a venda em separado)

ISBN 978-989-97839-1-1

9 789899 783911

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Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

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