Universidade Federal de VicosaCentro de Ciencias Exatas e Tecnologicas - CCE

Departamento de Matematica

Monitoria de MAT 137 - Introducao a` Algebra Linear

Resolucao da 1a Lista de Exerccios

1. Considere a matriz B dada por

B =

1 1 12 3 45 8 9

.(a) Calcule o determinante de B.

Resolucao:Pela Regra de Crammer, temos

det(B) =

1 1 12 3 45 8 9

1 12 35 8

= 3 9 + 4 5 + 2 8 3 5 4 8 9 2 = 2

Portanto, det(B) = 2

(b) Encontre a matriz adjunta adjB.

Resolucao:Calculando cada cofator separadamente, temos

a11 = (1)1+1 3 48 9

= 3 9 8 4 = 5a12 = (1)1+2

2 45 9 = 1 (3 9 8 4) = 2

a13 = (1)1+3 2 35 8

= 2 8 5 3 = 1a21 = (1)2+1

1 18 9 = 1 (1 9 8 1) = 1

a22 = (1)2+2 1 15 9

= 1 9 5 1 = 4a23 = (1)2+3

1 15 8 = 1 (1 8 5 1) = 3

a31 = (1)3+1 1 13 4

= 1 4 3 1 = 1a32 = (1)3+2

1 12 4 = 1 (1 4 2 1) = 2

a33 = (1)3+3 1 12 3

= 1 3 2 1 = 1Portanto,

adj(B) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

T = a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

adj(B) = 5 1 12 4 2

1 3 1

(c) Use o item (b) acima para calcular B1.

Resolucao:Por Teorema, sabemos queA adj(A) = adj(A) A = det(A) IComo det(B) = 2 6= 0, existe a matriz inversa de B, alem disso, det(B)1 = 1

det(B).

Assim,A adj(A) = det(A) I A1 (A adj(A)) = A1 (det(A) I) (A1 A) adj(A) = det(A) (A1 I) adj(A) = det(A) A1 A1 = 1

det(A) adj(A)

Desta forma, B1 =1

2 adj(B) = 1

2 5 1 12 4 2

1 3 1

Portanto, B1 =

52 12 121 2 11

2321

2

2. Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:3y + 2x = z + 1

3x + 2z = 8 5y3z 1 = x 2y

Resolucao:Inicialmente organizamos o sistema de forma que cada coluna tenha a mesma incognita,como feito abaixo:

2x + 3y z = 13x + 5y + 2z = 8x + 2y + 3z = 1

Escrevendo matricialmente,

2 3 13 5 21 2 3

A

xyz

X

=

181

B

Assim, temos det(A) =

2 3 13 5 21 2 3

= 22det(Ax) =

1 3 18 5 21 2 3

= 66, det(Ay) =

2 1 13 8 21 1 3

= 22,det(Az) =

2 3 13 5 81 2 1

= 44Logo, pela Regra de Crammer:

x =det(Ax)

det(A)=6622 x = 3, y =

det(Ay)

det(A)=

22

22 y = 1 e

z =det(Az)

det(A)=4422 z = 2.

3. Suponha P uma matriz inversvel. Mostre que det(P1) = (det(P ))1.Resolucao:Sabemos que PP1 = P1P = I. Desta forma, aplicando o determinante a`s matrizestemos

det(PP1) = det(I) det(P )det(P1) = 1 det(P1) = 1det(P )

.

Portanto, det(P1) = [det(P )]1, desde que det(P ) 6= 0.

4. Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmacao dada e (sempre) verdadeira ou(a`s vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento logico matematico (severdadeira) ou um contra-exemplo (se falsa).

(a) (F) det(AB) = det(BA)Resolucao:

Considere as matrizes A =

[1 23 4

]e B =

[ 1 35 7

].

Temos

AB =

[9 17

17 28

] det(AB) = 37.

BA =

[8 10

26 38

] det(BA) = 44.

Portanto, det(AB) 6= det(BA)

(b) (F) det(2A) = 2detAResolucao:

Tome a matriz A dada por A =

[1 23 4

]. Note que

det(A) = 2; 2A =[

2 46 8

] det(2A) = 8.

Logo, det(2A) = 8 6= 2 (2) = 2det(A).

(c) (F) det(I + A) = 1 + det(A)Resolucao:

Tome a matriz A dada por A =

[1 23 4

]. Note que

I + A =

[2 23 5

] det(I + A) = 4 6= 1 + (2) = det(A).

Portanto, det(I + A) 6= 1 + det(A).

(d) (F)det(A + B) = det(A) + det(B)Resolucao:

Considere as matrizes A =

[1 23 4

]e B =

[ 1 35 7

].

Veja que det(A) = 2 e det(B) = 22.

A + B =

[0 58 11

] det(A + B) = 40.

Logo, det(A + B) 6= det(A) + det(B).

(e) (V)Se AB = 0 e B e inversvel, entao A = 0Resolucao:Como B e inversvel podemos aplicar B1 em ambos os lados da igualdade, assim,AB = 0 (AB)B1 = 0B1 A(BB1) = 0 AI = 0 A = 0.

(f) (F)det(A) = det(A).Resolucao:

Consideremos a matriz A dada por A =

1 2 31 0 43 2 1

, onde det(A) = 12.Temos que A =

1 2 31 0 43 2 1

, alem disso, det(A) = 12 = (1)3det(A).Portanto,det(A) = det(A) apenas quando a ordem da matriz A e par.

(g) (V)A soma de duas matrizes simetricas de mesma ordem e uma matriz simetrica.Resolucao:Se A e B sao duas matrizes simetricas, entao, da definicao, temos que A = AT eB = BT . Desta forma,

A + B = AT + BT = (A + B)T

Portanto, A + B tambem e simetrica.

(h) (V)Se AB = C e duas das matrizes sao inversveis, entao a terceira tambem o e.Resolucao:1o Caso: Sejam A,B duas matrizes inversveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0.Assim,A B = C det(AB) = det(C) det(A)det(B) = det(C), como, por hipoteses,det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0, segue que det(C) 6= 0. Logo, C e inversvel.2o Caso:Sejam A,C duas matrizes inversveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0.Assim,det(A)det(B) = det(C) e como, por hipotese, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue quedet(B) 6= 0. Portanto, B e inversvel.3o Caso:Se B,C sao inversveis, temos det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0. Logo,det(A)det(B) = det(C) e como det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que det(A) 6= 0.Portanto, A e inversvel.

5. Considere a matriz A abaixo:

A =

2 1 5 11 1 3 43 6 2 12 2 2 3

.(a) Calcule o determinante da matriz A. Resolucao:

Inicialmente vamos fazer operacoes nas linhas da matriz A, de modo que facilite ocalculo do determinante, posteriormente.

A =

2 1 5 11 1 3 43 6 2 12 2 2 3

L1L1L4

0 1 3 41 1 3 43 6 2 12 2 2 3

L1L1+L2

1 0 0 01 1 3 43 6 2 12 2 2 3

A

.

Sabemos que as operacoes efetuadas nao alteram o valor do determinante, assimdet(A) = det(A).Calculando o determinante de A, temos

det(A) =

1 0 0 01 1 3 43 6 2 12 2 2 3

= 1 (1)1+1

1 3 46 2 12 2 3

= 120Portanto, det(A) = det(A) = 120.

(b) Encontre o determinante da matriz C, onde C e a matriz obtida de A atraves das

seguintes operacoes elementares:L1 L4, L3 2L3.Resolucao:Por meio das propriedades de determinante sabemos que

L1 L4 det(C) = det(A)L3 2L3 det(C) = 2det(A)

Desta forma, det(C) = (2det(A)) det(C) = 2(120) det(C) = 240.

6. Determine os valores reais de k para que o sistema linearx + 3y + 4z = 2

3x + 7y + (k + 13)z = 102x + (2k + 2)y + 4z = 20

seja:

(a) Possvel determinado;Resolucao:Inicialmente vamos escrever o sistema na forma matricial: 1 3 43 7 (k + 13)

2 (2k + 2) 4

A

xyz

X

=

21020

B

.

Para ser possvel e determinado a matriz A deve ser inversvel, ou seja, det(A) 6= 0.

det(A) =

1 3 43 7 (k + 13)2 (2k + 2) 4

= 2k2 + 2k + 12det(A) = 2(k2 k 6) 6= 0 k2 k 6 6= 0

Logo, basta fazer k 6= 3 e k 6= 2.Portanto, S = { k R/k 6= 3, k 6= 2}

(b) Possvel indeterminado;Resolucao:Como a matriz A e quadradra, ou seja, o sistema tem o numero de linhas igual aonumero de incognitas, podemos aplicar a Regra de Cramer.Assim,

x =det(Ax)

det(A); y =

det(Ay)

det(A)e z =

det(Az)

det(A).

Para que o sistema seja possvel e indeterminados temos que det(A) = 0 e det(Ax) =det(Ay) = det(Az) = 0.

Desta forma,

det(Ax) =

2 3 4

10 7 (k + 13)20 (2k + 2) 4

= 4k2 + 84k + 184det(Ax) = 4(k2 21k 46) = 0 k2 21k 46 = 0 k = 23 ou k = 2.

det(Ay) =

1 2 43 10 (k + 13)2 20 4

= 16k 32det(Ay) = 16k 32 = 0 k = 2.

det(Az) =

1 3 23 7 102 (2k + 2) 20

= 8k 16det(Az) = 8k 16 = 0 k = 2.

Portanto, para que o sistema seja Possvel e Indeterminado, basta fazer k = 2.

(c) Impossvel.Resolucao:Para que o sistema linear seja impossvel, basta termos det(A) = 0 e det(An) 6= 0com n = x, y ou z.Assim, perceba que se fizermos k = 3 teremos det(A) = 0, porem det(Ax) 6= 0.Portanto, basta fazer k = 3 para que o sistema seja Impossvel.

7. Seja A uma matriz real e quadrada de tal sorte que det(A) = 3. Em cada uma dassentencas abaixo, obtenha o determinante da matriz B, sabendo-se que tal matriz eobtida de A por:

(a) Multiplicacao de uma linha de A por um escalar k.Resolucao:Sabemos que det(A) = 3, pelas propriedades de determinante, ao multiplicarmosuma linha da matriz A por um escalar seu determinante tambem sai multiplicadopor este escalar.Desta forma,

det(A) = k det(A) det(A) = 3k. Onde A e a matriz A com uma linha multiplicada por k.

(b) Troca entre si de duas linhas de A.

7

Resolucao:Pelas propriedades de determinante, ao trocarmos duas linhas da matriz A seu de-terminante troca de sinal.Desta forma,

det(A) = det(A) det(A) = 3.Onde A e a matriz A com duas linhas trocadas.

(c) Por meio da seguinte sequencia de operacoes elementares: L1 L2,L3 (1/2)L5, L4 L4 L1.Resolucao:Por meio das propriedades de determinante, sabemos que trocar uma linha pelacombinacao linear de outras duas nao altera o valor do determinante.Desta forma,

det(A) = 12

det(A) det(A) = 32