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Lista de Revisão – Geometria Plana – 3º ano e Extensivo
1. A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que
AB BC= e AD é uma altura de comprimento h. A área
do triângulo ABC é igual a
a) 2h .
b) 22 h .
c) 23 h .
d) 22h .
2. A figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3,
tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.
O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de:
a) 3,6
b) 3,8
c) 4,2
d) 4,4
3. A figura mostra o triângulo retângulo ABC, de
hipotenusa AB 10 cm,= com o ângulo ˆABC 30= e o
ponto D sobre o lado BC.
Sabendo que AD é bissetriz do ângulo ˆBAC, o valor da
razão BD
DC é
a) 3
b) 1
2
c) 1
3
d) 1
e) 2
4. A figura abaixo mostra o esboço dos terrenos 1 2S , S e
3S , em que o quadrilátero BDEF é um retângulo e os
segmentos CD e BD medem, respectivamente, 30 cm e
60 cm.
Assim sendo, é correto afirmar que a área do terreno
a) 3S é igual à área do terreno 2S .
b) 1S é a metade da área do terreno 3S .
c) 1S é igual a 1
3 da área do terreno 3S .
d) 2S é a igual à soma das áreas dos terrenos 1S e 3S .
5. Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando técnica do origami,
utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim,
começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
a) 2 22 cm.
b) 6 3 cm.
c) 12 cm.
d) 6 5 cm.
e) 12 2 cm.
6. Em um tapete retangular decorado com círculos
idênticos, o círculo de centro C tangencia as laterais do
tapete em P e Q. O ponto R pertence à circunferência
desse círculo e está à distância de 18 cm e de 25 cm das
laterais do tapete, como mostra a figura.
a) Calcule a distância de R até o canto superior do tapete,
indicado por S. Deixe a resposta indicada com raiz
quadrada. b) Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração do tapete.
7. O retângulo PQRS é formado por seis quadrados cujos
lados medem 2 cm. O triângulo ABC, em seu interior,
possui os vértices definidos pela interseção das diagonais de três desses quadrados, conforme ilustra a figura.
Determine a área do triângulo ABC tomando como
unidade a área de um quadrado de lado igual a 2 cm.
8. João é dono de um food truck, uma espécie de lanchonete estruturada em uma carroceria de um veículo móvel (caminhão) e utilizada para preparar e vender lanches. Ele quer enfeitar uma das faces da carroceria de seu caminhão, cujo formato é retangular, contornando-a com fita de led.
Considerando que João precisa de exatamente 700 cm de
fita de led e que a área retangular limitada pela fita de led
deve ser igual a 230.000 cm , determine as dimensões
desse retângulo. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão. 9. Antônio, um fă de histórias em quadrinhos, decidiu confeccionar uma roupa para uma festa a fantasia. Para desenhar o símbolo da roupa, ele utilizou seus conhecimentos de matemática. Considere a figura do símbolo abaixo.
a) Considere o triângulo ABC, de lado AB medindo
80 mm e inscrito em uma semicircunferência de raio
50 mm e centro O. Calcule os comprimentos dos
segmentos OD e DC sabendo-se que BD é uma altura
do triângulo ABC. Considere 3.π =
b) Antônio deseja confeccionar o triângulo ABC e a
semicircunferência de diâmetro DC com um tecido
vermelho, e o restante do símbolo com um tecido azul. De quantos milímetros quadrados de cada tecido, Antônio vai precisar para confeccionar o símbolo para sua fantasia?
Considere 3.π =
10. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, BEF é um
triângulo e AF CE.⊥ Sabendo que a medida do segmento
AF é 12 cm e que AB BE,= calcule a medida do
segmento EF de modo que a área do triângulo seja a metade da área do quadrado.
11. Considere dois círculos tangentes entre si, de centros
A e B sobre a reta r, e tais que o raio de cada um tenha
medida 10.
Os segmentos CD e FE são tangentes aos círculos e têm
extremidades nos pontos de tangência C, D, E e F, como
representado na figura a seguir.
A área da região sombreada é
a) 100 25 .π−
b) 200 50 .π−
c) 200 50 .π+
d) 400 100 .π−
e) 400 100 .π+
12. José somou as medidas de três dos lados de um
retângulo e obteve 40 cm. João somou as medidas de três
dos lados do mesmo retângulo e obteve 44 cm. Com
essas informações, pode-se afirmar corretamente que a medida, em cm, do perímetro do retângulo é
a) 48.
b) 52.
c) 46.
d) 56.
13. Na figura a seguir, estão representados o triângulo
retângulo ABC e um quadrado inscrito nesse triângulo. O
segmento AH é a altura do triângulo em relação à base
BC. Sabe-se que o segmento AH mede 10 cm e o
segmento BC mede 4 cm. Então, a medida do lado do
quadrado, em centímetros, é
a) 8
3
b) 9
2
c) 3
d) 5
2
e) 20
9
14. Um formato de papel usado para impressões e fotocópias, no Brasil, é o A4, que faz parte de uma série conhecida como série A, regulamentada internacionalmente pelo padrão ISO 216. Essa série criou um padrão de folha retangular que, quando seu lado maior é dobrado ao meio, gera um retângulo semelhante ao original, conforme ilustrado.
Considerando uma folha da série A, com as dimensões indicadas na figura, pode-se afirmar que
a) x 2y=
b) x y 2=
c) x y=
d) y x 2=
e) y 2x=
15. No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a
bissetriz do ângulo interno em A, e AD DB.=
O ângulo interno em A é igual a
a) 60 .
b) 70 .
c) 80 .
d) 90 .
16. Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela desenvolve um
padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão
bordados dois triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã branca, conforme a figura.
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com
hipotenusa 12 2 cm. Cada triângulo cinza é semelhante a
um triângulo preto e possui dois lados de medida 10 cm.
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em
2cm ,
a) 344.
b) 456.
c) 582.
d) 628.
e) 780.
17. No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é
o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são
obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de
reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.
A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para
os cinco triângulos mostrados na figura é
a) 1
3
b) 2
3
c) 2
5
d) 3
5
e) 5
6
18. Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio
é igual a 0,5 m, um quadrado Q circunscrito ao círculo e
um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos
afirmar corretamente que a medida, em 2m , da área da
região do plano interior a Q e exterior a q é
a) 0,15 .π
b) 0,25 .π
c) 0,50.
d) 0,35.
19. Considere o quadrado ABCD da figura a seguir, em
que G é o ponto médio de CD, F é o ponto médio de
AC e AC
AE EF .4
= =
A razão entre a área do quadrilátero EFGD e a área do
quadrado ABCD é
a) 1
.4
b) 1
.2
c) 1
.3
d) 2
.3
e) 1. 20. As bases do sólido ilustrado na figura 1, destacadas em amarelo, são figuras congruentes contidas em planos
paralelos, que distam entre si 6 unidades de comprimento.
A base Inferior desse sólido, apresentada na figura 2, é limitada por
arcos de circunferências centradas em (2, 0), (4, 0) e
(4, 2) e por dois segmentos de reta.
O volume do sólido indicado na figura 1, em unidades de
volume do sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, é
igual a
a) 17 .π
b) 18 .π
c) 16,5 .π
d) 16 .π
e) 17,5 .π
21. Os raios das circunferências, inscrita e circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são,
respectivamente,
a) a
3 e
2a
3
b) a
2 e a
c) a 2
2 e a 2
d) a 3
6 e
a 3
3
e) a 3
2 e a 3
22. Os quatro hexágonos da imagem a seguir são regulares
e cada um tem área de 248 cm .
Os vértices do quadrilátero ABCD coincidem com vértices
dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são colineares.
A área do quadrilátero ABCD, em 2cm , é
a) 8.
b) 10.
c) 16
d) 24.
e) 36.
23. Considere o alvo mostrado na figura a seguir, construído com três circunferências tangentes duas a duas,
com DA AC 10= = e os pontos D, A e C colineares.
Um dardo é lançado e atinge o alvo. A probabilidade de o dardo atingir a região sombreada é de
a) 1
.5
b) 1
.4
c) 1
.3
d) 1
.2
e) 2
.3
24. Em um plano, duas circunferências têm seus centros
nos pontos P e Q e as medidas de seus raios são ambas
iguais a 3 m. Se essas circunferências cortam-se nos
pontos R e S e se a distância entre P e Q é igual à
distância entre R e S, então, a medida da área do
quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos P, Q, R
e S, em 2m , é
a) 18.
b) 9 2.
c) 9 3.
d) 9.
25. Na figura abaixa sem escala, o raio da circunferência de
centro O é r 3 cm= e o segmento OP mede 5 cm.
Sabendo que o segmento PQ tangencia a circunferência
no ponto T, pode-se dizer que o segmento OQ mede:
a) 1,25 cm
b) 5 cm
c) 3,75 cm
d) 4 cm
e) 3,5 cm
26.
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua
área vale 6, então o valor do ˆsenB é
a) 3
5
b) 1
c) 4
5
d) 2
5
e) 1
5
27.
Na figura, os vértices de um triângulo equilátero de lado
4 cm são centros de três círculos que se tangenciam
mutuamente, determinando a região hachurada de preto no interior do triângulo. Qual é a medida da área dessa região?
Considere 3,0π e 3 1,7.
a) 0,6
b) 0,3
c) 0,5
d) 0,8
e) 0,4
28. Uma pessoa possui um terreno em forma de um pentágono, como ilustrado na figura.
Sabe-se que a diagonal AD mede 50 m e é paralela ao
lado BC, que mede 29 m. A distância do ponto B a AD
é de 8 m e a distância do ponto E a AD é de 20 m.
A área, em metro quadrado, deste terreno é igual a
a) 658.
b) 700.
c) 816.
d) 1.132.
e) 1.632.
29. A gravura mostrada na figura abaixo foi dobrada na
linha tracejada MN, a x cm da borda AB.
Sabendo-se que, depois da dobradura, a parte oculta da
gravura representa 25% da parte visível, podemos afirmar
que a medida x é de:
a) 3,5 cm
b) 6 cm
c) 3 cm
d) 4,5 cm
e) 5 cm
30. A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas
regiões de mesma área. A razão a
b é igual a
a) 3 1.+
b) 2 1.+
c) 3.
d) 2.
31. Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.
Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros
quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é
a) 9
b) 6 3
c) 9 2
d) 12
e) 12 3
32. Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo
10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos
doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular
de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe
desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a
calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
a) 91
52
−
b) 10 91−
c) 1
d) 4
e) 5
33. Supondo que, na praça representada pela figura a seguir, houve uma manifestação e que, para calcular o número de pessoas presentes, foi utilizado o número de quatro pessoas por metro quadrado ocupado, determine o número de pessoas presentes no ato, considerando que no lago não havia ninguém, mas o restante da praça estava ocupado.
a) 640 pessoas.
b) 1.240 pessoas.
c) 4.200 pessoas.
d) 4.800 pessoas.
e) 6.000 pessoas.
34. Uma família possui um terreno retangular com 18
metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles será para o filho e o outro para os pais. Além disso, foi demarcada uma área de passeio entre os dois novos terrenos para o livre acesso das pessoas. Os terrenos e a área de passeio são representados na figura.
A área de passeio calculada pela família, em metro quadrado, é de
a) 108.
b) 216.
c) 270.
d) 288.
e) 324.
35. Um fabricante recomenda que, para cada 2m do
ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh,
desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse
número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada
pessoa a mais, e também para casa aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas:
Tipo I: 10.500 BTUh
Tipo II: 11.000 BTUh
Tipo III: 11.500 BTUh
Tipo IV: 12.000 BTUh
Tipo V: 12.500 BTUh
O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas
pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura:
Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante. A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
36. Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre
si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo.
O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,
a) 18 3 .π+
b) 30 10 .π+
c) 18 6 .π+
d) 60 10 .π+
e) 36 6 .π+
37. Suponha que fosse possível dar uma volta completa em torno da linha do Equador caminhando e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na esfera terrestre. Nesse
caso, se uma pessoa de 2 m de altura desse uma volta
completa na Terra pela linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a viagem, teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus pés em, aproximadamente,
a) 63 cm.
b) 12,6 m.
c) 6,3 km.
d) 12,6 km.
e) 63 km.
38. A prefeitura de uma cidade detectou que as galerias pluviais, que possuem seção transversal na forma de um
quadrado de lado 2 m, são insuficientes para comportar o
escoamento da água em caso de enchentes. Por essa razão, essas galerias foram reformadas e passaram a ter seções quadradas de lado igual ao dobro das anteriores,
permitindo uma vazão de 3400 m s. O cálculo da vazão
V (em 3m s) é dado pelo produto entre a área por onde
passa a água (em 2m ) e a velocidade da água (em m s).
Supondo que a velocidade da água não se alterou, qual era a vazão máxima nas galerias antes das reformas?
a) 325 m s
b) 350 m s
c) 3100 m s
d) 3200 m s
e) 3300 m s
39. A figura a seguir representa um cubo de lado medindo
6 cm e um triângulo ABC.
A área desse triângulo mede
a) 236 2 cm .
b) 218 2 cm .
c) 224 2 cm .
d) 212 2 cm .
e) 26 2 cm .
40. Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma
tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-
la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como
a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse
jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea,
formando um ângulo de 90 com a trajetória da tacada,
conforme ilustrado na figura.
Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola
9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o
plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas
do ponto que representa a bola 9 são (3; 3), o centro da
caçapa de destino tem coordenadas (6; 0) e a abscissa da
bola branca é 0,5, como representados na figura.
Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era
a) 1,3.
b) 1,5.
c) 2,1.
d) 2,2.
e) 2,5.
41. Brincando de construir circunferências e quadrados, Antônio construiu uma figura semelhante à que está representada abaixo. A área pintada dessa figura corresponde a quantos por cento da área total do quadrado?
Considere 3,14π =
a) 15,53%
b) 17,00%
c) 21,50%
d) 33,40%
e) 34,00%
42. Ao aumentarmos em 20% a medida do raio de um
círculo, sua área sofrerá um aumento de
a) 36%.
b) 40%.
c) 44%.
d) 52%.
43. Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de
uma área de pelo menos 2400 m . Após algumas
avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são
R$ 100.000,00 e R$ 150.000,00, respectivamente.
Use 3 1
,2 2
e 1,7 como aproximações respectivamente,
para sen(60 ), cos(60 ) e 3.
Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações: Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área; Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área; Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto; Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato; Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado. A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a) a) pai. b) mãe. c) filho 1. d) filho 2. e) corretor.
44. No retângulo ABCD a seguir, tem-se que E e F são
os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente.
A razão entre as áreas do triângulo DEF e do retângulo
ABCD é
a) 2
5
b) 3
8
c) 1
2
d) 5
8
e) 3
4
45. Em um terreno retangular ABCD, de 220 m , serão
construídos um deque e um lago, ambos de superfícies retangulares de mesma largura, com as medidas indicadas na figura. O projeto de construção ainda prevê o plantio de
grama na área restante, que corresponde a 48% do
terreno.
No projeto descrito, a área da superfície do lago, em 2m ,
será igual a
a) 4,1.
b) 4,2.
c) 3,9.
d) 4,0.
e) 3,8.
46. Renata pretende decorar parte de uma parede
quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um
com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme
mostra a figura.
Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a
a) 1 2 3+
b) 2 2 3+
c) 2 3+
d) 1 3+
e) 4 3+
47. Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme mostra a figura.
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos
ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA= = e ˆz AED= do triângulo
ADE. As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são,
respectivamente,
a) 18, 18 e 108.
b) 24, 48 e 108.
c) 36, 36 e 108.
d) 54, 54 e 72.
e) 60, 60 e 60.
48. Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas
AB e CD, conforme indica a figura. Sabe-se que
= =AB CD 1m, e que M é ponto médio dos segmentos
coplanares AB e CD. Quando a mesa está armada, o
tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo
ˆAMC é 60 .
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da
espessura do tampo e adotando =3 1,7, a altura do
tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre
a) 96 e 99.
b) 84 e 87.
c) 80 e 83.
d) 92 e 95.
e) 88 e 91.
49. Tradicionalmente uma pizza média de formato circular
tem diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 fatias iguais
(mesma área). Uma família, ao se reunir para o jantar, fará
uma pizza de formato circular e pretende dividi-la em 10
fatias também iguais. Entretanto, eles desejam que cada fatia dessa pizza tenha o mesmo tamanho (mesma área) de
cada fatia da pizza média quando dividida em 8 fatias
iguais. Qual o valor mais próximo do raio com que deve ser feita a pizza, em centímetro, para que eles consigam dividi-Ia da forma pretendida?
Use 2,2 como aproximação para 5.
a) 15,00
b) 16,50
c) 18,75
d) 33,00
e) 37,50
50. Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com
diâmetros medindo 60 cm e percorreu, com ela, 10 km.
Um ciclista B usou outra bicicleta com rodas cujos
diâmetros mediam 40 cm e percorreu, com ela, 5 km.
Considere 3,14 como aproximação para .π
A relação entre o número de voltas efetuadas pelas rodas
da bicicleta do ciclista A e o número de voltas efetuadas
pelas rodas da bicicleta do ciclista B é dada por
a) 1
2
b) 2
3
c) 3
4
d) 4
3
e) 3
2
51. No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.
Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.
A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central
(r) deverá ser
a) R 2r=
b) R r 2=
c)
2r 2rR
2
+=
d) 2R r 2r= +
e) 3
R r2
=
52. Seja AEC um triângulo isósceles (as medidas dos
lados AE e AC são iguais) e O um ponto do lado AC
tal que a medida do ângulo EÔC é 120 graus. Se existe
um ponto B, do lado AE, tal que o segmento OB é
perpendicular ao lado AE e a medida do ângulo EÔB seja
igual a 40 graus, então a medida do ângulo OÊC, em
graus, é igual a
a) 9.
b) 7.
c) 5.
d) 3.
53. A figura abaixo exibe um retângulo ABCD
decomposto em quatro quadrados.
O valor da razão AB
BC é igual a
a) 5
.3
b) 5
.2
c) 4
.3
d) 3
.2
54. Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A bomba
explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria
conhecido como “marco zero”.
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida,
se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um
poço. No momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba.
Se os ventos provocados pela explosão foram de
800 km h e adotando a aproximação 5 2,24, os
personagens correram até o poço, em linha reta, com uma
velocidade média, em km h, de aproximadamente
a) 28.
b) 24.
c) 40.
d) 36.
e) 32.
55. Seja ABCD um quadrado de lado , em que AC e
BD são suas diagonais. Seja O o ponto de encontro
dessas diagonais e sejam P e Q os pontos médios dos
segmentos AO e BO, respectivamente. Pode-se dizer que
a área do quadrilátero que tem vértices nos pontos A, B, Q
e P vale
a)
23
16
b)
2
16
c)
23
8
d)
2
8
e)
23
24
Gabarito: Resposta da questão 1: [A]
Tomando o triângulo ABD, vem
ADsen30 AB 2h.
AB = =
Portanto, sendo AB BC,= podemos concluir que a
resposta é
2
1(ABC) BC AD
2
12h h
2
h .
=
=
=
Resposta da questão 2: [A] Calculando:
( ) ( )2 22 2
4cosA
5
4 18MN 3 3 2 3 3 cosA 18 18 MN 3,6 MN 3,6
5 5
=
= + − = − = = =
Resposta da questão 3: [E] Calculando:
CA 1sen 30 CA 10 CA 5
10 2
BD DC BD DC BD 102
10 5 5DA CA DC
= = =
= = = =
Resposta da questão 4: [A] Calculando:
1
2
2 3
3
30 603AF 6ED AF 2ED
ED AF
30 ED AFS 15ED 15 7,5AF
2 2
AFS 60ED 60 30AF
2S S
60 AFS 30AF
2
= = =
= = = =
= = =
=
= =
Resposta da questão 5: [D]
Desde que AD BC= e AB DC,= temos DE 6cm.=
Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, temos
2 2 2 2 2 2AE AD DE AE 12 6
AE 5 36
AE 6 5 cm.
= + = +
=
=
Resposta da questão 6: Conforme enunciado:
a) Calculando:
2 2 2RS 18 25 RS 949= + =
b) Calculando:
( ) ( )2 22 2 2 2
2
r r 25 r 18 r r 50r 625 r 36r 324
r 13 (não convém, pois r 25)
0 r 86r 949 ou
r 73
= − + − = − + + − +
=
= − + =
Resposta da questão 7: Calculando:
2
2
b h 2 2S 2 cm
2 2
1 unidade de área (u.a.) 2 2 4 cm S 0,5 u.a.
= = =
= = =
Resposta da questão 8: Calculando:
( )
( ) 2
2 x y 700
x y 30000
x y 350 x 350 y
y ' 150 x ' 200350 y y 30000 y 350y 30000 0
y '' 200 x '' 150
+ =
=
+ = → = −
= → =− = → − + = →
= → =
Assim, as dimensões do retângulo são 150 e 200
centímetros. Resposta da questão 9: a) Sabendo que o triângulo está inscrito na
semicircunferência, então o ângulo no vértice B é reto.
Assim, o triângulo ABC é retângulo. Calculando:
2 2 2 22 2
2 2 2 22 2
AC 2R AC 2 50 100 mm
AC AB BC 100 80 BC BC 60 mm
AB BC BD AC 80 60 BD 100 BD 48 mm
BC BD DC 60 48 DC DC 36 mm
OD DC 50 OD 36 50 OD 14 mm
= → = =
= + → = + → =
= → = → =
= + → = + → =
+ = → + = → =
b) O símbolo de Antônio será:
Calculando a área vermelha:
2
verm ABC cirDC
2verm
60 80 36S S S 2400 324
2 2
S 3372 mm
π π
= + = + = +
Calculando a área azul:
22
azul circAC cirOC ABC cirDC
azul
2azul
50S S S S S 50 2400 324
2
S 2500 625 2400 324 2801 2400
S 6003 mm
π π π
π π π π
= + − − = + − −
= + − − = −
Resposta da questão 10:
Considerando que AB BE x= = e BF 12 x,= − temos:
BEF ABCD
2
2 2
2
1S S
2
x (12 x) x
2 2
12x x x
2x 12x 0 x 0 (não convém) ou x 6.
=
−=
− =
− = = =
Ou seja, BE 6= e BF 6,= considerando o triângulo
retângulo BEF, podemos calcular EF, utilizando o
Teorema de Pitágoras. 2 2 2EF 6 6 EF 6 2cm= + =
Resposta da questão 11: [D]
Como CD e FE são tangentes aos círculos, podemos
concluir que CDEF é um quadrado de lado 20.
A área da região sombreada corresponde à diferença entre
as áreas do quadrado CDEF e do círculo inscrito, ou seja,
2 220 10 400 100 .π π− = −
Resposta da questão 12: [D]
Sejam a e b as medidas da base e da altura do retângulo,
em centímetros. Logo, supondo a b, podemos escrever
a 2b 40+ = e 2a b 44.+ = Dessa forma, somando as
equações, encontramos 3a 3b 84+ = e, assim, vem
a b 28.+ =
A resposta é 2a 2b 56.+ =
Resposta da questão 13: ANULADA (sem resposta) Questão anulada no gabarito oficial.
O triângulo ABC não pode ser retângulo, mas sim
equilátero. Os triângulos ABH e ACH são retângulos.
Sendo o lado do quadrado é igual a x, por semelhança de
triângulos pode-se escrever:
10 10 x 2020 2x 5x 7x 20 x
x2 72
−= → − = → = → =
Resposta da questão 14: [B] Desde que o retângulo de lados x e y é semelhante ao
retângulo de lados y e x
,2
temos
2 2x yx 2y x 2y.
xy
2
= = =
Resposta da questão 15: [C]
Se AD DB,= então DAB DBA. Ademais, AD é
bissetriz de BAC e, portanto, temos 1
DBA BAC.2
=
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo
é igual a 180 , vem
1ABC BCA BAC 180 BAC BAC 60 180
2
BAC 80 .
+ + = + + =
=
Resposta da questão 16: [B] Se os triângulos pretos são isósceles de hipotenusa
12 2cm, então suas alturas medem 6 2cm e, portanto,
a área pedida é igual a
2
1 140 20 4 10 10 2 12 2 6 2 800 200 144
2 2
456cm .
− − = − −
=
Resposta da questão 17: [B]
Se h é a altura do trapézio ABCD, então
= =
=
=
1 1(ABP) (BPM) AP h BM h
2 2
1 1AD BC
3 2
BC 2.
3AD
Resposta da questão 18: [C]
O lado do quadrado Q mede =2 0,5 1m, enquanto que o
lado do quadrado q mede 1
m.2
Desse modo, segue que
a área pedida é igual a
22 21 1
1 0,5 m .22
− = =
Resposta da questão 19: [A] Calculando:
2quadrado
2 2 2 2
quadrilátero
2quadrilátero
2quadrado
AB x
x 2DF
2
xDG GF
2
x 2EF
4
S x
x 2 x 2 1 x x 1 2x x 4x xS
2 4 2 2 2 2 16 8 16 4
S x 1 1
S 4 4x
=
=
= =
=
=
= + = + = =
= =
Resposta da questão 20: [C] Calculando:
base
2 2
base
V S h
4 5 1 11S
4 4 4
11 66V 6 16,5
4 4
π π π
π ππ
=
= − =
= = =
Resposta da questão 21: [D] É imediato que a altura do triângulo considerado mede
a 3.
2
Sendo a medida do segmento que une o baricentro a um
vértice do triângulo equilátero igual a 2
3 da altura, e a
medida do segmento que une o baricentro ao ponto médio
do lado oposto ao vértice considerado igual a 1
3 da altura,
tem-se que a resposta é a 3
6 e
a 3.
3
Resposta da questão 22: [C]
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos
equiláteros. Portanto, no caso dado cada triângulo mede 28 cm . O quadrilátero ABCD é formado por 2 triângulos
idênticos aos que formam os hexágonos, pois tem lados e ângulos congruentes. Assim a medida do quadrilátero será
igual a 216 cm .
Resposta da questão 23: [D] Calculando:
2centroA
2centroD centroC
sombreada
S 20 400
S S 10 100
S 400 100 100 200
200 1P(X)
400 2
π π
π π
π π π π
π
π
= =
= = =
= − − =
= =
Resposta da questão 24: [D] Desenhando conforme o enunciado:
Assim o quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos
P, Q, R e S é um quadrado de lado igual ao raio das
circunferências, ou seja, igual a 3. Logo, sua área será
igual a 3 3 9. =
Resposta da questão 25: [C]
Tem-se que OT 3cm= e OP 5cm= implicam de
imediato em PT 4cm.= Logo, vem
2 2 25OP PT PQ 5 4 PQ PQ cm.
4= = =
Em consequência, temos
25OQ OP OT PQ OQ 5 3 OQ 3,75cm.
4 = = =
Resposta da questão 26: [A] Calculando:
( )2 2 2
b h 4 ACS 6 AC 3
2 2
AB 4 3 AB 5
3sen B
5
= = =
= + =
=
Resposta da questão 27: [D]
A área limitada pelos três setores de 60 corresponde à
área de um semicírculo de raio 2cm. Logo, a resposta é
dada por
22
2
4 3 12 4 1,7 2 3
4 2
0,8cm .
π− −
Resposta da questão 28: [C] O resultado é dado por
2
1 1(ABCD) (ADE) (50 29) 8 50 20
2 2
816 m .
+ = + +
=
Resposta da questão 29: [A] Calculando:
( )35 2x h 0,25 2x h 8,75 0,5x 2x 2,5x 8,75 x 3,5− = − = = =
Resposta da questão 30: [B]
Se as áreas são iguais e o ângulo central é , então
2 2 22 2(a b) a a
(a b) 2a 02 2 2
(a b 2a) (a b 2a) 0
a ( 2 1) b
a2 1.
b
θ θ θ+ − = + − =
+ − + + =
− =
= +
Resposta da questão 31: [B]
Se a área do círculo é 23 m ,π então
2r 3 r 3 m.π π = =
Ademais, como o triângulo ABO é equilátero, temos
L 3r L 2 m.
2= =
Portanto, a resposta é
223 2 3
6 3 m .2
=
Resposta da questão 32: [C]
O triângulo OAB é um triângulo pitagórico do tipo 3-4-5,
portanto:
OA 4
AB r 3
R 5
h R OA 5 4 h 1
=
= =
=
= − = − =
Resposta da questão 33: [C] Calculando:
ocupada total lago
2total
2lago
2ocupada
S S S
40 60S 30 1500 m
2
30 30S 450 m
2
S 1500 450 1050 m
Nº pessoas 1050 4 4200 pessoas
= −
+= =
= =
= − =
= =
Resposta da questão 34: [A] Se os triângulos retângulos são isósceles e congruentes,
então seus catetos medem 18 m e a base do
paralelogramo que constitui o passeio mede
24 18 6 m.− = Portanto, a área do passeio é igual a
26 18 108 m . =
Resposta da questão 35: [C] Desde que área do trapézio é dada por
23,8 34 13,6 m ,
2
+ =
podemos concluir que a quantidade mínima de BTUh
necessária é 13,6 800 600 11480. + =
Em consequência, a escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo III. Resposta da questão 36: [D]
Conforme enunciado, pode-se escrever:
correia
correia correia
C 6 10 6x
y 360 120 90 90 y 60
2 R y 2 5 60 5x x cm
360 360 3
5C 6 10 6 C 60 10 cm
3
π π π
ππ
= +
= − − − =
= = =
= + = +
Resposta da questão 37: [B] Seja r a medida do raio da Terra na linha do Equador, em metros. Tem-se que a distância percorrida pelo topo da cabeça da pessoa é igual a
2 (r 2) (2 r 12,6) m.π π + +
Em consequência, sendo 2 rπ a distância percorrida pela
sola dos pés da pessoa, podemos concluir que o resultado
é 12,6 m.
Resposta da questão 38: [C]
( )
2 2i i 3
i2f
V v v 2 V 4vV 4 25 100 m s
V 400 v 2 400 16v v 25
= = = = =
= = = =
Resposta da questão 39: [B]
6 6 2S S 18 2
2Δ Δ
= → =
Resposta da questão 40: [E] Considerando os dados do enunciado:
( )
( )
ABC CFG AB AC
BM CM BM 1 B 1; 3
ABC DBE
DE DB DE 0,5 E 0,5; 2,5
=
= =
= =
Resposta da questão 41: [C]
quadrado quadrado
hachurada quadrado setorcircular
2
hachurada hachurada
hachurada hachurada
quadrado quadrado
S 8,5 8,5 S 72,25
S S S
8,5S 72,25 S 15,53375
4
S S15,533750,215 21,5%
S 72,25 S
π
= → =
= −
= − → =
= = → =
Resposta da questão 42: [C] Seja r o raio do círculo. Ao aumentarmos a medida de r
em 20%, obtemos um círculo de área
2 2(1,2r) 1,44 r ,π π = ou seja, 44% maior do que a área
do círculo de raio r. Resposta da questão 43: [C] Calculando:
2lote1
2lote2
15 x 3 1,7x 15 15 x 12,75 m
sen 90 sen 60 2 2
S 12,75 30 382,5 m
S 15 30 450 m
= =
= =
= =
Logo, o lote 2 é o único que tem área suficiente para a execução do projeto.
Resposta da questão 44: [B]
Pondo AB 2x= e BC 2y,= temos
(DEF) (ABCD) (ADE) (BEF) (CDF)
1 1 12x 2y x 2y x y 2x y
2 2 2
54xy xy
2
3xy.
2
= − − −
= − − −
= −
=
Portanto, a resposta é
3xy
(DEF) 32 .(ABCD) 4xy 8
= =
Resposta da questão 45: [D] Sabendo que o terreno é retangular e que sua área é de
220 m , pode-se deduzir suas medidas, sendo h o
comprimento do terreno:
5 h 20 h 4 metros = → =
Se o terreno tem ao todo 4 metros de comprimento, então o lago terá comprimento igual a:
4 1 0,5 2,5 metros− − =
Sabendo a área total do terreno e considerando como x a largura do deque e do lago, pode-se escrever:
2grama lago deque 20 m
0,48 20 2,5 x 4 x 20 6,5x 10,4 x 1,6 metros
+ + =
+ + = → = → =
Logo, a área do lago será igual a:
22,5 1,6 4 m =
Resposta da questão 46: [B] Observando que cada retângulo decorado tem dimensões
medindo (x 2)+ metros e 2 metros, vem
2 2x 2 2 (x 2) x 4x 8 0
x (2 2 3) m.
= + − − =
= +
Resposta da questão 47: [C] Calculando:
( ) ( )int ernos
int ernos
pentágono regular z é ângulo interno
S 180 n 2 180 5 2 540
S 540z 108
n 5
x y z 1802x 108 180 x y 36
x y
= − = − =
= = =
+ + = + = = =
=
Resposta da questão 48:
[B]
Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é 60 ,
então os triângulos formados ( AMC e DMB) são
equiláteros com lado igual a 0,5.= Logo, a altura da
mesa em relação ao chão será igual a 2h, sendo h a
altura de um dos triângulos equiláteros. Ou seja:
3 0,5 1,7h 0,425 2h 0,85 m 85 cm
2 2
= = = → = =
Resposta da questão 49: [B] Calculando:
2pizza 30cm
fatia
10 fatias
2 2
área (15) 225
225área 28,125
8
área 28,125 10 281,25
281,25 R R 281,25 R 16,50 cm
π π
ππ
π π
π π
= =
= =
= =
= =
Resposta da questão 50: [D]
Sendo R o raio das rodas da bicicleta, C o comprimento
da circunferência da roda e N o número de voltas dadas na distância percorrida, pode-se calcular:
A
A A
A
B
B B
B
A
B
60R 30 cm 0,3 m
2
C 2 R 2 3,14 0,3 C 1,884 m
10.000N 5307,86 voltas
1,884
40R 20 cm 0,2 m
2
C 2 R 2 3,14 0,2 C 1,256 m
5.000N 3980,89 voltas
1,256
N 5307,86 41,33333
N 3980,89 3
π
π
= = =
= = =
=
= = =
= = =
=
=
Resposta da questão 51: [B] Calculando:
2central
2 2canteiro
2 2 2 2 2 2 2central canteiro
S r
S R r
S S r R r 2 r R 2r R R r 2
π
π π
π π π π π
=
= −
= = − = = =
Resposta da questão 52: [C]
Se o segmento OB é perpendicular ao lado AE, sabe-se
então que o triângulo EBO é um triângulo retângulo e que
um de seus ângulos é 40 (ângulo EOB). Assim,
sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180 , tem-se:
40 90 z 180
z 50
+ + =
=
Sabe-se também que o triângulo é isósceles, portanto os
ângulos dos vértices E e C são iguais. Logo:
x y z
y x 50
+ =
= +
Novamente, sabendo que a soma dos ângulos internos do
triângulo EOC é igual a 180 , conclui-se:
y 120 x 180
x 50 120 x 180
2x 170 180
2x 10
x 5
+ + =
+ + + =
+ =
=
=
Resposta da questão 53: [A]
Há três tipos de quadrados, com 1 2 3 sendo os
seus lados. É fácil ver que 2 12= e
3 1 2 13 .= + = Portanto, temos 3 2
3
AB 5.
3BC
+= =
Resposta da questão 54: [D]
A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o
poço é dada por
2 2 2d 1 (0,5) d 1,25
d 0,5 2,24
d 1,12km.
= + =
Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em
1,120,0014 h
800= e, portanto, podemos concluir que a
velocidade média dos personagens foi de
0,0536km h.
0,0014
Resposta da questão 55: [A]
É imediato que a área do triângulo ABO corresponde a
2
.4
Além disso, sendo PQ uma base média do triângulo
ABO, temos
21(PQO) (ABO) .
4 16= = Portanto, segue
que a área do trapézio isósceles ABQP é igual a
2 2
2
(ABQP) (ABO) (PQO)
4 16
3u.a.
16
= −
= −
=