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Lsta de Exerccios

Equaes Diferenciais Ordinrias

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Professor: Jos Elias Data: 08/09/2014

I -Unidade

1. Resolva as Equaes.a) (1 + x2)y xy = 0b) y2 1 (2y+ xy)y = 0c) (ayx2 + by)y x = 0 para a, b R, a 6= 0d) (ax2 + b)

12 y xy3 = 0 para a, b R, a 6= 0

e) (ay2 + b)12 xyy = 0 para a, b R, a 6= 0

f) ay2 + b x2yy = 0 para a, b R, a 6= 0

2. Encontre a soluo do problema de valor inicialdydx

=2x+ 13y2 3

y(0) = 0.

a) Determine o intervalo de validade da soluo.b) Determine os pontos onde a soluo tem um mximo local.

3. Mostre que a Equao Linear y + p(t)y = q(t) equivalente a uma equao separvel sea) p(t) = aeq(t) = b para a, b Rb) p(t) = q(t)c) q(t) = 0

4. Resolva o PVI {dydt = y(100 y)y(0) = 1 .

5. Resolva os problemas de valor inicial

a){

y + (1 2x)y = xexy(0) = 2 .

b){

ly + 3t2y = et3+ty(0) = 2

.

c){

y cos ty = tet2+senty(0) = 2

.

d)

{y + x4y = x4e 4x

55

y(l0) = 1.

6. Resolva as equaes

a)y 4xy = m 2

x3

b)y 1xy = x

c)y 4xy = x5ex

7. Resolva o problema de valor inicial

b){

y + 3x4y = x4y(0) = y0

.

a) Para quais valores de y0 a soluo crescente e para quais valores de y0 a soluo decres-cente?b) lQual o limite de y(x) quando x tende a +? O limite depende de y0?

8. Resolva o problema de valor inicial

b) { (x2 9)y + xy = 0

y(5) = y0.

a) Qual o intervalo de validade da soluo?b) Qual o limite de y(x) quando x tende a +? O limite depende de y0?

Lsta de Exerccios

9. Considere a equao

dydt

+ p(t)y = 0

a) Mostre que se y1(t) e y2(t) so solues da equao, ento y(t) = y1(t) + y2(t) tambm o .b) Mostre que se y1(t) soluo da equao, ento y(t) = cy1(t) tambm o , para qualquerconstante c

10. Considere as equaes

dydt+ p(t)y = 0 (1)

dydt+ p(t)y = q(t) (2)

Mostre que se y1(t) soluo da equao (1) e y2(t) soluo da equao (2), ento y(t) = cy1(t)+ y2(t) soluo de (2) para qualquer constante c

11. Resolva o PVI dydt = 2te 1100 t y100y(0) = 100 .12. Resolva as equaes

a) 2xy senx+ (x2 + ey)dydx

= 0

b) y2 + cos x+ (2xy+ ey)dydx

= 0

c) 2xy2 + cos x+ (2x2y+1y)dydx

= 0

d) 2(xy2 1

x3

)+

(2x2y 1

y2

)dydx

= 0

e) x+ y+ x ln xdydx

= 0. Sugesto Multiplique a equao por1x

f) 2(xy3 1

x3

)+

(2x2y2 1

y2

)dydx

= 0

g) xy4 +(2x2y3 + 3y5 20y3) dy

dx= 0

13. Encontre a soluo geral da Equao e a soluo de valor inicialdydx

=2x yx 2y

y(1) = 3.

a) Determine o intervalo de valide da soluo.b) Determine os pontos onde a soluo tem um mximo local.

14. Encontre um fator de integrao (y) para a equao

xy+(2x2 + 3y2 20) dy

dx= 0

de forma a transform-la numa equao exata.

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15. Encontre um fator de integrao (y) para a equao ]

x+(x2y+ 4y

) dydx

= 0

de forma a transform-la numa equao exata.

16. Considere a seguinte equao diferencial

2y2 +2yx

+(

2xy+ 2 +yx

) dydx

= 0

de forma a transform-la numa equao exata. Encontre uma soluo particular da equaopara y(1) = 1

17. Encontre a soluo da equao

1x3

+ey

x+

(ey +

1xy

)dydx

= 0

18. Considere a seguinte equao diferencial

2y+(x+

y3

x

)dydx

= 0

a) Encontre a soluo da equaob) Encontre uma soluo particular da equao para y(1) = 1

19. Considere a seguinte equao diferencial

ex3 + seny+x3cos y

dydx

= 0

a) Encontre a soluo da equaob)l Encontre uma soluo particular da equao para y(0) = 0

20. Considere a seguinte equao diferencial

l2 +ey

x+(ey +

yx

) dydx

= 0

a) Encontre a soluo da equaob) Encontre uma soluo particular da equao para y(1) = 1

"Sonho...A gente s se d conta dele quando acorda, depois que ele acabou...

E flica aquela vontade na gente de sonhar mais um pouquinho."

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