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  • Cl

    Lsta de Exerccios

    Equaes Diferenciais Ordinrias

    Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Professor: Jos Elias Data: 08/09/2014

    I -Unidade

    1. Resolva as Equaes.a) (1 + x2)y xy = 0b) y2 1 (2y+ xy)y = 0c) (ayx2 + by)y x = 0 para a, b R, a 6= 0d) (ax2 + b)

    12 y xy3 = 0 para a, b R, a 6= 0

    e) (ay2 + b)12 xyy = 0 para a, b R, a 6= 0

    f) ay2 + b x2yy = 0 para a, b R, a 6= 0

    2. Encontre a soluo do problema de valor inicialdydx

    =2x+ 13y2 3

    y(0) = 0.

    a) Determine o intervalo de validade da soluo.b) Determine os pontos onde a soluo tem um mximo local.

    3. Mostre que a Equao Linear y + p(t)y = q(t) equivalente a uma equao separvel sea) p(t) = aeq(t) = b para a, b Rb) p(t) = q(t)c) q(t) = 0

    4. Resolva o PVI {dydt = y(100 y)y(0) = 1 .

    5. Resolva os problemas de valor inicial

    a){

    y + (1 2x)y = xexy(0) = 2 .

    b){

    ly + 3t2y = et3+ty(0) = 2

    .

    c){

    y cos ty = tet2+senty(0) = 2

    .

    d)

    {y + x4y = x4e 4x

    55

    y(l0) = 1.

    6. Resolva as equaes

    a)y 4xy = m 2

    x3

    b)y 1xy = x

    c)y 4xy = x5ex

    7. Resolva o problema de valor inicial

    b){

    y + 3x4y = x4y(0) = y0

    .

    a) Para quais valores de y0 a soluo crescente e para quais valores de y0 a soluo decres-cente?b) lQual o limite de y(x) quando x tende a +? O limite depende de y0?

    8. Resolva o problema de valor inicial

    b) { (x2 9)y + xy = 0

    y(5) = y0.

    a) Qual o intervalo de validade da soluo?b) Qual o limite de y(x) quando x tende a +? O limite depende de y0?

  • Lsta de Exerccios

    9. Considere a equao

    dydt

    + p(t)y = 0

    a) Mostre que se y1(t) e y2(t) so solues da equao, ento y(t) = y1(t) + y2(t) tambm o .b) Mostre que se y1(t) soluo da equao, ento y(t) = cy1(t) tambm o , para qualquerconstante c

    10. Considere as equaes

    dydt+ p(t)y = 0 (1)

    dydt+ p(t)y = q(t) (2)

    Mostre que se y1(t) soluo da equao (1) e y2(t) soluo da equao (2), ento y(t) = cy1(t)+ y2(t) soluo de (2) para qualquer constante c

    11. Resolva o PVI dydt = 2te 1100 t y100y(0) = 100 .12. Resolva as equaes

    a) 2xy senx+ (x2 + ey)dydx

    = 0

    b) y2 + cos x+ (2xy+ ey)dydx

    = 0

    c) 2xy2 + cos x+ (2x2y+1y)dydx

    = 0

    d) 2(xy2 1

    x3

    )+

    (2x2y 1

    y2

    )dydx

    = 0

    e) x+ y+ x ln xdydx

    = 0. Sugesto Multiplique a equao por1x

    f) 2(xy3 1

    x3

    )+

    (2x2y2 1

    y2

    )dydx

    = 0

    g) xy4 +(2x2y3 + 3y5 20y3) dy

    dx= 0

    13. Encontre a soluo geral da Equao e a soluo de valor inicialdydx

    =2x yx 2y

    y(1) = 3.

    a) Determine o intervalo de valide da soluo.b) Determine os pontos onde a soluo tem um mximo local.

    14. Encontre um fator de integrao (y) para a equao

    xy+(2x2 + 3y2 20) dy

    dx= 0

    de forma a transform-la numa equao exata.

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  • Lsta de Exerccios

    15. Encontre um fator de integrao (y) para a equao ]

    x+(x2y+ 4y

    ) dydx

    = 0

    de forma a transform-la numa equao exata.

    16. Considere a seguinte equao diferencial

    2y2 +2yx

    +(

    2xy+ 2 +yx

    ) dydx

    = 0

    de forma a transform-la numa equao exata. Encontre uma soluo particular da equaopara y(1) = 1

    17. Encontre a soluo da equao

    1x3

    +ey

    x+

    (ey +

    1xy

    )dydx

    = 0

    18. Considere a seguinte equao diferencial

    2y+(x+

    y3

    x

    )dydx

    = 0

    a) Encontre a soluo da equaob) Encontre uma soluo particular da equao para y(1) = 1

    19. Considere a seguinte equao diferencial

    ex3 + seny+x3cos y

    dydx

    = 0

    a) Encontre a soluo da equaob)l Encontre uma soluo particular da equao para y(0) = 0

    20. Considere a seguinte equao diferencial

    l2 +ey

    x+(ey +

    yx

    ) dydx

    = 0

    a) Encontre a soluo da equaob) Encontre uma soluo particular da equao para y(1) = 1

    "Sonho...A gente s se d conta dele quando acorda, depois que ele acabou...

    E flica aquela vontade na gente de sonhar mais um pouquinho."

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