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SERVIÇOPÚBLICOFEDERALMINISTÉRIODAEDUCAÇÃO

UNIVERSIDADEFEDERALDORIOGRANDEDOSUL

DisciplinaENG04454–TeoriaEletromagnéticaAplicadaA Versão:18dejulhode20171

LISTADEEXERCÍCIOSNº3

Resolvam de forma autônoma e sem consulta todos os exemplos da bibliografia D. K. Cheng, Field andWaveElectromagneticsreferentesaoscapítuloseseçõesabordadasnestaárea.




problemamultipolosdamagnetostática




5) Arranjos globalmente neutros e colineares de𝑛 cargas pontuais𝑞! compõemo que se denomina desistemasmultipolos.Considerandoqueascargaselétricasnegativasenvolvidasestejamcondensadassobrecertacoordenadaespacial,determineocampoelétrico𝐄parao(a)dipolo,(b)quadripoloe(c)octupolo,estabelendodeformaconvenienteaorigemdosistemadecoordenadaseainterdistância𝑑entreascargasenvolvidas para comparação dos resultados. (d) Qual é de fato a quantidade efetiva que governa osresultados obtidos anteriormente? Qual a sua dimensão física e como poderia ser interpretada? Paracoordenadas espaciais 𝑟 ≫ 𝑑, (e) qual aproximação poderia ser adotada da descrição do problema?Descreva-a.(f)Apliqueaaproximaçãoaosresultadosanteriores,reobtendo-os.(g)Podeserinferidaalgumaregradeformaçãoparaasexpressõesaproximadasenvolvendoocampoelétrico𝐄obtidasnos3arranjosanterioresparaocasogeralde𝑁pólos?(h)Qualarelevânciadestesarranjosdiscretosnoentendimentodos sistemas sob a hipótese do continuum? (i) Caso as cargas negativas envolvidas nos arranjos setornassem positivas, qual seria o impacto sobre os resultados oriundos da aproximação anterior?Determineeinterprete.

6) Suponha que a carga pontual do problema 3) torne-se finita de raio 𝑎, estando sua carga 𝑞anteriormenteconcentradaentãohomogeneamentedistribuída. (a)Qualosistemadecoordenadasmaisconvenientedeseradotadoe(b)qualéadependênciafuncionaldocampoelétrico𝐄produzido?Disserte.(c) Qual a abordagem mais conveniente para a obtenção do campo elétrico 𝐄? Discorra. Então (d)determine cada uma das componentes do campo elétrico 𝐄. Interprete o resultado em detalhe. (e)Medianteabordagemdistintadaanterior,obtenhanovamenteocampoelétrico𝐄.

7)ConsidereentãoqueosistemadoProblema6)torne-se–umaesferaoca–umacasca,permanecendoacarga 𝑞 uniformemente distribuída. Reanalise cada um dos itens enunciados no problema 6) anterior,reobtendoosresultadostendoemvistaopresentecontexto.

8) Um sistema eletrostático consiste em uma barra cilíndrica uniformemente carregada de raio 𝑎 ecomprimentocomprimento𝐿tendendoaoinfinito.Sendo𝑎 ≪ 𝐿,(a)qualosistemadecoordenadasmaisconvenientedeseradotadoe(b)qualéadependênciafuncionaldocampoelétrico𝐄produzido?Disserte.(c) Qual a abordagem mais conveniente para a obtenção do campo elétrico 𝐄? Discorra. Então (d)determine cada uma das componentes do campo elétrico 𝐄. Interprete o resultado em detalhe. (e)Medianteabordagemdistintadaanterior,obtenhanovamenteocampoelétrico𝐄.

9)ConsidereentãoqueabarracilíndricadoProblema8)anteriortorne-sefinita.(a)Háalgumsistemadecoordenadaspreferencialaindaaseradotado? (b)Háalgumaabordagemmaisconvenientenaobtençãodocampoelétrico𝐄?Explique.Determineocampoelétrico𝐄paracoordenadasnormaisao(c)centrodesimetriadabarrae(d)àssuasextremidades.Interprete-osemdetalhe.(e)Qualéaquantidadequedefatogovernao comportamentodestas expressões?Proponha,disserte e formalize aproximações compatíveisde serem adotadas ao campo elétrico 𝐄 obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito




distante da barra. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h)esboceumapropostadesoluçãoparaocampoelétrico𝐄.Interprete-a.

10)Umaquantidadedecarga𝑞éuniformementedistribuídasobreumaplacadeespessura𝐸,comlargura𝐿ecomprimento𝐶tendendoaoinfinito.Sendo𝐸 ≪ 𝐿e𝐸 ≪ 𝑊,(a)qualosistemadecoordenadasmaisconvenientedeseradotadoe(b)qualéadependênciafuncionaldocampoelétrico𝐄produzido?Disserte.(c) Qual a abordagem mais conveniente para a obtenção do campo elétrico 𝐄? Discorra. Então (d)determine cada uma das componentes do campo elétrico 𝐄. Interprete o resultado em detalhe. (e)Medianteabordagemdistintadaanterior,obtenhanovamenteocampoelétrico𝐄. (f)Oresultadoobtidono problema 8) poderia de alguma forma ser adotado na abordagem e resolução do presente sistema?Interprete.

11) Considere então que a placa do Problema 10) anterior torne-se finita. (a) Há algum sistema decoordenadaspreferencialaindaaseradotado? (b)Háalgumaabordagemmaisconvenientenaobtençãodocampoelétrico𝐄?Explique.Determineocampoelétrico𝐄paracoordenadasnormaisao(c)centrodesimetriadachapae(d)àssuasextremidades.Interprete-osemdetalhe.(e)Qualéaquantidadequedefatogovernao comportamentodestas expressões?Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveisde serem adotadas ao campo elétrico 𝐄 obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muitodistante da placa. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h)esboceumapropostadesoluçãoparaocampoelétrico𝐄.Interprete-a.(i)Oresultadoobtidonoproblema8)poderiadealgumaformaseradotadonaabordagemeresoluçãodopresentesistema?Interprete.

12)Umarranjoeletrostáticoconsisteemumanelcircularderaio𝑎eespessuradesprezívelsobreoqualéhomogeneamente depositado uma quantidade 𝑞 de cargas. Para posições espaciais sobre o eixo desimetria do arranjo, (a) qual o sistema de coordenadasmais conveniente de ser adotado e (b) qual é adependência funcionaldocampoelétrico𝐄produzido?Disserte. (c)Qualaabordagemmaisconvenienteparaaobtençãodocampoelétrico𝐄?Discorra.Então(d)determinecadaumadascomponentesdocampoelétrico 𝐄. Interprete o resultado em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato governa ocomportamento desta expressão? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de seremadotadasaocampoelétrico𝐄obtidoanteriormentequando(f)muitopróximoe(g)muitodistantedoanel.Interpreteosresultadosobtidosemdetalhe.Paraqualquercoordenadaespacial,(h)esboceumapropostadesoluçãoparaocampoelétrico𝐄.Interprete-a.

13)Umsistemaeletrostáticoconsisteemumdiscocircularderaio𝑎eespessuradesprezívelsobreoqualéhomogeneamente depositado uma quantidade 𝑞 de cargas. Para posições espaciais sobre o eixo desimetria do arranjo, (a) qual o sistema de coordenadasmais conveniente de ser adotado e (b) qual é adependência funcionaldocampoelétrico𝐄produzido?Disserte. (c)Qualaabordagemmaisconvenienteparaaobtençãodocampoelétrico𝐄?Discorra.Então(d)determinecadaumadascomponentesdocampoelétrico 𝐄. Interprete o resultado em detalhe. (e) Qual é a quantidade que de fato governa ocomportamento desta expressão? Proponha, disserte e formalize aproximações compatíveis de serem




adotadas ao campo elétrico𝐄 obtido anteriormente quando (f) muito próximo e (g) muito distante dodisco. Interprete os resultados obtidos em detalhe. Para qualquer coordenada espacial, (h) esboce umapropostadesoluçãoparaocampoelétrico𝐄.Interprete-a.(i)Oresultadoobtidonoproblema12)poderiadealgumaformaseradotadonaabordagemeresoluçãodopresentesistema?Interprete.

14) Para todos os problemas anteriores que envolviam distribuições de cargas, quantifique o potencialelétrico𝜙(a)deformaindependenteapartirdoarranjodecargase(b)mediantesuadefiniçãoassociadaao campoelétrico𝐄. (c)Háalguma conveniência emdescreverproblemasmedianteessa funçãoescalarauxiliar?

15) Os efeitos decorrentes de uma distribuição arbitrária𝜌 𝐫′ para posições espaciais 𝑟 ≫ 𝑟′ pode serrepresentado mediante uma série infinita envolvendo contribuições ponderadas de arranjos tipomultipolos.Nestecontexto,(a)obtenhaaexpressãoparaocampoelétrico𝐄.Interprete.(b)Obtenhaentão𝐄mediantederivaçãodopotencial elétrico𝜙 jáobtido.Compareo resultado comderivadono item (a).Discorra.

16) Os efeitos decorrentes da polarização de determinando meio material podem ser quantificadosmedianteepressuposiçãodaexistênciadeumadistribuiçãodedipoloselétricos,quantificadamediantesuadensidade volumétrica – o vetor polarização – 𝐏. (a) Qual é a dimensão física de 𝐏? Discorra. (b)Quantifique o campo elétrico 𝐄 decorrente de uma distribuição arbitrária 𝐏 mediante aplicação daabordagemreducionista. Interprete. (c)Compareo resultado imediatamenteanterior comaqueleobtidomediante derivação do potencial 𝜙 produzido por este tipo de sistema. Discorra. Então (d) calcule odivergentedocampoelétrico𝐄obtidoanteriormente.Interpreteminuciosamenteoresultado.

17) Em um sistema físico linear, coexistem os efeitos de cargas líquidas e os de cargas equivalentes depolarização.Adotandooprincípiodasuperposição,obtenhaindividualmenteocampoelétricodevidoàs(a)cargaslivres𝐄e(b)cargasligadas𝐄!.Determineentão(c)ocampoelétrico𝐄! nodielétrico.(d)Reformulediretamenteo1o.postuladodaeletrostáticadesortequecontenhaosefeitosdapolarização.Interpreteasquantidadesenvolvidasnocontextodaquelasdeterminadasemtodosos itensimediatamenteanteriores.Seodielétricoforlineareisotrópico,(e)qualéarelaçãoentre𝐄e𝐄!?Discorrapormenorizadamente.

18)Umaesferaderaio𝑎éconfeccionadaemmaterialdielétricocompolarização𝐏permanenteuniforme.Determineopotencialelétricodecorrente𝜙para(a)𝑟 > 𝑎e(b)𝑟 < 𝑎.Dissertearespeitodosresultados.Mediante as expressões auferidas nos itens anteriores, obtenha (c) o campo elétrico 𝐄 para qualquerposição espacial. (d) Calcule então o potencial elétrico𝜙 e o campo elétrico 𝐄 em 𝑟 = 𝑎, dissertandopormenorizadamentearespeitodestesresultados.

19) Um dispositivo é composto por duas placas paralelas condutoras de largura 𝐿 e profundidade𝑃. Ainterdistância das placas é𝑑. No interior há um dielétrico com permissividade elétrica 𝜖. Sobre a placa




superior é depositada uma quantidade+𝑞 e sobre a inferior – 𝑞 de cargas. Considerando que𝐿 ≫ 𝑑 e𝑃 ≫ 𝑑,determine(a)adensidadedefluxoelétrico𝐃,(b)ocampoelétrico𝐄e(c)opotencialelétrico𝜙aolongodascoordenadasespaciais.Quantifiqueentão(d)adiferençadepotencial𝛥𝜙entreasplacaseassim(e) a capacitância𝐶 do dispositivo. Interprete fisicamente. Obtenha (f) a polarização𝐏, (g) a densidadevolumétrica𝜌!e(h)adensidadesuperficial𝜎!.Analiseemdetalheosresultadosrecentes.

20)Umdispositivoécompostoporduascascascondutorascilíndricasconcêntricasderaios𝑎e𝑏, sendo𝑎 < 𝑏.Ocomprimentodascascasé𝐶.Nointeriorháumdielétricocompermissividadeelétrica𝜖.Sobreacascaexteriorédepositadaumaquantidade+𝑞esobreainterior– 𝑞decargas.Considerandoque𝐶 ≫ 𝑎e𝐶 ≫ 𝑏,determine(a)adensidadedefluxoelétrico𝐃,(b)ocampoelétrico𝐄e(c)opotencialelétrico𝜙aolongodascoordenadasespaciais.Quantifiqueentão(d)adiferençadepotencial𝛥𝜙entreascascaseassim(e) a capacitância𝐶 do dispositivo. Interprete fisicamente. Obtenha (f) a polarização𝐏, (g) a densidadevolumétrica𝜌!e(h)adensidadesuperficial𝜎!.Analiseemdetalheosresultadosrecentes.

21)Umdispositivo é compostopor duas cascas condutoras esféricas concêntricas de raios𝑎 e𝑏, sendo𝑎 < 𝑏.Nointeriorháumdielétricocompermissividadeelétrica𝜖.Sobreacascaexteriorédepositadaumaquantidade+𝑞esobreainterior– 𝑞decargas.Determine(a)adensidadedefluxoelétrico𝐃,(b)ocampoelétrico𝐄e(c)opotencialelétrico𝜙aolongodascoordenadasespaciais.Quantifiqueentão(d)adiferençadepotencial𝛥𝜙entreascascaseassim(e)acapacitância𝐶dodispositivo.Interpretefisicamente.Obtenha(f)apolarização𝐏,(g)adensidadevolumétrica𝜌!e(h)adensidadesuperficial𝜎!.Analiseemdetalheosresultadosrecentes.

22)Energiapotencialelétrica.(a)Comopoderiaserobtidaadensidadedeenergiapotencialelétrica𝒲! emtodos os problemas anteriores nos quais foram determinados os campos elétricos 𝐄? Disserte. (b) E aenergiapotencialelétrica𝑊!?Elucide.(c)Emparticular,determineambasasquantidadesnaregiãointeriordaesferauniformementecarregadadoproblema6).Explique.

23)Paraosproblemas19),20)e21)determinea (a)densidadedeenergiapotencialelétrica𝒲! e (b)aenergiapotencialelétrica𝑊! associada.Discorraarespeitodosresultados.

OUTROSTANTOSPROBLEMASSERÃOAINDAPUBLICADOS!!!

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