UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

CENTRO DE ENGENHARIAS

Estatstica Bsica

Lista de Exerccios 4

UNIDADE 4

Professora Luana de Melo Pereira

estatluana@gmail.com

http://estatluana.blogspot.com.br/

Semestre 2013/1

UNIDADE 4 INFERNCIA

Os exerccios propostos neste captulo englobam os tpicos: distribuies amostrais, estimao de parmetros

e testes de hipteses.

OBS: para todas as questes propostas considere que a varivel X tem distribuio normal.

Distribuies amostrais

1. Uma loja de roupas vende trs tipos de camisetas aos preos de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de

vendas, pde-se estabelecer as propores de vendas de cada tipo:

X=x 12 15 20

P(X=x) 0,5 0,2 0,3

a) Obtenha as amostras de tamanho dois da varivel X (valor recebido pelo lojista).

b) Obtenha a distribuio amostral da mdia.

c) Calcule a mdia e a varincia da distribuio X e e compare os resultados mostrando as relaes existentes.

2. Um sistema de sorteios vende trs tipos de cartes que pagam 5, 10 ou 20 reais. Considerando que a chance de

ganhar 5, 10 ou 20 reais de 0,05, 0,03 e 0,02, respectivamente, como mostra a tabela abaixo:

Valor pago (X=x) 0 5 10 20

P(X=x) 0,05 0,03 0,02

a) Complete a tabela;

b) Obtenha a mdia e a varincia do valor recebido por um jogador. Aplicando os teoremas, obtenha a mdia e a

varincia da distribuio amostral da mdia considerando n=3.

c) Considere duas amostras selecionadas com reposio de dois jogadores (0, 5) e (5, 10). Obtenha para cada

amostra: a probabilidade de ocorrncia e a estimativa da mdia e da varincia. A mdia e a varincia das

amostras estimam quais valores da populao?

3. Suponha que o peso de 2.500 estudantes seja normalmente distribudo com mdia 61,5 kg e desvio padro 12

kg. Que valores deve-se encontrar para a mdia e o desvio padro da distribuio amostral da mdia na

hiptese de se utilizar amostras de tamanho n = 36, supondo que a amostragem seja feita com reposio.

Estimao de parmetros

4. O tempo que uma mquina leva para executar certa operao em cada pea produzida sujeita a variaes.

Para verificar se as condies de funcionamento esto dentro das normas, registrou-se 49 vezes o

referido tempo. Os resultados (em segundos) foram os seguintes: x =35 e S=3

Construa um intervalo de confiana a 99% para o tempo mdio de execuo da tarefa pela mquina em anlise.

5. O Instituto de Nutrio da Amrica Central e Panam fez um estudo intensivo de resultados de dietas

publicados em revistas cientficas. Uma dieta aplicada a 15 pessoas produziu os seguintes nveis de colesterol

(em mg/l): 204, 108, 140, 152, 158, 129, 175, 146, 157, 174, 192, 194, 144, 152 e 135.

a) Obtenha uma estimava pontual para o teor mdio de colesterol.

b) Obtenha uma estimativa por intervalo de confiana, ao nvel de 95%, para o verdadeiro teor mdio de

colesterol.

6. Na fabricao de determinados componentes eletrnicos a resistncia ao calor do material utilizado um fator

determinante na qualidade do produto final. Considerando-se que o distribuidor deste tipo de material no

apresenta quais os valores previstos de resistncia ao calor, o engenheiro responsvel pelo processo decidiu

determinar esses valores. Desta forma, foram efetuados os testes de temperatura em 16 peas desse material

obtendo-se uma temperatura mdia de resistncia de 18,8C com uma variabilidade de 4C2.

a) Determine entre quais valores se considera existir uma confiana de 99% de conter a temperatura mdia de

resistncia deste tipo de pea.

b) Sabendo que um outro distribuidor que trabalha com esse mesmo tipo de material afirma que a resistncia

mdia ao calor de 22C, o que o engenheiro poderia dizer quanto a essa afirmao?

X

7. A Testosterona uma droga que tem sido ministrada a atletas com a inteno de aumentar a massa muscular.

Um estudo foi conduzido com 22 atletas, onde 11 receberam uma determinada dose da droga, durante um

perodo de seis semanas, e os outros 11 receberam um placebo. Ao final desse perodo foi medida a largura do

msculo (em mm, determinados por raio X).

Indivduos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Droga 13,1 16,5 15,3 15,7 14,1 15,0 15,5 16,1 15,8 14,3 15,2

Placebo 3,7 5,2 4,0 4,7 4,3 3,9 4,2 4,9 5,1 4,1 4,0

a) Encontre o intervalo de confiana a 95% para a diferena entre as mdias.

b) Redija a concluso sobre o que se pode concluir a respeito do uso da Testosterona para aumentar a massa

muscular.

8. Foi medido o contedo de gordura das refeies servidas em duas escolas, observando-se os seguintes

resultados:

Escola 1: 1x = 140 calorias; 2

1s = 24 calorias2; n1 = 8

Escola 2: 2x = 138 calorias; 2

2s = 25 calorias2; n2 = 8.

a) Construa um intervalo de confiana para a diferena entre as mdias com 99 % de confiana.

b) A secretria municipal de educao, segundo parecer da nutricionista responsvel, afirma que o contedo

mdio de gordura servido nas refeies das duas escolas no difere. O que voc pode dizer quanto a essa

afirmao?

Testes de hipteses

Para todos os problemas a seguir, siga os passos:

1. Definir as hipteses estatsticas.

2. Fixar a taxa de erro aceitvel.

3. Escolher a estatstica para testar a hiptese e verificar as pressuposies para o seu uso.

4. Usar as observaes da amostra para calcular o valor da estatstica do teste.

5. Decidir sobre a hiptese testada e concluir.

9. Diante de uma equipe de fiscais, a nutricionista responsvel pelo cardpio de um restaurante declarou que o

peso mdio de uma determinada vitamina por bandeja de refeio de 5,5 g. Foi retirada uma amostra de 64

bandejas do fornecimento dirio de refeies desse restaurante, encontrando-se uma mdia de 5,2 g da

vitamina e um desvio padro de 1,2 g. Verifique a veracidade da informao da nutricionista. Use = 0,01

10. Para testar a performance em termos de consumo de combustvel de um novo carro compacto, o fabricante

escolheu um motorista profissional para dirigir o automvel de Pelotas a Porto Alegre. Essa viagem foi feita 32

vezes obtendo-se um consumo mdio de 29 litros com uma variabilidade de 1,4 litros.

Baseado nesses dados, verifique atravs de um teste de hiptese se o fabricante pode indicar que o consumo

mdio do novo carro de 30 litros para viagens nesse percurso? Use = 0,05

11. O departamento de controle de qualidade de uma firma produtora de componentes eletrnicos especifica que o

tempo de durao mdio por componente deve ser de 500 dias. Numa amostra de 20 componentes observou-se

o tempo de durao mdio de 490 dias com desvio padro igual a 15 dias. Teste ao nvel de 2% de

significncia se a especificao dada pelo departamento de controle de qualidade esta condizente.

12. Um engenheiro atesta que o cimento empregado na construo de uma obra de sua responsabilidade apresenta,

em mdia 7% de slica. Para verificar essa informao recolhem-se algumas amostras e verifica-se o teor

mdio e a variabilidade de slica presente, obtendo-se os seguintes resultados:

Para o nvel de significncia de 5% faa um teste de hiptese e comente a informao do engenheiro.

13. Durante o processo de fritura, um alimento absorve gordura. Um estudo foi conduzido com a finalidade de

verificar se a quantidade absorvida depende do tipo de gordura. Para tanto foram utilizados dois tipos de

gordura: vegetal e animal. Os dados obtidos foram:

Gordura animal 28 41 47 32 35 27

Gordura vegetal 25 43 28 21 13

a) Faa o teste de homogeneidade de varincias com 5% de significncia.

b) Verifique se os dados confirmam a hiptese de que a absoro depende do tipo de gordura. Utilize 5%

como taxa de erro do tipo I.

14. Para investigar se o treinamento ou no transferido pelo cido nuclico, 10 ratos foram treinados em

discriminar se havia luz ou escurido. Posteriormente esses ratos foram mortos, o cido nuclico extrado e

injetados em 10 ratos. Simultaneamente o cido nuclico de 10 ratos no treinados foram injetados em outros

10. Os 20 ratos foram observados durante um perodo e o nmero de erros relativos a cada rato est na tabela

abaixo.

Treinado 7 9 6 11 13 8 7 13 12 9

No treinado 12 8 9 13 14 9 8 10 7 15

Verifique se, em mdia, os ratos treinados erram tanto quanto os ratos no treinados.

(Suponha 2 21 2 e use = 0,05).

15. Para verificar o grau de adeso de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem; cruzado

(A), onde a cola posta em forma de X, e quadrado (B), onde a frmula posta nas 4 bordas. O resultado para

a resistncia das duas amostras est abaixo. Para um nvel de 5% de significncia que tipo de concluso

poderia ser tirada a respeito dos dois tipos de colagem?

Mtodo A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18

Mtodo B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15

16. Uma alta quantidade de nitrato introduzida na alimentao animal tem mostrado possuir efeitos deletrios

incluindo baixa produo de tiroxina, aumento de incidncia de cianose em recm nascidos e baixa produo

de leite. Os dados que seguem referem-se a medida de ganho de peso percentual em ratos de laboratrio,

submetidos a uma dieta padro e a uma dieta com 2000 ppm de nitrato na gua de beber.

Nitrato: 12,7 19,3 20,5 10,5 14,0 10,8 16,6 14,0 17,2

Controle: 18,2 32,9 10,0 14,3 16,2 27,6 15,7.

a) Verifique, atravs do teste F, se as varincias das populaes so iguais. Use =0,05

b) Verifique, atravs do teste t, o efeito do nitrato sobre o ganho de peso. Use =0,05

17. Sabe-se que certa raa de bovinos em confinamento, alimentada com uma rao padro, tem um aumento

mdio de peso igual a 60 kg durante os trs primeiros meses de idade. Um lote de 10 novilhos, dessa mesma

raa, recebeu um novo tipo de alimentao com novos concentrados. Mantendo-se as mesmas condies de

manejo, os aumentos de peso foram: 55; 62; 54; 58; 65; 65; 60; 62; 59; 67.

Fixando o nvel de significncia em 1%, conclua sobre o novo tipo de alimentao atravs de uma estimativa

da mdia por intervalo e relacione o resultado com o teste de hiptese.

18. Uma cadeia de lojas recebeu um novo modelo de aparelho som. Para determinar um processo adequado de

promoo dos novos aparelhos, estudou-se a sua performance em termos de potncia. O fabricante especificou

que, em mdia, os aparelhos atingem 65 watts. Obtida uma amostra de 8 aparelhos, verificou-se que a potncia

mdia foi de 63,1 watts com desvio padro de 1,7 watts. (Use = 0,05).

a) Atravs de um teste de hipteses verifique se a informao do fabricante est condizente com os resultados

amostrais.

b) Se fosse construdo um intervalo de confiana para a verdadeira potncia mdia dos aparelhos, voc

esperaria que o valor de 0 estivesse contido no intervalo? Justifique.

19. Um professor de educao fsica deseja estudar o efeito de uma tcnica de preparao dos seus atletas para

uma competio de natao. Para tanto utilizou dois grupos de nadadores sendo que num deles a preparao foi

a usual enquanto que no outro os atletas foram submetidos a uma sesso extra de exerccios. Os tempos

observados para cada nadador (em segundos) constam abaixo.

a) Teste a hiptese de que os verdadeiros tempos mdios (com e sem exerccios) so iguais. (Use = 0,01 e

Suponha 2 21 2 ).

b) Supondo que voc tivesse que construir o intervalo ao nvel de 99% de confiana para a diferena entre as

duas mdias, com base no resultado da letra a, voc esperaria que o valor zero estivesse compreendido

neste intervalo? Justifique.

20. Na fabricao de semicondutores o ataque qumico por via mida frequentemente usado para remover

silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalizao. A taxa de ataque uma caracterstica importante

nesse processo e sabido que ela segue uma distribuio normal. Duas solues diferentes para ataque qumico

so comparadas, usando duas amostras aleatrias de pastilhas. As taxas observadas de ataque (10-3

polegadas/min) so dadas a seguir:

Soluo 1 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,7 10,4 10,3 -

Soluo 2 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1

Considerando que 2 21 2 pede-se:

a) Construa o intervalo de confiana, ao nvel de 95%, para a verdadeira diferena entre as mdias.

b) Os testes de hipteses e os intervalos de confiana so procedimentos estatsticos equivalentes; portanto,

devem conduzir s mesmas concluses. Que deciso, a respeito de H0, seria coerente com o resultado

obtido pelo intervalo de confiana (item a), ao nvel de 5% de significncia?

c) Como engenheiro responsvel pelo processo, qual o seu parecer acerca da afirmao de que a taxa mdia

de ataque a mesma para as duas solues?

Bons estudos!

18,07 0,87

UNIDADE 4 INFERNCIA

RESPOSTAS

1. a) k = 9 amostras

(12, 12), (12, 15), ..., (20, 20)

b)

xX 12 13,5 15 16 17,5 20

P xX 0,25 0,20 0,04 0,30 0,12 0,09 1

c) =15 e 2=12

X =15 e 2

X =6

2. a) P(X=0) = 0,9

b) =0,95 e 2=11,35

X =0,95 e 2

X =3,78

c) Amostra 1: (0, 5); 1x = 2,5; 2

1s = 12,5

Amostra 2: (5, 10); 2x = 7,5; 2

2s = 12,5

As mdias das amostras estimam a mdia da populao (cujo valor 0,95), enquanto as varincias das amostras

estimam a varincia da populao 2 (cujo valor 11,35).

3. X = 61,5 kg; X

= 2 kg

4. P(27,27

13. a) f0,025 = 7,39 fc = 2,02 No se rejeita H0.

b) t0,025 = 2,262 tc = -1,59 No se rejeita H0.

14. f0,025 = 4,03 fc = 1,17 No rejeita H0.

t0,025 = 2,101 tc = -0,83 No se rejeita H0.

15. f0,025 = 4,03 fc = 5 rejeita H0.

t0,025 = 2,160 tc = -0,95 No se rejeita H0.

16. a) f0,025 = 4,65 fc = 5,12 rejeita H0.

b) t0,025 = 2,306 tc = -1,287 No se rejeita H0.

17. P(56,26