A B C16m

30o 60o

30°

d

B

A

MATEMÁTICA

Professores Arthur, Denilton, Elizeu e Rodrigo

LISTA DE EXERCÍCIOS – 01 01. (UCSal) Na figura a seguir, suponha que um

observador encontra-se no ponto A, à distância AC = 24 metros do pé de uma torre, vendo tal torre sob um ângulo 30o. Ao deslocar-se 16 metros em direção à torre, passará a vê-la do ponto B, sob um ângulo 60o. A altura da torre, em metros, é:

a) 8 b) 25

c) 38 d) 24

e) 3

38

02. (UFBA) Um balão deixa o solo verticalmente a uma

distância m330 de um observador. Sabendo-se que o balão está a uma altura de H metros no instante em

que o ângulo de observação é ,3

π determine H.

03. (UCSal) Um observador, no ponto A, vê o topo de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme a figura a seguir.

A

B

C

x

30°

Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente,

m36 e 30m, então a distância x, entre o poste e o prédio é, em metros:

a) 18315 −

b) 10315 −

c) 24330 −

d) 20330 −

e) 18330 −

04. (UCSal) Uma escada está encostada em um prédio, fazendo com ele um ângulo de 30o. Sabendo-se que a escada toca o prédio a 9m do solo, conclui-se que o comprimento da escada é aproximadamente:

a) 9,5 m b) 10,3 m c) 11,2 m d) 11,7 m e) 12,2 m

05. (UCSal) Entre o plano da rua e o piso térreo de um edifício há um desnível de 2 m. Da rua, acessa-se o piso térreo por meio de uma rampa com inclinação de 20o em relação à horizontal. Qual é, aproximadamente, o comprimento da rampa? [Dados: cos 20o = 0,93 e sen 20o = 0,34]

a) 3,6 m

b) 4,1 m

c) 5,2 m

d) 5,8 m

e) 6,3 m

06. (UCSal) Num terreno horizontal, têm-se dois postes verticais A e B. Do topo do poste, A avista-se o pé do poste B sob um ângulo de 30o com a horizontal como mostra a figura abaixo. Se a altura do poste A é 5 m, então a distância d entre os dois postes é aproximadamente:

a) 2,5 m

b) 8,55 m

c) 5,67m

d) 7,05 m

e) 4,77 m

07. (UFBA) Uma estrada eleva-se 0,5 m a cada .2

2

Calcule em grau o ângulo de inclinação da estrada com a horizontal.

08. (UNEB/00) Correndo numa praça circular de raio igual a 117 metros, um garoto descreve um arco de 78π metros de comprimento. A medida desse arco, em radianos, é:

a) 2

3π

b) 3

2π

c) 3

π

d) 5

3π

e) 4

π

2

O

α

.c.3µ

.c.2µ.c.2µ

09. (UNEB/99) Se um carrinho de controle remoto deu 10 voltas em uma pista circular de 4 cm de diâmetro, então ele percorreu, em cm:

a) 10π b) 20π c) 40π d) 50π e) 80π

10. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 16h 42min. é:

a) 111o b) 93o c) 132o d) 87o e) 134o

11. (UEFS/00) Na figura, α é a medida angular do arco de círculo com centro em O.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que:

a) α > 90o

b) α = 90o

c) o502

>α

d) o303

<α

e) α = 1,5o

12. (UNEB/92) O raio de uma circunferência cujo comprimento é π mede:

a) 2

b) 1 d) 4

1

c) 2

1 e) 2

13. No quadrilátero a seguir, AB = BC = 3 cm, AD = 2 cm,

BCD = 60°, DÂB = 90° e ADC = 90°.

A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:

a) 11,5 b) 12,5 c) 13,5 d) 14,5 e) 15,5

14. (Efoa-MG) Na figura, qual é a medida do lado a do triângulo ABC?

a) ( )31− m

b) 3 m

c) ( )31+ m

d) ( )321+ m

e) 32 m

15. Sendo α = 54°26'32" e β = 18°40'48", calcule:

a) α + β b) α – β

16. Os ângulos de medidas θ e γ são tais que θ + γ = 45° e θ – γ = 19°35'30" Calcule θ e γ.

17. Num triângulo ABC isósceles de base ,BC o ângulo BAC tem medida  = 72°42'. Determine as medidas

B e C dos ângulos ABC e ACB, respectivamente.

18. Um triângulo tem ângulos internos de medidas 12

πrad,

6

πrad e

4

3πrad. Expresse-os em graus.

19. Na figura abaixo, a circunferência de centro O e raio R tem sobre si determinados os pontos A, B e C pelos

ângulos centrais α e β. Sabe-se que 6

π=α rad,

4

π=β rad

e que o comprimento de AB é igual a 6π cm. Determine:

a) R; b) o comprimento de BC, em centímetros.

20. Duas circunferências concêntricas em O têm sobre si determinados os arcos AB e CD pelo ângulo central α, conforme ilustra a figura abaixo.

Sabendo-se que 6

π=α rad, que o segmento AC tem

medida 20 cm e que o arco CD tem 10π cm de comprimento, determine:

a) a medida de ;OA b) o comprimento do arco AB.

3 21. Durante uma competição, dois velocistas percorrem,

emparelhados, um trecho circular de uma pista de atletismo. Um observador localizado no centro de curvatura dos arcos descritos pelos corredores nota que, acompanhando-os visualmente durante esse trecho da prova, teve que girar 20°. Nesse intervalo de tempo, o atleta mais adiante percorreu 62 m com velocidade v1 e o outro corredor, distante 9 m do seu oponente, manteve uma velocidade v2. Considerando π = 3,1, determine:

a) a distância percorrida pelo velocista mais próximo; b) a razão entre as velocidades v1 e v2, nessa ordem.

22. Calcule os ângulos formados pelos ponteiros de horas e minutos de um relógio quando ele estiver marcando os horários.

a) 4h 10min; b) 14h 40min; c) 15h 52min.

23. O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu suplemento. O ângulo é:

a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° e) 80°

24. (UNB-ADAPTADA) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é:

a) menor do que 30o b) 30° c) 45° d) 60° e) maior que 60°

25. O dobro do suplemento de um arco excede em 122° o triplo do complemento do dobro desse arco. Qual a medida, em graus, desse arco?

a) 20 b) 18 c) 16 d) 10 e) 8

26. Sejam r e s retas paralelas. A medida x na figura abaixo é:

a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°

27. Na figura, AC = BC = CD, então BÂD é igual a:

a) 75° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°

28. Na figura abaixo, o valor de x – y + z é:

29. Calcule os valores de x e y na figura abaixo, sabendo-se

que OC é a bissetriz do ângulo AÔD.

30. A razão entre a medida de um ângulo e o seu suplemento

é .7

5 Calcule a medida desse ângulo.

31. O complemento da medida de um ângulo está para o

seu suplemento na razão de .3

1 Calcule a medida

desse ângulo.

32. (Cesgranrio-RJ) As retas r e s são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura, é:

33. Na figura, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x.

4 34. Sendo r paralela a s na figura, calcule o valor de x.

35. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x.

36. Sendo A = {1, {2}, 2, {1, 2}}, marque V ou F.

a) ( ) 1 ∈ A b) ( ) {2} ∈ A c) ( ) {1} ⊂ A d) ( ) {1} ⊂ P(A) (P(A) = conjunto das partes de A) e) ( ) {1, 2} ∈ A f) ( ) {1, 2} ⊂ A g) ( ) {1, {2}} ⊂ A h) ( ) A ⊃ {2} i) ( ) no de subconjuntos de A é igual a 16.

37. Se A ={{∅}, ∅, {0}}, podemos afirmar que:

a) {∅} ∉ A b) {0} ⊂ A. c) {∅} = ∅. d) {{0}, ∅} ∈ A. e) {{0}, ∅} ⊂ A.

38. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.

a) ∅ ∈ A, ∀ A b) ∅ ⊂ A, ∀ A c) 0 ∈ ∅ d) ∅ ∈ {0} e) ∅ ⊂ {0} f) A ⊂ A, ∀ A g) A ⊂ ∅, ∀ A h) {5} ⊂ {∅, {1}, {5}, {1, 5}} i) {x} ∈ {x, {x, y}}

39. Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então:

a) {2, 3} ⊂ A b) 2 ∈ A c) ∅ ∉ A d) 3 ⊂ A e) {3} ∈ A

40. Sendo A = {7, 8, 9}, obtenha o conjunto de partes do conjunto A.

41. Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}, podemos afirmar, corretamente, que:

a) B ⊂ A. b) A = B. c) A ∈ B. d) a = A. e) {A} ∈ B.

42. Obtenha x e y, de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} e {2, 3} = {2, 3, y}.

43. (Vunesp) Suponhamos que A e B sejam subconjuntos do E, satisfazendo:

01. para todo x ∈ E, se x ∈ A, então x ∈ B.

02. existe x ∈ E, tal que x ∈ A.

Então, podemos afirmar que:

a) B ≠ ∅. b) existe x ∈ B, tal que x ∉ A. c) existe x ∈ A, tal que x ∉ B. d) A contém B. e) A e B não têm elementos em comum.

44. Consultec-BA

No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto:

a) C – (A ∩ B ∩ C) d) ( )BC ∪ – A

b) C ∩ (B – A) e) ( )BC ∩ – A

c) C – (A ∩ B)

45. Consultec-BA

Na figura, a parte sombreada representa o conjunto:

a) (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B) b) (A ∪ C) – B c) (A– B) ∪ (B – A) ∪ C d) (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B ∩ C)

e) C – [A ∪ B]

5 46. (Mackenzie-SP) Numa escola, há n alunos. Sabe-se

que 56 alunos lêem jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:

a) 249 b) 137 d) 127 c) 158 e) 183

47. (FCMSC-SP) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue do tipo O e 25 têm sangue do tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é:

a) 40 b) 65 d) 120 c) 80 e) 135

48. (FGV-SP) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens: A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram a embalagem A e C; 50 indicaram a embalagem B e C e 10 indicaram as três embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens?

a) Os dados estão incorretos; é impossível calcular. b) Mais de 60. c) 55. d) Menos de 50. e) 80.

49. (Consultec-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é:

a) 30 b) 150 d) 200 c) 180 e) 210

50. Numa sociedade há 35 homens, 15 mulheres que não usam óculos e 7 homens que usam óculos, Se forem 18 pessoas (ao todo) que usam óculos, a quantidade de mulheres que usam óculos é:

a) 7 b) 11 d) 28 c) 15 e) 8

51. (Uneb-BA) Em um vestibular, 80 alunos acertaram pelo menos uma questão entre as questões no 1 e no 2. Sabe-se que 70 deles acertaram a questão no 1 e 50 acertaram a questão no 2. O número de alunos que acertaram ambas as questões é igual a:

a) 40 b) 35 d) 60 c) 20 e) 120

6

30º

36

30

y x

RESOLUÇÃO COMENTADA

01. C. tg 60o = x

h

→=8

h3 h = 38 uc

=========================================================================================

02. tg 60o = 330

H

330

H3 =

H = 90 m

=========================================================================================

03. E. tg 30 = y

36

3

3

y

36=→

y = 18

tg 30º = x18

30

3

3

xy

30

+=→

+

18 + x = 3

3

3

303⋅

⋅

x = 18330 −−−−

=========================================================================================

04. B. cos 30o = x

9

2

3

x

9=→

x = 33

342 3

⋅

⋅⋅ x = 36

x = 6 ⋅ (1,7) = 10,2…

H

º60rad3

π=

330

o

x

7

=========================================================================================

05. E. sen 20o = y

m2

0,34 = y

2

y = 34

200 = 6,3 m

=========================================================================================

06. B. tg 30o = d

5

3533

315d

d

5

3

3=

⋅=→=

d = 5 ⋅ (1,7) = 8,55 m

=========================================================================================

07. sen α = 2

2

2

22

1

=

αααα = 45º

=========================================================================================

08. B. r = 117 m

ρ = 78 π m

α = 3

2

39

26

117

78

r

π=

π=

π=

ρ

=========================================================================================

09. C. r = 2m C1 = 2π ⋅ r → C1 = 4π

10 volts → 10 ⋅ C1 = 10 ⋅ 4π = 40π cm

=========================================================================================

10. A. α + β → 5 min ––––– 30º

22 min x = 5

3022 ⋅

α + β = 132º

β → 5 min –––––– 2º30’

42 min –––––– β

β = ( )

5

30242 10 +⋅ = 21º

α = 132º - 21

α = 111º

6

= 2,5

2

2

2

21

8

=========================================================================================

11. D. α = 2

3rad

α = 572

3⋅

α = 84º90’

α = 85º30’

=========================================================================================

12. C. C = 2 ⋅ π ⋅ r

π = 2 ⋅ π ⋅ r

r = 2

1

=========================================================================================

13. B. cos 60º = 2

3x

2

13x

3

x=→⋅=→

2p = 3 + 3 + 3 + 2 + 1,5

2p = 12,5 cm

=========================================================================================

14. C. cos 60º = 2

12x

2

x⋅=→ x = 1

y = h ⇒ sen 60o = 2

h

2

3

2

h=→

h = 3

a = x + y

a = ( )31+ m

=========================================================================================

15. α + β = 50º 26’ 32’’ 18º 40’ 48’’

α + β = 72º 66’ 80’’

α + β = 73º7’20’’

α – β = 35º45’44’’

=========================================================================================

16.

=−θ

=+θ

"'o

o

303519y

45y

θ = 64º35’30’’ 2

0o 1’60” 32º17’45º = θ 90”

y ⇒ 44º 59’ 60’’ y = 12º42’15’’ 32º 17’ 45’’

12º 42’ 15’’

=========================================================================================

28º 30’

α - β = 53º 85’ 92’’ 54º 26’ 32’’ 18º 40’ 48’’

35º 45’ 44’’ 60’+6’ 60”+20”

–

9

x x

72º42'

CB

A17. 2x = 179º 60’

72º 42’

2x = 107º 18’

x = 107º 18’ 2

1º → 60’ 53º39’ 78’

R = 53º39’

=========================================================================================

18. 12

πrad = 15º

6

πrad = 30º

4

3πrad = 135º

=========================================================================================

19. α rad = 6r

C π→ rad =

r

6π→ r

r = 36 cm

936

AB

4

π= AB = 9π cm

=========================================================================================

20. 6

πrad =

R

10π → R = 60 cm OA = 60 cm – 20 cm

OA = 40 cm

36

πrad =

2040

AB → AB =

3

20πrad

=========================================================================================

21. 180o –––––– π rad

20º –––––– x

a) 99

l=

π → l = 3,1 m

=========================================================================================

22. a) 65º e 295º

b) 160º e 200º

c) 164º e 196º

x = 9

πrad

0

C

B

A

rad4

π

rad6

π

10

=========================================================================================

23. 5[180º – (90º – x)] = 3[360º – (180º – x)]

5(90º + x) = 3(180º + 2)

450 + 5x = 540º + 3x

2x = 90º

x = 45º

=========================================================================================

24. sen α = 20

7

1000

350=

=========================================================================================

25. E. 2(180o – x) – 122o = 3(90o – 2x)

360º – 2x – 122º = 270º– 6x

4x = 32

x = 8

=========================================================================================

26. C.

x = 180º – (30º + 70º)

x = 80º

=========================================================================================

27. a + a + b + b = 180

2a + 2b = 180º

2⋅(a + b) = 180º

a + b = 90º

=========================================================================================

28. x + 2y + x + 3y = 180 → 2x + 5y = 180º

2x + y = x + 3y → x = 2y

4y + 5y = 180º → y = 20º

x = 2 ⋅ 20º → x = 40º

z = 40º + 2 ⋅ 20 → z = 80º

40º – 20º + 80º = 100º

11

r

30º

40º

150º

140º

r

110º

110º

70º

20º

40º

40º

40º

20º

=========================================================================================

29. 4x = x + 30º → x = 10o

4 ⋅ 10º + 10º + 30º + 5y = 180º

5y = 100º

y = 20º

=========================================================================================

30. 7

5

x180

xo

=−

=========================================================================================

31. x3270x1803

1

x180

x90 ooo

o

−=−→=−

−

========================================================================================= 32.

=========================================================================================

33.

x = 40º + 30º

x = 70º

=========================================================================================

34.

x = 20º + 40º

x = 60º

7x = 180 ⋅ 5 – 5x

12

5180x

⋅= x = 75º

15

2x = 90º

x = 45º

12

E

x

A BE

x

A B

=========================================================================================

35.

x = a + 30

2x = a + 80

2(a + 30º) = a + 80º

2a + 60º = a + 80º

a = 20º

x = 20º + 30º

x = 50º

=========================================================================================

36. a) V b) V c) V d) F e) V f) V g) V h) V i) V

=========================================================================================

37. E.

=========================================================================================

38. a) F b) V c) F d) F e) V f) V g) F h) F i) F

=========================================================================================

39. E.

=========================================================================================

40. P(A) = {∅, {7}, {8}, {9}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {7, 8, 9}}

=========================================================================================

41. E.

=========================================================================================

42. x = 2

y = 2 ou 3

=========================================================================================

43. B.

=========================================================================================

44. B.

=========================================================================================

45. C.

=========================================================================================

46. C.

n = 35 + 21 + 71 + 31

n = 158

13

A B

100

C

2050

3010

40

10

40

x

A B

280 - x

70

500

100180

250 - x

150

H M

O 15

7 11

x

A B

50 - x70 - x

=========================================================================================

47. C.

x + 25 + 55 + 40 = 200 x = 80

=========================================================================================

48. U = 300

R = 40

=========================================================================================

49. C. 500 = 280 – x + 7x + 250 – x + 70

x = 600 – 500

x = 100

=========================================================================================

50. B.

=========================================================================================

51. B. 80 = 70 – x + x + 50 – x

x = 120 – 80

x = 40