Universidade Federal de Uberlndia Faculdade de Engenharia Qumica

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Qumica

Mtodos Matemticos em Engenharia Qumica Prof. Adilson J. de Assis

Lista de exerccios n

o

3

1. Considere a EDO que descreve a perda de calor em anges de tubos: rd2T

dr2+dT

dr h6kr(TT1) = 0

(a) Mostre que a substituio de variveis y = T T1 e x = rh/6k leva equao modicada

de Bessel x2d2y

dx2+ x

dy

dx x2y = 0(b) Tente resolver a EDO do item (a) pelo Maxima com o comando ode2. O que acontece?

Agora tente com os comandos a seguir e interprete o resultado:

eq1:x^2*'diff(y,x,2)+x*'diff(y,x)-x^2*y=0;

load(contrib_ode);

sol2: contrib_ode(eq1,y,x);

(c) Compare a soluo obtida com o Maxima com a soluo padro da equao modicada de

Bessel: y(x) = c1I0(x) + c2K0(x)

(d) Se um tubo de 1 in de dimetro (externo) est conectado a anges de 4 in de dimetro e

1/2 in de espessura e os tubos carregam vapor a 250

o

C e sendo a condutividade trmica do

metal do ange igual a k = 220 Btu/h.ft2.oF.ft1, a vizinhana com T1 = 60oC, o coecientede transferncia de calor h = 2 Btu/h.ft2.oF, as condies de contorno apropriadas so: i)na superfcie do tubo: r = 1/2, T = 250; ii) na extremidade do ange, o calor que chegapor conduo (

pikr12

dTdr ) igual ao calor que dissipado por conveco (

2pirhr144 (T T1)) [noestado estacionrio] ou r = 2, k12

dTdr =

h144(T T1). Mostre que estas condies de contornoso equivalentes a: i) x=0,0195; y = 190; ii) x = 0,078; dy/dx = -0,0195y.

(e) Usando as condies de contorno apropriadas e a soluo padro da equao modicada

de Bessel, mostre que T = 60 + 186, 5I0(0, 039r) + 0, 8636K0(0, 039r) e tambm calcule atemperatura na extremidade do ange.

2. Em controle de processos, um sistema de 2

a

ordem aquele descrito por uma EDO de 2

a

ordem.

Se o sistema for linear:

a2d2y

dt2+ a1

dy

dt+ a0y = b.f(t)

(a) Divida todos os termos por a0 a m de se obter:

2d2y

dt2+ 2

dy

dt+ y = Kp.f(t)

onde: = a2a0 , 2 =a1a0,Kp =

ba0.

(b) Na forma de varivel desvio, as condies iniciais so: y(0) = 0 e y(0) = 0. Analise o tipode resposta qualitativa que ser encontrada para um sistema de 2

a

ordem para os casos: a)

> 1 [chamado de sistema superamortecido]; b) = 1 [chamado de sistema criticamenteamortecido]; < 1 [chamado de sistema subamortecido]; esboce num mesmo grco y tos 3 comportamentos;

1

1

Curiosidade: Em controle de processos as razes da equao caracterstica so chamadas de plos do sistema!

1

3. No projeto e anlise de reatores qumicos importante encontrar a relao para predizer o perl

de composio em um reator tubular com recheio de catalisador empacotado processando uma

reao isotrmica, com cintica linear e com difuso axial. Este tipo de reator, alm de ser

encontrado nas indstrias qumicas, amplamente utilizado no tratamento de euentes lquidos

e gasosos. O tubo empacotado, que um reator cataltico heterogneo, usado para converter

espcies B por meio da reao qumica:

B produtos; RB = kCB(mols

tempo.volume do leito

)em produtos sob condies (assumidas como sendo) isotrmicas. A difuso ao longo do compri-

mento axial controlada por uma expresso do tipo Lei de Fick, de tal modo que, em paralelo

com o transporte por conveco devido a velocidade supercial v0, h tambm um uxo do tipodifusivo representado pela relao Fickiana, atuando ao longo da direo axial (coordenada z):

JE = DE dCBdz

(mol

rea.tempo

)Para uma cintica linear, a aplicao da lei da conservao da massa (balano de massa) aplicada

espcie B, ao longo de um tubo com rea de seo transversal A, resulta em:

v0dCBdz dJE

dzRB = 0

Legenda: DE = difusividade; k = constante da taxa da reao; v0= velocidade axial.

(a) Mostre que a substituio do uxo e da expresso da taxa dados acima, na lei da conservao

da massa, resulta em:

DEd2CBdz2

v0dCBdz kCB = 0

(b) Classique adequadamente, quanto ao tipo, ordem, linearidade e ao tipo de coeciente,

a equao anterior.

(c) Mostre que a soluo desta equao dada por:

CB = exp(z)[A exp(z) +B exp(z)]na qual:

= v02DE , =

14

(v0DE

)2+(

kDE

)4. (a) Resolva, usando o mtodo dos coecientes indeterminados, a seguinte EDO:

d2y

dx 2 8dy

dx+ 16y 6xe4x = 0

(b) Mostre que as funes que compem a soluo complementar so linearmente independentes.

5. Resolva, usando o mtodo da variao dos parmetros, o seguinte PVI:

2d2y

dx 2 4dy

dx+ 2y = 2xex , y(0) = 0, e y(0) = 1.

6. Para cada sentena abaixo, marque V se for Verdadeira e F se for Falsa.

(a) ( ) A EDO 2y 3y + y = 0 possui como razes da equao caracterstica r = 1, 1/2.(b) ( ) A soluo da EDO anterior y = c1e

x + c2x3/2ex

2

(c) ( ) A EDO y + 2y + y = 0 de 2a ordem, no homognea e de coecientes constantes.A funo y1(x) = c1xe

x soluo dessa EDO.

(d) ( ) Se W (y1,y2) 6= 0(W o wronskiano) ento y1 no possui dependncia linear com y2 ey1 + y2 pode ser soluo geral de uma EDO de 2a

ordem.

(e) ( ) Se o wronskiano w de f e g 3e4t e se f(t) = e2t, ento g(t) = 3t+ e2t.

7. Encontre o valor de A para que y(x) = [c1cos(2x)+c2sen(2x)]e3xseja soluo de y+Ay+13y =

0 .

8. Considere a EDO a seguir:

d2y

dx 2 2dy

dx+ y = 0

Assumindo que a srie de potncias seja soluo da referida EDO:

y =

n=0

anxn

(a) Mostre que a substituio de y, y' e y na EDO conduz a:

n=0

[an+2(n+ 2)(n+ 1) 2(n+ 1)an+1 + an]xn = 0

(b) Mostre que a relao de recorrncia dada por:

an = a0rn

n!

(c) Mostre, nalmente, que a soluo da EDO ento:

y(x) = a0

n=0

xn

n!+ b0x

n=0

xn

n!= a0 exp(x) + b0x exp(x)

(d) A soluo anterior poderia ter sido alcanada atravs de outro mtodo? Se sim, qual?

9. Considere a seguinte EDO de 2

a

ordem e as respectivas condies inicias:

y + 2xy + (1 + x2)y = 0, com , y(0) = 3 e y(0) = 1

Para cada sentena abaixo, marque V se for Verdadeira e F se for Falsa.

(a) ( ) Pode-se usar a srie de potncias y(x) =

n=0

anxn, cuja expanso em x0 = 0, para

resolver a EDO, pois o ponto de expanso considerado um ponto ordinrio.

(b) ( ) Substituindo a srie e suas respectivas derivadas na EDO, obtem-se:

n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn +

n=1

2nanxn +

n=0

anxn +

n=2

an2xn = 0

(c) ( ) Da relao anterior obtem-se: 2a2 +a0 = 0, 6a3 +3a1 = 0 e (n+2)(n+1)an+2 +(2n+1)an + an2 = 0 (para n > 2).(d) ( ) Da relao de recorrncia vlida para encontrar o termo genrico da soluo em sries,

tem-se: a4 =a08 ,a5 =

a18 ,a6 =

a048 ,a7 =

a148 ,...

(e) A soluo em sries de potncias para a EDO : y(x) = 3(1 12x2 +

1

8x4 1

48x6 +

1

384x8

...) 1(x 12x3 +

1

8x5 1

48x7 +

1

384x9 ...)

3

10. Considere a seguinte EDO: x2y 3xy + 4y = x2 lnx , x > 0(a) Verique que as funes dadas y1 e y2 satisfazem a equao homognea associada: y1(x) =

x2, y2(x) = x2 lnx;

(b) Mostre que as funes dadas y1 e y2 formam um conjunto fundamental de solues daequao homognea associada;

(c) Mostre que Y (x) = 16x2(lnx)3 pode ser uma soluo particular da equao no homogneadada;

(d) A soluo geral da EDO dada :

11. Considere o comportamento do sistema mostrado neste vdeo: http://www.youtube.com/watch?

v=T7fRGXc9SBI.

(a) Que tipo de equao diferencial modela matematicamente o comportamento deste sistema?

(b) Faa uma breve pesquisa e escreva a EDO que descreve este comportamento, destacando as

hipteses usadas no seu desenvolvimento;

(c) Em termos de EDO, qual a diferena entre o sistema mostrado no vdeo anterior e este outro

sistema? http://en.wikipedia.org/wiki/File:Oscillatory_motion_acceleration.ogv

12. Quais os objetivos dos comandos do Maxima a seguir?

eq1:x^2*'diff(y,x,2)+5*x*'diff(y,x)+4*y-x;

eq2:ode2(eq1,y,x);

eq3:ic2(eq2,x=0,y=0,'diff(y,x)=0.5);

eq3:ic2(eq2,x=1,y=0,'diff(y,x)=0.5);

eq4:rhs(eq3);

wxplot2d(eq4,[x,0.5,5],[ylabel,"y"]);

eq5:taylor(eq4,x,2,1);

eq6:taylor(eq4,x,2,2);

eq7:taylor(eq4,x,2,3);

eq8:taylor(eq4,x,2,4);

eq9:taylor(eq4,x,2,5);

wxplot2d([eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9],[x,0.5,5],[y,-0.5,1],[legend, false],[ylabel,"y"]);

13. Em que os sistemas de 2

a

ordem descritos nos slides 4 e seguintes diferem dos exemplos dos slides

anteriores? http://goo.gl/fGvOuD [link para arquivo do Moodle, na forma curta do Google]

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