lista de exercícios nº 3 diagramas de esforços solicitantes
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5Lista de exercícios nº 3
Diagramas de esforços solicitantes
1 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes e indicar as reações de apoio:
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Obs.: A viga é carregada por um momento uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento.
7
8
Reações de apoio:M
M M Y l YMl
Y Y Y
YMl
X X
A
B B
A B
A
A
∑
∑
∑
=
⇒ − + ⋅ = ⇒ = −
= ⇒ + =
⇒ = +
= ⇒ =
0
2 0
0 0
0 0
0 00
0
Reações de apoio:( ) ( )
Y kN
Y kNX
A
B
A
=⋅ ⋅ + + ⋅
=
= ⋅ + − ==
6 4 2 2 12 16
18
6 4 12 18 180
Diagramas: 0 4≤ ≤x( )
( )
( )
M x x x
V x x
V x m
M M x kNm
= −
= −
= ⇒ =
= = =
18 3
18 6
0 3
3 27
2
max
9Determinar as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes da estrutura abaixo:
3 - Determinar os esforços solicitantes na seção S:
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Determinação das reações de apoio:
X XY Y YM Y
A
A B
A B
= ⇒ + = ∴ = −= ⇒ + = + + =
= ⇒ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ∴ =
∑
∑
∑
0 6 00 24 6 8 38
0 24 3 6 6 12 8 15 0
X 6kN
Y 19kN
A
B
Y YA B= − ∴ =38 Y 19kNA
Determinação dos esforços solicitantes:
N kNV V kNM M kNm
S
S S
S S
== − ∴ = −
= ⋅ − ⋅ ⋅ ∴ = +
619 24 5
19 6 4 6 3 42
Sugestão: Para conferir os resultados obtidos, determine agora os esforços solicitantes vindo pela direita.Deverão ser obtidos os mesmos esforços solicitantes nos dois casos.4 - A partir dos diagramas de V e M, determinar os esforços externos ativos e reativos:
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5 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes:
12
Reações de apoio (para 5.2):
( )[ ]
M Y X
Y X
X em
Y Y Y
A B
C B
A C
C∑
∑
∑
= ⇒ − − + + =
+ =
= ⇒ = − ← ⇒ = ↑
= ⇒ + = ⇒ = ↑
0 2 2 2 6 8 4 0
2 4 1
0 1
0 4
. . . .
. ...................................( )
...X Y
Y
B C
A
2kN 3kN
1kN
13
Reações de apoio: Reações de apoio:
( )[ ]
X O XY Y YM
Y
em
A
A B
A
B
= ⇒ = + − = →= ⇒ + + + =
= ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ = ⇒ = − ↓
⇒ = ↑
∑
∑
∑
2 9 18 180 5 5 0 1
0 18 4 5 18 9 5 3 5 6
18 4 5 9 0
1
.....................( )
,
,
18kN
23kN
13kNB
A
Y
Y
( )
( )[ ]
X X
Y Y Y
M Y
em
B
A B
A B
= ⇒ − + == − ←
= ⇒ + =
= ⇒ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ +
+ ⋅ = ⇒ = ↑
⇒ = − ↓
∑
∑
∑
0 32 1 0
0 3 1
0 6 15 6 4 3 6
1 3 0
1
.
..............
,
X 5kN
Y 4,5kN
Y 1,5kN
B
B
A
146 - A estrutura da figura está em equilíbrio sob a ação de um determinado carregamento. Conhecidos osdiagramas de esforços solicitantes, pede-se isolar o nó C e indicar os esforços solicitantes e os esforçosexternos que nele atuam:
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7 - Determinar N, V e M nas seções A,B,C,D e E e traçar os diagramas de esforços solicitantes:
Reações de apoio:
( )[ ]
X P X X O
Y Y P
M X a Y a X Y em
A E
A
O E A E A
= ⇒ + + =
= ⇒ − = ⇔ = ↑
= ⇒ − − = ⇔ = − ⇒ = ← ⇒ =
∑
∑
∑
0 222
1
0 222
0
0 0 1
. .................................................................( )
. . ...
Y P
X P X 0
A
E A
168 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes:
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189 - Determinar as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes:
Cálculo dasreações:Adotando-se inicialmente todas as reações com sentido concordando com a orientação de seusrespectivos eixos, tem-se:rR X P
Y YZ Z Z PM Pa a Z Z P
M Pa P a Z a
M PA P a Y a O
D
C D
C D F
D x F F
D y C D
D z C
= ⇒ =⇒ + =⇒ + + =• = ⇒ = ⇒ =
• = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −
• = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =
∑
∑
∑
0 30
30 2 2
0 252
2
0 2 3 2
,
,
,
.
.
. .
Z 3P Z P
Y 3,5P Y 3,5P
C
C D
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Cálculo das reações:rR X
Y YZ Z ZM Z
M YM Z Z Y
B
B D
A B C
B Y C
B Z D
B X A C D
= ⇒ + = ⇒ = −⇒ + =⇒ + + =• = ⇒ + = ⇒ = −
• = ⇒ = ⇒ = ⇒ =• = ⇒ + + = + ⇒ = ⇒ =
∑
∑
∑
0 3 06
20 4 32 0
0 4 340 4 4 2 2 2 61
X 3kN
Z 1,5kN
Y 3kN Y 3kNZ 2,5kN Z 1kN
B
C
D B
A B
,
,
,
. .
. .. . . . .