DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas

2º TESTE + 1º EXAME - MECÂNICA I 29 de Junho de 2007 Muito importante: 1) Os problemas devem ser resolvidos em folhas separadas. 2) Todas as folhas devem ser identificadas com o nº de aluno, pelo menos. 3) Todas as passagens deverão ser mínimamente justificadas 4) As provas são estritamente individuais.

NOTA: 2º TESTE: Problemas 3, 4 e 5 1º Problema (4 valores) Considere o sistema constituído pelos seguintes 3 vectores e respectivos pontos de aplicação:

( )4;10;1284 1311 AeeVrrr

+=

( )4;6;14222 23212 −−−= AeeeVrrrr

( )10;4;10106 3323 AeeVrrr

−=

a) (2 val) Prove que é possível substituir o sistema por um só vector. b) (2 val) Verifique se é possível aplicar esse vector único em algum ponto da face

ABCD do cubo representado na figura.

X

Y

Z

2,0 m

2,0 m

2,0 m

A

B C

D

2º Problema (4 valores) Uma caixa A, de peso QA repousa sobre uma caixa B, de peso QB e está presa a uma parede por um cabo CD. Ao ponto E da caixa B está amarrado um cabo que tem suspenso na outra extremidade um peso P. O coeficiente de atrito estático entre todas as superfícies em contacto vale µ . Calcule em função dos dados o menor valor do peso P para o qual é possível retirar a caixa B de sob a caixa A. 3º Problema (5 valores) Considere a estrutura representada na figura, sujeita ao carregamento indicado.

a) (2 val) Calcule as reações no apoio B. b) (3 val) Trace os diagramas de esforços normais, de esforços transversos e de momentos

flectores nas barras EF e GC. 4º Problema (4 valores) Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o esforço normal na barra DF da estrutura do problema anterior.

A

B

C

D

E

F

G

H I

60 kN

3 m 3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

6 m

QB

QA

C

D

P

60º

E

10º

5º Problema (3 valores) Considere a viga ABC, encastrada em A, sujeita à acção de duas forças na sua extremidade C. Trace os diagramas de corpo livre das barras AB e BC, explicitando o valor de todas as cargas que as mantêm em equilíbrio. Trace os diagramas de todos os esforços internos nas barras AB e BC, utilizando o referencial local (x1, x2, x3) indicado para cada uma das barras.

X

Y

Z

A B

C 15 kN

20 kN

4,6 m

2,3 m

A B

x1 x2

x3

x3

B

C

x2

x1

RESOLUÇÂO

1º Problema a)

321 446 eeeRrrrr

−+=

321

321

408080804410121 eeeeee

M VO

rrrrrr

r−−==

321

321

40202022246142 eee

eeeM V

O

rrrrrr

r−+−=

−−−=

321

321

601001001060

104103 eeeeee

M VO

rrrrrr

r++−=

−=

321 204040 eeeMO

rrrr−+−=

020160240 =−+−=⋅ RMO

rr

Sistema equivalente a vector único. b)

RR

MROQ O

rrr

λ+×

+= 2 681616362 =++=R

321

321

40028080204040446 eee

eeeMR O

rrrrrr

rr++=

−−−=×

=⇒=−=

+=

+=

6866

2468400

468280

66880

λλ

λ

λ

z

y

x

⇒

>=

>=

268

544

268476

y

x

Não é possível substituir o sistema por um só vector aplicado na face ABCD.

2º Problema

=−−=−−−010cos010

21

12

NNTsenTQNN B

µµ

==+−

30cos030

1

1

DC

DCA

TNsenTQN

µ

πµπµ94

18080

−=⇒= ePTeTP

( )( )( )

πµ

µµµµ 9

4

1010cos3013012

esentg

tgQQP BA

−+++

=

QA

N1 T1=µ N1

TCD

D

QB

N2 T2=µ N2

T1=µ N1 N1

T

P

T

3º Problema a)

b)

B

C

H I

60 kN

3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m HB

VB

HC

VC

A

B

C

D

E

F

G

H I

60 kN

3 m 3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

6 m

HB

VB

HA

VA

∑ =⇒=×−⇒= kNHHM BBC 60036030

∑ =⇒=×−×+⇒= kNVVM BBA 50012605,46090

C

E

F

G 60 kN

10 kN

10 kN HE

NDF

∑ =⇒=×−×+−⇒= kNNNM DFDFE 1006105,16030

∑ =⇒=−−⇒= kNHHF EEx 50010600

E

F

G

10 kN 50 kN

10 kN 10 kN

60 kN.m 60 kN

10 kN

+

N

E

F

G

10 kN

+

V

E

F

G

-

50 kN

75 kN.m +

M

E

F

G 15 kN.m

C 60 kN

10 kN

G

10 kN

60 kN.m 60 kN

C 60 kN

G

+ N

C G + 10 kN V

C G

- 60 kN.m M

4º Problema

2121 263 δθδθδθδθδ =⇒==Eyr

3232 235,1 δθδθδθδθδ =⇒==Cxr

036033 321 =×+−−= δθδθδθδτ DFDFapl NN

kNNNN DFDFDFapl 1001802343 333 =⇒=+×−×−= δθδθδθδτ

A

B

C

D

E

F

G

H I

60 kN

3 m 3 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

6 m

1 2

3

3δθ

1δθ C1 C2

C3

2δθ

NDF NDF