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N A T Á L I A V E R A SALESSANDRO BATISTAS A R A H C O R R E AM I G U E L F A L C I

6744752489381459152325914892

pef2602

EQ07ex2º 201004

1C A R G A S D E P E S O P R Ó P R I O

Inaugurada em 1992, a Ponte Alamillo, projeto do arquiteto-engenheiro espanhol Santiago Calatrava, possui um vão da ordem de 200 metros. Em estruturas deste tipo, pontes estaiadas, quanto maior o vão, mais alto deve ser o pilão. Sendo assim, com 134 metros de altura e inclinação de 32º, um único pilão sustenta seu tabuleiro, por meio de 13 pares de cabos estaiados paralelos, em forma de harpa.

A concepção estrutural, à primeira vista, parece simples: momentos fletores na base do pilão, decorrentes de seu peso próprio, seriam compensados pelos mo-mentos gerados pelas trações nos estais. O que é válido para carregamentos estáticos, não funciona tão bem quando consideramos cargas dinâmicas (uso da ponte, vento, variações térmicas, etc.).

Neste exercício, tentaremos mostrar que pequenas varições nas protensões dos estais provocam grandes alterações dos momentos fletores. O que, na prática, resulta em um comportamento estrutural (dos estais) ineficiente.

ponte Alamillo, Sevilhavistas lateral, superior e a partir do tabuleiro

Abaixo vemos o modelo simplificado feito no programa Ftool. Admitimos que o pilão: (1) tem seção transversal uniforme de área Apil = 25 m2 e momento de inér-cia Ipil = 500 m4; (2) é constituído de um material homogêneo equivalente com Epil

= 35 GPa e γpil = 30 kN/m3.

modelo ftoolvão de 200m e pilão de 132m de altura

Multiplicando a área da seção transversal do pilão (25 m2) por seu peso especí-fico (30 kN/m3), determinamos a carga vertical uniforme (750 kN/m) aplicada aos elementos que representam o pilão.

carga vertical uniformepeso próprio do pilão

Seguindo o enunciado do exercício, admitimos que o peso próprio total do tabuleiro (elementos metálicos mais o concreto das pistas de rolagem) vale 300 kN/m.

carregamento vertical uniformepeso próprio do pilão + peso próprio do tabuleiro

Para estudar os efeitos produzidos pelas cargas de peso próprio do pilão e do tabuleiro, atribuímos aos estais uma seção transversal de diâmetro igual a 1 cen-tímetro. Atribuímos à seção do tabuleiro uma área de 2 metros quadrados e 4 metros de altura. Como módulo de elasticidade do tabuleiro adotamos 205 GPa.

forças normaisdiagrama de esforços solicitantes

É interessante notar como as forças normais, de compressão, no tabuleiro de-crescem (em módulo) à medida em que nos aproximamos de sua extremidade direita. Apresentando os maiores valores em sua base (fixa), as normais que com-primem o pilão também decrescem (em módulo) em direção à extremidade livre. Já os estais mais curtos são os menos solicitados, sofrem menor tração.

forças cortantesdiagrama de esforços solicitantes

Como os estais são elementos flexíveis, que trabalham apenas com cargas axiais (normais), não há força cortante atuando sobre eles.

No pilão, tal como verificado com as normais, a cortante decresce (em módulo) ao nos afastarmos da base.

O tabuleiro, por sua vez, entre os dois apoios fixos, apresenta a maior força cor-tante da estrutura. Nos trechos seguintes, a cortante começa positiva e se torna, gradativamente, negativa em direção à extremidade direita.

momento fletordiagrama de esforços solicitantes

Quanto mais próximo dos apoios fixos, mais crítico é o momento fletor. Ele atinge seu máximo no apoio da esquerda. Devido ao seu peso próprio, um longo trecho do tabuleiro sofre tração em sua parte inferior.

deformadaestais com seção de 1cm

Como, para este item, além de não aplicarmos cargas de protensão, ainda atribuí-mos aos estais uma seção transversal muito pequena (de 1cm), o trecho de maior deformação foi o do pilão. Seu peso próprio (750 kN/m), sua inclinação de 32º e a “ineficiência” temporária dos estais fazem com que ele tenda a tombar para a esquerda.

2C O N S I D E R A N D O O S E S T A I S

Repetimos a análise, desta vez, atribuindo aos estais suas características efe-tivas: 0,15 m de diâmetro e módulo de elasticidade de 160 GPa. Os resultados encontrados, em termos de esforços solicitantes, apontaram para um aumento de quase 15 vezes nas forças normais dos estais, de quase 20, nas do tabuleiro e de modestos 1,6 nas do pilão.

Apesar desta alteração, o comportamento dos elementos seguiu o mesmo padrão observado no item anterior. Qual seja, tabuleiro e pilão submetidos à compressão e estais tracionados.

Tal como no modelo anterior, o trecho entre os dois apoios fixos apresentou nor-mal nula. No entanto, diferentemente do item 1, contando da esquerda para a direita, as normais que atuam sobre os estais crescem até o sexto estai e, em seguida, decrescem.


Novamente, temos cortantes nulas nos estais. Significativamente menores, as forças cortantes sobre tabuleiro e pilão variam linearmente. Só que, agora, sua variação, entre as ancoragens dos estais, é muito mais acentuada.

Notável também foi a redução (em módulo) das cortantes sobre o trecho entre os dois apoios fixos. Além disso, houve uma inversão de sinal.


Muito menores, os momentos fletores alcançam maior intensidade sobre o apoio fixo da direita. Sua variação trecho-a-trecho perde a aparência linear do item an-terior.


Com o ajuste das características dos estais, o tabuleiro passa a deformar-se mais acentuadamente, ao passo que o pilão continua tendendo a tombar para a es-querda.

deformadaestais com seção de 0,15m

3C A R G A S D E P R O T E N S Ã O

Neste item, estudamos os efeitos de cargas de protensão crescentes aplicadas nos estais. Com o uso de temperaturas negativas, simulamos o “encolhimento” (protensão) dos cabos. O objetivo era encontrar o nível de protensão capaz de anular o momento fletor na base do pilão.

Inicialmente, testamos as seguintes temperaturas: -8º, -10º, -15º, -30º, -100º, -125º, -135º, -140º, -148º, -150º, -151º, -155º, -160º, -170º, -180º, -182º, -183º, -184º, -185º, -187º, -190º, -200º, -300º. Como não conseguimos zerar completa-mente o momento, adotamos a temperatura (-184ºC) cujo momento fletor (971,5 kNm), na base do pilão, foi o mais baixo.

carregamento + cargas de protensãopeso próprio do pilão + peso próprio do tabuleiro + -184ºC

Com as cargas de protensão, as forças normais sofreram um leve acréscimo. O que era de se esperar, já que, mais rígidas, as pontes estaiadas diferenciam-se das pênseis por apresentarem cabos tensionados que, dada sua inclinação, geram forças axiais com componentes verticais (cortantes) e horizontais (normais) sobre o tabuleiro.

As normais são, então, constantes em cada trecho do tabuleiro e possuem varia-ções lineares nos trechos do pilão. A base deste continua sendo a responsável pela normal mais elevada de toda a estrutura. E, mais uma vez, temos normais nulas no trecho entre os apoios fixos e no último trecho da direita do tabuleiro.


Com exceção do trecho entre os apoios fixos, onde a força cortante sofreu el-evação (em módulo), em todos os demais observamos uma pequena queda. No pilão, parece ter havido um deslocamento do diagrama para a direita, resultando em inversão de sinais (antes negativos, agora, positivos).


De modo geral, há uma grande redução dos momentos fletores incidentes em toda a estrutura. Mais relevante, entretanto, é o que ocorre na base do pilão.

Antes trapezoidal, o diagrama entre os dois apoios fixos assume um desenho triangular, o que evidencia a brusca redução de momento. No resto do tabuleiro, o desenho segue mais ou menos o mesmo.

Por outro lado, o diagrama de esforços solicitantes do pilão “perde” sua curva “hiperbólica” à direita e “ganha” uma curva côncava à esquerda, o que se refletirá no traçado de sua deformada.


deformadaestais com seção de 0,15m e -184ºC de protensão

A aplicação de uma carga de protensão de -184ºC “vence” o peso próprio do pilão, provocando tração em seu lado esquerdo e compressão em seu lado direito. Os -184ºC, porém, não foram suficientes para conter a deformação do tabuleiro.

Comparando este desenho com o do item 2, podemos notar que a base do pilão, trecho entre os dois apoios fixos e entre o apoio da esquerda e a primeira ancora-gem vertical, quase não se deforma.

4.1C A R G A S D E P R O T E N S Ã O - 1 0 %

Alterando a carga de protensão em -10%, chegamos a uma temperatura nos es-tais de -202ºC. Comparando os diagramas de esforços solicitantes com os do item anterior, percebemos apenas uma leve intensificação das forças (normais, cortantes, momento).





É no diagrama de momento, entretanto, que conseguimos visualizar uma certa diferença com relação ao modelo do item 3. O valor do momento na base do pilão, ao aplicarmos uma protensão de -202ºC, aumenta de 971,5 kNm para 41.361,1 kNm. Um acréscimo de quase 43 vezes.


Visualmente, as distinções entre esta deformada e a anterior são imperceptíveis.

4.1C A R G A S D E P R O T E N S Ã O + 1 0 %

Ao aumentarmos a carga de protensão em 10%, a temperatura nos estais sobe para -166ºC. Desta vez, há uma queda (em módulo) no valor das forças nor-mais.





Já as forças cortantes aumentam (em módulo) em todos os trechos do pilão e do tabuleiro, com exceção daquele entre os dois apoios fixos, onde as cortantes sofrem uma pequena redução.

O momento fletor, por outro lado, apresenta um comportamento diferenciado. En-quanto que no pilão seus valores caem (em módulo), no tabuleiro os mesmos sofrem um certo aumento.


Aplicando temperaturas de -166ºC nos estais, o pilão parece sofrer uma menor deformação, para a direita, tracionando seu lado esquerdo e comprimindo o dire-ito. Já o tabuleiro segue com uma deformação semelhante: parte inferior tracio-nada e a superior comprimida.

4.2C A R G A C O N C E N T R A D A M Ó V E L

Conforme a fórmula fornecida pelo exercício, geramos modelos no Ftool com car-gas concentradas móveis P de 570 tf (ou 57 kN). Esta carga foi aplicada, suces-siva e respectivamente, nos nós de ancoragem (tabuleiro) dos estais 4, 7 e 10. Para este item, não utilizamos cargas de protensão (temperatura).

carregamento + carga móvel (estai 4)peso próprio do pilão + peso próprio do tabuleiro + carga móvel



As forças normais apresentam o mesmo comportamento nos 3 pontos de locação das cargas concentradas móveis. Este comportamento, na verdade, pouco difere do apresentado no item 4.1 quando aumentamos em 10% a carga de protensão. A diferença fica por conta dos valores: ligeiramente mais baixos (em módulo) no item 4.2.


As forças cortantes são praticamente as mesmas nos 3 casos. O que ocorre é que, nos pontos e adjacências onde é aplicada a carga, há aumento (em módulo) da cortante.

Comparando estes diagramas com os do item 4.1, fica claro o aumento (em módu-lo) das cortantes do pilão e do tabuleiro. No trecho entre os apoios fixos, porém, elas caem (em módulo). Os resultados que mais se aproximam dos aqui encon-trados são os item 2, que também não possuem cargas de protensão.

forças cortantes (estai 4)diagrama de esforços solicitantes



Como momento é força (cortante) por distância, verificamos que o mesmo com-portamento apontado para as forças cortantes vale para os momentos fletores em cada uma das 3 situações: nos pontos e adjacências onde é aplicada a carga, há aumento (em módulo) da cortante, logo, do momento.

Novamente, os diagramas obtidos possuem desenhos muito parecidos aos do item 2.

momento fletor (estai 4)diagrama de esforços solicitantes



Visualmente iguais, as deformadas dos 3 casos se aproximam somente da defor-mada do item 2. Ao contrário das demais, que contam com cargas de protensão, a deste item e a do item 2 apresentam um pilão se deformando para a esquerda, sujeito apenas ao seu peso próprio que o faz tracionar seu lado direito e comprimir o esquerdo. A deformação do tabuleiro segue um padrão comum ao dos outros itens.

deformada (estai 4)estais com seção de 0,15m e carga concentrada móvel


5C O N T R A - E S T A I

Neste último item, estudamos o comportamento da estrutura ao utilizarmos um único contra-estai vertical, de seção transversal igual a 5 vezes a área dos estais equivalentes, ligando o nó do topo do mastro a um apoio fixo, no nível do solo.

Pelos nossos cálculos, a área da seção transversal do contra-estai seria de 0,088 metros quadrados e seu diâmetro seria igual a 0,335 metros.

Fizemos duas simulações. Uma em que o contra-estai recebeu uma carga de pro-tensão de -800ºC e outra em que aplicamos neste a mesma carga de protensão dos estais (-184ºC, a carga que mais perto chega de anular o momento fletor na base do pilão).

contra-estai + carregamento + cargas de protensãopeso próprio do pilão + peso próprio do tabuleiro + contra-estai -800ºC + estais -184ºC

Com esta primeira simulação, percebemos, mais uma vez, que as cargas de pro-tensão contribuem enormemente para o acréscimo das forças normais no tabuleiro e no pilão. Conforme explicamos anteriormente, as responsáveis seriam as componentes horizontais das normais que atuam (axialmente) sobre os estais, para o tabuleiro, e as verticais, para o pilão.


Se, por um lado, o contra-estai reduz bastante a força cortante ao longo do tab-uleiro e de boa parte do pilão, por outro, seu ponto de contato com o pilão, vê sua cortante aumentar significativamente, devido, sobretudo, à força vertical aplicada pelo contra-estai, protendido, sobre a extremidade do pilão.

Curioso que, contrariando as expectativas, o contra-estai, diferentemente, dos estais, apresenta uma cortante de 0,2 kN.


O diagrama de momentos fletores desta primeira simulação é único se compara-do a todos os outros gerados. Ele nos mostra uma curva bastante acentuada na porção superior do pilão e outra, mais suave, serpenteando o tabuleiro. Este com-portamento sugere variações mais intensas no pilão e mais discretas no tabuleiro. Provavelmente, poderíamos explicar este efeito pelo uso do contra-estai e por sua (alta) carga de protensão.


Pela primeira vez, neste exercício, apenas o pilão sofre deformação mais acen-tuada: comprimido do lado esquerdo e tracionado do direito. Tabuleiro e base do pilão permanecem quase que inalterados.

deformadaestais protendidos (-184ºC) e contra-estai protendido (-800ºC)

Nesta segunda simulação, atribuímos ao contra-estai a mesma carga de proten-são dos estais (-184ºC, a carga que mais perto chega de anular o momento fletor na base do pilão).

contra-estai + carregamento + cargas de protensãopeso próprio do pilão + peso próprio do tabuleiro + contra-estai -184ºC + estais -184ºC

Comparando o diagrama de forças normais com a da primeira simulação, fica óbvia a relação entre normais e cargas de protensão: quanto mais intensa a pro-tensão, mais elevadas serão as normais.


Apesar de menos elevadas em módulo, as forças cortantes, com o contra-estai protendido a -184ºC, repetem o padrão obtido nos itens 2, 3 e 4.1. Aqui também aparece uma pequeníssima cortante no contra-estai, 0,1 kN.


Tomando como parâmetro a simulação anterior, notamos que os momentos fle-tores (em módulo) ao longo do pilão caem, enquanto que os do tabuleiro sofrem um aumento. O desenho deste diagrama tende a parecer com os dos itens 3 e 4.1.


O fato de esta última deformada guardar muitas semelhanças com as dos itens anteriores, como a forte deformação do tabuleiro, por exemplo, nos permite con-cluir que o comportamento estrutural desta ponte, tal como sugerido pelo enun-ciado do exercício, é comprometido pela ausência de um contra-estai, protendido de modo a assegurar a estabilidade de toda a estrutura.

deformadaestais protendidos (-184ºC) e contra-estai protendido (-184ºC)

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