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Tópicos de Física Geral II Maria Antonieta Almeida

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Tópicos de Física Geral II

Lista 7-Rotações, Torque e Momento Angular de uma partícula Leia este Tópico no Volume 1 do Curso de Física Básica do Moysés Nussenzveig

1.Um motor que move um moinho é desligado quando este último gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é de 180 rpm. Se a desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações adicionais ele faz até parar?

2. As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia que não desliza, conforme mostra a figura-2. Se os raios das duas polias são R1 e R2 determine a razão entre as velocidades angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente? 3. O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o atrito dos mancais e do ar faz com que o volante pare em 2,2 horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b) Quantas voltas completas o volante dará antes de parar? (c) Qual é a aceleração tangencial de inseto que está pousado no volante a uma distância 50 cm do eixo de rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o módulo da aceleração total do inseto no instante do item (c)? 4. A velocidade angular ω

é um vetor definido como tendo o módulo dado pela

velocidade angular usual, direção perpendicular ao plano que contém o círculo do movimento, e sentido dado usando a regra da mão direita . O vetor aveleração angular é um vetor definido por α =

d ωdt

.

Na figura-4, a partícula está girando no sentido de A para B. A sua velocidade angular está aumentando com o tempo. Considere que a origem do sistema de eixos coordenados está no centro do círculo. a) Desenhe na figura-4-a os vetores posição da partícula, velocidade angular

ω e

velocidade tangencial. Calcule o módulo, a direção e o sentido do vetor ω ×r .

Relacione este vetor com o vetor velocidade da partícula. b) Desenhe na figura-4-a o vetor aceleração angular. Calcule o módulo, a direção e o sentido do vetor

α ×r . Relacione este vetor com a aceleração tangencial da partícula.

1R2R

Figura-2


2

c) Faça na figura 4-a o vetor aceleração radial (centrípeta). Calcule o módulo, a direção e o sentido do vetor

ω ×

ω ×r( ) . Relacione este vetor com a aceleração radial

da partícula.

Repita os itens (a), (b),(c) e (d) para a figura 4-b. Suponha que no caso da figura 4-b a partícula se desloca de B para A. 5. O momento angular de uma partícula em relação a um ponto C é

C=mrC×v , onde

rC

é o vetor posição dapartícula em relação ao potno C. Uma partícula com massa m

se desloca com velocidade constante )/(ˆ smiv 4= . No instante t=0 a partícula se

encontra na posição )(ˆ mjr 2= . a) Escreva o vetor posição da partícula

rO(t) em relação ao ponto O como função do

tempo. Desenhe este vetor em um instante t na figura-6. b) Calcule o momento angular da partícula

O(t) em relação à origem O do sistema de

eixos coordenados como função do tempo. Desenhe este vetor em um instante t na figura 5. c) Escreva o vetor posição da partícula

rB(t) em relação ao ponto B com coordenadas

(0,2,0) (em metros). Desenhe este vetor em um instante t na figura 6. d) Calcule o momento angular da partícula

B(t)em relação ao ponto B.

Figura -4-a

AB

Figura -4-b

AB

X

Y

Z

φX

Y

Z

φ

Figura 5

X

Y

O


3

6. O Torque de uma força em relação a pontop C é τC=rC×F , onde

rC

é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao ponto C. Uma partícula de massa m se desloca em um círculo de raio R com velocidade angular constante k̂ωω =

(

0>ω ), como mostra a figura-6. a) Calcule o vetor momento angular e o torque que atua na partícula em relação ao à origem O dos eixos coordenados quando o centro do círculo coincide com a origem O do sistema de eixos coordenados. Dados: R e ω .b) Calcule o vetor momento angular e o torque da partícula em relação à origem O do sistema de eixos coordenados quando o centro do círculo está fora da origem do sistema de eixos coordenados e sobre o eixo de rotação. Dados: R ,z e ω . c) Calcule a componente do momento angular da partícula em relação ao ponto O paralela à velocidade angular nos casos (a) e (b).

7. Considere um planeta de massa m nas vizinhanças de uma estrela de massa M >> m. Supondo que este sistema esteja isolado de interações externas, e considerando que a estrela esteja no ponto O (fixo num referencial inercial), (a) indique as forças que atuam sobre o planeta; (b) calcule o torque destas forças em relação ao ponto O. (c) O momento angular deste planeta é constante? Por quê? 8. Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade ov

que faz um ângulo oθ com

a direção horizontal, como mostra a figura 8. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O, calcule o momento angular do projétil em relação a O como função do tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este

corpo em relação ao mesmo ponto, e verifique se FxrdtLd O

= .

vv

m

ω

v

Ov

m

O

ov

oθX

Y

Figura 6

Figura-8

z

O

RR


4

9. Quando a Terra está no afélio (posição em que está mais afastada do Sol), no dia 21 de junho, a sua distância ao Sol é de mx 1110521, , e sua velocidade orbital é de

smx /, 410932 . Determine sua velocidade orbital no periélio (posição mais próxima do

Sol), cerca de 6 meses após o afélio, quando sua distância ao Sol é de mx 1110471, . Determine também em cada caso a velocidade angular de translação da Terra em torno do Sol. 10. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B que permanece fixa. Inicialmente, quando A está muito distante de B ( ∞→r ), A tem velocidade de módulo v0 dirigida ao longo da linha mostrada na figura 10. A distância entre esta linha e B é D. O objeto A desvia-se de sua trajetória inicial devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada na figura 20. A menor distância entre esta trajetória e B é d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravitação. A energia potencial gravitacional é dada por:

UG = −GMmr.

11) Uma partícula de massa m está amarada por um fio inextensível de comprimento b a um prego. A partícula desliza sobre uma mesa sem atrito com velocidade ov

. Conisidere conhecida a distância d do ponto O à velocidade ov

(ver figura 11). Após o fio esticar a partícula entra em movimento circular . Não existe atrito entre o prego e o fio.

a) Quais as grandezas se conservam neste movimento. Justifique a sua resposta. b) Calcule o momento angular da partícula antes e depois do fio esticar. c) Calcule a energia da partícula antes e depois do fio esticar.

Figura-10

bovm

ov

db

O

Vista do topo

Figura-11

A ov

D

B

d

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