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COMPLEMENTO DE

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

CARLOS WALTER VICENTINI

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Tensões

NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA CIVIL (5º/6º CICLO) DA UNIP

Santos, agosto de 2013

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1. Determinar o alongamento e a tensão normal atuante em uma barra prismática (figura abaixo) com 850 mm de comprimento, seção transversal retangular de 10 mm x 20 mm e com módulo de elasticidade E = 200 GPa. F = 20 kN

Solução

(0,010 x 0,020) = 100000000 N/m² = 100 Mpa

Supondo que está na região elástica e, portanto, obedecendo a lei de Hooke, 3

-­4 mm/mm

0 0 = 5*10-­4 * 850

Resposta

2. A barra de aço da figura abaixo tem seção transversal A = 10 cm² e está solicitada pelas forças axiais representadas. Determinar o alongamento da barra e as tensões que atuam nos diversos trechos, sabendo-­se que E = 2100 tf/cm².

Solução

Trecho AB:

10000 = 0 portanto N = 10000 kgf

AB = N/A = 10000 kgf / 10 = 1000 kgf/cm²

e = 2500 kgf/cm² e podemos dizer que a tensão que atua no trecho AB é inferior a esse valor, logo está na região elástica e segue a lei de

= 1000 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 4,76*10-­4 cm/cm

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0 0 = 4,76*10-­4 * 2000 mm

AB = 0,95 mm Resposta

Trecho BC:

10000 + 3000 = 0 portanto N = 7000 kgf

BC = N/A = 7000 kgf / 10 = 700 kgf/cm²

= 700 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 3,33*10-­4 cm/cm

0 0 = 3,33*10-­4 * 3000 mm

BC = 1 mm Resposta

Trecho CD:

-­ N = 0 portanto N = 9000 kgf

CD = N/A = 9000 kgf / 10 = 900 kgf/cm²

= 900 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 4,29*10-­4 cm/cm

0 0 = 4,29*10-­4 * 4000 mm

CD = 1,72 mm Resposta

3. A treliça Howe da figura suporta a força de 54 t. Determinar as áreas das seções transversais das barras DE e AC, sabendo-­se que a tensão admissível do material, a tração, é de 1400 kgf/cm². Sendo de 2 m o comprimento da barra DE, pergunta-­se qual o seu alongamento, admitindo para o módulo de elasticidade do material o valor de E = 2,1 x 106 kgf/cm².

Após a determinação das áreas, escolha o perfil mais adequado da tabela dada no final da lista de exercícios.

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4. Duas barras iguais, de aço, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 45 tf, tal como indicado na figura. Adotando-­se a tensão admissível de 2100 kgf/cm², pede-­se determinar a área da seção transversal dessas barras e o deslocamento vertical do nó B. São dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm² e o comprimento da barra l = 3 m.

Solução:

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TAB cos45° + TBC cos45° -­ 45 tf = 0 TAB cos45° + TBC cos45° = 45 tf 0,707(TAB + TBC) = 45 TAB + TBC = 63,64 tf Fx = 0: TBC cos45° -­ TAB cos45° = 0;; portanto TBC = TAB Logo, TBC = TAB = 63,64/2 = 31,82 tf adm = 2100 kgf/cm² = N/A;; portanto A = N/21000 = 31820/2100 A = 15,15 cm² Resposta

, portanto: AB BC

AB BC/0,707 AB/l0 AB AB/E = N/AE AB = 31820 kgf/(15,15cm² * 2,1E6 kgf/cm²) AB = 0,001 AB AB * l0 = 0,001*3000 mm AB = 3 mm

Resposta

5. Considere o pino de 12 mm de diâmetro da ligação da figura. Sendo a força P = 9000 N, determine o valor da tensão média de cisalhamento que atua na seção transversal a-­a do pino considerando que sua distribuição seja uniforme. Determine também as tensões de esmagamento que ocorrem nas

c d

Solução: Cisalhamento duplo:

Fx = 0: V + V P = 0 2V = P V = P/2

²/4) Resposta

Esmagamento na chapa central -­ d = 20 mm: es = P/Aproj = 9000 N / (0,012*0,020) es = 37,5 Mpa Resposta

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Esmagamento nas chapas superior e inferior -­ c = 15 mm: es = P/2Aproj = 9000 N /2 (0,012*0,015) es = 25,0 Mpa Resposta 6. De acordo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior deslize em relação à inferior segundo o plano a-­a. Sendo P = 4000 kgf, qual a tensão de cisalhamento nesse plano?

Solução: A força de cisalhamento que atua no plano a-­a é provocada pela componente horizontal de P. Logo temos: Px = P cos45° = 4000*0,707 Px = 2828 kgf A área em que atua a força Px vale: A = 20*30 = 600 cm² Logo a tensão de cisalhamento será: = Px/A = 2828/600 Resposta

7. Considere o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular de 2,5 cm por 5,0 cm, utilizado para determinar a resistência à tração da madeira. Sendo para a peroba a tensão de ruptura ao cisalhamento de 130 kgf/cm², pede-­ aa ruptura se dê por tração e não por cisalhamento. A carga de ruptura à tração é P = 1040 kgf.

Solução: Se a carga de ruptura a tração é P = 1040 kgf, isso significa que com essa carga eu não posso ter ruptura por cisalhamento. Então, como eu terei

P/2A rup então,

a 0,8 cm Resposta

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8. Uma viga de madeira, com seção retangular com b=10cm e h=18cm tem 6m de vão e a tensão admissível é 9Mpa. Calcular a máxima carga P que pode ser aplicada no meio do vão.

Solução: W = bh²/6 = 0,10*0,18²/6 = 0,00054 m³ O momento máximo ocorre no ponto de aplicação da carga (centro do vão) e vale: Mmax = PL/4 = P*6/4 = 1,5P

9E6 N/m² = 1,5P Nm / 0,00054 m³ P = 9E6*0,00054/1,5 P = 3240 N Resposta 9. Calcular o valor da tensão máxima devido à flexão na viga prismática de concreto armado da figura. Represente a distribuição das tensões na seção transversal da viga.

São dados: c=2,5tf/m³;; alv=2,0tf/m³;; e=0,8m.

Solução: Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio do concreto: qcon c * 1 * 1 = 2,5 tf/m Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio da parede de alvenaria: qalv alv * 8 * 0,8 = 12,8 tf/m q = qcon + qalv = 15,3 tf/m O momento máximo vale: Mmax = ql²/8 = 15,3*12²/8 = 275,4 tfm O módulo de resistência à flexão, W, será: W = bh²/6 = 1*1²/6 = 0,17 m³ A tensão normal máxima devido à flexão será:

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max = Mmax/W = 275,4/0,17 max = 1620 tf/m² ou max = 162 kgf/cm² Resposta

10. A viga de concreto armado da figura suporta duas colunas iguais de concreto, com 30cm de diâmetro e tensão de compressão de 120kgf/cm² na base, sendo a sua seção transversal retangular com 60cm de base e 90cm de altura, com peso específico c=2,5tf/m³. Determine o valor da tensão máxima de compressão na viga e represente a distribuição das tensões na seção.

Solução: Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio do concreto: qcon c * 0,6 * 0,9 = 1,35 tf/m Cálculo da carga concentrada P devido à coluna de concreto: Acol = d²/4 = *0,3²/4 = 0,071 m² P = *A = 120*0,071*100² = 85200 kgf = 85,2 tf Mmax = ql²/8 + VA*2 = 1,35*10²/8 + 85,2*2 = 187,275 tfm O módulo de resistência à flexão, W, será: W = bh²/6 = 0,6*0,9²/6 = 0,081 m³ A tensão normal máxima devido à flexão será: max = Mmax/W = 187,3/0,081 max = 2312 tf/m² ou max = 231,2 kgf/cm² Resposta

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11. Determine para a viga representada na figura abaixo, os diagramas de força cortante, momento fletor. Após a obtenção dos diagramas, faça com que w0 = 2 kN/m, L = 3m, calcule a tensão de flexão máxima absoluta e represente a distribuição de tensão na seção transversal da viga. Considere uma viga em perfil I 203,2 x 27,3 dada na tabela de perfis que se encontra no final da lista de exercícios.

Solução:

Reações de apoio. A carga distribuída é substituída por sua resultante e as reações são determinadas com as equações de equilíbrio como segue

y = 0;; RA w0 L/2 = 0 ou RA = w0 L/2

A = 0;; MA (w0 L/2) (2L/3) = 0 ou MA = w0 L²/3

Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagrama de corpo livre de um segmento com comprimento x é desenhado na figura (c). A intensidade da carga é determinada por semelhança de triângulos, ou seja, w/x = w0/L e, portanto, w = w0x/L.

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y = 0;; w0 L/2 (½)(w0 x/L)x V = 0 ou V = w0/2L (L² -­ x²) (1)

x = 0;; (w0 L²/3) -­ w0 L/2 (x) + (½)(w0 x/L)x (x -­ 2x/3) + M = 0 ou M = w0/6L (-­2L³ + 3L²x x³) (2)

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Diagramas de força cortante e momento fletor. Os gráficos das equações (1) e (2) estão mostrados na figura (d).

Fazendo-­se w0 = 2 kN/m e L = 3m, obtemos os valores de V e M que são

V = w0 L/2 = (2 kN/m) (3 m)/2 = 3 kN

M = -­ (w0 L²)/3 = (2 kN/m) (3 m)² / 3 = -­6 kNm

Nota: O valor negativo do momento significa que as fibras inferiores são comprimidas e as superiores tracionadas.

Consultando a tabela da página 5, I 203,2 x 27,3, obtemos os valores de Ix = 2400 cm4;; h = 20,32 cm;; Wx = 236 cm³.

portanto, Ix = 2400 (1/1004) m4;; h = 20,32 (1/100) m ;; Wx = 236 (1/100³) m³.

Logo, Ix = 2,4 10-­5 m4;; h = 2,032 10-­1 m;; Wx = 2,36 10-­4 m³.

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c = h/2 = (2,032 10-­1)/2 = 1,016 10-­1 m

como máx = M c/I, temos que máx = (-­6 kNm) (1,016 10-­1 m)/ 2,4 10-­5 m4, então máx = -­2,54 104 N/m² = -­2,54 104 Pa = -­25,4 kPa Resposta

Nota:

Podemos usar também a seguinte equação: máx = M / W e então teremos: máx = (-­6 kNm)/(2,36 10-­4 m³) = 25423,7 N/m² ou aproximadamente 25,4 kPa.

12. Determine para a viga com um balanço representada na figura abaixo, os diagramas de força cortante, momento fletor.

Após a obtenção dos diagramas, faça com que p = 15 kN/m, L = 4 m, a = 3 m e b = 1 m. Calcule a tensão de flexão máxima absoluta e represente a distribuição de tensão na seção transversal da viga. Escolha o perfil mais econômico, portanto mais adequado, consultando a tabela a seguir e considerando que o material da viga apresenta uma tensão admissível Adm = 150 MPa .

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Solução

Reações de apoio. A carga distribuída é substituída por sua resultante e as reações são determinadas com as equações de equilíbrio como segue

y = 0;; RA + RB p L = 0 ou RA = p L -­ RB

A = 0;; RB a -­ p L L/2 = 0 ou RB = p L²/2 a

então RA = p L p L²/2 a = p L (1 L/2a)

Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagrama de corpo livre de um segmento no trecho AB com comprimento x é desenhado na figura (c).

y = 0;; RA p x -­ V= 0 ou V = p L (1 L/2a) p x

para x = 0 temos V = p L (1 L/2a)

para x = a temos V = p L (1 L/2a) p a

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Onde V(x) = 0 o momento será máximo, logo para sabermos onde V(x) corta o eixo dos x, igualamos V(x) a zero.

V = p L (1 L/2a) p x = 0 então x = [p L (1 L/2a)]/p

x = L (1 L/2a)

x = 0;; M RA x + p x (x/2) = 0 ou

M = p L (1 L/2a) x -­ p x²/2

para x = 0 temos M = 0

para x = a temos M = p L (a L/2) -­ p a²/2 Um diagrama de corpo livre de um segmento no trecho BC com comprimento x é desenhado na figura (d) e aplicadas as equações de equilíbrio para determinação das equações dos esforços internos M e V.

y = 0;; RA p x + RB V = 0 ou

V = p L p L²/2a p x + p L²/2 a ou V = pL p x = p(L x)

então

para x = a temos V = p(L a)

para x = L temos V = 0

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x = 0;; M RA x + p x (x/2) RB (x a) = 0 ou

M = (p L p L²/2a) x -­ p x²/2 + p L²/2 a (x a) M = pLx pL²x/2a -­ px²/2 + pL²x/2a -­ pL²/2 M = -­px²/2 + pLx -­ pL²/2 M = -­px²/2 + pLx -­ pL²/2

então

para x = a temos M = -­pa²/2 + pLa -­ pL²/2

para x = L temos M = 0

Diagramas de força cortante e momento fletor. Os gráficos das equações (1) e (2) estão mostrados na figura (e).

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Fazendo-­se p = 15 kN/m, L = 4 m, a = 3 m e b = 1 m, como pedido no enunciado do exercício, temos, no trecho AB, pois é lá que encontramos Mmáx substituindo x por L(1 L/2a) = 4 m [1 (4 m)/(2 3 m) = 1,33 m. A equação do momento para o trecho AB é dada pela expressão: M = p L (1 L/2a) x -­ p x²/2. Substituindo os valores teremos: M = (15 kN/m)(4 m)[1 (4 m)/(2 3 m)] (1,33 m) (15 kN/m) (1,33 m)² /2 = 13,3 kNm.

Adm podemos dizer que Adm

Então, se igualarmos as expressões acima obtemos:

Adm Adm Logo, W = (13,3 kNm)/(150 MPa) = 8,9 10-­5 m3 = 89 cm³ Para a escolha do perfil mais econômico, portanto mais adequado, consultando a tabela da página 5, encontramos uma viga I 127 x 18,2 cujo valor de Wx = 89,8 cm3 Resposta Então a tensão máxima de flexão vale: máx = M/W = (13,3 kNm)/(89,8 cm³) máx = (13,3 kNm)/(8,98 10-­5 m³) máx = 148,1 MPa Resposta

13. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima da peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas

Rup = 1,5 MPa, explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições.

Solução: Esquema estático adotado:

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Como já vimos anteriormente, o valor de momento máximo para esse esquema estático é: M = w L²/8 Portanto temos que determinar o valor de w que é:

mármore Vpeça / L= (24 kN/m³) (1,5 m x 0,5 m x 0,02 m)/1,5 m w = 240 N/m e L = 1,5 m então, M = 240 N/m (1,5 m)²/8 = 67,5 Nm Cálculo do momento de inércia da peça: 1. Para a posição (a) temos:

Ix = b h³/12 = 0,02 m (0,5 m)³/12 = 2,08 10-­4 m4

Wx = Ix/c = Ix 2/h = 8,33 10-­4 m³ então máx = M/W = 67,5 Nm / 8,33 10-­4 m³ = 0,081 MPa Rup

2. Para a posição (b) temos:

Ix = b h³/12 = 0,5 m (0,02 m)³/12 = 3,33 10-­7 m4

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Wx = Ix/c = Ix 2/h = 3,33 10-­5 m³ então máx = M/W = 67,5 Nm / 3,33 10-­5 m³ = 2,025 MPa Rup

Portanto na posição (a) a peça resiste mas na posição (b) a peça se rompe. Resposta 14. Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere Eaço = 200 GPa. Emad = 12 GPa.

Solução

Solução

Propriedades da seção. Embora a escolha seja arbitrária, aqui, transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço. Visto que o aço tem rigidez maior que a da madeira (Eaço > Emad), a largura da madeira deve ser reduzida a uma largura equivalente para o aço. Por conseqüência n deve ser menor do que um. Para tanto, n = Emad/ Eaço, então

baço = nbmad = [(12 GPa)/(200GPa)](150 mm) = 9 mm

A seção transformada é mostrada na figura 86b.

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A localização do centróide (eixo neutro), calculada em relação a um eixo de referência localizado na parte inferior da seção, é

y = [(0,01 m)(0,02 m)(0,15 m) + (0,095 m)(0,009 m)(0,15 m)]/

/[0,02 m(0,15 m) + 0,009 m (0,15 m)] = 0,03638 m

Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo neutro é

INA=[(1/12)(0,15 m)(0,02 m)³ + (0,15 m)(0,02 m)(0,03638 m 0,01 m)²] +[(1/12)(0,009 m)(0,15 m)³ + (0,009 m)(0,15 m)(0,095 m 0,03638 m)²]

INA = 9,358(10-­6) m4

Tensão normal

= Mc/I = 2 kNm (0,170 m 0,03638 m)/9,358(10-­6) m4 = 28,6 MPa

C = 2 kNm (0,03638 m)/9,358(10-­6) m4 = 7,78 MPa Resposta

A distribuição da tensão normal na seção transformada (toda de aço) é mostrada na figura 86c.

A tensão normal na madeira, localizada em B na figura 86a, é determinada pela equação:

B = (12 GPa/200 GPa)(28,56 MPa) = 1,71 MPa Resposta

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Usando esses conceitos, mostre que a tensão no aço e na madeira no ponto onde elas aço mad = 0,21 MPa, respectivamente.

A distribuição de tensão normal na viga verdadeira é mostrada na fig. 86d.

15. A viga de concreto armado é feita com duas hastes de reforço de aço. Se a

aço)adm = 280 MPa e a tensão de compressão admissível para o concreto conc)adm = 21 MPa, determine o momento máximo M que pode ser aplicado à seção. Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração. Eaço =200 GPa, Econc = 26,5 GPa.

Solução

Dados: bf = 550 mm;; df = 100 mm;; bw = 150 mm;; dw = 450 mm

dr = 25 mm hr = 50 mm Econc = 26,5 GPa

Eaço = 200 GPa;; aço)adm conc)adm = 21 MPa

Propriedades da seção

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n = Eaço/Econc = 200 GPa/26,5 GPa = 7,54717

aço r

-­ aço(dw -­ hr f df(0,5 df w

-­7409,42(450 50

2850,24 = 0

de onde ou h´= -­835,54

Portanto o valor mais aceitável é:

Determinação do momento de inércia da seção:

I = Iaço + If + Iw

Iaço aço(dw -­ hr -­ 50 3,41)² = 1165380460 mm4

If = 1/12(bfdf3) + bfdf(0,5df

If = 202727878,8 mm4

Iw = 1/12(bw w

Iw = 1982,6 mm4

I = 1165380460 mm4 + 202727878,8 mm4 + 1982,6 mm4

I = 1368110321 mm4

A tensão máxima no concreto será dada por: máx = conc)adm = Mconc cconc /I

onde cconc = df

Então o momento máximo permitido no concreto será:

Mconc = ( conc)admI/cconc = 21 MPa (1368110321 mm4)/103,41 mm = 277,83 kNm

A tensão máxima no aço será dada por: máx = aço)adm =n Maço caço /I

onde caço = dw -­ hr 50 -­ 3,41 = 396,59 mm

O momento máximo permitido no aço será:

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Maço = aço)admI/n caço = 280 MPa (1368110321 mm4)/(7,54717)396,59 mm =

127,98 kNm

Portanto o momento máximo permitido será:

Mmáx = 127,98 kNm Resposta

16. Visto que o concreto só pode suportar pouca ou nenhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simplesmente apoiada mostrada na figura, que tem seção transversal retangular de 450 mm por 300 mm. Se o peso específico do concreto for 24 kN/m³, determine a tração exigida na haste AB, que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão de tração seja desenvolvida na seção central a-­a da viga. Despreze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga.

Solução

Dados: b = 300 mm;; d = 450 mm;; L = 2,4 m;; = 24 kN/m³ a = d

Cálculo das reações: por simetria, RA = RB = R

y = 0;; 2R wL = 0;; R = wL/2 = 3,888 kN

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Esforços internos (normal e momento fletor):

x = 0;; T N = 0;; N = T

O = 0;; M + T(0,5d a) R(0,5L) + (0,5wL)(0,25L) = 0

M = R(0,25L) T(0,5d a) Propriedades da seção: A = bd = 135000 mm² I = 1/12(b d³) = 2278125000 mm4 Tensão normal: a = N/A + Mc/I Por imposição do problema: a = 0;; 0 = -­T/A + Mca/I onde ca = 0,5d 0 = -­T/A + [R(0,25L) T(0,5d a)]ca/I T = R(0,25L)/ [(0,5d a) + I/(A ca)]

T = 9331 kN Resposta 17. Para reforçar uma viga de aço, uma tábua de carvalho foi colocada entre seus flanges, como mostra a figura. Se a tensão normal admissível para o aço

adm)aço adm)mad = 21 MPa, determine o momento fletor máximo que a viga pode suportar com e sem o reforço da madeira. Eaço = 200 GPa, Emad = 12 GPa. O momento de inércia da viga de aço é Iz = 7,93 106 mm4, e sua área de seção transversal é A = 5493,75 mm².

Solução

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Sem a tábua. Neste caso, o eixo neutro coincide com o eixo z. A aplicação direta da fórmula da flexão para a viga de aço dá como resultado

adm)aço = Mc/Iz

168 N/mm² = M (105 mm)/7,93 106 mm4

M = 12,688 kNm Resposta

Com a tábua. Visto que agora temos uma viga composta, devemos transformar a seção em um único material. Será mais fácil transformar a madeira em uma quantidade equivalente de aço. Para tal, n = Emad/Eaço. Assim, a largura de uma quantidade equivalente de aço é

baço = nbmad = (12 GPa/200GPa)300 mm = 18 mm

A seção transformada é mostrada na figura.

O eixo neutro encontra-­se em

y = yA/ A = (0)(5493,75 mm²) + (55 mm)(100 mm)(18 mm)/

/[5493,75 mm² + 100(18) mm²] = 13,57 mm

E o momento de inércia em relação ao eixo neutro é

I = [7,93 106 mm4 + (5493,75 mm²)(13,57 mm)²] +

+ [(1/12)(18 mm)(100 mm)³ + (18 mm)(100 mm)(55 mm 13,57 mm)²]

I = 13,53(106) mm4

A tensão normal máxima ocorrerá na parte inferior da viga (figura 87b). Aqui, c = 105 mm + 13,57 mm = 118,57 mm. O momento máximo baseado na tensão admissível para o aço é

adm)aço = Mc/I

168 (106) N/m² = 168 N/mm² = M(118,57 mm)/13,53(106) mm4

M = 19,17 kNm

A tensão normal máxima na madeira ocorre na parte superior da viga (figura 87b). 13,5 mad aço, o momento

máximo baseado na tensão admissível para a madeira é

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adm)mad

6)mm4

Por comparação, o momento máximo é limitado pela tensão admissível no aço. Portanto,

M = 19,17 kNm Resposta

Observação: Usando a tábua como reforço, conseguimos 51% de capacidade adicional para o momento da viga.

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