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BC1104: Mecânica dos Sólidos UFABC Resolução da Lista 01 (Demetrio) v0.0

Fernando Freitas Alves [email protected] 29/08/13 – pág. 1/9

1. Calcule as reações de apoio:

a)

b)

c)

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

a) Momento em 𝐴:

−(20) − 𝑅𝐵𝑦· [2 + 4] + (6 ·

4

2) · [2 ·

4

3] = 0 ⇒ 𝑅𝐵𝑦

= 2 kN

Horizontal:

𝑅𝐴𝑥= 0 kN

Vertical:

𝑅𝐵𝑦− 6 · 4/2 + 𝑅𝐴𝑦

= 0 ⇒ 𝑅𝐴𝑦= 10 kN

2 m 2 m

20 kNm

6 kN/m

4 m

4 m 3 m

20 kN 15 kN

7 kN/m

3 kN/m

𝑅𝐵 𝑅𝐴

𝑅𝐴

mailto:[email protected]



b) Momento em 𝐴:

𝑀𝐴 + (3 · (4 + 3)) · [4 + 3

2] + ((7 − 3) ·

4 + 3

2) · [(4 + 3) ·

2

3] − (15) · [4] − (20) · [4 + 3] = 0

𝑀𝐴 + 73,5 + 65,33 − 60 − 140 = 0

⇒ 𝑀𝐴 ≈ 61,17 kNm

Horizontal:

𝑅𝐴𝑥= 0 kN

Vertical:

𝑅𝐴𝑦+ 3 · (4 + 3) + (7 − 3) ·

4 + 3

2− 15 − 20 = 0 ⇒ 𝑅𝐴𝑦

= 0 kN

c) Momento em 𝐵:

−𝑅𝐴𝑦· (2 + 1,6 + 3,5) + (20 · 1,6) · [3,5 +

1,6

2] + ((50 − 20) ·

1,6

2) · [3,5 +

1,6 · 2

3] = 0

⇒ 𝑅𝐴𝑦≈ 34,82 kN

Horizontal:

𝑅𝐴𝑥= 0 kN

Vertical:

𝑅𝐴𝑦− (20 · 1,6) − (50 − 20) ·

1,6

2+ 𝑅𝐵𝑦

= 0 ⇒ 𝑅𝐵𝑦≈ 21,18 kN




2. Calcule as reações e desenhe os esforços solicitantes (força cortante, força normal e

momento fletor) das vigas nos pontos indicados em cada item:

a)

b)

c) A lança 𝐷𝐹 do guindaste giratório e a coluna 𝐷𝐸 têm peso uniforme de 50 lb/pé. Se o

guindaste e a carga pesam 300 lb, determinar a carga interna resultante nas seções

transversais que passam pelos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 do guindaste.


a) Momento em 𝐴: −𝑅𝐵𝑦

· [4] + 30 + (15) · [1] = 0

⇒ 𝑅𝐵𝑦= 11,25 kN

Horizontal:

𝑅𝐴𝑥= 0 kN

Vertical: 𝑅𝐴𝑦

− 15 + 𝑅𝐵𝑦= 0

⇒ 𝑅𝐴𝑦= 3,75 kN

Momento fletor em 𝐶:

𝑀𝐶 + 𝑅𝐴𝑦· [1]

⇒ 𝑀𝐶 = −3,75 kN m

Força cortante em 𝐶:

𝑉𝐶 − 15 + 𝑅𝐴𝑦= 0 ⇒ 𝑉𝐶 = 11,25 kN

Força normal em 𝐶:

𝑁𝐶 + 𝑅𝐴𝑥= 0 ⇒ 𝑁𝐶 = 0 kN

𝑅𝐵 𝑅𝐴

𝑅𝐴 𝑅𝐵




b) Momento em 𝐴: −(10) · [1,5] − (25) · [1,5 + 2] + 𝑅𝐵𝑦

· [1,5 + 2 + 2,5]

+ (40)

· [1,5 + 2 + 2,5 + 2]

= 0

⇒ 𝑅𝐵𝑦= −36,25 kN

Horizontal:

𝑅𝐴𝑥= 50 kN

Vertical: 𝑅𝐴𝑦

− 10 − 25 + 𝑅𝐵𝑦+ 40 = 0

⇒ 𝑅𝐴𝑦= 31,25kN


𝑀𝐶 − 𝑅𝐴𝑦· [1,5 + 2] + (10) · [2]

⇒ 𝑀𝐶 = 89,375 kN m


𝑉𝐶 + 𝑅𝐴𝑦− 10 − 25 = 0

⇒ 𝑉𝐶 ≈ 3,75 kN


𝑁𝐶 + 𝑅𝐴𝑥= 0 ⇒ 𝑁𝐶 = −50 kN

c) Momento fletor em 𝐴:

𝑀𝐴 − (50 · 3) · [3

2] − (300) · [3]

⇒ 𝑀𝐴 = 1125 lb pé

Força cortante em 𝐴:

𝑉𝐴 − 50 · (3) − 300 = 0

⇒ 𝑉𝐴 = 450 lb

Força normal em 𝐴:

𝑁𝐴 = 0 kN

Momento fletor em 𝐵:

𝑀𝐵 − (50 · (3 + 8)) · [3 + 8

2]

− (300) · [3 + 8]

⇒ 𝑀𝐵 = 6325 lb pé

Força cortante em 𝐵:

𝑉𝐵 − 50 · (3 + 8) − 300 = 0

⇒ 𝑉𝐵 = 850 lb

Força normal em 𝐵:

𝑁𝐵 = 0 kN


𝑀𝐶 − (50 · (3 + 8 + 2)) · [3 + 8 + 2

2] − (300) · [3 + 8 + 2] = 0

⇒ 𝑀𝐶 = 8125 lb


𝑉𝐶 = 0 lb


𝑁𝐶 − 50 · (5) − 50 · (3 + 8 + 2) − 300 = 0 ⇒ 𝑁𝐶 = 1200 lb




3. Determine as tensões conforme solicitado no enunciado:

a) 𝑃 = 1250 kgf

Área da seção transversal 𝐴: 40 mm2

Calcule as tensões atuantes no plano resultante para os ângulos de 22,5°, 45° e 60°.

b) A alavanca é presa ao eixo 𝐴 por meio de uma chaveta que tem largura 𝑑 e

comprimento de 25 mm. Supondo que o eixo esteja fixo e seja aplicada uma força

vertical de 200 N perpendicular ao cabo, determine 𝑑 se a tensão de cisalhamento

admissível para a chaveta for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 35 Mpa.

c) O conjunto de eixo consiste de um cano 𝐴𝐵 e uma haste maciça 𝐵𝐶. O cano tem 20 mm

de diâmetro interno e 28 mm de diâmetro externo. A haste tem 12 mm de diâmetro.

Determinar a tensão normal média nos pontos 𝐷 e 𝐸 e representar a tensão em um

elemento de volume localizado em cada um desses pontos.


a) Tensão normal:

𝜎22,5° =1250 sen 22,5°

(40 × 10−3)2/ cos 22,5°≈ 276.213,6 kgf

𝜎45° =1250 sen(2 · 45°)

(40 × 10−3)2 · 2= 390.625,0 kgf

𝜎60° =1250 sen(2 · 60°)

(40 × 10−3)2 · 2≈ 338.291,2 kgf

Tensão de cisalhamento:

𝜏22,5° =1250 cos 22,5°

(40 × 10−3)2/ cos 22,5°≈ 666.838,6 kgf

𝜏45° =1250 cos2 45°

(40 × 10−3)2= 390.625,0 kgf

𝜏60° =1250 cos2 60°

(40 × 10−3)2= 195.312,5 kgf




b) Dado o momento no ponto 𝐴:

𝑀𝐴 = 200 · 500 × 10−3 = 100 Nm

podemos descobrir a carga interna cisalhante no ponto 𝑎 dada por:

𝑉𝑎 =𝑀𝐴

20 × 10−3= 5 kN

Com isso, utilizando a tensão de cisalhamento admissível, temos a área da chaveta:

𝒜 =𝑉𝑎

𝜏𝑎𝑑𝑚=

5 × 103

35 × 106=

1

7× 10−3 ≈ 142,86 μm2

Agora, utilizando o valor de comprimento da chaveta, temos seu valor de largura:

𝑑 =𝐴

25 × 10−3=

1/7 × 10−3

25 × 10−3=

1

175≈ 5,7143 mm

c) A tensão normal média é dada por:

∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝜎𝑑𝐴

𝐴

⇒ 𝑃 = 𝜎𝐴

Logo, no ponto 𝐷, temos:

𝑃 = ∫ ∫ 𝜎 𝑟𝑑𝑟

28×10−3/2

20×10−3/2

𝑑𝜃

2𝜋

0

⇒ −4 × 103 = 𝜎𝜋𝑟2 |14 × 10

−3

10 × 10−3

= 𝜎𝜋[(14 × 10−3)2 − (10 × 10−3)2]

⇒ 𝜎 ≈ −13,263 MN/m

e no ponto 𝐷, temos:

𝑃 = ∫ ∫ 𝜎 𝑟𝑑𝑟

12×10−3/2

0

𝑑𝜃

2𝜋

0

⇒ 8 × 103 = 𝜎𝜋𝑟2 |6 × 10

−3

0

= 𝜎𝜋(6 × 10−3)2

⇒ 𝜎 ≈ 70,736 MN/m




4. Determine as deformações:

a) Os dois arames estão interligados em 𝐴. Se a carga 𝑃 provocar o deslocamento vertical

de 3 𝑚𝑚 ao ponto 𝐴, qual será a deformação normal provocada em cada arame?

b) A viga rígida está apoiada por um pino em 𝐴 e pelos arames 𝐵𝐷 e 𝐶𝐸. Se a deformação

normal admissível máxima em cada arame for 𝜖𝑚𝑎𝑥 = 0,002 mm/mm, qual será o

deslocamento vertical máximo provocado pela carga 𝑃 nos arames?




c) A chapa retangular está submetida à deformação mostrada pela linha tracejada.

Determinar a deformação por cisalhamento média 𝛾𝑥𝑦 da chapa.


a) Um deslocamento de 3 mm no eixo 𝑦 gera um tamanho 𝑑′ deslocado em cada cabo.

Para descobrir qual o valor final do cabo deslocado, podemos utilizar os triângulos

dados por:

𝑥 = 𝑑 sen 30°

𝑦 = 𝑑 cos 30°

onde 𝑑 é o tamanho inicial de um dos cabos, 𝑥 é a distância do ponto 𝐵 ou 𝐶 ao eixo

de simetria e 𝑦 é a distância do ponto 𝑃 até o teto. Logo, quando o ponto se desloca

3 mm, temos a nova distância até o teto:

𝑦′ = 𝑦 + 3

formando o novo triângulo com o tamanho deslocado de cada cabo dado por:

𝑑′2= 𝑥2 + 𝑦′2

⇒ 𝑑′ = √(400 sen 30°)2 + (400 cos 30° + 3)2

⇒ 𝑑′ = 400√sen2 30° + cos2 30° +2 · 400 · 3

4002cos 30° +

32

4002

⇒ 𝑑′ = 400√1 +32

4002+

2 · 3

400cos 30° = √4002 + 32 − 2 · 400 · 3 · cos(180° − 30°) ,

que é exatamente a lei dos cossenos. Assim, temos a seguinte deformação:

𝜀 =𝑑 − 𝑑′

𝑑= 1 −

𝑑′

𝑑= √1 +

32

4002+

2 · 3

400cos 30° ≈ 1,00650 = +0,650%




b) *Podemos calcular os deslocamentos verticais máximos em cada cabo dados por:

𝑑𝐷𝐵 = 3𝜖𝑚𝑎𝑥 = 3 · 0,002 = 6 mm

𝑑𝐸𝐶 = 4𝜖𝑚𝑎𝑥 = 4 · 0,002 = 8 mm

c) A tensão de cisalhamento entre os eiso 𝑥 e 𝑦 é dada por:

𝛾𝑥𝑦 =𝜋

2− θ′

⇒ 𝛾𝑥𝑦 = tg−1 (3

150)

⇒ 𝛾𝑥𝑦 ≈3

150

⇒ 𝛾𝑥𝑦 ≈ 0,02 rad


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