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EN2610: Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 01 e 02 (Claudio Jos Bordin Jnior) v61

Fernando Freitas Alves [email protected] 04/08/14 pg. 1/22

BIBLIOGRAFIA:OPPENHEIM,A.;SCHAFER,R.DISCRETE-TIME SIGNAL PROCESSING(2ND ED.)

1. [OPPENHEIM 2.1]

Paracadaumdossistemasseguintes,determineseosistema(1)estvel,(2)causal,(3)linear,(4)invarianteno

tempoe(5)semmemria.

(i) ,comarbitrrio(ii) =

(iii) += (iv)

(v) (vi)

(vii) (viii) 3 1

(i) ,comarbitrrio

(1)

ESTABILIDADE: BIBO, pois se existir

tal que

|| para todo

, ento

|||| .

(2)

CAUSALIDADE: Causal, pois para todo , depender apenas de valores presentes.(3)

LINEARIDADE: Linear, pois .(4) INVAR.TEMPO: Variante, pois .(5) MEMRIA: Semmemria, pois para todo , depender apenas de valores presentes.

(ii) = (1)

ESTABILIDADE: BIBO, pois || ||= = quando .(2) CAUSALIDADE: No causal, pois = depender de valor futuros de quando < .(3) LINEARIDADE: Linear, pois = = = = .(4) INVAR.TEMPO: Variante, pois = = = .(5) MEMRIA: Commemria, pois = depende de valores passados de para .

(iii) += (1)

ESTABILIDADE: BIBO, pois || ||+= += 2 1 .(2) CAUSALIDADE: No causal, pois += depende de valores futuros de em .(3) LINEARIDADE: Linear, pois += += += += .(4)

INVAR.TEMPO: Invariante, pois += = .(5) MEMRIA: Commemria, pois += depende de valores passados de para 0.
mailto:[email protected]:[email protected]

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(iv) (1)

ESTABILIDADE: BIBO, pois se existir tal que || para todo , ento | | .(2)

CAUSALIDADE: Causalsomente quando 0, pois , depender apenas de < .(3)

LINEARIDADE: Linear, pois

.

(4)

INVAR.TEMPO: Invariante, pois .(5)

MEMRIA: Commemria, pois , depende de valores diferentes de .(v) (1) ESTABILIDADE: BIBO, pois || || || .(2) CAUSALIDADE: Causal, pois no depende de valores futuros de .(3)

LINEARIDADE: No linear, pois .(4)

INVAR.TEMPO: Invariante, pois .(5) MEMRIA: Semmemria, pois depende apenas de valores instantneos de .(vi) (1)

ESTABILIDADE: BIBO, pois || ||| | || || ||.(2) CAUSALIDADE: Causal, pois no depende de valores futuros de .(3)

LINEARIDADE: No linear, pois .(4)

INVAR.TEMPO: Invariante, pois

.

(5) MEMRIA: Semmemria, pois depende apenas de valores instantneos de .(vii)

(1) ESTABILIDADE: BIBO, pois || |||| .(2)

CAUSALIDADE: No causal, pois quando < 0, depender de valores futuros de .(3) LINEARIDADE: Linear, pois .(4)

INVAR.TEMPO: Variante, pois

.

(5)

MEMRIA: Commemria, pois, para 0, depende de valores diferentes de .(viii)

3 1(1) ESTABILIDADE: BIBO, pois || ||| 3 1||| 3| 1| 3.(2)

CAUSALIDADE: Causal, pois no depende de valores futuros de .(3)

LINEARIDADE: No linear, pois 3 1 3 1 3 1.(4) INVAR.TEMPO: Variante, pois 3 1 3 1.(5) MEMRIA: Semmemria, pois depende apenas de valores instantneos de

.

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2. [OPPENHEIM 2.2]

(a) A respostaao impulsodeumsistemalineare invariantenotempoconhecidocomonula,excetonointervalo .Aentradatambmconhecidacomonula,excetonointervalo .Comoresultado,asadaforadaatambmsernula,excetoemalgumintervalo .Determinee

emtermosde

,

,

e

.

(b)

Sefornulo,excetoquandoforpontosconsecutivos,etambmfornulo,excetoquandoforpontosconsecutivos,qualonmeromximodepontosconsecutivosparaoqualpodesernonulo?(a)

Sendo a sada desse sistema representada por , sabemos que =

Ento, seguindo o critrio de no nulidade da resposta ao impulso

0implica que seu argumento esteja dentro dos limites Como nos importamos com os valores limites de que determinam onde ser no nulo, temos que No entanto, ainda no sabemos os limites de . Para encontra-los, podemos nos basear no sinal de entrada,pois na definio de , ela s depende de , como segue

0

onde seu argumento est limitado por onde pode-se verificar que e Assim, substituindo nos limites de encontrados anteriormente, temos que ou seja, como

limitado da seguinte forma

conclumos que e .(b) Se for no nulo para pontos consecutivos a partir de um certo at , ou seja 1

e se for no nulo para pontos consecutivos a partir de num certo at , ou seja

1 ,

ento, pelo resultado encontrado no item (a), ser no nulo nos seguintes limites 1 1 1 1 .

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3. [OPPENHEIM 2.3]

Porverificaodiretadosomatriodeconvoluo,determinearespostaaumdegrauunitrioparaumsistema

lineareinvariantenotempocujarespostaaoimpulso , 0 < < 1.De acordo com a definio do somatrio de convoluo

= ,onde o sinal de entrada um degrau unitrio

1, 00, < 0e a resposta ao impulso dada por

0 , 0, < 0 , 0 < < 1,resulta em

= Assim, para 0, temos de que 0 e 0 0

tal que

= = lim +1

1

e, para 0, temos de que 0 e 0 implica que tal que

> = lim +1 11

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4. [OPPENHEIM 2.7]

Determinequandocadaumdosseguintessinaisperidico.Seosinalforperidico,encontreseuperodo.

(a) (b)

(c) sen 5 (d)

( )

(a)

Para , temos que + , +

onde, como condio de periodicidade, obtm-se

6 2, .

Assim, para 1, a funo peridicacom um perodo de 12 (b)

Para , temos que + , +


34 2, .Assim, para 3, a funo peridicacom um perodo de 8

(c)

Para sen 5 , como sua amplitude depende de no denominador, a funo decresce emmdulo na medida que ||cresce. Logo, a funo no peridica.

(d)

Para ( ), temos que [+ ], ( + )


2 2, .Como e so nmeros inteiros, essa igualdade no pode ser satisfeita. Logo, a funo no peridica.

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5. [OPPENHEIM 2.8]

Umsistemalineareinvariantenotempopossuiarespostaaoimpulso 5 1 2 .UseatransformadadeFourierparaencontrarasadadessesistemapara1 3 .

Pela propriedade da transformada de Fourier implica que

() () ()O que pode facilitar as contas.

Para a entrada, temos que

(

)

= 13

= 13

=

(

3 )

lim(

3 )+

1 3

11 3 Similarmente, para a resposta ao impulso, temos que

() =

5 12

= 5 12

=

5 ( 2 ) lim( 2 )+1 2

51 2

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Assim, temos que

()() () 11 3 51 2 1 3 1 2

onde

11 3 51 2 (1 3 ) 51 3 2 2 11 3 51 2 (1 2 ) 51 2 3 3

Logo, a resposta em frequncia

() 21 3 31 2 leva resposta da sada{()}

21 3 31 2 2 11 3 3 11 2

2 13

3 12

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6. [OPPENHEIM 2.10]

Determineasadadeumsistemalineareinvariantenotemposearespostaaoimpulso eaentradaforem:

(a) e 1,com 1.(b)

4 e 2 1.(c) e0,52.(d) 10 e 2 1.Utilizeoseuconhecimentodelinearidadeeinvarincianotempoparaminimizarotrabalhonositens(b)ao(d).

(a)

e 1,com 1

=

1= 1=

=

1

=+

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(b) 4e 2 1

Do exerccio (a), sabemos que

21 1 2 1 1 21 1 2 12+ 1 1Agora, utilizando a propriedade de deslocamento para o sistema LIT 4 4

2+ 4 1 4 1

2 3 3

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(c) e0,52

Como pode ser reescrito da seguinte forma1 2 2 1 1

2

1 1

1pelo resultado de em (b), temos que 1 12+ 1 1 1 1 2

(d)

10e 2 1Pela propriedade de linearidade, temos que 10 10 Ento, pelo resultado de em (b), temos que 10

2+ 1 1 (2+ 10 1 10 1)

2+ 1 1 2 9 9

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7. [OPPENHEIM 2.11]

Considereumsistemalineareinvariantenotempocomrespostaemfrequncia

() 1

1 12

, < .Determineasadaparatodoseaentradaparatodofor sen 4 .

Sabemos que ,onde

sen 4 2 Como funes exponenciais complexas so autovetores de sistemas LIT, pois

=

= (),devemos obter como sada um autovalor desse autovetor, onde 4 , ou seja

( ) 2 1

1 12

2

1 1 1 2 2 21 2 22 2

22

2

22sen 4 4

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8. [OPPENHEIM 2.13]

Indiquequaldosseguintessinaisem tempodiscretoso autofunesde sistemasemtempodiscreto, lineares,

invariantesnotempoeestveis

(a) (b)

3(c) 2 1(d) cos(e)

1 4 (f) 1 4 4 1

Sinais em tempo discreto que so autofunes de sistemas em tempo discreto LIT e estveis so escritas na

forma potencial

onde um nmero complexo, pois

= =

Assim,

(a)

autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois est escrita na forma potencial, ou seja = = ( )

(b) 3 autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois est escrita na forma potencial, ou seja 3 3= 3

= 3

3

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(c) 2 1no autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois no pode ser escrita na forma

potencial, ou seja 2 1

2 1

=

2=+ 2 2 1(d)

cosno autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois no pode ser escrita na forma potencial,ou seja

cos 2 2

=

12

=

=

12 = = 2 2 ,

(e) 1 4 autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois est escrita na forma potencial, ou seja

1 4

1 4 = 1 4 = 1 4 1 4

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(f)

1 4 4 1no autofunode sistemas discretos LIT e estveis, pois no pode ser escritana forma potencial, ou seja 1 4 4 1

1 4 4 1

=

1 4 = 4

=+ 1 4 = 1 4 4

=+ 41 4 4

1 4

4

1

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9. [OPPENHEIM 2.14]

Umarelaonicadeentradaesadadadaparacadaumdostrssistemasaseguir:

(a) SistemaA: 1 3 , 2 1 3 .(b) SistemaB: 1 2 , 1 4 .(c) SistemaC:

2 3 ,

4 2 3 3 1 2 .

Baseadonessainformao,escolhaamelhorconclusopossvelsobrecadasistemadaseguintelistadeafirmaes:

(i)

Osistemapossivelmentenolineareinvariantenotempo.

(ii)Osistemaobrigatoriamentelineareinvariantenotempo.

(iii)Osistemapodeserlineareinvariantenotempoeexistesomenteumsistemalineareinvariantenotempoque

satisfaaessarelaodeentradaesada.

(iv)

O sistema pode ser linear e invariante no tempo, mas no pode ser unicamente determinado por essa

informaodeentradaesada.

Sevocescolhera opo(iii)dessalista, especifiquea respostaaoimpulsoouarespostaemfrequncia()

paraosistemalineareinvariantenotempo.

Como a relao entre entrada e sada de um sistema dada por ,

onde a resposta ao impulso do sistema.Quando for um autovetor para sistemas LIT, podemos reescrever essa relao como ,

o que implica que exista um autovalor

que seja independente de

, ou seja, constante para

, dado por

.Logo, isso deve ser verdade para qualquer entrada autovalor .

(a)

SistemaA:1 3 , 2 1 3 Como

2 1 3

1 3 2

constante, esse sistema pode ser LIT, mas como s conhecemos a resposta para um nica entrada, pode

ser que, para uma entrada diferente, o sistema no tenha uma resposta que autovalor da autofuno.(iv)

(b)

SistemaB:1 2 ,1 4 Como

1 4

1 2 1

2

no constante em , o sistema possivelmente no LIT. (i)

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(c) SistemaC:2 3 , 4 2 3 3 1 2

Como possui um autovalor de , essa resposta parece uma soluo de uma equao de diferenas,onde a resposta final composta pela resposta particular (permanente e mltiplo da entrada) com a resposta

homognea (transitrio). Ento, esse sistema pode ser LIT e, se for, existir somente um sistema LIT que

obedecer tal relao de entrada e sada. (iii)

Assim, calculamos a resposta em frequncia desse sistema

()()onde

()4 2 3 3 1 2 4

1 2 3 3

1 1 2

e ()2 3 11 2 3

tal que

() 41 2 3 31 1 2 11 2 3

4 2 3 21 1 2 11 1 2

implica em

11 1 2

1 2

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10. [OPPENHEIM 2.15]

Considereo sistema ilustradona figuraabaixo.A sadadeumsistema lineare invarianteno tempo,comuma

respostaaoimpulso1 4 10,multiplicadaporumafunodegrauunitrioparafornecerasadadosistemacompleto.Respondacadaumadasseguintesquestes,justificandobrevementesuaresposta:

(a)

Osistemacompletolineareinvariantenotempo?

(b) Osistemacompletocausal?

(c) Osistema completo estvel nosentido BIBO (acrnimo do inglsBounded Input, Bounded Output, que

significaEntradaLimitada,SadaLimitada)?

(a)

O sistema no invariante no tempo, pois, para , tem-se1 4 10 1 4 101 4 quando , onde < 10, obtm-se1 4 10

1 4

10

1 4 Logo, o sistema no LIT.

(b) Como nulo para valores de < , tambm deveria ser nulo nessa mesmarestrio para que o sistema fosse causal. Mas como 1 4 , ento o sistema no causal.

(c)

Para que um sistema seja BIBO, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somvel, pois||| | = ||| |= desigualdade triangular

implica que, se for uma entrada estvel, ou seja, se, para todo ,|| ,

1 4 10

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ento

|| ||= estvel, se, e somente se,

||=

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(a) DetermineatransformadadeFourierdasequncia

1,0, 0 , .(b)

Considerandoasequncia

12 1 cos 2 ,0, 0 , .Esboceeexpresse(),atransformadadeFourierde,emtermosde(),atransformadade. (Dica:primeiramente,expresseemtermosdeeoscomplexosexponenciais e )

(c)

Esboceamagnitudede()e()paraocasoque 4.(a)

Como a funo pode ser reescrita da seguinte forma 1de acordo com a definio da transformada de Fourier, temos

() 1 1=

= 1

=

=

=+

11 +1 1 +1

+

+

+

2 sen 1 2 2 sen 2 sen 1 2 sen 2

(b)

Como 12 1 cos 2 1

12 1 2

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temos que

() 12 1 2 1

21

4{ }1

4{ }

12 () 14 ( ) 14 (+ ) Segue abaixo o esboo de e de para 4.

(c)

Segue abaixo o esboo de ()e de ()para 4.

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Paracadaumadasrespostasaoimpulsodossistemaslineareseinvariantesnotempo,indiquequandoosistema

ounocausal:

(a) 1 2 (b)

1 2 1(c) 1 2 ||(d) 2 2(e)

1 3 3 1

Para que o sistema seja causal, a resposta ao impulso deve ter valores no nulos somente quando 0,ou seja

+0 , 0, 0porque a resposta do sistema

= implica na anlise de invertido em amostras e defasado em .

Logo:

(a) 1 2 causal.(b)

1 2

1 causal.

(c) 1 2 ||no causal.(d) 2 2no causal.

(e) 1 3 3 1no causal.

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Paracadaumadasrespostasaoimpulsodossistemaslineareseinvariantesnotempo,indiquequandoosistema

ounoestvel:

(a) 4(b)

10(c) 3 1

(d) sen 3 (e)

3 4 || cos 4 4 (f) 2 5 5

Para que o sistema seja BIBO, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somvel, pois||| |

=

||| |= desigualdade triangular

implica que, se for uma entrada estvel, ou seja, se, para todo ,|| ,ento

|| ||= estvel, se, e somente se,

||=

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(c) 3 1 estvel, pois absolutamente somvel (seu somatrio converge):

|3 1|= 3

=

lim 3

3+

1 3 12(d)

sen 3 no estvel, pois no absolutamente somvel (seu somatrio no converge): |sen 3 |= |sen 3 |

=

(e) 3 4 || cos 4 4 estvel, pois absolutamente somvel (seu somatrio converge), uma

vez que cos 4 4 limitado por ser peridico e o envelope 3 4 || absolutamente somvel: 3 4 ||= 2 3 4 ||

=

2 3 4 lim3 4 + 1 3 4 8(f) 2 5 5 estvel, pois absolutamente somvel (seu somatrio converge):

|2 5 5|= 2= 1= 10 5 15

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