A B C16m

30o 60o

3 0 °

d

B

A

MATEMÁTICA

Professores Arthur, Denilton, Elizeu e Rodrigo

LISTA DE EXERCÍCIOS – 0101. (UCSal) Na figura a seguir, suponha que um

observador encontra-se no ponto A, à distância AC = 24 metros do pé de uma torre, vendo tal torre sob um ângulo 30o. Ao deslocar-se 16 metros em direção à torre, passará a vê-la do ponto B, sob um ângulo 60o. A altura da torre, em metros, é:

a) 8b) 25c) 38

d) 24

e)3

38

02. (UFBA) Um balão deixa o solo verticalmente a uma distância m330 de um observador. Sabendo-se que o balão está a uma altura de H metros no instante

em que o ângulo de observação é ,3

π determine H.

03. (UCSal) Um observador, no ponto A, vê o topo de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme a figura a seguir.

A

B

C

x

3 0 °

Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente, m36 e 30m, então a distância x, entre o poste e o

prédio é, em metros:

a) 18315 −

b) 10315 −

c) 24330 −

d) 20330 −

e) 18330 −

04. (UCSal) Uma escada está encostada em um prédio, fazendo com ele um ângulo de 30o. Sabendo-se que a escada toca o prédio a 9m do solo, conclui-se que o comprimento da escada é aproximadamente:

a) 9,5 mb) 10,3 mc) 11,2 md) 11,7 m

e) 12,2 m05. (UCSal) Entre o plano da rua e o piso térreo de um

edifício há um desnível de 2 m. Da rua, acessa-se o piso térreo por meio de uma rampa com inclinação de 20o em relação à horizontal. Qual é, aproximadamente, o comprimento da rampa?[Dados: cos 20o = 0,93 e sen 20o = 0,34]

a) 3,6 m

b) 4,1 m

c) 5,2 m

d) 5,8 m

e) 6,3 m

06. (UCSal) Num terreno horizontal, têm-se dois postes verticais A e B. Do topo do poste, A avista-se o pé do poste B sob um ângulo de 30o com a horizontal como mostra a figura abaixo. Se a altura do poste A é 5 m, então a distância d entre os dois postes é aproximadamente:

a) 2,5 m

b) 8,55 m

c) 5,67m

d) 7,05 m

e) 4,77 m

07. (UFBA) Uma estrada eleva-se 0,5 m a cada .2

2

Calcule em grau o ângulo de inclinação da estrada com a horizontal.

08. (UNEB/00) Correndo numa praça circular de raio igual a 117 metros, um garoto descreve um arco de 78π metros de comprimento. A medida desse arco, em radianos, é:

a)2

3π

b)3

2π

c)3

π

d)5

3π

O

α

.c.3µ

.c.2µ.c.2µ

e)4

π

09. (UNEB/99) Se um carrinho de controle remoto deu 10 voltas em uma pista circular de 4 cm de diâmetro, então ele percorreu, em cm:

a) 10πb) 20πc) 40πd) 50πe) 80π

10. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 16h 42min. é:

a) 111o

b) 93o

c) 132o

d) 87o

e) 134o

11. (UEFS/00) Na figura, α é a medida angular do arco de círculo com centro em O.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que:

a) α > 90o

b) α = 90o

c) o502

>α

d) o303

<α

e) α = 1,5o

12. (UNEB/92) O raio de uma circunferência cujo comprimento é π mede:

a) 2

b) 1 d)4

1

c)2

1e) 2

13. No quadrilátero a seguir, AB = BC = 3 cm, AD = 2 cm, BCD = 60°, DÂB = 90° e ADC = 90°.

A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:

a) 11,5b) 12,5c) 13,5d) 14,5e) 15,5

14. (Efoa-MG) Na figura, qual é a medida do lado a do triângulo ABC?

a) ( )31− m

b) 3 m

c) ( )31+ m

d) ( )321+ m

e) 32 m

15. Sendo α = 54°26'32" e β = 18°40'48", calcule:

a) α + βb) α – β

16. Os ângulos de medidas e são tais que + = 45° e – = 19°35'30" Calcule e .

17. Num triângulo ABC isósceles de base ,BC o ângulo BAC tem medida  = 72°42'. Determine as medidas B e C dos ângulos ABC e ACB, respectivamente.

18. Um triângulo tem ângulos internos de medidas 12

π

rad, 6

πrad e

4

3πrad. Expresse-os em graus.

19. Na figura abaixo, a circunferência de centro O e raio R tem sobre si determinados os pontos A, B e C pelos

ângulos centrais α e β. Sabe-se que 6

π=α rad, 4

π=β

rad e que o comprimento de AB é igual a 6π cm. Determine:

a) R;b) o comprimento de BC, em centímetros.

20. Duas circunferências concêntricas em O têm sobre si determinados os arcos AB e CD pelo ângulo central α, conforme ilustra a figura abaixo.

2

Sabendo-se que 6

π=α rad, que o segmento AC

tem medida 20 cm e que o arco CD tem 10 cm de comprimento, determine:

a) a medida de ;OA

b) o comprimento do arco AB.

21. Durante uma competição, dois velocistas percorrem, emparelhados, um trecho circular de uma pista de atletismo. Um observador localizado no centro de curvatura dos arcos descritos pelos corredores nota que, acompanhando-os visualmente durante esse trecho da prova, teve que girar 20°. Nesse intervalo de tempo, o atleta mais adiante percorreu 62 m com velocidade v1 e o outro corredor, distante 9 m do seu oponente, manteve uma velocidade v2. Considerando π = 3,1, determine:

a) a distância percorrida pelo velocista mais próximo;b) a razão entre as velocidades v1 e v2, nessa ordem.

22. Calcule os ângulos formados pelos ponteiros de horas e minutos de um relógio quando ele estiver marcando os horários.

a) 4h 10min;b) 14h 40min;c) 15h 52min.

23. O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu suplemento. O ângulo é:

a) 30°b) 45°c) 60°d) 75°e) 80°

24. (UNB-ADAPTADA) No triângulo retângulo de hipotenusa 1000 m e um cateto igual a 350 m, o ângulo α oposto a este cateto é:

a) menor do que 30o

b) 30°c) 45°d) 60°e) maior que 60°

25. O dobro do suplemento de um arco excede em 122° o triplo do complemento do dobro desse arco. Qual a medida, em graus, desse arco?

a) 20b) 18c) 16d) 10e) 8

26. Sejam r e s retas paralelas. A medida x na figura abaixo é:

a) 60°b) 70°c) 80°d) 90°e) 100°

27. Na figura, AC = BC = CD, então BÂD é igual a:

a) 75°b) 80°c) 90°d) 100°e) 120°

28. Na figura abaixo, o valor de x – y + z é:

29. Calcule os valores de x e y na figura abaixo, sabendo-se que OC é a bissetriz do ângulo AÔD.

30. A razão entre a medida de um ângulo e o seu suplemento

é .7

5 Calcule a medida desse ângulo.

31. O complemento da medida de um ângulo está para o

seu suplemento na razão de .3

1 Calcule a medida

desse ângulo.

32. (Cesgranrio-RJ) As retas r e s são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura, é:

33. Na figura, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x.

3

34. Sendo r paralela a s na figura, calcule o valor de x.

35. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x.

36. Sendo A = {1, {2}, 2, {1, 2}}, marque V ou F.

a) ( ) 1 ∈ Ab) ( ) {2} ∈ Ac) ( ) {1} ⊂ Ad) ( ) {1} ⊂ P(A) (P(A) = conjunto das partes de A)e) ( ) {1, 2} ∈ Af) ( ) {1, 2} ⊂ Ag) ( ) {1, {2}} ⊂ Ah) ( ) A ⊃ {2}i) ( ) no de subconjuntos de A é igual a 16.

37. Se A ={{}, , {0}}, podemos afirmar que:

a) {} A

b) {0} A.

c) {} = .

d) {{0}, } A.

e) {{0}, } A.

38. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.

a) A, A

b) A, A

c) 0

d) {0}

e) {0}

f) A A, A

g) A , A

h) {5} {, {1}, {5}, {1, 5}}

i) {x} {x, {x, y}}

39. Se A = {, 3, {3}, {2, 3}}, então:

a) {2, 3} A

b) 2 A

c) A

d) 3 A

e) {3} A

40. Sendo A = {7, 8, 9}, obtenha o conjunto de partes do conjunto A.

41. Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}, podemos afirmar, corretamente, que:

a) B ⊂ A.b) A = B.

c) A B.

d) a = A.e) {A} ∈ B.

42. Obtenha x e y, de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} e {2, 3} = {2, 3, y}.

43. (Vunesp) Suponhamos que A e B sejam subconjuntos do E, satisfazendo:

01. para todo x E, se x A, então x B.

02. existe x ∈ E, tal que x ∈ A.

Então, podemos afirmar que:

a) B ≠ ∅.

b) existe x ∈ B, tal que x A.

c) existe x ∈ A, tal que x B.d) A contém B.e) A e B não têm elementos em comum.

44. Consultec-BA

4

No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto:

a) C – (A ∩ B ∩ C) d) ( )BC∪ – A

b) C ∩ (B – A) e) ( )BC∩ – A

c) C – (A ∩ B)

45. Consultec-BA

Na figura, a parte sombreada representa o conjunto:

a) (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B)

b) (A ∪ C) – B

c) (A– B) (B – A) C

d) (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B ∩ C)e) C – [A ∪ B]

46. (Mackenzie-SP) Numa escola, há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:

a) 249b) 137 d) 127c) 158 e) 183

47. (FCMSC-SP) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue do tipo O e 25 têm sangue do tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é:

a) 40b) 65 d) 120c) 80 e) 135

48. (FGV-SP) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens: A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram a embalagem A e C; 50 indicaram a embalagem B e C e 10 indicaram as três embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens?

a) Os dados estão incorretos; é impossível calcular.b) Mais de 60.c) 55.d) Menos de 50.e) 80.

49. (Consultec-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é:

a) 30b) 150 d) 200c) 180 e) 210

50. Numa sociedade há 35 homens, 15 mulheres que não usam óculos e 7 homens que usam óculos, Se forem 18 pessoas (ao todo) que usam óculos, a quantidade de mulheres que usam óculos é:

a) 7b) 11 d) 28c) 15 e) 8

51. (Uneb-BA) Em um vestibular, 80 alunos acertaram pelo menos uma questão entre as questões no 1 e no 2. Sabe-se que 70 deles acertaram a questão no 1 e 50 acertaram a questão no 2. O número de alunos que acertaram ambas as questões é igual a:

a) 40b) 35 d) 60c) 20 e) 120

5

30º

36

30

y x

RESOLUÇÃO COMENTADA

01. C. tg 60o = x

h

→=8

h3 h = 38 uc

=========================================================================================

02. tg 60o = 330

H

330

H3 =

H = 90 m

=========================================================================================

03. E. tg 30 = y

36

3

3

y

36 =→

y = 18

tg 30º = x18

30

3

3

xy

30

+=→

+

18 + x = 3

3

3

303 ⋅⋅

x = 18330 −

6

=========================================================================================

04. B. cos 30o = x

9

2

3

x

9 =→

x = 33

342 3

⋅⋅⋅

x = 36

x = 6 ⋅ (1,7) = 10,2…

=========================================================================================

05. E. sen 20o = y

m2

0,34 = y

2

y = 34

200 = 6,3 m

=========================================================================================

06. B. tg 30o = d

5

3533

315d

d

5

3

3 =⋅

=→=

d = 5 ⋅ (1,7) = 8,55 m

=========================================================================================

07. sen α = 2

2

2

22

1

=

α = 45º

=========================================================================================

08. B. r = 117 m

ρ = 78 π m

α = 3

2

39

26

117

78

r

π=π=π=ρ

=========================================================================================

09. C. r = 2m C1 = 2π ⋅ r → C1 = 4π

7

10 volts → 10 ⋅ C1 = 10 ⋅ 4π = 40π cm

=========================================================================================

10. A. α + β → 5 min ––––– 30º

22 min x = 5

3022 ⋅

α + β = 132º

β → 5 min –––––– 2º30’

42 min –––––– β

β = ( )5

30242 10 +⋅ = 21º

=========================================================================================

11. D. α = 2

3rad

α = 572

3 ⋅

α = 84º90’

α = 85º30’

=========================================================================================

12. C. C = 2 ⋅ π ⋅ r

π = 2 ⋅ π ⋅ r

r = 2

1

=========================================================================================

13. B. cos 60º = 2

3x

2

13x

3

x =→⋅=→

2p = 3 + 3 + 3 + 2 + 1,5

2p = 12,5 cm

=========================================================================================

14. C. cos 60º = 2

12x

2

x ⋅=→ x = 1

y = h ⇒ sen 60o = 2

h

2

3

2

h =→

h = 3

a = x + y

a = ( )31+ m

=========================================================================================

15. α + β = 50º 26’ 32’’18º 40’ 48’’

α + β = 72º 66’ 80’’

8

28º 30’

α - β = 53º 85’ 92’’

54º 26’ 32’’18º 40’ 48’’

35º 45’ 44’’60’+6’ 60”+20”

α = 132º - 21

α = 111º

2

6

= 2,5

x x

72º42'

CB

A

α + β = 73º7’20’’

α – β = 35º45’44’’

=========================================================================================

16.

=−θ

=+θ"'o

o

303519y

45y

θ = 64º35’30’’ 2

0o 1’60” 32º17’45º = θ 90”

y ⇒ 44º 59’ 60’’ y = 12º42’15’’

32º 17’ 45’’

12º 42’ 15’’

=========================================================================================

17. 2x = 179º 60’

72º 42’

2x = 107º 18’

x = 107º 18’ 2

1º → 60’ 53º39’

78’

R = 53º39’

=========================================================================================

18.12

πrad = 15º

6

πrad = 30º

4

3πrad = 135º

=========================================================================================

19. α rad = 6r

C π→ rad = r

6π→ r

r = 36 cm

936

AB

4

π = AB = 9π cm

=========================================================================================

9

–

20.6

πrad =

R

10π → R = 60 cm OA = 60 cm – 20 cm

OA = 40 cm

36

πrad = 2040

AB → AB =

3

20πrad

=========================================================================================

21. 180o –––––– π rad

20º –––––– x

a) 99

=π → = 3,1 m

=========================================================================================

22. a) 65º e 295º

b) 160º e 200º

c) 164º e 196º

=========================================================================================

23. 5[180º – (90º – x)] = 3[360º – (180º – x)]

5(90º + x) = 3(180º + 2)

450 + 5x = 540º + 3x

2x = 90º

x = 45º

=========================================================================================

24. sen α = 20

7

1000

350 =

=========================================================================================

25. E. 2(180o – x) – 122o = 3(90o – 2x)

360º – 2x – 122º = 270º– 6x

4x = 32

x = 8

=========================================================================================

26. C.

x = 180º – (30º + 70º)

x = 80º

10

x = 9

πrad

r

30º

40º

150º

140º

r

=========================================================================================

27. a + a + b + b = 180

2a + 2b = 180º

2⋅(a + b) = 180º

a + b = 90º

=========================================================================================

28. x + 2y + x + 3y = 180 → 2x + 5y = 180º

2x + y = x + 3y → x = 2y

4y + 5y = 180º → y = 20º

x = 2 ⋅ 20º → x = 40º

z = 40º + 2 ⋅ 20 → z = 80º

40º – 20º + 80º = 100º

=========================================================================================

29. 4x = x + 30º → x = 10o

4 ⋅ 10º + 10º + 30º + 5y = 180º

5y = 100º

y = 20º

=========================================================================================

30.7

5

x180

xo

=−

=========================================================================================

31. x3270x1803

1

x180

x90 ooo

o

−=−→=−−

=========================================================================================32.

=========================================================================================

33.

x = 40º + 30º

11

7x = 180 ⋅ 5 – 5x

12

5180x

⋅= x = 75º

15

2x = 90º

x = 45º

110º

110º

70º

20º

40º

40º

40º

20º

E

x

A BE

x

A B

x = 70º

=========================================================================================

34.

x = 20º + 40º

x = 60º

=========================================================================================

35.

x = a + 30

2x = a + 80

2(a + 30º) = a + 80º

2a + 60º = a + 80º

a = 20º

x = 20º + 30º

x = 50º

=========================================================================================

36. a) V b) V c) V d) F e) V f) V g) V h) V i) V

=========================================================================================

37. E.

=========================================================================================

38. a) F b) V c) F d) F e) V f) V g) F h) F i) F

=========================================================================================

39. E.

=========================================================================================

40. P(A) = {∅, {7}, {8}, {9}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {7, 8, 9}}

=========================================================================================

41. E.

=========================================================================================

42. x = 2

y = 2 ou 3

=========================================================================================

43. B.

12

A B

100

C

2050

3010

40

10

40

x

A B

280 - x

70

500

100180

250 - x

150

=========================================================================================

44. B.

=========================================================================================

45. C.

=========================================================================================

46. C.

n = 35 + 21 + 71 + 31

n = 158

=========================================================================================

47. C.

x + 25 + 55 + 40 = 200 x = 80

=========================================================================================

48. U = 300

R = 40

=========================================================================================

49. C. 500 = 280 – x + 7x + 250 – x + 70

x = 600 – 500

x = 100

13

H M

O 15

7 11

x

A B

50 - x70 - x

=========================================================================================

50. B.

=========================================================================================

51. B. 80 = 70 – x + x + 50 – x

x = 120 – 80

x = 40

14