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Departamento de Matemática Pura e Aplicada - UFRGSLista de Exercícios de MAT01032 - Área 1

Prof. João Batista Carvalho

1 de março de 2016

2

Principais funções nativas no Scilab para uso em Cálculo Numérico (use help nomepara saber mais)

abs valor absoluto para reais e módulo para complexosacos arcocosseno em radianos

acosh arcocosseno hiperbólicoasin arcosseno em radianos

asinh arcoseno hiperbólicoatan arcotangente em radianos

atan2 arcotangente de 4 quadrantes, em radianosceil menor inteiro maior ou igual a um número real

conj conjugado de um número complexocontour plota curvas de nível em janela gráfica

cos cosseno de arco em radianoscosh cosseno hiperbólicocotg cotangente de arco em radianosexp exponencial com base de Eulerexp exponencial matricial

feval avalia uma função sobre os elementos de um arrayfloor maior inteiro menor ou igual a um número real

interp avalia splines cúbicos e suas derivadasintg integração numérica (técnica desconhecida)log logaritmo natural

log10 logaritmo decimallog2 logaritmo bináriomax valor máximo de um array

maxi posição onde max ocorre pela primeira vezmesh plota superfícies em janela gráfica

min valor mínimo de um arraymini posição onde min ocorre pela primeira vez

modulo resto da divisão inteiraplot plota arrays em janela gráfica

plot2d plota arrays em janela gráfica, com opçõespoly define polinômio literal

power potência real

round arredonda para inteiro mais próximosign função sinal (derivada da função módulo)sin seno de arco em radianos

sinh seno hiperbólicosqrt raiz quadrada

splin calcula inclinações de spline cúbicotan tangente de arco em radianos

tanh tangente hiperbólica

unid Planeje/registre aqui seu trabalho nesta lista

11.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3.1 1.3.21.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6

2

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9 2.1.102.1.11 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.92.2.10 2.2.11 2.2.12 2.2.13 2.2.14 2.2.15 2.2.16 2.2.17 2.2.182.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10

2.3.11 2.3.12 2.3.13 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

33.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2.1 3.2.2 3.2.33.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.73.3.8 3.3.9 3.3.10 3.3.11 3.3.12

Capítulo 1

Introdução à computação científica - MAT01032 UFRGS

1.1 Matemática Básica e Fundamentos

Exercício 1.1.1 : Avaliando expressões numéricas

Em Matemática Numérica, identificar operações ponto-flutuante inválidas, ou mesmo vá-lidas, mas cuja resposta não faz sentido contextual, é fundamental para garantir a consis-tência lógica dos procedimentos criados para solução de problemas. Avalie as expressõesabaixo (y) para os valores x indicados, interpretando a resposta dada pela ferramenta com-putacional. Complete a tabela com o valor encontrado ou, caso a avaliação não faça sentido

para o x pedido, escreva NaN (do inglês Not A Number). Esse é o momento para exerci-tar regras básicas sobre ordem de prioridade na avaliação, e aplicabilidade (domínio) deoperações algébricas e transcendentes.

expressão x = −3 x = 0 x = 3

y =1

1 + x+ ln(1 + πx)

y =x

1 + x2

y =x+ 2

cos(πx)

y = |x|2/5 + (3x)1/3

y = x−2e2x/5

y = 2x/3 + 5x/3

Exercício 1.1.2 Avalie as expressões abaixo para o valor de x indicado

expressão x y

y =(x− 3)(x− 4)

(x+ 3)(x+ 1)1.4

y =xe2x

x+ 11.1

y =(3− x2)(1 + 2/x2)

x(x+ 1)0.9

y = cos(x2) + sin2(x) π/2

y = 1 +3

2x−3

Exercício 1.1.3 : Potenciação não-inteira (Scilab: uv pode ser feita via u**v ou u ∧ v)

Em uma máquina digital, potenciação não-inteira de um número real pode ser feita viaxr = exp(r ln(x)), onde o logaritmo natural ln(·) normalmente é referido por log. Por essarazão, na maioria das ferramentas computacionais, a potenciação é inválida se a base fornegativa. Em Scilab, tal restrição não existe, pois aritmética de números complexos é sempreusada; PORÉM, cuidado deve ser tomado quando x é negativo. Preencha e interprete.

operação resultado operação resultado(−2.1) ∗ ∗(−3.1) (-2.1)**(-3.00001)(−2.1) ∗ ∗(−3.01) (-2.1)**(-3.000001)(−2.1) ∗ ∗(−3.001) (-2.1)**(-3.0000001)(−2.1) ∗ ∗(−3.0001) (-2.1)**(-3.0)

3

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA - MAT01032 UFRGS

1.2 Técnicas computacionais e algorítmicas

Exercício 1.2.1 : Método, algoritmo e programa.

A solução de problemas em Matemática Numérica compreende 3 níveis, fases ou etapas:

• Método: a fundamentação matemática é estabelecida; envolve equacionamentos e as-sociação de variáveis a grandezes físicas relevantes a tal solução.

• Algoritmo: o caminho até tal solução é descrito como uma sucessão de sub-tarefas,em determinada ordem, e decisões adequadas as respostas dessas sub-tarefas. A fun-damentação lógica é mais importante nesta etapa.

• Programa: a sucessão de tarefas algorítmicas é implementada em uma máquina digital,através do uso de alguma linguagem de programação ou ambiente computacional.

Por procedimento, entendemos qualquer combinação entre as etapas acima.

PEDE-SE: considerando o problema de encontrar raízes para a equação ax2+bx+c = 0,onde a 6= 0, descreva as 3 fases mencionadas acima.

Exercício 1.2.2 : Métodos Diretos versus Iterativos.

Em Matemática Numérica, quando a solução de um problema pode ser encontrada (cal-culada) após um número finito de operações em aritmética de máquina, o método (pro-cedimento) é dito ser Direto. Ao contrário, nos métodos (procedimentos) Iterativos, umasequência de aproximações para a solução, pretensamente cada vez melhores, é gerada,cabendo ao próprio procedimento decidir (validar) quando uma solução satisfatoria já foiencontrada, e então a iteração pode parar.

Considere o problema de avaliar s =∞∑

i=0

Li, onde L = 1/3.

s = 1 +1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729+ . . .

Enquanto o método direto indica a resposta s =1

1− 1/3= 1.5, baseado em resultado clás-

sico sobre soma de progressões geométricas decrescentes, o método iterativo desenvolve-sebaseado nos experimentos a seguir:

(a) Calcule as somas progressivas sn =

n∑

i=0

Li, ou seja:

s0 = 1 s4 = 1 +1

3+

1

9+

1

27+

1

81

s1 = 1 +1

3s5 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243

s2 = 1 +1

3+

1

9s6 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729

s3 = 1 +1

3+

1

9+

1

27s7 = 1 +

1

3+

1

9+

1

27+

1

81+

1

243+

1

729+

1

2187e preencha a tabela abaixo (até a quinta casa decimal):

n sn n sn n sn0 3 61 4 72 5 8

(b) Por outro lado, o que você sabe sobre limn→∞

sn ?

(c) Mostre que essas quantidades satisfazem a recorrência abaixo1 .{

s0 = 1

sn+1 = 1 +sn3, n = 0, 1, 2, 3, . . .

(d) use a parte (c) para avaliar a sequência da parte (a) iterativamente, e calcule s20.

Exercício 1.2.3 : Aproximação de Pi via Série de Leibniz.

Em Matemática Numérica, um método é Determinístico se, fixados os dados de um pro-blema, e a máquina que irá resolvê-lo, os resultados sempre serão os mesmos. Por outrolado, nos métodos Probabilísticos, mesmo fixando os dados e a máquina, os resultados sãodiferentes a cada execução. Por exemplo2, uma estratégia Determinística para a aproxima-ção da constante π, baseia-se em um resultado bastante conhecido do Cálculo Diferencial:

Arctan(x) = x− x3

3+

x5

5− x7

7+

x9

9+ . . .+ , x ∈ [−1, 1]

o que então implicaπ

4= Arctan(1) = 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9+ . . .+

Para um inteiro n dado, seja sn o valor da soma dos n primeiros termos da série doarctan(1), multiplicado por 4. Preencha a tabela, usando Scilab ou outro recurso com-putacional.

n sn n sn5 10

15 20

Exercício 1.2.4 : Potenciação Inteira

1no caso geral, mostre que seria sn+1 = 1 + L · sn2veja http://www.mat.ufrgs.br/∼carvalho/mat01169/calc_pi1 para exemplo de estratégia probabilística

1.3. ARITMÉTICA DE MÁQUINA, ERROS, PRECISÃO E EXATIDÃO 5

Em uma máquina digital, estratégia especial é usada para avaliar xn usando muito menosdo que os n− 1 produtos da estratégia mais intuitiva. Um bom exemplo é x8, que pode seravaliado usando apenas 3 produtos: x → x · x → x2 · x2 → x4 · x4. Leia mais sobre issoem estudo disponibilizado na página de internet da turma 3, e preencha as tabelas abaixo,para x13 e x11 respectivamente.

k y z13 1 x

k y z11 1 x

Exercício 1.2.5 : Avaliação de polinômios, parênteses e o algoritmo de Horner

Sobre a avaliação computacional eficiente de polinômios y = anxn + an−1x

n−1 + . . .+a1x + a0 de coeficientes reais,onde x é um número real, an é real não-nulo, e n é umnúmero inteiro positivo, o algoritmo de Horner consiste em agrupar os termos da equaçãopolinomial, usando parênteses em uma expressão aninhada

y = a0 + x(a1 + . . .+ x(an−3 + x(an−2 + x(an−1 + xan))) . . .)Algoritmo Horner (n, (cn, . . . , c0), x)P1: bn ← an;P2: Para k = n, n− 1, . . . , 2, 1 faça bk−1 ← ak−1 + x · bk;Retorne b0;Essa estratégia de avaliação requer apenas 2n operações ponto-flutuante, e não usa po-

tenciação. Portanto, uma benfeitoria bastante conhecida é escrever polinômios na forma

aninhada, para diminuir o número de operações necessárias para sua avaliação. Em cadaum dos casos abaixo, re-escreva na forma aninhada:

(a) y = 3.2x4 − 2.1x3 + x2 − 3.2x+ 6.6(b) y = 3.2x6 + 2.3x3 + 3.2x2 + 2.6(c) y = x3 − 2.1 + 1.3x2 + 3.4x5

1.3 Aritmética de máquina, erros, precisão e exatidão

Exercício 1.3.1 : Precisão na base decimal.

No computador, números reais são representados usando um sistema de representaçãochamado sistema ponto flutuante. O sistema de uso consagrado segue o padrão IEEE(criado 1985, atualizado 2008), considerado nas definições a seguir.

3http://www.mat.ufrgs.br/∼carvalho/mat01169/avalia_pot

Um número ponto-flutuante não-nulo normalizado x em base 2 tem a forma:

x = (−1)s0.1d2d3 . . . dp2E , di = 0 ou 1, 2 ≤ i ≤ p (1.1)

ou seja, ele é representado pelos p algarismos binários (s, d2, d3, . . . , dp) e por uma potênciaE, também em binário. De outra forma,

x = ±M2E

onde M é a mantissa, E é o expoente, p é o parâmetro de precisão. Pelo padrão IEEE, oexpoente E pode ser qualquer número inteiro entre um mínimo L e um máximo U . Valoresrecomendados são

• precisão simples: p = 24, L = −126, U = 127

• precisão dupla: p = 53, L = −1022, U = 1023.

No ambiente Scilab, precisão dupla é adotada por padrão. Uma vez que a base decimalé a que compreendemos e vivenciamos, é importante conhecermos a quantos algarismosdecimais (dígitos) corresponde o padrão p = 53 em binário. Usando format, em Scilab,podemos estabelecer quantos dígitos são mostrados na tela do computador.

PEDE-SE: Descubra como format funciona, e também o número máximo de casas signi-ficativas corretas que a mantissa de um número real precisão dupla pode ter, imprimindo asdízimas periódicas 1/3 e 1/9 em Scilab.

Exercício 1.3.2 : Perda da exatidão por subtração catastrófica

Erros computacionais de 2 fontes conhecidas são os mais preponderantes em MatemáticaNumérica:

• erros de arredondamento: ocorrem devido a limitações da aritmética de máquina(dentre as quais a própria natureza finita da precisão p), e está presente mesmo nasoperações mais básicas como somar, subtrair, multiplicar e dividir.

• erros de truncamento: ocorrem devido a complexidade de algumas operações mate-máticas, que normalmente têm implicito algum processo de limite.

Um procedimento é tanto mais exato quanto menos erros computacionais afastarem sua res-posta da resposta teórica do problema. Uma situação onde erros de arredondamento podemprovocar substancial perda na exatidão de uma resposta é quando uma soma ponto-flutuanteacarreta subtração de duas quantidades muito próximas uma da outra. Este fenômeno émuitas vezes chamado subtração catastrófica.

Considere a avaliação computacional de y =√

1 + x2 − 1 para valores de x com mag-nitude muito pequena. Considere também a avaliação da expressão associada:


z =x2

√1 + x2 + 1

(a) Determine z a partir de y e mostre que essas quantidades, teoricamente, são iguais.

(b) Complete a tabela abaixo usando notação científica (use format )

x y z10−1 4.98756211208895D-03 4.98756211208903D-0310−2

10−3

10−4

10−5

10−6

(c) Conclua que a expressão de y permite perda de exatidão devido a subtração catastrófica,ao passo que a expressão de z não sofre de problema semelhante, sendo um melhoramentoou benfeitoria para a expressão de y. De uma maneira geral, benfeitorias são obtidas atra-vés de manipulação algébrica nas expressões que tem problema de subtração catastrófica,nas situações onde tal é possível.

Exercício 1.3.3 : Benfeitoria para Fórmula de Báskara.

Em vistas ao problema de perda de exatidão por subtração catastrófica, é sabido que talproblema existe na avaliação da Fórmula de Báskara

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a,

no cálculo da raíz de menor magnitude, quando o produto ac é próximo de zero, e então√

b2 − 4ac ≈ |b|. Por outro lado, sabida benfeitoria usa a propriedade que o produto dasraízes x1 e x2 satisfaz x1x2 = c/a, e determina

x1 =−b− sgn(b)

√b2 − 4ac

2a, x2 =

c

ax1.

PEDE-SE: Dado um número real α tal que −1/2 ≤ α ≤ 1/2 queremos calcular, com

MÁXIMA exatidão, as soluções x1 e x2 de α =x

1 + x2. Pede-se que você indique (ex-

pressão analítica) e calcule tais soluções preenchendo a tabela abaixo no formato de notaçãocientífica (use format("e",20) em Scilab).

α x1 x2

10−1

10−2

10−3

10−4

10−5

10−6

10−7 9.9999999999999D+06 1.0000000000000D-0710−8

0 0 —

Exercício 1.3.4 : Benfeitoria em ambiente Scilab

Para a avaliação numérica, com maior exatidão possível, da expressãoz = cos2(h)− 1 + sen (h),

onde h é um número real, benfeitoria é necessária para remover possível subtração catas-trófica. Determine essa benfeitoria e use-a para completar a tabela abaixo, com a maiorexatidão possível. Em Scilab, use format("e",20) para melhor representação, no formato denotação científica.

h z h z10−2 10−7

10−3 9.9899983366668E-04 10−8

10−4 10−9

10−5 10−10

10−6 10−11 9.9999999999000E-12


Subtração catastrófica é esperada na avaliação, em aritmética de máquina, da expressãoy = 1− |1− x|3, nas situações em que a magnitude de x é pequena. Indique como avaliaressa expressão com máxima exatidão, e preencha a tabela abaixo (use format("e",20) emScilab) usando sua estratégia

x y x y100 10−8

10−1 10−9

10−2 10−10

10−3 10−11

10−4 10−12

10−5 10−13

10−6 10−14

10−7 10−15

1.4. CONVERGÊNCIA VERSUS MEDIDA DO AUMENTO DA EXATIDÃO 7


Subtração catastrófica é esperada na avaliação, em aritmética de máquina, da expressãoy = 1− |1− p|3/2, nas situações em que a magnitude de p é pequena. Indique como avaliaressa expressão com máxima exatidão, e preencha a tabela abaixo (use format("e",20) emScilab) usando sua estratégia

p y p y100 10−7

10−1 10−8

10−2 10−9

10−3 10−10

10−4 10−11

10−5 10−12

10−6 10−13

1.4 Convergência versus medida do aumento da exatidão

Exercício 1.4.1 : classificando o aumento da exatidão

Métodos iterativos convergentes podem ser classificados quanto à rapidez com que suaconvergência ocorre. Classicamente, para um método que produz uma sequência {xn} →x∗, a resposta exata, dizemos que a ordem de convergência é p quando, para algum c 6= 0,|xn − x∗| ≈ c|xn−1 − x∗|p. Assim, classificamos a convergência como sendo:

• linear: se p = 1;

• sublinear: se 0 < p < 1;

• superlinear: se p > 1, e ainda os casos particulares quadrática, quando p = 2 ecúbica, quando p = 3.

Por outro lado, usando a medida logarítmica da exatidão

δn = digse(xn−1, xn) = − log10

(

2|xn−1 − xn||xn|

)

,

já considerando que x∗ normalmente não é conhecido a priori, sabemos que

• convergência linear: equivale a δn ≈ δn + β, onde δ é o acréscimo da exatidão poriteração;

• convergência sublinear: equivale a ter um gráfico δn versus n voltado para baixo(abaixo de suas tangentes);

• convergência superlinear: equivale a ter um gráfico δn versus n voltado para cima(acima de suas tangentes);

com atenção para os casos particulares:

• p = 2 equivale a ter δn ≈ 2δn−1 + β para algum β 4;

• p = 3 equivale a ter δn ≈ 3δn−1 + β para algum β 5;

para convergência quadrática e cúbica, respectivamente.

PEDE-SE: analise e classifique a convergência das seguintes sequências. Encontre, ana-liticamente, o respectivo limite como expressão de u.

(a)

{

u = 11 , x0 = 1

xn+1 =√

u/xn , n = 0, 1, 2, 3, . . .

(b)

u = 13 , x0 = 1

xn+1 =2√

u/xn + xn

3, n = 0, 1, 2, 3, . . .

(c)

u = 17 , x0 = 1

xn+1 =2x3

n + u

3x2n

, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Exercício 1.4.2 : Aumento da exatidão: cálculo de Pi segundo Arquimedes

A idéia de Archimedes (c. 200 AC) para o cálculo de π hoje traduz-se (Método dasMédias) num procedimento baseado na seguinte recursão:

a1 = 3√3, b1 = 3

√3/2

an+1 =2

1/an + 1/bn, bn+1 =

√

an+1bn , n = 1, 2, 3, . . .

Avalie os 20 primeiros termos dessa recursão em Scilab; defina xn = (an + bn)/2 e monteuma tabela (n, xn, digse(xn−1, xn)) e então classifique esse método quanto ao aumento daexatidão.

Exercício 1.4.3 : Aumento da exatidão: inversão de um número

Um método que pode ser usado para calcular o inverso de um número u ∈ (0, 1) dado

é escrever x = 1/u como x =1

1− q= 1 + q + q2 + q3 + q4 + . . . e então aproximar

x pelos termos parciais xn da soma da progressão geométrica infinita acima, que convergepois |q| = |1 − u| < 1. Mostre que xn+1 = 1 + q · xn. Para u = 0.67, encontre tal PGe calcule x0, x1, x2, . . . , x9 em Scilab, fazendo uma tabela (n, xn, δn), onde δn é a medidada exatidão em digse. Classifique a convergência.

4exatidão em digses aproximadamente dobra de uma iteração para outra5exatidão em digses aproximadamente triplica de uma iteração para outra


Exercício 1.4.4 : Aumento da exatidão: avaliação de logaritmo natural

Um antigo resultado (C.W. Borchardt, 1881) estabeleceu o cálculo de ln(x) usando oMétodo das Médias: se x e y são positivos, então a recursão

a1 =x+ y

2; g1 =

√xy

an+1 =an + gn

2; gn+1 =

√an+1gn , n = 1, 2, 3, . . .

é tal que o limite comum de {an} e {gn} é a quantidade6 L(x, y) =x− y

ln(x)− ln(y). Dessa

forma, fazendo y = 1, temos que ℓn =x− 1

an→ ln(x). Para x = 2.34, avalie essa recursão,

fazendo uma tabela (n, ℓn, δn), onde δn é a medida da exatidão em digse. Classifique aconvergência.

Exercício 1.4.5 : Aumento da exatidão: avaliação de logarítmo natural

Recentemente, B. Carlson 7, mostrou como acelerar a convergência do Método de Bor-chardt para a aproximação de ln(x), usando técnica de extrapolação no limite. Seu resultadoestabelece que: se x e y são positivos, então a recursão

a1 =x+ y

2; g1 =

√xy u1 = (a1 + 2g1)/3

an+1 =an + gn

2; gn+1 =

√an+1gn; un =

an + 2gn3

, i = 1, 2, 3, . . .

é tal que {un} → L(x, y) =x− y

ln(x)− ln(y)mais rapidamente. Dessa forma, fazendo y = 1,

temos que ℓn =x− 1

un→ ln(x). Para x = 2.34, avalie essa recursão, fazendo uma tabela

(n, ℓn, δn), onde δn é a medida da exatidão em digse. Classifique a convergência.

Exercício 1.4.6 : Aumento da exatidão: aproximação de números irracionais

É sabido que, sendo p0 = q0 = 1,{

pn = pn−1 + 2qn−1

qn = pn−1 + qn−1

para n = 1, 2, 3, . . ., então xn = pn/qn →√2. Calcule, em Scilab, as 12 primeiras

aproximações de√2 por este método, e classifique-o quando ao aumento da exatidão.

6conhecida como média logarítmica entre dois números x e y.7B.C. Carlson, The Logarithmic Mean. The American Mathematical Monthly, (79), nr. 6, pp. 615-618.

Capítulo 2

Solução Numérica de equações não-lineares - MAT01032 UFRGS

2.1 Localização, Enumeração e Separação

Exercício 2.1.1 No contexto dos problemas de raízes: encontrar x tal que f(x) = 0, quatroetapas sobressaem:

• localização: encontramos um intervalo [a, b] que contenha TODAS as raízes desejadas,para que métodos numéricos possam re-inicializar toda vez que saírem desse intervalo;

• enumeração: dado um intervalo I , encontramos o número de raízes de f(x) = 0 queestão em I , incluindo multiplicidades 1;

• separação: para cada raiz desejada, encontramos um intervalo que lhe seja exclusivo,para que o método numérico, depois de ser inicializado em tal intervalo, não aproximeoutras raízes;

• CN propriamento dito: raíz será o limite de aproximações em aritmética ponto-flutuante, via métodos iterativos.

PEDE-SE: Localize, e então enumere e separe, usando plotagem em intervalos adequados,as raízes reais de 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 − 5x + 1 = 0. Apresente a Tabela 2.1 com suaresposta.

Exercício 2.1.2 : Localização de raízes polinomiais. Um resultado muito simples2 asse-gura que as raízes de uma equação polinomial anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 = 0,onde n > 1, an 6= 0 satisfazem

|x| ≤ L = 1 +max{|an−1|, |an−2|, . . . , |a1|, |a0|}

|an|1uma raiz r de f(x) = 0 tem multiplicidade µ quando f(x) = (x− r)µg(x), onde g(r) 6= 02chamaremos de Cota básica.

multip intervalo multip intervalo

Tabela 2.1: Tabela de separação de raízes.

e então basta procurarmos por raízes no intervalo [a, b] = [−L,L]. PEDE-SE: Localize,e então enumere e separe usando plotagem no intervalo [−L,L], todas as raízes reais de405x2 + 108x3 = 560 + 264x + 81x4. Mostre que as raízes positivas são simples 3 , e anegativa é dupla. Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

Exercício 2.1.3 A Regra da Lacuna é um resultado que garante que uma equação polino-mial p(x) = 0 possui ao menos 1 par de raízes imaginárias; desta forma, pode ajudarna enumeração de suas raízes reais múltiplas. Regra: se os coeficientes de p(x) foremtodos reais E (i) para algum k com 1 ≤ k < n , ak = 0 e ak−1 · ak+1 > 0 OU(ii) existem dois ou mais coeficientes nulos sucessivos4, então p(x) = 0 tem ao menos 1par de raízes imaginárias conjugadas. PEDE-SE: Localize usando a Cota básica, e en-tão enumere e separe, usando plotagem em intervalos adequados, todas as raízes reais de27x5 + 9x3 − 676x2 + 1328x− 704 = 0 . Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

3r é simples quando µ = 1, é dupla quando µ = 2, é tripla quando µ = 3, e assim por diante. No caso ímpar,ao contrário do par, a função anula-se trocando de sinal na raiz, e a visualização gráfica então permite distinguirentre esses dois casos. Outra dica: a tangência (derivada) do gráfico em raiz múltipla é sempre nula.

4esse subcaso frequentemente é chamado Regra da Lacuna Dupla

9

10 CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES - MAT01032 UFRGS

Exercício 2.1.4 Localize, e então enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as raízes reais da equação x7− 2x6 +3x+2 = 0. Preencha a Tabela 2.1 com suaresposta.

Exercício 2.1.5 Para encontrar as dimensões do triângulo isósceles que circunscreve umcírculo de raio R e tem o dobro de sua área:

(a) Sendo h a altura do triângulo, mostre que sua área é dada por

A =ρ2R2

√

ρ2 − 2ρ, onde ρ =

h

R> 2.

(b) Mostre que A = αR2 implica ρ3 − α2ρ+ 2α2 = 0(c) Para α = 2π, faça o gráfico em Scilab de f(ρ) = ρ3 − α2ρ + 2α2 e verifique que

existem duas raizes de interesse, que elas são simples , e que estão nos intervalos [2, 2.5] e[4.5, 5], respectivamente.

Exercício 2.1.6 Localize, e então enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, os pontos estacionários 5 reais de

y =x6

6− 2x5

5− 3x2

2+ 2x+ 1 = 0.

Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

Exercício 2.1.7 Queremos encontrar a distãncia do ponto P (3,−1) à curva x2 − y2 =1, x ≥ 1. 6 Mostre que a solução resolve, para x > 1, o problema de raízes

4x− 6− 2x√x2 − 1

= 0.

Localize, enumere e separe suas possíveis soluções.

Exercício 2.1.8 Localize, e então enumere e separe usando plotagem em intervalos adequa-dos, as duas raízes reais de menor magnitude da equação x cos(x)− ln(|x|) = 0. Preenchaa Tabela 2.1 com sua resposta.

Exercício 2.1.9 Localize, e então enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as raízes negativas de cos(x) − 3x ln(|x|) = 0. Preencha a Tabela 2.1 com suaresposta.

Exercício 2.1.10 Localize, e então enumere e separe, usando plotagem em intervalos ade-quados, as 2 raízes reais positivas de menor magnitude de tan(x) − exp(cos(x)) = 0.Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

5pontos estacionários são pontos onde a derivada (ou o vetor gradiente) é nula(o). Encontrá-los é a primeiraetapa da tarefa clássica de otimização de uma função de uma ou várias variáveis. Revise suas notas de CálculoDiferencial se houver deficiência conceitual nesse tópico.

6menor distância entre um ponto P fixo e um ponto M móvel que descreve uma trajetória hiperbólica.

Exercício 2.1.11 Localize, e então enumere e separe todos os pontos estacionários de y =ln(1 + x2)

2− sen (x) no intervalo [30π, 32π]. Preencha a Tabela 2.1 com sua resposta.

2.2 Método de Newton-Raphson

Exercício 2.2.1 O Método de Newton-Raphson para encontrar soluções de f(x) = 0 podeser aplicado nas situações onde a função derivada f ′(x) é conhecida, e a partir de umaaproximação x0 da raíz r:

x0 aproximação inicial

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn), n = 0, 1, 2, 3, . . .

PEDE-SE: calcule as raízes do Exercício 2.1.1, com 5 casas significativas corretas, usandoesse método. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s)resposta(s), e classifique a convergência.

Exercício 2.2.2 No contexto do Exercício 2.1.5: PEDE-SE: (a) Defina f(ρ) = ρ3 − α2ρ+2α2, para α = 2π, e mostre que, dado ρ0 ∈ R:

ρn+1 = ρn −ρ3n − α2ρn + 2α2

3ρ2n − α2, n = 0, 1, 2, 3, . . .

é a respectiva iteração de Newton-Raphson.

(b) Encontre as dimensões do(s) triângulo(s) isósceles que circunscreve(m) um círculo deraio R e tem o dobro de sua área, fazendo ρ0 = (2 + 2.5)/2 , ρ0 = (4.5 + 5)/2, e iterandoa expressão acima. Apresente as tabelas de aproximações, com coluna δn para a medida daexatidão7, e classifique a convergência em cada caso.

Exercício 2.2.3 Encontre, com 5 casas significativas corretas em seus coeficientes, as equa-ções das retas que passam pelo ponto P (0, 1) e são ortogonais à curva xy = 1, usando ométodo de Newton Raphson. Um resultado bastante conhecido é que o Método de Newton-Raphson possui convergência quadrática (aumento quadrático da exatidão) quando a raizé simples. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s)resposta(s), e comprove sobre o aumento da exatidão.

Exercício 2.2.4 (trajetória de escape) Encontre, com 5 casas significativas corretas emseus coeficientes, a(s) eq. da(s) reta(s) que tangencia(m) a curva y = x + 1/x2 e quepassa(m) pelo ponto R(3, 1). Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricasconvergindo a sua(s) resposta(s).

7a medida δn = digse(ρn−1, ρn) já foi definida na subseção 1.4

2.2. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 11

Exercício 2.2.5 Duas variaveis x e y relacionam-se segundo

y =x6

6− 2x5

5− 3x2

2+ 2x+ 1 = 0.

(a) usando a localização do Exercício 2.1.6, e o método de Newton-Raphson, encontre(com 5 casas corretas) todos os pontos estacionários (reais) de y;

(b) encontre o máximo e o mínimo absolutos de y no intervalo [−3, 3].

Exercício 2.2.6 Pode-se demonstrar que o método de Newton-Raphson sempre convergirápara raízes simples, MAS desde que a aproximação inicial x0 seja suficientemente próximada raíz r, ou seja, estabelece uma condição LOCAL para convergência. Por outro lado, oCritério de Fourier estabelece condição GLOBAL para convergência de Newton-Raphson,ou seja, para quaisquer x0 em determinada região da reta real.

Critério de Fourier: uma condição suficiente para a convergência do método de Newton-Raphson para a solução de f(x) = 0 é que x0, a aproximação inicial, seja escolhida talque f(x0)f

′′(x0) > 0.

PEDE-SE: no contexto de resolver x−3 + x2 = u para u positivo dado:(a) Mostre que o valor mínimo absoluto de x−3 + x2 é igual a (5/2)(2/3)3/5 ≈

1.9601317. Portanto, esse é o menor valor que u pode ter para que existam raizes reaispara a equação acima. Por simplicidade, considere u > 2.

(b) Sendo f(x) = x−3+x2−u, mostre que u−1/3 ≤ 2−1/3 < 1 e que f(u−1/3) > 0 masf(1) < 0, e conclua a existência de uma raiz real positiva no intervalo (u−1/3, 1). Tambémmostre que f(

√u) > 0 e conclua a existência de uma raiz real positiva no intervalo (1,

√u).

(c) Mostre que o critério de Fourier garante que as soluções positivas de1

x3+x2 = u > 2

sempre podem ser encontradas via

x0 = u−1/3

xn+1 = xn −1/x3

n + x2n − u

2xn − 3/x4n

, n = 0, 1, 2, 3, . . .

e

x0 = u1/2

xn+1 = xn −1/x3

n + x2n − u

2xn − 3/x4n

, n = 0, 1, 2, 3, . . .

respectivamente. Apresente sequência de aproximações convergindo as soluções correspon-dentes a u = 17.

Exercício 2.2.7 A água que acumula-se no interior de um reservatório esférico de raio Rtem altura h. Mostre que o volume da massa de água represada é dado por

V = πR3

(

µ2 − µ3

3

)

, onde µ = h/R,

e encontre o valor de h que corresponde a 90 porcento do volume total. Qual a percentagemem relação à altura máxima ?

Exercício 2.2.8 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método deNewton-Raphson e a localização do Exercício 2.1.4, a raiz negativa de x7−2x6+3x+2 =0. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s) res-posta(s).

Exercício 2.2.9 Encontre as raízes da equação ex−x3− 7 = 0, com 5 casas significativascorretas, usando o Método de Newton-Raphson. Apresente (tabela) sequência de aproxi-mações numéricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exercício 2.2.10 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método deNewton-Raphson e a localização do Exercício 2.1.8, as duas raízes de menor magnitudede x cos(x) − ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas con-vergindo a sua(s) resposta(s).

Exercício 2.2.11 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método deNewton-Raphson e a localização do Exercício 2.1.9, todas as raízes reais de cos(x) −3x ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo asua(s) resposta(s).

Exercício 2.2.12 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método deNewton-Raphson e a localização do Exercício 2.1.10, as 2 raízes positivas de menor mag-nitude de tan(x)− exp(cos(x)) = 0. Apresente (tabela) sequência de aproximações numé-ricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exercício 2.2.13 O método de Newton-Raphson converge apenas linearmente para raízesmúltiplas. Para trazer de volta o aumento quadrático, devemos aplicar o método de NewtonModificado:

x0 aproximação inicial

xn+1 = xn − µf(xn)

f ′(xn), n = 0, 1, 2, 3, . . .

que convergirá quadraticamente para raíz r de multiplicidade µ.PEDE-SE: Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método de Newton-

Raphson e a localização do Exercício 2.1.2, todas as raízes reais de 405x2 + 108x3 =560+264x+81x4. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindoa sua(s) resposta(s).

Exercício 2.2.14 Considere a equação 36x5 + 93x4 − 11x3 − 20x2 + x+ 1 = 0.(a) Localize, enumere e separe todas as suas raízes. Mostre seus cálculos.(b) Encontre todas as suas raízes, com 5 casas significativas exatas. Apresente tabela

(n, xn) comprovando a convergência a cada raiz encontrada.


Exercício 2.2.15 Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método deNewton-Raphson e a localização do Exercício 2.1.11, todos os pontos estacionários de

y =ln(1 + x2)

2− sen (x) no intervalo [30π, 32π]. Apresente (tabela) sequência de aproxi-

mações numéricas convergindo a sua(s) resposta(s). Encontre o máximo e o mínimo abso-luto de y neste intervalo.

Exercício 2.2.16 Duas variáveis R e γ relacionam-se por R =eγ − 2γ

1 + eγ.

(a) Encontre a equação satisfeita pelos pontos estacionários de R;(b) Localize, enumere e separe todos os pontos estacionários de R;(c) Encontre, usando o método de Newton-Raphson, todos os pontos estacionários de R,

com 5 casas corretas;(d) Encontre o mínimo absoluto de R no intervalo [0, 10], e o respectivo valor de γ.

Exercício 2.2.17 Encontre a equação da circunferência, com centro na origem, que é tan-gente à curva y = ex. Apresente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

Exercício 2.2.18 Encontre a altura de um triângulo inscrito em uma circunferência de raioR, cuja hipotenusa é um diâmetro dessa circunferência, e cujo perímetro é 9R/2. Apresente(tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

2.3 Método da Secante

Exercício 2.3.1 O Método das Secantes para encontrar soluções de f(x) = 0 pode seraplicado nas situações onde a função derivada f ′(x) NÃO É conhecida 8, MAS a partir deduas aproximações DISTINTAS x−1 e x0 para a raíz r:

x−1 6= x0 aproximações iniciais

dn =f(xn)− f(xn−1)

xn − xn−1, xn+1 = xn −

f(xn)

dn, n = 0, 1, 2, 3, . . .

PEDE-SE: Dentre todos os triângulos isósceles inscritos em um círculo de raio r = 1,encontre as dimensões daquele que tem área A = 2

√3/3. Apresente (tabela) sequência de

aproximações numéricas convergindo a sua(s) resposta(s). Nota: se você usa calculadora,uma boa maneira de obter a sequência de aproximações é montando uma tabela aumentadana forma (n, xn, f(xn), dn), para n = −1, 0, 1, 2, . . ., onde d−1 não é definido.

8a quantidade f ′(xn), a inclinação da reta tangente, é aproximada pela diferença dn, que é inclinação da retasecante por (xn−1, f(xx−1)) e (xn, f(xn))

Exercício 2.3.2 Pode-se mostrar9 que no cálculo numérico da raiz r de f(x) = 0 peloMétodo da Secante, se f(r) = 0 e f ′(r) 6= 0 e f ′′(x) é contínua, então existe um intervaloaberto contento r tal que se x−1 e x0 são distintos e estão neste intervalo, então a sequência{xn} dada pelo método da Secante verifica

• xn → r;

• |xn+1 − r| ≈ c|xn − r|p, onde p = (1 +√5)/2 ∼= 1.618.

PEDE-SE: Encontre, com 5 casas significativas corretas, usando o Método da Secante ea localização do Exercício 2.1.8, as duas raízes reais de menor magnitude de x cos(x) −ln(|x|) = 0. Apresente (tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s)resposta(s), e comprove o aumento de cerca de 61% da exatidão em digses, de uma iteraçãopara outra.

Exercício 2.3.3 Encontre, com 5 dígitos significativos corretos, a distãncia do pontoP (3,−1) à curva x2 − y2 = 1, x ≥ 1 usando localização, enumeração e separação doExercício 2.1.7. Apresente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

Exercício 2.3.4 Queremos encontrar a distância do ponto P (3, 3) à trajetória T ={(x, e−x), x ∈ R}. (a) Mostre que é a distância de P a um ponto Q(x0, e

−x0) de T ,onde x0 é solução do problema de raízes x+ e−x(3− e−x)− 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 3, localize,enumere e separe suas soluções. (b) Encontre tais x0 com 5 dígitos significativas corretas,registrando suas aproximações em tabela; apresente a solução o problema.

Exercício 2.3.5 Encontre, com 5 dígitos significativos corretos, usando a localização doExercício 2.1.9, a raíz real de menor magnitude de cos(x) − 3x ln(|x|) = 0. Apresente(tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exercício 2.3.6 Encontre, com 5 dígitos significativos corretos, usando a localização ade-

quada, a duas raízes de menor magnitude da equação 4 − 2x =5

1 +√

|x|. Apresente

(tabela) sequência de aproximações numéricas convergindo a sua(s) resposta(s).

Exercício 2.3.7 Encontre a equação da circunferência, com centro na origem, que é tan-

gente à curva y = e−√

|x|. Apresente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

Exercício 2.3.8 Dentre todos os retângulos inscritos em um círculo de raio r = 1, encontre,com 5 dígitos significativos corretos, as dimensões daquele que tem perímetro P = 5.Apresente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

9Demonstração em A. Ralston, A first course in numerical analysis. New York: McGraw-Hill, 1983.

2.4. PROBLEMAS ASSOCIADOS AO CÁLCULO NUMÉRICO DE RAÍZES 13

��

��

��

��

R

x

Figura 2.1: Trissecção não radial de um círculo.

Exercício 2.3.9 Encontre, com 5 dígitos significativos corretos, as dimensões do triânguloretângulo que tem um dos catetos com dimensão unitária e cujo perímetro é P = 4. Apre-sente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

Exercício 2.3.10 A área A de uma mancha de óleo circular cresce a uma razão logarítmica

de seu raio r:dA

dt= α ln(r), onde α = 1.2π, e t é o tempo. Encontre o raio r sabendo

que ele está crescendo a uma taxa de 0.18km/s. Apresente (tabela) suas sequências deaproximações numéricas.

Exercício 2.3.11 Queremos dividir um círculo de raio R em três partes de mesma área,conforme a Figura 2.1. Encontre a área A de região inferior como função de x. Encontre x

tal que A(x) =πR2

3. Apresente (tabela) suas sequências de aproximações numéricas.

Exercício 2.3.12 (a) Localize, enumere e separe as raízes reais de 6x3 + 7 ln |x|+ 5 = 0 .(b) Encontre as referidas raízes com 5 dígitos significativos exatos; apresente uma tabela

(n, xn) comprovando a convergência para cada raiz encontrada.

Exercício 2.3.13 (a) Localize, enumere e separe as raízes reais de |2x|1/3 = exp(x− 1) .(b) Encontre raízes de (a) com 5 dígitos significativos exatos; apresente uma tabela

(n, xn) comprovando a convergência para cada raiz encontrada.

2.4 Problemas associados ao cálculo numérico de raízes

Exercício 2.4.1 : Desigualdades algébricas. Resolver desigualdades é uma tarefa co-adjuvante que acompanha o Cálculo Infinitesimal10; normalmente, aparece na determina-ção de conjuntos de valores que uma variável (ou parâmetro) pode assumir, sendo portanto

10você deve ter boas recordações da disciplina inicial de Cálculo, no caso que somente envolve polinômios

fundamental no estabelecimento do domínio de funções de uma variável real. A estraté-gia numérica mais comum é procurar todas as raízes da respectiva igualdade11 e depoisinspecionar sinais nos intervalos determinados por essas raízes.

PEDE-SE: Encontre, com 5 dígitos significativos corretos, o domínio natural da funçãoreal que associa, para −π ≤ θ ≤ π,

θ 7−→√

3

4− sen 3(θ)− cos3(θ)

que naturalmente está associada a equação γ2+ sen 3(θ)+ cos3(θ)− 34 = 0, existente entre

duas grandezas γ e θ. Apresente tabela de aproximações numéricas.

Exercício 2.4.2 : Duas variáveis x e y estão relacionadas por (y − 2)2 = x + x5 − 3.Encontre, com 3 dígitos significativos corretos, o domínio natural da função y = f(x).Apresente tabela de aproximações numéricas.

Exercício 2.4.3 : Duas variáveis x e y estão relacionadas por (y−1)3 = 1+ln(1+x+x5).Encontre, com 3 dígitos significativos corretos, o domínio natural da função y = f(x).Apresente tabela de aproximações numéricas.

Exercício 2.4.4 : Divisão ponto-flutuante. Numa máquina digital como, por exemplo, umcomputador pessoal, as operações de soma e multiplicação são feitas via circuito elétrico(hardware), na chamada CPU (Central Processing Unit ou simplesmente processador), quepossui uma unidade de soma e uma unidade de multiplicação. Não existe uma unidade dedivisão. A divisão de dois números, fundamental para o completamento das 4 operaçõesaritméticas, é feita usando somas e produtos e implementada em instruções do mais baixonível (software). Dados dois números x e y, onde a operação x/y garantidamente nãoproduza overflow, x/y é calculado como x ∗ u, onde u é o inverso multiplicativo de y,satisfazendo f(u) = 1/u− y = 0. A aplicação do Método de Newton produz

un+1 = un −1/un − y

−1/u2n

= un + (1− y · un)un.

Quando y > 0 então escolhemos u0 > 0 e menor que o valor exato de 1/y, para queentão f(u0) > 0 e f ′′(u0) = 2/u3

0 > 0, e a convergência esteja garantida pelo Critériode Fourier. Além disso, como os números a dividir têm uma representação normalizada, naverdade dividiremos apenas suas mantissas, ajustando o expoente e o sinal do resultadoobtido adequadamente. Por essa razão, em base 10, podemos sempre assumir

10−1 ≤ x, y < 1, e que implica 1 <1

y≤ 10

e podemos usar u0 = 1. PEDE-SE: calcular a divisão ponto-flutuante 12.78/2.27.

11cuidado com expressões descontínuas, desigualdades estritas, e intervalos ilimitados

Capítulo 3

Solução Numérica de Sistemas de Equações Algébricas - MAT01032

UFRGS

3.1 Sistemas de Equações Lineares Algébricas

Exercício 3.1.1 Sistemas Lineares Triangulares Infe-riores. Se A ∈ R

n×n é uma matriz não-singular comelementos nulos acima da diagonal principal, entãoum sistema linear Ax = b pode ser resolvido, algo-ritmicamente, via Substituição Direta:

Para i = 1, 2, . . . , n

xi =

bi −i−1∑

j=1

aijxj

aiiPEDE-SE: Encontre a solução numérica do sistema linear Ax = b, onde

A =

−3 0 0 0 03 2 0 0 04 3 −2 0 02 4 3 4 00 −1 2 −1 4

, b =

−3301211

Exercício 3.1.2 Sistemas Lineares Triangulares Su-periores. Se A ∈ R

n×n é uma matriz não-singularcom elementos nulos abaixo da diagonal principal,então um sistema linear Ax = b pode ser resolvido,algoritmicamente, via Substituição Reversa:

Para i = n, n− 1, . . . , 2, 1

xi =

bi −n∑

j=i+1

aijxj

aiiPEDE-SE : Encontre a solução numérica do sistema linear Ax = b, onde

A =

−3 3 4 2 00 2 3 4 −10 0 −2 3 20 0 0 4 −10 0 0 0 4

, b =

−5−1928

Exercício 3.1.3 Eliminação Gaussiana. Se A é uma matriz diagonal dominante, essa es-tratégia reduz o sistema linear Ax = b a um sistema linear Lx = b̃, onde L é uma matriztriangular superior. A solução é então obtida via substituição reversa.

Algoritmização: da primeira etapa:Para j = 1, 2, 3, . . . , n− 1 faça

Para i = j + 1, . . . , n façaµ = aij/ajjbi ← bi − µbjPara k = j, . . . , n faça aik ← aik − µajkFim-para

Fim-paraFim-para

Encontre a solução x via substituição reversa.PEDE-SE: Encontre a solução numérica do sistema linear Ax = b, onde

A =

4. 0. −1. 0.1. 3. 1. 0.0. 1. −3. 1.1. −1. 1. 4.

, b =

2.81.7−4.710.9

Exercício 3.1.4 Eliminação Gaussiana com pivotamento parcial (ou troca de linhas). Essaestratégia reduz o sistema linear Ax = b a um sistema linear Lx = b̃, onde L é uma matriztriangular superior. A solução é então obtida via substituição reversa.

Algoritmo: Eliminação Gaussiana com pivotamento parcial

15

16 CAPÍTULO 3. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - MAT01032 UFRGS

Entrada: Matriz não-singular A = (aij); vetor b = (bj);Saída: Vetor solução x = (xi) de Ax = b;

Passo 1: Para j = 1, 2, 3, . . . , n− 1 façaPasso 2: Encontre s, j ≤ s ≤ n tal que |a(s, j)| = max

j≤i≤n|a(i, j)|;

Passo 3: Troque linhas s e j da matriz A de posição, uma pela outra.Passo 4: Trocar bj e bs de posição, um pelo outro.Passo 5: Para i = j + 1, . . . , n faça

µ = aij/ajjbi ← bi − µbjPasso 6: Para k = j, . . . , n faça aik ← aik − µajk

Passo 7: Encontre a solução x via substituição reversa.PEDE-SE: Encontre a solução numérica do sistema linear Ax = b, onde

A =

4. 2. −1. 0.3. 1. 1. 0.0. 1. −3. 1.1. −1. 1. 4.

, b =

3.52.5−5.518.5

usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial de linhas. Quais foram os pivots ajjusados ?

Exercício 3.1.5 Encontre, usando eliminação gaussiana e pivotamento parcial, a soluçãonumérica do sistema de equações

x− 2y − w = −2.9−2x+ 2y − 3z = 5.73y + z − 2w = −0.4−x+ 4z + 3w = 0.3

Quais foram os pivots ajj usados em sua solução ?

Exercício 3.1.6 Encontre, usando eliminação gaussiana e pivotamento parcial, a soluçãonumérica do sistema de equações

z + 3y − 2x+ 3w + 2v = 8−x− y − w + 3v = 5

x+ y + w + v = 23y − 2z + 2w − 2v = 1

3z − y + w − v = 3

Quais foram os pivots ajj usados em sua solução ?

Exercício 3.1.7 Variáveis x e y estão relacionadas por

0.5 3 −1x2 −1 20 0 1

uyw

=

10−1

Para preencher a tabela abaixo, aplique eliminação gaussiana com pivotamento de li-nhas; mostre seus cálculos.

x 0 0.3 0.6 0.9y

3.2 Métodos Iterativos para Sistemas de Equações Linea-

res Algébricas

Exercício 3.2.1 Método de Jacobi. A idéia mais simples para resolver Ax = b: conside-rando que essa equação significa, para i = 1, . . . , n,

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aiixi + . . .+ ainxn = biisolamos cada xi:

xi =1

aii(bi − ai1x1 − ai2x2 − . . .− ai,i−1xi−1 − ai,i+1xi+1 − . . .− ainxn)

e imaginamos que aproximações, denotadas por super-escrito k, são feitas,

xk+1i =

1

aii

(

bi − ai1xk1 − ai2x

k2 − . . .− ai,i−1x

ki−1 − ai,i+1x

ki+1 − . . .− ainx

kn

)

.

Matricialmente, seja A = D+N , onde D é diagonal. Ax = b é equivalente a (D+N)x =b⇒ Dx = b−Nx e escrevemos, imaginando uma convergência xk → x, ao k →∞,

Dxk+1 = b−Nxk , k = 0, 1, 2, . . .,onde x0 é uma aproximação qualquer da solução exata. Esse método requer que a matrizdiagonal D seja não-singular, isto é, que nenhuma das quantidades aii, i = 1, . . . , n sejanula. PEDE-SE: aplique 12 iterações do método de Jacobi para resolver Ax = b, onde

A =

4. 0. −1. 0.1. 3. 1. 0.0. 1. −3. 1.1. −1. 1. 4.

, b =

2.81.7−4.710.9

Exercício 3.2.2 Aplique 12 iterações do método de Jacobi para resolver Ax = b, onde

A =

6. −2. 1. 3.2. −7. 2. 1.0. 0. 3. 1.0. 0. −1. 2.

, b =

1.18.5.−11.

Exercício 3.2.3 Convergência do método de Jacobi. Observamos que xk+1 = D−1b −D−1Nxk , k = 0, 1, 2, . . . e assim, sendo xe a solução de Ax = b,

3.3. MÉTODOS DE NEWTON PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 17

xk − xe = D−1b−D−1Nxk−1 −D−1b+D−1Nxe = D−1N(xk−1 − xe)que implica ‖xk − xe‖ ≤ ‖D−1N‖k‖x0 − xe‖ e assim xk converge a xe se e somente se(D−1N)k converge para a matriz nula, o que ocorre se e somente se todos os autovaloresλ da matriz D−1N satisfazem |λ| < 1, ou seja, se ρ(D−1N) < 1. 1 PEDE-SE: em Scilab,determine em quais casos tal iteração converge, calculando ρ(M) via max(abs(spec(M))).

(a) A =

4. 0. −1.1. 1. 1.0. 1. −2.

, b =

21−4

(b) A =

6. 0. −1.2. 2. 1.0. 2. −2.

, b =

20−4

(c) A =

4. 0. −1.1. 1. 3.0. 1. −2.

, b =

21−1

(d) A =

4. 3. −1.3. 2. 0.0. 1. −2.

, b =

2−1−1

Exercício 3.2.4 Método de Gauss-Seidel. Uma idéia mais elaborada para resolver Ax =b: observamos que ao calcularmos

xk+1i =

1

aii

(

bi − ai1xk1 − ai2x

k2 − . . .− ai,i−1x

ki−1 − ai,i+1x

ki+1 − . . .− ainx

kn

)

já são conhecidos os valores xk+11 , xk+1

2 , . . . , xk+1i−1 , que teoricamente deveriam ser melhores

aproximações do que os valores xk1 , x

k2 , . . . , x

ki−1. Dessa forma, re-escrevemos

xk+1i =

1

aii

(

bi − ai1xk+11 − ai2x

k+12 − . . .− ai,i−1x

k+1i−1 − ai,i+1x

ki+1 − . . .− ainx

kn

)

.

Assim, sendo A = L+N , onde L é a parte triangular inferior de A (incluindo a diagonal),vemos que Ax = b ⇔ (L + N)x = b ⇒ Lx = b − Nx , assim escrevemos, imaginandouma convergência xk → x, ao k →∞,

Lxk+1 = b−Nxk , k = 0, 1, 2, . . .onde x0 é uma aproximação qualquer da solução exata. Esse método requer que a matrizsubdiagonal L seja não-singular, isto é, que nenhuma das quantidades aii, i = 1, . . . , n sejanula. PEDE-SE: aplique 8 iterações desse método para resolver Ax = b, onde

A =

4. 0. −1. 0.1. 3. 1. 0.0. 1. −3. 1.1. −1. 1. 4.

, b =

2.81.7−4.710.9

Exercício 3.2.5 Aplique 8 iterações do método de Gauss-Seidel para resolver Ax = b,onde

A =

6. −2. 1. 3.2. −7. 2. 1.0. 0. 3. 1.0. 0. −1. 2.

, b =

1.18.5.−11.

1ρ(M) = max{|λ| : λ é autovalor de M} é o conhecido raio espectral de uma matriz M .

Exercício 3.2.6 Convergência do método de Gauss-Seidel. Observamos que xk+1 =L−1b− L−1Nxk , k = 0, 1, 2, . . . e assim, sendo xe a solução de Ax = b,

xk − xe = L−1b− L−1Nxk−1 − L−1b+ L−1Nxe = L−1N(xk−1 − xe)que implica ‖xk − xe‖ ≤ ‖L−1N‖k‖x0 − xe‖ e assim xk converge a xe se e somente seρ(L−1N) < 1. PEDE-SE: em Scilab, calculando raio espectral, determine em quais casosdo Exercício 3.2.3 o método de Gauss-Seidel converge.

3.3 Métodos de Newton para Sistemas de Equações Não-

Lineares

Exercício 3.3.1 Método de Newton. Entrada: função F (x); função matriz JacobianaJF (x); aproximação x0 para a solução; parâmetro de tolerância TOL. Saída: aproxi-

mação xk para a solução de F (x) =→0 .

Passo 1: Inicialização: k = 0; segue = 1;Passo 2: Enquanto segue = 1 faça

Passo 3: Resolva o sistema linear JF (xk)zk = F (xk)Passo 4: xk+1 ← xk − zk;Passo 5: k ← k + 1;Passo 5: Se TOL já foi alcançado, segue← 0;

Fim - Enquanto

Retorne xk

Ao lado temos, em um mesmo gráfico, ascurvas que compõem o sistema de equa-ções

{

4x2 + 2xy3 = 912x2y − y3 = 4

Localize, enumere, separe e encontre, peloMétodo de Newton-Raphson e com 5 dígi-tos significativos corretos, todas as raízesdesse sistema. Desafio: obtenha esse grá-fico.

Exercício 3.3.2 : Encontre as soluções numéricas do sistema de equações


k xk yk vk

Tabela 3.1: Aplicação do Método de Newton para sistemas, N=2

k xk yk zk vk

Tabela 3.2: Aplicação do Método de Newton para sistemas, N=3

{

x2 − xy + y2 = 2x+ xy2 − 3y = 1

próximas a (1; 0) e (−1;−1.5), respectivamente, usando o Método de Newton, e com 4dígitos significativos exatos. Ao aplicar o método, preencha a Tabela 3.1, onde vk é amedida contínua da exatidão (digse vetorial), e classifique a convergência.

Exercício 3.3.3 : Encontre a solução numérica do sistema não-linear de equações

x2y + 2yz + 2z = 32x+ y2 − z = −2z3 − 2y − 3z = 1

próxima a (−0.5,−0.5, 2), usando o Método de Newton, com 4 dígitos significativos exatos.Ao aplicar o método, preencha a Tabela 3.2, onde vk é a medida contínua da exatidão (digsevetorial), e classifique a convergência.

Exercício 3.3.4 : Usando localização, enumeração e separação adequados, encontre asolução numérica do sistema não-linear de equações

{

2x3 − y2 = 1xy3 − y = 4

pelo Método de Newton, com 4 dígitos significativos exatos.

Exercício 3.3.5 : Encontre as soluções numéricas do sistema não-linear de equações{

x+ 3ln(x)− y2 = 02x2 − xy − 5x+ 1 = 0

próximas a (4.0, 3.0) e (1.5,−1.5), respectivamente, pelo Método de Newton, e com 4dígitos significativos exatos.

Exercício 3.3.6 : Encontre a solução numérica do sistema não-linear de equações

x3 − π2y2 + sin(z2) = −2π2x2 − πxy + exp(yz) = 2πy3 + π2 exp(−y)z = π2

próxima a (3.45, 2.22, 0.78), pelo Método de Newton, e com 4 dígitos significativos exatos.Ao aplicar o método, preencha a Tabela 3.2, e classifique a convergência.

Exercício 3.3.7 Encontre todos os três pontos estacionários2 de f(x, y) = x5y3 − x3 +y3 + x − 6y que existem na região [−2, 2] × [−2, 2]. Apresente tabela que evidencie aconvergência a cada raiz encontrada.

Exercício 3.3.8 Encontre os pontos estacionários de f(x, y) = xe−y + e−xy + y2x queexistem na região [−2, 2] × [−1, 3]. Apresente tabela que evidencie a convergência a cadaraiz encontrada.

Exercício 3.3.9 Dois satélites orbitam emórbitas elípticas co-planares com excentri-cidades e = 1/2 e e = 4/7, tendo um pla-neta P comum como um dos focos, eixosprincipais ortogonais, e distância de apo-geu de 9u.d e 11u.d, respectivamente. Vejaa figura.(a) Mostre que, se a origem do sis-tema de coordenadas for colocada so-bre a posição do planeta P , e variá-veis x e y forem definidas como usual-mente, então as equações das órbitas serão

(x+ 3)2

36+

y2

27= 1,

x2

33+

(y − 4)2

49= 1

��

��

��

��

��

��

P

S1

S2

e=4/7

e=1/2bet

alf

(b) Encontre ângulos α e β, em relaçãoao eixo principal do satélite de menor ex-centricidade, sobre a posição do planeta P ,dos 2 pontos onde as órbitas se intercep-tam, respectivamente.

2pontos estacionários são pontos onde a derivada (ou o vetor gradiente) é nula(o). Encontrá-los é a primeiraetapa da tarefa clássica de otimização de uma função de uma ou várias variáveis. Revise suas notas de CálculoDiferencial se houver deficiência conceitual nesse tópico.

3.3. MÉTODOS DE NEWTON PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 19

Exercício 3.3.10 Para encontrar máximo ou mínimo absoluto de uma função diferenciávelf(x) com x restrito a g(x) ≤ 0, onde g é contínua, procuramos por pontos x∗ :

C1: interiores à fronteira da restrição3, nos quais f é estacionária;

C2: na fronteira da restrição, onde ∇f = λ∇g para algum λ > 04 ;

PEDE-SE: (a) usando mesh ou contour, identifique5 que o ponto de máximo absoluto def(x, y) = x5y3 − x3 + y3 + x − 6y sujeito a x4/4 + y2/2 ≤ 2 se enquadra no caso C2acima. Monte o sistema de equações que esse ponto deve satisfazer.

(b) Encontre tal máximo absoluto, e o ponto onde ocorre, com 5 dígitos significativos cor-retos, usando o método de Newton. Apresente tabela que evidencie convergência a soluçãoencontrada.

Exercício 3.3.11 : Para encontrar o máximo de f(x, y) = ye−x + xe−2y (e seu respectivoponto) sujeito a restrição g = x2 + y2 − 2 = 0, PEDE-SE:

(a) Monte o sistema (Multiplicador de Lagrange){

∇f − z∇g = 0g = 0

nas variáveis x, y e z.

(b) Sabendo que a solução (x∗, y∗) está próxima a (0.8;−1.2), estime z∗ e encontre a so-lução do sistema da parte (a) com 5 dígitos significativos corretos, aplicando o método deNewton. Apresente tabela que evidencie a convergência a solução desse sistema.

Exercício 3.3.12 Procuramos o ponto de máximo absoluto de f = (x+y)(4+x2y) restritaa 2y2 + x2 − xy ≤ 3.

3isto é, tais que g(x) < 04tal λ, que portanto também é incógnita, é o chamado de Multiplicador de Lagrange5sugestão: considere K(x, y) = f(x, y), se g(x, y) < 0; 0 caso contrário

(a) Ao lado são apresentadas as cur-vas de nível de f dentro de suarestrição. Localize, enumere e se-pare possíveis candidatos a solu-ção. Escreva as equações do pro-blema usando multiplicadores deLagrange.(b) Aproxime respectivos multi-plicadores e encontre a soluçãocom 5 casas significativas corretas,via método de Newton.Apresentesequência(s) de aproximações.

Capítulo 7

Respostas parciais de todos os exercícios - MAT01032

7.1 Introdução à computação científica

Nessa seção, por notação padrão, digse = δn = − log10

(

2|xn−1 − xn||xn|

)

é uma medida

de exatidão cujo cálculo é normalmente opcional.

1.1.1:

expressão x = −3 x = 0 x = 3

y =1

1 + x+ ln(1 + πx) NaN 1.0 2.594185

y =x

1 + x2- 0.3 0 0.3

y =x+ 2

cos(πx)1 2 -5

y = |x|2/5 + (3x)1/3 - 0.52824 0 3.63193

y = x−2e2x/5 0.03347 NaN 0.36890

y = 2x/3 + 5x/3 0.50267 1.33333 43.66667

1.1.2:

expressão x y

y =(x− 3)(x− 4)

(x+ 3)(x+ 1)1.4 0.3939394

y =xe2x

x+ 11.1 4.727388

y =(3− x2)(1 + 2/x2)

x(x+ 1)0.9 4.4429283

y = cos(x2) + sin2(x) π/2 0.2187881

y = 1 +3

2x−3 0.5

1.2.1: Como a 6= 0, podemos fazer completamento de quadrados:

ax2 + bx+ c = 0⇔ a

(

x+b

2a

)2

=b2

4a− c⇔ x+

b

2a= ±√b2 − 4ac

2aonde raízes são complexas conjugadas se b2 − 4ac < 0.Algoritmo: equação do segundo grauEntrada: números reais a, b, c, onde a 6= 0.Saída: soluções x1 e x2, possivelmente complexas conjugadasPasso 1: Calcule△ = b2 − 4ac;Passo 2: Se△ ≥ 0, então x1 = −b

2a +√△

2a , x2 = −b2a −

√△

2a

Passo 3: Senão x1 = −b2a + i

√−△2a , x2 = −b

2a − i√−△2a

Retorne

Programa: função em Scilab

function [x1,x2]=eq_quadratica(a,b,c)

delta = b*b - 4*a*c; sq=sqrt(delta); // OK se delta < 0

x1 = (-b + sq)/(2*a); x2 = (-b - sq)/(2*a);

endfunction

21

22 CAPÍTULO 7. RESPOSTAS PARCIAIS DE TODOS OS EXERCÍCIOS - MAT01032

1.2.2: (a)

n sn n sn0 1.0000 4 1.49382721 1.3333333 5 1.49794242 1.4444444 6 1.49931413 1.4814815 7 1.4997714

(b) Limite de uma PG. Esse limite é igual a 1/(1− 1/3) = 3/2 = 1.5.(c) Sim. (d) s20 = 1.5

1.2.3:

n sn n sn5 3.3396825 10 3.0418396

15 3.2081857 20 3.0916238

1.1.3:operação resultado(−2.1) ∗ ∗(−3.1) -0.0953513 + 0.0309815i(−2.1) ∗ ∗(−3.01) -0.1071286 + 0.0033667i(−2.1) ∗ ∗(−3.001) -0.1078991 + 0.0003390i(−2.1) ∗ ∗(−3.0001) -0.1079717 + 0.0000339i(−2.1) ∗ ∗(−3.00001) -0.1079789 + 0.0000034i(−2.1) ∗ ∗(−3.000001) -0.1079796 + 0.0000003i(−2.1) ∗ ∗(−3.0000001) -0.1079797 + 3.392E-08i(−2.1) ∗ ∗(−3.0) -0.1079797

1.2.5:

(a) y = 6.6 + x(−3.2 + x(1.0 + x(−2.1 + 3.2x)))(b) y = 2.6 + x · x(3.2 + x(2.3 + 3.2x · x · x)(c) y = −2.1 + x · x(1.3 + x(1.0 + 3.4x · x))

1.3.2: (a)

y =√

1 + x2 − 1 = (√

1 + x2 − 1)

√1 + x2 + 1√1 + x2 + 1

=1 + x2 − 1√1 + x2 + 1

= z

(b)

x y z10−1 4.98756211208895D-03 4.98756211208903D-0310−2 4.99987500623966D-05 4.99987500624961D-0510−3 4.99999875058776D-07 4.99999875000062D-0710−4 4.99999996961265D-09 4.99999998750000D-0910−5 5.00000041370185D-11 4.99999999987500D-1110−6 5.00044450291171D-13 4.99999999999875D-13

1.3.3:

Temos que x1 e x2 são raizes da equação do segundo grau αx2 − x+ α = 0.

Sobre as soluções pela Fórmula de Báskara,

x =1±√1− 4α2

2αidentificamos subtracao catastrofica ao calcular raiz de menor magnitude.

Benfeitoria: usa que produto das raizes é α/α = 1.

Dessa forma

x1 =1 +√1− 4α2

2α, x2 =

1

x1

α x1 x2

10−1 9.8989794855664D+00 1.0102051443364D-0110−2 9.9989998999800D+01 1.0001000200050D-0210−3 9.9999899999900D+02 1.0000010000020D-0310−4 9.9999999000000D+03 1.0000000100000D-0410−5 9.9999999990000D+04 1.0000000001000D-0510−6 9.9999999999900D+05 1.0000000000010D-0610−7 9.9999999999999D+06 1.0000000000000D-0710−8 1.0000000000000D+08 1.0000000000000D-08

0 0 —

1.3.4:

z = cos2(h)− (1− sen (h)) = 1− sen 2(h)− 1 + sen (h)z = sen (h)(1− sen (h))

h z h z10−2 9.8998366674556E-03 10−7 9.9999990000000E-0810−3 9.9899983366668E-04 10−8 9.9999999000000E-0910−4 9.9989999833367E-05 10−9 9.9999999900000E-1010−5 9.9998999998333E-06 10−10 9.9999999990000E-1110−6 9.9999990000000E-08 10−11 9.9999999999000E-12

1.3.5: usando conhecido desenvolvimento para diferença de cubos,

y = (1− |1− x|)(1 + |1− x|+ |1− x|2) =(1−|1−x|) · 1 + |1− x|

1 + |1− x| ·(1+ |1−x|+ |1−x|2) =

(1− (1− x)2)(1 + |1− x|+ 1− x|2)1 + |1− x|

e assim z = |1− p|, y = x(2− x)(1 + z(1 + z))/(1 + z), e segue

7.1. INTRODUÇÃO À COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA 23

x y x y100 1.0000000000000D+00 10−8 2.9999999700000D-0810−1 2.7100000000000D-01 10−9 2.9999999970000D-0910−2 2.9701000000000D-02 10−10 2.9999999997000D-1010−3 2.9970010000000D-03 10−11 2.9999999999700D-1110−4 2.9997000100000D-04 10−12 2.9999999999970D-1210−5 2.9999700001000D-05 10−13 2.9999999999997D-1310−6 2.9999970000010D-06 10−14 3.0000000000000D-1410−7 2.9999997000000D-07 10−15 3.0000000000000D-15

1.3.6: transformando a expressão

y = (1− |1− p|3/2) · 1 + |1− p|3/21 + |1− p|3/2 =

1− |1− p|31 + |1− p|3/2

e agora podemos usar a resposta do Exercício 1.3.5 :

z = |1− p| , y =p(2− p)(1 + z(1 + z))

(1 + z3/2)(1 + z), e segue

p y p y100 1.0000000000000D+00 10−7 1.4999999625000D-0710−1 1.4618503175454D-01 10−8 1.4999999962500D-0810−2 1.4962437264446D-02 10−9 1.4999999996250D-0910−3 1.4996249374766D-03 10−10 1.4999999999625D-1010−4 1.4999624993750D-04 10−11 1.4999999999963D-1110−5 1.4999962499938D-05 10−12 1.4999999999996D-1210−6 1.4999996249999D-06 10−13 1.5000000000000D-13

1.4.1: (a) {xn} → r implica r =√

u/r ⇒ r2 = u/r ⇒ r3 = un xn δn n xn δn0 1. — 5 2.2802304 0.8401 3.3166248 0. 6 2.1963774 1.1172 1.8211603 0. 7 2.2379112 1.4303 2.4576626 0.286 8 2.2170471 1.7254 2.1156081 0.490 9 2.2274547 2.029

aumento linear de aproximadamente 0.29 digse/iter.(b) {xn} → r implica

r =2√

u/r + r

3⇒ 2r = 2

√

u/r ⇒ r2 = u/r ⇒ r3 = u

n xn δn n xn δn0 1. — 3 2.3513552 1.921 2.7370342 0. 4 2.3513347 4.762 2.3652601 0.503 5 2.3513347 10.42

exatidão aproximadamente dobra a cada iteração: aumento quadrático

(c) {xn} → r implica

r =2r3 + u

3r2⇒ 3r3 = 2r3 + u⇒ r3 = u

n xn δn n xn δn0 1. — 5 2.5763471 1.0591 6.3333333 0. 6 2.5712915 2.4052 4.3634965 0.044 7 2.5712816 5.1113 3.2066151 0.142 8 2.5712816 10.524 2.688848 0.414

exatidão aproximadamente dobra a cada iteração: aumento quadráticoAs três recursões convergem à raiz cúbica de u > 0.

1.4.2: Arquimedes. δn = digse(xn−1, xn)n sn δn n sn δn1 3.897114317029974 – 11 3.141592927385313 6.2822 3.232050807568878 0.386 12 3.141592722038628 6.8843 3.160609425201861 1.345 13 3.141592670701999 7.4864 3.14614427768937 2.036 14 3.141592657867845 8.0885 3.142718209089152 2.661 15 3.141592654659306 8.6906 3.141873275267939 3.2693 16 3.141592653857172 9.2927 3.141662761132643 3.873 17 3.141592653656638 9.8948 3.141610177484353 4.476 18 3.141592653606505 10.4969 3.141597034376504 5.077 19 3.141592653593971 11.09810 3.141593748774789 5.690 20 3.141592653590838 11.700

Método é linear quanto ao aumento da exatidão.1.4.3: Inversão. δn = digse(xn−1, xn)

n xn δn n xn δn0 1 – 5 1.4906097493 2.281 1.33 0.304 6 1.491901217269 2.7612 1.4389 0.820 7 1.49232740169877 3.2433 1.474837 1.312 8 1.492468042560594 3.7254 1.48669621 1.797 9 1.492514454044996 4.206

Método é linear quanto ao aumento da exatidão.1.4.4: método de Borchardt produz

n ℓn δn n ℓn δn0 0.8023952 — 6 0.8501384 4.0541 0.8375770 1.076 7 0.8501478 4.6562 0.8469650 1.654 8 0.8501501 5.2593 0.8493518 2.250 9 0.8501507 5.8604 0.8499510 2.851 10 0.8501509 6.4635 0.8501009 3.452 11 0.8501509 7.065


e então o aumento da exatidão é linear, de aproximadamente 0.63 digse por iteração.1.4.5: o método acelerado produz

n ℓn δn n ℓn δn0 0.8500000 — 4 0.8501509 7.0811 0.8501413 3.478 5 0.8501509 8.2852 0.8501503 4.675 6 0.8501509 9.4893 0.8501509 5.877 7 0.8501509 10.693

e então o aumento da exatidão é linear, de aproximadamente 1.2 digse por iteração.1.4.6: Aproximação de

√2. δn = digse(xn−1, xn)

n xn δn n xn δn0 1. – 6 1.414201183431953 3.9221 1.5 0.176 7 1.41421568627451 4.6882 1.4 0.845 8 1.414213197969543 5.4543 1.416666666666667 1.628 9 1.41421362489487 6.2194 1.413793103448276 2.391 10 1.414213551646055 6.9855 1.414285714285714 3.157 11 1.414213564213564 7.750

Método é linear quanto ao aumento da exatidão.

7.2 Solução numérica de equações não-lineares

2.1.1: g(x) = 2x5 − 3x4 + x3 − 2x2 − 5x − 1. Cota de Vene: raízes estão no intervalo[−3.5, 1.625]

multip intervalo multip intervalo1 [−2, 0,−1.7] 1 [0.16, 0.34]1 [0.66, 0.84]

2.1.2: g(x) = 81x4 + 108x3 − 405x2 − 264x + 560. Cota de Laguerre: raízes estão nointervalo [−2, 3]

multip intervalo multip intervalo2 [−1.5,−1.25] 1 [1.5, 1.75]1 [2.25, 2.5]

2.1.3: Cota básica L = 1 + 1328/27 ≈ 50.18. Plotando, inicialmente, no intervalo[−50.2, 50.2], e depois refinando, vemos que existe uma única raíz real, onde há troca desinal e tangente nula. Portanto µ = 3 ou µ = 5. Como a Regra da Lacuna pode ser aplicadapara k = 4, sabemos que existe ao menos 1 par de raízes conjugadas. O grau da equaçãoé 5, e no máximo temos 5 raízes, contando multiplicidades e pares imaginários. Assim,concluímos que µ = 3.

multip intervalo multip intervalo3 [1.2, 1.4]

2.1.4: p(x) = x7 − 2x6 + 3x − 2. Cota básica: raízes estão no [−4, 4]. Cota de Vene:g(x) = x7 + 2x6 + 3x− 2, as raízes reais estão no intervalo [−4/3, 3].


2.1.5: Sejam h e z como na figura abaixo:

R

h−R

uh

R

z

(h−R)2 = u2 +R2 ⇒ u =√h2 − 2hR

R

u=

z

h⇒ z =

hR√h2 − 2hR

aplicando Pitágoras no triângulo aolado, que é reto.

(a) Dessa forma, como A = zh, e h = ρR,

A =ρ2R2R

√

ρ2R2 − 2ρRR=

ρ2R2

√

ρ(ρ− 2), ρ =

h

R> 2

(b) Equacionado A = αR2 obtem-seρ2

√

ρ2 − 2ρ= α⇒ ρ4 = α2(ρ2 − 2ρ)

de onde obtem-se a relação pedida uma vez que ρ 6= 0.(c) Para α = 2π, temos f(ρ) = ρ3 − 4π2ρ+ 8π2.

function u=f(rho)

alfa=2*%pi;

u=rho**3-alfa**2*rho + 2*alfa**2;

endfunction

vr=[2:.01:10]’; vy=feval(vr,f);

plot(vr,vy); xgrid;

xlabel(’rho’); ylabel(’f (rho)’);

O gráfico acima mostra raízes simples nos intervalos [2, 2.5] e [4.5, 5], respectivamente.2.1.6: Procuramos por raízes de dy/dx = 0. Assim f(x) = x5 − 2x4 − 3x + 2, e g(x) =x5 + 2x4 − 3x− 2. Cota de Laguerre: raízes estão no intervalo [−2, 3]


2.1.7: Temos P (3,−1) e M(x,−√x2 − 1) móvel e também no quarto quadrante. Sendo

D o quadrado da distância entre esses pontos: D = (3 − x)2 + (−1 +√

x2 − 1)2 =

2x2 − 6x− 2√

x2 − 1 + 9. Assim, possíveis soluções satisfazem D′(x) = 0, ou seja,

7.2. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES 25

4x− 6− 2x

x2 − 1= 0.

O gráfico para x > 1 mostra uma única raiz, que é simples e está no intervalo [2.05, 2.1].2.1.8: Inspeção gráfica: raízes estão no intervalo [−2, 2]

multip intervalo multip intervalo1 [−1,−0.5] 1 [1.0, 1.5]

2.1.9: Inspeção gráfica: raízes estão no intervalo [−1, 0]multip intervalo multip intervalo1 [−0.7,−0.65] 1 [−0.25,−0.2]

2.1.10: f(x) = tan(x)− exp(cos(x))multip intervalo multip intervalo1 [1.0, 1.1] 1 [3.4, 3.6]

2.1.11: Procuramos por raízes dedy

dx= 0, e assim f(x) =

x

1 + x2− cos(x).

multip intervalo multip intervalo1 [95.66, 96.0] 1 [98.66, 99]

2.2.1: f(x) = 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 − 5x+ 1, d(x) = 10x4 + 12x3 + 3x2 + 4x− 5

function u=f(x)

u = 1+x*(-5+x*(2+x*(1+x*(3+x*2)))); endfunction

function u=d(x) // 10x^4 + 12 x^3 + 3 x^2 + 4 x - 5

u = -5 + x*(4 + x*(3 + x*(12 + x*10))); endfunction

n xn digse n xn digse n xn digse0. - 1.85 — 0. 0.25 — 0. 0.75 –1. -1.9157027 1.17 1. 0.2233115 0.62 1. 0.7221125 1.112. -1.909338 2.18 2. 0.2240712 2.17 2. 0.7195287 2.143. -1.9092718 4.16 3. 0.2240718 5.29 3. 0.7195073 4.234. -1.9092718 8.18 4. 0.2240718 11.51 4. 0.7195073 8.40

A convergênca a cada raíz é quadrática (exatidão aprox. dobra a cada iteração).2.2.2: (a) sendo f(ρ) = ρ3 − α2ρ+ 2α2, então f ′(z) = 3ρ2 − α2 e assim, para ρ0 inicial,

ρn+1 = ρn −ρ3n − α2ρn + 2α2

3ρ2n − α2

é a iteração de Newton-Raphson para essa f .(b) Solução numérica aplicando Newton-Raphson:

n ρn digse n ρn digse0. 2.25 — 0. 4.25 —1. 2.3126168 1.27 1. 5.069957 0.492. 2.3137567 3.00 2. 4.8275367 1.003. 2.3137571 6.48 3. 4.7986375 1.924. 2.3137571 13.42 4. 4.7982297 3.77

5. 4.7982297 7.47

Essa tabela valida a convergência quadrática a ρ = 2.3137571, que corresponde a um tri-ângulo de altura h = 2.31376R e base 2z = 5.4311537R. Também valida a convergênciaquadrática a ρ = 4.7982297, que corresponde a um triângulo de altura h = 4.7982297R ebase 2z = 2.6189598R.2.2.3: Feixe de retas que passam por P (0, 1): y = 1 + kx, com k ∈ R. Considerando

y = 1/x, em um ponto x = x0, temosdy

dx=−1x20

, e assim, por condição de ortogonalidade,

k = x20. Equacionando a intersecção entre a curva e a reta, temos

1

x0= 1 + x2

0 · x0 ⇒ x40 + x0 = 1 .

Procuramos por raízes da equação p(x) = x4 + x− 1 = 0.

Cota de Vene: M = 1, b = 1 +1

1 + 1= 1.5.

Para raízes negativas, g(x) = p(−x) = x4 − x− 1, M ′ = 1, e −a = 1 +1

1= 2.

Raízes positivas no intervalo (0, 1.5]. Raizes negativas no intervalo [−2, 0).Scilab: RN simples em (−1.34,−1.17), RP simples em (0.67, 0.84).

n xn digse n xn digse0 - 1.25 . . . 0 0.75 . . .1 - 1.2219037 1.34 1 0.7252907 1.172 - 1.220746 2.72 2 0.7244928 2.663 - 1.2207441 5.50 3 0.7244920 5.664 - 1.2207441 11.07 4 0.7244920 11.66

A exatidão aproximadamente dobra a cada iteração, o que comprova a convergência qua-drática do método. Concluindo, temos 2 retas y = 1 + kx, onde k = 1.4902161 ek = 0.5248886.2.2.4: equação da reta tangente em um ponto (x0, y0):

y − (x0 +1

x20

) = (1− 2

x30

)(x− x0)

adicionando a informação sobre o ponto R(3, 1):

1−(

x0 +1

x20

)

=

(

1− 2

x30

)

(3− x0)⇔ 2x30 + x2

0 + 2x0 − 6 = 0

Procuramos pelos zeros reais de p(x) = 2x3 + x2 + 2x− 6.Localização, enumeração e separação: existe uma única raiz real, e está no intervalo[1.05, 1.1]. Aplicação do método de Newton produz

n xn n xn

0. 1.075 3. 1.09369091. 1.0939269 4. 1.09369092. 1.093691

Ponto de tangência: (1.0936909, 1.9296996). Voltamos a equação acima, sabendo que x0 =1.0936909:


y − 1.9296996 = −0.5287841(x− 1.0936909).

2.2.5: f(x) = dy/dx = x5 − 2x4 − 3x+ 2, d(x) = f ′(x) = 5x4 − 8x3 − 3.n xn xn xn

0. - 1.125 0.625 2.1251. - 1.1475221 0.6047602 2.20730042. - 1.1466675 0.6045381 2.19721753. - 1.1466662 0.6045381 2.19704464. - 1.1466662 0.6045381 2.1970446

e listando as três raízes encontradas e os extremos:x y x y x y

-1.1466662 - 2.0937958 0.6045381 1.6367141 2.1970446 -3.5780029-3.0 200.2 3.0 17.8

Portanto mínimo absoluto é y = −3.5780029; máximo absoluto é y = 200.2.

2.2.6: (a) Seja g(x) = x−3 + x2. Procurando por pontos de mínimo local:

g′(x) = −3x−4 + 2x = 0⇔ x = x∗ = (3/2)1/5

que corresponde a um valor mínimo

g(

(3/2)1/5)

=1 + 3/2

(3/2)3/5=

5/2

(3/2)3/5= 1.9601317

uma vez que g′′(x) = 2 + 12/x5 > 0.

(b) Considerando f(x) = x−3 + x2 − u, u > 2, temos

f(u−1/3) = u+ u−2/3 − u > 0f(1) = 1 + 1− u < 0f(u1/2) = u−2/3 + u− u > 0

Pelo Teorema do Valor Intermediário, por causa das trocas de sinais acima, existem raizesno intervalo (u−1/3, 1) e (1, u1/2).

(c) f ′′(x) = 12/x5 +2 > 0 e assim, basta escolher x0 tal que f(x0) > 0 para que a con-vergência esteja garantida pelo Critério de Fourier. Tais x0 são, natural e respectivamente,u−1/3 e u1/2.

n xn n xn

0. 0.3889111 0. 4.12310561. 0.3900714 1. 4.12137332. 0.3900784 2. 4.1213733. 0.3900784 3. 4.121373

2.2.7: (a) Seja ℓ o raio de uma secção de volume a uma altura intermediária s, 0 ≤ s ≤ h.

��

��

RR−s

r

R2 = (R− s)2 + r2 ⇒ r2 = 2Rs− s2

e assim

V =

∫ h

0

πr2ds =

∫ h

0

πR2

[

2s

R−( s

R

)2]

ds

fazendo µ = s/R, ds = Rdµ, temos

V = πR2

∫ h/R

0

(2µ − µ2)Rdµ =

πR3

[

µ2 − µ3

3

]h/R

0

e assim V = πR3

(

α2 − α3

3

)

, onde α = h/R, e 0 ≤ α ≤ 2.

(b) Correspondentemente a 90% do volume total, temos

πR3

(

α2 − α3

3

)

= 0.9 · 4πR3

3

o que implica que h = αR, onde α satisfaz o problema de raízes α2 − α3/3 = 1.2.

Localizando, enumerando e separando as raízes de f(x) = x2 − x3/3− 1.2, vemos umaúnica raíz no intervalo [1.60, 1.61]. Aplicando o método de Newton:

n xn n xn

0. 1.605 3. 1.60839981. 1.6083887 4. 1.60839982. 1.6083998

e assim h = 1.6083998R. Corresponde a cerca de 80% da altura máxima H = 2R.

2.2.8: f(x) = x7 − 2x6 + 3x+ 2n xn digse n xn digse0 -0.675000 – 3 -0.618034 3.9521 -0.622972 0.777 4 -0.618034 8.2682 -0.618068 1.799n xn digse n xn digse0 1.650000 – 3 1.618030 2.9841 1.604975 1.251 4 1.618034 5.2772 1.617191 1.821n xn digse n xn digse0 1.750000 – 3 1.739234 4.9211 1.740247 1.950 4 1.739234 8.8892 1.739245 2.938

2.2.9: f(x) = ex − x3 − 7

raíz simples no [−2,−1.5]


n xn digse n xn digse0 -1.750000 – 3 -1.899197 3.9861 -1.912735 0.769 4 -1.899197 8.2612 -1.899296 1.849

raíz simples no [4.5, 5.0]n xn digse n xn digse0 4.750000 – 2 4.719687 3.4571 4.720511 1.903 3 4.719687 6.574

2.2.10: f(x) = x cos(x)− ln |x|n xn digse n xn digse0 -0.750000 – 3 -0.607310 2.6741 -0.581970 0.238 4 -0.607311 5.8552 -0.606668 1.089n xn digse n xn digse0 1.250000 – 3 1.347580 4.8091 1.352345 0.820 4 1.347580 10.122 1.347590 2.151

2.2.11: f(x) = cos(x)− 3x ln |x|n xn digse n xn digse0 -0.675000 – 2 -0.687476 3.1621 -0.687713 1.432 3 -0.687476 6.627n xn digse n xn digse0 -0.225000 – 3 -0.207287 4.3331 -0.206112 0.737 4 -0.207287 9.1062 -0.207283 1.947

2.2.12: f(x) = tan(x)− ecos(x)

n xn digse n xn digse0 1.050000 – 2 1.031551 3.0991 1.031962 1.456 3 1.031551 6.414n xn digse n xn digse0 3.500000 – 2 3.517312 4.4111 3.517380 2.005 3 3.517312 9.192

2.2.13: f(x) = 81x4 − 108x3 − 405x2 + 264x+ 560usando µ = 2 pois temos uma raiz dupla

n xn digse n xn digse0. -1.375000 – 2. -1.333333 3.1141. -1.333846 1.210 3. -1.333333 6.921

usando µ = 1 pois a raiz é simples:

n xn digse n xn digse0. 1.625000 – 2. 1.666665 2.8281. 1.665427 1.314 3. 1.666667 5.816

usando µ = 1 pois a raiz é simples:

n xn digse n xn digse0. 2.375000 – 3. 2.333333 4.7691. 2.336466 1.482 4. 2.333333 9.1602. 2.333353 2.574

2.2.14: f(x) = 36x5+93x4−11x3−20x2+x+1 , d(x) = 180x4+372x3−33x2−40x+1.multip intervalo multip intervalo1 [−2.625,−2.6] 1 [−0.4,−0.35]1 [−0.275,−0.225] 2 [0.32, 0.34]

usando µ = 1 pois ambas raízes são simples:n xn digse n xn digse0. -2.6125 — 0. -0.375 —1. -2.6180819 2.37 1. -0.3825088 1.412. -2.618034 4.47 2. -0.3819689 2.553. -2.618034 8.57 3. -0.3819660 4.82

4. -0.3819660 9.36usando µ = 1 e µ = 2, respectivamente,

n xn digse n xn digse0. -0.25 — 0. 0.33 –1. -0.25 16. 1. 0.3333527 1.702. -0.25 16. 2. 0.3333333 3.93

3. 0.3333333 16.2.2.15: f(x) = x/(1 + x2)− cos(x)



Avaliando y para os pontos estacionários e os extremos do intervalo:x y x y

30π 4.5459836 95.808139 3.562456632π 4.6105153 98.970272 5.5948195


Portanto o máximo absoluto de y é 5.5948195, e o mínimo absoluto é 3.5624566.2.2.16: (a) a taxa de variação é

dR

dγ=

2γeγ − eγ − 2

(1 + eγ)2

e portanto pontos estacionários satisfazem f(γ) = 2γeγ − eγ − 2 = 0.(b) O gráfico de f em [0, 10] mostra apenas 1 raiz, que está em [0.8, 1.0].(c) Definindo d(γ) = f ′(γ) = eγ(2γ + 1),

n γn n γn0. 0.9 2. 0.90467381. 0.9046926 3. 0.9046738

(d) Avaliando R para os pontos estacionários e os extremos do intervalo:γ R γ R γ R0 0.5 0.9046738 0.1906523 10 0.9990466

portanto o mínimo absoluto no intervalo é R = 0.1906523, e ocorre para γ = 0.9046738.2.2.17: Curva: y = ex, y′ = ex. Circunferência: x2 + y2 = r2 ⇒ 2x+ 2yy′ = 0

Temos x+ ex · ex = 0⇒ f(x) = x+ e2x .Raíz negativa simples no intervalo [−0.5,−0.4]. Método de Newton.

n xn digse n xn digse0. -0.450000 – 2. -0.426303 2.9211. -0.426047 0.949 3. -0.426303 6.850

Equação da circunferência é x2 + y2 = r2, onde r = 0.7797671.2.2.18: Sendo h a altura do triângulo, d1 e d2 seus catetos, temos

x

d1 d2hR R2 = h2 + (R− x)2 ⇒ h2 = 2Rx− x2

d21 = (2R− x)2 + h2

⇒ d1 = 2R

√

1− x

2R

d22 = x2 + h2 = x2 + 2Rx− x2 ⇒ d2 = 2R

√

x

2RAssim, o perímetro do triângulo é dado por

P = 2R(

1 +√

1− µ+√µ)

,

onde µ =x

2R, 0 ≤ µ ≤ 1.

Equacionando P =9R

2implica 1 +

√

1− µ+√µ =

9

4

e assim temos que resolver f(µ) =√

1− µ+√µ− 5

4= 0.

Localização: raiz em [0.05, 0.1] e raiz em [0.9, 0.95] (simétrica).

Método de Newton: f ′(µ) =−1

2√1− µ

+1

2√µ

n µn digse n µn digse0 0.075 – 3. 0.0866014 4.45033081. 0.0860038 0.5919443 4. 0.0866014 9.63140232. 0.0865998 1.8612373 5. 0.0866014 16.

e então µ = 0.0865998, x = 2µR = 0.1732027R e a altura h satisfaz

h2 = 2Rx(

1− x

2R

)

⇒ h = 2Rµ√

1− µ

e assim h = 0.5625R é a altura correspondente.2.3.1: Sendo h = 1 + x a altura do triângulo, temos área

A(x) = (1 + x)√

1− x2 = 2√3/3. Assim, procuramos raizes de

f(x) = (1 + x)√

1− x2 − 2√3/3, onde 0 < x < 1.

Localização: raiz simples no intervalo [0.15, 0.2], raiz simples no intervalo [0.75, 0.8].Primeira raiz, pelo método da Secante (x−1 = 0.15):

n xn digse n xn digse0 0.20000 – 3 0.1722139 3.66418991 0.1728442 0.5027621 4 0.1722139 6.86009252 0.1721953 2.1227949 5 0.1722139 11.584814

primeiro triângulo: altura h = 1.1722139 e base b = 1.9701192.Segunda raiz, pelo método da Secante (x−1 = 0.75) :

n xn digse n xn digse0 0.8 – 3 0.7518162 0.89218041 0.7520724 3.166635 4 0.7521144 3.95206472 0.7521143 6.9815826 5 0.7521143 10.862671

segundo triângulo: altura h = 1.7521143 e base b = 1.3180653.2.3.2: f(x) = x cos(x)− ln |x|

n xn digse n xn digse-1. -1.000000 – 3. -0.606994 1.7052070. -0.500000 0 4. -0.607313 2.9797341. -0.660041 0.314310 5. -0.607311 5.2168522. -0.612978 0.813732 6. -0.607311 8.705647

onde δ6/δ5 = 1.669 revela cerca de 67% de aumento.


n xn digse n xn digse-1. 1.000000 – 3. 1.347601 2.5879990. 1.500000 0.1760913 4. 1.347580 4.5101521. 1.321738 0.569057 5. 1.347580 7.6095632. 1.345861 1.445546 6. 1.347580 12.626

onde δ6/δ5 = 1.659 revela cerca de 66% de aumento.

2.3.3: Pelo ex. 2.1.7, f(x) = 4x− 6− 2x/√

x2 − 1 no intervalo [2.05, 2.1]:n xn n xn

0. 2.1 3. 2.0709751. 2.0710192 4. 2.0709752. 2.0709749

que converge para x = 2.0709749 onde então√D = 1.4442346 é a resposta do problema.

2.3.4: y = e−x ⇒ m = dy/dx = −e−x ⇒ −1/m = ex e a equação da reta normal empontos (x0, e

−x0) é y − e−x0 = ex0(x− x0). Para que passe por P (3, 3) :3− e−x0 = ex0(3− x0)⇒ x0 + e−x0(3− e−x0)− 3 = 0.

Procuramos por raízes para f(x) = x+ e−x(3− e−x)− 3 no intervalo [0, 3].Existe uma única raiz simples em [2.82, 2.83]. Método da secante com x−1 = 2.82:

n xn n xn

0. 2.83 2. 2.82571341. 2.825711 3. 2.8257134

e assim x0 = 2.825711 e D =√

(3− 2.825711)2 + (3− e−2.825711)2 = 2.9458938.2.3.5: f(x) = cos(x)− 3x ln |x|

n xn digse n xn digse-1. -0.700000 – 2. -0.687518 2.6574010. -0.650000 0.812913 3. -0.687476 3.9134061. -0.686761 0.970384 4. -0.687476 6.898876n xn digse n xn digse-1. -0.250000 – 3. -0.207287 3.5455200. -0.200000 0.301030 4. -0.207287 5.9359391. -0.208452 1.091029 5. -0.207287 9.9234222. -0.207317 1.960613

2.3.6: f(x) = 4− 2x− 5

1 +√

|x|raíz simples no intervalo [−0.05,−0.025]

n xn digse n xn digse-1. -0.050000 – 3. -0.048562 2.8644650. -0.025000 0.000000 4. -0.048562 5.7835201. -0.048780 0.011002 5. -0.048562 9.5191002. -0.048595 2.119646

raíz simples no intervalo [0.09, 0.11]n xn digse n xn digse-1. 0.090000 – 3. 0.0995082 3.0230. 0.110000 0. 4. 0.0995079 5.3921. 0.100167 0.707 5. 0.0995079 8.9082. 0.099462 1.848

2.3.7: Curva: y = e−√

|x|, y′ = − sign(x)e−√

|x|

2√

|x|.

Circunferência: x2 + y2 = r2 ⇒ 2x+ 2yy′ = 0

Temos então x− e−√

|x| · sign(x)e−√

|x|

2√

|x|= 0. Segue f(x) = x− sign(x)e−2

√|x|

2√

|x|Função par. Raíz positiva no intervalo [0.25, 0.35]. Método da Secante:

n xn digse n xn digse-1. 0.250000 – 3. 0.302555 2.7671640. 0.350000 0.243038 4. 0.302554 5.0072771. 0.306398 0.545744 5. 0.302554 8.4168312. 0.302297 1.566522

Assim x = 0.302554, y = 0.5769217 e a equação da circunferência é x2 + y2 = r2, onder = 0.6514425.2.3.8: Sendo x o ângulo, em radianos, entre a diagonal (quadrantes 1 e 3) e a horizontalpositiva, temos A(x) = 4(sin(x) + cos(x))− 5, onde 0 < x < π/4.

Por simetria, soluções no [π/4, π/2] são repetições das soluções no intervalo [0, π/4].Localização: raiz real no intervalo [0.25, 0.35].

Método da Secante: x−1 = 0.25n xn digse n xn digse0 0.35 – 3 0.3010713 0.48807541 0.2985811 1.7778063 4 0.2987035 3.08656452 0.2987032 5.7367078 5 0.2987032 9.6746548

temos então retângulo de base b = 1.9114378 e altura h = 0.5885622.2.3.9: Sendo x a dimensão do segundo cateto,

P (x) = 1 + x+√

1 + x2 − 4, onde x > 0.

Temos f(x) = x+√

1 + x2 − 3, onde x > 0.Localização: uma única raiz real no intervalo [1.25, 1.5]

Método da Secante (x−1 = 1.25)n xn digse n xn digse0 1.5 – 3 1.3325336 0.59972051 1.333326 2.9249571 4 1.3333333 4.95850782 1.3333333 9.2772374 5 1.3333333 16.

temos então um triângulo de base b = 1 e altura h = 1.3333333 (evidência que h = 4/3).


2.3.10: Sendo r o raio da mancha, A = πr2 e 2πrdr

dt= 1.2 ln(r)

e como dr/dt = 0.18, temos ln(r) = 0.3r, onde r > 0.

Localização: 1 raiz simples no intervalo [1.5, 1.7]; 1 raiz simples no intervalo [5.5, 6].

Primeira raiz, Método da Secante: x−1 = 1.5,n xn digse n xn digse0 1.7 – 3 1.6366874 1.1111 1.6311172 2.166 4 1.6313415 3.5612 1.6313408 6.055 5 1.6313408 9.928

corresponde a uma solução para um raio r = 1.6313408km.

Segunda raiz, Método da Secante: x−1 = 5.5,n xn digse n xn digse0 6 – 3 5.9345871 1.6571 5.9377689 2.973 4 5.9377901 5.1462 5.9377901 8.608 5 5.9377901 14.24

corresponde a uma solução para um raio r = 5.9377901km.

2.3.11:

��

��

��

x

R

y

R2 = (R− x)2 + y2

⇒ y =√

R2 − (R− x)2

A =

∫ x

0

2√

R2 − (R− s)2ds

Escrevendo R− s = Rsen (θ), temos −ds = R cos(θ)dθ e

A(x) =

∫ θ1

θ2

2R2 cos2(θ)dθ

onde R− 0 = Rsen (θ1)⇒ θ1 = π/2; R− x = Rsen (θ2)⇒ θ2 = arcsen (1− x/R)

A = R2

∫ θ1

θ2

(1 + cos(2θ)) dθ = R2

[

θ +sen (2θ)

2

]θ1

θ2

A = R2 [0 + sen (θ) cos(θ)]θ1θ2 = R2(π

2− arcsen (w)− w

√

1− w2)

onde w = 1 − x/R, e 0 ≤ w ≤ 1. Equacionando A =πR2

3:

π

2− arcsen (w) −

w√

1− w2 =π

3

Segue um problema de raízes para f(w) =π

6− arcsen (w)− w

√

1− w2 = 0

Localização: raiz simples no intervalo [0.25, 0.3]. Método da Secante:

n wn digse n wn digse0. 0.3 – 3. 0.2649321 5.5150061. 0.2650090 0.5782739 4. 0.2649321 10.475392. 0.2649317 3.2339655 5. 0.2649321 16.

e assim w = 0.269321 e, finalmente, x = 0.7350679R.

2.3.12: Método da Secante. f(x) = 6x3 + 7 ln |x|+ 5

raíz simples no intervalo [−1.0,−0.75]n xn digse n xn digse0. -1.000000 – 5. -0.880749 1.6872071. -0.750000 0.176091 6. -0.882780 2.3371122. -0.828176 0.724020 7. -0.882704 3.7662363. -0.944536 0.608384 8. -0.882704 5.9509584. -0.871699 0.776987 9. -0.882704 9.550995

raíz simples no intervalo [−0.625,−0.5]n xn digse n xn digse0. -0.625000 – 4. -0.577221 2.0407851. -0.500000 0.301030 5. -0.577326 3.4413202. -0.588831 0.520398 6. -0.577325 5.5070153. -0.579849 1.508911 7. -0.577325 8.958818

raíz simples no intervalo [0.375, 0.5]n xn digse n xn digse0. 0.375000 – 3. 0.452195 2.0663441. 0.500000 0.301030 4. 0.452232 3.7929882. 0.454136 0.694683 5. 0.452232 6.845525

2.3.13: Método da Secante. f(x) = |2x|1/3 − ex−1

raíz simples no intervalo [1.25, 1.375]n xn digse n xn digse0. 1.250000 – 3. 1.324698 2.3809221. 1.375000 0.740363 4. 1.324804 3.7966142. 1.321943 1.095440 5. 1.324804 6.463752

raíz simples no intervalo [−0.025,−0.0125]n xn digse n xn digse0. -0.025000 – 4. -0.023218 2.3828431. -0.012500 0.000000 5. -0.023219 4.7945592. -0.023509 0.028466 6. -0.023219 7.9859303. -0.023266 1.681734

raíz simples no intervalo [0.025, 0.0375]

7.3. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 31

n xn digse n xn digse0. 0.025000 0.000000 4. 0.026993 2.5766301. 0.037500 0.176091 5. 0.026993 5.0200042. 0.027262 0.124316 6. 0.026993 8.3379363. 0.026958 1.646174

2.4.1: definindo f(t) = 3/4− sin(t)3 − cos(t)3 no intervalo [−π, π]:

function u=f(t); u = 3/4 - sin(t)**3 - cos(t)**3;endfunction

vt=[-%pi:.01:%pi]’;vy=feval(vt,f); plot(vt,vy);xgrid

// procuramos por intervalos onde a funcao eh nao-negativa

// quatro raizes são vistas, todas sao simples

// r1 em [-0.4, -0.35], r2 em [0.5,0.6]

// r3 em [0.95, 1.0], r4 em [1.9,2.0]

n xn xn xn xn

0 -0.375 0.55 0.975 1.951 -0.3799305 0.5781503 0.9917803 1.95069652 -0.3798996 0.5795823 0.9912106 1.95069593 -0.3798996 0.5795863 0.9912100 1.9506959

pelo Método de Newton. Pela análise do gráfico, desigualdade é valida em

[ − π,−0.3798996 )⋃

(0.5795823, 0.9912100)⋃

(1.9506959, π)

2.4.2: domínio natural para x é o conjunto D = {x : x + x5 − 3 ≥ 0}. Pelo gráfico deg(x) = x+x5− 3, vemos que essa desigualdade é válida para x ≥ u, onde u é raíz simplesde g no intervalo [1.1, 1.15]. Pelo método de Newton:

n xn n xn

0. 1.1 3. 1.13299761. 1.1347924 4. 1.13299762. 1.1330026

e assim D = [1.133,∞) com 3 dígitos corretos.2.4.3: domínio natural para x é o conjunto D = {x : 1 + x + x5 > 0}. Pelo gráfico deg(x) = 1+x+x5, vemos que essa desigualdade é válida para x > u, onde u é raíz simplesde g no intervalo [−0.76,−0.74]. Pelo método de Newton:

n xn n xn

0. -0.75 2. -0.75487771. -0.7549168 3. -0.7548777

e assim D = [−0.754,∞) com 3 dígitos corretos.

2.4.4:12.78

2.27=

0.1278× 102

0.227× 101=

0.1278

0.227× 101 Assim, x = 0.1278, y = 0.227.

n un δn n un δn0. 1. —– 5. 4.404122973377127 1.4951. 1.773 0.059 6. 4.405286036383655 3.2772. 2.832418917 0.126 7. 4.405286343612313 6.8553. 3.843708332846864 0.279 8. 4.405286343612334 14.0144. 4.333697384898541 0.646 9. 4.405286343612335 15.394

e a convergência quadrática foi comprovada. Finalmente,(0.1278× 0.4405286343612335× 101)× 101 = 0.056299559471365× 102 = 5.6299559471365.

7.3 Solução Numérica de Sistemas de Equações Algébricas

3.1.1: Substituição direta:

x =[

1 0 2 1 2]T

3.1.2: Substituição Reversa:

x =[

1.000000 0.000000 −1.000000 1.000000 2.000000]T

3.1.3:

-->A=[4 0 -1 0;1 3 1 0;0 1 -3 1;1 -1 1 4]

A =

4. 0. - 1. 0.

1. 3. 1. 0.

0. 1. - 3. 1.

1. - 1. 1. 4.

-->b=[2.8;1.7;-4.7;10.9]

b =

2.8

1.7

- 4.7

10.9

-->A=[A b]

A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

1. 3. 1. 0. 1.7

0. 1. - 3. 1. - 4.7

1. - 1. 1. 4. 10.9

-->j=1;i=2; mu=A(i,j)/A(j,j); A(i,:)=A(i,:)-mu*A(j,:)

A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

0. 3. 1.25 0. 1.

0. 1. - 3. 1. - 4.7


1. - 1. 1. 4. 10.9


A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

0. 3. 1.25 0. 1.

0. 1. - 3. 1. - 4.7

0. - 1. 1.25 4. 10.2


A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

0. 3. 1.25 0. 1.

0. 0. - 3.4166667 1. - 5.0333333

0. - 1. 1.25 4. 10.2


A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

0. 3. 1.25 0. 1.

0. 0. - 3.4166667 1. - 5.0333333

0. 0. 1.6666667 4. 10.533333


A =

4. 0. - 1. 0. 2.8

0. 3. 1.25 0. 1.

0. 0. - 3.4166667 1. - 5.0333333

0. 0. 0. 4.4878049 8.0780488

-->x=zeros(4,1);b=A(:,5) , A=A(:,1:4)

b =

2.8

1.

- 5.0333333

8.0780488

A =

4. 0. - 1. 0.

0. 3. 1.25 0.

0. 0. - 3.4166667 1.

0. 0. 0. 4.4878049

-->x(4)=b(4)/A(4,4)

x =

0.

0.

0.

1.8

-->x(3)= (b(3)-A(3,4)*x(4))/A(3,3)

x =

0.

0.

2.

1.8

-->x(2)=( b(2)-A(2,3)*x(3)-A(2,4)*x(4))/A(2,2)

x =

0.

- 0.5

2.

1.8

-->x(1)=(b(1)-A(1,2)*x(2)-A(1,3)*x(3)-A(1,4)*x(4))/A(1,1)

x =

1.2

- 0.5

2.

1.8

3.1.4: Os pivots são :a11 = 4., a22 = −1.5, a33 = −2.1666667, a44 = 0.9230769

Solução: x =[

11. −23.666667 −6.8333333 −2.3333333]T

3.1.5: Resolvemos Ax = b, onde

A =

1. −2. 0. −1.−2. 2. −3. 0.0. 3. 1. −2.−1. 0. 4. 3.

, b =

−2.95.7−0.40.3

, x =

xyzw

Os pivots são : a11 = −2.0, a22 = 3.0, a33 = 5.8333333, a44 = −1.2Solução: x =

[

−1.3 0.5 −0.7 0.6]T

Em termos do problema apresentado: x = −1.3, y = 0.5, z = −0.7, w = 0.6.3.1.6: Resolvemos Ax = b, onde

A =

−2. 3. 1. 3. 2.−1. −1. 0. −1. 3.1. 1. 0. 1. 1.0. 3. −2. 2. −2.0. −1. 3. 1. −1.

, b =

85213

, x =

xyzwv

Os pivots são : a11 = −2.0, a22 = 3.0, a33 = 2.3333333, a44 = 0.7142857, a55 = 4.0

Solução: x =[

−1.625 −8. −4.375 9.875 1.75]T

Em termos do problema apresentado: x = −1.625, y = −8, z = −4.375, w =9.875, v = 1.75.3.1.7: x = 0, temos um sistema aumentado já na forma triangular


[

A b]

=

0.5 3. −1. 1.0. −1. 2. 0.0. 0. 1. −1.

que produz y = y0 = −2. Para x = 0.3 temos

[ A b ] =

0.5 3. −1. 10.09 −1. 2. 00. 0. 1. −1

⇒ [ U b̃ ] =

0.5 3. −1. 1.0. −1.54 2.18 −0.180. 0. 1. −1.

que produz y = y1 = −1.2987013. Para x = 0.6 temos

[ A b ] =

0.5 3. −1. 1.0.36 −1. 2. 0.0. 0. 1. −1.

⇒ [ U b̃ ] =

0.5 3. −1. 1.0. −3.16 2.72 −0.720. 0. 1. −1.

que produz y = y2 = −0.6329114. Para x = 0.9 temos

[ A b ] =

0.5 3. −1. 1.0.81 −1. 2. 0.0. 0. 1. −1.

⇒ [ U b̃ ] =

0.81 −1. 2. 0.0. 3.617284 −2.2345679 1.0. 0. 1. −1.

que produz y = y3 = −0.3412969.

3.2.1:

-->A=[4,0,-1,0;1,3,1,0;0,1,-3,1;1,-1,1,4],b=[2.8;1.7;-4.7;10.9]

A =

4. 0. - 1. 0.

1. 3. 1. 0.

0. 1. - 3. 1.

1. - 1. 1. 4.

b =

2.8

1.7

- 4.7

10.9

-->D=diag(diag(A)), N=A - D

D =

4. 0. 0. 0.

0. 3. 0. 0.

0. 0. - 3. 0.

0. 0. 0. 4.

N =

0. 0. - 1. 0.

1. 0. 1. 0.

0. 1. 0. 1.

1. - 1. 1. 0.

-->k=0; xk=zeros(4,1);[k xk’]

ans =

0. 0. 0. 0. 0.

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

1. 0.7 0.5666667 1.5666667 2.725

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

2. 1.0916667 - 0.1888889 2.6638889 2.3

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

3. 1.3659722 - 0.6851852 2.2703704 1.7388889

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

4. 1.2675926 - 0.6454475 1.9179012 1.6446181

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

5. 1.1794753 - 0.4951646 1.8997235 1.7672647

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

6. 1.1749309 - 0.4597329 1.9907 1.8314091

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

7. 1.197675 - 0.4885436 2.0238921 1.818659

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

8. 1.205973 - 0.5071890 2.0100385 1.7974723

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

9. 1.2025096 - 0.5053372 1.9967611 1.7941999

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

10. 1.1991903 - 0.4997569 1.9962876 1.798848

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

11. 1.1990719 - 0.4984926 1.999697 1.8011913

-->k=k+1; xk= D \ (b - N*xk );[k xk’]

12. 1.1999243 - 0.4995896 2.0008996 1.8006846

converge a x =[

1.1999243 −0.4995896 2.0008996 1.8006846]T

.3.2.2:

-->A=[6,-2,1,3;2,-7,2,1;0,0,3,1;0,0,-1,2]

A =

6. - 2. 1. 3.

2. - 7. 2. 1.

0. 0. 3. 1.

0. 0. - 1. 2.

-->b=[1;18;5;-11]

b =

1.

18.

5.

- 11.

-->D=diag(diag(A)), N = A - D

D =


6. 0. 0. 0.

0. - 7. 0. 0.

0. 0. 3. 0.

0. 0. 0. 2.

N =

0. - 2. 1. 3.

2. 0. 2. 1.

0. 0. 0. 1.

0. 0. - 1. 0.

-->k=0; xk=zeros(4,1);[k xk’]

0. 0. 0. 0. 0.

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

1. 0.1666667 - 2.5714286 1.6666667 - 5.5

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

2. 1.781746 - 2.8333333 3.5 - 4.6666667

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

3. 0.9722222 - 1.7290249 3.2222222 - 3.75

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

4. 0.9282880 - 1.9087302 2.9166667 - 3.8888889

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

5. 0.9887566 - 2.0284257 2.962963 - 4.0416667

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

6. 1.017531 - 2.0197468 3.0138889 - 4.0185185

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

7. 1.0003622 - 1.9936684 3.0061728 - 3.9930556

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

8. 0.9976095 - 1.9971408 2.9976852 - 3.9969136

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

9. 0.9997957 - 2.0009035 2.9989712 - 4.0011574

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

10. 1.000449 - 2.0005177 3.0003858 - 4.0005144

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

11. 1.0000203 - 1.999835 3.0001715 - 3.9998071

-->k=k+1; xk = D \ (b - N*xk);[k xk’]

12. 0.9999300 - 1.9999176 2.9999357 - 3.9999143

converge a x =[

0.9999300 −1.9999176 2.9999357 −3.9999143]T

.3.2.3:

-->// (a)

-->A=[4,0,-1;1,1,1;0,1,-2]

A =

4. 0. - 1.

1. 1. 1.

0. 1. - 2.

-->D=diag(diag(A)),N=A-D, re_ja=max(abs(spec(inv(D)*N)))

D =

4. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. - 2.

N =

0. 0. - 1.

1. 0. 1.

0. 1. 0.

re_ja =

0.7425580

-->// metodo de Jacobi converge !

-->// (b)

-->A=[6,0,-1;2,2,1;0,2,-2]

A =

6. 0. - 1.

2. 2. 1.

0. 2. - 2.

-->D=diag(diag(A)),N=A-D, re=max(abs(spec(inv(D)*N)))

D =

6. 0. 0.

0. 2. 0.

0. 0. - 2.

N =

0. 0. - 1.

2. 0. 1.

0. 2. 0.

re =

0.7628929

-->// metodo de Jacobi converge !

-->// (c)

-->A=[4,0,-1;1,1,3;0,1,-2]

A =

4. 0. - 1.

1. 1. 3.

0. 1. - 2.


D =

4. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. - 2.

N =

0. 0. - 1.


1. 0. 3.

0. 1. 0.

re =

1.2275509

-->// metodo de Jacobi nao converge !

-->// (d)

-->A=[4,3,-1;3,2,0;0,1,-2]

A =

4. 3. - 1.

3. 2. 0.

0. 1. - 2.


D =

4. 0. 0.

0. 2. 0.

0. 0. - 2.

N =

0. 3. - 1.

3. 0. 0.

0. 1. 0.

re =

1.1358166

-->// o metodo de Jacobi nao converge.

3.2.4:

-->A=[4,0,-1,0;1,3,1,0;0,1,-3,1;1,-1,1,4],b=[2.8;1.7;-4.7;10.9]

A =

4. 0. - 1. 0.

1. 3. 1. 0.

0. 1. - 3. 1.

1. - 1. 1. 4.

b =

2.8

1.7

- 4.7

10.9

-->L=tril(A), N = A - L

L =

4. 0. 0. 0.

1. 3. 0. 0.

0. 1. - 3. 0.

1. - 1. 1. 4.

N =

0. 0. - 1. 0.

0. 0. 1. 0.

0. 0. 0. 1.

0. 0. 0. 0.

-->k=0;xk=zeros(4,1);[k xk’]

0. 0. 0. 0. 0.

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

1. 0.7 0.3333333 1.6777778 2.2138889

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

2. 1.1194444 - 0.3657407 2.182716 1.8080247

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

3. 1.245679 - 0.5761317 1.9772977 1.7752229

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

4. 1.1943244 - 0.4905407 1.9948941 1.8050602

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

5. 1.1987235 - 0.4978725 2.0023959 1.800252

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

6. 1.200599 - 0.5009983 1.9997512 1.7996629

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

7. 1.1999378 - 0.4998964 1.9999222 1.8000609

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

8. 1.1999805 - 0.4999676 2.0000311 1.8000052

converge a x =[

1.1999805 −0.4999676 2.0000311 1.8000052]T

.3.2.5:

-->A=[6,-2,1,3;2,-7,2,1;0,0,3,1;0,0,-1,2],b=[1;18;5;-11]

A =

6. - 2. 1. 3.

2. - 7. 2. 1.

0. 0. 3. 1.

0. 0. - 1. 2.

b =

1.

18.

5.

- 11.

-->L=tril(A), N = A - L

L =

6. 0. 0. 0.

2. - 7. 0. 0.

0. 0. 3. 0.

0. 0. - 1. 2.

N =


0. - 2. 1. 3.

0. 0. 2. 1.

0. 0. 0. 1.

0. 0. 0. 0.

-->k=0;xk=zeros(4,1);[k xk’]

0. 0. 0. 0. 0.

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

1. 0.1666667 - 2.5238095 1.6666667 - 4.6666667

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

2. 1.3809524 - 2.3673469 3.2222222 - 3.8888889

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

3. 0.7849584 - 1.9820754 2.962963 - 4.0185185

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

4. 1.021407 - 2.0071112 3.0061728 - 3.9969136

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

5. 0.9950576 - 1.9992075 2.9989712 - 4.0005144

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

6. 1.0006928 - 2.0001695 3.0001715 - 3.9999143

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

7. 0.9998721 - 1.9999753 2.9999714 - 4.0000143

-->k=k+1; xk = L \ (b - N*xk);[k xk’]

8. 1.0000201 - 2.0000045 3.0000048 - 3.9999976

converge a x =[

1.0000201 −2.0000045 3.0000048 −3.9999976]T

.3.2.6:

-->// (a)

-->A=[4,0,-1;1,1,1;0,1,-2]

A =

4. 0. - 1.

1. 1. 1.

0. 1. - 2.

-->L=tril(A),N=A-L, re_gs=max(abs(spec(inv(L)*N)))

L =

4. 0. 0.

1. 1. 0.

0. 1. - 2.

N =

0. 0. - 1.

0. 0. 1.

0. 0. 0.

re_gs =

0.625

-->// o método de Gauss-Seidel converge !

-->// (b)

-->A=[6,0,-1;2,2,1;0,2,-2]

A =

6. 0. - 1.

2. 2. 1.

0. 2. - 2.


L =

6. 0. 0.

2. 2. 0.

0. 2. - 2.

N =

0. 0. - 1.

0. 0. 1.

0. 0. 0.

re_gs =

0.6666667

-->// o método de Gauss-Seidel converge !

-->// (c)


L =

4. 0. 0.

1. 1. 0.

0. 1. - 2.

N =

0. 0. - 1.

0. 0. 3.

0. 0. 0.

re_gs =

1.625

-->// o método de Gauss-Seidel nao converge !

-->// (d)

-->A=[4,3,-1;3,2,0;0,1,-2]

A =

4. 3. - 1.

3. 2. 0.

0. 1. - 2.


L =

4. 0. 0.

3. 2. 0.

0. 1. - 2.


N =

0. 3. - 1.

0. 0. 0.

0. 0. 0.

re_gs =

0.9375

-->// o metodo de Gauss-Seidel converge.

3.3.1:

F =

[

4x2 + 2xy3 − 912x2y − y3 − 4

]

, JF =

[

8x+ 2y3 6xy2

24xy 12x2 − 3y2

]

Raízes próximas a (−1.6; 0.2) e (−0.4;−2.2), respectivamente,k xk yk k xk yk0 - 1.6 0.2 0 -0.4 -2.21 -1.503636 0.1543816 1 -0.4472244 -2.08677612 -1.5008108 0.1481318 2 -0.4506405 -2.08657643 -1.5008124 0.1481080 3 -0.4506331 -2.08658764 -1.5008124 0.1481080 4 -0.4506331 -2.0865876

Raízes próximas a (1.5; 0.2) e (0.7; 1.8), respectivamente,k xk yk k xk yk0 1.5 0.2 0 0.7 1.81 1.4995506 0.1483347 1 0.6695428 1.75598282 1.4991827 0.1484309 2 0.6681802 1.75423783 1.4991827 0.1484310 3 0.6681777 1.75423524 1.4991827 0.1484310 4 0.6681777 1.7542352

3.3.2: δk = digsev(xk−1, xk)k xk yk δk0 1.0 0.0 —1 1.6 0.2 0.112 1.4998628 0.1829904 0.873 1.4964003 0.1819855 2.324 1.4963968 0.1819851 5.33

k xk yk δk0 -1.0 -1.5 —1 -1.0769231 -1.6057692 0.872 -1.0669457 -1.6041297 1.983 -1.0669346 -1.6040923 4.394 -1.0669346 -1.6040923 9.07

(x, y) = (1.4963968, 0.1819851) e (x, y) = (−1.0669346,−1.6040923) respect.3.3.3: δk = digsev(xk−1, xk). (x, y, z) = (−0.1010704,−0.1799307, 1.8302343) via

k xk yk zk δk0 -0.5 -0.5 2 —1 -0.0806686 -0.2456395 1.8343023 0.252 -0.0989519 -0.1800518 1.830213 1.133 -0.1010704 -0.1799309 1.8302343 2.644 -0.1010704 -0.1799307 1.8302343 6.67

3.3.4: δk = digsev(xk−1, xk) . (x, y) = (1.2342745, 1.6615265) viak xk yk δk0 1.25 2.0 —-1 1.2457887 1.7166922 0.572 1.2348567 1.6637042 1.283 1.2342756 1.6615302 2.674 1.2342745 1.6615265 5.42

3.3.5: δk = digsev(xk−1, xk)k xk yk δk0 4.0 3.0 —1 3.7715983 2.7931967 0.882 3.7568956 2.7799054 2.073 3.756834 2.7798496 4.454 3.756834 2.7798496 9.20

k xk yk δk0 1.5 -1.5 —1 1.3792006 -1.5346657 0.912 1.3734976 -1.5250239 1.963 1.3734784 -1.5249648 4.224 1.3734784 -1.5249648 8.90

(x, y) = (3.756834, 2.779849) e (x, y) = (1.3734784,−1.5249648) respectiv.

3.3.6: δk = digsev(xk−1, xk), (x, y, z) = (3.27111, 2.06233, 0.874938) viak xk yk zk δk0 3.45 2.22 0.78 —1 3.2915203 2.0768115 0.8637753 0.942 3.2713701 2.0624845 0.8748043 1.863 3.2711143 2.0623345 0.8749373 3.794 3.2711143 2.0623345 0.8749373 7.68

3.3.7: δk = digsev(xk−1, xk). (x, y) = (−0.4231550,−1.4239059); (x, y) =(0.4259188,−1.4044055) e (x, y) = (1.2909862, 0.6603876) via

−131 −130 −130 −129 −129 −129 −128 −128 −128 −127 −127 −127 −126 −126 −126 −125 −125 −124 −124 −124 −123 −123 −123 −122 −122 −122 −121 −121 −121 −120 −120 −120 −119 −119 −118 −118 −118 −117 −117 −117 −116 −116 −116 −115 −115 −115 −114 −114 −113 −113 −113 −112 −112 −112 −111 −111 −111 −110 −110 −110 −109 −109 −108 −108 −108 −107 −107 −107 −106 −106 −106 −105 −105 −105 −104 −104 −103 −103 −103 −102 −102 −102 −101 −101 −101 −100 −99.9 −99.6 −99.2 −98.8 −98.5 −98.1 −97.8 −97.4 −97.1 −96.7 −96.3 −96 −95.6 −95.3 −94.9 −94.6 −94.2 −93.8 −93.5 −93.1 −92.8 −92.4 −92.1 −91.7 −91.4 −91 −90.6 −90.3 −89.9 −89.6 −89.2 −88.9 −88.5 −88.1 −87.8 −87.4 −87.1 −86.7 −86.4 −86 −85.7 −85.3 −84.9 −84.6 −84.2 −83.9 −83.5 −83.2 −82.8 −82.4 −82.1 −81.7 −81.4 −81 −80.7 −80.3 −79.9 −79.6 −79.2 −78.9 −78.5 −78.2 −77.8 −77.5 −77.1 −76.7 −76.4 −76 −75.7 −75.3 −75 −74.6 −74.2 −73.9 −73.5 −73.2 −72.8 −72.5 −72.1 −71.8 −71.4 −71 −70.7 −70.3 −70 −69.6 −69.3 −68.9 −68.5 −68.2 −67.8 −67.5 −67.1 −66.8 −66.4 −66.1 −65.7 −65.3 −65 −64.6 −64.3 −63.9 −63.6 −63.2 −62.8 −62.5 −62.1 −61.8 −61.4 −61.1 −60.7 −60.3 −60 −59.6 −59.3 −58.9 −58.6 −58.2 −57.9 −57.5 −57.1 −56.8 −56.4 −56.1 −55.7 −55.4 −55 −54.6 −54.3 −53.9 −53.6 −53.2 −52.9 −52.5 −52.2 −51.8 −51.4 −51.1 −50.7 −50.4 −50 −49.7 −49.3 −48.9 −48.6 −48.2 −47.9 −47.5 −47.2 −46.8 −46.4 −46.1 −45.7 −45.4 −45 −44.7 −44.3 −44 −43.6 −43.2 −42.9 −42.5 −42.2 −41.8 −41.5 −41.1 −40.7 −40.4 −40 −39.7 −39.3 −39 −38.6 −38.3 −37.9 −37.5 −37.2 −36.8 −36.5 −36.1 −35.8 −35.4 −35 −34.7 −34.3 −34 −33.6 −33.3 −32.9 −32.5 −32.2 −31.8 −31.5 −31.1 −30.8 −30.4 −30.1 −29.7 −29.3 −29 −28.6 −28.3 −27.9 −27.6 −27.2 −26.8 −26.5 −26.1 −25.8 −25.4 −25.1 −24.7 −24.4 −24 −23.6 −23.3 −22.9 −22.6 −22.2 −21.9 −21.5 −21.1 −20.8 −20.4 −20.1 −19.7 −19.4 −19 −18.6 −18.3 −17.9 −17.6 −17.2 −16.9 −16.5 −16.2 −15.8 −15.4 −15.1 −14.7 −14.4 −14 −13.7 −13.3 −12.9 −12.6 −12.2 −11.9 −11.5 −11.2 −10.8 −10.5 −10.1 −9.74 −9.38 −9.03 −8.67 −8.31 −7.96 −7.6 −7.25 −6.89 −6.53 −6.18 −5.82 −5.46 −5.11

−5.11

−4.75

−4.75

−4.75

−4.39

−4.39

−4.39

−4.04

−4.04

−4.04

−3.68

−3.68

−3.68

−3.32

−3.32 −3.32

−2.97

−2.97 −2.97

−2.61

−2.61

−2.61

−2.26

−2.26

−1.9

−1.9

−1.54

−1.54

−1.19

−1.19

−0.83

−0.83

−0.474

−0.474

−0.117

−0.117

0.239

0.239

0.595

0.595

0.952

0.952

1.31

1.31

1.66

1.66

2.02

2.02

2.38

2.38

2.73

2.73

3.09

3.09

3.45

3.45

3.8

3.8

4.16

4.16

4.52 4.87

5.23 5.58

5.58 5.94

5.94 6.3 6.65 7.01 7.37 7.72 8.08 8.44 8.79 9.15 9.51 9.86 10.2 10.6 10.9 11.3 11.6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0


k xk yk δk0 -0.625 -1.375 —1 -0.4846961 -1.4100922 0.712 -0.4309261 -1.4229631 1.133 -0.4233057 -1.423892 1.994 -0.4231550 -1.4239059 3.695 -0.4231550 -1.4239059 7.10

k xk yk δk0 0.375 -1.375 —1 0.4359174 -1.4053086 1.042 0.4261846 -1.4044301 1.883 0.4259190 -1.4044055 3.444 0.4259188 -1.4044055 6.58

k xk yk δk0 1.25 0.75 —1 1.2861229 0.6632640 0.892 1.2910087 0.6603657 2.113 1.2909862 0.6603876 4.374 1.2909862 0.6603876 9.11

3.3.8: δk = digsev(xk−1, xk). Resposta (x, y) = (−0.5684848, 1.6490109) via

−14.6 −14.4 −14.2 −13.9 −13.7 −13.5 −13.3 −13.1 −12.8 −12.6 −12.4 −12.2 −12 −11.7 −11.5 −11.3 −11.1 −10.9 −10.6 −10.4 −10.2 −9.97 −9.75 −9.53 −9.31 −9.09 −8.87 −8.64 −8.42 −8.2 −7.98 −7.76 −7.54 −7.32 −7.1 −6.88 −6.66 −6.44 −6.22 −6 −5.78 −5.55 −5.33 −5.11 −4.89 −4.67 −4.45 −4.23 −4.01 −3.79 −3.57 −3.35 −3.13 −2.91 −2.69 −2.46 −2.24 −2.02 −1.8 −1.58 −1.36 −1.14

−0.919

−0.919

−0.698

−0.698

−0.478

−0.478

−0.257

−0.257

−0.0363

−0.0363

0.184

0.184

0.405

0.405

0.626

0.626

0.847

0.847

1.07

1.07 1.29

1.29

1.51

1.51

1.73

1.73

1.73

1.95

1.95

1.95

2.17

2.17

2.17

2.39

2.39

2.39

2.61

2.61 2.61

2.83

2.83 2.83

3.05

3.05 3.05

3.27

3.27 3.27

3.5

3.5 3.5

3.72

3.72 3.72

3.94

3.94 3.94

4.16

4.16 4.16

4.38

4.38 4.38

4.6

4.6 4.6

4.82

4.82 4.82

5.04

5.04 5.04

5.26

5.26

5.26

5.48

5.48 5.48

5.7

5.7 5.7

5.92

5.92

5.92

6.14

6.14

6.14

6.37

6.37

6.37

6.59

6.59

6.81

6.81

7.03

7.03

7.25

7.25 7.47 7.69 7.91 8.13 8.35 8.57 8.79 9.01 9.23 9.46 9.68 9.9 10.1 10.3 10.6 10.8 11 11.2 11.4 11.7 11.9 12.1 12.3 12.5 12.8 13 13.2 13.4 13.6 13.9 14.1 14.3 14.5 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.9 16.1 16.3 16.5 16.7 17 17.2 17.4 17.6 17.8 18.1 18.3

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

k xk yk δk0 -0.5 1.75 —1 -0.5600621 1.6440588 0.852 -0.5685261 1.6489885 1.953 -0.5684848 1.6490109 4.274 -0.5684848 1.6490109 8.61

3.3.9: (x, y) = (−5.7211736, 4.6310269) e (x, y) = (2.3191118,−2.4042228), respect.Implica α = 38.989 graus, β = 46.032 graus.

3.3.10: Definimos e plotamos K(x, y) assim:

function u=K(x,y)

if (x**4/4 + y**2/2 < 2)

u=x^5*y^3 - x^3 + y^3 + x - 6*y

else; u=0; end

endfunction

vx=[-2:.05:2]; vy=[-2:.05:2]; mz=feval(vx,vy,K);

mesh(vx,vy,mz)

e vemos que a solução está na fronteira, aproximadamente (x, y) = (−1.5,−1.4). Compa-rando ∇f e ∇g neste ponto, aproximamos z = 22.28.

F =

5x4y3 − 3x2 + 1− zx3

3x5y2 + 3y2 − 6− zyx4/4 + y2/2− 2

e a aplicação do método de Newton para sistemas produzk xk yk zk0 -1.5 -1.4 22.281 -1.4068637 -1.4490785 23.2385352 -1.397605 -1.4466592 22.93753 -1.3974628 -1.4467504 22.9391294 -1.3974628 -1.4467504 22.939128

assim (x, y) = (−1.3974628,−1.4467504) e o máximo é M = 28.36825.

3.3.11: Equacionando {∇f − z · ∇g = 0; g = 0, temos

−y exp(−x) + exp(−2y)− 2xz = 0exp(−x)− 2x exp(−2y)− 2yz = 0x2 + y2 − 2 = 0

que já está escrito na forma F (x, y, z) = 0. A matriz Jacobiana é

JF =

y exp(−x)− 2z − exp(−x)− 2 exp(−2y) −2x− exp(−x)− 2 exp(−2y) 4x exp(−2y)− 2z −2y2x 2y 0

em (x, y) = (0.8,−1.2), temos, aproximadamente ∇f ≈ 7.226482∇g, e assim, iterando ométodo de Newton a partir de (0.8,−1.2, 7.226482) temos


k xk yk zk0 0.8 -1.2 7.2264821 0.7948704 -1.1700864 6.85396762 0.7949268 -1.1696544 6.85741943 0.7949268 -1.1696544 6.85742194 0.7949268 -1.1696544 6.8574219

Ponto de máximo (0.7949268,−1.1696544) corresponde ao máximo M = 7.7183885.3.3.12:

-->// curvas de nivel: nenhum candidato no interior, 4 na fronteira

-->// proximos a [-1.6;-1.0] , [-0.6;-1.3] , [-1.6;0] e [1.6;1.0]

-->[f(-1.6,-1.0) f(-0.6,-1.3) f(-1.6,0.0) f(1.6,1.0) ]

ans = - 3.744 - 6.7108 - 6.4 17.056

-->// a resposta de nosso problema vem do quarto ponto

-->// gradf = [4+x^2y + 2xy(x+y) ] = [ 4 + xy(3x+2y) ]

-->// [4+x^2y + x*x(x+y) ] [ 4 + x*x(x+2*y)]

-->// gradg = [2x-y ; 4y-x ]

-->function vu=gradf( x,y)

--> vu=[4+x*y*(3*x+2*y);4+x*x*(2*y+x)];endfunction

-->function vu=gradg( x,y)

--> vu=[2*x-y;4*y-x];endfunction

-->xk=[1.6;1.0];gf=gradf( xk(1),xk(2) );gg=gradg(xk(1),xk(2));gf./gg

ans =

6.7636364

5.5066667

-->// z aprox 6.1 (multiplicador)

-->// sistema de equacoes a resolver:

-->// 4+x*y*(3*x+2*y)-z*(2*x-y) = 0 // gradf = z * gradg

-->// 4+x*x*(2*y+x)-z*(4*y-x) = 0

-->// 2*y*y+x*x-x*y-3 = 0 // g = 0

F =

4 + xy(3x+ 2y)− z(2x− y)4 + x2(2y + x)− z(4y − x)

2y2 + xx− xy − 3

, JF =

6xy + 2yy − 2z 3x2 + 4xy + z y − 2x4xy + 3xx+ z 2x2 − 4z x− 4y

2x− y 4y − x 0

k xk yk zk0 1.6 1. 6.11 1.6631301 0.9587974 6.36847922 1.6583649 0.9593957 6.34976983 1.6583511 0.9593986 6.34973464 1.6583511 0.9593986 6.3497346

resposta: o ponto é (x, y) = (1.6583511, 0.9593986).

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