4_flexao pura

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1RESISTNCIA DOS MATERIAISCAPITULONotas de Aula: Prof. Gilfran MilfontAs anotaes, bacos, tabelas, fotos egrficos contidas neste texto, foramretiradas dos seguintes livros:-RESISTNCIA DOS MATERIAIS-Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGrawHill-4 edio-2006- RESISTNCIADOSMATERIAIS-R.C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-2004-MECNICADOSMATERIAIS-JamesM. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003-MECNICA DOS MATERIAIS- AnselC. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009-MECNICA DOS MATERIAIS- Riley,Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-20034Flexo PuraRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo Pura1 - 2Flexo Pura:quando em uma barra prismtica s atuam momentos fletores, dizemos que esta barra est submetida a flexo pura.2RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTOutros Tipos de Carregamento1 - 3 Principoda Superposio: a tensonormal devido flexo pura pode sercombinada com a tenso normal devido carga axial e com a tenso decisalhamento devida fora cortante,para encontrar o estado real de tensoem um ponto. CarregamentoExcntrico: Carga axialque no passa atravs do centride daseo, produz foras internas,equivalentes a uma fora axial e ummomento Carregamento Transversal: cargasconcentradas ou distribudas atuandotransversalmente barra, produzemforas internas, equivalentes a uma foracortante e um momento fletor.RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTBarra Prismtica em Flexo Pura1 - 4}= = }= = }= =M dA y MdA z MdA Fx zx yx xooo00 Estas exigncias podem ser aplicadas para o elento interno da barra. Se as foras internas em qualquer seo equivalente a um momento, o momento interno resistente igual ao momento externo, que chamado de momento fletor. A soma das componetes das foras em qualquer direo deve ser zero O momento em relao a qualquer eixo perpendicular a seu plano, sempre o mesmo; o momento em relao a qualquer eixo contido no seu plano, nulo.3RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformao Devida Flexo1 - 5Vigas com um plano de simetria sob flexo pura: A viga permanece simetrica. Flete uniformemente formando um arco circular. Os planos que contm as sees transversais passam pelo centro do arco e permanecem planos O comprimento da fibras do topo diminuem e os da base aumentam. Existe um conjunto de fibras, formando uma superfcie, onde no h variao no comprimento das fibras, chamada superfcie neutra. As tenses e deformaes so negativas (compresso) acima da superficie neutra e positivas (trao) acima desta.RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformao Devida Flexo1 - 6Considere uma viga de comprimento L.Aps a deformao, o comprimento da superfcie neutra permanece igual L.Para uma outra superfce, distante de y da superfcie neutra,ymx xc c c =mxmxccc c = = ou( )( )xy yLy y L Ly L uu ocu u u ou = = = = = ' = = 'A deformao mxima ocorre na superfcie da viga:4RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTTenso Devida Flexo1 - 7 Para o material elstico,y(a tenso varia linearmente)mxmx x xcyEcEoc c o = = = Para o equilbrio esttico,}} } = = = =dA ycdAcydA Fmxmx x xoo o00O momento esttico da seo em relao a linha neutra nulo. Isto significa que a linha neutra passa pelo centride da seo. Para o equilbrio esttico,cIdA ycMdAcyy dA y Mmx mxmx x= =|.|

\| = =}} }o oo o2IMyx = ocymx x = o oSubstituindo: =>WMIMcmx= = oA tenso normal mxima ocorre na superfcie da viga e dada por:RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTPropriedades da Seo da Viga1 - 8M McMdulo de resistncia Momento de inrcia da seo= === =cIWIW Imxo Tenso normal mxima devido flexo:Quanto maior o mdulo de resistncia, menor ser atenso na viga, para um determinado momento fletorAh bhhbhcIW61 26131212= = = = Considere uma viga de seo retangular,Entre duas vigas com a mesma rea da seotransversal, a viga com maior momento deinrcia ser a mais efetiva em resistir a flexo. Perfis altos, com uma relao h/b muitoelevada, esto sujeitos a instabilidade lateral.5RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.1m KN m N McIMIMcm mmbhImx mx. 3 . 3000 10 25010 3010 36010 360 10 3601260 20126394 9 4 33 3= = == => = = == =o o1 - 920mm60mmA barra de ao da figura, est submetida adois conjugados iguais e de sentidocontrrios, que agem em um plano verticalde simetria. Determinar o valor domomento M que provoca escoamento nomaterial da barra. Adotar Y=250MPaSOLUO:RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.2mm y r c mmry 91 , 6 09 , 5312 434_ _= = == =t t) ( 3 , 142 2 , 19391 , 609 , 5:) ( 2 , 193 10 76 , 2 10 70:10 76 , 2250091 , 6_3 93trao MPacyser trao de tenso a ecompresso MPa EHooke de lei a Aplicandocmxmx mxmx= = == = = = = =o oc oc1 - 10Uma barra de alumnio tem seo transversal em formade semi-crculo, com raio r=12mm. A barra flexionadaat se deformar em um arco de circunferncia de raiomdio =2,5m. Sabendo-se que a face da curva da barrafica voltada para o centro de curvatura do arco,determinar a mxima tenso de trao e de compressona barra. Adotar E=200GPa.SOLUO: Encontramos inicialmente a ordenada do centride C:Como:6RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformaes em Uma Seo Transversal1 - 11 A deformao devido ao momento fletor quantificada pela curvatura da superfcie neutra,EIMIMcEc Ec cmx mx== = =1 1 o c Embora os planos da seo transversalpermaneam planos quando submetidos a ummomento fletor, no plano, as deformaes no sonulas,vvc cvvc cy yx z x y= = = = Expanso acima da Superfcie Neutra e contraoabaixo, causam uma curvatura no plano.curvatura anticlstica1= =' vRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTProblema Resolvido 4.21 - 12Uma pea de mquina de ferrofundido submetida a ummomento fletor M=3KN.m.Sabendo que E=165GPa edesprezando a concentrao detenses, determine:(a) a tenso normal mxima detrao e de compresso,(b) O raio de curvatura da peafletida.7RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTProblema Resolvido 4.21 - 13SOLUO:Baseado na geometria da seo, calcule alocalizao do centride da seo e o seumomento de inrcia.mm 38300010 1143===AA yY = = = = 3333 210 114 300010 4 2 20 1200 30 40 210 90 50 1800 90 20 1mm , mm , mm Area,A y AA y y( ) ( )( ) ( )4 9 - 32 3121 2 31212 3121 2m 10 868 mm 10 86818 1200 40 30 12 1800 20 90 = = + + + = + = + ='Id A bh d A I Ix( ) + =='2d A I IAA yYxRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTProblema Resolvido 4.21 - 14 Aplique a equao para tenso normal devido flexo e calcule as tenses:4 94 9mm 10 868m 038 . 0 m kN 3mm 10 868m 022 . 0 m kN 3 = = = ==Ic MIc MIMcBBAAmoooMPa 0 . 76 + =AoMPa 3 . 131 =Bo Calcule a curvatura:( )( )4 9 -m 10 868 GPa 165m kN 31==EIMm 7 , 47m 10 95 , 2011 - 3= =8RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo de Barras Constitudas Por Vrios Materiais1 - 15 Considere uma viga composta de doismateriais com E1e E2. A tenso normal varia linearmente.cyx = Logo, a tenso normal em cada material:c oc oy EEy EEx x22 211 1 = = = = A linha neutra no passa atravs docentride da seo composta. As foras elementares na seo so:dAy EdA dF dAy EdA dFoo22 211 1 = = = =( )( )12 1 12EEn dA ny EdAy nEdF = = = A seo transformada definida por:x xxnIMyo o o oo= = =2 1RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.31 - 16Uma barra constituda de ao (Ea= 200GPa) e lato (El=100GPa) tem a seo indicada na figura. Determine a tensonormal mxima no ao e no lato, quando a barra fica sujeita flexo pura com um momento de 2KN.m.10mm5mmAoLato5mm40mmLato40mm30mm5mm 5mm20mm20mmSOLUO: Transforme a barra em uma seo equivalente, feita inteiramente de bronze.2100200= = =laEEnA barra transformada ter uma largura, bT=2x10+5+5=30mm Calcule o I da seo tranformada:( )( )4 9 12 3121 312110 160 10 ] 40 30 [ m h b IT = = = Calcule as tenses mximas:( )( )MPaIMcm25010 16010 20 10 293 3= = =o( )( ) MPa nMPam am l500 250 2250maxmax= = == =o oo o( )( ) MPaMPamx smx l00 5250==oo9RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTVigas de Cocreto Armado1 - 17 O concreto suporta bem o esforo de compresso,mas no o de trao. Por isto, se constroem vigas deconcreto, reforadas com barras de ao, que seroresponsveis por suportar os esforos de trao. Na seo transformada, a rea do ao, Aa, substituda pela rea equivalente nAaonde:n = Ea/Ec. Para determinao da linha neutra, temos que Q=0( ) ( )002221= += d A n x A n x bx d A nxbxa aa A tenso normal no ao e no concreto dada por:x a x cxnIMyo o o oo= = =RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTConcentrao de Tenses1 - 18Concentraes de tenso ocorrem: Nas proximidades dos pontos de variao brusca de seo.IMcKmx = o Nas barras com entalhes.K=fator de concentrao de tenses10RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformaes Plsticas1 - 19 Para qualquer pea submetida a flexo pura, temos:mx xcyc c =a deformao varia linearmente atravs da seo. Se a pea feita de um material linearmente elstico,a linha neutra passa atravs do centride da seoIMyx = oe Para materiais com a curva tenso-deformao nolinear, a localizao do eixo neutro encontrado,satisfazendo as equaes:} =}= = dA y M dA Fx x xo o 0 Para um elemento com simetria vertical e horizontale mesma relao de tenso de trao e decompresso, o eixo neutro passa pelo centride daseo e a relao tenso-deformao pode ser usadapara a distribuio das deformaes a partir dadistribuio das tenses.RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformaes Plsticas1 - 20 Quando a tenso atinge o valor da Tenso ltimado material, ocorre a falha, e o correspondentemomento fletor MU chamado de momento fletorltimo. Na prtica, atensoltima, U, determinadoexperimentalmente, encontrando-se MUeadotando-se uma distribuio de tenso linearfictcia.Ic MUU= o U chamado de mdulo de ruptura na flexoe pode ser usado para na determinao doMUde uma barra do mesmo material do corpo deprovas. A figura ao lado mostra a distribuiofictcia e a distribuio real de tenses em umabarra retangular.11RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTBarras de Material Elastoplstico1 - 21c Barra retangular de material elastoplsticomximo momento elstico= = == sY Y Y mm Y xIMIMco o oo o o Se o momento aumentado acima do mximomomento elstico, surgem zonas plsticas.altura elstica, acima da L.N. 1223123=||.|

\| =YYYycyM M Se o momento continua a aumentar, a altura elstica setorna zero e toda a seo entra na zona plstica.fator de formaMomento plstico23= == =YpY pMMkM MRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTDeformaes Plsticas de Membros Com Um Plano de Simetria1 - 22 Deformao plstica total de vigas com um nicoplano de simetria vertical. As resultantes R1e R2das foras de compresso ede trao formam um momento.Y YA AR Ro o2 12 1==Alinha neutra divide a seo em reas iguais. O momento plstico total para o membro :( )d A MY po21= O eixo neutro no pode ser assumido passar pelocentride da seo.12RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTTenses Residuais1 - 23 Zonas plsticas so desenvolvidas em ummembro de um material elastoplstico se omomento for grande o suficiente para tal. No descarregamento, existe uma relao linearentre a tenso e a deformao, assumindo quenesta fase o membro totalmente elstico. As tenses residuais so obtidas pelasuperposio do efeito da tenso durante ocarregamento (deformao elastoplstica) e atenso durante o descarregamento (deformaoelstica). A tenso final em um ponto, aps odesgarregamento, em geral no nula.RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.05, 4.061 - 24 Um membro de seo retangular uniforme submetido a um momento M = 36.8 kN-m. Omaterial de sua construo consideradoelastoplstico, com tenso de escoamento de 240MPa e mdulo de elasticidade de 200GPa.Determine:(a) a altura da zona elstica,(b) o raio de curvatura da superfcie neutra.Aps o carregamento ser reduzido a zero,determine:(c) A distribuio das tenses residuais,(d) o raio de curvatura.13RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.5, 4.61 - 25( )( )( )( )m kN 8 . 28MPa 240 m 10 120m 10 12010 60 10 503 63 623 332 232 = = = = = = Y YcIMm m bccIo Mximo momento elstico : a) Altura da zona elstica:( )666 . 0mm 601 m kN 28.8 m kN 8 . 361223123223123= =||.|

\| = ||.|

\| =Y YYYYycycycyM Mmm 80 2 =Yy b) Raio de curvatura:3339610 2 . 1m 10 4010 2 . 1Pa 10 200Pa 10 240= == == =YYYYYYyyEccocm 3 . 33 = RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.5, 4.61 - 26 M= 36.8 kN-mMPa 240mm 40Y ==oYy M= -36.8 kN-mY3 62 MPa 7 . 306m 10 120m kN 8 . 36oo< == = 'IMcm d) M = 0m 225 = 6369610 5 . 177m 10 4010 5 . 177Pa 10 200Pa 10 5 . 35= = = = =xYxxyEcocc)14RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTCarregamento Excntrico1 - 27 A tenso devido ao carregamento excntrico encontrada pela superposio da tenso causadapela carga P com a tenso causada pelo momentofletor M:( ) ( )IMyAPx x x =+ =flexo centradao o o Carregamento excntricoPd MP F== A equao acima vlida para tenses abaixodo limite de proporcionalidade.RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.71 - 28Um elo aberto de corrente obtido pelo dobramento de umabarra de ao de baixo teor de carbono, conforme mostradona figura ao lado. Para uma carga de 800N, determine:(a) Atenso normal mxima de trao e de compresso,(b) Adistncia entre o centride da seo e o eixo neutro. Carregamento equivalente: P=800NeM=P.d=12N.mSOLUO: Tenso normal devido carga centrada:( ) 0,00622m 113,1x10-62== = c A7,07 MPa113,1x10-68000= = =APot t Tenso normal devido ao momento fletor70,7 MPa= =IMcmom 10 1,018 =4 9()0,006441 441= =c It t15RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.71 - 29 Tenso normal mxima de trao e de compresso:70,7 7,170,7 7,100 = =+ =+ =m cm to o oo o o=to 77,8 MPa 63,6 MPa =comm y 60 , 01210 018 , 107 , 790= = Localizao do eixo neutro:0 =MIAPyMy00 =I AP=xoRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.81 - 30A tenso mxima admissvel para apea de ferro fundido da figura de 30MPa para trao e 120 MPa paracompresso. Determine a maior cargaP que pode ser aplicada na pea.Propriedades da seo:4 92 3m 10 868m 038 , 0m 10 3 == =IYA16RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.81 - 31 Determine a carga e o momento equivalentes.momento fletor 028 . 0,carga centradam 028 . 0, 010 , 0 038 . 0,= = === =P Pd MPd Iguale as tenses encontradas em funo de P com as tenses admissveis:BkN 0 , 77 MPa 120 1226kN 6 , 79 MPa 30 377= = == = + =P PP PAookN 0 , 77 = P A carga mxima o menor dos valores encontrados: Calcule as tenses por superposio de efeitos:( )( )( )( )PP PIMcAPPP PIMcAPABAA122610 868038 , 0 028 , 010 337710 868022 , 0 028 , 010 39 39 3 = = =+ =+ = + = ooRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo Fora do Plano de Simetria1 - 32 At agora, nos limitamos a anlise demembros submetidos a momentos atuandoem um plano de simetria. Iremos agora, considerar situaes em queo momento no atua em um plano desimetria. No podemos assumir que o membro irfletir no plano de atuao dos momentos. Estes membros permanecem simtricos emrelao ao plano de atuao dos momentos,e se flexionam nesse plano, conformemostrado na figura ao lado.17RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo Fora do Plano de Simetria1 - 33Desejamos determinar sob quecondies a L.N. da seo transversal,de uma rea qualquer, coincide com oeixo dos momentos, conforme figura aolado.o vetor de momento precisa estardirecionado ao longo de um eixoprincipal centroidal.produto de inrcia I dA yzdAcyz dA z Myzm x y= =}=} |.|

\| =}= =0 ou0 o o A resultante das foras emomentos na seo precisamsatisfazer:momento aplicado M M M Fz y x= = = =0a linha neutra passa atravs do centride.}=} |.|

\| =}= =dA ydAcydA Fm x x0 or0 o odefine a distribuio de tensesmomento de inrcia I IcI dAcyy M Mzmm z= = =} |.|

\| = =M ouoRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo Fora do Plano de Simetria1 - 34A superposio aplicada para determinar astenses, em casos de momentos assimtricos. Decompondo o vetor de momento sobre os eixosprincipais centroidais.u u sin cos M M M My z= = Superpondo as componentes de tenses:yyzzxIy MIy M+ = o Ao longo da L.N., temos:( ) ( )u |u uotan tansin cos0yzy z yyzzxIIzyIy MIy MIy MIy M= =+ = + = =18RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.081 - 354 634 6310 48 , 012) 040 , 0 ( 090 , 010 43 , 212) 090 , 0 ( 040 , 0m Im Iyz == ==m N sen Mm N Myz. 100 30 200. 2 , 173 30 cos 20000= == =Um momento de 200 N.m aplicado em uma viga demadeira, em um plano que forma 30 com a vertical.Determine:(a) a tenso normal mxima de trao na viga,(b) o ngulo que a linha neutra forma com a horizontal. Decomponha o momento em suas componentes e calcule osmomentos de inrcia:SOLUO:RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.81 - 36 A tenso normal mx.de trao, devido a superposio de efeitos, ocorre em A.MPa 38 , 7 17 , 4 21 , 32 1 max= + = + = o o oMPa 38 , 7max = oA tenso de trao mxima devido a Mz ocorre ao longoda aresta AD e vale: Determine o ngulo da linha neutra com a horizontal:.92 , 2 30 tan10 48 , 010 43 , 3tan tan066== =u |yzIIo1 , 71 = |MPaIy Mzz21 , 310 43 , 2045 , 0 2 , 1736 1===oA tenso de trao mxima devido a My ocorre ao longo da aresta AD e vale:MPaIz Myy17 , 410 48 , 0020 , 0 1006 2===o19RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTCaso Geral de Carregamento Axial Excntrico1 - 37 Considere uma barra submetida a duas forasiguais e opostas, porm excntricas. Este carregamento equivalente ao mostradona figura inferior.Pb M Pa MPz y= ==carga centrada Pelo princpio da superposio, a tensocombinada :yyzzxIz MIy MAP+ = o A L. N. pode ser encontrada aplicando aequao abaixo:0 = + zIMyIMAPyyzzRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.91 - 38Um bloco de seo retangular, recebe uma carga de4,80KN, aplicada excentricamente. Pede-se:a)Determinar as tenses nos pontos A, B, C e D.b)Determinar a posio da L.N. na seo transversal.SOLUO: O carregamento dado equivalente ao da fig. abaixo:4 6 34 6 32 33 33 310 52 , 11 ) 120 , 0 )( 80 , 0 (12110 12 , 5 ) 80 , 0 )( 120 , 0 (12110 60 , 9 120 , 0 80 , 0: Pr. 120 10 25 10 80 , 4. 192 10 40 10 80 , 4m Im Im Aseo da opriedadesm N Mm N Mzxzx = = = = = == == =20RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.9MPaIx MMPaIz MMPaAPzmx zxmx x625 , 010 52 , 11) 10 60 ( 1205 , 110 12 , 5) 10 40 ( 1925 , 010 60 , 980 , 46326313 0= = == = = == =ooo1 - 39Tenso devido carga P:Tenso devido ao momento Mx:Tenso devido ao momento Mz:MPaMPaMPaMPaDCBA375 , 0 625 , 0 5 , 1 5 , 0625 , 1 625 , 0 5 , 1 5 , 0375 , 1 625 , 0 5 , 1 5 , 0625 , 2 625 , 0 5 , 1 5 , 0+ = + =+ = + = = + = = =ooooa) Tenso em cada ponto:b) Posio da L.N.:mm HAHAmm BGBG70375 , 0 625 , 2625 , 2807 , 36375 , 1 625 , 1375 , 180= +== +=Distribuio das tenses:RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo de Barras Curvasu ou u uu u ou u ou uA =A = = = = ==yFazendoy R y RLogoy R r e y R rfig da Temosr rR R'' '' '' '' ':) ( ) (:.rr R Ey Ry EELogoy Ryryrx xx A =A = =A =A = =u uu uc ouuuuuoc. .:1 - 40Considere a barra curva de seo transversal uniforme indicada na figura. Suaseo transversal simtrica em relao ao eixo y.Tomando o arco JK, distante de y acima da Sup. Neutra:Atenso no varia linearmente com adistncia y da fibra estudada S.N.21RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo de Barras Curvas1 - 41}}==rdAArrdAAR1_} } }} }= == A =0 00 0dArdAR dArr RdArr R EdAxuuoA relao abaixo deve ser satisfeita:Distncia do centro de curvatura C at a S.N.O eixo neutro no passa pelocentride da seo da barra curvaOutra relao que devemos satisfazer :AeMR r AM EM A r RA RAEM rdA RArdAREM dArr R EM ydArr R EM dA yz==A = + A =((

+ A = A = A = } }}} }) () 2 (2) ((__22uuuuuuuuuuoEncontramos, ento:r e AR r My R e Ay Mx. .) .() ( .. = = oRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTFlexo de Barras CurvasR e A EMR Re A EMR R RComoR R. . .1 1. .1111 1:1 1'''''= |.|

\|+ = |.|

\| A+ =A + == =uuu u uuu1 - 42Distncia R do centro de curvatura C at a S.N. para sees usuais:Mudana na curvatura da S.N., causada pelo momento fletor M:22RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.10mm R r emm Rmmhr rmmhr rrrhrdrhrdr bh brdAARrrrrrr523 , 0 477 , 99 100477 , 995 , 875 , 112ln255 , 112 5 , 12 10025 , 87 5 , 12 1002ln..__2_112212121= = == == + = + == = == = = =} } }1 - 43Uma barra retangular de eixo curvo tem raio mm r 100_=e uma seo tranversal de largura b=50mm e alturah=25mm. Determinar a distncia e entre o centridee o eixo neutro da seo.SOLUO: Inicialmente determinamos o raio R da S.N.99,477mm 100mm0,523mmRESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONTExemplo 4.11MPar e AR r MMPar e AR r Mmm h b Am N Mmx5 , 104) 10 5 , 87 )( 10 523 , 0 )( 10 1250 (10 ) 48 , 99 5 , 87 ( 500. .) (5 , 88) 10 5 , 112 )( 10 523 , 0 )( 10 1250 (10 ) 48 , 99 5 , 112 ( 500. .) (1250 25 50 .. 5003 3 6311min3 3 63222 = === === = == ooMPaIc Mmx0 , 9610 ] ) 25 ( ) 50 [(12110 5 , 12 500 .12 33min , = = =o1 - 44Determinar para a barra do Ex. 4.10, os valores mximos das tenses de trao ecompresso, sabendo-se que o momento fletor na barra M=500 N.mSOLUO:Se usssemos a expresso da tenso para uma barra reta, teramos:O que diverge dos valores reais obtidos.