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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Limites de Pontos de Ramificacaode Curvas Planas, Usando
Folheacoes
Wallace Mangueira de Sousa
Tese de Doutorado
Orientador: Eduardo Esteves
2017
A conversacao enriquece a compreensao, mas
a solidao e a escola do genio. Edward Gibson
RESUMO
Desenvolvemos um metodo para calcular o limite de curvas duais planas
de alguns tipos de famılias. Alem disto, fazemos um comparativo entre a
formula do limite de curvas duais planas dada por Katz [9] e o metodo aqui
introduzido.
O nosso principal resultado e calcular o limite de curvas duais da famılia
de Zeuthen de qualquer tipo, isto e, da famılia de curvas planas F =
E2A+F1(X,Y, Z)t+F2(X,Y, Z)t2 + · · · ∈ k[X,Y, Z][[t]] cuja fibra generica
e reduzida, E e um polinomio homogeneo irredutıvel, A um polinomio ho-
mogeneo livre de quadrados e gcd(E,A) = 1.
Em termos concretos, mostramos que
limt→0
F ? = 2E? +A? + [∆n · E]? + (4− n)[E ·A]?,
onde n e um inteiro positivo e ∆n e um discriminante definido de forma
recursiva. Usamos a seguinte notacao: seja C uma curva plana. Denotamos
por C? para a curva dual de C. Sejam D1, D2 duas curvas planas sem
componentes em comum. Denotamos por [D1 ·D2]? a uniao dos pencils de
retas que passam por cada um dos pontos de D1 ∩ D2, contados com as
mesmas multiplicidades de intersecao que o correspondente ponto tem no
0-ciclo [D1 ·D2].
De fato, calculamos algo um pouco mais geral: o 0-ciclo do limite do
esquema de ramificacao generico sobre a fibra generica da famılia de Zeuthen
de qualquer tipo de um sistema linear geral. Para tanto, desenvolvemos um
metodo de recorrencia de tal forma que as condicoes impostas sobre a fibra
generica implicam que este metodo de recorrencia finalize.
AGRADECIMENTOS
Imensamente grato a Deus pelo dom da vida e conquistas alcancadas.
Forca motriz da minha existencia e responsavel por fornecer toda a firmeza
necessaria ao enfrentar de cada dia, assim como, todo o acalento e amor de
um Pai ao seu filho. E ao Senhor que primordialmente dedico cada caractere
deste trabalho.
A minha mae, sımbolo de coragem e amor impecavel, pela constancia e
incessante apoio aos meus projetos e educacao. Ao meu pai, por mostrar-me
que a determinacao pode nos levar a caminhos inacreditaveis.
As minhas irmas e sobrinho, por todos os momentos de descontracao e
alegria.
Aos meus avos, Cesar, Ana e “Amigao”, exemplos de fraternidade, que
com a superacao de inumeras adversidades fizeram dos meus pais pessoas
de bem e hoje, mesmos carregando os sinais da elevada idade, expoem com
orgulho as marca do labor, distribuindo ternura e sabedoria a todos que os
circundam.
Em especial, ao meu primo “Marcinho”, que embora nao nos regue mais
com o balsamo da sua alegria, irmandade e perseveranca, plantou como
semente no ıntimo dos nossos coracoes tudo o que de bom pairava sobre si,
essa, que germinou e a cada dia cresce como quem foi plantada em terreno
fertil, fornecendo doces frutos, porem, com o talo amargo da saudade.
A toda a minha famılia pelo apoio e incentivo dados.
A minha namorada, Princesa, pelo companheirismo, paciencia e genuıno
amor que me foi ternamente fornecido ao longo de todos esses anos, tambem
por acreditar nos meus sonhos e como fiel amiga agir em proveito das suas
realizacoes.
Ao padre “Ze” Sinfronio e “Dona Bidia”, pelos seus ensinamentos e todo
o vigor em sempre impulsionar-me a seguir pelos melhores caminhos. Que
em fim possam repousar ao lado do Senhor.
Aos docentes da Universidade Federal da Paraıba, aqui especialmente
representados em nome dos professores Fernando Xavier, amigo e primeiro
a orientar-me pelas veredas da matematica e Roberto Bedregal, orientador
no mestrado, com o qual desfrutei de bons momentos conversando sobre
Algebra Comutativa.
Aos antigos amigos dos cursos de Fısica e Matematica da UFPB, dos
quais lembro com nostalgia. Assim como, as mais recentes, mas nao menos
importantes amizades com parte do alunado do Instituto de Matematica
Pura e Aplicada, destacadamente Cayo e Rick, que muito ajudaram dentro
e fora “das quatro linhas” desta instituicao.
A todo o corpo docente do IMPA pelos ensinamentos prestados, espe-
cialmente ao professor Karl-Otto, pelas produtivas conversas que tivemos,
e Eduardo Esteves pela paciencia, apoio e brilhante orientacao, esta, indis-
pensavel na conclusao deste ciclo.
Por fim, agradeco tambem a Capes pelo essencial apoio financeiro.
v
Contents
Introducao 1
1 Wronskianos e esquemas de ramificacao 7
1.1 Wronskianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Derivacoes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Esquemas de ramificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Famılias infinitesimais e limites 17
2.1 Famılias e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 F-Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 F-Derivacoes reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Adaptacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Aplicacoes 28
3.1 Famılias de Zeuthen de “primeiro tipo” . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Famılias de Zeuthen de “segundo tipo” . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Outros tipos de famılias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Famılias regulares 38
4.1 Polıgono de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Discriminante formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Famılias nao-regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Famılias de Zeuthen de tipo n 43
Introducao
As curvas planas de grau d sao parametrizadas por um espaco projetivo de
dimensao N =(d+2
2
)− 1. Supondo que a caracterıstica do corpo e 0, entao
as condicoes para uma curva “passando por um ponto” p e “tangente a uma
reta” L sao representadas por um hiperplano Hp e uma hipersuperfıcie HL
de grau 2d − 2 em PNk , respectivamente. Para propositos enumerativos os
seguintes numeros caracterısticos sao importantes:
Nd(s) := Numero de curvas suaves planas de grau d tangente a
s retas e passando por
(d+ 2
2
)− s− 1 pontos,
onde as retas e os pontos sao escolhidos em posicao geral. Ou seja, se
p1, ..., pN−s e L1, ..., Ls sao pontos e retas gerais, entao Nd(s) e o numero
dos pontos na intersecao Hp1∩· · ·∩HpN−s∩HL1∩· · ·∩HLs que correspondem
as curvas suaves. Se s < 2d− 1, o Teorema de Bezout garante que
Nd(s) = (2d− 2)s.
De fato, o conjunto S das curvas com componentes multiplas satisfazem
todas as condicoes de reta e as curvas do tipo CL2, onde C curva plana
e L linear, formam a maior componente deste conjunto, com codimensao
2d − 1. Assim, se s < 2d − 1 as condicoes gerais nos pontos implicam que
este conjunto S nao intersecta Hp1 ∩ ... ∩HpN−s . Logo, todos os pontos da
intersecao Hp1 ∩· · ·∩HpN−s ∩HL1 ∩· · ·∩HLs correspondem as curvas suaves
e, por tanto, podemos computar Nd(s) usando Bezout. Por outro lado, se
s ≥ 2d− 1, entao esta formula deve ser corrigida.
A determinacao destes numeros caracterısticos para todos os graus e
complicado e ainda e um problema em aberto. Para contextos historicos,
veja, por exemplo [10]. Zeuthen [20] contribuiu em seu trabalho calcu-
lando heuristicamente os numeros N3(s) e N4(s); Kleiman e Speiser [12]
confirmaram o resultado obtido por Zeuthen no calculo de N3(s); Vakil [15]
tambem confirmou os resultados de Zeuthen para o caso N4(s).
Aluffi [1] mostrou que os numeros caracterısticos Nd(2d − 1) e Nd(2d)
podem ser calculados usando “blowups”. Por outro lado, diferente de Aluffi,
Gastel [16] mostrou que os numeros Nd(2d − 1) e Nd(2d) podem ser calcu-
lados usando limites de conormais de curvas planas e afirmou que possivel-
1
mente este seja um melhor caminho para calculo dos numeros caracterısticos.
Seja F0 e uma curva plana lisa, entao o conormal de F0, denotado por
C(F0), e o conjunto
C(F0) := (p, L) ∈ P2k × (P2
k)∨ | p ∈ F0, TpF0 ⊆ L,
onde (P2k)∨ e o espaco projetivo dual e TpF0 e a reta tangente a F0 no
ponto p. Alem disto, a curva dual de F0, denotada por F ?0 , e a imagem da
segunda projecao, ou seja, e a imagem do mapa C(F0)π2−→ (P2
k)∨. Notemos
que a condicao de uma reta L ser tangente a F0 em um ponto de F0 e
equivalente a condicao da reta L pertencer a curva F ?0 . Desta forma, os
numeros caracterısticos tem relacoes com as curvas duais.
Seja F = F (t) =∑
i≥0 Fi(X,Y, Z)ti ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma famılia de
curvas planas a um parametro cuja fibra generica e lisa. Assim, temos que
para quase todo c ∈ k, a curva F (c) e lisa. Podemos nos perguntar para
qual curva plana a curva dual se degenera quando c converge para 0.
O limite de curvas duais de qualquer famılia de curvas a um parametro
e muito difıcil de determinar. Mas, para termos teoremas significativos,
precisamos de formulas de uma forma geral.
Precipuamente, o calculo dos limites de curvas duais foi abordado por
Zeuthen, com o objetivo de computar os numeros caracterısticos. Ele mostrou
que se F (X,Y, Z, t) = 0 e uma famılia a um parametro de curvas planas que
satisfazem algumas condicoes, “primeiro tipo”, “segundo tipo”, ..., termi-
nologia usada por Zeuthen, entao o limite de curvas duais depende somente
dos primeiros termos da expansao em series formal para F em termos de
t. Foi mostrado por Gastel que em algumas dessas famılias, como a de
“primeiro tipo”, as formulas resultantes valem para graus arbitrarios. Katz
[9] mostrou que se a famılia e regular, entao o limite pode ser expresso em
termos do discriminante formal de F .
Por outro lado, sejam F0 uma curva plana lisa e (V,L) um sistema linear
sobre F0, ou seja, L e um feixe invertıvel sobre F0 e V ⊆ H0(F0,L) e um
espaco vetorial com dimV = r + 1. Para cada ponto p ∈ F0 e cada inteiro
nao negativo l, seja V (−l · p) ⊆ V o subsistema linear das secoes de V
que se anulam em p com multiplicidade pelo menos l. Um ponto p tal que
dimV (−(r + 1) · p) ≥ 1 e dito ser um ponto de ramificacao de V . Podemos
ver o conjunto dos pontos de ramificacao do sistema V como um subesquema
2
de F0. Denotamos este subesquema por RF0(V,L).
Sejam F0 uma curva plana lisa e π : F0 → P1k o morfismo definido pela
projecao de um ponto geral o ∈ P2k. Seja RF0(V,L) o esquema de ramificacao
sobre a curva F0 de (V,L), o sistema linear associado ao mapa π. Neste caso,
o divisor de ramificacao deste mapa, como em ([8] Cap.IV pg.301), e igual
ao esquema de ramificacao RF0(V,L). Alem disto, um ponto p esta no
suporte de divisor de ramificacao deste mapa se, e somente se, a reta que
liga o a p, denotada por op, e tangente a F0 no ponto p. Isto implica que a
curva dual F ?0 e completamente determinada pelos divisores de ramificacao
das projecoes de pontos gerais. Logo, podemos calcular os limites de curvas
duais atraves do calculo dos limites de esquemas de ramificacao. Em resumo,
podemos dizer que os esquemas de ramificacao tem relacoes com o calculo
dos numeros caracterısticos. Assim, chegamos ao tıtulo deste trabalho.
Esta tese apresenta uma outra abordagem para o calculo dos limites
de curvas duais: atraves do calculo do limite de esquemas de ramificacao.
A teoria aqui introduzida, na verdade, e um trabalho de E. Esteves e N.
Medeiros.
Esteves e Medeiros calcularam os pontos de ramificacao de um sistema
linear sobre uma curva plana usando folheacoes singulares.
Seja α uma secao global nao nula de TP2k(d − 1), o feixe tangente de
P2k torcido. Dizemos que α e uma folheacao singular de P2
k de grau d. A
folheacao singular α induz, via sequencia de Euler, um campo de vetores
global sobre A3k. Este campo corresponde a uma k-derivacao homogenea ∂
de k[X,Y, Z], ou seja,
∂ = G1∂X +G2∂Y +G3∂Z ,
onde G1, G2, G3 ∈ k[X,Y, Z] sao homogeneos de mesmo grau e ∂X , ∂Y , ∂Z
sao as derivadas parciais canonicas. Dizemos que a folheacao α deixa uma
curva plana F0 invariante se F0|∂(F0). Um exemplo simples de uma fol-
heacao que deixa a curva plana F0 invariante e a folhecao induzida pela
derivacao
∂F0,H(−) := det
∂X(F0) ∂Y (F0) ∂Z(F0)
∂X(H) ∂Y (H) ∂Z(H)
∂X(−) ∂Y (−) ∂Z(−)
,onde H ∈ k[X,Y, Z] e um polinomio homogeneo.
3
Suponhamos que V ⊂ k[X,Y, Z]e e um k-subespaco vetorial homogeneo
gerado por a0, ..., ar. Dizemos que o determinante
W∂(v) := det
a0 a1 · · · ar
∂(a0) ∂(a1) · · · ∂(ar)...
......
∂r(a0) ∂r(a1) · · · ∂r(ar)
e o Wronskiano de v :=
[a0 · · · ar
]com respeito a uma k-derivacao
homogenea ∂ de k[X,Y, Z], onde ∂i e a i-esima iterada de ∂. Definimos
W∂(V ) := W∂(v), onde v e qualquer base ordenada de V .
Seja (V,OP2k(e)|F0) o sistema linear sobre a curva plana F0 induzido
por V , onde V e um k-subespaco vetorial homogeneo com dimk V = r + 1.
Denotamos por RF0(V ) o esquema de ramificacao sobre F0 do sistema linear
(V,OP2k(e)|F0). Seja H um polinomio homogeneo primo com F0. Com estas
hipoteses, Esteves e Medeiros mostraram que gcd(W∂F0,H(V ), F0) = 1 se, e
somente se, o esquema de ramificacao RF0(V ) e finito, ou seja, e um divisor
da curva. Neste caso, eles mostraram que o esquema RF0(V ) pode ser visto
globalmente como um wronskiano, ou seja, o esquema de ramificacao satisfaz
a seguinte expressao como divisor de Cartier da curva F0:
(W∂F0,H(V ) · F0) = RF0(V ) +
(r + 1
2
)(H · F0). (I)
Suponhamos que F seja uma famılia de curvas planas cuja fibra generica
e reduzida. Sejam V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo homogeneo de
posto r + 1 e H ∈ k[X,Y, Z] homogeneo primo com F0. Acrescentando o
sımbolo “∗” para indicar os termos sobre a fibra generica, temos que se o
esquema de ramificacao generico RF ∗(V∗) e finito, entao a Expressao (I)
tambem sera valida na otica da fibra generica desta famılia, ou seja,
(W∂F∗,H∗ (V∗) · F ∗) = RF ∗(V
∗) +
(r + 1
2
)(H∗ · F ∗). (II)
Desejamos calcular o 0-ciclo do limite do esquema de ramificacao generico,
ou seja, queremos calcular o 0-ciclo do limite de RF ∗(V∗). Para tanto,
4
podemos tomar o limite da Expressao (II). Por outro lado, o limite de
(W∂F∗,H∗ (V∗) · F ∗)
nao necessariamente sera(W∂F0,H
(V (0)) · F0
), pois este ultimo termo pode
nem sequer fazer sentido. Por exemplo, basta que a fibra especial F0 seja
nao reduzida ou que uma componente de F0 divida algum elemento nao nulo
de V (0). Esteves e Medeiros resolveram este problema permitindo adaptar
as derivacoes a cada componente irredutıvel de F0. Estas adaptacoes, junto
com um estudo mais aprofundado em limites de divisores de Cartier [6],
possibilitaram calcular o limite do esquema de ramificacao generico de alguns
tipos de famılias de curvas planas cuja fibra especial e nao reduzida. Dentre
estas famılias com fibra especial nao reduzida temos as de “primeiro tipo”,
“segundo tipo” e “terceiro tipo”, terminologia de Zeuthen.
O resultado principal desta tese e mostrar que podemos calcular o 0-
ciclo do limite do esquema de ramificacao sobre a fibra generica da famılia de
Zeuthen de qualquer tipo, ou seja, da famılia F = E2A+∑
i≥1 Fi(X,Y, Z)ti ∈k[[t]][X,Y, Z]d, de um sistema linear generico V ∗. Em particular, con-
siderando V [[t]] o sistema linear induzido por V , sistema linear associado a
projecao de um ponto geral o ∈ P2k, calculamos o limite de curvas duais da
famılia de Zeuthen de qualquer tipo. Isto significa que calculamos o limite
do esquema de ramificacao e, particularmente, o limite de curvas duais de
todos os elementos de um aberto denso da maior componente do conjunto
S, onde S e o conjunto, definido anteriormente, das curvas com componentes
multiplas. O calculo do limite de curvas planas duais deste tipo de famılia
e bastante significativo, o qual foi abordado varias vezes mas sem sucesso.
• Breves apontamentos acerca dos capıtulos. No Capıtulo 1 introduzimos o
conceito de derivacoes equivalentes o qual desempenha papel fundamental
no calculo do esquema de ramificacao. Alem disso, no Lema 1.3 mostramos
que o esquema de ramificacao sobre uma curva de um sistema linear, quando
finito, pode ser visto globalmente como um wronskiano. No Capıtulo 2 in-
troduzimos os estudos com famılias de curvas planas e no Teorema 2.2 cal-
culamos o limite do esquema de ramificacao generico de um sistema linear
geral sobre uma famılia geral. Mais ainda, fazemos uma analise dos limites
de pontos de ramificacao sobre a fibra generica e concluimos que adaptando
as derivacoes a cada componente irredutıvel da fibra especial, podemos com-
5
putar o limite do esquema de ramificacao generico sobre outros tipos de
famılias cuja fibra especial e nao reduzida. No Capıtulo 3 obtemos os mes-
mos resultados que Zeuthen para o limite das curvas duais de famılias de
“primeiro tipo” e “segundo tipo”. Calculamos tambem outro tipo de famılia
que, como veremos no Capıtulo 4, nao e regular, em geral. No Capıtulo 4
descrevemos o conceito de famılias regulares introduzido por Katz [9] e faze-
mos um comparativo entre o metodo de Katz de calcular limites de curvas
planas duais e o metodo introduzido neste trabalho. Finalizamos com o
Capıtulo 5 mostrando no Teorema 5.3 que se a fibra generica da famılia
F = E2A+ F1t+ F2t2 + · · · e reduzida, E e irredutıvel, A livre de quadra-
dos com gcd(E,A) = 1 e V e um sistema linear geral de posto r + 1, entao
esta famılia e de tipo n para algum n e que o 0-ciclo do limite do esquema
de ramificacao generico, denotado por [RF (V )], satisfaz
[RF (V )] = 2[RE(V (0))]+ [RA(V (0))]+
(r + 1
2
)((4− (n))[E ·A]+ [∆n ·E]
),
onde ∆n e um discriminante definido de forma recursiva.
6
1 Wronskianos e esquemas de ramificacao
1.1 Wronskianos
Sejam k um anel e S uma k-algebra. Sejam ∂ uma k-derivacao de S e v :=[a0 · · · ar
]uma matriz linha com ai ∈ S. Dizemos que o determinante
W∂(v) := det
a0 a1 · · · ar
∂(a0) ∂(a1) · · · ∂(ar)...
......
∂r(a0) ∂r(a1) · · · ∂r(ar)
,
onde ∂i denota a i-esima iterada de ∂, e o Wronskiano de v com respeito a
derivacao ∂.
Notemos que a multilinearidade do determinante e a regra de Leibniz de
derivacoes garantem as seguintes propriedades do Wronskiano:
(1) Wc∂(v) = c(r+12 )W∂(v) para todo c ∈ S.
(2) W∂(vM) = (detM)W∂(v) para toda matriz quadrada M de ordem
r + 1 com entradas em k.
Se V ⊆ S e um k-modulo livre de posto finito, denotamos por W∂(V ) :=
W∂(v), onde v :=[a0 · · · ar
], para a0, ..., ar uma k-base ordenada de
V . A Propriedade (2) nos afirma que W∂(V ) esta bem definido a menos de
multiplicacao por um elemento invertıvel de k.
Suponhamos que k e um corpo e que S := k[X,Y, Z]. Para cada inteiro
d ≥ 0, considere Sd ⊂ S o k-submodulo livre dos polinomios homogeneos de
grau d, incluindo 0. Um k-submodulo V ⊆ S e dito homogeneo de grau d se
V ⊆ Sd.Sejam ∂X , ∂Y , ∂Z as k-derivacoes parciais naturais de S com respeito as
variaveis X,Y, Z. Uma k-derivacao ∂ de S pode ser expressa na forma
∂ = G1∂X +G2∂Y +G3∂Z ,
onde G1, G2, G3 ∈ S. Dizemos que ∂ e homogenea de grau d se G1, G2, G3
sao homogeneos de grau d.
7
Dado um polinomio P ∈ S, defina
∇(P ) :=[∂X(P ) ∂Y (P ) ∂Z(P )
].
Se Q ∈ S e outro polinomio, consideramos a k-derivacao ∂P,Q de k[X,Y, Z]
definida por
∂P,Q := det
∇(P )
∇(Q)
∇
:= det
∂X(P ) ∂Y (P ) ∂Z(P )
∂X(Q) ∂Y (Q) ∂Z(Q)
∂X ∂Y ∂Z
:=
∣∣∣∣∣∂Y (P ) ∂Z(P )
∂Y (Q) ∂Z(Q)
∣∣∣∣∣ ∂X −∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Z(P )
∂X(Q) ∂Z(Q)
∣∣∣∣∣ ∂Y +
∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P )
∂X(Q) ∂Y (Q)
∣∣∣∣∣ ∂Z .Suponhamos que k e um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0. Uma k-derivacao homogenea ∂ = G1∂X + G2∂Y + G3∂Z de grau d de S
induz um mapa racional
η′ : P2k → P2
k,
definido por η′(p) := (G1(p) : G2(p) : G3(p)). O mapa η′ induz uma fol-
heacao
η : OP2k(1− d)→ TP2
k,
onde TP2k
e o feixe tangente de P2k, no seguinte sentido: a direcao dada por
η no ponto p ∈ P2k e a reta passando pelos pontos p e η′(p). Ambos o mapa
racional e a reta nao estao definidos no subesquema V ⊆ P2k dado pelos
menores da matriz: [X Y Z
G1 G2 G3
].
Um ponto p ∈ V e chamado singularidade de η, ou singular para η. Esta
folheacao existe genericamente, ou seja, V ( P2k se ∂ nao e um multiplo da
derivacao de Euler:
ε := X∂X + Y ∂Y + Z∂Z .
Neste caso, dizemos que η e uma folheacao de grau d de P2k. Para mais
detalhes veja, por exemplo, [5].
A folheacao η deixa uma curva plana F0 invariante se, e somente se,
F0|∂(F0). Alem disso, existe uma quantidade finita de singularidades de η
sobre F0 se, e somente se, gcd(∂, F0) = 1. Aqui o termo gcd(∂, F0) e, por
8
definicao, o maior divisor comum de F0 e os menores da matriz:
[X Y Z
G1 G2 G3
].
Notemos que estes menores saoW∂
[X Y
],W∂
[X Z
]eW∂
[Y Z
]. Tambem
dizemos que ∂ e primo com F0 quando gcd(∂, F0) = 1.
1.2 Derivacoes equivalentes
Sejam k um corpo infinito e S := k[X,Y, Z] com a graduacao natural. Seja
F0 ∈ S um polinomio homogeneo nao constante.
Definicao 1.1. Sejam ∂1 e ∂2 duas k-derivacoes homogeneas de S tais que
F0 | ∂1(F0) e F0 | ∂2(F0). Dizemos que ∂1 e ∂2 sao equivalentes modulo F0 e
denotamos por ∂1 ≡F0 ∂2, se existe c ∈ k−0 tal que para cada polinomio
homogeneo linear L existem uma k-derivacao homogenea ∂ e um polinomio
homogeneo N ∈ S satisfazendo:
L(∂1 − c∂2) = F0∂ +Nε. (1)
Proposicao 1.1. Sejam ∂1 e ∂2 duas k-derivacoes homogeneas de S tais
que F0 | ∂1(F0) e F0 | ∂2(F0). Se ∂1 ≡F0 ∂2 e V ⊆ Se e um k-espaco
vetorial, entao o subesquema definido por W∂1(V ) = F0 = 0 e o mesmo que
o definido por W∂2(V ) = F0 = 0.
Proof. De fato, seja v :=[a0 · · · ar
]uma base de V . Pelas propriedades
do wronskiano, sabemos que WL∂1(V ) = L(r+12 )W∂1(V ).
Por hipotese, WL∂1(V ) = WLc∂2+F0∂+Nε(V ) ≡F0 WLc∂2+Nε(V ). Usando
inducao, podemos mostrar que para cada n existem Hj ∈ A, para j =
1, ..., n, tais que
(Lc∂2 +Nε)n(ai) = Lncn∂n2 (ai) + Ln−1cn−1∂n−12 (ai)H1 + · · ·+ aiHn
para todo ai, ou seja, WLc∂2+Nε(V ) = WLc∂2(V ). Portanto,
L(r+12 )W∂1(V ) = WL∂1(V ) ≡F0 WLc∂2(V ) = L(r+1
2 )c(r+12 )W∂1(V )
9
para todo polinomio linear homogeneo L. Como k e infinito, temos
W∂1(V ) ≡F0 c(r+1
2 )W∂2(V ).
1.3 Esquemas de ramificacao
Sejam k um corpo infinito de caracterıstica zero, S := k[X,Y, Z] e F0 ∈ Sum polinomio homogeneo nao nulo de grau d > 0. O polinomio F0 define
uma curva plana C ⊂ P2k, ou seja, um subesquema fechado de dimensao
pura um. Seja IC ⊂ OP2k
o feixe de ideais de C sobre P2k. Notemos que
IC/I2C e localmente livre de posto um. Alem disto, temos que a sequencia
exata canonica de feixes sobre C,
ICI2C
d−→ Ω1P2k/k⊗OC
π−→ Ω1C/k −→ 0
induz um mapa
µ : Ω1C/k ⊗
ICI2C
−→2∧
Ω1P2k/k⊗OC ,
o qual e definido sobre um aberto afim U de C por
π|U (λ)⊗ f 7→ λ ∧ d|U (f),
onde λ e uma secao de Ω1P2k/k⊗OC sobre U e f e um secao de IC/I2
C sobre U .
O mapa µ esta bem definido pois ICI2Ce um feixe de OC-modulos localmente
livre de posto 1. Defina
ωC/k :=
2∧Ω1P2k/k⊗(ICI2C
)−1.
Tensorizando µ por(ICI2C
)−1obtemos o seguinte mapa:
ηC/P2k/k
: Ω1C/k → ωC/k.
Vejamos como descrever o mapa η := ηC/P2k/k
localmente, digamos no aberto
UZ (Z 6= 0). Defina x := X/Z, y := Y/Z e f(x, y) := F0(x, y, 1).
10
Como antes, temos o seguinte mapa
η|UZ: Ω k[x,y]
(f(x,y))/k→ ω k[x,y]
(f(x,y))/k,
o qual e definido por
η|UZ(π(dx))) := dx ∧
(∂(f(x, y))
∂xdx+
∂(f(x, y))
∂ydy)⊗ f(x, y)∨,
ou seja,
η|UZ(π(dx))) :=
∂(f(x, y))
∂y· dx ∧ dy ⊗ f(x, y)∨.
Analogamente,
η|UZ(π(dy)) := −∂(f(x, y))
∂x· dx ∧ dy ⊗ f(x, y)∨.
Consideramos agora os seguintes mapas canonicos:
1. A diferencial exterior OC → Ω1C ;
2. O homomorfismo η : Ω1C → ωC definido anteriormente;
3. A derivacao d : OC → ωC obtida da composicao dos dois mapas ante-
riores.
A derivacao d : OC → ωC induz localmente, digamos no aberto UZ , uma
k-derivacao:
∂ : OC(UZ)→ OC(UZ)
definida por d(UZ)(h) = (∂h) · τZ , onde τZ := dx ∧ dy ⊗ f(x, y)∨. Notemos
que
∂ = −∂(f(x, y))
∂x∂y +
∂(f(x, y))
∂y∂x,
ou seja, a k-derivacao ∂ em UZ e dada pelo determinante:
∂ = −det
[∂(f(x,y))
∂x
∂(f(x,y))∂y
∂x ∂y
].
Seja V ⊆ Se um k-subespaco vetorial com dimV = r + 1, para certos
inteiros e > 0 e r > 0. Suponhamos que o k-espaco vetorial V induz um
sistema linear(V,OP2
k(e)|C
)de posto (projetivo) r e grau de sobre C.
11
Para cada ponto p ∈ C e cada inteiro nao negativo l, seja V (−l · p) ⊆ Vo subsistema linear das secoes de V que se anulam em p com multiplicidade
pelo menos l. Um ponto p tal que dimV (−(r + 1) · p) ≥ 1 e dito ser um
ponto de ramificacao de V . Um ponto p ∈ C e um ponto de Weierstrass se
p e um ponto de ramificacao do sistema linear completo das secoes de ωC .
Podemos ver o conjunto dos pontos de ramificacao de um sistema V sobre
F0 como um subesquema de F0 da seguinte forma: no aberto UZ (Z 6= 0),
consideramos o subesquema de F0 definido por W∂(V ) = F0 = 0, onde ∂
e a derivacao definida acima. Facamos as mesmas construcoes nos outros
abertos canonicos para a derivacao e o subesquema dado pela intersecao
dos respectivos wronskianos com F0. Estes subesquemas de F0 definidos
localmente colam [4] e formam um subesquema de F0, o qual chamamos
de esquema de ramificacao de V sobre F0 e denotamos por RF0(V ). Alem
disto, RF0(V ) parametriza os pontos de ramificacao do sistema V sobre F0,
ou seja, o suporte de RF0(V ) e o conjunto dos pontos de ramificacao do
sistema linear V sobre F0.
O esquema de ramificacao RF0(V ) pode ser infinito. De fato,
Proposicao 1.2. O esquema de ramificacao RF0(V ) e finito se, e somente
se, C e geometricamente reduzida e o sistema linear e nao degenerado em
cada componente geometrica de C. Em outras palavras, denotando por k o
fecho algebrico de k, temos que RF0(V ) e finito se, e somente se, os fatores
irredutıveis do polinomio homogeneo F0 em k[X,Y, Z] sao distintos e nao
dividem qualquer elemento nao nulo de V ⊗k k.
Proof. Para maiores detalhes veja ([4] Prop.7.8 pg.133).
E importante considerar o fecho algebrico de k. Por exemplo, se k = R,
F0 = X2 + Y 2, V = RX + RY e ∂ = ∂X(F0)∂Y − ∂Y (F0)∂X , temos que
W∂(V ) = 2F0 e, portanto, RF0(V ) sera toda a curva, mesmo sendo F0
irredutıvel e nao dividindo qualquer polinomio linear.
Este mesmo exemplo serve para mostrar a necessidade de que os fatores
irredutıveis de F0 nao devem dividir qualquer elemento de V . Considere
k = C, F0 = (X + iY )(X − iY ) e V = CX + CY . Temos que F0 nao tem
fatores multiplos, mas seus fatores irredutıveis dividem elementos nao nulos
de V . E, como antes, o esquema de ramificacao sera toda a curva.
Se RF0(V ) e finito, entao podemos ver RF0(V ) como um divisor de
Cartier de F0. Terminaremos esta secao calculando RF0(V ) por meio de
12
um wronskiano global. Antes, precisamos introduzir um pouco mais de
conceitos.
Sejam D1, D2 ∈ S polinomios homogeneos nao constantes e coprimos.
Denotamos por (D1 · D2) o subesquema de P2k definido por D1 = D2 = 0,
e por [D1 · D2] o 0-ciclo associado. Veremos tambem (D1 · D2) como um
divisor de Cartier da curva D1 ou D2.
Lema 1.3. Seja k um corpo infinito de caracterıstica 0. Considere P ∈k[X,Y, Z] um polinomio homogeneo e V ⊂ k[X,Y, Z] um k-subespaco veto-
rial de dimensao r + 1, para algum inteiro positivo r. Entao as seguintes
afirmacoes sao verdadeiras:
1. Se Q1, Q2 ∈ k[X,Y, Z] sao polinomios homogeneos nao constantes,
entao
Q2∂P,Q1 ≡P Q1∂P,Q2 .
2. Para cada polinomio homogeneo nao constante Q ∈ k[X,Y, Z] primo
com P , o esquema de ramificacao RP (V ) associado a V sobre a curva
definida por P e finito se, e somente se, gcd(W∂P,Q(V ), P ) = 1. Neste
caso,
(W∂P,Q(V ) · P ) = RP (V ) +
(r + 1
2
)(Q · P ) (2)
como divisores de Cartier da curva.
3. Se P e livre de quadrados, entao gcd(∂P,Q, P ) = 1 para todo polinomio
homogeneo nao constante Q ∈ k[X,Y, Z] primo com P .
Proof.
(1). Seja L qualquer polinomio homogeneo linear, nao nulo. Podemos
assumir sem perda de generalidade que L = Z.
Pois se L(=: L0), L1, L2 e uma k-base de k[X1, X2, X3]1, entao Li =∑3j=1 ai,jXj , i = 1, 2, 3 e, alem disso,
∂Li =
3∑j=0
bi,j∂Xj , i = 1, 2, 3.
13
Portanto,∂L0(P ) ∂L1(P ) ∂L2(P )
∂L0(Q) ∂L1(Q) ∂L2(Q)
∂L0 ∂L1 ∂L2
=
∂X0(P ) ∂X1(P ) ∂X2(P )
∂X0(Q) ∂X1(Q) ∂X2(Q)
∂X0 ∂X1 ∂X2
· [bi,j]T1≤i,j≤3
,
ou seja, os determinantes das duas matrizes diferem por um fator constante
nao nulo e isto nao interfere no que desejamos.
Seja
∂′P,Q :=
∣∣∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P ) ε(P )
∂X(Q) ∂Y (Q) ε(Q)
∂X ∂Y ε
∣∣∣∣∣∣∣ :=
∣∣∣∣∣∂Y (P ) ε(P )
∂Y (Q) ε(Q)
∣∣∣∣∣ ∂X −∣∣∣∣∣∂X(P ) ε(P )
∂X(Q) ε(Q)
∣∣∣∣∣ ∂Y
+
∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P )
∂X(Q) ∂Y (Q)
∣∣∣∣∣ εonde ε e a derivacao de Euler.
Notemos que para P,Q ∈ k[X,Y, Z] polinomios homogeneos quaisquer,
a multilinearidade do determinante garante que Z∂P,Q = ∂′P,Q. Sejam q1 e
q2 os graus de Q1 e Q2 respectivamente. Definamos
QX := q2Q2∂X(Q1)− q1Q1∂X(Q2),
QY := q2Q2∂Y (Q1)− q1Q1∂Y (Q2).
Como
q2Q2ε(Q1)− q1Q1ε(Q2) = q2Q2q1Q1 − q1Q1q2Q2 = 0,
temos que
Z(q2Q2∂P,Q1 − q1Q1∂P,Q2) = q2Q2∂′P,Q1− q1Q1∂
′P,Q2
= q2Q2
∣∣∣∣∣ ∂Y (P ) ε(P )
∂Y (Q1) ε(Q1)
∣∣∣∣∣ ∂X − q1Q1
∣∣∣∣∣ ∂Y (P ) ε(P )
∂Y (Q2) ε(Q2)
∣∣∣∣∣ ∂X−q2Q2
∣∣∣∣∣ ∂X(P ) ε(P )
∂X(Q1) ε(Q1)
∣∣∣∣∣ ∂Y + q1Q1
∣∣∣∣∣ ∂X(P ) ε(P )
∂X(Q2) ε(Q2)
∣∣∣∣∣ ∂Y14
+q2Q2
∣∣∣∣∣ ∂X(P ) ∂Y (P )
∂X(Q1) ∂Y (Q1)
∣∣∣∣∣ ε− q1Q1
∣∣∣∣∣ ∂X(P ) ∂Y (P )
∂X(Q2) ∂Y (Q2)
∣∣∣∣∣ ε= −QY ε(P )∂X +QXε(P )∂Y +
∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂X(P )
QX QY
∣∣∣∣∣ ε= pP
∣∣∣∣∣QX QY
∂X ∂Y
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P )
QX QY
∣∣∣∣∣ ε,onde p e o grau de P . Isto conclui a demonstracao do Item (1).
(2). Pelo Item (1), temos Z∂P,Q ≡P Q∂P,Z . A Proposicao 1.1 e as
propriedades do wronskiano garantem que
Z(r+12 )W∂P,Q
(V ) = WZ∂P,Q(V ) ≡P cWQ∂P,Z
(V ) = cQ(r+12 )W∂P,Z
(V ), (3)
para algum c ∈ k∗. Por outro lado, como
∂P,Z =
∣∣∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P ) ∂Z(P )
0 0 1
∂X ∂Y ∂Z
∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∂X(P ) ∂Y (P )
∂X ∂Y
∣∣∣∣∣ ,temos que, no aberto UZ (Z 6= 0), RP (V ) e a intersecao de P com W∂P,Z
(V ).
Alem disso, como gcd(Q,P ) = 1, a Equacao (3) nos diz que no aberto UZ
RP (V ) e finito ⇐⇒ gcd(W∂P,Q(V ), P ) = Zn, para algum n ∈ Z.
O mesmo raciocınio mostra que no aberto UX
RP (V ) e finito ⇐⇒ gcd(W∂P,Q(V ), P ) = Xm, para algum m ∈ Z,
ou seja, temos que
RP (V ) e finito ⇐⇒ gcd(W∂P,Q(V ), P ) = 1.
Alem disto, notemos que se gcd(W∂P,Q(V ), P ) = 1, entao a Equacao (3) nos
afirma que:(r + 1
2
)(Z · P ) + (W∂P,Q
(V ) · P ) =
(r + 1
2
)(Q · P ) + (W∂P,Z
(V ) · P ).
Desta forma, sobre o aberto UZ , temos que a Equacao (2) segue. Analoga-
15
mente, a Equacao (2) tambem sera valida nos abertos UX e UY .
(3). Como k e infinito, podemos assumir que todo fator linear que divide
P nao e combinacao de apenas duas funcoes coordenadas, digamos X e Y .
Seja Q ∈ k[X,Y, Z] um polinomio homogeneo nao constante primo com
P . Seja V ′ ⊂ k[X,Y, Z] o subespaco vetorial gerado por X e Y . Como
gcd(L,P ) = 1 para cada L ∈ V ′, e P e livre de quadrados, temos, pela
Proposicao 1.2, que RP (V ′) e finito. Segue do Item (2) que W∂P,Q(X,Y ) e
primo com P e, portanto, gcd(∂P,Q, P ) = 1.
16
2 Famılias infinitesimais e limites
2.1 Famılias e limites
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0 e S := k[X,Y, Z]
com a graduacao natural. Sejam k[[t]] o anel das series de potencias formais
sobre a variavel t com coeficientes em k, k((t)) := k[[t]][1/t] o anel das series
formais de Laurent (o corpo de fracoes de k[[t]]) e S[[t]] com a graduacao
induzida, onde o grau de t e zero. Os elementos homogeneos de S[[t]] sao
chamados de series de potencias homogeneas.
Para cada k-espaco vetorial V , definimos por V [[t]] o k[[t]]-modulo das
series de potencias sobre t com coeficientes em V . Dado P ∈ V [[t]], denota-
mos por P (0) o coeficiente constante. Denotamos
V ∗ := V [1/t] = V ⊗ k((t)).
Para evitar confusao, usaremos o ındice “∗” para indicar que um certo “ob-
jeto” deveria ser considerado sobre k((t)).
Seja V ⊆ S[[t]] um k[[t]]-submodulo. Dizemos que V e saturado se para
cada P ∈ S[[t]] tal que tP ∈ V , temos P ∈ V .
Observacao 2.1. Se V ⊆ Sd[[t]] e um k[[t]]-submodulo homogeneo nao
nulo, entao V e livre de posto finito, pois V e finitamente gerado, nao tem
torcao e k[[t]] e domınio de ideais principais. Digamos que V tem posto
r + 1 para um inteiro r ≥ 0. Alem disto, se V e saturado, entao V possui
uma k[[t]]-base[P0 · · · Pr
]de series de potencias homogeneas de grau d
tal que os respectivos coeficientes constantes P0(0), ..., Pr(0) sao linearmente
independentes sobre k. Denotamos por V (0) o subespaco de Sd gerado por
P0(0), ..., Pr(0).
Seja F ∈ Se[[t]] com F (0) 6= 0. Desta forma, vemos F como uma
famılia infinitesimal de curvas planas de grau e. Seja V ⊆ Sd[[t]] um k[[t]]-
submodulo. O k[[t]]-modulo V induz uma famılia infinitesimal de sistemas
lineares de grau de sobre esta famılia de curvas. Os membros genericos destas
famılias sao definidos sobre k((t)): a curva generica e dada por F ∗, a qual e
F vista como um elemento de k((t))[X,Y, Z], e o sistema linear generico e
induzido por V ∗, visto como um k((t))-subespaco vetorial de Sd((t)).
17
Para cada subsequema fechado R ⊂ P2k[[t]], definimos
limt→0
R := P2k ∩R ∩ P2
k((t))
P2k[[t]] .
Dizemos que limt→0R e o bordo esquematico, ou o esquema limite, ou o
limite, do subesquema R em P2k.
Suponhamos que o esquema de ramificacao generico RF ∗(V∗) ⊂ P2
k((t))
e finito. Denotamos por RF (V ) o bordo esquematico de RF ∗(V∗) em P2
k
e denotamos por [RF (V )] o 0-ciclo associado. O nosso objetivo e calcular
[RF (V )].
2.2 F-Derivacoes
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0, S := k[X,Y, Z]
com a graduacao natural e F ∈ Se[[t]] com F (0) 6= 0. Seja V ⊂ S[[t]] um
k[[t]]-submodulo nao nulo, homogeneo, saturado de posto r + 1, para al-
gum inteiro r > 0. Suponhamos que o esquema de ramificacao generico
RF ∗(V∗) ⊂ P2
k((t)) e finito.
Para computar o bordo esquematico RF (V ) do esquema de ramificacao
generico RF ∗(V∗), consideraremos k[[t]]-derivacoes homogeneas ∂ de S[[t]].
Tais derivacoes podem ser escritas em termos da base natural, ∂X , ∂Y , ∂Z
na forma
∂ = GX∂X +GY ∂Y +GZ∂Z ,
onde GX , GY , GZ sao series de potencias homogeneas com o mesmo grau,
digamos m. Definamos
∂(0) := GX(0)∂X +GY (0)∂Y +GZ(0)∂Z .
Se ∂(0) nao e multiplo da derivacao de Euler, entao ∂ induz uma famılia
infinitesimal de folheacoes singulares de grau m do plano. Dizemos que ∂
e uma F -derivacao se F |∂(F ). Geometricamente, a famılia de folheacoes
associada a ∂ deixa invariante a famılia de curvas planas definida por F .
Um exemplo simples de uma F -derivacao e
∂′ := ∂F,H =
∣∣∣∣∣∣∣∂X(F ) ∂Y (F ) ∂Z(F )
∂X(H) ∂Y (H) ∂Z(H)
∂X ∂Y ∂Z
∣∣∣∣∣∣∣ ,18
onde H e qualquer serie de potencias homogenea de grau positivo. Para uma
referencia sobre derivacoes ou campos de vetores que deixam uma hipersu-
perfıcie (uma curva no nosso caso) invariante veja [5]. Se H∗ e F ∗ nao tem
componentes em comum em k((t))[X,Y, Z], podemos usar ∂F ∗,H∗ para calcu-
lar RF ∗(V∗) sobre a curva generica dada por F ∗. De fato, supondo RF ∗(V
∗)
e finito, o Lema 1.3 afirma que a expressao do divisor de ramificacao como
divisor de Cartier sobre a curva generica e:
RF ∗(V∗) = (W∂′∗(V
∗) · F ∗)−(r + 1
2
)(H∗ · F ∗).
Observacao 2.2. Alem disto, para calcular RF ∗(V∗), podemos escolher
H ∈ k[X,Y, Z] homogeneo, nao constante e primo com F (0). Neste caso,
para calcular [RF (V )], podemos tomar o 0-ciclo do bordo da expressao
acima. Por outro lado, o bordo da intersecao (W∂′∗(V∗) · F ) nao neces-
sariamente sera (W∂′(0)(V (0)) · F (0)), pois este ultimo termo pode nem se-
quer fazer sentido. Por exemplo, se uma componente irredutıvel de F (0) e
multipla ou divide um polinomio nao nulo de V (0), entao esta componente
e tambem componente de W∂′(0)(V (0)).
Concluiremos este capıtulo mostrando como tratar o caso onde F (0)
tem componentes mutiplas, mas F e uma deformacao de F (0) ao longo de
uma direcao geral, e nenhum dos fatores irredutıveis de F (0) divide algum
polinomio nao nulo de V (0).
2.3 F-Derivacoes reduzidas
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0 e S := k[X,Y, Z]
com a graduacao natural. Para cada polinomio homogeneo nao constante
P ∈ S, escrevamos
P =
n∏i=1
Eeii ,
onde E1, ..., En sao fatores irredutıveis coprimos de P . Definamos
∇(P ) := (
n∏i=1
Ei)∇(P )
P= (
n∏i=1
Ei)
n∑i=1
ei∇(Ei)
Ei.
19
Notemos que
∇(P ) = P∇(P )
P= (∏i
Eei−1i ) · (
∏i
Ei)∇(P )
P= (∏i
Eei−1i ) · ∇(P )
para qualquer P ∈ S homogeneo nao constante.
Seja F ∈ S[[t]] uma serie de potencias homogenea de grau positivo e
termo constante F (0) nao nulo. Definamos
H := (F − F (0))/t,
e
∂ :=
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ .Como ∂(H) = 0 e ∂(F (0)) = 0, pois ∇(F (0)) divide ∇(F (0)), temos que
∂(F ) = ∂(F (0)) + t∂(H) = 0,
ou seja, ∂ e uma F -derivacao. Dizemos que a derivacao ∂ e a F -derivacao
reduzida.
Lema 2.1. Seja F ∈ S[[t]] uma serie de potencias de grau positivo. Seja
H := (F − F (0))/t. Considere
∂(0) =
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H(0))
∇
∣∣∣∣∣∣∣ .Se gcd(Ei, H(0)) = 1, entao gcd(∂(0), Ei) = 1.
Proof. A multilinearidade do determinante garante que:
∂(0) =
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H(0))
∇
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣(∏ni=1Ei)
∑ni=1 ei
∇(Ei)Ei
∇(H(0))
∇
∣∣∣∣∣∣∣ =
n∑i=1
ei(n∏j 6=i
Ej)
∣∣∣∣∣∣∣∇(Ei)
∇(H(0))
∇
∣∣∣∣∣∣∣= ei(
n∏j 6=i
Ej)
∣∣∣∣∣∣∣∇(Ei)
∇(H(0))
∇
∣∣∣∣∣∣∣+ Ei∂′i
20
= ei(
n∏j 6=i
Ej)∂Ei,H(0) + Ei∂′i,
onde ∂′i e uma derivacao. Desta forma, se gcd(Ei, H(0)) = 1, o Lema 1.3
afirma que gcd(∂(0), Ei) = 1.
O proximo resultado mostra que se F =∑
i Fi(X,Y, Z)ti ∈ k[X,Y, Z][[t]]
e uma deformacao de F0 ao longo de uma direcao geral, ou seja, nenhum
dos fatores irredutıveis de F0 e fator de F1, entao podemos calcular o limite
do esquema de ramificacao generico de um sistema linear V quando este
sistema e nao degenerado sobre cada componente irredutıvel de F0.
Teorema 2.2. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0 e F ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma serie de potencias homogeneas de grau positivo.
Escreva
F0 =n∏i=1
Eeii ,
onde E1, ..., En sao os fatores irredutıveis coprimos de F0. Defina
H := (F − F0)/t
Notemos que H(0) = F1. Seja V ⊂ k[X,Y, Z][[t]] um k[[t]]-submodulo ho-
mogeneo (nao nulo) saturado de posto r + 1, onde r e um inteiro positivo.
Suponha que Ei nao divida F1 nem qualquer polinomio nao nulo de V (0)
para cada i = 1, ..., n. Defina Ri := REi(V (0)), o esquema de ramificacao
do sistema linear induzido por V (0) sobre a curva definida por Ei. Entao o
esquema generico de ramificacao RF ∗(V∗) ⊂ P2
k((t)) e finito, e o 0-ciclo do
bordo esquematico [RF (V )] em P2k satisfaz
[RF (V )] =∑i
ei[Ri] +
(r + 1
2
)∑i<j
(ei + ej)[Ei · Ej ]
+
(r + 1
2
)∑i
(ei − 1)[Ei · F1].
Proof. Consideremos a F -derivacao reduzida
∂ :=
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ .21
Notemos que
∂F,H =
∣∣∣∣∣∣∣∇(F )
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0) + tH)
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣(∏iE
ei−1i ) · ∇(F (0))
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣= (∏i
Eei−1i ) ·
∣∣∣∣∣∣∣∇(F (0))
∇(H)
∇
∣∣∣∣∣∣∣ = (∏i
Eei−1i )∂.
Como os fatores irredutıveis de F ∗ sao distintos, pois F1 e primo com Ei,
para todo i = 1, ..., n, e nao dividem qualquer elemento nao nulo de V , a
Proposicao 1.2 garante que RF ∗(V∗) e finito. O Lema 1.3 e as propriedades
do wronskiano implicam que
RF ∗(V∗) = (W∂F∗,H∗ (V
∗) · F ∗)−(r + 1
2
)(F ∗ ·H∗)
= (W(∏
i E∗iei−1)∂∗(V
∗) · F ∗)−(r + 1
2
)(F ∗ ·H∗)
=
(r + 1
2
)(∑i
(ei − 1)(E∗i · F ∗))
+ (W∂∗(V∗) · F ∗)−
(r + 1
2
)(F ∗ ·H∗)
= (W∂∗(V∗) · F ∗) +
(r + 1
2
)(∑i
(ei − 1)(E∗i · F ∗)− (F ∗ ·H∗)).
Agora, como
[limt→0
(E∗i · F ∗)] = [Ei · F1] e [limt→0
(F ∗ ·H∗)] =∑i
ei[Ei · F1]
segue que
[RF (V )] = [limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)]−
(r + 1
2
)∑i
[Ei · F1]. (4)
Por outro lado, a prova do Lema 2.1 garante que
∂(0) = ei(n∏j 6=i
Ej)∂Ei,F1 + Ei∂′i, (5)
onde ∂′i e uma derivacao. Notemos que cada Ei nao divide F1 nem qualquer
22
polinomio nao nulo de V (0). Assim, a Proposicao 1.2 e o Lema 1.3 implicam
que gcd(W∂(0)(V (0)), Ei) = 1. Portanto,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = [W∂(0)(V (0)) · F (0)] =
∑i
ei[W∂(0)(V (0)) · Ei].
Usando a Equacao (5) e o Lema 1.2, temos
[W∂(0)(V (0)) · Ei] = [Wei(∏n
j 6=i Ej)∂Ei,F1+Ei∂′i
(V (0)) · Ei]
= [Wei(∏n
j 6=i Ej)∂Ei,F1(V (0)) · Ei]
=
(r + 1
2
)∑j 6=i
[Ej · Ei] + [W∂Ei,F1(V (0) · Ei]
=
(r + 1
2
)∑j 6=i
[Ej · Ei] + [Ri] +
(r + 1
2
)[Ei · F1]
=
(r + 1
2
)(∑j 6=i
[Ej · Ei] + [Ei · F1])
+ [Ri].
Portanto,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] =
∑i
ei
[(r + 1
2
)(∑j 6=i
[Ej · Ei] + [Ei · F1])
+ [Ri]]
=∑i
ei[Ri] +∑i
ei
(r + 1
2
)[Ei · F1] +
(r + 1
2
)∑i<j
(ej + ei)[Ei · Ej ].
Substituindo esta ultima equacao em (4), obtemos o resultado desejado.
Seja C uma curva plana. Usaremos a notacao C? para a curva dual de
C. Se C,D sao duas curvas planas sem componentes em comum, denotamos
por [C ·D]? a uniao dos pencils de retas que passam por cada um dos pontos
de C ∩ D, contados com as mesmas multiplicidades de intersecao que o
correspondente ponto tem no ciclo [C ·D].
Exemplo 2.1. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0, uma curva plana suave C ⊂ P2k e f : C → P1
k a projecao por um ponto
geral o ∈ P2k. Seja
(V, f∗
(OP1
k(1)))
o sistema linear associado a f . Assim,
o divisor de ramificacao deste sistema linear e o esquema dos zeros de uma
secao global s, a secao Wronskiana de f∗(OP1
k(1))2⊗ωC = f∗
(OP1
k(2))⊗ωC .
23
Ou seja, considere o mapa OC → f∗(OP1
k(2))⊗ωC induzido pela secao global
s. Este mapa e injetivo e induz um mapa dual tambem injetivo,
f∗(OP1
k(−2)
)⊗ ω−1
C → OC .
Alem disso, como f∗(OP1
k(−2)
)⊗ω−1
C = f∗(ΩP1k)⊗Ω−1
C , pois a curva e suave,
a ([8] Cap.IV Prop.2.3 pg.301) garante que f∗(OP1
k(−2)
)⊗ω−1
C e isomorfo ao
feixe de ideais do divisor de ramificacao da projecao. Logo, por ([8] Ex.2.3c
pg.305), p esta no suporte do divisor de ramificacao do sistema linear se, e
somente se, a reta que liga o a p, denotada por op, e tangente a C. Agora,
considerando C? sua curva dual e∑
p npp o divisor de ramificacao do sistema
linear, temos que
C? ∩ o? =∑p
npop?.
Portanto, sabendo∑
p npp para um ponto o geral recuperamos C?.
Corolario 2.2.1. Seja k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0. Seja F =∑
i≥0 Fi(X,Y, Z)ti ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma serie de potencias
homogenea de grau positivo. Escreva
F0 =n∏i=1
Eeii ,
onde E1, ..., En sao os fatores irredutıveis coprimos de F0. Suponhamos que
Ei nao divida F1 para i = 1, ..., n. Entao,
limt→0
F ? =∑i
eiE?i +
∑i<j
(ei + ej)[Ei · Ej ]? +∑i
(ei − 1)[Ei · F1]?
Proof. Segue do Exemplo 2.1 e do Teorema 2.2.
2.4 Adaptacoes
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0 e S := k[X,Y, Z]
com a graduacao natural. Seja F ∈ S[[t]] uma serie de potencias homogenea
de grau positivo e com coeficiente constante F (0) nao nulo. Seja V ⊂ S[[t]]
um k[[t]]-submodulo, homogeneo, saturado de posto r+1, para algum inteiro
r > 0. Considere ∂ uma F -derivacao de S[[t]].
24
Se o esquema de ramificacao generico RF ∗(V∗) e finito, gostarıamos de
calcular o 0-ciclo do bordo esquematico [RF (V )] em P2k. Como vimos na
Secao 2.2, podemos escolher ∂ tal que W∂∗(V∗) seja primo com F ∗ e, assim,
computamos RF ∗(V∗). Entretanto, o k-espaco vetorial V (0) pode induzir
um sistema linear degenerado sobre uma componente irredutıvel da curva
plana definida por F (0), ou seja, esta componente divide um elemento nao
nulo de V (0). Mais ainda, ∂(0) pode conter uma componente de F (0) no seu
lugar singular, por exemplo, quando a componente e multipla e ∂ = ∂F,H
para qualquer serie de potencias homogenea H ∈ S[[t]]. Em qualquer um dos
casos, W∂(0)(V (0)) sera divisıvel por uma componente de F (0), e, portanto,
nao podemos usar o Lema 1.3 para computar o limite RF (V ).
Para contornarmos isto, permitiremos modificar as derivacoes para adapta-
las a cada fator irredutıvel de F (0).
De fato, para calcular o 0-ciclo do limite do esquema de ramificacao
generico RF ∗(V∗) em P2
k, permitimos mudar ∂ para qualquer outra F -
derivacao ∂1, tal que as derivacoes induzidas ∂∗ e ∂∗1 em k((t))[X,Y, Z]
sejam equivalentes modulo F ∗. Estas mudancas sao permitidas pois
W∂∗1(V ∗) ≡F ∗ cW∂∗(V
∗)
para algum c ∈ k((t))− 0.
Vamos realmente considerar algo um pouco mais geral e para tanto faze-
mos a seguinte definicao.
Definicao 2.1. Seja F ∈ S[[t]] uma serie de potencias homogenea de grau
positivo e com termo constante F (0) nao nulo. Sejam E um fator irre-
dutivel de F (0) e ∂ uma F -derivacao. Dizemos que ∂ e adaptada a E se
gcd(∂(0), E) = 1.
Definicao 2.2. Dizemos que uma F -derivacao ∂1 de S[[t]] e uma adaptacao
de uma F -derivacao ∂ para E, componente irredutıvel de F (0), se ∂1 e
adaptada a E e existe uma serie de potencias homogenea G ∈ S[[t]] tal que
gcd(E,G(0)) = 1 e ∂∗1 ≡F ∗ G∗∂∗.
No proximo capıtulo veremos alguns tipos de famılias em que existem
derivacoes adaptadas aos fatores irredutıveis de F (0). Nao sabemos em
geral quando tais adaptacoes existem. Mas quando estas derivacoes existem,
podemos calcular o 0-ciclo do bordo esquematico do esquema de ramificacao
generico [RF (V )] usando o Teorema 2.4, o qual e uma simples consequencia
25
da proposicao abaixo.
Proposicao 2.3. Seja k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0. Sejam F,G ∈ k[[t]][X,Y, Z] series de potencias homogeneas de graus
positivos. Considere E1, ..., En os fatores irredutıveis de F (0), e e1, ..., en
suas multiplicidades. Suponhamos que, para cada i = 1, ..., n, existem series
de potencias homogeneas Li,Mi ∈ k[[t]][X,Y, Z] tais que:
1. L∗iG∗ e equivalente a M∗i modulo F ∗ em k((t))[X,Y, Z];
2. Li(0)Mi(0) e primo com Ei.
Entao F ∗ e G∗ sao coprimos em k((t))[X,Y, Z] e
[limt→0
(G∗ · F ∗)] =n∑i=1
ei
([Mi(0) · Ei]− [Li(0) · Ei]
).
Proof. Este resultado pode ser encontrado num contexto mais geral em ([6]
Thm.4 pg.9).
Teorema 2.4. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0,
F ∈ k[[t]][X,Y, Z] uma serie de potencias homogenea de grau positivo, ∂ uma
F -derivacao e V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, homogeneo,
de posto r+1. Considere E1, ..., En os fatores irredutıveis de F (0), e e1, ..., en
suas multiplicidades. Suponhamos que para cada i = 1, ..., n o submodulo
V (0) e nao degenerado sobre Ei e que exista uma serie de potencias ho-
mogeneas Hi ∈ k[[t]][X,Y, Z] e uma F -derivacao ∂i que seja Ei-adaptada e
satisfaca:
1. gcd(Hi(0), Ei) = 1;
2. ∂∗i ≡F ∗ H∗i ∂∗.
Entao W∂∗(V∗) e F ∗ nao tem componentes em comum em k((t))[X,Y, Z] e
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] =
n∑i=1
ei[W∂i(0)(V (0)) · Ei]−(r + 1
2
) n∑i=1
ei[Hi(0) · Ei]
Proof. Definamos Li := H(r+1
2 )i , Mi := W∂i(V ) e G∗ := W∂∗(V
∗). Notemos
que:
1. Li(0) = H(r+1
2 )i (0) e primo com Ei pela Hipotese 1;
26
2. L∗iG∗ e equivalente a M∗i modulo F ∗ pela Hipotese 2, pela Propriedade
(1) do wronskiano e pela Proposicao 1.1.
Assim, a Proposicao 2.3 afirma que F ∗ e G∗(= W∂∗(V∗)) sao coprimos em
k((t))[X,Y, Z] e que
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = [lim
t→0(G∗ · F ∗)] =
n∑i=1
ei
([Mi(0) · Ei]− [Li(0) · Ei]
)
=n∑i=1
ei[W∂i(0)(V (0)) · Ei)]−(r + 1
2
) n∑i=1
ei[Hi(0) · Ei)],
como querıamos demonstrar.
27
3 Aplicacoes
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0, S := k[X,Y, Z]
com a graduacao natural e F ∈ Sd[[t]] uma serie de potencias homogenea
nao nula.
Proposicao 3.1. Seja H ∈ k[X,Y, Z] um polinomio homogeneo primo com
F (0). Seja
∂F,H = det
∂X(F ) ∂Y (F ) ∂Z(F )
∂X(H) ∂Y (H) ∂Z(H)
∂X ∂Y ∂Z
.Suponhamos que F (0) =
∏ni=1E
eii , onde E1, ..., En sao fatores irredutıveis e
coprimos. Assim, ∂F,H e adaptada a Ei se, e somente se, ei = 1.
Proof. Como
∂F,H(0) = ∂∏ni=1 E
eii ,H
= eiEei−1i
∏j 6=i
Eejj ∂Ei,H + Eeii ∂∏
j 6=i Eejj ,H
,
entao o Lema 1.3 informa que a F -derivacao ∂F,H e adaptada a Ei se, e
somente se, ei = 1.
Por outro lado, mostraremos que existem derivacoes adaptadas a com-
ponentes irredutıveis multiplas de alguns tipos de famılias.
3.1 Famılias de Zeuthen de “primeiro tipo”
Definicao 3.1. Suponhamos que
F = EnA+ F1t+ F2t2 + · · ·+ Fit
i + · · · ,
onde A e E sao livres de quadrados e coprimos e n ≥ 2. Dizemos que F e
de primeiro tipo se gcd(E,F1) = 1.
O nosso objetivo e encontrar F -derivacoes que sejam adaptadas a cada
componente irredutıvel de F (0) = EnA e, assim, usar o Teorema 2.4 junto
com o Lema 1.3 para poder calcular o 0-ciclo do limite do esquema de rami-
ficacao generico [RF (V )], onde V ⊂ Se[[t]] e um k[[t]]-submodulo homogeneo,
saturado, generico de posto r + 1.
Seja H ∈ k[X,Y, Z] um polinomio homogeneo primo com F (0). Como
os fatores de A aparecem com multiplicidade 1 como fatores de F (0), a
28
Proposicao 3.1 garante que a F -derivacao ∂F,H e adaptada para cada fator
irredutıvel de A. Por outro lado, uma F -derivacao adaptada a cada fator
irredutıvel de E e simplesmente dada por
∂′ :=1
En−1∂B1,EnA =
1
En−1
∣∣∣∣∣∣∣∂X(B1) ∂Y (B1) ∂Z(B1)
∂X(EnA) ∂Y (EnA) ∂Z(EnA)
∂X ∂Y ∂Z
∣∣∣∣∣∣∣ ,onde B1 := (F − EnA)/t. De fato, notemos que
∂′(F ) = ∂′(EnA+B1t) = ∂′(EnA) + t∂′(B1) = 0,
logo ∂′ e uma F -derivacao. Para mostrar que ∂′ e adaptada a cada compo-
nente irredutıvel de E, notemos que
∂′(0) =1
En−1∂F1,EnA = nA∂F1,E + E∂F1,A
e que E e livre de quadrados, assim a Proposicao 3.1 garante que ∂′ e
adaptada a cada componente irredutıvel de E.
Precisamos comparar ∂′ e ∂F,H para podermos usar o Teorema 2.4. Ob-
servemos que
t∂′ = t(1/En−1)∂B1,EnA = (1/En−1)∂tB1,EnA = (1/En−1)∂F,EnA.
Assim, o Lema 1.3 afirma que
H∂′ ≡F tH∂′ = (1/En−1)H∂F,EnA ≡F (1/En−1)EnA∂F,H = EA∂F,H
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z]. Como gcd(EA,H) = 1, temos que
H∂′ e uma adaptacao de E∂F,H a cada componente irredutıvel de E.
Seja V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, homogeneo, de
posto r+1 tal que V (0) e nao degenerado sobre cada componente irredutıvel
de F (0) e que RF ∗(V∗) e finito.
Defina
∂ := ∂1 := E∂F,H ; ∂2 := H∂′; H1 := 1; H2 := A.
29
Segue do Teorema 2.4 que
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = [W∂1(0)(V (0)) ·A] + [W∂2(0)(V (0)) · En]
−(r + 1
2
)[A · En] (6)
Agora, como
∂1(0) = E∂EnA,H ≡A En+1∂A,H ,
temos, pelo Lema 1.3, que
(W∂1(0)(V (0)) ·A) =
(r + 1
2
)(En+1H ·A) +RA(V (0)). (7)
Analogamente,
∂2(0) = H∂′(0) ≡E HA∂F1,E .
Logo,
(W∂2(0)(V (0)) · En) = n((r + 1
2
)(AHF1 · E) +RE(V (0))
). (8)
Finalmente, as propriedades do wronskiano e o Lema 1.3 implicam que
(W∂∗(V∗) · F ∗) = (WE∗∂∗F,H
(V ∗) · F ∗) = RF ∗(V∗) +
(r + 1
2
)(E∗H∗ · F ∗).
Como
[limt→0
(E∗H∗ · F ∗)] = [E · F1] + [H · EnA],
e, por definicao, [limt→0RF ∗(V∗)] = [RF (V )] temos
[limt→0
(W∂∗(V∗) ·F ∗)] = [RF (V )] +
(r + 1
2
)[E ·F1] +
(r + 1
2
)[H ·EnA]. (9)
Desta forma, substituindo (7), (8), (9) em (6) e tomando os 0-ciclos associ-
ados, teremos
[RF (V )] =
(r + 1
2
)[En+1H ·A] + [RA(V (0))]
+n((r + 1
2
)[AHF1 · E] + [RE(V (0))]
)30
−(r + 1
2
)[A · En]−
(r + 1
2
)[E · F1]−
(r + 1
2
)[H · EnA],
ou seja,
[RF (V )] = n[RE(V (0))]+[RA(V (0))]+
(r + 1
2
)((n+1)[A·E]+(n−1)[F1·E]
).
Agora, seja V [[t]] ⊆ k[[t]][X1, X2, X3]e o k[[t]]-submodulo gerado por V ,
o sistema linear induzido pela projecao de um ponto geral de P2k.
Teorema 3.2. Seja
F = EnA+ F1t+ F2t2 + · · ·+ Fit
i + · · ·
uma serie de potencias homogenea, onde A e E sao livres de quadrados e
gcd(E,AF1) = 1. Entao,
limt→0
F ? = nE? +A? + (n+ 1)[A · E]? + (n− 1)[F1 · E]?.
Observacao 3.2. Notemos que quando n = 2 e o posto de V e r + 1, o
0-ciclo do limite do esquema de ramificacao generico da famılia de primeiro
tipo e:
[RF (V )] = 2[RE(V (0))] + [RA(V (0))] +
(r + 1
2
)(4− 1)[A · E] + [F1 · E].
3.2 Famılias de Zeuthen de “segundo tipo”
Seja
F = EnA+ nEn−1F1t+ F2t2 + F3t
3 + · · ·
uma serie de potencias homogenea, onde n ≥ 2, E e A sao livres de quadra-
dos e coprimos. Suponhamos que gcd(A,F ) = 1. Notemos que
An−1F = EnAn + nEn−1An−1F1t+An−1F2t2 + · · ·
=(EA+ F1t
)n+(An−1F2 −
(n
2
)(EA)n−2F 2
1
)t2 + · · ·
=(EA+ F1t
)n+(An−1F2 −
(n
2
)(EA)n−2F 2
1 + · · ·)t2.
31
Definamos
∆2 := An−1F2 −(n
2
)(EA)n−2F 2
1 .
Definicao 3.2. Dizemos que a famılia F e do segundo tipo se gcd(E,∆2) =
1.
Neste caso, defina Q1 := EA+F1t e Q2 := (An−1F −Qn1 )/t2. Segue que
An−1F = Qn1 +Q2t2. (10)
Notemos que Q2(0) = ∆2. Seja H ∈ k[X,Y, Z] polinomio homogeneo tal
que gcd(H,EA) = 1. Como na secao anterior, ∂F,H e adaptada a cada fator
irredutıvel de A. Por outro lado, a derivacao
∂′ := An−1∂Q2,Q1
e uma F -derivacao. De fato, a Equacao (10) garante que
∂′(F ) = An−1∂Q2,Q1(F ) = ∂Q2,Q1(An−1F )−F∂Q2,Q1(An−1) = −F∂Q2,Q1(An−1).
Alem disto, como
∂′(0) := An−1∂∆2,EA = An∂∆2,E +An−1E∂∆2,A
e gcd(E,A∆2) = 1, temos que ∂′ e adaptada a cada componente irredutıvel
de E.
Como
t2H∂′ = HAn−1∂An−1F,Q1= HA2(n−1)∂F,Q1 +HAn−1F∂An−1,Q1
,
segue que
H∂′ ≡F HA2(n−1)∂F,Q1 ≡F A2(n−1)Q1∂F,H ,
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z].
Seja A = P1 · · ·Pm decomposicao em fatores irredutıveis. Como, por
hipotese, gcd(Pj , F ) = 1, para j = 1, ..,m, entao existe i(j) tal que Pj |Fs se
s < i(j), mas Pj 6 |Fi(j). Definamos
Pj :=EnA+ nEn−1F1t+ F2t
2 + · · ·+ Fi(j)−1ti(j)−1
Pj,
32
onde j = 1, ...,m. Notemos que para cada j = 1, ...,m existem inteiros
positivos aj , bj e series de potencias homogeneas Nj tais que
Pajj A2(n−1)Q1 ≡F Njt
bj e gcd(Nj(0), Pj) = 1. (11)
Portanto,
Pajj H∂′ ≡F P
ajj A2(n−1)Q1∂F,H ≡F Nj∂F,H
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z], para j = 1, ...,m.
Seja V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, homogeneo, de
posto r+1 tal que V (0) e nao degenerado sobre cada componente irredutıvel
de F (0) e que RF ∗(V∗) e finito.
Definamos
∂ := ∂1 := ∂′; ∂l := Nl−1∂F,H , para l = 2, ...,m+ 1;
E1 := E; El := Pl−1 para l = 2, ...,m+ 1;
H1 := 1; Hl := Pal−1
l−1 H para l = 2, ...,m+ 1.
Assim, o Teorema 2.4 garante que
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = n[W∂1(0)(V (0)) · E] +
m+1∑l=2
[W∂l(0)(V (0)) · Pl−1]
−(r + 1
2
)m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1],
ou seja,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = n[W∂1(0)(V (0)) · E] + [W∂EnA,H
(V (0)) ·A]
+
(r + 1
2
)(m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1]). (12)
Como antes, iremos calcular cada termo nao conhecido da igualdade
acima. Calculando (W∂′(0)(V (0)) · E): como
∂′(0) ≡E An∂∆2,E ,
33
temos, pelo Lema 1.3, que
(W∂′(0)(V (0)) · E) =
(r + 1
2
)(An∆2 · E) +RE(V (0)). (13)
Calculando (W∂EnA,H(V (0)) ·A): como
∂EnA,H ≡A En∂A,H ,
temos que
(W∂EnA,H(V (0)) ·A) =
(r + 1
2
)(EnH ·A) +RA(V (0)). (14)
Calculando [RF (V )]: temos que
∂′ = An−1∂Q2,Q1 ≡F A2(n−1)∂F,Q1
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z], logo
(W∂′∗(V∗) · F ∗) =
(r + 1
2
)(A∗2(n−1)Q∗1 · F ∗) +RF ∗(V
∗). (15)
Notemos que
(A2(n−1)Q1)n ≡F −A2n(n−1)∆2t2n + · · · ,
e que, pela Equacao (11),
(Pajj A2(n−1)Q1)n ≡F Nn
j tbjn + · · · , para j = 1, ...,m.
Assim, a Proposicao 2.3 garante que
[limt→0
((A∗2(n−1)Q∗1)n·F ∗
)] = n[A2n(n−1)∆2·E]+
m∑j=1
n(
[Nj(0)·Pj ]−[Pajj (0)·Pj ]
),
ou seja,
[limt→0
(A∗2(n−1)Q∗1 ·F ∗
)] = [A2n(n−1)∆2 ·E]+
m∑j=1
([Nj(0) ·Pj ]− [P
ajj (0) ·Pj ]
).
34
Tomando limite na Equacao (15) e os 0-ciclos associados,
[limt→0
(W∂′∗(V∗) · F ∗)] =
(r + 1
2
)[limt→0
(A∗2(n−1)Q∗1 · F ∗
)] + [lim
t→0RF ∗(V
∗)],
ou seja,
[limt→0
(W∂′∗(V∗) · F ∗)] = [RF (V )]
+
(r + 1
2
)([A2n(n−1)∆2 · E] +
m∑j=1
([Nj(0) · Pj ]− [P
ajj (0) · Pj ]
))(16)
Substituindo (13), (14) e (16) em (12) e tomando os 0-ciclos associados,
[RF (V )] = n((r + 1
2
)[An∆2 · E] + [RE(V (0))]
)
+
(r + 1
2
)[EnH ·A] + [RA(V (0))]
+
(r + 1
2
)(m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1])
−(r + 1
2
)([A2n(n−1)∆2 · E] +
m∑j=1
([Nj(0) · Pj ]− [P
ajj (0) · Pj ]
))ou seja,
[RF (V )] = n[RE(V (0))] + [RA(V (0))] + (3n− n2)
(r + 1
2
)[E ·A]
+(n− 1)
(r + 1
2
)[∆2 · E].
Agora, seja V [[t]] ⊆ k[[t]][X1, X2, X3]e o k[[t]]-submodulo gerado por V ,
o sistema linear induzido pela projecao de um ponto geral de P2k.
Teorema 3.3. Seja
F = EnA+ nEn−1F1t+ F2t2 + · · ·
uma serie de potencias homogenea, onde n ≥ 2, E e A sao livres de quadra-
dos e coprimos. Suponhamos que gcd(A,F ) = 1 e que F e de segundo tipo.
35
Entao,
limt→0
F ? = nE? +A? + (3n− n2)[E ·A]? + (n− 1)[∆2 · E]?.
Observacao 3.3. Notemos que quando n = 2 e o posto de V e r + 1, o
0-ciclo do limite do esquema de ramificacao generico da famılia de segundo
tipo e:
[RF (V )] = 2[RE(V (0))] + [RA(V (0))] +
(r + 1
2
)(4− 2)[E ·A] + [∆2 · E].
3.3 Outros tipos de famılias
Seja
F = En +
m−1∑i=1
(n
i
)En−i(F1t)
i + Fmtm + · · · ,
uma serie de potencias homogenea, onde n ≥ 2, 2 ≤ m ≤ n + 1, E livre de
quadrados. Suponhamos que
gcd(E,Fm −
(n
m
)En−mFm1
)= 1.
Notemos que
F = (E + F1t)n −
(Fm −
(n
m
)En−mFm1 + · · ·
)tm
Definamos
Q1 := E + F1t, Q2 := (F −Qn1 )/tm,
temos que Q2(0) = Fm −(nm
)En−mFm1 e que
F = Qn1 +Q2tm.
Considere a seguinte F -derivacao:
∂′ := ∂Q2,Q1 .
Notemos, assim como na Secao 3.2, que ∂′ e adaptada a cada fator irredutıvel
de E. Seja V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, homogeneo, de
posto r+1 tal que V (0) e nao degenerado sobre cada componente irredutıvel
36
de F (0) e que RF ∗(V∗) e finito. Como antes,
[limt→0
(W∂∗(V∗ · F ∗))] = n[W∂(0)(V (0)) · E],
ou seja,
[limt→0
(W∂∗(V∗ · F ∗))] = n
(r + 1
2
)[Q2(0) · E] + n[RE(V (0))].
Por outro lado, como
∂∗ ≡F ∗ ∂F ∗,Q∗1 ,
entao
(W∂∗(V∗) · F ∗) =
(r + 1
2
)(Q∗1 · F ∗) +RF ∗(V
∗).
Notemos que
Qn1 ≡F −Q2tm.
Logo,
[limt→0
((Q∗1 · F ∗))] = (1/n)[limt→0
((Q∗1n · F ∗))] = [Q2(0) · E].
Assim,
[RF (V )] = n[RE(V (0))] + (n− 1)
(r + 1
2
)[Q2(0) · E].
Agora, seja V o sistema induzido pela projecao de um ponto geral o ∈ P2k.
Teorema 3.4. Seja
F = En +
m−1∑i=1
(n
i
)En−i(F1t)
i + Fmtm + · · · ,
uma serie de potencias homogenea, onde n ≥ 2 e 2 ≤ m ≤ n + 1, E e um
polinomio livre de quadrados. Suponhamos que
gcd(E,Fm −
(n
m
)En−mFm1
)= 1.
Entao,
limt→0
F ? = nE? + (n− 1)[(Fm −
(n
m
)En−mFm1
)· E]?.
37
4 Famılias regulares
Neste capıtulo faremos um comparativo entre a formula do limite de curvas
duais planas dada por Katz [9] e o metodo descrito neste trabalho.
4.1 Polıgono de Newton
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0, S uma k-
algebra e domınio integral. Seja F uma famılia de polinomios de grau n
com coeficientes em S, ou seja, por definicao
F =∑i≥0
Fi(Z)ti =∑i,j≥0
aijtiZj ∈ S[Z][[t]],
onde Fi(Z) ∈ S[Z], deg(F0) = n e deg(Fi) ≤ n para i > 0.
Descreveremos aqui a construcao da expansao de Puiseux generalizada de
F como em [9]. Suponhamos que Z2|F0, enquanto que Z - F . Consideremos
o polıgono de Newton P de F , ou seja, a envoltoria convexa do conjunto⋃aij 6=0
(i, j) + R2≥0.
Seja d o maior inteiro tal que Zd|F0. Suponhamos que o angulo α da aresta
lıder de P , ou seja, a aresta que passa pelo ponto (0, d), e −1/m. Trunque-
mos F incluindo somente os termos de F que pertencem a esta aresta para
obter
FZ(t, Z) =∑
am(d−j),jtm(d−j)Zj .
Z
t
••d P
α•
•(m(d−j),j)
•(i,j)
•
Aresta Lıder
38
Notemos que FZ(t, Z) e quase-homogenea de grau md se t tem grau 1 e Z
tem grau m. Finalmente, definamos
PFZ(s) := FZ(1, s) =
∑am(d−j),js
j .
Mais geralmente, suponhamos que F0(Z) =∏fk(Z)ek , onde fk sao irre-
dutıveis e coprimos. Fixemos k e escrevamos
Fi = fek,ik (Z)gk,i(Z),
onde fk - gk,i. Assim,
F =∑i≥0
Fi(Z)ti =∑
gk,itifek,ik .
Formemos o polıgono de Newton associado a fk: a envoltoria convexa de⋃gk,i 6=0
(i, ek,i) + R2≥0.
Trunquemos F , como antes, para obtermos
Ffk(t, fk) =∑
gk,ifek,ik ti.
incluindo somente a soma dos termos que estao na aresta lıder do polıgono
de Newton. Definamos
PFfk(s) := Ffk(1, s) =
∑gkis
eki .
4.2 Discriminante formal
Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0, S uma k-
algebra e domınio integral, f = ansn + · · · + a0 ∈ S[Z][s], ai(Z) ∈ S[Z]
(i = 0, 1, ..., n), com Z e s variaveis. Suponhamos que an 6= 0. Sejam
β1, ..., βn as raizes formais de f , ou seja, f(s) = an∏ni=1(s−βi). Lembramos
que o discriminante de f e dado por
∆A[Z](f) = a2n−2n
∏i<j
(βi − βj)2 =(−1)n(n−1)/2
anR(f, ds(f)) ∈ S[Z],
39
onde R(f, ds(f)) e a resultante de f com ds(f), a derivada de f com relacao
a variavel s.
Seja F =∑
i≥0 Fi(Z)ti uma famılia de polinomios de grau n com coefi-
cientes em S e F0(Z) =∏fk(Z)ek , onde fk sao irredutıveis e coprimos.
Definicao 4.1. O discriminante formal de F com respeito a fk e definido
por
∆fk(F )(Z) := ∆S[Z](PFfk(s)).
Definicao 4.2. Dizemos que F e fk-regular se fk - ∆fk(F ). Dizemos que
F e regular se F e fk-regular para todo k.
Apartir de agora iremos supor que S := k[X,Y ].
Seja F =∑
i≥0 Fi(X,Y, Z)ti ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma famılia de curvas
planas de grau d. Denotemos por F0 =∏iE
eii a decomposicao em fatores
irredutıveis. Katz [9] mostrou que se F for regular, entao
limt→0
F ? =∑i
eiE?i +
∑i
[∆Ei(F ) · Ei]? + 2∑i<l
(ei + el − eiel)[Ei · El]?.
Exemplo 4.1. O Corolario 2.2.1 afirma que se F ∈ k[X,Y, Z][[t]] e uma
serie de potencias homogenea de grau positivo com F (0) =∏nk=1E
eii , onde
Ei sao irredutıveis e coprimos, e se gcd(Ei, F1) = 1 para todo i, entao:
limt→0
F ? =∑i
eiE?i +
∑i<j
(ei + ej)[Ei · Ej ]? +∑i
(ei − 1)[Ei · F1]?.
Notemos que esta famılia e regular. Para mostrarmos isto, precisamos
calcular ∆Ei(F ). Como Ei - F1 para todo i, entao a aresta lıder do polıgono
de Newton formado para cada Ei e:
Ei
t
ei•
1•
Aresta Lıder
40
Logo, ao truncarmos F nos coeficientes que pertencem a esta aresta, teremos
FEi =(∏j 6=i
Eejj
)Eeii + F1t.
Assim,
PFEi(s) =
(∏j 6=i
Eejj
)sei + F1.
Por definicao, ∆Ei(F ) = ∆(PFEi(s)). Como ds(PFEi
(s))) = ei
(∏j 6=iE
ejj
)sei−1,
temos que
R(PFEi(s), ds(PFEi
(s))) = F ei−11 ·
(ei∏j 6=i
Eejj
)ei.
Portanto,
∆Ei(F ) = (−1)ei(ei−1)/2eiFei−11
(ei∏j 6=i
Eejj
)ei−1
o qual e primo com Ei. Assim, F e regular. Alem disto, notemos que:
[∆Ei(F ) · Ei] = (ei − 1)[F1 · Ei] +∑i 6=j
((ei − 1)ej
)[Ej · Ei].
Por Katz,
limt→0
F ? =∑i
eiE?i +
∑i
[∆Ei(F ) · Ei]? + 2∑i<l
(ei + el − eiel)[Ei · El]?
=∑i
eiE?i +
∑i
(ei − 1)[F1 · Ei]? +∑i 6=j
((ei − 1)ej
)[Ej · Ei]?
+2∑i<l
(ei + el − eiel)[Ei · El]?
=∑i
eiE?i +
∑i
(ei − 1)[F1 · Ei]? +∑i<j
((ei − 1)ej + (ej − 1)ei
)[Ej · Ei]?
+2∑i<l
(ei + el − eiel)[Ei · El]? =⇒
limt→0
F ? =∑i
eiE?i +
∑i<j
(ei + ej)[Ei · Ej ]? +∑i
(ei − 1)[Ei · F1]?,
ou seja, as formulas coincidem.
41
4.3 Famılias nao-regulares
No Capıtulo 3 vimos como calcular o limite das curvas duais de alguns tipos
de famılias. Sabemos [9] que as famılias de Zeuthen de primeiro e segundo
tipos sao regulares. No entanto, a famılia descrita na Secao 3.3 nao e regular
em geral. Por exemplo, seja
F = E2 +
2∑i=1
(2
i
)E2−i(F1t)
i + F3t3 + · · · ,
onde E e irredutıvel, gcd(E,F1) = 1.
Assim, a aresta lıder r do polıgono de Newton formado para a compo-
nente E com os pontos marcados:
E
t
2•
•
•1
21
r
Logo PFE(s) = s2 + s(2F1) + F 2
1 e, por tanto, ∆(PFE(s)) = 0. Ou seja, F
nao e E-regular. Este mesmo raciocınio mostra que toda famılia da forma
F = En +n∑i=1
(n
i
)En−i(F1t)
i + Fn+1tn+1 + · · · ,
onde E e irredutıvel, gcd(E,F1) = 1 nao e regular.
42
5 Famılias de Zeuthen de tipo n
No Capıtulo 3 mostramos como aplicar o metodo aqui descrito no calculo
do limite do esquema de ramificacao generico e, particularmente, o limite de
curvas duais para famılias de Zeuthen de primeiro e segundo tipos. Agora,
veremos como estender a aplicacao deste metodo para famılias de Zeuthen
de todos os tipos.
Seja F := E2A + F1t + F2t2 + · · · + Fit
i + · · · ∈ k[[t]][X,Y, Z]d, onde k
e um corpo algebricamente fechado e de caracterıstica 0, E e irredutıvel, A
livre de quadrados, e gcd(E,A) = 1.
Seja V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, homogeneo, de
posto r+1 tal que V (0) e nao degenerado sobre cada componente irredutıvel
de F (0) e que RF ∗(V∗) e finito.
O nosso objetivo e definir a famılia de tipo n, assim como o n-esimo
discriminante ∆n desta famılia de tal forma que:
1. Toda famılia F = E2A+F1t+F2t2 + · · ·+Fiti+ · · · com fibra generica
reduzida e de tipo n para algum n;
2. Se F = E2A + F1t + F2t2 + · · · + Fit
i + · · · e uma famılia de tipo n,
entao o 0-ciclo do limite do esquema de ramificacao generico [RF (V )]
satisfaz:
[RF (V )] = 2[RE(V (0))]+[RA(V (0))]+
(r + 1
2
)((4−(n+2))[E·A]+[∆n+2·E]
).
Comecamos definindo ∆1 := F1. Se E nao divide ∆1, entao F e de
tipo 1, ou de primeiro tipo na terminologia de Zeuthen. Caso contrario,
definimos ∆′1 := ∆1/E. Assim,
F = E2A+ E∆′1t+ F2t2 + · · ·+ Fit
i + · · · =⇒
AF = E2A2 +AE∆′1t+AF2t2 + · · ·+AFit
i + · · · =⇒
AF =(EA+ ∆′1t/2
)2− (∆′1t/2)2 +AF2t
2 + · · ·+AFiti + · · · =⇒
AF =(EA+ ∆′1t/2
)2+(AF2 − (∆′1/2)2 +AF3t+ · · ·+AFit
i−2 + · · ·)t2
Definimos, agora, ∆2 := AF2 − (∆′1/2)2. Se E nao divide ∆2, entao F e
de tipo 2, ou de segundo tipo na terminologia de Zeuthen. Caso contrario,
43
definimos ∆′2 := ∆2/E. Assim,
A2·AF =(EA2+∆′1At/2
)2+(A2E∆′2+A3F3t+· · ·+A3Fit
i−2+· · ·)t2 =⇒
A3F =(EA2 + ∆′1At/2 + ∆′2t
2/2)2−(
∆′2t2/2)2− 2(
(∆′1At/2) · (∆′2t2/2))
+(A3F3t+ · · ·+A3Fit
i−2 + · · ·)t2,
ou seja,
A3F =(EA2 + ∆′1At/2 + ∆′2t
2/2)2
+(A3F3 − (A∆′1∆′2)/2 + (A3F4 − (∆′2/2)2)t+A3F5t
2 + · · ·A3Fiti−3 · · ·
)t3.
Desta forma, definimos ∆3 := A2F3− (∆′1∆′2)/2. Se E nao divide ∆3, entao
F e de tipo 3, ou de terceiro tipo na terminologia de Zeuthen. Notemos que
este discriminante e o mesmo discriminante apresentado em [16].
Alem disto, notemos que o produto de uma potencia de A com F pode
ser escrito como soma de dois termos:
1. O primeiro, que e o quadrado de
Q1(t) := EA2 + ∆′1At/2 + ∆′2t2/2,
2. e o segundo,
Q2(t) := A3F3 − (A∆′1∆′2)/2 + (A3F4 − (∆′2/2)2)t+A3F5t2 + · · ·
vezes t3.
Notemos ainda que o discriminante foi escolhido, a menos de uma potencia
da componente A, como sendo o termo Q2(0). Seguindo este raciocınio,
temos o seguinte resultado.
44
Lema 5.1. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica 0
e F = E2A + F1t + F2t2 + · · · + Fit
i + · · · ∈ k[[t]][X,Y, Z] uma serie de
potencias homogeneas de grau d. Para cada inteiro n ≥ 0 temos que:
A2n+1F =(EAn+1+(∆′1A
nt)/2+· · ·+(∆′iAn+1−iti)/2+· · ·+(∆′n+1t
n+1)/2)2
+(An∆n+2 + Cn+3t+ Cn+4t
2 + · · ·)tn+2,
onde
Cn+2+k := A2n+1Fn+2+k −∑
i+j=n+2+k
∆′iAn+1−i
2·
∆′jAn+1−j
2
∆n+2 := Cn+2/An e ∆′i := ∆i/E, para 1 ≤ i < n+ 2.
Proof. Inducao em n.
Notemos que para usar o Lema 5.1 no calculo do 0-ciclo do limite do
esquema de ramificacao generico, precisamos que os quocientes ∆′i := ∆i/E
sejam polinomios. Assim, temos a seguinte
Definicao 5.1. Dizemos que F e de tipo n se E divide ∆1, ...,∆n−1 mas
nao divide ∆n.
Exemplo 5.4. Notemos que a famılia
F = E2 +
2∑i=1
(2
i
)E2−i(F1t)
i + F3t3 + · · · ,
onde E irredutıvel e gcd(E,F1F3) = 1, descrita na Secao 4.3, e de tipo 3.
Lema 5.2. Com as definicoes anteriores, temos que
E2l−2∆l ≡A cl(∆1/2)l,
onde c1 = 2 e
cl := (−1/4) ·∑i+j=l
cicj
para l > 1. Alem disto,
gcd(∆l, A) = 1 ⇐⇒ gcd(∆1, A) = 1.
45
Proof. Provaremos por inducao em l. Quando l = 1, temos que
∆1 = 2 · (∆1/2).
Suponhamos que o resultado segue para l = n + 1. Assim, da definicao do
discriminante, temos
E2(n+2)−2∆n+2 ≡A∑
i+j=n+2
E2n∆i ·∆j
4=
∑i+j=n+2
E2i−2∆i · E2j−2∆j
4
≡A cn+2(∆1/2)n+2.
A ultima parte segue do fato que cl 6= 0 para todo l, pois quando l e ımpar,
temos que cl > 0 e quando l e par, cl < 0.
Observacao 5.2. O Lema 5.1 e importante por duas razoes:
1. Fornece uma formula para o n-esimo discriminante ∆n de uma famılia;
2. Garante que toda famılia F = E2A + F1t + F2t2 + · · · , onde E e
irredutıvel, com fibra generica reduzida seja de tipo n para algum n.
Pois caso contrario, terıamos que A2n+1F satisfaz a expressao descrita
no Lema 5.1 para todo inteiro n ≥ 0. Portanto, no aberto UA (A 6= 0),
a fibra generica seria
F =
(EA+
∑∞i=1 ∆′iA
1−iti))2
A,
ou seja, nao reduzida.
Agora estamos preparados para o teorema principal.
46
Teorema 5.3. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0, F = E2A + F1t + F2t2 + · · · + Fit
i + · · · ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma serie de
potencias homogeneas de grau d com E irredutıvel, A livre de quadrados e
gcd(A,EF ) = 1. Seja V ⊂ k[[t]][X,Y, Z] um k[[t]]-submodulo saturado, ho-
mogeneo, de posto r+1 tal que V (0) e nao degenerado sobre cada componente
irredutıvel de F (0) e que RF ∗(V∗) e finito. Se F e de tipo n′, entao
[RF (V )] = 2[RE(V (0))] + [RA(V (0))] +
(r + 1
2
)((4−n′)[E ·A] + [∆n′ ·E]
).
Proof. Podemos supor que n′ = n+ 2 e n ≥ 0. O Lema 5.1 afirma que
A2n+1F =(EAn+1+(∆′1A
nt)/2+· · ·+(∆′iAn+1−iti)/2+· · ·+(∆′n+1t
n+1)/2)2
+(An∆n+2 + Cn+3t+ Cn+4t
2 + · · ·)tn+2.
Definamos
Q1 := EAn+1 + (∆′1Ant)/2 + · · ·+ (∆′iA
n+1−iti)/2 + · · ·+ (∆′n+1tn+1)/2
e
Q2 :=(An∆n+2 + Cn+3t+ Cn+4t
2 + · · ·).
Assim,
A2n+1F = Q21 +Q2t
n+2.
Considere a seguinte F -derivacao
∂′ := A2n+1∂Q2,Q1 .
Como
∂′(0) = A2n+1∂An∆n+2,EAn+1 ,
entao ∂ e E-adaptada, pois E nao divide An∆n+2. Seja H ∈ k[X,Y, Z] um
polinomio homogeneo tal que gcd(H,EA) = 1. Assim,
H∂′ = HA2n+1∂Q2,Q1 ≡F H(A2n+1)2∂F,Q1 ≡F (A2n+1)2Q1∂F,H ,
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z]. Seja A = P1 · · ·Pm decomposicao
em fatores irredutıveis. Como, por hipotese, gcd(Pj , F ) = 1, para j =
47
1, ..,m, entao existe i(j) tal que Pj |Fs se s < i(j), mas Pj 6 |Fi(j). Definamos
Pj :=E2A+ F1t+ F2t
2 + · · ·+ Fi(j)−1ti(j)−1
Pj,
onde j = 1, ...,m. Notemos que para cada j = 1, ...,m, existem inteiros
positivo aj , bj e series de potencias homogeneas Nj tais que
Pajj (A2n+1)2Q1 ≡F Njt
bj e gcd(Nj(0), Pj) = 1.
Portanto,
Pajj H∂′ ≡F P
ajj (A2n+1)2Q1∂F,H ≡F Nj∂F,H
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z]. Definamos
∂ := ∂1 := ∂′, ∂l := Nl−1∂F,H para l = 2, ...,m+ 1;
E1 := E, El := Pl−1 para l = 2, ...,m+ 1;
H1 := 1, Hl := Pal−1
l−1 H para l = 2, ...,m+ 1.
Segue que
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = 2[W∂′(0)(V (0)) · E] +
m+1∑l=2
[W∂l(V (0)) · Pl−1]
−(r + 1
2
)m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1],
ou seja,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = 2[W∂′(0)(V (0)) · E] + [W∂E2A,H
(V (0)) ·A]
+
(r + 1
2
)(m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1]), (17)
Como antes, queremos calcular cada termo nao conhecido da expressao
acima. Notemos que
∂′(0) = A2n+1∂An∆n+2,EAn+1 ≡E A3n+2∂An∆n+2,E ,
48
logo
[W∂′(0)(V (0)) · E] =
(r + 1
2
)[A4n+2∆n+2 · E] + [RE(V (0))]. (18)
Analogamente,
∂E2A,H ≡A E2∂A,H .
Assim,
[W∂E2A,H(V (0)) ·A] =
(r + 1
2
)[E2H ·A] + [RA(V (0))]. (19)
Substituindo (18) e (19) em (17), temos que
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = 2
((r + 1
2
)[A4n+2∆n+2 · E] + [RE(V (0))]
)
+((r + 1
2
)[E2H ·A] + [RA(V (0))]
)
+
(r + 1
2
)(m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0)H · Pl−1]),
ou seja,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = 2[RE(V (0))] + [RA(V (0))] + (8n+ 6)
(r + 1
2
)[E ·A]
+
(r + 1
2
)(2[∆n+2 · E] +
m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0) · Pl−1]). (20)
Por outro lado,
∂′ = A2n+1∂Q2,Q1 ≡F (A2n+1)2∂F,Q1
como k((t))-derivacoes de k((t))[X,Y, Z]. Assim,
(W∂∗(V
∗) · F ∗)
=
(r + 1
2
)(A∗2(2n+1)Q∗1 · F ∗
)+RF ∗(V
∗). (21)
Notemos que (Pajj (A2n+1)2Q1
)2≡F N2
j t2bj para j = 1, ...,m
49
e que ((A2n+1)2Q1
)2≡F −(A2n+1)4An∆n+2t
n+2 + · · ·
Assim, a Proposicao 2.3 garante que
[limt→0
((
((A∗2n+1)2Q∗1)2 · F ∗)
)] = 2[(A2n+1)4An∆n+2 · E]
+
m+1∑l=2
2(
[Nl−1(0) · Pl−1]− [Pal−1
l−1 (0) · Pl−1]),
ou seja,
[limt→0
((
(A∗2n+1)2Q∗1 · F ∗)
)] = [(A2n+1)4An∆n+2 · E] +m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]
−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0) · Pl−1].
Tomando limite na Equacao (21) e os 0-ciclos associados,
[limt→0
(W∂∗(V∗) · F ∗)] = [RF (V )] +
(r + 1
2
)[(A2n+1)4An∆n+2 · E]
+
(r + 1
2
)(m+1∑l=2
[Nl−1(0) · Pl−1]−m+1∑l=2
[Pal−1
l−1 (0) · Pl−1]). (22)
Pelas Equacoes (20) e (22), temos que
[RF (V )] = 2[RE(V (0))]+[RA(V (0))]+
(r + 1
2
)((2−n)[E ·A]+[∆n+2 ·E]
),
ou seja,
[RF (V )] = 2[RE(V (0))]+[RA(V (0))]+
(r + 1
2
)((4−(n+2))[E·A]+[∆n+2·E]
)como querıamos demonstrar.
Agora, seja V o sistema linear induzido pela projecao de um ponto geral
o ∈ P2k.
Corolario 5.3.1. Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracterıstica
0, F = E2A + F1t + F2t2 + · · · + Fit
i + · · · ∈ k[X,Y, Z][[t]] uma serie de
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potencias homogeneas de grau d com E irredutıvel, A livre de quadrados,
gcd(E,A) = 1 e que nenhuma componente irredutıvel de A seja componente
irredutıvel de F . Se F e de tipo n, entao
limt→0
F ? = 2E? +A? + (4− n)(E ·A)? + (∆n · E)?.
Notemos que este mesmo raciocınio resolve o caso quando E e livre de
quadrados, E|∆i para i = 1, ..., n− 1 e gcd(∆n, E) = 1.
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