{LIMITE

MATEMÁTICA APLIC. À ADM2º PERÍODO ADM FACEMA 2012.2PROF. ARISTÓTELES MENESES LIMA

Isaac Newton ( 1642 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Investigação dos seguintes problemas: Encontrar a reta tangente a uma curva em

dado ponto da curva; Encontrar a área da região plana limitada por

uma curva arbitrária.

Introdução ao Cálculo

Foi precisamente a descoberta da relação entre esses dois problemas que alavancou o desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o em uma ferramenta indispensável para a solução de problemas práticos. Alguns exemplos práticos:

Encontrar a velocidade de um objeto . Encontrar a taxa de variação de uma população

de bactérias em relação ao tempo . Encontrar a taxa de variação do lucro de uma

companhia em relação ao tempo. Encontrar a taxa de variação do faturamento

de uma agência de viagens em relação ao gasto da publicidade.

O estudo do problema da reta tangente levou à criação do cálculo diferencial, que baseia no conceito de derivada de uma função.

O estudo do problema da área levou a criação do cálculo integral , que baseia no conceito de antiderivada ou integral de uma função.

Tanto a derivada de uma função quanto a integral de uma função são definidas em termos de um conceito mais fundamental – o de limite, nosso próximo tópico.

Considere a função g definida por

Suponhamos que temos que determinar o valor de g(t) quando t se aproxima do número 2.Se tomamos uma sequência de valores de t se aproximando de 2 pela direita, e pela esquerda . Vejamos as tabelas:

Definição intuitiva de limite

Observe que g(t) se aproxima do número 16 quando t se aproxima de 2 – dessa vez pelo lado esquerdo. Em outras palavras, quando t se aproxima de 2 de qualquer lado, g(t) se aproxima de 16. Nessa situação, dizemos que o limite de g(t) quando t se aproxima de 2 é 16, e escrevemos:

O gráfico da função g, confirma essa observação:

Uma função tem limite L quando x se aproxima de , ao que se denota por

se podendo fazer o valor de f(x) tão próximo do número L quando quisermos tomando x suficientemente próximo (mais não igual) a

Limite de uma função - definição

Calculando o limite de uma função

Propriedades de limites

Calcule

Ao tentarmos calcular esse limite aplicando a propriedade 5, vemos que o denominador da expressão

Se aproxima de zero quando x se aproxima de isto é, obtemos uma expressão da forma 0/0. Neste caso, dizemos que o limite do quociente quando x se aproxima de 2 tem a forma indeterminada 0/0.Formas

indeterminadas

1. Substitua a função dada por outra mais apropriada que assuma os mesmos valores que a função original em todos os pontos, exceto em x=a.

2. Calcule o limite dessa função quando x se aproxima de a.

Exemplos 5 e 6 ilustra essas estratégias. Estratégia para calcular formas indeterminadas

Exemplo 5 – Calcule o

Exemplo 6 – Calcule

Suponha que temos a função

e desejamos determinar o que acontece com f(x) quando x cresce sem limites. Tomando a sequência de números 1, 2, 5, 10, 100 e 1000 e calculando os valores correspondentes de f(x), obtemos a seguinte tabela de valores:

Limites no infinito

A partir da tabela, vemos que, à medida que x cresce cada vez mais, f(x) fica cada vez mais próximo de 2. O gráfico da função f mostrado na figura abaixo confirma essa observação. A reta y=2 recebe o nome de assíntota horizontal. Nessa situação, dizemos que o limite da função f(x), quando x cresce além de qualquer limite é igual a 2, e escrevemos

A função f tem limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou quando x tende a infinito), o que se denota por

Se podemos fazer que f(x) se aproxime arbitrariamente de L tomando x suficiente grande. Analogamente, a função f tem limite M quando x

decresce além de qualquer limite (ou quando x tende a menos infinito), o que se denota por

Se podemos fazer que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficiente grande em valor absoluto.

Definição

Para todo n>0, temos e desde que esteja definido.

Teorema 2