método do limite

1.4 Metodo do limite

A partir do final do seculo XVIII os metodos das fluxoes e da diferencial receberam

diversas crıticas por alguns matematicos, tais como, Euler, Lagrange, Laplace, entre

outros. A principal crıtica era em relacao aos infinitesimais. Eles diziam que esse

conceito era inconsistente e que algumas questoes nao eram muito bem explicadas.

Por exemplo, um infinitesimal e uma quantidade menor que qualquer outra quantidade

dada. Assim um infinitesimal nao pode ser um numero real. O que e entao um

infinitesimal?

Para esclarecer essas questoes, alguns matematicos dessa epoca comecaram a tra-

balhar no sentido de formalizar o conceito de infinitesimal, ou seja, de fazer uma

construcao de tal forma que o conceito de infinitesimal seja logicamente consistente,

isto e, que nao haja duvidas e nem contradicoes. Alguns nomes que contribuıram nessa

formalizacao sao: Dedekind, Cauchy, Bolzano e Weierstrass. O conceito introduzido

para formalizar o conceito de infinitesimal e o de limite de funcao, que e o objeto cen-

tral de estudo desta secao. Antes da definicao propriamente dita, de limite, precisamos

introduzir alguns conceitos e resultados preliminares.

1.4.1 Funcao real

A ideia intuitiva de funcao e a de estabelecer uma relacao de dependencia entre

as variaveis. No caso especıfico das curvas no plano, onde temos duas variaveis x e

y a ideia e que uma seja livre, por exemplo x, no sentido que ela tem a liberdade de

assumir qualquer valor num conjunto de numeros reais X fixado, e a outra, nesse caso

y, seja dependente do valor de x, isto e, para cada x em X fixado existe um unico valor

para y.

De maneira mais formal para definirmos uma funcao precisamos de um conjunto

X ⊂ R e de uma regra, digamos f , de tal forma que a cada x ∈ X associa um unico

numero real y = f(x) em R. Nesse caso usamos a notacao f : X → R e dizemos que f

e uma funcao de X em R (ou que assume valores em R). O conjunto X e chamado

domınio de f , denotado por dom(f), e dizemos que R e o contra domınio de f .

Nesse caso, dizemos tambem que f e uma funcao real com valores reais.

No que segue, estamos pensando numa funcao que define a variavel y em funcao da

variavel x, isto e, x e a variavel independente enquanto que y e a variavel que depende

43

44 Capıtulo 1 · Evolucao no problema da tangente

de x. No entanto, podemos pensar tambem em x como funcao de y. Os conceitos e

resultados podem ser obtidos de maneira analoga.

Dessa forma se f : X → R e uma funcao entao o conjunto

gra(f) = {(x, f(x)) : x ∈ dom(f)}

e uma curva no plano cartesiano, chamado grafico de f . O conjunto definido por

todas as ordenadas dos pontos que estao sobre o grafico de f e chamado imagem de

f e e denotado por ima(f), isto e,

ima(f) = {y : existe x ∈ dom(f), com y = f(x)}.

Assim, conhecendo o grafico de uma funcao podemos obter sua imagem projetando

o grafico sobre o eixo vertical e podemos obter seu domınio projetando o grafico sobre

o eixo horizontal.

Figura 1.24: Alguns conjuntos associados a uma funcao

Algumas vezes uma funcao real com valores reais e dada por uma regra que associa

a cada x um numero real f(x). Quando uma funcao e dada dessa forma, consideramos

como domınio de f o maior subconjunto dos reais tal que f(x) seja um numero real

bem definido.

Por outro lado, uma questao que surge e a seguinte: dada uma curva no plano

cartesiano, como reconhecer se a curva e o grafico de alguma funcao? A resposta e

dada na seguinte proposicao:

Secao 1.4 · Metodo do limite 45

Proposicao 1.4.1 (Teste da reta vertical) Sejam C uma curva no plano cartesi-

ano e X um subconjunto da reta numerica. A curva C e o grafico de uma funcao

f : X → R se, e somente se, para cada x0 ∈ X a reta vertical x = x0 corta a curva Cem exatamente um ponto.

Para facilitar nossa notacao estabelecemos agora uma notacao para alguns subcon-

juntos da reta numerica, que sao os intervalos. Dados dois numeros reais a e b com

a < b os intervalos limitados com extremidades a e b sao os conjuntos:

• Aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

• Fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

• Nem aberto, nem fechado: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, e[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.

Para cada c ∈ R os intervalos ilimitados com extremidades c sao os conjuntos:

• Abertos: (c,+∞) = {x ∈ R : x > c}.(−∞, c) = {x ∈ R : x < c}.

• Fechados: [c,+∞) = {x ∈ R : x ≥ c}.(−∞, c] = {x ∈ R : x ≤ c}.

Geometricamente, um intervalo limitado e um segmento na reta numerica que pode

conter ou nao as extremidades e um intervalo ilimitado e uma semirreta que pode

conter ou nao a extremidade. De todo modo, os sımbolos +∞ e −∞ indicam qual a

parte da semirreta que estamos considerando a partir de c: se e o sentido positivo ou

o negativo.

A reta tambem e vista como um intervalo, na forma R = (−∞,+∞).

A partir da Proposicao 1.4.1 podemos reconhecer nossos primeiros exemplos de

funcoes.

Exemplos

1. Consideremos as retas r e s de equacoes r : x = x1 e s : y = ax + b, respecti-

vamente. Notemos que a reta r e vertical, assim, pela Proposicao 1.4.1, r nao

e o grafico de uma funcao. Por outro lado, dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0


intercepta s exatamente uma vez. Logo, pela Proposicao 1.4.1, s e o grafico de

uma funcao f : R → R dada por f(x) = ax+ b. O domınio de f e R e a imagem

de f depende de a. Se a = 0 entao ima(f) = {b} e se a = 0 entao ima(f) = R.

A funcao deste exemplo e chamada funcao afim . No caso particular em que

a = 0, f e chamada funcao constante .

2. Consideremos a elipse E de equacaox2

a2+

y2

b2= 1, onde a e b sao numeros

positivos. Dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0 nao intercepta E se |x0| > a,

intercepta em exatamente um ponto se |x0| = a e intercepta em exatamente dois

pontos, um positivo e o outro negativo, se |x0| < a e, assim, pela Proposicao

1.4.1, E nao e o grafico de uma funcao. No entanto, a parte de E com y ≥ 0 e a

parte de E com y ≤ 0 sao graficos de duas funcoes f1 e f2. Para determinarmos

f1 e f2, notemos que

y2 =a2b2 − b2x2

a2, isto e |y| = b

a

√a2 − x2

Logo, f1 e f2 sao dadas por

f1(x) =b

a

√a2 − x2 e f2(x) = − b

a

√a2 − x2.

Alem disso, dom(f1) = dom(f2) = {x : −a ≤ x ≤ a} = [−a, a],

ima(f1) = {y : 0 ≤ y ≤ b} = [0, b] e ima(f2) = {y : −b ≤ y ≤ 0} = [−b, 0].

3. Consideremos a hiperbole H1 de equacao −x2

a2+y2


positivos. Dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0 intercepta H1 em exatamente dois

pontos, um positivo e o outro negativo e, assim, pela Proposicao 1.4.1, H1 nao

e o grafico de uma funcao. No entanto, a parte de H1 com y ≥ 0 e a parte de

H1 com y ≤ 0 sao graficos de duas funcoes f1 e f2. Para determinarmos f1 e f2,

notemos que

y2 =a2b2 + b2x2

a2, isto e |y| = b

a

√a2 + x2.


f1(x) =b

a

√a2 + x2 e f2(x) = − b

a

√a2 + x2.

Alem disso, dom(f1) = dom(f2) = R, ima(f1) = [b,+∞) e ima(f2) = (−∞,−b].


4. Consideremos a hiperbole H2 de equacaox2

a2− y2


positivos. Dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0 nao intercepta H2 se |x0| < a,

intercepta em exatamente um ponto se |x0| = a e intercepta em exatamente dois

pontos, um positivo e o outro negativo, se |x0| > a e, assim, pela Proposicao 1.4.1,

H2 nao e o grafico de uma funcao. No entanto, a parte de H2 com y ≥ 0 e a

parte de H2 com y ≤ 0 sao graficos de duas funcoes f1 e f2. Para determinarmos

f1 e f2, notemos que

y2 =b2x2 − a2b2

a2, isto e |y| = b

a

√x2 − a2


f1(x) =b

a

√x2 − a2 e f2(x) = − b

a

√x2 − a2.

Alem disso, dom(f1) = dom(f2) = (−∞,−a] ∪ [a,+∞), ima(f1) = [0,+∞) e

ima(f2) = (−∞, 0].

5. Consideremos a parabola P1 de equacao y = ax2 + bx+ c, sendo a = 0. Notemos

que dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0 intercepta P1 exatamente uma vez.

Logo, pela Proposicao 1.4.1, P1 e o grafico de uma funcao f : R → R dada por

f(x) = ax2 + bx + c. O domınio de f e R e a imagem de f depende de a. Se

a > 0 entao ima(f) = [yV ,+∞) e se a < 0 entao ima(f) = (−∞, yV ]. A funcao

f definida assim e chamada funcao quadratica .

6. Consideremos a parabola P2 de equacao x = ay2 + by+ c, sendo a = 0. Notemos

que dado x0 ∈ R a reta vertical x = x0 ou nao intercepta P2 ou intercepta

exatamente uma vez, no vertice, ou intercepta P2 em exatamente dois pontos.

Logo, pela Proposicao 1.4.1, P2 nao e o grafico de uma funcao. Mas, temos que

x = ay2 + by + c = a

[(y +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

],

isto e, (y +

b

2a

)2

=4ax+ b2 − 4ac

4a2.

Em particular, devemos ter 4ax+b2−4ac ≥ 0, e tirando a raiz quadrada obtemos∣∣∣∣y + b

2a

∣∣∣∣ = √4ax+ b2 − 4ac

2|a|.


A partir disso e da Proposicao 1.4.1, podemos ver que a parte da parabola P2

com ordenada y ≥ − b2a

e o grafico de uma funcao f1 e a parte da parabola P2

com ordenada y ≤ − b2a

e o grafico de uma funcao f2. Isto significa que a parabola

pode ser obtida como o grafico de duas funcoes f1 e f2 definidas por

f1(x) = − b

2a+

√4ax+ b2 − 4ac

2|a|e f2(x) = − b

2a−

√4ax+ b2 − 4ac

2|a|.

Notemos que o vertice V dessa parabola e V = (xV , yV ) = (−∆2a,− b

2a), onde

∆ = b2 − 4ac. A imagem de f1 e f2 sao dadas, respectivamente, por

ima(f1) = [yV ,+∞) e ima(f2) = (−∞, yV ].

Agora, o domınio dessas funcoes dependem do sinal de a. Se a > 0 entao

dom(f1) = dom(f2) = [xV ,+∞),

e se a < 0 entao

dom(f1) = dom(f2) = (−∞, xV ].

7. Consideremos a parabola P de equacao x = y2. Essa parabola e um caso particu-

lar da parabola do exemplo anterior. Para ver isto, basta tomarmos, no exemplo

anterior, a = 1 e b = c = 0. Nesse caso, as funcoes f1 e f2 sao definidas por

f1(x) =√x e f2(x) = −

√x.

Alem disso, dom(f1) = dom(f2) = [0,+∞), ima(f1) = [0,+∞) e

ima(f2) = (−∞, 0]. A funcao f1 e chamada funcao raiz quadrada .

Observacao: Ate aqui estamos considerando funcoes cujo grafico e ou uma reta, ou

uma parabola, ou parte de uma parabola, ou parte de uma elipse ou parte de uma

hiperbole. Assim, para fazermos um esboco do grafico de uma funcao precisamos antes

identificar o tipo de curva que ela representa, marcar os pontos notaveis e, a partir

disso, fazemos o grafico da funcao.

Os exemplos abaixo ilustram essa observacao.

Exemplos: Faca um esboco do grafico e determine o domınio e a imagem da funcao

dada em cada item abaixo.


1. f1(x) = x2 − x− 6.

2. f2(x) =√x+ 3.

3. f3(x) =√25− 4x2.

4. f4(x) = −√7x2 + 9.

Resolucao:

1. f1 e uma funcao quadratica com a = 1 > 0. Logo, dom(f1) = R, o grafico de

f1 e uma parabola convexa, cujo vertice e V = (xV , yV ) =(12,−25

4

)e, assim,

ima(f1) = [−254,+∞).

Figura 1.25: Grafico da funcao f1

2. Para identificarmos f2, seja y =√x+ 3. Assim, y2 = x + 3, isto e, x = y2 − 3.

Essa curva e uma parabola com eixo paralelo ao eixo 0x e com a = 1 > 0. Como

o vertice da parabola e V = (xV , yV ) = (−3, 0) temos que dom(f2) = [−3,+∞)

e ima(f2) = [0,+∞).

3. De modo analogo, para identificarmos f3, seja y =√25− 4x2. Assim, y2 =

25 − 4x2, isto e, 4x2 + y2 = 25. Essa curva e uma elipse, cujo vertices sao os

pontos (52, 0), (−5

2, 0), (0, 5) e (0,−5). Logo, dom(f3) = [−5

2, 52] e ima(f2) = [0, 5].




4. Por fim, consideremos y = −√7x2 + 9. Assim, y2 = 7x2+9, isto e, −7x2+y2 = 9.

Essa curva e uma hiperbole, com eixo coincidindo com o eixo 0y e vertices nos

pontos (0, 3) e (0,−3). Assim, dom(f4) = R e ima(f4) = (−∞,−3].



A partir daqui boa parte do que faremos envolve o conceito de funcao. Assim,

vamos considerar outras funcoes alem daquelas cujo grafico e uma reta ou (parte de)

uma conica. De um modo geral, nao e imediato determinar a imagem de uma funcao

ou o seu grafico. No entanto, uma das aplicacoes do metodo que desenvolvemos aqui e

de determinar o grafico e, portanto, a imagem de uma funcao dada.

Dadas duas funcoes f e g dizemos que f e igual a g e escrevemos f = g se

dom(f) = dom(g) e f(x) = g(x) para todo x.

Funcao polinomial

Uma funcao polinomial e uma funcao p na forma

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

onde n e um numero natural e an, an−1 . . . , a1, a0 sao numeros reais. As funcoes afins

e quadraticas sao casos particulares de funcao polinomial. Numa funcao polinomial

so ocorre potencia natural de x e multiplicacao por numeros reais. Assim se p e uma

funcao polinomial e a um numero real entao p(a) e um numero real bem definido, isto

e, dom(p) = R. Agora a imagem depende de p, veja os exemplos de funcoes afins e

quadraticas.

Funcao raız

Uma funcao raiz n-esima e uma funcao f na forma

f(x) = n√x,

onde n e um numero natural. A funcao raiz quadrada e um caso particular de funcao

raiz. O domınio de uma funcao raiz e R se n e ımpar e e o intervalo [0,+∞) se n e

par. De modo analogo, a imagem de uma funcao raiz e R se n e ımpar e e o intervalo

[0,+∞) se n e par.

Funcao potencia

Dados x ∈ R, x = 0 e r ∈ Q definimos xr da seguinte forma: escrevemos r = m/n onde

m e um numero inteiro e n um numero natural, sem fator comum. Definimos xr = xmn


como sendo a raiz n-esima de xm, isto e, definimos xr = xmn = n

√xm.

Uma funcao potencia e uma funcao f na forma

f(x) = xr,

onde r ∈ Q. Como f(x) = xr = n√xm podemos ver uma funcao potencia como funcao

raiz e da mesma forma podemos escrever uma funcao raiz como funcao potencia. Se

r = m/n e positivo entao o domınio da funcao potencia f(x) = xr e R se n e ımpar e

e o intervalo [0,+∞) se n e par. De modo analogo, a imagem de uma funcao raiz e R

se n e ımpar e e o intervalo [0,+∞) se n e par, no caso em que r > 0. Se r < 0 entao

determinamos o domınio e a imagem de modo analogo, observando que 0 nao esta no

domınio e nem na imagem.

Construcao de novas funcoes

O objetivo agora e construir novas funcoes a partir de funcoes conhecidas. Dadas

duas funcoes f e g, definimos.

Funcao soma

A soma de f por g, denotada f + g, e definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

O domınio de f + g depende dos domınios de f e de g da seguinte forma:

dom(f + g) = dom(f) ∩ dom(g).

Exemplo: Se f(x) =√x e g(x) = x2 − 9 entao (f + g)(x) =

√x + x2 − 9. Como

dom(f) = [0,+∞) e dom(g) = R temos que dom(f + g) = [0,+∞) ∩ R = [0,+∞).

Funcao produto

O produto de f por g, denotado fg, e definido por

(fg)(x) = f(x)g(x).


O domınio de fg depende dos domınios de f e de g da seguinte forma:

dom(fg) = dom(f) ∩ dom(g).

Exemplo: Se f(x) =√x e g(x) = x2 − 9 entao (fg)(x) =

√x(x2 − 9). Como

dom(f) = [0,+∞) e dom(g) = R temos que dom(fg) = [0,+∞) ∩ R = [0,+∞).

Funcao quociente

O quociente de f por g, denotadof

gou f/g, e definido por

f

g(x) =

f(x)

g(x).

O domınio de f/g depende dos domınios de f e de g da seguinte forma:

dom(f/g) = {x ∈ dom(f) ∩ dom(g) : g(x) = 0}.

Quando f e g sao funcoes polinomiais a funcao quociente de f por g e chamada

funcao racional . Nesse caso temos

dom(f/g) = {x ∈ R : g(x) = 0},

ja que o domınio de funcao polinomial e o conjunto dos reais.

Exemplo: Se f(x) =√x e g(x) = x2 − 9 entao (f/g)(x) =

√x

x2 − 9. Como dom(f) =

[0,+∞), dom(g) = R e g(x) = 0 se, e somente se, x = 3 ou x = −3 temos que

dom(f/g) = [0, 3) ∪ (3,+∞).

Funcao composta

A composta de f por g, denotado f ◦ g, e definida por

f ◦ g(x) = f (g(x)) .

O domınio de f ◦ g depende dos domınios de f e de g da seguinte forma:

dom(f ◦ g) = {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)}.


Exemplo: Se f(x) =√x e g(x) = x2 − 9 entao f ◦ g(x) =

√x2 − 9. Como dom(f) =

[0,+∞) e dom(g) = R temos que

dom(f ◦ g) ={x ∈ R : x2 − 9 ≥ 0

}= (−∞,−3] ∪ [3,+∞).

Funcoes definidas por partes

Uma funcao h e dita definida por partes se o seu domınio e decomposto em n ≥ 2

subconjuntos, digamos, X1, . . . , Xn e para cada k ∈ {1, . . . , n} existe uma funcao

hk : Xk → R tal que h(x) = hk(x) se x ∈ Xk. Para estudar h precisamos estudar cada

funcao hk.

Exemplos: O primeiro exemplo de funcao definida por partes e a funcao modulo ou

funcao valor absoluto.

1. Essa funcao e definida por

f(x) = |x| =

x se x ≥ 0

−x se x < 0.

O domınio de f e R, mas no intervalo (−∞, 0) ela e definida por f1(x) = −x e

em [0,+∞) ela e definida por f2(x) = x. Assim, para fazermos o grafico de f

fazemos, na verdade, o grafico de f1 em (−∞, 0) e o de f2 em [0,+∞). Logo,

ima(f) = [0,+∞).

Figura 1.29: Grafico da funcao modulo


2. Um outro exemplo de funcao definida por partes e a seguinte:

g(x) =

5

xse x < 0

x+ 1 se x > 1.

O domınio de g e a uniao de dois intervalos (−∞, 0) ∪ (1,+∞), sendo que no

intervalo (−∞, 0) ela e definida por g1(x) = 5/x e em (1,+∞) ela e definida por

g2(x) = x+1. Assim, para fazermos o grafico de g fazemos, na verdade, o grafico

de g1 em (−∞, 0), que um ramo de uma hiperbole, e o de g2 em (1,+∞) que e

uma semirreta. Logo, ima(g) = (−∞, 0) ∪ (2,+∞).

Figura 1.30: Grafico da funcao g

3. Consideremos agora a funcao h definida por

h(x) =

−x2 − 8x− 18 se x ≤ −3

−√9− x2

3se −3 < x < 3

√x2 − 4

2se x ≥ 3

.

O domınio de h e R. Para fazermos o grafico de h devemos fazer o grafico de

cada parte que compoe h: h1, definida por h1(x) = −x2 − 8x − 18 no intervalo

(−∞,−3], h2, definida por h2(x) = −√9−x2

3no intervalo (−3, 3) e h3, definida por

h3(x) =√x2−42

no intervalo [3,+∞). h1 e uma funcao quadratica e o seu grafico

e uma parabola concova de vertice V = (−4,−2). O grafico de h2 e um pedaco

de elipse com vertices nos pontos (−3, 0), (3, 0), (0, 1) e (0,−1). O grafico de h3


e um pedaco de uma hiperbole que tem seus vertices nos pontos (−2, 0) e (2, 0).

Com essas informacoes podemos fazer um esboco do grafico de h e a partir do

grafico determinamos a sua imagem: ima(h) = (−∞,−2]∪ [−1, 0)∪ [√5/2,+∞).

Figura 1.31: Grafico da funcao h

Alguns dos exemplos anteriores sugerem que para determinar o domınio de uma

funcao e necessario resolver uma equacao ou uma inequacao. Por isso, a seguir fazemos

um breve estudo sobre isso.

1.4.2 Equacoes e Inequacoes

A seguinte proposicao estabelece algumas propriedades de numeros reais que, em

particular, sao utilizadas na resolucao de inequacoes.

Proposicao 1.4.2 Para todos numeros reais a, b, c e d valem:

1. a < b se, e somente se, a+ c < b+ c.

2. a < b e c < d se, e somente se, a+ c < b+ d.

3. a < b se, e somente se, ac < bc, se c > 0.

4. a < b se, e somente se, ac > bc, se c < 0.


5. Se 0 < a < b e 0 < c < d entao 0 < ac < bd.

6. Se 0 < a < b se, e somente se, 0 < 1/b < 1/a.

7. Se a, b > 0 entao a < b se, e somente se, a2 < b2.

Uma equacao (inequacao) numa incognita x e uma sentenca aberta (nao tem

valor logico) na forma E(x) = 0 (I(x) > 0 ou I(x) < 0), onde E(x) e I(x) sao

expressoes que dependem de x e que podem conter alguma constante.

Resolver uma equacao (inequacao) significa determinar o seu conjunto solucao,

isto e, determinar todos os numeros reais x que tornam a expressao E(x) = 0 (I(x) > 0

ou I(x) > 0) verdadeira.

As vezes uma inequacao e dada na forma I(x) ≥ 0 ou I(x) ≤ 0.

Nao existe um metodo geral para resolver uma equacao ou uma inequacao. Para

cada equacao ou inequacao devemos encontrar uma maneira adequada para obtermos

o seu conjunto solucao. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos: Resolva cada equacao ou inequacao dada.

1. |2x− 7| = 3.

Para que |2x− 7| seja igual a 3 devemos ter 2x− 7 = 3 ou 2x− 7 = −3, isto e,

x = 5 ou x = 2. Logo o conjunto solucao S dessa equacao e S = {2, 5}.

2. |4− x| = 1 + 2x.

Como nessa equacao a variavel aparece, tambem, fora do modulo, utilizaremos

outro metodo de resolucao. Notemos que a expressao dentro do modulo 4− x e

maior ou igual que 0 se, e somente se, x ≤ 4. Assim, se x ≤ 4 a equacao dada fica

4−x = 1+2x que tem como solucao x = 1 que e menor que 4. Logo, x = 1 e uma

solucao da equacao dada. Agora se x > 4 entao a equacao fica x−4 = 1+2x, que

tem como solucao x = −5 que e menor que 4, isto e, nao e solucao da equacao

dada. Logo, o conjunto solucao dessa equacao e S = {1}.

3.9

2− x+ 3 ≤ 5− x.

Notemos, inicialmente, que x deve ser diferente de 2, pois esse valor zera o de-

nominador. Reescrevemos a inequacao na forma9

2− x+ x − 2 ≤ 0 e, tirando o

mınimo multiplo comum, fica−x2 + 4x+ 5

2− x≤ 0. Para que esse quociente seja


menor ou igual que zero devemos ter o numerador e o denominador com sinal

contrario. Como as raızes do numerador sao x = −1 e x = 5 temos que o nume-

rador e positivo no intervalo (−1, 5), desde que x = 2, e negativo se x < −1 ou se

x > 5. Agora, o denominador e positivo se x < 2 e negativo se x > 2. Portanto,

o conjunto solucao da inequacao e S = (−∞,−1] ∪ (2, 5].

Figura 1.32: Estudo de sinal de um quociente

1.4.3 Convergencia de sequencias

Uma das propriedades de numeros reais usada em convergencia de sequencia e a

propriedade arquimediana , que pode ser enunciada da seguinte forma.

• Para todo L ∈ R existe um n ∈ N tal que n > L.

A propriedade arquimediana diz que o conjunto dos numeros naturais nao e limitado

na reta numerica, isto e, para qualquer numero real dado, por maior que seja, e sempre

possıvel obter um numero natural maior que ele. Essa propriedade pode ser enunciada

na seguinte maneira equivalente.

• Para todo ε > 0 existe um n ∈ N tal que 0 <1

n< ε.

Escrita dessa forma essa propriedade diz que para qualquer numero real positivo

dado, por menor que seja, e sempre possıvel obter um numero natural n tal que 1/n

fica entre 0 e o numero dado.


Passemos ao estudo de sequencias numericas. Uma sequencia de numeros reais e

uma lista ordenada infinita de numeros reais (x1, x2, x3, x4, . . .).

Dizer que uma sequencia e uma lista ordenada significa que se trocarmos dois de

seus termos obtemos uma outra sequencia distinta da primeira. Uma lista infinita

significa que a quantidade de ındices e ilimitada.

Intuitivamente, podemos pensar numa sequencia (x1, x2, x3, . . .) como o movimento

de um corpo que no instante t = 1 esta na posicao x1, no instante t = 2 esta na posicao

x2, no instante t = 3 esta na posicao x3 e assim por diante.

Exemplos:

1. A sequencia onde todos os termos sao iguais (a, a, a, . . .) e chamada sequencia

constante .

2. As sequencias (1, 2, 3, 4, . . .) e (a, a+r, a+2r, a+3r, . . .) sao progressoes aritmeticas

(PA) infinitas. A primeira comeca em 1 e tem razao 1. A segunda comeca em a

e tem razao r.

3. As sequencias (1, 1/2, 1/4, 1/8, . . .) e (a, ar, ar2, ar3, . . .) sao progressoes geometricas

(PG) infinitas. A primeira comeca em 1 e tem razao 1/2. A segunda comeca em

a e tem razao r.

4. A sequencia (−1, 1,−1, 1, . . .) e uma sequencia alternada. De uma modo geral

uma sequencia e chamada alternada quando os seus termos alternam entre

positivo e negativo.

5. A sequencia (1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .) e chamada sequencia harmonica .

6. A sequencia (−1,−1/2,−1/3,−1/4, . . .) e chamada sequencia anti harmonica .

7. A sequencia (−1, 1/2,−1/3, 1/4, . . .) e chamada sequencia harmonica alter-

nada .

Denotamos uma sequencia (x1, x2, x3, . . .) por (xn)n∈N ou simplesmente por (xn).

Nesse caso, xn e chamado termo geral da sequencia.


O termo geral das sequencias do exemplo anterior sao: 1. xn = a, 2. xn = n e

xn = a + (n − 1)r, 3. xn =1

2n−1e xn = arn−1, 4. xn = (−1)n, 5. xn = 1/n, 6.

xn = −1/n, e 7. xn =(−1)n

n.

Dizemos uma sequencia (xn) converge ao numero a se os termos da sequencia se

aproximam de a. O numero a e chamado ponto de convergencia da sequencia.

Usamos a notacao xn → a para indicar que a sequencia xn converge para a.

Na definicao de convergencia, aproximar e diferente de igualdade. Podemos ter

xn = a para todo n ∈ N. Aproximar significa igualdade com uma margem de erro.

Formalmente, dizer que a sequencia se aproxima de a significa que para qualquer

margem de erro dada ε, a partir de um certo tempo, a diferenca entre cada termo da

sequencia e o numero a e menor do que ε.

Em linguagem matematica, xn → a se, e somente se, para todo ε > 0 existe um

n0 ∈ N tal que se n ≥ n0 entao |xn − a| < ε. Nessa definicao ε e chamado margem

de erro e n0 (o menor numero natural que tem essa propriedade) e chamado tempo

de espera .

Dizemos que uma sequencia diverge se ela nao converge.

Exemplos:

1. Se (xn) e tal que xn = a para todo n ∈ N entao xn → a.

2. Se (xn) e tal que xn = n para todo n ∈ N entao (xn) diverge.

3. Se (xn) e tal que xn = (−1)n para todo n ∈ N entao (xn) diverge.

4. Se (xn) e tal que xn = 1/n para todo n ∈ N entao xn → 0.

De fato, dado ε > 0 temos, pela propriedade Arquimediana, que existe um n0 ∈ N

tal que 1/n0 < ε. Logo para todo n ≥ n0 temos1

n≤ 1

n0

< ε e, assim, |xn−0| < ε

para todo n ≥ n0 e, portanto, xn → 0.

Observacao: Na sequencia (xn) tal que xn = 1/n para todo n, todos os termos sao

distintos de zero e, na verdade, sao positivos. Mas ainda assim a sequencia converge a

zero.


Proposicao 1.4.3 Sejam (xn) e (yn) duas sequencias. Se xn → a e yn → b entao

1. xn + yn → a+ b;

2. xnyn → ab;

3.xn

yn→ a

b, se b = 0.

Mais algumas propriedades sobre convergencia sao dadas na proxima proposicao.

Proposicao 1.4.4 Sejam (xn) e (yn) duas sequencias tais que xn → a e yn → b.

1. (Unicidade) Se xn = yn entao a = b;

2. (Monotonicidade) Se xn ≤ yn entao a ≤ b;

3. (Teorema do Sanduıche ou do confronto) Se zn e tal que xn ≤ zn ≤ yn e

a = b entao zn → a;

4. zn → c se, e somente se, zn − c → 0 se, e somente se, |zn − c| → 0.

Exemplos: Verifique em cada caso abaixo se a sequencia converge ou diverge. No

caso em que converge, calcule o ponto de convergencia.

1. (xn) : xn =n+ 5

3n.

2. (xn) : xn =3n

n+ 5.

3. (xn) : xn =1

n2.

4. (xn) : xn =1

nk, com k ∈ N.

5. (xn) : xn =n2 + 1

5n2 − n+ 7.

6. (xn) : xn =n2 + 1

5n3 − n2 + 7.

7. (xn) : xn =1

2n.


Resolucao: Em cada caso, precisamos trabalhar com o termo geral da sequencia para

deixar na forma que possamos usar ou a Proposicao 1.4.3 ou a Proposicao 1.4.4.

1. xn =n+ 5

3n=

n

3n+

5

3n=

1

3+

5

3· 1n. Assim, pela Proposicao 1.4.3 e usando que

1

n→ 0 temos que (xn) converge e xn → 1/3.

2. xn =3n

n+ 5=

3n

n(1 + 5n)=

3

1 + 5n

. Assim, pela Proposicao 1.4.3 e usando que

5

n→ 0 temos que (xn) converge e xn → 3.

3. xn =1

n2=

1

n· 1n. Assim, pela Proposicao 1.4.3 e usando que

1

n→ 0 temos que

(xn) converge e xn → 0.

4. xn =1

nk=

1

n· · · 1

n(k vezes). Assim, pela Proposicao 1.4.3 e usando que

1

n→ 0

temos que (xn) converge e xn → 0.

5. xn =n2 + 1

5n2 − n+ 7=

n2(1 + 1n2 )

n2(5− 1n+ 7

n2 )=

1 + 1n2

5− 1n+ 7

n2

. Assim, pela Proposicao 1.4.3

e usando que1

n→ 0 e que

1

n2→ 0 temos que (xn) converge e xn → 1/5.

6. xn =n2 + 1

5n3 − n2 + 7=

n2(1 + 1n2 )

n3(5− 1n+ 7

n3 )=

1

n·

1 + 1n2

5− 1n+ 7

n3

. Assim, pela Proposicao

1.4.3 e usando que1

n→ 0, que

1

n2→ 0 e que

1

n3→ 0 temos que (xn) converge e

xn → 0.

7. Essa sequencia e um pouco diferente das anteriores. Para ver que ela converge

lembremos que para todo n ∈ N temos

2n = (1 + 1)n =n∑

k=0

n!

k!(n− k)!= 1 + n+

n∑k=2

n!

k!(n− k)!≥ 1 + n > n.

Assim, 0 <1

2n<

1

n. Como 0 → 0 e

1

n→ 0 temos, pelo Teorema do Sanduıche

(Proposicao 1.4.4), que xn → 0.


1.4.4 Limite de funcoes

A ideia de limite de funcao e de estudar o comportamento de uma funcao proximo

de um numero real dado. A pergunta central aqui e: o que acontece com os valores

na imagem da funcao quando os valores no domınio se aproximam de um numero real

dado?

Comecemos analisando tres exemplos.

Exemplos:

1. Seja f a funcao definida por f(x) = x+ 1 para todos x ∈ R. Consideremos uma

sequencia qualquer (xn) com a propriedade xn = 1 para todo n ∈ N e xn → 1.

Notemos que (xn) e uma sequencia onde todos os termos estao no domınio de f ,

ja que dom(f) = R. Assim podemos formar uma nova sequencia (yn) na imagem

de f , definida por yn = f(xn) = xn + 1. Pelas propriedades de convergencia

de sequencia temos que yn → 2. Nesse caso, dizemos que quando os valores no

domınio da f se aproximam de x = 1 os respectivos valores na imagem da f se

aproximam de 2.

2. Consideremos agora a funcao g definida por

g(x) =

x+ 1 se x = 1

1 se x = 1.

A funcao g e distinta de f (do exemplo anterior), pois g(1) = 1 = 2 = f(1).

No entanto se x = 1 entao g(x) = f(x). Isso significa que se tomarmos uma

sequencia (xn) com a propriedade xn = 1 para todo n ∈ N e xn → 1 e definirmos

uma nova sequencia (zn) na imagem de g, por zn = g(xn) = xn + 1 temos que

temos que zn → 2. Apesar de f e g assumirem valores distintos em x = 1 a

medida que os valores no domınio se aproximam de x = 1 os correspondentes

valores nas imagens de f e g se aproximam do mesmo valor, a saber, y = 2.

Notemos ainda que, nesse caso, g(1) = 1.

3. Vamos agora analisar a funcao h definida por h(x) =x2 − 1

x− 1. Notemos, inici-

almente, que 1 nao esta no domınio de h e que para x = 1 podemos escrever

h(x) =x2 − 1

x− 1= x + 1, isto e, se x = 1 entao h(x) = f(x) = g(x). Isso significa

que quando os valores no domınio de h se aproximam de 1, mas sao distintos de


1, os valores na imagem de h se aproximam de 2. Observe ainda que, nesse caso,

y = 2 nao esta na imagem de h.

Nesses tres exemplos fica claro que para estudar o que acontece com a funcao quando

os valores no domınio se aproximam de x = 1, nao importa o valor que a funcao assume

em 1 e, na verdade, a funcao nao precisa estar definida em 1, como e o caso da funcao

h. O importante aqui e o comportamento da funcao nos valores de x proximos de 1.

Seja X ⊂ R. Dizemos que um numero real a e um ponto de acumulacao de X

se existe pelo menos uma sequencia (xn) tal que xn ∈ X para todo n ∈ N, xn = a para

todo n ∈ N e xn → a.

Agora seja f uma funcao. Dada uma sequencia (xn) no domınio de f podemos

formar uma nova sequencia (yn) na imagem da f definida por yn = f(xn), isto e,

y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3) e assim sucessivamente.

Seja a um ponto de acumulacao do conjunto dom(f). Dizemos que a funcao f tem

limite L ∈ R, quando x tende a a, se f(xn) → L para toda sequencia (xn), com a

propriedade xn ∈ dom(f), xn = a para todo n, e xn → a.

Usamos a notacao limx→a

f(x) = L para indicar que a funcao f tem limite L quando

x tende a a.

A condicao xn = a significa que nao nos interessa o que acontece com f em a,

mas apenas em pontos arbitrariamente proximos de a. O ponto a nem sequer precisa

pertencer ao domınio de f , basta ser um ponto de acumulacao do domınio de f .

Exemplo: Nos exemplos anteriores, temos limx→1

f(x) = limx→1

g(x) = limx→1

h(x) = 2.

Observacao: Sejam (xn) e (yn) duas sequencias que convergem para o mesmo numero

a e f uma funcao tal que f(xn) → L e f(yn) → M . Se M = L entao, pela definicao,

nao existe o limite limx→a

f(x). Essa observacao e util quando queremos mostrar que

determinado limite nao existe.

A seguir calculamos alguns limites usando a definicao.


Exemplos:

1. Sejam c ∈ R e f a funcao constante f(x) = c. Para cada a ∈ R temos que

limx→a

f(x) = c.

De fato, se (xn) e uma sequencia tal que xn → a temos que f(xn) = c, pois f e

constante. Assim, f(xn) → c.

2. Consideremos a funcao afim g dada por g(x) = cx + b. Para cada a ∈ R temos

que

limx→a

g(x) = ca+ b.

De fato, se (xn) e uma sequencia tal que xn → a temos que f(xn) = cxn+b. Assim,

pelas propriedades de convergencia de sequencias temos que f(xn) → ca+ b.

3. Consideremos agora a funcao raiz quadrada h dada por h(x) =√x. Para cada

a ∈ R, a ≥ 0 temos que

limx→a

h(x) =√a.

Para verificar isso precisamos dividir em dois casos: a > 0 e a = 0. Seja (xn)

uma sequencia tal que xn ≥ 0 para todo n tal que xn → a. Pela Proposicao 1.4.4,

|xn − a| → 0.

(a) Se a > 0 entao√a > 0 e, assim,

|√xn −

√a| =

|xn − a|√xn +

√a

≤ |xn − a|√a

=1√a|xn − a| → 0,

mostrando que√xn →

√a.

(b) Se a = 0 entao dado ε > 0 existe um n0 ∈ N tal que xn < ε2 para todo

n ≥ n0. Assim,√xn < ε para todo n ≥ n0, isto e,

√xn → 0.

Destes dois itens concluimos que se a ≥ 0 entao limx→a

√x =

√a.

Nos tres exemplos acima temos limx→a

f(x) = f(a), limx→a

g(x) = g(a) e limx→a

h(x) = h(a),

isto e, calcular o limite quando x tende a a e o mesmo que substituir a na funcao. Isso

nem sempre e verdade. Lembremos dos primeiros exemplos, que para calcular o limite,

a nem precisa estar no domınio da funcao. Veremos mais adiante que essa propriedade

vale numa classe particular de funcoes.


Esses exemplos nos mostram que calcular limite pela definicao e um trabalho com-

plicado, mesmo nas funcoes mais elementares. A ideia nesse sentido e de desenvolver

algumas propriedades para nos permitir calcular outros limites, inclusive de funcoes

menos elementares.

Proposicao 1.4.5 (Propriedades de limites) Sejam f e g duas funcoes. Se

limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M entao

1. limx→a

(f(x) + g(x)) = L+M .

2. limx→a

f(x)g(x) = LM .

3. limx→a

f(x)

g(x)=

L

M, desde que M = 0.

4. Se limx→L

h(x) = h(L) entao limx→a

h(f(x)) = h(L).

Em particular, temos que se limx→a

f(x) = L e se c ∈ R entao

1. limx→a

(f(x) + c) = L+ c.

2. limx→a

cf(x) = cL.

3. limx→a

f(x)

c=

L

c, desde que c = 0.

4. limx→a

c

f(x)=

c

L, desde que L = 0.

A partir dessas propriedades podemos calcular o limite de outras funcoes mais

gerais.

Exemplos:

1. Para cada a ∈ R temos limx→a

x = a. Assim, limx→a

x2 = a2 e de um modo mais geral

para cada n ∈ N, limx→a

xn = an.

2. Se p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 e uma funcao polinomial entao

limx→a

p(x) = p(a).

3. Se f(x) =p(x)

q(x)e uma funcao racional e q(a) = 0 entao lim

x→af(x) = f(a).


4. Se limx→a

f(x) = L e n ∈ N entao limx→a

f(x)n = Ln.

5. Se limx→a

f(x) = L e f(x) ≥ 0, para x proximo de a, entao limx→a

√f(x) =

√L.

Exemplos: Calcule cada limite indicado:

1. limx→1

f(x), onde f(x) =x+ 4

x2 + 1.

f e uma funcao racional e calculando o limite do numerador e do denominador

obtemos limx→1

(x+ 4) = 5 e limx→1

(x2 + 1) = 2 = 0. Logo, limx→1

f(x) = 5/2.

2. limx→0

f(x), onde f(x) = (x3 + 2x2 − 1)50.

Como limx→0

(x3 + 2x2 − 1) = −1 temos que limx→0

f(x) = (−1)50 = 1.

3. limx→1

f(x), onde f(x) =√x2 + 3x+ 5.

Como limx→1

(x2 + 3x+ 5) = 9 e limx→9

√x =

√9 temos que lim

x→1f(x) =

√9 = 3.

A propriedade para calcular o limite de funcao quociente so se aplica quando o

limite da funcao do denominador e diferente de zero. O que acontece quando o limite

do denominador e zero? Por exemplo, consideremos as duas funcoes f e g definidas

por f(x) = c(x−a) e g(x) = x−a, onde a e c sao duas constantes quaisquer. Notemos

que limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x). Assim nao podemos aplicar a regra do quociente para

calcular limx→af(x)g(x)

. Mas nesse caso, f(x)g(x)

= c se x = a e, portanto, limx→af(x)g(x)

= c.

Isso significa que se o limite do numerador e do denominador for 0 entao o limite do

quociente pode assumir qualquer numero real c. Nesse caso, dizemos que temos uma

indeterminacao e essa indeterminacao e chamada do tipo0

0.

Nesse tipo de indeterminacao precisamos simplificar o quociente de algum modo

para eliminar a indeterminacao para depois entao calcular o limite. No caso de funcoes

racionais, isto e, quando o numerador e o denominador sao funcoes polinomiais uma

indeterminacao do tipo0

0, quando x → a, significa que x = a e raiz tanto do numerador

quanto do denominador. Assim, uma forma de eliminar a indeterminacao e fazer a

divisao do numerador e do denominador por x− a, quantas vezes for necessario.


Exemplos: Calcule cada limite indicado:

1. limx→3

9− x2

x− 3.

Aqui temos uma indeterminacao do tipo 00pois tanto o numerador quanto o

denominador tem limite zero, isto e, limx→3

(9 − x2) = 0 = limx→3

(x − 3). Mas, como

9− x2 = −(x− 3)(x+ 3) temos que, para x = 3, vale a igualdade

9− x2

x− 3=

−(x− 3)(x+ 3)

x− 3= −(x+ 3).

Mas no limite com x → 3 consideramos sempre x = 3. Logo,

limx→3

9− x2

x− 3= lim

x→3−(x+ 3) = −6.

2. limx→2

x4 − 16

x2 − x− 2.

Aqui, de novo, temos uma indeterminacao do tipo 00pois tanto o numerador

quanto o denominador tem limite zero, isto e, limx→2

(x4−16) = 0 = limx→2

(x2−x−2).

Mas, como x4 − 16 = (x3 + 2x2 + 4x + 8)(x − 2) e x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)

temos que, para x = 2, vale a igualdade

x4 − 16

x2 − x− 2=

(x3 + 2x2 + 4x+ 8)(x− 2)

(x+ 1)(x− 2)=

x3 + 2x2 + 4x+ 8

x+ 1.

Mas no limite com x → 2 consideramos sempre x = 2 e, alem disso,

limx→2(x+ 1) = 3 = 0. Logo,

limx→2

x4 − 16

x2 − x− 2= lim

x→2

x3 + 2x2 + 4x+ 8

x+ 1=

32

3.

1.4.5 Problemas

1. Faca um esboco do grafico de cada funcao dada. A partir disso, determine o

domınio e a imagem.

(a) f(x) = −x2 + x+ 6. dom(f) = R e ima(f) = [−∞, 25/4]

(b) f(x) = −√16− 4x2. dom(f) = [−2, 2] e ima(f) = [−4, 0]


(c) f(x) = 2√x2 − 1. dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) e ima(f) = [0,+∞)

(d) f(x) = −2√x2 + 1. dom(f) = R e ima(f) = (−∞,−2]

2. Determine o que se pede a seguir para as funcoes f e g definidas por

f(x) =

√9 + 3x2, se x < 0

−x2 + 4x− 5, se x ≥ 0

e g(x) =

x2 + 2x+ 3, se x ≤ 1

−√12x2 − 3, se x > 1

.

(a) Os valores de f(−1), f(0), f(1), g(0), g(1) e g(2).

f(−1) =√12, f(0) = −5 e f(1) = −2

(b) Um esboco do grafico de f e de g.

(c) A imagem de f e de g.

ima(f) = (−∞,−1] ∪ (3,+∞)

3. Resolva as seguintes equacoes:

(a)x− 10x2 + 6

3− 2x= 5x. S = {3/7}

(b) |x− 2| = 5. S = {−3, 7}

(c) |2x− 5| = 3− x. S = {2, 8/3}

(d) |x+ 3| = |2x+ 1|. S = {−4/3, 2}

4. Resolva as inequacoes abaixo. De a resposta na notacao de conjunto, de intervalo

e numa representacao na reta numerica.

(a) x− 2 < 6− 3x ≤ 8− x. S = [−1, 2)

(b)5x

3− 2x≤ −1. S = (−∞,−1] ∪ (3/2,+∞)

(c) |x+ 3| ≤ 1. S = [−4,−2]

(d) |x− 2| > 5. S = (−∞,−3) ∪ (7,+∞)

(e) |2x− 5| ≥ 3− x. S = (−∞, 2] ∪ [8/3,+∞)

(f) |x+ 3| < |2x+ 1|. S = (−∞,−4/3) ∪ (2,+∞)

(g) 1 + x < |3x− 6| ≤ 6x+ 9. S = [−1/3, 5/4) ∪ (7/2,+∞)

(h)x

x− 1≤ 5. S = (−∞, 1) ∪ [5/4,+∞)


(i)x

1− x≤ −3. S = (1, 3/2]

(j)x2 − 4x− 5

(4− x2)20≤ 0. S = [−1, 2) ∪ (2, 5]

(k)(3− 2x− x2)17

x2 − 4x− 5≥ 0. S = [−3,−1) ∪ [1, 5)

(l)2

4− x+ 3 > 2x− 1. S = (−∞, 3) ∪ (3, 4)

(m)5x

x2 + x− 6+

1

x− 2≤ 1

x+ 3. S = (−∞,−3) ∪ [−1, 2)

5. Determine o domınio das seguintes funcoes:

(a) f(x) =√x2 − x− 2 +

√−x. dom(f) = (−∞,−1]

(b) f(x) =2x− 1√x+ 2

+

√5− x

x− 1+ x7. dom(f) = (−2, 1) ∪ (1, 5]

(c) f(x) =√|2x+ 3|+ x− 1 + 3

√x. dom(f) = (−∞,−4] ∪ [−2/3,+∞)

(d) f(x) =

√(3− 2x− x2)17

x2 − 4x− 5. dom(f) = [−3,−1) ∪ [1, 5)

(e) f(x) =

√5

4− x− 3 + 5

√1− x. dom(f) = [7/3, 4)

6. Liste os cinco primeiro termos da sequencia (xn)n∈N, onde o termo geral e dado

abaixo:

(a) xn = 3n− 1.

(b) xn = 2n − 3.

(c) xn =n

n+ 1.

7. Calcule o ponto de convergencia da sequencia (xn)n∈N, onde o termo geral e dado

abaixo:

(a) xn = 3− 7

n2. 3

(b) xn =7− n2

n2. −1

(c) xn =3n2 + 2n− 1

n3 + n+ 2. 0

(d) xn =n4 + 1

n4 + 3n2 − 2. 1

(e) xn =(−1)n

5n. 0


8. Calcule os limites indicados abaixo:

(a) limx→1

(x3 − 9x2 + 6x+ 1). −1

(b) limx→1

√x2 + 3x+ 5. 3

(c) limx→1

x3 − 9x2 + 6x+ 1√x2 + 3x+ 5

. −13

(d) limx→2

x2 − 5

x− 1. −1

(e) limx→2

x2 − 4

x− 4. 0

(f) limx→2

x2 − 4

x− 2. 4

(g) limx→2

x3 − 8

x− 2. 12

(h) limx→2

x2 − 7x+ 10

2− x. 3

(i) limx→2

x3 − 5x+ 2

x2 − 6x+ 8. −7

2

(j) limx→2

x3 − 2x2 − 4x+ 8

x3 − 3x2 + 4. 4

3

9. Calcule limx→1

f(x)− f(1)

x− 1em cada caso abaixo:

(a) f(x) = 3x− 5. 3

(b) f(x) = x2 − 3x. −1

(c) f(x) =√x. 1/2

método do limite

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