li' -'!th' -, -- • -•. -e... · 2011-10-10 · 2 - difãrença de potencial va-v...
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Aofazer a presente apostila não tenho porfinalidade apresentar algo novo, :mass6mente facili_tar a prática de exerc:!cios compat:!veis como ni've1da matéria lecionada no 2Qano do Curso de F:l'-.'ICAdaEscola Nacional de Engenharia.
Imprimi inicialment e os problemasde Corrente Cont:fnuae Corrente Alternada, estando os demaisassuntos ainda emconclusão.
No começode cada capitulo é feita umará-pida recarit~ão, mas torna-se imprêscind!vel o C2nhecimento perfeito de todos os conceitos básicos.Apensamos,também,os formul~ios fornecidos duranteas provas .•
....:....•... C'LWlpr~t=l.crese'fn1tafqllt;}~e~s.m0~in~.finaldÍ!l.~post:i.la,as ·r~sposta~ .dO$,1f:r.o~.1~s'pioRf>t3tos,oque facilitarl bEistante o estup.oincli.vi4ual~.
Finalizo êstes coIJientlriósdeixa.'1do·regis-trado o meudesejó que a presente· apoE.'ltilaseja dereal proveito para. os colegas daE.N.E., comos quaisestudo e luto para umfuturo cada vez mais brilhantede nossa Escola.
flltRafl-HILTON AN~ DEMELLO
l11onitorde F!sica
•-2-
CORP.ENTE CONTnrnA
Comentários:
o aesunt.o em questão é do avnbito do pro~mado vestibular, sendo apenas: apresentadas algumasnoções complementares, comoo método das correntesdE' malhas (de lvj(U"'GoTell),método êste que devidamenteaplicado e operado (pelo Algorítmo de Richardson) ,conduz a uma solução bastante rápida das rêdes elé-tricas.
Obs.: O Algorítmo de Richardson, é estudado na Cadej.ra de Distribuição do 4º ano do Curso de Ele_tricista.s.
Resumoteóric~1- Intensidade da corrente elétrica:
i= gg,d'Z'
onde i = intensidade da corrente elétricaq ;:;carga elétricaz ;:; tempo
Unidades:CGSES i em static = stat A
seg
l<1KS i em C ;:; Amp~reseg
2 - Difãrença de Potencial
VA-VB== ?:)ABq
UA diferença de potencial entre 2 pontosé o trabalho para deslocar a unidade decarga entre os 2 pontos .consideradosu•A
-3-
Unidades:
CGSES V em stat voltIv1KS V em volt
1 stat V ::: 300 volt,
3 - Lei de ObmR
~A 8,
4 - Variação da resistência com as dimensões do con-dutor:
R:::'p 1s
onde 1 :::comprimento do condutors :::área da secção transversal
J> ::: resistividade do material
Unidades:CGSES R em .!à.tat vÇ>lt _ = st.at;Ohn :::stat..n.
stat ampêr'e
/ MKS R em vQ..:t~__ ::: ohm :::.n..••ampere
1 stat.n :::9 x 10tf.Jl
Múltiplos de 0h..':1; Submúltip10s de Obro:
KJ2-103.n.1'11l.- 106.J1.
m.n.__10-3..Q
fLJJ..--10..6 .n
5 - Resistividade~P :::R §.
1
- .--... ..••-
-4-Unidades:
CGSES- j> em stat.ll x em
1<11\.S-.p em Jl. x fi
6 _ Condutância de um condutor: é o inverso de suaresistência.
Unidades:
CGSES - C em st at mho
NKS - C em mho
7 - Condutividade de um condutor: é o inverso de suaresistividade •
r IP
• c ...l.. -ª- =: t .a,• • = • •y I I
Unidades:
CGSES - ct- em st at mho x em-I
1-1K8 -Ir em mho x m-1
8 _ Variação da resistência comaf;erilperatura:
::: coeficiente de temperatura (depende do ma-l • 1 '.1;' - "'I ..J.,.mat erl3._ e 1..unçao na vempe_t eria1 ~ e para 1JIil mesmo
rat.ura ""0)Q.Vu;. .•. v' • ..R = Resistência a t.emperat.urao to.
-5-9 - Energia absorvida:
'1 V'Z a·2'j'Vi: ~ =.~4.J
onde V = dãf'er-ença de potenciali :intensidade da correrleZ = tempoR = resistência
Unidades:
OGS ~1 em erga
11[5 \<1em Joule
10 - Potência absorvida:
P = Vi = Ri2
Unidades:
CGS P em ergs/seg
}lliS P em watts
11 - Lei de Joule
Q = 0,24 ViZ = 0,24 i2 RZ
onde V = diferença de potenciali = corrent eZ = tempo
-I- = A = 0,24 calorias1 Joule
J = 4,lS JouJ...~_caloria
12 _ Fôrça eletromotriz de um gerador
Um gerador é um dispositivo que tr~~srorma qualquer forma de energia emenergia elétrica. Se numtempo dZ o gerador forneceu a quantidade de energiad\-le produziu a quantidade de eletricidade gg, deno.,
,mina_se força el6tromotriz do mesmo a relação:
E = fllidq
Unidades: aS mesmas da d.d.p.
13 - Energia fornecida pelo gerador:
dw = E dq = E idZ14 = Potência fo~rtecida pelo gerador:
P = ili! = EidZ
15 - Associação de Geradores:\ , .a) em ser~e
resistência interna equivalente:R = rI + r2 + 1'3
b) em paralelo"7\
·--4--~~E7IE
f'em E = e
(Geradoresiguais )
o
resistência internada equivalente; R = ~n
16 _ Leis de Kirchhoff:a) Lei dos nós
1:t.=Ol
convenção: correntes que chegam ao nó: +n II saem do nó:
no caso: ilb) Lei das maL~s1: Ei::: z: Ri I i
Atribuimos sentidos arbitrários às correntes nosdiversos braços do cí.r-cuât.o , Percorremos a ma.lha emqualquer sentido; quando o sentido de percurso coincide com o sentido da corrente que a fonte de tensãotende a enviar, esta fem é positiva, sendo negativaem caso contrário; quando o sentido de percurso coincide com o sentido da corrente arbitrado, a queda detensão correspondente é positiva, sendo negativa em·caso cont rário.
...8-
-'ma.lha1 (percorrendo no sentido dós ponteiros dos r~
lógios)
17 .• Gorrent es de malhas
Suponhamosum circuito sãmp'Les para exemplif'icar ométodo emanalise.
eonsãder-eaos agora correntes ftfictlciasU i1 e i2.1 quepercorram as L1alhas1 e 2 do circuitoo
Apliquemos agora a.J.J,.eide Kirchhoff' às malhas emque.2tão$ tendo o cuid~ de verificar que na resistênciaRZpassam as duas correntes de aaâhas i1 e i2-
Assim quando estivermos percorrendo a malha l~ consideramos i
2negat.ãvaj , quand~ esti.vermos 'percorrendo
a malha 2, 11 sera. negatlva •.
Temosent.ão s
Ordenandog
':'9-
Analizemos agora a matriz formada pelos coeficientesdas correntes:
Esta matriz que é chamada de matriz de resitência,tem propriedades interessantes:a) Todos os têrrnos da diagonal principal sãc,.~"
vosob) Os têrmos fóra da diagonal principal são negati_
voSoc) A mtriz é simétrica em relação à diagonal princ,i
paI •.d) Cada têrmo da diagonal principal é a resistência
total da malha correspondente. (Resistência pró-pria da malha). De fato, a resistência total damalha 1 é:
A resistência total da malha 2 é: R2 + &3
e) Os têmos negativos são as resistências comuns àsmalhas do circuito (Resistências m~uas).De fato RZ é a resistência comum às malhas 1 e 2.
Conclusão: Arbit'rando o mesmo sentido para as. cor=rentes de malhas (por exemplo o sentido dos pontei_ros dos relógios), podemos escrever d:iretamente a l!lã.
triz de resistência do circuitoeApós êste passo podemos calcular as corren
tes ~ ' e i2 por exemplo pelo emprêgo dedeterminantes e
_10-Richardson eet-udando as cor-rentes de naIha,
elaborou um algorítmo que permite o cálculo rápid0 4
das correntes de malha, evitando o trabaâho aigébri~co introduzido pelos det ermãnant.es , Has o algorítmos6 é realmente vantajoso para rêdes elétricas e nãopara os circuitos sL~ples com ~ue iremos lidar nocurso.
P ...•• 1· t'~ara Ilna lzar cumpre acresceu ar que o m~todo mais comum é considerar correntes em todos OS -braços do circuito, diferenciando-se então o ~8tKYJOde 14.a."{\fellpor admitir não correntes de braços, - mascorrentes de "ma.Ihaa't , Após calculadas estas correntas de ma.lhas, a corrente em cada braço do circuitoé obtida, fazendo_se a conveniente superposição dascorrentes de malhas.
Por exemplo, no circuito dado:corrent e em Rl i1
11
11
~emRl0 numéricoNo circuito abaL~o, calcular as correntes que circ~Iam nas três resistências, a saber:
R = 4.112IOV
-11-
SQ.lu~ão: Considerando as correntes de ma'lhas i1 ei2 podemos escrever diretanlente a matriz
de resistência:
RI + R2 - R2A= -
- R2 R2+R3.: 20
7,2 - 4
-4 5
fôrças eletromotrizes: maLha1: Emalha 2: O
Então:- R2R2+R3
A
= 2,5 ..~
Identificação das corrent es;
= E{Rz..+R3) = 10 (4+1) =A 20
= 10 x,* = 2 A
20
corrente em RI = i1 = 2,5 Acorrente em R2 = i1 - i2 = 2,5 - 2 = 0,5 Acorrenlla em R) = 1) = 2 A
Exercícios R~§'Qlvido§1) Determine o comprimento 1: e o diâmepro fI de um ci_
,_ ..__.----.----_.-._-_ ....
-12-
lindro de cobre em~unção do volune ~ , da resistividade.J> e da resistência entre os terminais R.
Solução
R =.p 1s
masS=&1
:. R =.1' .ix
Portanto:
. Temostambém:
s =~ = _ ...•x:;::... __ = ·lr~1 1 4
~~]2• d
2 =•• 4 x
2) A corrente em umfio varia como tempo de acôrdecoma relação: i = 4 + 2 t2 onde i é expresso emamperes e t em segundos. Determinar quant.os coulombsatravessam a seção reta do fio no interialo compre-endido entre t = 5 seg e t = 10 seg , Qual én:> me,imo intervalo de tempo o valor médio da corrente?Qual o valor eficaz?
Soluçãog
-13-
Sabemos que dq = idt:. q = 1~dt
+.&.3 =
1:.1 == 5 seg
1:.2= 10 seg.
,:. q = 4 (10-5) + Z (10.3 - 5.3) = 6Qjj3 eoulombs.3
Por definição o valor médio de umafunção ,:f{t) em.um intervalo t2 - t1 é:
r t2.lt f(t) dt
:fm = -,I=-_~_1:.2 - tI
no caso temos:
= 4 + ~ (t~ - t1t;!.+ ti.> =Y .
;;: 4. + g (102 - 5 x 10 + 52) = L...?fJ,7 8lll~re5.3
Cálculo da integral.:
Então:
:No casog
-15:'
i;" = 16 + 1S lQ3 _ ~3 + I. 105 _ ~~ = 15606-.J. 310-5 510-5
:. i =V 15606'= 125 ampêr-esmq
3) Quer-se utilizar a 800 metros da geradora uma po-tência de 45 CV.. A diferengt de potencial aos bornesda geradora é 220 volt s• Qual deve ser o diâmetrodo condutor de cobre a utilizar, se a perda de pot~cãa admissivel na linha é de 10%da potência fornecida pela geradorao
Solução:
+2Z0V 45CV
----'OOm IA perda na linha sendo de 10% da potência
fornecida pela geradora3 a potência da geradora deveser:
p = 1QQ x 45 = 50 ev~O
Gomo 1CV = 736 wattsp = 50 x 736 = 36.800 wattsmas P = VI :0 I = r = 369800 = 167,3 A
V 220Esta é a. eorrent e que sai da geradora, A
perda na linha é de 5 ev ou seja de:Perda = 5 GV = 5 x 736 = 30680 watts
-16..
Devemoster:. 2. .RI ==3.680
R= 3,680 :::O,1315Jl
167,32
ComoR =pls
. S =PlR
S ::: 0,0172 x 1600 ::: 209 mm20,1315
Sendo:R = O,1315.f2. "TI" d2 ::: 209 J!JIIl2
4.p::: 0,0172;U.Jl- m (cobre)
S emmm2 •• d::: 16,3 mm
1 = 2 x 800 ::: 1600 (ida e volta da corrente)
4) A potência fornecida por um aproveitamento hidr.2elétrico é 75 CV. Deseja-se utilizar a energãa f'oJ:necida a 1500 m da queda d'água e a queda admissívelde tensão é de 8%. Qual o diâmetro do :fio de cobrea utilizar, para efetuar êste transporte, sob uma diferença de potencial de 600 volts.
Solução:
A potência emwatts é:P = 736 x 75 = 55.200 waiíB
sendo V = 600 volts: I = 1: ::: ,,25.200 ::: 92 AV 600
"'![f
a queda de tensão ég
-17-
ti- = .JL x 600 = /,;1 volts100
então: li = !& .n.92
R=.!'ls .
oe s = ~ 1 = 0,0172 x 3000 =R 1&
92
= 99mm.'2.p = 0,,0172)lJl- m
'2S emmm
Rem.Jl
1 = 2 x 1500= 3000 m d =Vii- = 11,2 mm
Observação: Caso tivéssemos uma tensão mais eleva-da para a transmissão, teríamos para umamesmaper_da de tensão umdiâmetro menor. Domesmomodo, qua:ndo temos umdiâmetro f'Lxado , a perda de tensão é m~nor para a tensão mais elevada. Da! o emprêgo daslimhas de transmissão de alta tensão.
5) Umacorrent e percorre um condut-or- mergulhado emuma cuba com300 litros de água a 15ºC. Pedem-se:
a) A potência dissipada para que a temperatura seeleve a 6020 emmeia horao
b) A intensidade da corrente se V = 110 volts.
+110 V So]:uçoo:
A quantidade de calorque deve ser desenvolvida ég
-18-I
......,.1
AQ = me Ai:. =
= 300 x 103 x {60-15} = 135 x 105 calorias
300 1 = 300 kg
C = 103cal/kg 20
necer por segundo
Comoemmeia-hora temos 1800 s~gundos, o nº de calorias B. for-,
e:
1:2, JÇ.J ..Ji = 7500 calorias/seg1800
Mas1 cal = 4g18 Joules, a r~tência emwatts é:Potência = 7500 x 4,18 = 31350\Tatts = 31,35 K'vI
Cilculo da corrente:
I = f = 210350 = 285 AV 110
6) Umabateria de aeuaufador-ea de 60 elementos emsérie, deve alimentar um.circuito situado a 60 m, -
A 1 Acom25 lãrllpadasemparale o" tendo cada lâmpadas aresistência de 250.n ; tendo cada elemento umafemde 2jll V e umaresistência mt.erna de 0,9003..fi. , p.§dem-se:
a) a intensidade da corrente se o condutor da li-nha (cobre), tem 3mm de diâmetroo
b) a potência perdida na bateria e nos condutore~
c) a potência absorvida pelas lâmpadaso
a) o rendimento da instalação e
Solução::Seja. R a resistência total {bateria +. condutores +
\\,\
-19- , \\..c/
+·lâ.mpadas)
Temos: I =~ = 4,11(J?~ = 126R R R
Resistência da bateria = 60 x 09003 = 0,18 11.
Resistência dos condutores ::::0,018 -Ã... Z x 60 ::::O,305.fl.
...!!:._ x 32
4.p :; 0,018 ,u.fi- m
", 1 :;::2 x 60 lid =3nun
Obeervaçâos ~estamos usando nêste problema'p:;::0,018un-: m
Resistência total das lâmpadas emparalelo :;::250 :;::25
::::10.n..
Então: R::::0$18 + 0$305 +.' 10 :;::10,485.Jl.
Então: I:;:: 126 = 12 A10,485
Potência perdida na bateria:
2 2Pb = rb x I ::::0918 X 12 = 26 1jlatts
Potência perdida nos condutores:
Pc ::::r'ei x 12 ::::0,305 x 122 ::::44 watts
Potência. absorvida pelas lâmpadas:PL ::::r x 12 = 10 x ~2 :;::11:40 watts
Rendimento da instalaçãog
p:;::pot Q utilizada nas 1âmpadaA:;::~ =pot , da bateria Ex I
I lI
II
=~ = 0,95 = 95%126 x 12
-20-
7) Considere o circuito indicado p~ figura. Dispõe--sede UW~ bateria de 30 V, de resistência internadesprez{vel. Esta bateria é lig~a sucessivamenteaos pontos a e b e em seguida aos pontos c e d , Noprnaeiro caso a bateria é atravessada por uma corren
~ -te de o A e no 2Q caso por uma corrente de S A. De-ter.~inar as resistência x e y.(SABATINA)
Cl b
Solução:Caso a:
A B
30v ~A
Req = (x + 5) (10 + y) = 1Q = 5x+5+10+y 6
os. I x:y + 5}:: :: 25 ]
Resistência e-quivalente entreA e B:
A
B
Req = (5 ± 10) (x ± y)5. ± 10 ± x ± y
-21-
Resistência equivalente entre A e B:
= .JQ =. 3,758
o. x+y= 5.
Temoso sistema: xy ± 5x = 25x+y=5
x = 5.A•• y=O.Jl.
8) Um gerador de resistência interna 0,25Jl e f'em9Vé Lãgado a um circuito constituído de três resistên-eãas ligadas em paralelo de valores 2, 5. e 10Jl. •Calcular:
1) A cor'rent e nos diversos braços •.2) A energia f'ornecida pelo gerador durante
meia hora •
. Solução:
R,
E=9Vr = 0,25.Jl.R= 2 .n1
R = 5Jl.2
R = lOA·3
·-22-
Vamosresolver pelo método das malhas, para ilustrarmais o método. As eq.uações são:
II ( r + RI) - l2~ + O:: - E.
- lIRl + l2 (RI + R2 ) - l3 R2:-J'
O - l2 R2 + l3 (R2 + R3):: O
Matriz de resistência:
A=
o
-1\ 00
Observe que:' podãaaoa escrever diretamente tendo emvista que: .
r + ~ :: ~esistêneia própria ~~ w81haRl + R
2:: li fi 11 a
R2 + R3 = li n D n
RI :: Comum.ás malhas 1 e 2!li = U 11 li 2 3 ~ te:rmos2 . e . ) negativos0= 11 n 11 1e3
Então:
O
2,25 -2 o
~}cliagona1principal
3 ..
.a = -2 7
-5-5 = 120
15
'0
-23-
- 2 O
7 -5- 5 15 = :....72Q = -6A 120
-9 O
O -5O 15 = :...%lQ = -2,25
A 120
- 2 -97 O
= :......2.Q = - 0,75A 1~0
-9o
2,25-2
2,25
Identificação das corrertes:c,orrem.e na bateria = - II = - (_6) = 6 A
" ti resistência. RI = 12 - 11 = -2,25 _(_6)== 3,75 A
li fi n R2 = 13 - I2 = -O,75-(-2,25}:"= 1,5 A
&3 = -I3 = - (-O,75) =
== 0,75 Â
ff 11 It '
"-
-24-
9) No circuito dado calcular:
1) As correntes nos diversos ramos.
2) A energia absorvida pelo circuito externo d1.1-rante 10 minutos.
3) A quar~idade de calor que seria libertada en-tre A e B se tôda a energia elétrica absorvidanêste trecho fôsse transformada em calor (I
r-- __ %_V-llo.'Jl.· 3yl s, O,.!.Il..~ RI = 2,8.1l..
~ R = 4JLRz . .-/'i, :2
R3 = lJ1.
R,
A
Matriz de resistência:
7,2 -4 { ma.Iha 1-+ 10 VA= = 20 fem (
-4 5 ( malha 2-- O
10 -41. - o 2 = t2.l1 = 2,5 A1 .ó 20
7,2 10
i = -4 O = MJ = 2A:2~ 20
Identificação das correntes:Na resistência RI = i1 = 2,5 A
-25-
Na.resistênciaR2 == I1 - I2 = 2,5 - 2:= 0,5 A·.
" li R) = I = 2 A. 2·
Energia fornecida pela associação durante 10 minutos:
Z = 10 mãn , = 600 segundos.
W = Eit = 10 x 2,5 x 600 = 15.000 Joules. .
Energia absorvida no circuito externo
.l8.n.:. ~+.n. ..
Req = 3,6Jl. .LJL
We= 3,6 x 2~52x 600 = 13.500 Joules
Quantidade de calor:
W = 600 (0,52 x 4+ 22 x 1) = 3000 Jou1esABJ = 4,18 Joules
caloria
o = 1QQQ = 720 calorias4,18
EXERctCIOS PROPOSTOS1) Qual é a OQG a resistência de um.fio de resis"ti_
vidade 0íl0964p.Jl- m~ de 4mm de diâ.'1letro e 680metros de comprimento?
2) Qual deve ser a secção de um fio demaillechort. devendo ter urnaresistência de 0,75.fl.. e possuiDdo umcomprimentode 60 metros, a oge.
-26-.
. .
3) A'quetemperat-lira: ~a bobina de fio de latão 'temuma resistência' de 1,25 li , sabendo que a r~,sistência medida a 151fO,ê de 1,05 Jl • CoefL
. ciente de, temperatura. Ó( =.,Q,0025,,,
4) ,Para fazer reostatos dispom~s'de fios de 2mm,._, 5Iilin. e 4,,5mm de diâmetro. Qual o compriJnento.quase deVe':ad.ótar.em~ada casol paraterresi5-t~ÍlCiasr:éspectivament'e.igua.is a sn, ,2 .n, j'
,5 Jl 'e Q,5 RaOl:lC.
'Resist.ivida4,e ~OQ GiA ::O'o;f64,f11l.-m ,
, ", 5) c~coJimp?-das't.endo' cáda'Uma"~resistênei8.,de5Jl. são, co'loeadasiea série;··.estas,.·.lâm,pa.dll.Sdiatâmentre si 30 m, á prfmeiràdisté.250,lÍl' da geradora.8 a Última distá. 280,m..: Se admitirmos que a r~'sistência doscondutórés ·de cobre ~ .,10%da re$ip...tência daslâmp8Q;~S" qual deve ser o diâmetro' dos, coruluJ-ores? '.f'= O;018;i4 ....m ' ,
tiO_30m,
'----~_'~~~,~----~~ao9O,".>
91No'~ircuit(}abaix~,.procure a condição para quea 'corrente no. ramoABseja nula.
-Zl-
7) Calcule a corrente na bateria, a corrénteern cadaramoe a diferença de potencial VAB po,çírcuito:
/8,A
8) Gonsidereo circuito da figura:
chave ao'érta ,v= 1,52 volts, (v= 1,37 voLts(A = 1$5 ampêre'chave f'echada
D~terminara fem e a resistência interna da pilha.
As pilhas têm as9) Gonsidere o circuito ao lado.têm .de 1, ·2e J volts, eresistências internas de1, 2 e 3 .n. .r-éepect âva.,mente. Pedem_seos valQrés e os 'sentidosdas
, ','correntes', e a potência.recebida ou libel"adapor'ead.apilha. '
-28-
10) Considere o Umotor shuntll indica.dona figura"Z-
v
R ::: Res. do campo = 240.n.c
R = Res , da armadura = 3.Jl.aV = tensão na linha = 120 VI = corrent e na linha = 4,5 AQuando o motor gira, a armadura desenvolve uma fcemê cujo sentido é indicado.
Determinar: a) corrente no campob) corrente na armadurac) a fcem
11) Calcule a potência dissipada em cada ramo do ci~vuito.
8~ ~~~ ~C
liA
12 v a n
-29-
12) No circuito aba.ízo, calcule a corrente i:
4-v
13) Para o circuito dado, calcular o titlorcia co~ellte emcada braço eo valor da resistência desco-·nhecida R, quandoo valor da corrente total é de2,25A.
10 v
14) NoCircuito, calcule a correm,e emtodos os bra-ços do mesmo.
(ver desenho na página seguinte)
-30•.
IOOV Co,CoZA 4.Sl.-
BOV
Q,UA. 90V ..3-!l ~t-----I
s.n.0,3.11.
6.Jl
15) Um capacitor de 10,.u.F de capacidade se descar-rega sôbre umaresistência de R = 1000.J1. • Qualo tempo necessário para que o SeU potencial seja~5 do potencial inicial?
16) Calcular a intensidade da corrente fornecida porumabateria de pilhas cuja fem é de 4,2 V e re-sistência interna 2,1.Jl , se a corrert e é envi-ada a umvoltâmetro cuja fcem é de 1,48 V e a r~sistência de 1,9Jl (incluindo condutores).
17) Urr~bateria de acumuladores de 60 elementos, tendo cada um. umafem de 2 volts e O,0008.Jl. de re-sistência interna, debita. umacorrente de 20 AsÔbre um motor situado a 300 m de distância. Alinha se compõede 11,')1 fio de cobre de 4mm de dijmetro e a resistência interna do motor é de0,5.J1.. • Calcular:
a) a resistência do condutor.b) a queda de tensão nos condutores AC e BD.c) a tensão nos bornes da bateria.d) a tensão nos bornes do motor.e) a fcem do motor~
Para o cobre: ..p = O,018}U2- m
A
-31-
c ----I u---~D
18) Calcule a diferença de potencial entre os pontosA e B do circuito:
A tE----j
,n. 5Jl.
1O.Jl.
4.1).>----A6
.3J'L
+soov
19) No circuito da figura, pedem..ser
a) as coz-rentes 110S diversos braços.b) a quantidade de calor desprendida em 2 h e 30
mãmrt cs na resistência de 10 Jl •) d t"d " . tA •C conservanro '0 as as ae~s~s res~s enclas, po~que valor se deveria subst ituir a resistênciade 10.n.. a fim de anular a corrente no braçoda bat eria de 20 V.
( , - ,rver desenho na pagana seguinte).
-32-
lO.1l t,- S.l1.
.to v •.n.1J2.
20) Umaresistência R é ligada emsérie comumcon-junto de 2 resistências eI'1 paral.elo de 8 e l2Az-especttvarsent e , A ddp nos terminais do circuj.to é de 20 VoA energia transformada emcalorem30 minutos é de 35 vlatt-hora.. Calcule R.
21) Emumcircuito de Cede 3 condutores de mesmocomprimento, a secção do condutor positivo é deigual a do negativo e esta é igual ao dobro dasec~ão do condutor neutro. A corrente no positáva e de 120 A e no negativo é de 100 A. -;Apotêllcia total convertida emcalor nos condutores éde 1100 1lIatts. Calcular a resistência do condj;tor positivo.
120A-
eorgo
Caf'9°
neutro
------dJ100 A
-33-22) Para determinar umaresis:.ê'ncia desconhecida uti- .
liza-seun circuito empotenciômetro Wicado nafigura o Coloca-se entre A e B uma. resistênciapadrão de 1 A J sendo a leitura do galvanômetroreduzida a zero~ quandoa resistência variávelvale 5...n. G Colocando-se entre A e B a resistên-cia a det ermínar , a leitura do galvanômetro é r~duzida a zero quandoa resistência variável vale10 -'l. G Sabendoque as resistência internas dasbaterias são desprezíveis, qual éo valor da re-sistência desconhecida? \SABATINA) .. . ..
I-----e A 6 o------.-'\N\AAA
23) No circuito ini icado na figura, pedemcae sa) as corrert es que percorrem as ta terias,b) as resistências que deveriam ter os trechos. AGe BO,para que seja nula a correrte que·atravessa a bateria de 8 V,
c) a potência útil consumidano circuito no casodo item anterior"
A••• A~ A
~Jl. C s n:
10 S .Jl.,
Formulário nº 19 - CorrenteContínua
-34-
u, V
zQ
I, i
Z;Ir
r, R
E
diferença de potencial - voltfôrça eletromotriz - volt
q _ quantidade de aletricidade - coulomb_ tiempo- segundo
- quantidade de calor = caloria•...•;;l'- a.!:J.tIere =...;L"lt ensidade da correni:. e
couJ.omb/segundo_traba'lho - j oul,e = volt x coulomb_ potência _ watt = joule/seg = volt x..ampere
. t"" , ,. / •._ reSlS enCl9. - oom= vOJ.:c{ ampere
2 - Lei d~...Qbm
A ---Vv'\..,--- BR
= + iR A-------~------BE r••i
VA - VB = + E + III (receptor)
3 - Res?~t.;i.:1Tidade(ver tabela)
R =~J...s
jJ = resistividade - (obn-cm)..f'i: = A (1 + o( t)
-35-1; s _ oompr-íment o e se:~ão elo condutor 2(em, em )
, S' .a) --ê..D--Sl
- r2"-ii
b) Paralelo
i
.J....= 1: -l..R r
c) Muiyalência Triângulo - Estrêla.L
R~ = R12+ R23 + R31
RR12 =-LR)
R R23 = t--
1
Ry = R1R2+ R2RJ+ RJRl
RI =R12 .~.11...RA
"R RR2:;: 14"_~_R "A
5 - Leis de Kirchoffa) Lei dos Nós. .
%1. = O••
Sendo n o nÚl11erode nós do circuito, esta leidará n _1 equações independentes.b) Lei das Malhas' i,3
L i-r= ~ E
exemplo:à. f 1I.+ ilr i2r2 = _E3+E4 .-'t.
1
~-_L+
A lei das malhas deve ser utiliz.ada o nmnero devezes necess~ias para completar o sistema de equa-ções. Deve_se observar que cada uma das f.e.m. fi-gure, pelo menos una vez, em alguma das equações r~sultantes desta lei.6- Ligação do AmpermetrP
dJe do Voltmetro
R
-J!-
7) Lei de Joule
Q = 0,24 Uiz = 0,24 R i2z
i. -A ---~'\I'VVVV\..,..---'--B
R
8) Aquecimento ,ª~umC.o.n.d'!:!to+:
T = t + A i2 RS K
S - superfície externa do condutorK - coef .• global de t.ransm, de calorA_ equivalente t.ermodãnâmí.co = 0,24 caJ./joulet _ temperatura ambiente;T _ temperatura de regime
9) ~fei.to~.termo-elétrico (Seebeck)
eu _ Fe - 2.3 milivolts/gráu
Bi_ eu _ 21.8 ,,- ~.
Bi - Sb Z1,3
10) E1ectrolise
14 = K i t = Kq K = 1000 A _ rng/coulomb.96540 V
A - massa atômicaV _ valênciaK _ equivalente eletroqu!mico
-38-
Valores de K .(rog/coulomb)
Alumínio ..... 0,0932 Níquel •••••••••• 0,3041Cloro ........ 0,3&74 Oxigênio •••••••• 0,0829Gobre (1) •••• 0,6588 Prata ........... 1,llBO
(2) .... 0,3294 Estanho • •••••••• 0,3075Ouro (1) •••• 2,0436 Tungstênio ...... 0,3180
(3) •••• "0 0,6812 Hidrogênio •••••• 0,0104RESISTIVIDADE
'-:eta1liga
A1umí.71lCarbono_ amoxf- graflCobreHercttrJ.Platina
I P:::~a_LatãoC01'lCtro(Cu_H
Hanganãr(CuJJ.l.
l'1ai11e(Ctl-Zn
Nichrom(F'e-1'h
ou T;:'~OQ-c---'-l-;~efiCiente demicro-ohm-cro temperatura-
" o 2~83 0,0039o 3.800 a 4.100 -"te 720 a 812 - I1"7? 0,0039-,/~o 94,Cf1 0,0007
10 96 0,00301~63 0,0038-- --_.'"'•.._-_ .._._...-.. .._~_.•. -7,0 0,0020
1t@ L~9,O 0,000 005i)"m 4l~,0 0,000 006.! ••••'1n)chort 30,0 0,000 400.-tIi)e 109,0 0,000 200.-Cr) . ... --
-39-
1) R = 5,22 .1l.
2) 8 = 32 lllln2
3) t = 942 C
4) Para o 19: 254,47mPara o 22: B2ti45m
5) d = 2,4 rmn6) -I = rI ~:'1+2
-2 R2
7) i1::: 1,303 Ai ::: 0,96 A2i3::: 0,343 Â
VAB:::0,14 volts8) • = 1,52 V
r :::0,1.Jl.9) i :;:..::L P = ~g \m.ti:is
11 12111 = ....i... Pl= ...2.Q \latts
11 . 121i =...z.. p=~ \.:ratts2 11 2 121
10) a :::0,5 .Ab =4AC :: 108 V
.---_._--- . ------- -------------;
11) AB = 1,65 WCD = 2,61 \~BD = 7 ,40 ~f
12)
13)
14)
15)16)
17)
BC = 2,18 v~DA = 4,96 lã
i = 35,2 mAI - li .1-12 = 1,25 AR :::.3 Jl.
i1 = 6,21 A i2 = 4,95 Ai.3 = 1,15 A I = 12,.31AZ =16 x 10-.3 segundosi = 0,68 Aa :::0,82 Jl:c :::119,04 Ve = 92,64 V
b ::: 16, 4 V
d = 102,64 V
-.40-
18) VAB :::.35,51 V19) a) i1 :::2,5 A i2 :::2,5 A i :::5 A
b) 1.35.000 caloriasc) 3,75fl
20) R = 0,912 .n:
21) R = 0,0436 J'l.
22) R = 2 .ri:
-41-
Q.Q~NTE ALTERNADAComElntário~:
Nêste capítulo é que surgem alguns concei-tos novos, e vários fenômenosrequerem umainte:;pret,ãção mais cuidadosa que no caso da corrente contmua ••
Temosa salientar um fato importante, queé o da existência de diversos modosde resolver osproblemas de CA, tais comoo vetorial, o simbólico,e o probl~~ principal é exatamente a escôlha do mé-todo adequado para a solução do problerr~ emfÓCQ.
tste discernimento só se t orna possívelpela solução de um grande númerode problemas, sendoque êste motivo dá origem a que resolvamos alguns e-xercícios aplicando todos os ~étodos, pois os própri_os alunos verificarão o métodomais conveniente.
Comono capítulo anterior, segue apenso oformulário correspondente fornecido pela cadeira ••
-*-*-*-*-*-ResumoTeóriço
1) Fun~ão Periódica ~ Se temos uma.função f(t) talque f(t) é idêntica a f(t+T}
para qualquer valor de i, dizemos que f(t) é una fu,nção periódica de períodO igual a T••
r(t)"!5 t(t+T)
Em particular quando temos uma função períodica talque f(t} = - t{t + 1):1 temos a chamadafun~ão alter-nativa" 2
( d nh P. °t)veruese o na pagaria eeguan e
i .
I11'- T -..I1 2 II.. T----II I
Umcaso particular de função alternativa é a funçãosenoida1: .
Ht)
t
f(t) = A sen t
J{t-)
2) Consideremos uma ~ senoidal e = E sen V tmax .'-
. chamamoae
E = valor máximomax111 - pW..sação= 2 11' = 2 11" r
T
e = valor L'I1.stal'ltâneo
.•.._.
3) Valor m~io emumdado intervalo
Jt 2 edt
e = 1med '--'=---:--t2 - tI
-43~
Durante umperíodo o valor médio é nulo.
Durante meio ciclo, o valor médio é:T
=1 ~t1'.2
= .2 Emaxrr
4) Valor ttédio quadrático (eficaz)
J2e2dt I
E = ~ .~t2 - tI
Para a função senoidal o valor médio quádratico du-rante Um ciclq é:
)
EE = max
{2 r-
Obs.: as expr-easêes vistas são gera":i1,valendo paratôdas as funçõe~ senoidais:
corrente ti
e = E sen w tmaxi = I sen "1 t
max
u = ti sen w tmax
.fem senoidal --,-
tensão II
5) Comportamentodos Resistores, capacitores e indu_tores.5•..1) Resistor .
L i = I sen 111 tmax
U =R I sen w tmax
1',.,.
..,..------- -----
Não há mudançade f'orma , nem defasagem entre a ten.,são aplicada e a corrente que circ~la no resistor.
5-2) Indutor l U=LÇJ.dt
LU = U' seu \.J t
Illax
u
i=lfudt=U- ~L vI L
sen (wt _1T )2
Não há mudançayde forma, mas a corrente fica atraz]ãda de 90º emrelação a tensão aplicadaó
5-3) Capacitor L i=Cgy.dt
U = U sen li tma.x
i = C H U sen (wt + ....:!!.Jmax: 2
Não há mudançade forma., mas a corrente fica avanÇl!da de 902 em relação a tensão.
NOTA IHPORT~: As conclusões que chegamossão def~ndamental importância no estudo
da corrente alternada.
Resistor : --- tensão e corrente coma mesmafase.Indutor : - tensão avançada de 9012 emrelação
a corrente.
Capacitor : --- tensão at razada de 909 em relaçãoa corr-ent e ,
-45-
Representando por exemplo a corrente porumvet~irante de módulo igual a I ,a. tensãopor umVel'},.:2i1~emódulo igual à ma.x Umax' ••• ,podemos esquemât.Lcament e representa.r o que .dissemos anteriormente do seguinte modo:
Resistor Indutor
k:m.~~,\+90°. - -
Capaeãt er-
r.!....mmaaxx ..~~
~UITIQ"
,.'"0_"
.ImQ,c tJrna"
(em fase) (tensãoavançada)
(correnteavançad,a),
Em qualquer instante temos as defasagenaindicadas. Assim sendo podemos ter o indutor em umcerto instante com a representação:
~~n1.XVImOA.•~a representação que fizemos,' ovalorins~'
tantâneo é a-_projeção sôbre o eixo vertical: ','
Imax~I ,
i = Imax sen wt
6) Lei de Ohm
6-l) -Resistor
U ::;:U sen w tmax
_._._-_._~..~ ---
-46-Umax .i ":;!""".. ,;,;,;..;;;=--- sen wt
R .iI
I =+ (ef'icazes )6-2) Indutor
1 _Uinax sen (w t - -t-)WL c::
I . ~ax I = r:r-"'F. U (eficazes)max ::;:-wr:- w .J.J
WL = reatência indutiva211' f' L := XL
f ..-.ciclos/segf4 ..KS L Henry
XL~Ohrn
6-3) Capacitor
i = C \'1 tImax sen (wt + ..:L. )2
I - r (eficazes)Wc
1 .z:z ReSistência ca.pa.citiva.... 1 z: Xc-wc 2Y :r C
[
~...,... ciclos/ seg..M K se....,. f'arad
X --'f> Obroc ..
7) Associaq;ão de elementos
-47-7-1) Circuito série R L C~.. ~~. .u.. u; ..f ~y;;;::rco
Como sabemos a posiçãó relativa dos vetores tens~o e corrente para cada um dos elementos, podemos ràcilmente construir o diagrama vetoria1 dõcircuito, observando-se que:
......• ---- - .....--".U = UR .•. UL •.•. Uc
No caso tomaremos como referência a correntepois é a ~esma para os três elementos .•
Observe~ 1) UL adiantado de 900 em relação a I92) Uc atrazada de 900 em relação a 103) UR em fase com 10
Temos: ~_~ax·:: I~ax [H2 -Ç (~- \VL)r I!ax Z2
.•.•.~'IIç,'".
(Xp';":: fL'J r J impedlncla do circuito
-- ---- ---~-------- ----, ..•_-'_. -
-IJ3-
..l.... - li L
R R
-7-2) Circuito paralelo R L C.:t~ ~-
11
~~~
XL. L.- •••••:te
IIC-- 11
- U--o --G --o .•..•
temos: I = Ia + IL + Ia
diagranía vetorial, considerando_tJ' comó-referên~ia:
I&.
I~ = U;,ax [ "'21.,.+ (\{ G - ~lJ2] = U~ Z~-2R ir L -. , -~'
Z= ;::==:::l=====:; = imp6dância do ciXcuit~
..1... + ( vI C _ •.•J•.J2R2 iU.
;
-49 ....
lP' vi C _ ....l.. --L -lU L X XLtg 'f = 'i_= --x,c __ -=-_..l
R R
8) Ressonânciao circuito está em ressonância quando a
corrente está em fase com a tensão, ou seja quandoo ângulo te é nulo. Para os circuitos apresentados,a condição de ressonâncias é:
~{L= l..vI C
•••2\.J LO=l
< 9) PotênciaPotência média: coa 'f
eficazescos f= fator de pot~nciasen 1f = 11 %'Eiativo
A componenc e de I segundo V é a única quefornece potência; daí os nomes:I cos ~ = componentevattada ou ativaI sen'e = ti desVIattada ou reativa.10) Volt-Ampere (potência apar-em e) :t. o produto da
tensão eficaz pela corrente eficaz.PVA == ,V .:lf I,. efJ.cazes
mÚltiplo muito usado: quilovolt-ampere-KVA.
~- ,...--_._--~---_._ .._----:-----------_.- ..
-50-
Representa~ão retangular•Imaginário A=a+biDizemos.que o com-plexo A é o afixodo ponto Ado pla-no.
AA
,//Ib,/ I,/ o( I
a. Real
a = part e real de  = Re [  ]b = parte imaginária de  = I[Ã]
• • _/2 2'A = m6dulo de A = I A I =Va + b ~l1e12resenta~ãopolar•A =tg Q( = l
a
cos o( = -ª- =A·
a
Representaáo eJSpoll.6...1l.ci<:ãJ-• 'o(A = A eJ
Fórmula de Euler: ).jOC = cos o( + j sen o(
"o(e-J = cos o( _ j seno(
-51-
sen c( :: j o( -jc(~. -.....§L.2 j
••A :: A cosoo( + A j seita(Complexos conjugado~•A= a+bj
•O conjugado de A é represerlado por A•
A :: conjugado A :: a - b j (retangular)A:: A 1_<'( (polar)A:: A (exponencial)
Sejam dois complexos: • ••A :: a + b j :: A~:: A eJ
B = c +dj :: B~ :: B ejj9. .'Soma: A +B :: (a +,~\ê) + (b + d) j•• •~rQ~utQ; A x B :: (ac - bd) + (ad - bc) j
A~xBlfi.:: ABIC<+ft
.:c( • Q (<< + /.l) .A eJ x B eJ.I'" :: A B e ~ J
DivisãQ: A!. B = ~c + bd + bc - a.d j• 0
2 + d2 02 + d2
Ak.:. B ~= -Â- Io(-fic B
A eO( j .!" B e fi j :: ..A... e(O( -;9)jB
-52-Elevação a um expoent~:
•• , "o(Sendo A = A ~ = A eJ
(Ã)n = An I no( = An ejnoc
Complexos conjugados (operações)•• I -JA = a + bj = A ~
A == a _ bj == A 1-o(
Som~: A + A == 2 li (real)-:..
Diferens;a.: ••A - A == 2 b j (complexo)
 xA == A2 l.s.,Ã:'A=A~
A~
Produto:Divisão:
•
OPERADORESOperador j: é o operador que aplicado a um vetor,
dá-lhe uma rotação de 90Q no sentidopositivo. I ..1I.
2j == 1
Se aplicamos ao vetor  ::A ~j A = 1190 x A~:
::AIO<+-90•.\
J ,,,•A
Apliquemos agora as noções vistas aos circuitos decorrente alternada••
-53-
Usaremos a notação:
j = operador (j2 =-1)•Z = L~pedância simbólica• « •
Y = adl1litância simbólica (Y= _l.J.z
G :: condutância = ....l...11
B =suscetância = ...1.... (+ nos Circuitos capacãt.ávesX (_" fi in,dutivos
Circuito série R LO,I 2 . 21Vimosque: Z =VR + (...1.... - vI L)=-
liC
=VR2+ (Xc_XL)2 I
tg·"(: = Xc - XLR
Representaremos a impedância do seguinteroodo:."Z = R+ j XL - j Xc (retangular)
Z = Z LL (polar)
Z = Zej"f (exponencial)
-54-
Circuito Paralelo R L C
z = -:=========~..J ~2
1 ,+ ( li C- - ..•LJ2
\1 L
tg"'f = li. Llo... - -1....)X x,C L
Ch t~ . -1\ •iama-cse adroi ancia ao inverso da J1Uped.al1c~a;no câso:
y =-1.... =z
...l- + (~ C ~ -1-)2a2 vI L
Representaremos a admitância simbólica:
Y=...l--....L+.....i..= G-BLj+B jR v «r . C
.•.L AC
BLe Bc são as suscetêJlcias
•Y = G + j (Bc ...BL)
Ix, (polar)
(retangular)
•
(exponencia.l)
Compor-t-ament-o dos Elementos siIuples ;. umatensãocontÍnua •
Estudamos o que ocorre quando excitamosum resistor, indutor ou capacitor comuma tensãoalternadao Verificamos que o indutore o ca.pacitora.presentam para a corrente alternada uma certa rea_tância z-espect.ãvamence indutiva e capacitiva •.
Agora vámosveri~icar o que acontece q'illL~
do fazemos a excitação não comtensão alt ernada,mas comtensão contínua.
-55-
a· ., . , 1• d tud ri deS:l:.~lj..Qr:J8. amÜ:lzmJlOS CjUan•.o os . amos a pa "e . eC.C.
Inicialmente estando o capâcitar descarregado, ê1e co-meça a se carregar com.a c01.:rente fornecida pela bate-ria, até que est~o total-mente carregado ( q = cV),.;t_~1'~ mais passagemde c01.:rente; ora acontece que ocarregamento dá-se em poucotempo e assim sendo a cor-
rente é imediatamente ccr't ada, Da:!o fato do capac,itor "baz-rar- a corrente cont.fnua"; .
Ca,pacitor:
il.,.
v
Quandoo capacitor é excitado por tensãoalternada, tal não acontece, pois o capacitor se c~rega ·e descarrega,' conforme a tensão mudade polari-dade, circulando pois permanentemente a corrente.
r
Indutor: O indutor (id~al), sendo um. eiemento in-Lteira.mente sem resistênoia, -não oferece nel'ihuníobst,ãculo à circu..1açãoda correnteoontll,iua, por-t.andocse- .~.comose estivesse emcurto •. ·DaJ.se ~Jrigarmosuma ba-teria aos bomes de um indutor (ideal), est.amos co1.,2cando emcurto a bateria •
......., ..
L bateria em curto
Equivale a:
+ +
O . d t ,. .._. ~"',. an U or 80 exerce sua açao quanao ne.i,ecircula umaC••A.,poisa1 entra em ação a sua rea-tâ..'Ylciaipdutiva( li L) que, aumenta.conforme aumen-.taa :frequência da excitação.
'.. Cumpre~gora salientar o f'ato.da não exl..§t êneia de eleIllEmtosPuramenteinduti vos e capaciti-.vos, possuindo os capacitores·sempré umacerta cor-rente de fuga fre·sistência.°finita e não infinita) e·osindutores sempreuma cert-a resistência ôbm:ica•
-.Exercícios Resolvido~
1) Um circuito indutivo de,5.n de resistência é peIcorrido poruíl1acorrente alternada sob umadife;...rença dépotencial de 250 V •
O Bngulode defasage.."né,de 282. Calcule:
a) a rea,tânciadoeircuitob)a impedânéia . . ...c) .valordacorI'ente (sempre que não houver
outra referência, trata-se do valor ef'icaz)a) a femdea-m,o-induçãoe
Sqluç,iQY' .
a) 'Sabernos que tg V=-_ "'-L =' - tg 28.\ 11
=5x 0,532 :;; 2,660.n...
1:
b) Z =-/nZ + X~i =V52 + 2,662':5,66 Jl
c) I ~ -Y- (eficazes)z
•..57-
d) E = I XL.= 2,66 x 4L}!J25 = 117,5 V
Obs.: o ângulo 1f é sempre contado a partir do~. ../" vetor U.
2) Um circuito tem em paralelo, uma bobina de S./},.deresistência e coeficiente de auto-indução 0,2 Henry, e um capacãt oc de 10,f.LF •. Aplica-se umatensão de 120 V e 50 c/s. Calcular:
..a) as int ensidades das cor-rene es nos diversos br,ãr" ços~ •.... ,'
b) a defasagem
c) o diagrama vetorial do circuito.
Soluç~
o
I
®IC
. .Zl = H + j XL = 8 + 62,8 j
..Il = -+- = 1
Zl S + 62,8 j
11étodo simbólico
XL= Vl L = 211" x 50 x 0,2=
= 62,8..52.
Xc = ~?C =
= 1 =21r x 50 x 10 x 10..6
= lQQQ.Jlir
= L- 62,8...i = _L- -82 + 62,82 4007,84
: .
-58-
- 62,,840r:J7,84
j = 0,00198 - -0,0156 j
•I -,= ....L... = j = 0,00314 j2 X --""--
c lW.Q
Admitância total:· .. .Y = I1 + Y2 = (0,00198 - 0,0156 j) + 0,00314 j =
= 0,00198 - 0,01246 jtomando U como origem:•
TI = 120• ••I = U Y = -120 (0,00198 - 0,01211-6j) =
= 120 x 0,00198 - 120 x 0,0~~6 j
I =V(120 x 0,00198)2 +(120 XP,Ol2L;.6)2'= 1,52 Adefasagem:
tg 'f = - 1.~Q.2~O,OJ.,Z42 = - 6,33120 x 0,00198
:. y= - 81Q 2'
Cálculo de II· ..II = U I1 = 120- (0,00198 - 0,0156 j)
II =1/(120 x 0,00198)2 + (120 x 0,0156)2 ~ 1,9 A• • •I2 = U Y2 = 120 x 0,00314_ j = 0,38 j
-59-
== corrente correspondente a resistência ôhmicada bobãna,
~Ir;x == n eor-r-espondent e a reatância indutiva
da bobina.~ --o ~IL == 11 na bobina (total) == ILR + IlX--o
10 == 11 no capacitor
-<>I == n total do gerador
j
U(orl~m)
-60-
!.....Çl;!,J;:gQ..JlQ. .•alm!,Q: verifique se a so'lucâo vetorial. é de maã.s rápida aplicação que a
simbólicaapresentada... Caso seja, confira os resu.1tados pelo método vetorial.
3) Col~c~":'se emsérie duas bobinas de indução ten-do a la 5.Jl. e 0,0107 HerJX'lJ e a segunda ZO..n.. e0,5 HenrJ; circula umacorrente alternadª de100 A, 50 c/seg. Calcular:
a) a impedância de cada bobinab) a. impedância do conjuntocJ.-as tensões nos bor-nesdas duas bobinas e a-. tensão ,t'otald) ocossêno do ângulo de defasagem entre a cor_
rente e a tensão nos bornes da lª bobinae) idam para a 2ª bobinaf) o eoaseno do ângulo de defasagem entre a cor-
z-ent e e a tensão totalg} a potência utilizada na lª bobinah) 11 11 11 n 212: ui) 11 11 total utilizada
a) Z1 :=1/ .Ri+= pll
z2=.J •.....R--~-+-·-(H-.L-2)-2-':'~Y20~.+(2ltX50 x O,5)i =
Solução:j V~----'----Yj
2 2 ·2(UL1) :: 5 + (2lTx 50 x 0,01(7) =
= 158 n.
b) Z =Y (5 + 20) 2 +
.:= 162.fL
2'[2 rr x 50 (0,0107 + 0,5)] =
.:::
". c) Na~§.obina1;~U1= I Zl = 100 x 6 = 600 V
-61-
Total: TI:;: I Z = 100 x 162 :;: 16.200 V
d)
UR,
cos 0(,
e) cos o< 2
f) cos 0\::: UIU~_+"._~12_= RI +.l:~ = .i....t.2.Q:: 25U Z 162 162
g) Pl ::: U1I cos 'f,:;: 600 x 100 x ~ ::: 50.000 i'Jatts6
h) P2 = U21 CoS r~== 15•.800 x 100 x ~ == 200.000 1·m.ttS158
i) P :::U I cosf :;:16e200 x 100 x ~ :;:250.000 T~tts162
-1>2-
Caso tivesse sido pedida a potência aparente:
N1 = U11 = 600 x 100= 60.000 VA = 60 KVAN2= U21 = 15800 x 100 = 1580.000 VA = 1580 IrvAN = U I = 16.200 x 100 = 1.620.000 = 1620 KVA
Observe que para a potência aparente nãovale a relação:
1620 =F 60 + 1580'-j--4} FaZ-se passar numabobina contendo umnúcleo de
aço d~e, ttmacorrente contínua de 6 A sob UVA
diferença 'de potencial de 15 volts. Substituin-do-se a fonte de tensão cont fnua por uma de ten-são alternada de frequência 25 ciclos/seg, obtém-se sob umadiferença de potencial de 15 voltsuma intensidade de 1,5 A. Pedern-se:
a) a resistência Ôhmicada bobL~ab) a impedânciiada bobinac) o coeficiente de auto_indução para I = 1,5 Ad) o ângulo de defasagem
Solução:
a) Quandose usa a CC, teríamos umcurto se não fô,ªse a resistência ôhmicada bobina:
R = .JL = ..1í... = 2,5JlI 6
b) Impedância:
u= I Z •.•. z ;: .JL = -fi.. = 1011I 1,5
...63-
C)
,.
VZ,52 + 4 rr 2 x 252 L2 I = 10 :. L = 0,0165 Henry
d) Defasagem
'fg Y = ~.-: ~LR
No caso não há capacitância:
2 Ir x 25 x 0,01652,5
= - 3,FY73
:. y = - 75231'(Lembreque o ângulo y é contado a partir de U)
U
Nota.:..seo efeito da resist~ncia da bobãna, pois senão fôsse esta, o ângulo de defasagem seria de 90º_ ".
~/ ·5) Paz-ao circu:ito da figura" ca1cul.ar;
a) Xt e Xc
o";~' .
b) Impedâncãac) Corrente eficazd) Diagra~ vetorial
R ::: 10 .a:L =0,02 HC ::: 0,001 Ff :::i 50 c/segU ::: 21!-Ü volts
Solução:
.-64-
R C
~u:JL
a) XL ::: W L = 2 rr f L :;: 21r x 50 x 0,02 = 6,28J2..
x =-1..-= 1C
WC 21TrC
b e c) Método anal:!tiqq -'
::: 1 ::: 3,1.8.fl.
2 1rx 50 x 0,001
u = 240
z :::-Vr-R-2~-+-.-(X-'-·L-'-~-X-c-)2-":::"102 + (6,28 -:3,18 )2' ==
::: 10,42..Jl.
I = .JL::: UQ::: 23,1 A _Z 10,42
Método simbóJJ.ço Gª-~es~"U :;: 2L~O (origem)•Z :;: R + j (XL - Xc) == 10 + 3,1 j
e e.U ::: Z I
. .I = .JL ::: ?AO . = 240 (10 - 3,1 j) --
i 10 + 3,1 j 102 + 3,12
-65-
= 22 - 6,8 j....1 2 2'-I = V 22 + 6,8 := 23, 1 A
HétogQ"S~bó1iCQ Po1~
ú = 240 Ls.,z = 10 + 3,1 j :1,/I02 + 3,12', ang tg lfo -
= 10,42 I 17220'
2L&_1 O _:= 23,1 1_ 17Q 20'
10,42117Q20f
I = 23,1 A
I := U :=•Z
Hétodo Silnbó1icQ Exponencia1o O"U=240eJ
-' i 17Q20rjZ =10 + 3,1 j =V 102 + 3,12 e ::::
17220 fJ":= 10,42 e
23,1 e-17 Q20 f j• •I=Q=•Z
~-~~-_:=10,/~2 e 171220 r j
I = 23,1 A
tgf = Xo, - XL = 67,_2_.g_:.__~ =R
0,31
10
cos~ 0,955ta = li eos 'f = 21{-0 x 0,955
• ~~ 0,955 = 23,1 A10
.r
" ,1 ,r ~ • d'.i-\.presencamos aqua 08 cllversos mo os ce re-solver o prob.Lema, Cabe ao aluno a tarefa de est.u.,clá-Ios E!V61'):tficar por si mesmoo que apr'eserrba ma.,io1"vant agem para o prob.Lena em questão. Fizemostambém questão de apresentar o método s:i.!nbólico sobos seus diversos aspectos para que possa haver um• Á . t' t·-(,e1"r'1O compara J..vo en r-e OS mesmos•.
Só a prática intensa dos prob Lemas de CA éque permãt e a escolha imediata do m~()do mais conv.§nd.ent e ,
6) Um circuito possui associados em série, l:UU capa-citor de 30pF e urna bobina de 5Jl de resistência
o s • . ~ '.11 ~ N ., '1 t: "'I l:'"e um coerj.ca.ent e ue auto-ln0.UçaO ue G,-;;J uenry , i-,a,n. , " 'I'" .~ ~. d 110lJ 01'1-8 e aos oo1"11e8ao CITCUJJ.-,o urna ddp er rcaz ~evoãt s , Pederrr-se ca.Lcu..Lar- para. uma f-:cecn.1ên.cia de,. - ...60 c/seçso
a) Q, intensidade da corrente,b) &. tensão aplicada a bobina e ao capacitar.
..67-
Solução:!:L~togq ~n_a1!t;..QQ
a) I = U = U =Va2 + (Xc -' XL)2' VR2: eL. _W L}2 I
IdO
__ . 110, .•,_- '
52 . (.. _. 1V T 21r x 60 x 30 x 10..6
='.',.. -To- 21T x 60 x 0,5)
= 110 . _ = 11Q =V25 + (88,4 - lS8,4)·2'. 1/ 10.025
= 1,1 A
b) , 1f X - XL 88,4 - 188,4tg = <c ••• =---- =a 5
- 20
y = _ 8728' (ãndut ívo)
c) nos bOrl1es da. bobina:E.' = Z_ I =~IR2 + \ol~ 2 I X I =L L :V .
nos bornes do capacitor:
-68-
;:: L_____ x 1,1;:: CJ7 ,25 V-6
27r x 60 x 30 x 10
Hé-t.odoSimbólico (Polar)' ..
a) XT
;:: H L = 21f x 60 x 0,5 ;:: W8,4.J1...J.J '
x ::: 1 ::: 1 _ = 88,4...a.c HC- . . . 6
21f x 60 x 30x 10-
, R= sn,': ,;
'.'
Então: Z = R + j -,XL- j Xc = 5 + (188,4 -88,4) r== 5 + 100 j =..j 52 + 1002' I'~tg .1f =
= ,,10025'.1,87 Q8t... .'
U = 110Lº-- (origem)•
zl2...
V 10025' I87Q8/
I;:: U::: 110.. --_.
E ::: (...j X ) I ::: - j 88,4 x 1,1 -8728' =c c
Obs.: lembre-se sempre que o operador +j faz girarde 90º no sentido contrário ao dos ponteiros
-69-
dos relógios, e o operador -j faz girar de 902 nosentido dos ponteiros.
Dia~ama Vetoria1
I
Solu~ão vetori~:Para facilitar, tomemoso diagrarra ant erã.,
01' e coloquemosa corrade comoreferência:
I
x.L = Vi L = 188,4Jl
X =...J..... = SS,4Jl.c \{C
-70-
1f =.$70 8'
cos 1f = 0,049URL =_ I ~ = U cos" (vide diagrama)
I = n co~ = 110 x Q,Q42 = 1,1 ARL 5
A queda só na indutância é:
I XL = 1,1 x 188,4 VA queda na bobina é:UL =\1 (IR)2 + (IXL)2
1=1I (110 x 0,49)2 +(1,1 x188,4)2=
= 2(J7,3 V
Queda no capacitor:
U = I X = 1,1 x 88,4 = 97,25 VC C
7) Considere o circuito indicado na figura onde aindutância é 0,1 Henry, a capacitância 100p.F e aresistência em série com a indutâDcia é 1 da re-sistência exterior ao trecho em 2,5paralelo. Sujeito o circuito a uma dd12 de 70 volts,
t tI 'f' tA ,correm- e con anua; verJ. a.ca-sse que a po encaa cons'ymida é 140 watts.
Submete_se em seguida o circuito a umaddp alternada de 70 volts com a frequência de 100ciclos/seg e nestas condições pergunta_se: 1r
a) os módulos e fases das três correntes do cir-cuito
b) a pot~ncia eonsumãda no circuito de CAd) que va~or deveria ter a capacitância para que
'.
-71-
o circtüto fôsse resson~!te?26/11/1959 )
(~ova Parcial -.
Solução:R~~~.... '....,.
l,5R 0,1 U~~-•.
••11 '00'"'t:"
•'10 V
com.tensão cont fnua temos:
2,5R - .R-
--- JO V
.3,5 R
n+ 70V -
p = L = 140 watts3,5R
~ = 140 R = 4900 _ = 10Jl.3,5R 3,5 x 140
o circuito é então: lOA 0 L.
~5Jl slx,- O,, liA A ••••• C..!
xtQ) Ix.t- ª'I;
c ~ loo'p-F ~~"
~--------~----~-U ~o---------------~
------------,--,-'---~------ .-----~._._~---------_.
-72-
. U =·",70 V
f = 100 ciclos7r seg,.~
XL :: \.J L = 21T x .lQQ. ."., Xc :: --.J..... :: --. -. -...--:I=------..iJ"'!""'".. = 50..n.
WC 21Tx 1QQ x 100 x 10tt
• 0,1 :: 20 .Jl:
Método simbólico•
bl'§.S(Q1: ZI =10 + 20 j
·Yl': 1 = 10 - 20 j = 0,02 - 0,04 j
10 + 20 j 102 + 202
•• i~. braço.2: Z2 = :...50 j
•Y2 =-1-- ::0,02 j50
• • •Y12 :: Y1+ Y2 = 0,02 - 0,04 j + 0,02 j = 0,02 - 0,02j
•1 . :: Q•..02 + 0,.02 j ::
0,02 - 0,02 j 4x 10~+ 4x 10-4
'~ -- 25 + 25. JO
~•
bra00 J: Z - 25'" 3 -
Então:
Z123 = Z3 + z12 =25 +[ 25 + 25j] :: 50 + 25 j
-73-
Tomando U para referência:.. ..lJ :::70 1 = JL = 70
•z 50 + 25 j
:::1,12 - 0,56 j1 = V1,122 + 0,562' =
= Z1L(50 - 25j) =502 + 252
Tg"'f = - ~ =-0,51,12
1,25 A:. tf = - 26º 30 I
Sabemos que:.. .,U ::: UAB+ UBC
· ".UAS = 23 I = 25 (1,12 - 0,56 j) = 28 - 14 j
logo: ÚBC ::: U - ÚAB :::7O - (28 - .'i4 j) = 42 + 14 j
Temos ent ão :• •Il = ~BC = 42 + 14 j = (42 + 14 j) (10 - 20" j) =
Zl 10 + 20 j 102 + 202
= 1,4 - 1,4 j
11 =v 1,42 + 1,42' = 1,98 A
Tg y, = - J...,k_ = -11,4· " .12 = 1 - 11 = (1,12 - 0,56 j) - (1,4 - 1,4 j) =
-74-
'_I 2 . 2'I2 =v 0,28 + 0,84 = 0,88 A
tg"f 2 = - ~ = - 30,28 .
Y 2 = - 712 30'
2) Potência
p = U I cos 'f = 70 x 1,25 x cos 26Q30' == 70 x 1,25 x 0,899 = 78,3 watts
3) Ressonância
Sabemos que o circuito está em ressonância quan-do --<> -o ••• • tIJUe I est-ao em fase, ou seja 1. = O •
•.Vimos que: Zl= 10 + 20 j•
S~ja X a reatância que conduz à ressonância, então:c••y = j2 -Xc
• __ .L ._ = __ Jh.fg_. _2 20,02 + (...l..- - 0,04) j 0,02 +(1.. - 0,04)
X Xc c
-75-
...1.. - 0,,04X .- ..5t-__ ------ J
0,022 + (-1- - 0,04)2Xc .
...l.. - 0,04X__ c~-· j
0,022+ (1- _0,04)2!I:~.'c
Tomando U como origem:•• •I = U
•Z 12.3
= ---2-fL•z 12.3
Para que I esteja em fasecomU,I nãodeVe ter componente complexa.; consequentemente••Z12.3 não deve ter tambémta.lcomponente.
•• Para que se anule a parte imagimfria deZ12.3.' devemos ter: v -_ 1~ - 0,04 =0 A =X c 0,04e
::: 25..fl.
..1-..= 25wo 1 =25 x 211 x lQ.Q
1T"
1 :::200}L~5000
Obs.: Com a prática ter:!aIr.osvisto diretamente que•Zl2 não devia ter parte imagirL~ia, o que con-
duziria à condição anterior: -1- - 0,04 =0X
cmas preferimos seguir todo o raciocínio para ficarmais claro.
Observa~õesre1ativas ao problema
1) O método vetoria! apresenta às vezes uma inter-t - .,"-.p" '1 ',- d . b '1'pr-e açao maxs U..u.J.CJ. que o meto o Sl.TIl o a.co , o
qual é completamente "mecânico", embora conduzaem muitos casos a soluções traba'lhosae e
2) Confira o diagrama vetorial _~.)sentado a seguire procure resolver o problema baseado no mesmo.
,
....- .••. .••.
:r,
A , • • tUR1 = queda na resistencia em serJ.e com o ~du-oron no indutor
-77-
3) 'i'ome muat a atenção no caso da ressonância; A
condição LC"W2= 1 vale apenas para os circuitossimples que indicamos. No caso de um problemaque não se encaixe nos casos estudado~J temosque verificar a condição que f'ornece 1 = Oi poisesta sim é que é a condição geral de ressonancia.
E~{ERCrCIOS PROPOSTOS'><::-1) As rem de dois alternadores são 60 e 80 volts, e
defasadas de JOQ. Qual a !Qm que resulta quandoas duas :ruáquina.ssão colocadas emsérie?
,2) Um capacitar de 15).lF é ligado a umaflonte de tel1são de 110 volts. Calcular a intensidade da c0l:rente se a frequência é 40 c/sega
9) Oa.Lcul.ar- emp.. F a capacidade de umcapacitar queligado a umafonte de 110 V, 60c/seg é percorridopor uma corrente de 0,25 A.
Urr~bobina tem umaresistência de 3Jl e um coef'i-ciente de atrt o-dnduçâode 0,03 Henry , Que corre,!,l-te circulará se a mesmaé excitada pcr· umafontealter-nada de 40 volts e 50 c/sego
Para determL~ar o coeficiente de auto-indução deumabobina, aplica-se à mesmaumatensão alterna-da de 50 cl seg e verifica-se que a corrent e é de6 A. A resistência da bobina é de 3ft. Qual ovalor de L?
"/ 6) Uma bobina de resistência 20n e coeficiente deaut o-dnduçâo 0,06 FI, é ligada a umafonte de ten-são a'l.t ernada de 50 c/seg., sendo percorrida poruma.corrente de 0,6 A. Calcular:
\ . dA •a) a lffipe anClab) a teneâoc) ° cosseno do âl'lg'tÜO de def'asagem
-78-
-I 7) CalCl.ll.a.ra dIf'er-enca de potencial a ap.Lí.car- a08
bornes de uma bobir;a de 10 Jl. de resistência,tendo um coeficiente de aut.c-dnduçâo de 0,02henry~ para que circule uma corrente de 4 A, defrequencia de 50 c/seg.Calcule a defasag~n elltre a corrente e a tensão.
8) Numcí.rcuí.t.o sem indutância, de resistência250..n. , faz-se passar urra CA de 50 c/seg. Afem disponível às extremidades do circuito J de120 V. P8Iem-se:
a) a intensidade da corrente antes e após a in-troducão no circuito de um condensador de20 p.-f •
b) O,valor do ângulo de defasagem no Últ:lln.oca.so.
9) Dispõe-se de uma bobina de resistência ôh.'llica0,05 Jl e de coeficiente'de aut.o-dnduçâo 0,006hellry. 1~bobâna é alimentada por uma cor.•...céntealternada de valor 8 A ede 40 c/sego . Calcular:
a) a queda de tensão na bobinab) a queda de tensão na bobina quando esta é pe.,t
corrida por uma CGde mesma intensidade
10) Um"cí.r-cuât;o não indutivo tem uma resistência de300Jl •
a} C8.1cu1a1'a intensidade da corrente que o per-corre se é conectado a uma fonte de 120 V.Intercala-se em seguida no circuito um capac~tal' de 2fLF. A frequência sendo 50 c/seg,calcular:
b) a nova corrente
c) a de:fasagem
11) Umabobina é ligada a Th~a Ionte de CAde 40
-79-
C/S. Oonstat.a-.ae que I ::: 12 A, U = 150 V eP :::1125 'W'8:ttS. Calcular:
a) a resistência ôhrrácada bobina.b) a impedância da bobinac) .(),coeficiente de auto-induçãod)atensãode auto~indução
12) Umalâmpadade arco, trabaThacom 10 A e umatellsão de 30 V nosbornes. Para poder ligar a lâm-pada a umafonte de 100 V e 50 c/seg, deve-se ligar em série comela na bobina de 0,2st de resi~tência interna. Calcular:
a) a fem de self da bobin~b) seu coeficiente de autp-induçãóc) a tensão nos bornes da bobinad) a potência absorvida pela bobina
13) Umcircuito possui associados emsérie umabobi-'nade 5...0. e 0,45 H e um capacãt.cr- de' 20 fL F •Hantém"'senos bornes do circuito umaddn eficazde 110 V, é 50 clseg"CalcuJ.ar: . ~
a) a corrert eb) as tensões nos bornesda bobina e do capaci-
tar.c) a frequência que produziria ressonância no
circuito.
14) Uma corl'~nt ealt ernada<de 25 c/seg alimenta umabobina de resistência igUala O,4JL " A dife-rença de potencial aplicada sendo 220 V e a cor-rEm!;e 12 A, pedem-se:
a) a defasagemb) o coeficiente de auto-indu~ão da bobina, se
umwattmetro acusa umapotencia de 1800 vat.ts ,
15) U~a corrente alternada de 40 c/seg alimenta. sob
-80-
umadiferença de potencial de 110 voLt.alW'1 bo-bina de L = 0,08 H e resistência i~Jal a 1511 o
Calcular:
a) a corrent eb) a rem de auto-L~dução e a defasagemc) a potência real fornecida a bobina e a potê.u
cia aparente
"'Á. 16) Umcapacitorproduz a ressonância no circuitocujo coeficiente de "self-induction" é 0,5 H ea resistência 10.n.. , quando a f'em eficaz apli-cada é 120 volts e a frequência 50 c/sego Cal-cular:
a) a capacidade emp.,F do capacãt.or ,b) a intensidade da corrente.c) a tensão nos bornes do capacitar
17) No circuito abatxo , qua.L a tensão que deve seraplicada entre A e B para que o condensador se-ja percorrido pela corrente de 10 A.
AS.Jl. 0,0'''' H I--"V __ -'l~""*-****-*
1 Considere o circuito indicado na f'Lgura, Dentrod . d i.s't i .,A. inda caL~a po e eXlS-lr una resls~encla, una ~tA • 't ,. - ri ,.anc a.a , um capaca or ou uma COI!lDlL"1açaO •.•.e a01S
. d + .•. • ..• , •quaa.squer esues e.íenerrcos ; I:1SS0Cll).Q.OO emserae ,Aplicando-se aos tel~liriais a e b do circU±to nogerador de CCde 100 V, o ~perl~etro indica20 A ~ Se entre-tanto o gorador fôr de CAcom ame~~~ ddp e a !requência 100 ciclos/seg., nota-se que o circ~o. está 1T emressonâ.>1ciae
• d' -, "., Ll, A D tque a an lca.çao ao ersper-imet ro e 1. • • e er-minar as características dos elementos contidos. .," ., '-'-na calXa e a capac~~8nclu ao capaci~or 6Ãverno.
(ver deaen ...ho na página seguinte).
..$1-
.OJl.
a.2 - Dado o circuito indicado no esquema, pedem-se:
a) a fem de umgerador deCC com0,5Jl de resis_tênciainterna, capaz de manter enl;,re .ã e12umaddp de 100 volts.. Sabe-se que nesta co11diçã.o a resistência li poderá aquecer em10minutos 1 litro deagua entre 28QC e 100ºC.
s) O valor eficaz da tensão que aplicada entreA e B seja capaz de dar lugar ao mesmoefei-to Joule na resistência li, quando o geradorpassa a ser de CAcoma frequência de 50Hertz ••
c)Umdiagram.a eequemátdco , cotado das tensõesdo circuito de CA. c
L.A_---I"jrnrn---.a. Lb4--~.r Jn'lr~_ B
R
G
-S2- .
L = 0,1 Henryrr
C = ~OºfLF11
r 50 . 1 I= ca,c 08/ aeg
3) No cí.rcurto indicado na figura, a indutância é0,064;.:I1enry e a capacitância 3JJ3,5J..lF • O cir-d1P.tOéCsubI'1etido a umaddp de 100 volts e 50c/seg~ Nestas condições pede-ae determinar osvalores instantâneos dae correntes que atraves-s&~respectivmnente a indutância e a capacitân-c.La, no momento emque o valor instantâneo dacorrente total do 'circuito é igual ao seu valoreficaz. Pede-se ainda indicar no diagrama docircuito, o sentido destas correntes, supondoque a corrente total do circuito atravesse o ge-radorde A para B. . .
11
A B
-83-
CO~~TE A~f~ATIVA Formulário nQ 2-].
1- Conven~ões
máxima - Umaxefieaz - Umédia - Umed.:L""lstant.- u
cor-rerf e
máxima -Imax
eficaz -- I
médja - Imedinstant.- i
tensão
R = -resistência; L = indutâricia; C = capa-,citância
XL = L "til - reatância indutiva
= -1-- reatância capacitivaC \'1
Z = impedância
y = -1- = admitâneia;Z
G = -1- = eondutâDcia;R
B = -1.. suscetâneiaX
, VI = 2 Tr ! = pulsação
! = !requência .
P· TI I "tO t #. • 00"= ... cos"\ = po enela m .la
"f = ângulo de defasagem (a origem de f é-sempre U )
cos" = fatcr de potência
2 - Valores Instgntâneos -u = li sen v tmax
i = lmax sen 'W t
'---
/
3 - Extensão da Lei deOhm
I =..1Lz
4 ~ Circuito em.-- s-érie
Z 4R2+ (XC -XL)2
tg1f= Xc -XLR
t
G:SSJ" .;. - ... - _.
, .,'. . I ..... '..
• R··. XL ••..• ~c. .
a origem do ângulo 1('é sempre o vetor Uy > O - circuito capacitivo
\'< O - circuito indutivo
Quandoo circuito nãotiver R, L, ou C, fa-zer respectivamente:
R = O, XL = Oou XC=O
Ua = I R
UL = I XLUc = I Xc I
..$5-
5 - Oircuitos ~mPar~lelo
...L =' ICl-)2 + ( ~. _ 1 )4'.Z 'VR X TC Ltgy= R ( ..J.... -- ...lJ
Xc XL
-. ..
a origem do ângulo.·1(' {~ .-.Zõ .
sempre ovetor U I----...,wvv~-...,.......,___,R
circuitocapacitivo
Y< O - circuitoindutivo
Quandoo circuito nãotiver R, L, ou G fazer,respectivamente;
L....---.u
6 ~Ressol1~g,:ia
A condição geral de Ressonância é •.1f" = O
Nos circuitos simples, indicados em (4) e (5) ,
isto se obtém quando:
L eU) 2 : 1
Nos circuitos Série (Ressonância - lmax : i.' .. "R
.'(seR =O .. I..·· :=. 00)' Ó, -a- .' .. ' •. JnaX'
.:Nos circuitos Paralelo' (a.nti~~éssonânci8.)
I. =.JLIDJ.n R
(seR: CX) ; I • '. = O )IDJ.n
7 - Q.oID:gQ~i~ãode Vetpres
a2 ;::: A2:1-
..•~ ..
A
tg e =J. senI~A.+B60s l
I sen (90 +0<) :::;:0060(I cos. (90 + o{) .=- seno("
-.-.-.-.-.-II ., mODO SD1Bc1LI.QQ
1 - Convem§~es". ? .
j - operador (j- :=: - 1; -1.....;::: -j )j
-Z7-
•Z • ed'" lmb '1'- 1I1lP' aneaa SJ.l!l o a.ea•y - admitância s:L"'1lbólica
G, g - eondutância ( ~ )R
B~ b = ~ suseetâneia (Dnos eirc. capaci-.x. tivos e'
Gnos circulos indy.···tivos
2 ••.Circuitos elementaresR L
~~• • •
Z = -j.x c..y=...L =+B j
X c. c
Z=R•
Z = + j XL•Y = - ...L =-BLj. XL'
Y =G= .J..-R
.3··..;. Circuito 'em S~rie
Z = R + jXL - JX. = R +J (XL-Xc), .' c
• RY =G +j ( Bc - BL ) .----"VVV1VV'--..,
'-.0, _" '. -.'- -.>;.,"- -.
L
c
'..... ~.
5 ...;Potência
',' ti = 111+,j tLZ.
I == I1+ j,,~z
P =U1 11+ U2 lZ
..$8-
o
Os sinais dos produt-os ~'ãodados .eonsãde.,randomes;ist enteoopeI"ádorj •
6,-Operª&õesa) 1
a + bj= a.-·hj
2 ,2a +be .
b)A = a + bj
- -.-.-.- .....•~.-, 'RESPOSTAS
GorrerIteAlt ernad,ª'
1 - 135,4 volts
2 - I = 0,4125 A
:3 -G =6p..F
4 - I = 4,04A
'tgl{'= ..lLa
-<t9- .
5) L = 0,0235 H6) a) Z1 ,11-2..fL b ) 16.\1452V c) 0,729
.7) u = 47,2 V; 1{'= - 322 7t (indutivo)8) a) antes: 0,48 A; depois: 0,403 A
b) 1('= + 32' 301 (capacitivo)9) a) 12,3 V b) 0,4 V10) a) 0,40 A· b) 0,74 A c) "l{' = + 792 40' (capg
citivo)11) a) 7/3..fJ.. b) 12,5 .n, c) L = 0,039 H d) 117V
12) a) 90,6V b) 0,0289 H c)"91,3V d) 120 watts13) a) 5,9 A b) 836~6V e 94V c) 53 c/seg14) a) "'f= - 472 (dndut ãvo) b) 0,0027 H
15) a) 4,4A b) 88V e -532 7' c) 290,4 watts e$4 VA
16) a) 20pF b) 12 A
17) 288V
c) 1884V