LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONESJUAN ALBERTO OJEDA SIRA.

V-16.544.211

DEFINICIÓN :

• Las leyes de algebra de preposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad incondicional. • También se puede definir como una prueba y demostración

de los argumentos que nos permite asegurar o afirmar la verdad de una preposición usando otras proposiciones ya demostradas o mediante axiomas.

IMPORTANCIA DE LAS LEYES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA

• Es importante comprender las leyes básicas es la primera piedra para conseguir una buena comprensión de cómo utilizar el álgebra. Muchos estudiantes cometen el error de simplemente aprender cómo resolver problemas algebraicos sin ningún pensamiento acerca de cómo las reglas algebraicas y las leyes se derivan. Los estudiantes que toman el tiempo para estudiar estas leyes, reglas y teoremas se derivan se aplican mejor al entender los usos prácticos de álgebra.

LEY CONMUTATIVA DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN• La primera ley del álgebra es la ley conmutativa de la suma y la multiplicación. Esto indica

que la suma o el producto de dos números es el mismo, independientemente de cómo esos dos números se disponen. La notación de la ley conmutativa se representa como sigue:

• x + y = y + x• y• xy = yx.• Sustituyendo los números demuestras que esta ley es la verdad.• 2 + 6 = 6 + 2 = 8 y 3 x 5 = 5 x 3 = 15.• Para ilustrar mejor esta ley, observa que no funciona con la resta o la división.

LEY ASOCIATIVA DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN• La segunda ley fundamental del álgebra es la ley asociativa de la suma y la multiplicación. Esta ley

establece que la suma o producto de tres o más números es el mismo, independientemente de cómo se organizan. Por lo tanto:

• x + (y + z) = (x + y) + z• y• x (yz) = (xy) z.• Una vez más en la sustitución de números para las variables, se puede ver que la ley es verdadera:• 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 = 10• y• 2 x (3 x 5) = (2 x 3) x 5 = 30.

LEY DISTRIBUTIVA

• La tercera ley fundamental del álgebra es la ley distributiva. Esta ley establece que el producto de un número dado que se multiplica por la suma de varios números es idéntica a la multiplicación de ese mismo número por cada uno de los números individuales y luego añade los productos. La notación de la ley distributiva es la siguiente:

• x (y + z) = xy + yz.

• Sustituyendo los números demuestras una vez más la aplicación de esta ley:

• 3 (4 + 6) = (3 x 4) + (3 x 6) = 30.• P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)• P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)

LEYES IDEMPOTENTES

• Es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realiza una sola vez.• Ejemplo :

• a) p ^ p = p• b) p v p = p

LEYES DE COMPLEMENTACIÓN

• Ley de la doble negación :• La negación de una proposición es verdadera cuando dicha

proposición es falsa y viceversa.• Ejemplo :

• ¬(¬P)⇔P• ¬F⇔V• ¬V⇔F

LEYES DE MORGAN• En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de Morgan son reglas de transformación que

son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

• La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.• La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.• o informalmente como:• "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"• y también,• "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"• Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta

forma:• Ejemplo :

• ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q• ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q