lei de benford aplicada a contabilidade

Universidade do Minho Escola de Economia e Gesto

Helder Gil Dias Teixeira de Sousa A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema

Tese de Mestrado Mestrado em Contabilidade e Auditoria Trabalho efectuado sob a orientao do Professor Doutor Armandino Rocha Professor Doutor Pedro Oliveira

Maro de 2008

Mestrado em Contabilidade e Auditoria

Alegoria fundao da Casa da Moeda de Lisboa por D. Joo I Fresco de Henrique Franco, 1940 Museu Numismtico da Casa da Moeda, Lisboa

Fonte: http://www.arquipelagos.pt.

A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


Pergunta: Qual a verdadeira regra para achar o devedor, e credor em toda a qualidade de transaco? Resposta: A que se segue: Tudo o que entra em meu poder, ou direco, sempre devedor, ou deve. Tudo o que sai para fora do meu poder, ou direco, sempre credor ou h de haver. Observando-se bem esta regra impossvel o falir. De La Porte (1794) citado por Carqueja (2006)



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AgradecimentosA meus pais e irmo, aos professores, amigos e famlia, pelas oportunidades de aprendizagem em sociedade que proporcionaram. Paula, minha Esposa, confidente, amiga e companheira, algum com quem pude sempre contar, e que sempre me acompanhou e deu fora para seguir em frente. Aos meus filhos que me do alegria todos os dias e fazem esquecer o cansao extenuante do trabalho de todos os dias. Ao Professor Armandino Rocha, pela orientao, e, em especial, pelo despertar e motivao que comunicou num sempre equilbrio dinmico entre o pensar (teoria) e o fazer (prtica), iluminando o meu caminho ao mesmo tempo que deixava espao para a criao do meu prprio caminho. Ao Professor Pedro Oliveira, pela co-orientao e pelas ricas reflexes sobre a contabilidade numa perspectiva que desconhecia, sempre num processo de evoluo e colaborao entre reas distintas do saber humano. Um obrigado pelas oportunidades que abriu. Aos colegas do Mestrado que, em grupo, discutiram e investigaram, para complementar o conhecimento que cada um detinha, realando os pontos fortes, e atenuando as fraquezas. Um agradecimento especial para Jorge Machado e Lus Pires Pereira.



ResumoEste estudo tem por objectivo a reproduo da Matriz Sistema, aplicada a dados de Pequenas e Mdias Empresas, com a correspondente validao desses mesmos dados. A base terica rene duas fontes, a Contabilidade Matricial e a Lei de Benford. Os dados utilizados so de dois grupos distintos de Pequenas e Mdias Empresas. O primeiro, relativo aplicao da Contabilidade Matricial, centra-se em pequenas empresas, principalmente ligadas ao sector dos servios. O segundo grupo, usado para validar os dados atravs da aplicao da Lei de Benford, composto por empresas de mdia dimenso. Os resultados obtidos mostram que a Contabilidade Matricial pode ser aplicada aos registos de Pequenas e Mdias Empresas e que a informao disponibilizada permite a elaborao dos mais variados documentos. Acresce ainda que os resultados apontam para a existncia de caractersticas particulares da contabilidade, associados com os prprios procedimentos contabilsticos de registo, que condicionam a validao da informao atravs da Lei de Benford. Palavras Chave: Contabilidade Matricial, Lei de Benford, Matriz Sistema.



AbstractThe objective of this study is the reproduction of the System Matrix, applied to Small and Medium Enterprises, with the corresponding data validation. The theoretical framework is based on Matrix Accounting and on Benfords Law. The data are from two groups of Small and Medium Enterprises. The first group, which deals with the application of Matrix Accounting is mostly composed of small businesses of the service sector. The second group, incorporating mostly medium enterprises, is used to validate the data through the application of Benfords Law. The results show that Matrix Accounting can be applied to data from Small and Medium Enterprises and, furthermore, that the available information allows the preparation of the most varied documents. Moreover, the results demonstrate the existence of particular accounting characteristics, associated to accounting registration, that conditioned the validation through Benfords Law. Key Words: Matrix Accounting, Benfords Law, System Matrix



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ndiceNDICE DE FRMULAS NDICE DE ILUSTRAES NDICE DE TABELAS NDICE DE GRFICOS NDICE DE FIGURAS ABREVIATURAS 1- INTRODUO1.1- Contextualizao 1.2- O Problema de pesquisa 1.3- Pergunta de Pesquisa 1.4- Objectivo Geral 1.5- Objectivos Especficos 1.6- Justificao e Relevncia da pesquisa 1.7- Estrutura da Tese

iii iv vii x xi xii 11 4 5 5 6 6 7

2- CONTABILIDADE MATRICIAL2.1- Contributos e teoria 2.2- Definio e Propriedades das Matrizes 2.2.1- Definies elementares de lgebra matricial 2.2.2- Propriedades das matrizes contabilsticas

911 17 17 23

3- LEI DE BENFORD3.1- Contributos e teoria 3.2- Testes de Qualidade de Ajuste 3.2.1 Teste do Qui-Quadrado 3.2.2 Teste de Kolmogorov-Smirnoff

2526 33 34 36

4- METODOLOGIA UTILIZADA4.1- Fundamentao da Metodologia utilizada

3939


Mestrado em Contabilidade e Auditoria 4.2- Procedimentos metodolgicos

ii48

5- APLICAO INFORMTICA E RESULTADOS OBTIDOS5.1- Dados Utilizados 5.1.1- Contabilidade Matricial 5.1.2- Lei de Benford 5.2- Aplicao Informtica na Contabilidade Matricial 5.3- Aplicao Informtica para a Lei de Benford 5.4- Resultados Obtidos 5.4.1- Contabilidade Matricial 5.4.2- Lei de Benford

5962 63 64 70 86 92 93 100

6- CONCLUSES E PROPOSTAS PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 1446.1- Concluses 6.2- Propostas para desenvolvimentos futuros 144 147

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ANEXOSAnexo I: Dirio Clssico Anexo II: Icons utilizados na Aplicao Informtica Anexo III: Declarao de Autorizao de utilizao de documentos Anexo IV: Art. 9 da 4 Directiva da CEE

149 155 157158 160 162 163

APNDICESApndice I: Anexo ao Balano e Demonstrao de Resultados Apndice II: Relatrio de Gesto Apndice III: Relatrio Tcnico Apndice IV: Representao grfica e numrica dos fluxos Apndice V: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo Apndice VI: Exemplo de Documento de Arquivo Digital em formato Acrobat

168169 177 181 187 210 235



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ndice de FrmulasFrmula 1: Frmula de Kemeny.............................................................................................................15 Frmula 2: Lei de Benford ......................................................................................................................26 Frmula 3: Lei do segundo dgito ...........................................................................................................29 Frmula 4: Lei Geral ...............................................................................................................................29 Frmula 5: Teste do Qui-Quadrado Frequncia Observada.............................................................35 Frmula 6: Teste do Qui-Quadrado - Frequncias Esperadas.............................................................35 Frmula 7: Teste do Qui-Quadrado - Frequncia Esperada................................................................35 Frmula 8: Teste do Qui-Quadrado - Estatstica Teste ........................................................................35 Frmula 9: Kolmogorov-Smirnoff - Estatstica Teste ...........................................................................37 Frmula 10: Estatstica Z ........................................................................................................................86 Frmula 11: Teste do Qui-Quadrado .....................................................................................................87 Frmula 12: Teste de Kolmogorov-Smirnoff .........................................................................................88 Frmula 13: Desvio Absoluto Mdio ......................................................................................................90 Frmula 14: Factor de Frequncia .........................................................................................................90 Frmula 15: Modelo da representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo relao entre reas e valores do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo ......................211



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ndice de IlustraesIlustrao 1: Fluxograma da Metodologia utilizada .............................................................................58 Ilustrao 2: Aplicao Informtica .......................................................................................................60 Ilustrao 3: Aplicao Informtica Anlise Matricial......................................................................61 Ilustrao 4: Aplicao Informtica Lei de Benford ..........................................................................61 Ilustrao 5: Ilustrao Inicial (II) do painel de controlo da Aplicao Informtica (AI).................71 Ilustrao 6: Menu do boto direito do rato ..........................................................................................72 Ilustrao 7: Formao do Descritivo do Dirio....................................................................................73 Ilustrao 8: Dirio ..................................................................................................................................74 Ilustrao 9: Cdigo de Barras para Documentos do Dirio................................................................75 Ilustrao 10: Cdigo de Barras para documentos contabilsticos ......................................................75 Ilustrao 11: Modo Operacional (Lanamento) no Dirio para o Lanamento 101 do Dirio de Caixa ................................................................................................................................................76 Ilustrao 12: Dirio Matricial do lanamento 1 do Dirio..................................................................77 Ilustrao 13: Dirio Matricial do lanamento 2 do Dirio..................................................................77 Ilustrao 14: Dirio Clssico dos lanamento 1 e 2 e parte do lanamento 3 ....................................78 Ilustrao 15: Dirio Clssico Pesquisa do lanamento 101 ..............................................................78 Ilustrao 16: Leitor de Cdigo de Barras .............................................................................................79 Ilustrao 17: Balancete (visualizao parcial)......................................................................................80 Ilustrao 18: Balancete Geral (visualizao parcial) ...........................................................................81 Ilustrao 19: Apuramento de Resultados .............................................................................................82 Ilustrao 20: Matriz Particionada e Opes de Configurao............................................................83 Ilustrao 21: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 24 Estado e Outros Entes Pblicos............................................................................................................................................84 Ilustrao 22: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 26 Outros Devedores e Credores ........................................................................................................85 Ilustrao 23: Razo Clssico da Conta 2622 Remuneraes a pagar ao pessoal ..............................86 Ilustrao 24: Lei de Benford Opes de Configurao.....................................................................91 Ilustrao 25: Lei de Benford Quadros de valores .............................................................................92 Ilustrao 26: Lei de Benford Grficos ...............................................................................................92 Ilustrao 27: Balancete Final a 31.12.2005 ...........................................................................................93 Ilustrao 28: Matriz Sistema: Final (Acumulado) a 31.12.2005 .........................................................94 Ilustrao 29: Balano Activo a 31.12.2005.........................................................................................95 Ilustrao 30: Balano Capital Prprio e Passivo a 31.12.2005.........................................................96 Ilustrao 31: Balano Sinttico a 31.12.2005 ........................................................................................97 Ilustrao 32: Demonstrao de Resultados (por Natureza) a 31.12.2005 ..........................................98 Ilustrao 33: Demonstrao de Resultados (por Funes) a 31.12.2005 ............................................99 Ilustrao 34: Acta de aprovao de contas do exerccio de 2005 ........................................................99 Ilustrao 35: Declarao de Autorizao de utilizao de documentos ...........................................162 Ilustrao 36: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 11 Caixa ..............................187 Ilustrao 37: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 12 Depsitos ordem .........188 Ilustrao 38: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 24 Estado e outros entes pblicos ..........................................................................................................................................189 Ilustrao 39: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 26 Outros devedores e credores..........................................................................................................................................190 Ilustrao 40: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 27 Acrscimos e diferimentos ........................................................................................................................................................191 Ilustrao 41: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 42 Imobilizaes corpreas192 Ilustrao 42: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 43 Imobilizaes incorpreas ........................................................................................................................................................193 Ilustrao 43: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 48 Amortizaes acumuladas ........................................................................................................................................................194 Ilustrao 44: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 51 Capital............................195 Ilustrao 45: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 62 Fornecimentos e servios externos..........................................................................................................................................196 Ilustrao 46: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 64 Custos com o pessoal.....197


Mestrado em Contabilidade e Auditoria Ilustrao 47: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 65 Outros custos e perdas operacionais...................................................................................................................................198 Ilustrao 48: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 66 Amortizaes e ajustamentos do exerccio.............................................................................................................199 Ilustrao 49: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 72 Prestaes de servios ...200 Ilustrao 50: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 73 Proveitos suplementares201 Ilustrao 51: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 78 Proveitos e ganhos financeiros .....................................................................................................................................202 Ilustrao 52: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 79 Proveitos e ganhos extraordinrios..............................................................................................................................203 Ilustrao 53: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 81 Resultados operacionais204 Ilustrao 54: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 82 Resultados financeiros ..205 Ilustrao 55: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 83 (Resultados correntes) ..206 Ilustrao 56: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 84 Resultados extraordinrios ........................................................................................................................................................207 Ilustrao 57: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 85 (Resultados antes de impostos)........................................................................................................................................208 Ilustrao 58: Representao grfica e numrica dos fluxos da conta 88 Resultado lquido do exerccio .........................................................................................................................................209 Ilustrao 59: Modelo da representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo.210 Ilustrao 60: Modelo da representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo reas ..............................................................................................................................................211 Ilustrao 61: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 11 Caixa ..............................................................................................................................................212 Ilustrao 62: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 12 Depsitos ordem .........................................................................................................................213 Ilustrao 63: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 24 Estado e outros entes pblicos .....................................................................................................214 Ilustrao 64: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 26 Outros devedores e credores ........................................................................................................215 Ilustrao 65: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 27 Acrscimos e diferimentos............................................................................................................216 Ilustrao 66: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 42 Imobilizaes corpreas ...............................................................................................................217 Ilustrao 67: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 43 Imobilizaes incorpreas ............................................................................................................218 Ilustrao 68: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 48 Amortizaes acumuladas............................................................................................................219 Ilustrao 69: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 51 Capital............................................................................................................................................220 Ilustrao 70: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 62 Fornecimentos e servios externos...............................................................................................221 Ilustrao 71: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 64 Custos com o pessoal.....................................................................................................................222 Ilustrao 72: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 65 Outros custos e perdas operacionais ...........................................................................................223 Ilustrao 73: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 66 Amortizaes e ajustamentos do exerccio..................................................................................224 Ilustrao 74: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 72 Prestaes de servios ...................................................................................................................225 Ilustrao 75: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 73 Proveitos suplementares...............................................................................................................226 Ilustrao 76: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 78 Proveitos e ganhos financeiros .....................................................................................................227 Ilustrao 77: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 79 Proveitos e ganhos extraordinrios .............................................................................................228 Ilustrao 78: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 81 Resultados operacionais ...............................................................................................................229 Ilustrao 79: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 82 Resultados financeiros ..................................................................................................................230

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Ilustrao 80: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 83 (Resultados correntes) ..................................................................................................................231 Ilustrao 81: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 84 Resultados extraordinrios ..........................................................................................................232 Ilustrao 82: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 85 (Resultados antes de impostos) ....................................................................................................233 Ilustrao 83: Representao grfica do Movimento Deve, Movimento Haver e Saldo da conta 88 Resultado lquido do exerccio .....................................................................................................234 Ilustrao 84: Arquivo Digital Lanamento 101 do Dirio de Caixa, Pgina 1 .............................235 Ilustrao 85: Arquivo Digital Lanamento 101 do Dirio de Caixa, Pgina 2 .............................236 Ilustrao 86: Arquivo Digital Lanamento 101 do Dirio de Caixa, Pgina 3 .............................237



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ndice de TabelasTabela 1: Nmero de empresas e Funcionrios ao Servio (2000-03)....................................................3 Tabela 2: Tabela de Probabilidades 1 dgito......................................................................................27 Tabela 3: Exemplos de Distribuies do 1 Dgito .................................................................................29 Tabela 4: Posio do dgito no nmero...................................................................................................29 Tabela 5: Estudos com nmeros aleatrios e a Lei de Benford ............................................................32 Tabela 6: Arquivo Digital Comparao da utilizao de ficheiros de formato HTML e PDF .......45 Tabela 7: Caracterizao dos Registos na Contabilidade Matricial ....................................................63 Tabela 8: Caracterizao dos Registos na Contabilidade Matricial por Ms .....................................63 Tabela 9: Caracterizao dos Registos ...................................................................................................65 Tabela 10: Frequncia de registos por Estrato ......................................................................................65 Tabela 11: Estatsticas Descritivas (Registo 1).......................................................................................65 Tabela 12: Estatsticas Descritivas (Registo 2).......................................................................................68 Tabela 13: Valores da Estatstica Z por Nvel de Significncia ........................................................87 Tabela 14: Valores do Teste do Qui-Quadrado por Nvel de Significncia e Graus de Liberdade87 Tabela 15:Valores do Teste de Kolmogorov-Smirnoff por Nvel de Significncia ) e Nmero de Observaes.....................................................................................................................................88 Tabela 16: Valores crticos do MAD (em unidades)..............................................................................90 Tabela 17: Resultados do Teste ao 1 Dgito (Registo 1) .....................................................................101 Tabela 18: Resultados do Teste ao 2 Dgito (Registo 1) .....................................................................102 Tabela 19: Registos Utilizados para o Teste aos # primeiros dgitos (Registo 1) ..............................102 Tabela 20: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para o 1 Dgito para um nvel de confiana de 90% (Registo 1).......................................................................................................104 Tabela 21: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito..105 Tabela 22: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas com menos de 100 observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito .....................................................................................................106 Tabela 23: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito 106 Tabela 24: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas com menos de 100 observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito .....................................................................................................106 Tabela 25: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito ........................................................................................................................................................107 Tabela 26: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas com menos de 100 observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito .....................................................................................................107 Tabela 27: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................107 Tabela 28: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................108 Tabela 29: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................108 Tabela 30: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para os dois primeiros Dgitos para um nvel de confiana de 90% (Registo 1) .........................................................................108 Tabela 31: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................110 Tabela 32: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................110 Tabela 33: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................110 Tabela 34: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................111 Tabela 35: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................111 Tabela 36: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................111 Tabela 37: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para os trs primeiros Dgitos para um nvel de confiana de 90% (Registo 1) .........................................................................111 Tabela 38: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................113 A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Tabela 39: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................113 Tabela 40: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................113 Tabela 41: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................114 Tabela 42: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................114 Tabela 43: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 1) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................114 Tabela 44: Resultados do Teste ao 1 Dgito (Registo 2) .....................................................................121 Tabela 45: Resultados do Teste ao 2 Dgito (Registo 2) .....................................................................121 Tabela 46: Registos Utilizados para o Teste aos # primeiros dgitos (Registo 2) ..............................122 Tabela 47: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para o 1 Dgito para um nvel de confiana de 90% (Registo 2).......................................................................................................123 Tabela 48: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito..124 Tabela 49: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................124 Tabela 50: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito 125 Tabela 51: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................125 Tabela 52: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito ........................................................................................................................................................125 Tabela 53: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito..............................................................................................................................................126 Tabela 54: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para os dois primeiros Dgitos para um nvel de confiana de 90% (Registo 2) .........................................................................126 Tabela 55: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................127 Tabela 56: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................127 Tabela 57: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos...........................................................................................................................128 Tabela 58: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................128 Tabela 59: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................128 Tabela 60: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os dois primeiros Dgitos ...................................................................................................................129 Tabela 61: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para os trs primeiros Dgitos para um nvel de confiana de 90% (Registo 2) .........................................................................129 Tabela 62: Tabela de Concordncia Geral em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................130 Tabela 63: Tabela de Concordncia Geral em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................130 Tabela 64: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................131 Tabela 65: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................131 Tabela 66: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de contas (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos...........................................................................................................................131 Tabela 67: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de observaes (Registo 2) - Teste para os trs primeiros Dgitos ...................................................................................................................132 Tabela 68: Contas que no verificam a Lei de Benford por Registo #...............................................139 Tabela 69: NFF por Contas que no verificam a Lei de Benford e por Registo # ............................139 Tabela 70: MAD (em percentagem) por Contas que no verificam a Lei de Benford e por Registo # ........................................................................................................................................................140 Tabela 71: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para o 1 Dgito, por meses, para um nvel de confiana de 90% (Registo 1) ..................................................................................140 Tabela 72: Tabela de Concordncia Geral em nmero de meses (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito ..141



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Tabela 73: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de meses (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito.141 Tabela 74: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de meses (Registo 1) - Teste ao 1 Dgito142 Tabela 75: Resultados por Teste de verificao da Lei de Benford para o 1 Dgito, por meses, para um nvel de confiana de 90% (Registo 2) ..................................................................................142 Tabela 76: Tabela de Concordncia Geral em nmero de meses (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito ..143 Tabela 77: Tabela de Concordncia Dbito em nmero de meses (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito.143 Tabela 78: Tabela de Concordncia Crdito em nmero de meses (Registo 2) - Teste ao 1 Dgito143



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ndice de GrficosGrfico 1: Tecido empresarial portugus em funo do volume de negcios .......................................2 Grfico 2: Nmero Mdio de Funcionrios ao Servio ...........................................................................2 Grfico 3: Lei de Benford ........................................................................................................................27 Grfico 4: Distribuio do 1 Dgito........................................................................................................28 Grfico 5: Caracterizao dos Registos na Contabilidade Matricial por Ms....................................64 Grfico 6: Histograma do Estrato 1 (Registo 1).....................................................................................66 Grfico 7: Histograma do Estrato 2 (Registo 1).....................................................................................66 Grfico 8: Histograma do Estrato 3 (Registo 1).....................................................................................67 Grfico 9: Histograma do Estrato 4 (Registo 1).....................................................................................67 Grfico 10: Histograma do Estrato 1 (Registo 2)...................................................................................68 Grfico 11: Histograma do Estrato 2 (Registo 2)...................................................................................69 Grfico 12: Histograma do Estrato 3 (Registo 2)...................................................................................69 Grfico 13: Histograma do Estrato 4 (Registo 2)...................................................................................70 Grfico 14: Diferena entre Frequncia Relativa Esperada e a Frequncia Relativa Observada (Registo 1) para o 1 dgito, dois primeiros dgitos e trs primeiros dgitos.............................115 Grfico 15: Resultados do Teste ao 1 Dgito (Registo 1) ....................................................................116 Grfico 16: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 1).................................................116 Grfico 17: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 1) - Frequncia Relativa Esperada ........................................................................................................................................................117 Grfico 18: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 1) - Frequncia Relativa Observada......................................................................................................................................117 Grfico 19: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 1) - Diferena entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...............................................................118 Grfico 20: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 1) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................118 Grfico 21: Resultados do Teste ao 2 Dgito (Registo 1) ....................................................................119 Grfico 22: Resultados do Teste aos 3 primeiros Dgitos (Registo 1) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................119 Grfico 23: Resultados do Teste aos 4 primeiros Dgitos (Registo 1) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................120 Grfico 24: Resultados do Teste aos 5 primeiros Dgitos (Registo 1) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................120 Grfico 25: Diferena entre Frequncia Relativa Esperada e a Frequncia Relativa Observada (Registo 1) para o 1 dgito, dois primeiros dgitos e trs primeiros dgitos.............................132 Grfico 26: Resultados do Teste ao 1 Dgito (Registo 2) ....................................................................134 Grfico 27: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 2).................................................134 Grfico 28: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 2) - Frequncia Relativa Esperada ........................................................................................................................................................135 Grfico 29: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 2) - Frequncia Relativa Observada......................................................................................................................................135 Grfico 30: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 2) - Diferena entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...............................................................136 Grfico 31: Resultados do Teste aos 2 primeiros Dgitos (Registo 2) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................136 Grfico 32: Resultados do Teste ao 2 Dgito (Registo 2) ....................................................................137 Grfico 33: Resultados do Teste aos 3 primeiros Dgitos (Registo 2) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................137 Grfico 34: Resultados do Teste aos 4 primeiros Dgitos (Registo 2) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................138 Grfico 35: Resultados do Teste aos 5 primeiros Dgitos (Registo 2) - Diferena Acumulada entre Frequncia Relativa Esperada e Frequncia Relativa Observada ...........................................138



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ndice de FigurasFigura 1: Representao de Gomberg ....................................................................................................11 Figura 2: Matriz de Gomberg .................................................................................................................12 Figura 3: Matriz Sistema .........................................................................................................................13 Figura 4: Transaco ...............................................................................................................................13 Figura 5: Matriz Transaco...................................................................................................................14 Figura 6: Matriz Sistema com Movimento Dbito/ Crdito .................................................................14 Figura 7: Matriz Sistema com Saldo a Dbito/ Crdito ........................................................................15 Figura 8: Matriz Sistema com Saldo Final.............................................................................................16 Figura 9: Partio Matricial proposta por Bueno Campos em 1972 ...................................................17 Figura 10: Matriz matemtica.................................................................................................................18 Figura 11: Coluna da matriz matemtica ..............................................................................................18 Figura 12: Linha da matriz matemtica.................................................................................................18 Figura 13: Matriz matemtica representada por linhas e colunas.......................................................18 Figura 14: Representao matemtica de uma matriz condensada.....................................................21 Figura 15: Representao matemtica da partio de matrizes em blocos.........................................23 Figura 16: Representao da Metodologia Utilizada ............................................................................39 Figura 17: Proposta de seleco de dados ..............................................................................................43 Figura 18: Aces de sustentabilidade....................................................................................................44 Figura 19: Esboo do desenho da Matriz Sistema .................................................................................50 Figura 20: Rascunho da estrutura de aplicao da Lei de Benford.....................................................51 Figura 21: Dimenses na empresa ..........................................................................................................54 Figura 22: Arquivo Digital ......................................................................................................................55 Figura 23: Processo de digitalizao.......................................................................................................56 Figura 24: Passagem do Dirio para a Matriz Sistema.........................................................................77 Figura 25: Contabilidade Matricial ......................................................................................................144 Figura 26: Riscado do Dirio Riscado ...............................................................................................158 Figura 27: Dirio Clssico Riscado adoptado ...................................................................................158 Figura 28: Riscado do Razo Riscado ...............................................................................................159 Figura 29: Razo Clssico Riscado adoptado ...................................................................................159



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Abreviaturas Somatrio Desvio padro Mdia A.C. Antes de Cristo AFRE Valor acumulado da Frequncia Relativa Esperada AFRO Valor acumulado da Frequncia Relativa Observada AI Aplicao Informtica CAAT Computer Assisted Audit Techniques CMVMC Custo das Mercadorias Vendidas e Matrias Consumidas CNC Comisso de Normalizao Contabilstica D Deve (Dbito) d Dgito DGEEP Direco-Geral de Estudos, Estatstica e Planeamento E Frequncia Relativa Esperada EAN European Article Numbering ET Estatstica de Teste EUA Estados Unidos da Amrica FAE Frequncia Absoluta Esperada FAO Frequncia Absoluta Observada FRE Frequncia Relativa Esperada FRO Frequncia Relativa Observada GL Graus de Liberdade H Haver (Crdito) HP Hewlett-Packard II Ilustrao Inicial INCM Imprensa Nacional Casa da Moeda KS Kolmogorov-Smirnoff LP Linguagem de Programao MAD Desvio Absoluto Mdio n Nmero de observaesA Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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NFF Factor de Frequncia OCR Optical Character Recognition PDF Portable Document Format PME Pequenas e Mdias Empresas POC Plano Oficial de Contabilidade QQ e 2 Qui-Quadrado RAD Rapid Application development SPSS Statistical Package for the Social Sciences UPC Universal Product Code V Frequncia Relativa Observada v.g. verbi gratia



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1- Introduo

Neste captulo apresentada a pesquisa realizada. Inicia-se com a Contextualizao do Tema e a definio do Problema de pesquisa que orienta o desenvolvimento da Tese, e a Pergunta de pesquisa. Segue-se com a apresentao do Objectivo Geral e dos Objectivos Especficos, e da Justificao e Relevncia da pesquisa. Finaliza-se com a Estrutura da Tese.

1.1- Contextualizao

A globalizao e a internacionalizao das empresas exige, cada vez mais, a incorporao de novas tecnologias, conhecimento e informao actualizada nos procedimentos organizacionais, sob pena de ser comprometida a sua competitividade e viabilidade operacional. Para alm disso, e como consequncia do escndalo financeiro da ENRON, uma nova abordagem da Auditoria Financeira surgiu com o objectivo de substituir o modelo vigente considerado inadequado face s emergentes necessidades. A conjugao destes factores resultou numa maior predominncia de testes substantivos de reviso analtica e na crescente utilizao de tcnicas estatsticas incluindo as denominadas Computer Assisted Audit Techniques (CAAT), como o caso da Digital Frequency Analysis. Validar de que forma as CAAT podem contribuir para a reduo do risco de Auditoria, para o acrscimo de confiana dos agentes econmicos nos pareceres emitidos pelos auditores e para o aumento da eficcia dos procedimentos de Auditoria na evidenciao de fraudes financeiras e procedimentos de gesto irregulares, constitui, por isso, aspecto preponderante a analisar.

Segundo o estudo indicado pela Comisso de Normalizao Contabilstica (CNC) (2003) que teve por base as declaraes de IRC de 1998, 83,20% das empresas nacionais tm um volume de negcios inferior a 500.000,00 e que destas, 64,38% tmA Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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um volume de negcios inferior a 150.000,00, o que mostra a reduzida dimenso das empresas integrantes do tecido empresarial portugus.Grfico 1: Tecido empresarial portugus em funo do volume de negciosV olum e de Negcios (em euros)

249.398.948 24.940.000 4.988.000 1.496.393 498.800 0 0 40.000 80.000 120.000

N de Empresas0 %Acumulada % N Empresas 18,98% 18,98% 46.011 149.640 64,38% 45,40% 110.052 498.800 83,20% 18,82% 45.624 997.600 90,16% 6,96% 16.867 1.496.393 93,11% 2,95% 7.149 2.494.000 95,73% 2,62% 6.346 4.988.000 97,89% 2,17% 5.252 12.470.000 99,23% 1,33% 3.236 24.940.000 99,65% 0,43% 1.032 74.820.000 99,89% 0,23% 569 249.398.948 99,97% 0,08% 189 > 100,00% 0,03% 82

Fonte: Adaptado de CNC (2003)1.

De acordo com os dados disponveis na Direco-Geral de Estudos, Estatsticas e Planeamento (DGEEP) (2006), as empresas tm vindo a diminuir o nmero mdio de funcionrios ao servio. Este um outro possvel indicador da dimenso do tecido empresarial portugus, pelo que no estudo anterior, ainda que algo desactualizado (realizado com base nas declaraes de IRC de 1998), as concluses retiradas podem ser transpostas para a actualidade.Grfico 2: Nmero Mdio de Funcionrios ao Servio11,00

N Mdio de Funcionrios ao Servio

10,05 10,00

10,04 9,41

9,29

9,00

8,00 2000 2001 Anos 2002 2003

Fonte: DGEEP (2006).

Tem por base o estudo publicado pela DGCI, 10 anos de imposto sobre o rendimento, que teve como fonte as declaraes de IRC de 1998 (valores expressos em contos e convertidos para euros). A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema

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Tabela 1: Nmero de empresas e Funcionrios ao Servio (2000-03) 2000 2001 2002 2003 Empresas 268.701 284.006 299.790 306.567 Pessoas ao Servio (PS) 2.699.609 2.850.920 2.819.771 2.848.286 Fonte: Direco-Geral de Estudos, Estatstica e Planeamento DGEEP (2006).

A importncia das Pequenas e Mdias Empresas (PME) assim marcante na economia portuguesa, tornando-se ainda mais destacada a necessidade que as mesmas tm de novas solues que permitam integrar um conjunto alargado de informaes contabilsticas para a tomada de decises, assim como para componentes de obrigatoriedade fiscal e declarativa. As solues disponveis no mercado so dispendiosas, por vezes de difcil utilizao/ aprendizagem e nem sempre respondem s necessidades prementes das empresas, visto serem genricas e, na sua essncia, desenvolvidas luz das chamadas grandes empresas.

Em Portugal no existe tradio na emisso de obrigaes para o financiamento das empresas porquanto o tecido empresarial assenta predominantemente em Pequenas e Mdias Empresas, na sua maioria associadas a um tipo de gesto familiar onde as decises assumem, por vezes, um cariz subjectivo, relacionado com o perfil e postura do proprietrio perante o risco, o grau de endividamento e a existncia de maiores ou menores custos financeiros. Com a emisso de obrigaes as empresas demonstram uma opo por uma maior maturidade da dvida, pois os encargos e responsabilidades financeiras efectivam-se apenas no longo prazo, sendo que a empresa nessa circunstncia poder optar por afectar um maior fluxo financeiro ao investimento e consequente criao de valor dada a existncia de maior liquidez. Os emprstimos bancrios, os emprstimos dos scios (suprimentos), o financiamento que resulta de desfasamentos temporais entre prazos de pagamento a fornecedores e prazos de cobrana de clientes, bem como os que derivam do autofinanciamento da empresa, so as principais fontes de financiamento das PME2. Esta constatao emprica explica-se, em parte, pelo grande impacto e influncia que o Sistema Bancrio Portugus tem na economia nacional e pela existncia de variveis

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Exclumos os Fundos Comunitrios. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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scio-culturais ao nvel dos gestores e administradores que influenciam a gesto de tesouraria. O Sistema Bancrio Portugus possui uma interveno significativa na economia e no tecido empresarial nacional, tanto como elemento potenciador de variaes no crescimento econmico, por via dos investimentos que resultam dos emprstimos obtidos e da consequente formao de valor, e como elemento catalizador de bom investimento como resultante de sistemas de rating e scoring das empresas. Esta ltima constatao constitui um factor significativo que justifica a crescente preocupao dos gestores e administradores de empresas em apresentar contas e resultados que lhes possam merecer maior receptividade por parte das Instituies Bancrias na libertao de verbas para o investimento. Basta para isso pensarmos na crescente exigncia por parte das Instituies Bancrias na obteno de informao materialmente relevante e de explicaes complementares de fundamentao de um processo de proposta de crdito, no obstante a Fiscalidade continuar a ter uma interveno significativa, pelo que a informao contabilstica preparada e elaborada para a satisfao e cumprimento de bases tributrias em detrimento de outras. Como resultado desse facto, as Instituies Bancrias nacionais vem-se na necessidade de criar outros sistemas complementares, como referimos anteriormente, de avaliao de empresas, do seu risco, da necessidade e limite de crdito/ endividamento, assentes em bases contabilsticas, mas com uma subsequente anlise qualitativa. Schiantarelli e Sembenelli (1996) referem que a qualidade da empresa est normalmente associada a um bom rating em termos de crdito.

1.2- O Problema de pesquisa

As PME vem-se cada vez mais foradas a manterem uma constante anlise sobre os seus negcios, em parte resultante do ambiente que as rodeia e que, de dia para dia, se torna mais envolvente e definido a um nvel global. Os agentes econmicos solicitam garantias de que os recursos das empresas so administrados de uma forma eficaz e eficiente, garantias estas dadas, em parte, pela anlise das Demonstraes Financeiras. Um caso especfico o caso dos Bancos que,A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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para efeitos de concesso de crdito, solicitam com grande frequncia a entrega de Balancetes, Balano e Demonstrao de Resultados, ou outras peas contabilsticas que os ajudam na anlise do risco associado empresa e ao negcio em questo, assim como outras informaes de nvel mais qualitativo. O problema em causa reside na ausncia de Aplicaes Informticas, desenvolvidas para PME, que reproduzam um Mapa que possibilite a agregao de informao contabilstica e ao mesmo tempo realize uma auditoria a essa mesma informao, em paralelo com uma proposta de anlise da situao da empresa. Com este tipo de Aplicao Informtica, no s os intervenientes no processo de elaborao de Demonstraes Financeiras, como os Tcnicos Oficiais de Contas e os Revisores Oficiais de Contas, tero uma maior garantia da fiabilidade das mesmas, como a prpria empresa deter um recurso que poder a todo o momento utilizar para analisar a sua situao em tempo oportuno para tomada de decises, e os agentes econmicos tero uma possibilidade de garantir um menor risco associado anlise das contas da empresa em causa.

1.3- Pergunta de Pesquisa

A partir da contextualizao apresentada e face ao problema levantado, apresentamos a seguinte pergunta de pesquisa: Como utilizar a Matriz Sistema e a Lei de Benford na tomada de deciso em contabilidade, suportada no desenvolvimento de uma Aplicao Informtica?.

1.4- Objectivo Geral

O estudo que nos propomos efectuar nesta pesquisa o de, com base na bibliografia existente, trabalhos desenvolvidos anteriormente (ainda que aplicados a outros sectores, nomeadamente o pblico) e as mais recentes investigaes nesta rea, desenvolver uma Aplicao Informtica, de uso intuitivo e que reproduza a MatrizA Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Sistema, a partir da qual sero elaborados diversos mapas e informaes de apoio tomada de deciso, assim como de leitura da informao contabilstica. A Aplicao Informtica ser desenvolvida para aplicao s PME, tendo por base as suas necessidades de informao, divulgao e leitura da informao. No ser descurada a validao e verificao de toda a informao utilizada para a construo da Matriz Sistema, assim como a apresentao de uma proposta de verificao dos valores contidos na prpria Matriz Sistema, isto atravs da verificao da conformidade das frequncias de valores Lei de Benford. Tal ser conseguido atravs da utilizao de diversos testes estatsticos, nomeadamente a Estatstica Z, o Teste do Qui-Quadrado, o Teste de Kolmogorov-Smirnoff e o Desvio Absoluto Mdio.

1.5- Objectivos Especficos

Como resultantes do Objectivo Geral apresentado, destacam-se os seguintes objectivos especficos para a Tese: Desenvolvimento de Aplicao Informtica; Reproduo da Matriz Sistema; Validao dos registos contabilsticos atravs da Lei de Benford.

1.6- Justificao e Relevncia da pesquisa

Edvinsson e Malone (1998: 28) apresentam uma metfora para a definio de empresa: (...) as partes visveis da rvore, tronco, galhos e folhas, representam a empresa conforme conhecida pelo mercado e expressa pelo processo contbil. Os frutos produzidos por essa rvore representam os lucros e os produtos da empresa. As razes, massa que est debaixo da superfcie, representam o valor oculto, nem sempre relatada pela contabilidade. Para



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que a rvore floresa e produza bons frutos, ela precisa ser alimentada por razes fortes e sadias (...). Se bem que esta comparao est associada ideia de Capital Intelectual, ela tambm pode ser alargada, no que respeita a (...) razes fortes e sadias (...), ideia da necessidade de informao especializada em tempo oportuno que uma qualquer empresa necessita. Com esta informao, a empresa poder produzir frutos e garantir a sua permanncia no mercado e o seu futuro. este tipo de informao que nos propomos disponibilizar com o desenvolvimento da Aplicao Informtica, em paralelo com a conciliao da Contabilidade Matricial com a Lei de Benford.

1.7- Estrutura da Tese

Para a prossecuo dos objectivos apresentados, propomos uma estrutura dividida em cinco captulos. No segundo e terceiro captulos desenvolvemos, o enquadramento terico da Contabilidade Matricial e da Lei de Benford, respectivamente. So os captulos que permitem o delineamento de toda a estruturao realizada nos captulos seguintes, em paralelo com as necessidades reportadas pelas empresas intervenientes neste estudo. No quarto captulo, abordamos a metodologia utilizada, nomeadamente relativa a uma pesquisa qualitativa e dedutiva, e de base emprica, para o desenho e reproduo da Matriz Sistema, uma pesquisa exploratria para os registos contabilsticos das PME e a formulao de hipteses sobre a distribuio dos dgitos (contrastar hipteses sobre a distribuio dos 1, 2, dois primeiros e trs primeiros dgitos) no que se refere Lei de Benford. neste captulo que, por alegoria referncia de Tua Pereda (1996), identificamos os passos do itinerrio lgico-dedutivo, e, nomeadamente, da sua importncia como fio condutor para a prossecuo dos objectivos do presente estudo. No quinto captulo procedemos apresentao dos resultados. Por um lado, e ligados aplicao da Lei de Benford, os resultados associados Contabilidade Matricial, nomeadamente relativos reproduo da Matriz Sistema e de outros mapas dela derivados. Por outro lado, aplicao prtica dos testes estatsticos referidos nosA Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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captulos anteriores, com recurso a ferramentas informticas, e tendo por base dados contabilsticos do ano de 2005 pertencentes a vrias empresas portuguesas de pequena/ mdia dimenso. Finalizamos com um captulo reservado s concluses resultantes do presente estudo, assim como a identificao de possveis caminhos para desenvolvimentos futuros.



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2- Contabilidade MatricialOs antigos chineses apreciavam a manipulao de vectores para a resoluo de sistemas de equaes lineares, pelo que detinham conhecimentos que poderiam ter-se transformado numa genuna teoria das matrizes (Meyer, 2000). No entanto, no ano 213 A.C., o imperador Shih Hoang-ti ordenou que todos os livros fossem queimados3 e os estudiosos banidos. Presume-se que o imperador pretendesse que todo o conhecimento e registos escritos deste comeassem com ele e o seu regime. Teria de passar mais de um milnio antes que novos progressos fossem documentados. Seki Kowa (16421708)4, um dos maiores matemticos do Japo, continuou o desenvolvimento da manipulao de vectores anteriormente existente na China. Isto levou-o formulao do conceito que actualmente conhecemos por Determinante, e antecipao dos conceitos de operaes sobre vectores que hoje em dia formam a base da lgebra matricial. No entanto, no existe evidncia de que tenha desenvolvido os conceitos de operaes sobre vectores ao ponto de construir uma lgebra matricial. Foi apenas com o trabalho do matemtico ingls de Arthur Cayley (18211895)5 que a noo de matriz foi separada da noo de Determinante, e operaes algbricas sobre matrizes foram definidas. Isto apresentado em 1857, no trabalho A Memoir on the Theory of Matrices (citado por Meyer, 2000). A interdisciplinaridade das cincias uma realidade e a contabilidade no uma excepo a esta regra. Conforme refere Demski, Fellingham, Ijiri, Sunder (2002: 167):

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O livro Chiu-chang Suan-shu (nove captulos sobre matemtica) foi compilado tendo por base as obras que sobreviveram. 4 Takakazu Seki Kowa nasceu em 1642 em Fujioka (Japo) e morreu a 24 de Outubro de 1708 em Edo (actual Tquio), Japo. Nasceu no seio de uma famlia samurai, mas foi adoptado por um nobre. A sua descendncia de uma famlia samurai levou-o a adoptar o cdigo samurai e, com isto, a levar uma vida de modstia, pelo que os seus feitos no desenvolvimento da matemtica no foram divulgados medida dos progressos conseguidos, mas reconhecidos aquando da sua morte, sendo inscrito na sua lpide the Arithmetical Sage. 5 Arthur Cayley nasceu em Richmond, Surrey, Inglaterra, em 16 de Agosto de 1821 e morreu em Cambridge, Cambridgeshire, Inglaterra, em 26 de Janeiro de 1895. As suas contribuies para a lgebra matricial incluem a multiplicao de matrizes e o teorema de Cayley. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Doing interdisciplinary research and integrating teaching and research helps. (...) many of the well-known contributions to business resulted from having researchers with expertise in basic disciplines economics, mathematics, and psychology (...): Bounded rationality (Simon 1947) Dividend irrelevancy theorem (Miller and Modigliani 1958) Organizational theory of the firm (Cyert and March 1963) Rational expectations (Muth 1961; Lucas 1972) Statistical auditing (Cyert and Trueblood 1957)

In accounting, the early ties were closest with mathematics (...). A matemtica aparece aqui como uma ferramenta usada pela contabilidade e com a lgebra linear que se abrem novos horizontes, os horizontes da Contabilidade Matricial. Ballestero (1983) refere-se Contabilidade Matricial como um algoritmo que obedece ao princpio da partida dobrada, mas em que o Dirio e o Razo perdem a sua forma arcaica para se converterem em entes matemticos (matrizes e vectores) com os quais se trabalha, seguindo as regras da lgebra linear. A Contabilidade Matricial, atravs da informao disponibilizada pela Matriz Sistema, abre um leque alargado de possibilidades de elaborao de Demonstraes Financeiras e outros documentos de apoio tomada de decises e leitura da informao contabilstica, possibilitando uma forma alternativa de responder s necessidades que as PME tm neste campo. A informao converteu-se na principal ferramenta para a tomada de decises nos diferentes nveis organizacionais, na medida em que o motor que confere dinamismo e apoio s estratgias das organizaes (Arias, s/ data). Nesta medida, qualquer organizao, no nosso caso as PME, deve possuir sistemas eficientes e efectivos que se ajustem s necessidades dos diferentes utilizadores, necessidades estas em constante mutao. Cada utilizador necessita de visualizar diferentes perspectivas ou dimenses sobre uma mesma informao. neste contexto que a Contabilidade Matricial poder ser aplicada, dando resposta a estas necessidades distintas de ver uma mesma realidade. Arias (s/ data: 5) refere: Es as como se han implementado desarrollos tales como el esquema multimonedas, estructuras mltiples y el modelo de parmetros...A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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no que concerne a aplicaes da Contabilidade Matricial no Banco da Repblica. Este captulo encontra-se dividido em duas Seces. A primeira aborda os principais contributos da Contabilidade Matricial. Na segunda so demarcadas as definies elementares da lgebra matricial e as propriedades das matrizes.

2.1- Contributos e teoriaA Contabilidade Matricial nasce6 com Len Gomberg em 1936 (Albuquerque, 2000), com a apresentao da sua obra La Doctrine de la Comptabilit et les Mthodes Comptables. Trata-se de uma teoria, que Gomberg definiu como Contabilidade Integral, que se baseava no binmio causa efeito, no sentido de que para cada fenmeno contabilstico consegue-se identificar, pelo menos, uma causa e um efeito e em que a causa igual ao efeito. Para simbolizar estes princpios, Gomberg utiliza a seguinte representao:Figura 1: Representao de Gomberg Causa (Crdito)

Efeito (Dbito) Fonte: Rocha (2004).

Em termos de Classificao de contas, Gomberg considera trs classes de contas: Especficas (Activo, Passivo), Jurdicas (Dbito, Crdito) e Econmicas (Perdas, Ganhos, Capital), originando desta forma uma matriz do seguinte tipo:

Esta palavra dever ser entendida como a primeira aplicao conhecida de lgebra linear Contabilidade, conforme referido por Albuquerque (2000). Pese o facto de no utilizar a lgebra matricial e seja dcadas antes do desenvolvimento desta, como referem Mattessich e Galassi (2000: 6): el lgico-matemtico Agosto De Morgan (1846) quien introdujo una estructura de matriz para contabilidad en un apndice de 5 ediciones de sus elementos de aritmtica, conteniendo... el principio ms importante de la tenedura de libros (Mephan 1988, p. 375)., facto este que recebeu pouca ateno na poca e, rapidamente, caiu no esquecimento. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema

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Figura 2: Matriz de GombergEspecficas Activo Especficas Jurdicas Activo Passivo Dbito Crdito Perdas Econmicas Ganhos Capital Passivo Dbito Jurdicas Crdito Perdas Econmicas Ganhos Capital

Fonte: Adaptado de Rocha (2004).

Para cada clula7 da matriz, haveria o lanamento da Causa e do Efeito, tringulo superior e inferior, respectivamente, o que conduz existncia de um quadro de dupla entrada e em que o seu tratamento matemtico e a prpria representao se tornam difceis. A Contabilidade Matricial recebeu contributos de diversos autores, mas pela primeira vez usada a lgebra matricial por Leontief em 1951 (Mattessich, 2005) com a publicao da sua obra The Structure of the American Economy 1919-1939. Bueno Campos, em 1972, introduz a ideia de que as operaes no so duas vezes registadas, mas antes segundo dois critrios distintos, actividades e passividades, pelo que facilmente se poder registar um facto patrimonial numa matriz de dupla entrada (Albuquerque, 2000). Muitos outros autores trataram a contabilidade matricial, nomeadamente Richards em 1960, Kemeny, Thomson e Schleifer em 1962, Ijiri em 1960 e 1963, Mattessich em 1957,... chegando Matriz Sistema conhecida actualmente. Mattessich e Galassi (2000: 9) afirmam que: (...) la aplicacin del lgebra de matrices y programacin lineal para la contabilidad financiera y de costos, as como para la investigacin en bases de datos relacionales encontr un amplio eco en la contabilidad y la literatura de negocios durante la dcada de los 60. Esta uma matriz que pode tomar a seguinte representao:

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Clula aqui entendida como a posio de interseco da Causa com o Efeito na Matriz. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Figura 3: Matriz Sistema

Dbito Crdito C1 C2 Cn

C1 a11 a21 ... an1

C2 a12 a22 ... an2

Cn a1n a2n ... ann


em que nas linhas se l os crditos e nas colunas se l os dbitos, ou seja, um conjunto A de elementos constitudo por aij elementos, com i o ndice da linha e j o ndice da coluna e i=1,2,...n e j=1,2,...,n. Ck representa a Conta ndice k, com k=1,2,...,n. Consideremos uma transaco que, esquematicamente, tenha a seguinte representao:Figura 4: Transaco Conta Valor

D H

C2 C1 C3

200,00 150,00 50,00Fonte: Elaborao Prpria.

com D a representar o Dbito (Deve) e H a representar o Crdito (Haver). A Matriz Transaco8 teria a seguinte representao:8

Para uma transaco com a seguinte esquematizao:Conta Valor

D H

C2 C1 C3

75,00 125,00 200,00 Fonte: Elaborao Prpria. C1 C2 C3

a representao da Matriz Transaco seria: Dbito Crdito C1 C2 C3 Numa Transaco:Conta

125,00

75,00 Fonte: Elaborao Prpria.Valor

D H

C2 C1 C3 C4

75,00 125,00 190,00 10,00 Fonte: Elaborao Prpria.

a representao da Matriz Transaco seria:



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Figura 5: Matriz Transaco

Dbito Crdito C1 C2 C3

C1

C2 150,00 50,00

C3

Fonte: Elaborao Prpria.

A Matriz Sistema o resultado da soma de todas as matrizes resultantes de cada uma das transaces9, ou seja, em primeiro lugar determina-se a matriz transaco representativa de cada operao e, de seguida, somam-se10 todas essas matrizes transaco para encontrarmos a Matriz Sistema. Nesta matriz, o somatrio () de cada elemento do vector fila e coluna representa o movimento total a crdito e a dbito, respectivamente, o que se pode representar:Figura 6: Matriz Sistema com Movimento Dbito/ Crdito

Dbito Crdito C1 C2 Cn

C1 a11 a21 ... an1 ai1

C2 a12 a22 ... an2 ai2

Cn a1n a2n ... ann ain

a1j a2j ... anj Total


ou seja, acrescentado matriz o vector coluna dos movimentos a crdito e o vector linha dos movimentos a dbito.Dbito Crdito C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4

115,00 10,00

75,00 Fonte: Elaborao Prpria.

Foi esta a forma adoptada neste trabalho para a representao na Matriz Transaco de uma transaco composta por vrios movimentos a dbito e vrios movimento a crdito. Albuquerque (2000) apresenta como soluo a utilizao de uma conta de regularizao, afectando directamente o valor de cada uma das contas, quer em termos de registos em colunas, quer em termos de registos em linhas. 9 Corresponde s matrizes constantes do Dirio Matricial da Aplicao Informtica, apresentada e explicada no Captulo 5- Aplicao Informtica e Resultados Obtidos deste estudo. 10 Deve ter-se especial ateno s regras para a soma de matrizes descritas na segunda Seco deste captulo. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Por forma a determinar o saldo11 de cada conta, subtrai-se o respectivo vector fila ao vector coluna, ou seja:Figura 7: Matriz Sistema com Saldo a Dbito/ Crdito

Dbito Crdito C1 C2 Cn Saldo a Dbito em que:

C1 a11 a21 ... an1 ai1

C2 a12 a22 ... an2 ai2

Cn a1n a2n ... ann ain ainanj


Saldo a Crdito a1jai1 a2jai2 ... anjain

ai1a1j ai2a2j

Saldo Total


Saldo a dbito apenas se representa quando o movimento a dbito superior ao movimento a crdito; Saldo a crdito apenas se representa quando o movimento a crdito superior ao movimento a dbito;

o que, em termos prticos, corresponde a acrescentar o vector coluna dos saldos a crdito e o vector linha dos saldos a dbito, e em que todos os seus elementos so positivos ou nulos12. Em termos de operaes sobre matrizes, isto representado pela frmula de Kemeny (Ballestero, 1983), que reformulada em termos de notao, pode ser representada:Frmula 1: Frmula de Kemeny

S n1 = A Tn A nn u n1 nFonte: Adaptado de Ballestero (1983).

(

)

em que Sn1 representa o vector de saldos, A Tn a transposta13 da Matriz Sistema, Ann a n Matriz Sistema e u n1 um vector em que todos os elementos so unitrios. O vector Sn1 contm elementos positivos e negativos, em que os valores positivos correspondem a11 12

Entenda-se saldo como o saldo dos movimentos do perodo. No que respeita Aplicao Informtica introduzida no Captulo 5- Aplicao Informtica e Resultados Obtidos deste estudo, os valores nulos no sero representados, isto porque simplifica em muito a leitura da prpria matriz e reala as clulas com movimento. Fica no entanto a opo do utilizador activar a representao dos valores nulos. 13 Ver definio na Seco 2.2- Definio e Propriedades das Matrizes deste estudo. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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saldos a crdito e os valores negativos a saldos a dbito, e o somatrio de todos os seus elementos zero14 daqui o teorema enunciado por Kemeny de que na Contabilidade Matricial, o conjunto das suas contas est sempre em equilbrio. Por forma a determinarmos o saldo final de cada uma das contas ser necessrio introduzir o Saldo Inicial, ou seja:Figura 8: Matriz Sistema com Saldo Final

Dbito Crdito C1 C2 Cn Saldo a Dbito Saldo Inicial Saldo Final

C1 a11 a21 ... an1 ai1

C2 a12 a22 ... an2 ai2

Cn a1n a2n ... ann ain ainanj SiDn SfDn


Saldo a Crdito a1jai1 a2jai2 ... anjain

Saldo Inicial SiC1 SiC2 ... SiCn

Saldo Final SfC1 SfC2 ... SfCn

ai1a1j ai2a2j SiD1 SfD1 SiD2 SfD2

Saldo Total Total Total Fonte: Adaptado de Rocha (2004).

sendo o Saldo Final o resultado da soma do Saldo Inicial com o Saldo dos Movimentos do perodo. Em determinadas situaes, a informao da Matriz Sistema pode tornar-se complexa para ser analisada no seu conjunto, havendo o interesse de que apenas uma parte da Matriz seja analisada. Isto o que se chama na Matemtica, a Partio da Matriz em Blocos. Bueno Campos, em 1972, prope a partio em grupos de contas de

Como referido por Gomberg, Causa igual a Efeito. Em termos de representao esquemtica na Matriz Sistema, esta poder tomar a seguinte forma: Matriz Sistema Sn1 S1 S1 corresponde S2 S2 Elementos da Matriz Sistema a ... ... Sn ... Sn Fonte: Elaborao Prpria. em que S1 e S2 so, por hiptese, valores positivos e Sn , por hiptese, um valor negativo (na Matriz Sistema representado sem sinal). A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema

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Balano e de Resultados (Albuquerque, 2000), podendo esquematizar-se da seguinte forma15:Figura 9: Partio Matricial proposta por Bueno Campos em 1972

Deve Haver Contas de Balano

Contas de Balano Transaces intra contas de Balano Aumento das contas de

Contas de Resultados Aumento das contas de Resultados por diminuio das contas de Balano Transaces intra contas de ResultadosFonte: Adaptado de Rocha (2004).

Contas de Resultados

Balano por diminuio das contas de Resultados

2.2- Definio e Propriedades das MatrizesEsta Seco apresenta a terminologia matemtica ligada lgebra linear, em particular lgebra matricial, seus teoremas, propriedades e definies, assim como a ligao entre as propriedades das matrizes contabilsticas com as propriedades das matrizes matemticas.

2.2.1- Definies elementares de lgebra matricialUma matriz do tipo mn sobre um corpo , Amn ou [aij], i=1,...,m;j=1,...,n ou A, um conjunto com m linhas e n colunas cujos elementos so escalares de , sendo m e nZ+.

15

Na Aplicao Informtica abordada no Captulo 5- Aplicao Informtica e Resultados Obtidos deste estudo, a partio matricial proposta por Bueno Campos em 1972, ser realizada com o recurso a cores, cores estas que identificam cada uma das reas representadas na figura seguinte. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Figura 10: Matriz matemtica

A m n

a 11 a = 21 ... a m1

a 12 a 22 ... a m2

... a 1n ... a 2 n ... ... a mn Fonte: Adaptado de Lus e Ribeiro (1985).

Uma matriz diz-se real quando = 16. A coluna de ndice j da matriz A, A(j) ou a.j, constituda pelos elementos da jsima coluna:Figura 11: Coluna da matriz matemtica

A ( j)

a1j a 2j = ... a mj Fonte: Adaptado de Lus e Ribeiro (1985).

A linha ndice i da matriz A, A(i) ou ai., constituda pelos elementos da i-sima linha.Figura 12: Linha da matriz matemtica

A (i ) = [a i1

a i2

... a in ]

Fonte: Adaptado de Lus e Ribeiro (1985).

Isto significa que uma matriz pode ser representada da seguinte forma:Figura 13: Matriz matemtica representada por linhas e colunas

A (1) A (2 ) A= = A (1) ... A (m )

[

A (2 ) ... A (n )

]

Fonte: Adaptado de Lus e Ribeiro (1985).

Uma submatriz do tipo l k de uma matriz A uma matriz que se obtm de Amn por eliminao de m l linhas e n k colunas. Elementos homlogos em matrizes do mesmo tipo so os que tm ndices de linha idnticos e ndices de coluna idnticos. Uma matriz diz-se:

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Quadrada de ordem n quando m=n17; Rectangular quando mn18;

A matriz contabilstica uma matriz real. A Matriz Sistema quadrada. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


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Linha quando m=1; Coluna quando n=1.

Numa matriz quadrada, os elementos com ndice de linha igual ao ndice de coluna, aii, dizem-se elementos principais. A diagonal principal19 constituda pelos elementos principais.Trao de uma matriz quadrada a soma dos seus elementos principais: para a

matriz A representa-se por tr(A). Os elementos aij e aji com ij de uma matriz quadrada dizem-se elementosopostos. Matriz triangular uma matriz quadrada em que so nulos todos os elementos

que ficam para um dos lados da diagonal principal: Triangular superior: abaixo da diagonal principal s se encontram zeros; Triangular inferior: acima da diagonal principal s se encontram zeros.

Duas matrizes A e B do mesmo tipo mn dizem-se iguais se e s se a ij = b ij , (i = 1,..., m; j = 1,..., n ) . A soma de duas matrizes A e B do mesmo tipo mn20 uma matriz C de tipo mn, C=A+B, tal que c ij = a ij + b ij , (i = 1,..., m; j = 1,..., n ) . A multiplicao de duas matrizes A e B apenas possvel quando o nmero de linhas da primeira igual ao nmero de colunas da segunda e representa-se por A mp .B pn = C mn com c ij =k =1,..., p

a

ik

.b kj .

Uma matriz nula tem todos os seus elementos nulos. 0 0 Exemplo: A = . 0 0 Uma matriz identidade de ordem n a matriz I nn = I n na qual i jk = 1, j = k e zero nos demais casos.18 19

A Partio da Matriz em Blocos resulta, em geral, numa matriz rectangular. Em termos contabilsticos, significa que a conta a debitar e a conta a creditar a mesma. Estas clulas devero ser analisadas com algum cuidado. 20 Esta operao s pode ser feita com matrizes que tenham o mesmo nmero de linhas e mesmo nmero de colunas. A Contabilidade Matricial no Sector Privado: Aplicao s PMEs. A Lei de Benford na validao dos registos contabilsticos da Matriz Sistema


20

1 0 0 Exemplo: I 3 = 0 1 0 . 0 0 1

A matriz simtrica de A, A, tem como elementos os simtricos dos correspondentes elementos de A. O produto de uma matriz A por um escalar uma matriz P = A cujos elementos so tais que p ij = a ij , (i = 1,..., m; j = 1,..., n ) .Caracterstica de uma matriz A, r(A), o nmero mximo de linhas

linearmente independentes.Operaes de Jacobi: operaes elementares sobre linhas de uma matriz:

Trocar linhas da matriz; Substituir uma linha pela sua soma com outra linha; Substituir uma linha pelo produto dela por um escalar no nulo.Teoremas:

O conjunto das matrizes de tipo mn sobre um corpo com a igualdade, a adio e a multiplicao por um escalar definidas constitui um espao vectorial sobre .

Seja T uma matriz triangular. Os elementos principais de T so no nulos se e s se as linhas (colunas) so linearmente independentes. Se as sublinhas (linhas de uma submatriz) de uma matriz so linearmente independentes ento as linhas completas tambm so linearmente independentes. Se as linhas completas de uma matriz so linearmente dependentes ento as sublinhas tambm so linearmente dependentes.

A caracterstica de uma matriz no se altera se se efectuarem operaes de Jacobi sobre as suas filas. O nmero mximo de linhas linearmente independentes de uma matriz igual ao nmero mximo de colunas linearmente independentes. A condensao da matriz A = [a ij ] de tipo mn consiste nas sucessivas fases

que se vo descrever:



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a) Tome-se a 11 0 (quando a 11 = 0 , troca-se a primeira coluna com outra de modo que o elemento que fica na posio (1,1) seja no nulo; se toda a primeira linha nula, ela passada para ltimo lugar e repete-se o mesmo raciocnio com a segunda linha). b) Fixando um a 11 0 , procurem-se i tais que i a 11 + a i1 = 0, (i = 2,3,..., m ) ; junta-se linha i a primeira linha multiplicada por esse i = a i1 . Ficam nulos a 11

todos os elementos abaixo de a11. Diz-se que se condensou a primeira coluna, sendo a11 o respectivo elemento redutor. c) Na matriz assim obtida onde se anularam todos os elementos que na primeira coluna esto abaixo de a11, procede-se do mesmo modo, tomando para elemento redutor a22. E assim sucessivamente considerando elementos redutores at arr. d) A condensao termina quando j no h mais colunas (r=n) ou, havendo mais colunas, j no h mais linhas

lei de benford aplicada a contabilidade

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