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LABORATÓRIO DE MEIROLOGIA - IPAI
METROLOGIA EM MECÂNICA DOS FLUIDOS
Responsável
DR. ENG. GERALDO LOMBARDI
APOSTILA DE MECANICA DOS FLUIDOS
- FLUIDOS
Define-se fluido como a substância que se deforma co~
tinuamente enqLanto submetida a esforços tangenciais. mesmo peque
nos. Compare-se com o caso de um sÓlido elástico que submetido a
esforço tangencial limitado apresenta deformação
porcional a intensidade do esforço.
limitada e pro-
A propriedade enunciada no parágrafo primeiro permite
ao fluido escoar-se. asumindo continuamente a forma geom~trica do
conduto, o que impoe ao posicionamento relativo de suas partículas
fluidas uma contínua mutaç~o. No caso geraL os escoamentos apresen
tam distribuiç~es de velocidades n~o uniformes e ainda variáveis
no tempo e no espaço, indicando a ação de forças externas sobre o
elemento fluido.
Ex em p 1 i f i c an- se do i s casos em que ta 1 c a r a c te r i s ti c a e v e r i
ficada:
1 9 - Ação dos contornos geométricos sobre os
fluidos contíguos.
elementos
2 9 - Ação de elementos fluidos sobre outros
fluidos, difundindo a ação do contorno geométrico para o
do escoamento, até qualquer elemento considerado.
elementos
interior
Do ponto de vista macrosc6pio. os prollemas fluido-dinâ-
micossão estudados pela aplicaç~o Única das Três Leis de Newton, a
baixo enunciadas. A Lei da Conservação da Massa é usada como fer-
ramenta auxiliar.
PRIMEIRA LEI DE NEWTON (PRINCÍPIO DE GALILEU)
Um corpo não perturbado por força externa~ mantém seu es
tado dinâmico ou de repouso.
SEGUNDA LEI DE NEWTON (CONSERVAÇAD DA QUANTIDADE DE MOVI
MENTO)
~
A somatória das forças externas exercidas num corpo e igual
à derivada temporal da quantidade de movimento do corpo.
-+ F
e
Onde
o -+ Dt mU
-+ F
e ~ -e a resultante da açao das forças externas,
o Dt
2
- ~ e a derivada substancial no tempo e no espaço e mU e a quantidade
de movimento que o corpo possue.
TERCEIRA LEI DE NEWTON (AÇÃO E REAÇÃO)
à toda força corresponde outra de mesma intensidade e o
costa, de ação concomitante.
LEI DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
Esta lei estabelece que o »balanço global" da descarga
através da superfície de controle de um elemento fluido, posicio
nada em um escoamento, é igual a variação temporal da massa do
elemento considerado. Matematicamente é representada pela formula -çao seguinte
()p ~ TI - div p U
ou seja. a derivada temporal da densidade p ~~.,?igual ao valor ne -+
gativo da diverg~ncia div. do fluxo de fluido pU, no ponto consi-
derado. Maior detalhe sera dado no capitulo 5.
Ressalta-se. dada sua importância no estudo em curso,que
a Segunda Lei de Newton estabelece algo mais que uma mera iguald~
de aritmética. Ela estabelece uma igualdade vetorial onde a acele
raç~o tem necess~riamente a mesma direção. sentido e linha de a
ção da resultante, como sugere a figura 1.1
~. /
\
Fig. 1 . 1
F 'I
~
F n
~
F e
~
2:. F e. l l
o ~
Dt mU
Note-se ainda que a Segunda Lei de Newton considera uni-
camente as forças externas que fetivamente agem sobre a massa. O
comportamento intrinseco da massa é irrevelante. Entretanto na
aplicação prática em projetos que abrangem fluido~é de importância a
3
conceituação fenomenolÓgica de sua natureza microscópica para ava
liação indireta da somatória das forças externas. dos esforços e
das potências envolvidas. Tal conceituação é obtida através da Te
oria Cinética dos Gases.
A Teoria Cinética considera o gas formado por partículas
(moléculas) dotadas de energia cinética, em movimento aleatório.
chocando-se entre si e com as paredes do §Í'stema que as contém. Os
choques são perfeitamente elásticos. As moléculas não interagemen
tre si ou com as paredes do redipiente.
Claro que essa natureza exige a presença contínua de for
ças que não só satisfaçam às Leis de Newton, mas. e principalmen
te, para proporcionar a existência do fluid~. ao evitar a fuga de
scas partículas para o espaço infinito. As forças externas satis
fazem, assim, também a ação de confinamento. Senão vejamos.
Suponha-se a inexistência das forças externas. Então o
elemento fluido expande-se volumetrica e continuamente. se locali
Zando no espaço infinito, permanecendo estático o seu centro de
massa. Se.porém,o elemento fluido estiver próximo à terra. a dire
ç ã o d e s c e n d e n t e é v e d a d a a s s u a.s m o 1 é cu 1 a s • C o mo r e s u 1 t a d o t em - s e
uma expansao preferencialmente ascendente,em que o centro de massa
se afa~tando continuamente da terra. Assim a força externa que ma~
tem a atmosfera terrestre. mares. rios, etc. e dada pela natureza -+
através da sua atração gravitacional. (Analise o caso em que g=O)
Ressalta-se ainda a condição necessária da existência de
um corpo. concomitante à presença de uma força. sem o que esta ul
tima inexistirá.
Selecionado o elemento fluido para estudo, sempre e ne
cessáriamente haverá um conjunto de forças externas com componen
tes normais à sua superfície de contorno,que agemno sentido de fo
ra para dentro do elemento fluido. e mantém a sua existência. Ou--tros termos que componham a Segunda Lei de Newton sao facultati-
vos, dependendo do fenômeno considerado (analisar o caso estáti-
co). Ressalta-se a impossibilidade de exercer se no fluido conti
do no elemento, uma força com sentido de dentro para fora usando
se de agentes estranhos. uma vez que agentes estranhos são exter
nos ao fluido. Portanto num fluido só será possível a aplicação
de forças externas.
A Terceira Lei de Newton estabelece que "a toda força cor
responde outra, de igual intensidade, de mesma linha de ação e de
sentido oposto" Como consequência lógica conclui-se que contra
pondo-se às componentes normais das forças externas. o elemento
fluido reage com uma força de mesma grandeza. mesma linha de ação
4
mas com sentido oposto e no local onde a açao se passa ou seja. no
contorno.
Essa reaçao e proveniente de manisfestação gerada intern~
mente ao fluido. pela ação de suas partículas sobre a superfíciede
contorno do elemento. Assim.consio~rem-se N moléculas de massa in
dividual-m.contidas num elemento de volume V delimitado por sua
fronteira S. As moléculas dotadas +
da quantidade de movimento mU.
colidem em S, retornando ao interior do elemento.Em razão de a coli
são ser perfeitamente elástica. os ângulos a de incidência e de re
torno são iguais. +
Resulta então que o m6dulo de mU permanece inal-+
terado durante o processo e ainda, a força P que a molécula exerce
sobre a superfÍcie S tem sempre a mesma direção que seu versar nor + +
mal n, como ilustradp na figura 1.2. O cálculo da força P por uni-
Fig. 1.2
+ p A n
dade de superfÍcieS é obtido na Teoria Cinética dos Gases (ref 1,
pag 39). A grandeza escalar dessa reação é conhecida por pressao
termo-dinãmica. Seu valor é dado por p,
1 N p = 2 V U . mU
onde U , +
e o valor do modulo de U. I
Fato altamente relevante e que as partículas do elemento
fluido, em hip6tese alguma poderão exercer sobre a superfÍcie do~
lamento uma força com sentido direcional preferencial do
para o interior dt:J elemento.
CONCLUSÃO
1.1 -Somente a açao contínua de forças externas,
exterior
agindo
no elemento fluidb. com sentido exterior - interior. assegura a e
xistência dos fluidos como os conhecemos. A existência de um impll
- - ..,. ""4 .,.,.., .. - ........ ~ -
ca a exist~ncia do outro.
1.2 ~Os escoamentos fluidos encontram sua e~licaç~o na
Três Leis de Newton.
5
1.3- As for~as aplicadas no fluido transmitem-se pela a
çao de elemento sobre elemento;at~ atingir o elemento fluido ou a
superficie geom~trica dos objetos em estudO.
1 .4 - A ação de elementos estranhos sobre o elemento flu
ido considerado resulta em açoes externas, com sentido exterior
inteirar. O elemento fluido reage à aç~o exterior com uma aç~o di
rigida do seu interior para o seu exterior e que age em suas fron
teiras. A grandeza escalar da componente normal dessa reaçao e co
nhecida por pressao.
1.5 - As duas primeiras Leis de Newton consideram unica
mente as forças externas que agem no elemento fluido. A Terceira
Lei de Newton considera a aç~o local da força externa e a
do fluido que a ela ~ correspondente.
-reaçao
6
2 - FORÇAS EXTERNAS
As forças externas. que agem em um sistema qualquer. o fa
zem segundo um dos dois modos possíveis de mani~festaç~o encontrados
na natureza. a saber:
~
2.1- Força de Superfície- F s
~
2.2 - Força de Campo - F c
2.1 - FORÇA DE SUPERFÍCIE
Constitui-se da parcela da força externa que caracteristi-
camente atua na superfície de contorno (Superfície de Controle ou
Fronteiras do Sistema)
liquido ou gas.
do elemento considerado. seja ele sÓlido.
Toda a força tem um ponto de aplicação conforme estabeleci
do por definição matemática. Fisicamente. porém. essa força é apli
cada em uma superfície mensurável do corpo. a qual responde em igual
intensiaade à excitação externa. como faz pressupor a Terceira Lei - ~ ~
de Newton. E intuitivo que a açao de F se difunde. da superf1cie de s controle onde atua. para o interior do corpo por meio de uma ação
intermolecular. De maneira análoga e concomitantemente (a dinâmica
Newtoniana é adequadaa aplicações práticas em mecânica dos fluidos) - - ~ a aplicaçao de F •
s aparece a reação R do corpo através da interaç~o de suas partículas que. agindo solidariamente uma sobre as outras.
de seu. interior para a superf!cie. confinam sua área de aç~o contra - ~ -pondo-se a força F em seu local de atuaçao.
s Tal natureza de procedimento gera no interior do elemento
um estado de tensões. que se difundem espacialmente para todo o cor
po. através de superfícies contíguas uma às outras, areas essas co
muns a atuãção da aç~o e da reação.
A titulo de ilustração considere-se a figura 2.1 a e b p~ ~ ~
ra o caso em que o corpo esta em repouso (U = 0) ou com velocidade ~
uniforme (U = cte).
F ~L~------------------~~~_R __ _ a b
Fig 2.1
7
- -+ Na figura 2.1a observa-se a açao das forças externas F s
- -+ e da reaçao R nas extremidades opostas do corpo. A figura -+ -+
2.1b ilustra a difusão das forças externas F e de R, que resultam s
nas tensões a com as quais os segmentos A e C atuam sobre o seg-
mento 8. Por sua vez o segmento B reage às solicitações externas
através da tensão p que aparece nas superfícies das secções 1 e
2. Uma distribuição uniforme será obtida nas secções 1 e 2 desde
que estejam suficientemente afastadas das extremidades. Note que
a = p para qualquer uma das secções 1 ou 2 consideradas isolada
mente, qualquer que seja a circunstância. No entanto, sómente no ~ -+ -+
caso estatico (U = O) ou velocidade uniforme (U = cte) as distri
buiçÕes de tensão, nas secções 1 e 2 serão iguais entre si.
Ressalta-se que a tensão a, como já explicitado no capi
tulo anterior, constitui-se das"forças de confinamento" e que no
caso do fluido, mantém sua existência.
A título de visualização fenomenolÓgic sugere-se anal2_
sar a propagação das tensões no corpo e sua atuação
B, ffigura 2 .1) para os casos dinâmicos abaixo.
no segmento
-+ 1 - F
s
-+ ou m Dt
2 - 'F - R s
-+ ou m Ot onde R
Determinar no caso a distribuição a
zero para qualquer x.
2.2 - FORÇA DE CAMPO
1 -+ 2 Fs
J (x,y) suponou
Constitui-se da parcela (s) da força externa que atua em
cada uma das particulas (moléculas, átomos etc.) integrantes da
matéria interna ao elemento considerado independentemonte de seu
estado físico.
As forças resultantes devidas a existência da 3Ção grav2_
tacional ou de um campo eletro-magnético são exemplos típicos
de força de campo.
Neste estudo será considerada sómente a força devida a
ação gravitacional, da qual uma das características é ser propo~
cional a massa do elemento. A constante de proporcionalidade obe
dece à relação
+ g
+ F
c m
8
Precisamente, a característica expressa no Último par~gr~
fo e a responsável pelo fenômeno da estratificação que ocorre nos
fluidos com distribuição de densidade não uniforme.
Com o objetivo de gqnhar um maior conhecimento do meca
nismo de ação do campo gravitacional analisam-se os casos a seguir~
1 - Um corpo não sente ou percebe de uma maneira direta a
ação gravitacional. Tome-se,por exemplo,o corpo humano~ Nosso co
nhecimento da ação gravitacional ~ obtidb atrav~s da queda dos cor
pos. da reação da terra nos mssos pes ao contrapor-se ao nosso p~
so. da medida das utilidades realizadas nas balanças etc. Em ve~da
de s6mente sentimos uma queda livre por nao mais sentir a reaçao a
força peso em nossos pes e músculos. A título de visualização feno
menológica. analise o caso que ocorre com voce mesmo. quando num
elevador . .. . em lnlclo de movimento descendente ou ascendente e ao cair
de certa altura.
2 - A ação instantânea de um campo gravitacional nao e
percebido. independentemente dé sua intensidade. desde que a força
resultante seja utilizada na aceleração do corpo.
Se
+ F
c
+ ou m Dt
então a aceleração de cada uma das partículas constituintes do cor
po tem +
mesmo módulo e ainda a mesma direção e sentido de F c
Em
consequência,essas partículas conservarão a mesma distância relati
va para todo o tempo de atuação daquele campo. Para o corpo huma
no. a percepção mecânica ~ atingida por meio de deformações. Se du
rante a ação daquele campo gravitacional não existir variação na p~
sição relativa das partículas do corpo, este não perceberá aquela
açao.
Para ilustração,estude o caso de um carro de corrida com
velocidade de 200 km/h indo de encontro a uma parede. A 10 (dez) cen
tímetros antes da colisão. passa a atuar no carro um campo gravit~
cional, contrário à direção do movimento e de intensidade tal que
o carro pára após percorrer mais 5 (cinco) centímetros. evitando a
colisão. Formule questões com base nos conceitos expostos neste ca
pitulo.
3 - Embora a intensidade da açao gravitacional (ref.1 pag
94) dependa da distância do corpo ~ terra. as variaçôes verifica-
9
das sao insignificantes para alturas dentro da atmosfera terrestre
(ref.3 pag.60). Então, fenômenos termo-fluido-dinâmicos em decor+
rência Única da F processam-se de maneira idêntica independentec mente da altura na atmosfera.
CDNCLUSOES
1 - Os dois tipos de forças consideradas no estudo de me
canica dos fluidos são: +
- Forças de Superfície F s
+ - Força de Campo F
c 2 - A tensão normal a, oriunda de
lemento fluido. confinando suas moléculas.
+ F ,age externamente ao 8
s --A tensão p é a reação i~
terna do fluido contido no elemento. que nasce devido à ação soli
citante de a.
3 - A difusão de f para dentro do corpo se faz através s
de açao superfícial (duas dimensões). Num ponto de uma superfície
qualqu~r tem-se em geral a = p.
4 - A força gravitacipnal age nas partículas de maneira u
nivoca. A força resultante é diretamente proporcional a massa. A +
constante de proporcionalidade é g.
5 - A ação gravitacional pode ocasionar o fenômeno conhe
cido por estratificação.
1 o·
3 - TENSOR DAS TENS~ES
Na solução de problemas e na execuçao de projetos que en
volvam fluido~ ~ de interesse conhecer-se a interação entre o flui
do e o contorno do sistema. Evidente ~ que a ação do fluido naco~
torno (e vice-versa) ~ gerada não sómente pelo fluido contiguo ao
contorno. mas tamb~m por toda massa fluida do sistema. em conse
qu~ncia da propagação da ação.de um elemento sobre o outro. Torna
se relevante o estudo do mecanismo dessa propagaçao. ou seja. de - -como as açoes sao difundidas no interior do fluido. Essa fenomeno
logia é conhecida por DIFUSÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO.
Uma visualização inicial mais intuitiva é conseguida a
trav~s de estudo da propagaçao. para o interior de um sólido. de + uma força F que age em sua superffcie como dado na fig. 3.1
s
k
j
Fig 3.1
Por facilidade escolheu-se o sistema cartesiano de coor
denadas tri-ortogonal, para o estudo a seguir.
No sÓlido da fig. 3.1,o sistema de coordenadas tem sua o
rigem fixada num ponto interno ao elemento e seus eixos saem atra
v~s da fronteira do elemento. As superfícies achuradas são super-
fÍcies coordenadas definidas pelos eixos coordenados tri-ortogo.:.
nais. Ainda. por facilidade de denominaçã~ a superffcie coord~
nada Ai é aquela que tem por normal o versar ti pertencente ao e
ixo i.
O elemento escolhido para estudo é o sÓlido contido no
tetraedro delimitado pelas áreas Ai, Aj, Ak e A. As intersecções
... f
I I I I I I
.,.. __ "' ~ ::::::..) " '(li,.." ...... ,
/
_,,~ -t{.-- --~~ // I kj
., ...... , 1 ; , I
/ I ,
--Tensor das Tensões T
Fit 3.2
11
-
&IA -()-..._ n
j
12
de A i • Aj' Ak formam o sistema de coordenadas cartesianas com eixos
i' j e k, figura 3. 2. -+
superf:fcie sólido, A força F que age na externa A do origi s na um estado de tensões, local e internamente, processo pelo qual
~ se difunde atrav~s do cbrpo. A Terceira Lei de Newton estabelece s a coexistência local da Ação e da Reação o que nos permite concluir
que a tens§o devida ~ Ação est~ sempre associada a uma tensão de Re
açao, idéia v~lida para todos os pontos da massa do sÓlido. I
Macroscopicamente são consideradas a força -+ F que age n a s u
s perficie A do tetraedro e
-+ cada uma das componentes A. T •• e.
~ ~J J da
reaçao ~ -a açao
com que o resto do corpo se opõe através dos A. (achuradas) -+ ~
de F em A do tetraedro, como ilustrado na figura 3.2 s A representação matem~tica do tensor, em forma
ou de somatória é dada a seguir matricial
0 ii T .• Tik ~J
. -+ -+ -+ -+ T T .. 0 .. T j k 2:. 2:. e. T .. e.
J~ JJ ~ J J J~ ~
T ki T kj 0 kk i j > T .• 0 .. eq. 3. 1
JJ JJ
Esse estado de tensões, ~
e o resultado de açoes externas so
bre o elemento sÓlido. No elemento fluido ocorre fenômeno an~logo,
mas ~om caracteristicas próprias, estudadas nos capitulas que se-
guem.
Embora as tensões tangenciais T .. tenham direções compati-~J -
veis com o problema. as tensões normais 0 .. tem obrigatóriamente sen ~~ -
tido Único, dirigido do exterior para o interior do elemento, inde-
pendentemente de qual seja o problema, por razões j~ ressaltadas an
teriormente.
- ~
-+ Procede-se agora ao c~lculo de F . Sua componente na dire
s çao i e dada por
-+ F
s
em que k pode
-+ e. ~
assumir os valores i, j e k. Para k = i faz-se
T.. 0 .. , para facilidade de formulação ~~ ~~
ou seja
pode-se
ou ainda
Vetorialmente
F. ~
-+ e . ~
Somando as tr~s componentes i; j e k
í:. F..; . ~ ... F s
"F Li í: k Ak -+ ek s
Como
-+ é. e. ~ J
escrever a
F s
-+ F
s
= í:. í:k ~
í: . A . J J
1 se i
o se i
equaçao
( í: .
-+ e .
J
J A.
J
-+ -+ ek Tki e .
~
= j
-1 j
@nterior
-+ -+ e . ) ek T ki J
-+ e . ~
-+ e. ~
Considerando a eq. 3.1 pode-se escrever
F 9
Com respeito a
-+ Aj e j
pode-se fazer
tal que
A. A " _J_ L.j A
-+ e.
F s -+
A n
J
-+ -+ T
-+ A n
13
1-4
+ ou seja, a força externa F pode ser resolvida em termos do tensor
+ s +
das tensões T, por ela gerado, e da área A onde ela é aplicada.
+ F
s A. ~
Se
+ f
s
+ a força F
s + F
s A
+ n
for distribuída em A tem-se
+ + T
+ pode ser igualmente obtida através da tensão f .
s~ +
proveniente da reação F . na mesma area A .•
+ F s
2:. ~
+ F . s~
+ Note que F .
s~
s~ ~
+ 2:. A. f . ~ ~ s~
-e diferente da reaçao F. ~
~ na direção i. s Da equação anterior obtém-se
+ f . s~
+ 0 .. e. ~~ ~
+ + T . . e .
~J J 2:.
J
+ 'T • • e . ~J J
eq. 3.2
q u e age n a are a
eq. 3.3
componente de
Para um fluido em repouso restará sómente a componente nor +
mal 0 .. e .. ~~ ~
CONCLUSÃO
1 - A ação externa num elemento sólido ou fluido, difunde
se por seu interior, dando origem a um estado de tensões.
+ 2 - A tenso externa fs pode ser resolvid~ como produto
+ - + escalar do versar normal n da area A,pelo tensor T, gerado nas su-
perficies coordenadas de contorno do elemento fluido, pelo próprio + f
s
3 - Se consideraco um elemento fluido, a açao das tensÕes
normais têm obrigatóriamente sentido orientado do ambiente externo
para o interno do elemento, assegurando a existência do fluido ne
le contido.
f•
4 - CONCEITUAÇ~O BÁSICA
A seguir serao consideradas algumas conceituações básicas
necessárias ao estudo que será desenvolvido nos capítulos que se
guem.
4.1 - MEIO CONT!NUO
A palavra "Continuo" ~ definida como sendo "que nao cessa;
que nao tem separada umas das outras as partes de que se compoe;em
que -nao há interrupção", definições essas que se explicam
si.
de per
A conceituação estabelecida, nao está em acordo com a na
tureza microscópia da m~téria onde, a descontinuidade ~ uma carac
teristica generaliZada, como estabelecido na teoria atBmica dos g~
ses.
Na solução de problemas que envolvem fluidos, ~ de interes
se prático o emprego de tratamento matemático em que a definição no
ponto das propriedades e das fu~ções de estado do fluido são exigi
das. Assim, deve ser verificada a viabilidade de aplicaçã~ ao pro
blema. do artifÍcio contido na idéia do CONTÍNUO sem o que a solu
ção matemática CLASSICA não será possivel. advindo daí enormes dificul
dades. A título de exemplo veja-se o tratamento matemático estati~
tico usado na TEORIA CIN~TICA DOS GASES já citada no capítulo ante
rior.
A aplicação do equacionamento matemático que pressupoe a
c.ontinuidade é consequ~ncia principal das dimensões envolvidas no
problema. Como ilsstração citam-se a seguir alguns escoamentos tí
picos.
Escoamentos de Meio Contínuos
- Em insufladores de ar
- Em bombas hidráulicas
- Em canalizações de sistemas submetidos a média e altas
pressoes
- Em escoamentos subsÔnicos etc,
Escoamentos de Meios Descontínuos
- Em bombas de difusão de alto vacuo
- Na entrada de espaçonaves na atmosfera terrestre
- Em escoamentos hipersônicos
Deseja-se ress~ltar aqui que a característica de continuo
deve ser associada ao escoamento, uma vez que o fluido, com propri~
16
dades pre fixadas. poderá apresentar-se como meio continuo ou des
continuo. dependendo das dimens6es rlo objeto mergulhado no escoa
mento em consideração.
Evidentemente a resposta definitiva sobre o comportamen
to do meio.para um caso dÚbio •. será determinada pelo resultado ex
perimental através do qual se mede. em termos práticos. a
dão do tratamento teórico dado a um fenômeno qualquer.
exati-
Ainda em termos práticos. um escoamento pode ser conside
rado de meio continuo quando a bimensão do corpo for superior a
duas vezes a ordem de grandeza dos espaços médios intermoleculares
do meio em escoamento.
Par a o a r nas c o n di ç 6 e s normais ( p = 1 a t m. T = 2 7 3 9 k) -a
quela distãncia éàe 0,03 ~m. Assim na superfície terrestre. escoa-.. . mentos em torno de corpos com dimens6es de 3~m podem ser estudados
dentro do tratamento matemàtico clássico.
Esses escoamentos pertencem ao campo dos Escoamentos dos
Meios Continuas. Unicamente este tipo de escoamento será estudado
nos capftulos a seguir.
4.2 - DIVERGENTE DE UM VETOR
-r Define-se Divergente (div) de um vetor (V) através de
Div fj ~. fj lim V+O
1 v f 1i. V dA
A
com a visualização fisica dada na figura 4.2.1
-r v
i
Fig. 4.2.1
k
-r e
eq. 4.2.1
k
1.7
+ + + + + v. = v. e. + v. e. + vk ek vetor v do campo de velocidade
~ ~ J J
+ + + + + a a a a · a · a a v ax.- e. + axj
e. + axk ek (---. -) = l:.
~ e.
axi·axj·axk ~ J ~ ~ ~ J.
A aplicaç~o de ~ a V faz-se consider~ndo um produto esca
l~r de vetores. Como resultado obtim~se:
+ div V
Assim.o divergente do vetor determina a taxa de
eq. 4.2.2
variaç-~'o
no ponto de suas coordenadas escalares segundo suas respectivas di
reçoes. Note que o divergente de um vetor é um escalar.
A titulo de exercício pode-se obter o resultado dado na
equaçao 4.2.2 através da aplicaç~o da equação 4.2.1. de definição do
divergente. a um volume de controle com a forma de um cubo. como da
do na figura 4.2.2.
a v. --+------V.+~ !J. X.
J a xj J
Fig. 4.2.2
a Aj A -r;--- o X. O X. J
J
4.3 ~ DIVERGENTE DE UM TENSOR
A me s ma i d é i a p o de s e r e x t e n d i da a um t e n s o r c o.m
de definiç~o dada por
equaçao
+ + +
1 8
+ +
div T ~ . "T lim ~ J -;; T dA eq. 4.3.1 V+O
+ +
Da mesma maneira anterior, aplica-se ~ escalarmente a T
-± = c a a _a_J v -,-, -,-. '\ ox. ox. oxk
~ J
T .. T .. T\ik ~~ ~J
+ + T T .. T .. T j k J~ JJ
Tki T kj T kk
Obtém-se então
+ c-a- a a ~."T +
= T .. + ~
T .. + axk T ki) e .
ax. ~~ J~ ~ ~ J
c-a- a a + + T .. +
~ T .. +
axk T kj) e. ax. ~J JJ J
~ J
+ c--a- r~k + __ a_ rJ.k + __ a_ r J ~k ax. _,_ ax. axk kk
~ J
+ +
Observe-se que o div T dá como resultado um vetor.
A título de exercício, pede-se +
1 - Formular e resolver o div t como feito para o div ~ no item 4.2.2.
+
2 - Dar o significado fÍsico de ~.T. Considere o signif~ cada fÍsic~ de~-~ já estabelecido.
CONCLUSLJES
1 - A mecanica dos fluidos Newtoniana (ou clássica) estu
da unicamente escoamentos de meios contínuos.
2 - A idéia de continuidade está associada ao escoamento
e nao ao fluido,
3 - O divergente resulta do produto escalar do operador
~ a um vetor ~ ou a um tensor r. (grandez~s escalares são exclui
das) . +
+ - + 4 - Div V e um escalar; Oiv T e um vetor.
19
5 - LEIS DA CONSERVAÇAO DA MECANICA DOS FLUIDOS
As equaçoes fundamentais que regem os escoa~entos apre
sentam elevado grau de complexidade do ponto de vista matemati
co. As soluções exatas conhecidas limitam-se apenas a poucos ca
sosem que a geometria dos escoamentos é extremamente simples. Co-
.mo caso geral pode-se afirmar que a solução do conjunto de equa
ções é extremamente díficil. senão impossível, mesmo com os re
cursos computacionais atuais.
Entretanto o estabelecimento das equaçoes para cada ca
so, acrescido ao conhecimento do comportamento funcional dos seus
termos integrantes.é de alta valia na an~lise fenomenol6gica dos
escoamentos. Não raro pode-se introduzir simplificaÇÕes com a o~
tenção de soluções aproximadas que permitirão uma an~lise. senão
quantitativa. pelo menos qualitativa do problema. incluindo-se
aqui o tratamento dado para a obtenção dos modelos reduzidos. as
pectos esses todos de grande importãncia em engenharia.
A seguir é então elaborada a dedução das equações funda
mentais da mecãnica dos fluidos bem como e estudado o comporta-• menta funcional dos seus componentes.
5.1 - Lei da Conservação da Massa
Equação da Continuidade
A Lei da Conservação da Massa estabelece que "o balanço
global da descarga através da superfÍcie de controle de um ele
~ento fluido, posicionada num escoamento, ~ igual ã variação tem
poral da massa do elemento considerado".
A formulação te6rica que expressa o enunciado anterior
e desenvolvida a seguir.
Na figura 5.1 tem-se o volume de controle V com sua su
perfície de controle posicionada no escoamento. O volume e aarea
k
~ u
i
Fig 5.1
20
elementares sao respectivamente dV e dA. A variaçao temporal da mas
sa interna ao volume V é dada por
am 3t J
v p dV eq. 5.1.1
O balanço global da descarga de fluido ao escoar atra-
ves da superficie A de controle do elemento de volume V é dada por
o e
o s f
A
-+ -+ ( pU) • n dA eq. 5.1.2
O sinal - (menos) advém do fato de o versar normal do ele
mento da ~rea da superffcie de controle estar dirigido para o exte
rior do volume de controle. A Equação da Continuidade é então obti
da igualando-se as equações 5.1.1 e 5.1.2. Assim.
l_ f p dV = - f CpUJ at v A
-+ n dA
Considerando o teorema do valor médio e a propriedade comu
tativa do produto escalar, pode-se escFever:
seja,
ou
1 f V A
-+ -+ (n. pU) dA
Considerando agora uma contração do volume de controle ou
passando-se ao limite no ponto (p = p no ponto). tem-se m
- 1 i m V-+0
1 J V A
- div pU
-+ -+ (n. pU) dA
eq. 5.1.3
que e uma forma compacta de representação da Lei da Conservação da
Massa. Desenvolvendo como sugere a eq. 4. 2. 2 obtem-se
por
então
ap - + at
ap U. -- +
J. ax. J.
Oefin i n do- se
o Ot
a - + at U.
J.
ap U. -- +
J ax. J
-+ - p div U
o o operador ot' derivada substancial no tempo
a -- + ax.
J.
a a u. -,..,- + u -,..,-J oxj k oxk eq. 5.1 .4
-+ o Ot p - p div U eq.5.1.5
21
àp A parcela at e a derivada local (derivada no ponto) da den
sidade relativamente ao tempo. d p ,
A parcela U. -a-- e a derivada convectiva relativamente ao
a xi tempo t = --- que
~ xi
a partícula leva para percorrer a distância xi com u. ~
velocidade U .. ~
Maiores detalhes sobre derivadas locais e convectivas se
rao dadas em capítulo futuro.
5.2 - Equação da Quantidade de Movimento (Lei da Conservação
Quantidade de Movimento - Segunda Lei de Newton).
Passa-se agora a aplicação da Segunda Lei de Newton ao sis
tema constituido ·por uma superfície de controle que contém sempre o
mesmo fluido (sistema fechado) de um escoamento genérico. Esse sis
tema se desloca e se deforma compativelmente com as possiveis posi
çoes que as partículas. nele contido. possam assumir no escoamento.
~ evidente que o elemento se acha sob a açao dos dois tipos de for
ças externas referidas no capítulo 1. a saber - Forças de Superfi-+ +
cie F e Forças Gravitacionais F . Essas forças dirigem o elemento s c
fluido no escoamento e consequentemente. também »dirigem» o escoa-
mento global. Assim a equação da Quantidade de Movimento deve abran
ger em sua formulação. as três Leis do Movimento de Newton. o que
sera objeto de estudo a seguir.
vel
Chama-se a atenção novamente. para o fato de nao ser possi 1'.. + -as forças externas de superT~cie F .• atuarem em uma regiao
s~ +
pontual. Necessariamente a ação F . é distribuida em uma superfÍcie s~ +
como já ressaltado nos capítulos 1 e 2. em decorrência da reação P - + do fluido ser caracteristicamente uma tensao. A força de campo F a c
tua em cada partícula da massa fluida. resultando portanto em força
também distribuida.
A título de ilustração pede-se a formulação e solução de
problemas que demonstram o fato anteriormente referido. fazendo-se uso
da Terceira Lei de Newton. Comente sobre o equilibrio obtido e sua
influência na aceleração de elementos vizinhos.
A figura 5.2.1 mostra o elemento fluido em escoamento. cons
tituindo este um sistema fechado (m = constante). são também i-+ +
1 u s t r a d as a s d u a s f o r ma s d e f o r ç a s a t u a n t e s, a s a b e r • F s
e F • c
tal
que
ou seja
Fig. 5. 2.1
Forças de Superfície
F s F .
Sl f
Forças de Campo
+ f
c = f p f dV
v c
f A
s dA
Cuja soma resulta em
+ + + F · F + F
e s c
A Segunda Lei de Newton estabelece que
o + õt m U =
0 m U Ot
+ F e
f A
f s
2-2
eq. 5.2.1
eq. 5.2.2
Para desenvolver a equaçao anterior torna-se necessaria a ex
pansao de seus componentes. Considere-se então
o + Ot m U
23
Ao produto m ~ d~-se o nome de quantidade de movimento (E
xercicio, Ler e Comentar o capitulo 9-1. "Momentum and Force"- Ref.
1 ) •
O campo do escoamento dado na figura 5.2.1 possui uma di~
tribuição espacial e temporal de quantidade de movimento tal que
Então a quantidade de movimento total ~ obtida pela inte~·
gral volum~trica no elemento. Para obter~se a quantidade de movi+
menta elementar dm U divide-se o elemento de volume V em N volu-
~es elementares dV, que contenham individualmente sempre a mesma
massa elementar dm, (recorde-se que m = constante)
Entaõ
o + o ,+
Ot (dm U) dm õtu
como
dm p dV
obtt:ím-se
o m TI f o +
Dt = p u dV v Ot
Substituindo a equaçao 3.2 em 5.2.1 obtém-se a forçade
superfÍcie
"F s
F sob a forma seguinte s
= f A
+ n •
Então, a equaçao da Quantidade de· Movimento fica
+
p gt U dV = f A
n. T d s + f pf v c
dV
Considerando a eq. 4.3.1, o teorema da m~dia e passandoao
limite. chega-se a
p o +
u Dt
lim V+ O A
-n. + + +
T dA + p f c
24
Lembrando da definiçao de divergente de um tensor
4.3.1) chega-se finalmente a
(eq.
o + t + p Dt U = div T + p fc eq. 5.2.3
Essa equaçao. conhecida como a E~uação da Quantidade deMo
vimento. ~ então uma transmutação alg~brica da Segunda Lei de New
ton.
A eq. 5.2.3 e de emprego generalizado no equacionamentode
problemas de mecânica dos fluidos. sendo sempre válida. desde que
respeitadas as restriçÕes que pesam sobre a Mecânica Newtoniana.já
referidas anteriormente. Dada sua forma vetorial,com unidade
em termos de força por unidade volume. ela possui três componentes
vetoriais. cada uma correspondente a uma das três direções do sis
tema de coordenadas selecionado. A solução do problema ~ consegui
da pela solução concomitante daquelas três componentes ..
A título de exemplo. tome-se o sistema cartesiano tri-orto
gonal de·coordenadasi. j. k. Então a componente escalar na direção
i assume a forma
p o (Dt
Expandindo-se
a p c TI
+ + + + U) e. (div T)
~
finalmente
U. + ~
T + ki
au· u --~ iax.
~
p f c. ~
para a
+ u. J
+ + + e. + p f e. eq. 5. 2. 4 ~ c ~
direçãó i
a ui au. a a uk --~)
(J T + ~
+ = ~
+·--axk i i ax. ji
J ~ J
eq. 5,2,5
Por rotação dos índices podem ser obtidas as componentes
j e k.
CONCLUS!jES
1 - A Lei da Conservação da Massa e uma reafirmação da
Lei Geral da Conservação da Natureza. sempre válida qui:mdoenunciada
dentro da Mecânica Newtoniana.
2 - A Lei da Conservação da Quantidade de Movimento é ob
tida pela aplicação das Leis do Movimento de Newton ao elemento flui
do em movimento. Ela apresenta-se como uma transmutação
da Segunda Lei de Newton.
algébrica
25
3 - Nos dois casos é necessária a determinação do estado
do fluido e dos parâmetros do escoamento, o que pressupoe portan
to, a existência de continuidade do meio em escoamento.
4 - A Lei da Quantidade de Movimento estabelece, para o
escoamento da partícula fluida, um equacionamento vetorial. Sua
solução é obtida. quando a solução concomitante de suas tr~s com
ponentes coordenadas é atingida.
5 - As duas leis anteriormente mencionadas sao de aplic~
ção geral (fluidos compressíveis ou não) respeitadas as restrições
que pesam sobre a Mecânica Newtoniana.
26
6 - TERMOS DA EQUAÇAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A aplicação da Equação da Quantidade de Movimento aos es
coamentos fluidos, exige o conhecimento funcional de cada um dos
componentes que participam do conjunto de forças externas que atu
am no elemento fluido em estudo.
As forças externas de superfície sao aplicadas nos con-
tornos do escoamento e difunde~-se na massa fluida pela intera-'
ção entre suas partículas. Assim. as forças que atuam na curva de
uma tubulação confinam o escoamento à sua geometria, de uma manei
ra geral. No entanto, o caminho descrito por um elemento fluido •
interno a aquele contorno, é ditado pelo conjunto de forças que
age sobre ele. O conjunto de forças possui propriedades tais co
mo intensidade, direção e sentido. dependentesdo processo de difu
são das forças, da tubulação.p~ra o interior da massa fluida em
escoamento.
Em princÍpio, a Equação da Quantidade de Movimento reune
condiçÕes para análise global dos escoamentos. No estabelecimento
das variáveis e das equações que possibilitarão as soluções de s-
critivas de um escoamento particular. é de importância o conheci
mento das grandezas relativ§ dos componentes das forças agentes e
também o conhecimento intuitivo da própria geometria do escoamen
to.Muitas das vezes a obtenção de valores experimentais indicati
vos daquela geometria precedem o equacionamento e a solução do
problema.
Em projetos fluido-dinâmicos é objetivo principal a de-
terminação do campo do escoamento, especificado pelas distribui--
çÕes espaciais e temporais das variáveis ~ ele associadas quais se
jam: a velocidade, a pressao e a densidade, variáveis es as fun
çoes das coordenadas x., .x,. xk e do tempo t. J_ J
Considerando que a velocidade é determinada por suas trê~
componentes U., U. e Uk. tem-se 5 (cinco) variáveis a determinar J_ J
para cuja solução dispÕe-se de 5 (cinco) equaçoes a saber:
çao da Continuidade; 3 (três) Componentes da Segunda Lei de
Equa
New-
ton (Eq. da Quant. de Mov.); Equação de Estado da
p = p (p).
Termodinâmica,
Procede-se a seguir o estudo detalhado de cada um dos com
ponentes que integram as equaç6es de definição do campo do escoa-
menta.
o +
Ot u.
27
6.1 - Componente Inercial - Aceleração Local e Aceleração Convectiva
+ e i)
o + O termo Inercial p Ot U pode ser de_~~~_o)v:Lda_em (ver eq.
o + p Ot U
A grandeza da
e dada por:
a i - (at u. + J.
componente I
a ui u. ax:- + u.
J. J J.
5.1.4)
da aceleração na direção i,
a ui au.
ax:- + uk __ J.)
axk J
resultado esse decorrente de
zero
independente da direção considerada no sistema cartesiano tri-or
togonal.
As grandezas das componentes nas outras direç6es sao de
terminadas semelhantemente.
Note que a aceleração na direção i mostra termos que
dependem do tempo t cronolÓgico e termos que dependem do tempo
que a partícula. dotada da velocidade U .• leva para percorrer J
a distãncia elementar na mesma direção, a saber, xj. para qualquer
j.
A figura 6.1.1 e a tabela 6.1.1 ilustram claramente a
diferença entre essas componentes da eq. 5.2.3.
A figura 6.1.1 mostra o escoamento interno a um dutocom
variação de secção. O duto possui três secções. duas das quais.
a-b e c-d. são de secção constante. A intermediária, b-c, possui
secção variável,que diminui na direção do escoamento. Ainda o es
coamento é variável ao longo do tempo. P<:Jra t 1 < t < t 2, o escoa
mento é uniformemente acelerado. com as distribuições de veloci
dades ilustradas nas figuras 6.1.1 A e B.
Para t > t2 as distribuiçÕes de velocidades permanecem
imutáveis de modo tal que no instante t3 a configuração do escoa
menta é idêntica à havida em t2.
Os termos de aceleração assumem os valores médios dis-
criminados na tabela 6.1 .1, correspondentes ás diversas
dos dutos dados na figura 6.1.1
secçoes
28
Llt = t -2
A
B
c
t1
I
I I I lu2 I a
b c I 1 u I c
I _(
I I I I I l
F i g • 6 •. 1 .-1
Tabela 6.1.1
I
I I I I I IU 2 I c
u3 c
d Insta.nte
I
_I
' I I
t2
I I I I I I I
t3
t > t 2
LOCAL = i'~ i'~ CONVECTIV/\ LOCAL 'i~ ~':i': CONVECTIVA
u2 - u1 u + ub ub - u u3 - u2 u + ub ub -a b a a /o a a o a a o a = =
t2 - t1 2 xb - X t3 - t2 2 xb -a
u2 - u1 ub + u u - ub u3 - u2 u + u u -
b b• b• i o c c ;. o b• b• o b c c c =
t2 - t1 2 xb - X t3 - t2 2 X -a c
u2 - u1 u + ud ud - u u3 - u2 u + ud u -c c i o- c c c c o c d c d = o =
t2 - t1 2 xd - X t - t2 2 X -c 3 d
* U = Valores das velocidades medidas num mesmo instante t para t 1 < t < t 2
** U Valor médio da velocidade na seção b-c Vb +V c) b• 2
*** U = Valores das velocidades medidas num mesmo instante t para t > t 2
u a
X a
ub
xb
u c
X c
= oi I
t o
= o
Também aqui o processo de cálculo mostra a origem do
que a aceleração convectiva possui. Para um mesmo instante t
29
nome -sao
tomadas as velocidades U em duas secções diferentes, distante~en-
tre si de /::;x = x. 1
- x. • o que dá uma idéia da necessidade da exis J.+ J. tência de uma convecção relativa às paredes do condutor, para asse
~ . ui + ui+1 gurar a existência da aceleração. A velocidade medJ.a
tre x 1 e xi+ 1 completa a formulação 2
en
De uma forma compacta pode-se escrever então
o -+ -+ a ui a ui u. e. at + L:. U. a;(." eq. 6 . 1 . 1
Dt J. J J J
onde
-+ a ui aceleração direção e. local na i eq. 6. 1 . 2
J. d t
-+ a ui aceleração direção e. L: • u. ax:- convectiva na i
J. J J J eq. 6. 1 . 3
Exercício - Suponha o elemento da figura 6.1 .1 como um sis
tema fechado, acelerado no espaço. Qual o tipo de aceleração
que existe? Por que? Comentar.
6.2 - Força de Campo
A existência da força de campo F , como já delineado no c
pítulo 2 é proporcionada unicamente pela força gravitacional.
Na solução de problemas fluido dinâmicos, a geometria
c a
do
sistema nem sempre permite a escolha de um sistema de coordenadas
com um dos eixos alinhado com a componente do campo gravitacionaL
como desejável sempre que possível.
Então para um caso geral,
F c
-+ m f
c
-+ ~ e a componente i da força de campo especificada, f ,e obtida
c segue
como
f . -+ e.
eq. 6.2.1 CJ. J.
para i qualquer -+
Ainda. f pode ser posto sob a forma c
-+ -+ f g e
c g
e para uma situação como a dada na figura 6.2.1,
obtém-se,
i
-+ -+ f g e
c g
-+ f = g e
.ck g
k
ê k
~--~----------~~ j
fig. 6. 2.1
- g
f . CJ
zero para j -F k
Se, porém, êk tiver mesmo sentido de
rece (eixo k dirigido para baixo)
6.3 - Força de Superficie
-+ e • g
30
eq. 6.2.2
eq. 6.2.3
o sinal desapa-
Na Equaç~o da Quantidade de Movimento (eq. 5.2.1) a ~ar
cela correspondente à aç~o das forças de-+superficie que agem na fron -+
teira do elemento fluido é dada por div T.
•
..
}.1
+ +
O tensor T. definido pelas nove tensões L .. · ilustradas na . J. J
figura 3.2. possui uma s~rie de propriedades importamtes associa-
das ao comportamento da mat~ria. com influência direta na relação
funcional entre as tensÕes e as deformações; relações essas que re
cebem o nome de Equações Mecânicas Constitutivas do Material,
Este capítulo irá tratar das propriedades e relações aci
ma mencionadas.
+ +
6.3.1 - Simetria do Tens6r T
Um tensor ~ simetrico se seus componentes permanecerem i-
nalterados. depois de uma troca de posição entre componentes -
que
têm os mesmos dois Índices. Então se L .. = L .. para qualquer i e j. J.J JJ.
diz-se qu~ o tensor ~ sim~trico. A seguir faz-se uma demonstração
da igualdade entre L .. e L ..• Utilizando-se do mesmo procedimento J.J JJ.
relativamente às outras tensões tangenciais completa-se a demons+
tr:ação da simetria do tensor T (ref. 5. cap. 5.13; ref. 4. cap.12-
1 o) •
Considere-se então o elemento fluido com a superfÍcie de
contorno dada na figura 6.3.1.1
L / . J
1
fig. 6. 3 .1 . 1
32
Aplicando a Equação de Euler da dinâmica, obtém-se para
as componentes escalares segundo o eixo i
em que
M. ~
eq. 6.3.1.1
Mi - componente escal~r do momento de todas as forças ex
t e r n a s que agem no e l em e n t o f l u i do • s e g u n d o o e i x o i .
I .. -momento principal de inércia, segundo o eixo i,que ~~
contem o centro de massa do elemento.
eixo i.
w. - componente escalar da velocidade angular segundo o ~
Note que as Únicas forças que podem ocasionar momentos
no elemento de dimensões infinitesimais, são as forças de cisa
lhamento. Assim, segundo o eixo i, sómente dAj Tjk poderá contri
buir (por quê?).
-
A expressão de Mi é dada por:
dT.k dx. Mi =· {Tjk dxi dxk + (Tjk + dx~ dxj) dxi dxk} --t- +
dTk. dxk {Tkj dxi dxj + (Tkj + axkJ dxk) dxi dxj}--2-
Para os momentos de inérci~ tem-se:
I .. ~~
Por substituição dos índices de maneira conveniente, ob
tem-se Ijj e Ikk
-Rearranjando e substituindo na equaçao 6.3.1.\ tem-se
w. + l
33
Vê-se que o termo a direita do sinal de igualdade é pro
porcional à quinta potência da dimensão geométrica do elemento con
siderado. e o da esquerda é proporcional à terceira potência.
Dividindo os termos pelo volume e considerando que os +
valores de w são limitados,determina-se o valor limite no ponto.
Obtém-se então
zero
ou seja.
T j k = T kj eq. 6.3.1.2
Como a Única restrição que pesa sobre Tjk é que j F k, a
equaçao 6.3.1.2 mostra a simetria do tensor das tensões atuante no
elemento fluido. Ressalta-se que a simetria existe independenteme~
te de haver ou não o processo da difusão da quantidade de movimen
to atrav~s do fluido, característica esta de importância na deter
minação das propriedades associadas ao fluido e ao escoamento.
Enumeram-se a seguir algumas delas (ref. 6).
1 9 ) O tensor apresenta três invariantes
I1 (J • • + (J •• + (Jkk ].]. JJ
2 2 2 I2 (J •• (J •• + (J •• (J kk + (J •• (Jkk - T .. - Tik - Tjk ].]. JJ ].]. JJ lJ
(J •• T .. Tik ].]. lJ
I3 Tji (J •• Tjk JJ
Tki T kj (Jkk
29) O tensor simétrico apresenta um Único conjunto de ei
xos principais tal que T .. =zero para i F j. Então o tensor fica lJ
reduzido a seus elementos da diagonal principal,a saber:
(J11 o o + + T - o (J22 o
o o
e os invariantes ficam
34
3
I1 2: (J •• i=1 J.J.
eq. 6.3.1.S
I2 2:. 2:. (J •• (J •• J. J J.J. JJ
eq. 6.3.1.4
I3 = (511 (522 (533
Os três invariantes acima sao usados na definição da pre~
sao termodinâmica de um meio continuo.
Uma vez conhecidas as tensões principais, o campo tensori
al das tensões poderá ser determinado para qualquer sistema coorde
nado especificado (ref.6)
Também. os 3 (três) eixos ortogonais principais do ten
sor simétrico determinam três planos principais, mutuamente orto
gonais nos quais as Únicas tensões são as tensões normais
como e ilustrado na figura 6.3.1.2.
+ + T =
Cí .. J.J. F ig. 6. 3. 1 . 2
(J •• J.J.
o
o
o o
(J •• JJ
o
o
Não significa isso que, para qualquer outra orientação dos
eixos T .. deva permanecer nulo. lJ
6.3.2 - Tensor das Tensões Médias Normais - Tensor Desvio
Na equaçao 6.3.1.3. r 1 = Cíii + crjj + crkk e um invariante
ou seja, r1
e uma constante para o ponto do espaço, no instante t.
i n d e p e n d e n t em e n t e da s d i r e ç õ e s c o ordenada s i , j e k e s c o l h ida s . To r
na-se então de interesse a definição do Tensor das Tensões Médias
Normais
(J o o m + + T o Cí o m m
o o Cí m
35
com
-+ -+ -+ -+
A. diferença entre T e T define o Tensor Desvio, a saber m
com
ou seja.
-+ -+ T =
T •• ~~
T .. ~~
Tji
T ki
a .. - a ~~ m
T .. Tik ~J
T .. Tjk JJ
T kj Tkk
O tensor das tensões fica então
-+ -+ -+
r r -+ + T
m
a .. T .. Tik a o o Tii Tij ~~ ~J m
T .. a .. Tjk o a o + T .. T .. J~ JJ m J~ JJ
Tki T kj akk o o a Tki T kj m
-+ -+
Note que T e um tensor com componentes a m m a dirigido do exterior para o interior do elemento m -+
eq. 6.3.2.7
eq. 6.3.2.8
Tik
Tjk
Tkk
sempre "f zero.
fluido. O ten--+ ~
sor T e então exp~esso como a ~esultante da superposição do tensor -+ -+ T sobre o tensor T . O m te entre o valor -+
médio
-+ tensor T dá o val~r do desvio local existe~
-+ representado por T • para a condição
m real
-+ T • devido à existência do escoamento no ponto onde são medidas as
-+ tensões T.
-+ Desde que exista fluido, T sempre existe como especific~
m do no paragrafo anterior. Ele está associado com as propriedades
do fluido, cuja relação funcional é objeto de estudo do capítulo
que segue.
36
6.3.3 - Pressão no Fluido
A Terceira Lei de Newton estabelece o fato natural de coe
xistência local e concomitante da ação e da reação. Assim, a equa
ção 6.3.2.8 faz pressupor a existência de uma reaçio interna ao ~
fluido, que se ~ponh~ local e concomitantemente -+
a T, ou o que e a -+ -+
mesma coisa, a T e L• m O tensor que se contrapõe
-+ -+
a T e a m seu contorno, com direção do interior para
reaçao do fluido sobre
o exterior do elemento
fluido, A grandeza escalar dessa reação, como já referido no capit~
lo 1, é a pressão interna do elemento, gerada pelo próprio fluido
nele contido. No caso de fluidos compressiveis, a pressao e prop~~·
edade termodinâmica intensiva de estado do fluido. Por essa razao,
a pressão apresenta
onamento matemático
indiscutíveis vant~gens de ser usada no equaci ~ -+
em substituiçao a T , uma vez que é relacionam
da funcionalmente com outras propriedades de estado do fluido que,
conjuntamente.definem o campo do escoamento.
· Convªm aqui ressaltar que. para fluido compressível, a de
finição e medição da pressao e feita para o sistema em estado de e
quilibrio termodinâmico, caso para o qual a condição de tensão hi
drostática (a .. = a ) é exigida. O equilÍbrio termodinâmico nem sem ll m
pre será obtido nos escoamentos, em razão do que nem sempre também
as relações funcionais termodinâmicas serão válidas para o
lo da pressão p local, com a finalidade de -+
compor-se o tensor T, p~
ra completa definição do campo do escoamento. Maiores detalhes so-
bre o problema serão dados em capitulo vindouro. -+
~ -+ Definé-se entao o tensor P.
-+ reação do fluido a T m
Assim
~r + -+ -+ p - T
m
e a equaçao 6.3.2.8 fica
-+ -+ -+ -+ -+ -+ T - p + L eq. 6.3.3.1
A equaçao da Quantidade de Movimento assume a forma
-+ -+ o -+ -+ -+ -+ u di v ( -P) + di v L + a f eq. 6.3.3.2
Dt c
direção -+
e a componente na e. fica l
a u. u. au i
U. ~ + uk a ui
= a P + dT + -- + axi l l axi J axj axk
37
a + -- T .. dX. ~~
eq. 6.3.3.3 ~
-+ -+
Note que o tensor T nao apresenta interesse em ser subs-
tituido pela correspondente reação do fluido, em razão de essa
- -reaçao nao ser propriedade de estado do fluido e sim propriedade
do escoamento.
6.3.4 - Tensão Hidrostát1ica - Pressão Termodinâmica
Se o estado de tensão é tal que o elemento de area está
sempre sujeito a uma tensão normal a ela própria, e se a intensi~
dade dessa tensão independe da orientação da área. então essa ten
são é chamada hidrostática. Todos os fluidos em repouso
r~ comportam-se dessa maneira.
Então
a o o p o o m
-+ -+ -+ -+ T T o a o o p o
m m
o o a o o p m
-+ CU = ze-
-+ -+
- p
onde p e a pressao do fluido. e neste caso, também chamada pressao
hidrostática.
Como já observado no item 6.3.3 e no capítulo 1, se o flui
do for compressível. essa pressão é a pressaõ termodinâmica de es
tado definida pela equação do estado fluido. p = z p gRT (ref. 7)
6.3.5 - Lei da Viscosidade de Newton
Uma comparaçao entre as equaçoes desenvolvidas para sit~
açoes de fluido em escoamento (item 6.3.3) e de fluido em repou
so (item 6.3.4) sugere que a existência do tensor~ é condicionada
a existência de um escoamento.
O comportamento das tensões de cisalhamento em um plano
do escoamento é melhor visualizado através do experimento que re
sultou na Lei da Viscosidade de Newton.
Considere o escoamento fluido entre duas placas planas p~
ralelas suficientemente grandes, com relação à dimensão b. uma
delas em repouso e a outra em movimento uniforme, com velocidade
U • como ilustrado na figura 6.3.5.1 o
38
-+ T .• Jl
F
/ / -+
a 7 F 7 T·. = A / Jl
/
~
f ig . 6. 3. 5. 1
Dbservaç6es experimentais mostram que o fluido adere -as
paredes, e nesse local, tem a velocidade da parede e também que
a distribuiç~o de velocidade~do escoamento. Assim, na superficie
inferior, a velocidade do fluido é zero e na superior, a velocida
de é U ·. Tem-se então o
~ a
u o
Ainda experimentalmente, verifica-se que o escoamento e
mantido à custa de uma força tangencial, por unidade de area, na
superficie superior,a qual é diretamente proporcional à relação
U /a. A constante de proprocionalidade (~) depende exclusivamente o do fluido e de seu estado. e é conhecida como a viscosidade do
fluido. Sob forma matemática, válida para T .. no ponto, 3ui Jl
s u b s -c. i t u i d o p o r -- n o p o n t o . d X •
J
i\ssim,
U /a o
-8
T .. J J.
eq. 6.3.5.1
que expressa a relaç~o fundamental da viscosidade dos fluidos. A - anterior - conhecida Lei da Viscosidade de Newton. equaçao e por
Como - tensão ~ireção i pertencente ao plano T .. e uma na Jl - simétrico
-+ j • que compoe o tensor T' deve existir seu correspon-
dente T .. que, para lJ
ser simétrico a T .. Jl
independentemente de uma
rotação dos eixos i e j, deve necessariamente satisfazer a
T .. lJ
"'u. ..,u. ~ (-o_l + _o_J)
8xj 8x 1 eq. 6.3.5.2
39
A equação 6~3.5.2 dá a lei de formação para todas aste~ -+
soes tangenciais de T, obteníveis por permutações adequadas dos í~
dices i e j. Ressalta-se, que o valor de T .. , na direção j, nao lJ a X i
é proporcional à deformação, mas sim a taxa (dUi = ~) de defor
mação na direção i, em função da posição x .. A idéia é ilustrada J
na figura 6.3.5.2.
j
u~ , /
I / u~ - u: I
/ aU; , 1
u: / ax. X~ - 1 I / J x.
1 i/ J J
x~~-----~------~-J
X~ J r----'
1
Fig. 6.3.5.2
Uma vez estabelecida a interdependência en~re as tensões
tange n c i a i s T . . e a taxa de deformação existente no f 1 ui do , torna lJ
se de interesse o conhecimento do processo fÍsico global intrins~
co imposto ao escoamento pelas taxas de deformação segundo as três
direções coordenadas.
Antes de passar a outro {tem, seria adequado citar o me-
canismo fÍsico de que resulta a viscosidade do fluido.
Um fluido, tem suas moléculas em constante agitação em
virtude da qual não existe para elas posições fixas. Elas deslo
cam-se constantemente,intercambiando posições. Quando existe um
gradiente de velocidade num escoamento. as l~minas de fluido des
locam-se com velocidades diferentes. Aquela agitação provoca um
intercâmbio contínuo de moléculas entre as camadas que possuem va
lares médiop diferentes de quantidade de movimento, com conseque~
te intercâmbio a nivel molecular, também médio, de quantidade de
movimento~ ação essa que resulta no aparecimento de uma força en
tre aquelas camadas. Essa interação é chamada de viscosidade do
fluido, propriedade de estado, definida como
'"'U. 11 = T .. I (~),
lJ o X j
válido para o exemplo dado na figura 6.3.5.1
40
6.3,6 - Deslocamento Relativo de um ponto
Considere o campo de escoamento dado na figura 6.3.6.1,
onde estão situados os dois pontos P 1 e P 2 • que possuem respectiv~ -+ -+
mente as velocidades u1
e u2 . O vetor posição de um ponto relati -+
vamente a outro é dado por 6t.
Fig. 6.3.6.1
O afastamento do ponto P 2 relativamente ao ponto P 1 de+
pende do campo do escoamento. U (x .• x .• xk. t). da posição absoJ. J
1 u ta do s p o n t o s P ( x . , x . , x k , t ) e da di s t â n c i a fit ( x .• x .• x k • t ) J. J J. J
entre elss, Cada ponto desloca-se segundo as velocidades que po~ -+
sue ,e o afastamento relativo é dado pela diferença 6U entre a-+ - -quelas velocidades. A componente de U segundo a direçao i e dada
pelos termos de primeira ordem da série de Taylor. Considerando
se a componente i do vetor velocidade em P? relativamente a velo
C'idade em P 1
, tem-se
U. + 6U. J. J.
U. l
eq. 6.3.6.1
Considerando que existem também as componentes Uj e Uk.
c movimento de P1
relativamente a P 2 será descrito de maneira gl_9.
bal por nove componentes que constituem a matriz das
parciais da velocidade. dada a seguir.
derivadas
41
a ui a ui a ui
dX, dX. axk J. J
auj auj auj
dX. dX. axk J. J
auk auk auk
dX. dX. axk J. J
Tal movimento relativo nao origina necessariamente, no e
lemento fluido, deformações como efeito Único. Assim, do ponto devis
ta fluido dinâmico é de interesse se o arar as quantieades que
provocam uma taxa de deformaç~o daquelas que provocam um desloca
mento ou rotação de elemento fluido como um todo.
A taxa de deslocamento, na direção i, de um ponto relativa
mente ao outro. é dada por
!J. U. J.
ou de maneira compacta
x. + J.
a ui L. -"1- ll XJ.
J oX. J
3u .. A d i c i o n a n d o - s e ~ de ma n e i r a c o n v e n i e n t e, o b t é m- s e 'dx-.
fl u. J.
ou ainda
!::. u. J.
Em sua
tente entre p2 e
J.
"'u. 1 L {. (-o_l 2 . dX.
J J
+ ó) dX.
J.
au· + (--l
ax. J
forma vetorial globaL d
P1
é dada por
taxa de deslocamento e xis
- ~ a ui au. -+ a ui au j J} -+ L. 11 u. e. i L. L. {e. (~ + __ J)
+ e. (~ .A ax. J. ax. l J. l 2 J. J J.
J J. J J.
X. J
42
Com procedimento matemático análogo ao desenvolvido no
capítulo 3, obtém-se
A u 1 -+ au. 2
L:. L:. {el. (~ + l J ox.
J
-+ e.
J
-+ + e.
l
...,u. (-o_J:
dX. J
auj -+ --) eJ.} dX.
l
Nota-se que as diferenciais internas aos colchetes sao as
componentes de um tensor. Dado o significado físico. delineado a
seguir, chama-se de tensor deformação a
-+ au. u -+ ->-
(--l u) -+ e L:. L:. e. + e.
l J l ax. ax. J J l
e de tensor rotação a
-+ au. au. -+ -+ (--l
-+ r L:. L:. e. _J) e.
l J l dX. dX. J J l
Assim
-+ -+ -+ ~-u 1 (~ -+
iH + rJ 2
A titulo de ilustração examina-se graficamente a açao, so
bre o elemento fluido,das componentes e .. e r ., (figuras 6.3.6.2). lJ eJ
Exemplo 1 - Distorção e rotação
8ui --- > O, i I J; demais componentes nulas 3x.
J
j
t t > t o
/
Exemplo 2 - Distorção pura
auj -- > O, demais componentes nulas axi
t = t o
i
Exemplo 3 - Rotação pura*
j
auj auj - --- --- > O; demais componentes nulas 3x. ' Clx.
t :: t o
l l
Exemplo 4 - Estiramento puro
j
au· __ ._l > O; demais componentes nulas dX.
l
j
t t > t o
i
*
i
* A fcrma geométrica (quadrado) do elemento permanece inalterada
43
44
Exemplo 5 - Expansão pura
j j
~ a.1
~~~
/
/ i
/ i --;71
" t to >
Na figura 6.3.6.2 são dados cinco exemplos de situa
çoes diferentes. No primeiro tem-se uma distorção associada a uma aui > rotação. O elemento fluido em escoamento, onde O, sofre uma axj
defo~m9çãD durante o intervalo de tempo At = t - t0
, passando sua
secçao transversal de forma quadrada para a forma de um losango.
A rotaç~o ~ dada pela inclinação de sua diagonal que ini-
cialmente era a1
em t0
passando a a2
em t.
O exemplo 2 mostra um elemento, num escoamento fluido on-3Uj ~ > O, sofrendo uma deformação pura. Sua secção trans-dX.
l
versE,l passa da forma quadrada para a losangular, não mostrando alte-+
raç~o rela~iva na posição de Eua diagonal, (;=zero).
exemplo 3 mostra um elementoque
O camoo c'e aui auj
escoamento possui -- --3x. ax."'
sofre uma rotação pura. a u . __ J > o ox.
?m teme
J l l
~nt~o.a forma da secção transversal nao sofre deformação
a~ m. embora sua diagonal, passando de a 1 em t0
para a. 2 am t. +2 ~om que o elemento fl~ido gire como um todo, nao alteran
~o o mo: lo das distancias relativas entre suas particulas consti-
tuintes(1 "'u. _o_l > O a X i
O 1uarto exemplo mostra o caso para o qual com
todas s demais alternativas igualmente nulas. Nesse cas~ o ele-
mento f~uido sofre um estiramento tal que todas as particulas peE
tencentes é mesma secç~o transversal normal a x., do intervalo dx., l l
afastam-se igualmente das partículas de outra secção transversal co.!::
gênere,
O quinto exRmplo considera diferentes
45
de zero com os demais termos nulos.
Ana 1 o g ame n t 8 a o au·
caso anterior, t~m-se somente est~ramentos
nas . - J. dJ.reç o e s em que -"--a X i
> o.
Os dois Últimos casos correspondem tão-somente a varia-+
çoes volumétricas com valor dado pelo div U, com significado fisico
j~ visto no capitulo s. "Equação da Continuidade".
Nota-se, assim, que o deslocamento de um ponto relativamen
te õ outro é completamente descrito com +
auxílio dos dois tensores.a +
- + saber, o tensor deformaçao e e o + . tensor rotação r, acrescJ.do da dis
tância vetorial 6t entre os dois pontos. Além de uma deformação e
uma rotação, o corpo pode apresentar deslocamento como um todo. con
forme indicado na equaçao 6.3.6.1. ali representado parcialmente p~
la componente U. na direção i. J. + + r Ressalta-se, agora.o fato fÍsico de que uma rotação pura
+ - -ou um deslocamento puro U nao causam tensoes, como observado pela
Lei de Newton da Viscosidade. Corpos submetidos a tais situações de~
locam-se comoum todo. mantendo inalteradas as distâncias relativas
entre suas partículas. tanto no espaço quanto no tempo.
Somente os termos que compoem o tensor deformação podem in
dividual ou conjuntamente, produzir tensões no fluido. como a obser
vaçao experimental mostra. + + ~ -Observe-se ainda que o tensor T e um tensor simetrico com
todas as P.ropriedades matemáticas inerentes. como soe acontecer com "?-+ ~ ..
o tensor T ja estudado no capJ.tulo 6.3.
6.3.7 - Relação entre tensão e taxa de deformação
Do exposto nos capitulas 6.3.3 a 6.3.6, veriTica-se que o + +
tensor desvio resulta da existência do tensor deformação s em um es
coamento viscoso. Um deslocamento puro ou uma rotação do elemento
nao provocam tensões tangenciais. uma vez que o elemento fluido se
desloca como se fosse unr corpo rigido.
Qu~ndo não existe escoamento, o fluido desenvolve um campo
de tensão hidrost~tica (capítulo 6.3.4) qu~ é igual ~ reação do
fluido ou seja, é igual ~ pressão hidrostática. Nessa situação o
tensor desvio é identicamente nulo.
Quando o fluJ.do se acha em escoamento. + + T assume valores di
ferentes de zero. Torna-se então necessário saber em que condiçÕes
a pressão local p mantém a igualdade com cr • permitindo a substitui + ..;. m + -- + + - + çao de T por P, com a consequente quantificaçao de T. No ponto da
m press~o do fluido sempre existe (Principio do Estado do Local, (Ref. 8 ) ) •
46
No caso de um fluido que se comporte como gas, sempre a pressao termodinâmica poderá ser determinada (pela Equação de Estado). Se gue a análise correspondente.
As componentes T .. do tensor desvio sao lJ
ccmbinaç~c conveniente dos gradientes de velocidade
formadas por uma 3Ui -"'- p a r a q u a_! ax.
quer i 0!.1 j. J
Postula-se a linearidade dessas relaç6es, cuja forma de-
ve permanecer inalterada com uma rotação do sistema de
das OL., com um intercâmbio entre seus eixos, para que a
coordena-
isotropi-
a do fluido esteja assegurada. Tamb~m para a exist~ncia da isotro -+ -+
pid.~ necessário que os eixos principais do tensor desvio T sejam ::t
coincidentes com os do tensor deformação e. easo contrario uma a-
nisotropia irá subsistir. Assim. mostra-se matematicamente a ne
cessidate de cr .. ser proporcional a taxa de deformação nessa dire ll
c0o (ClU./Clx.) e tamb~m ser proporcional~ soma das taxas de defor l l
- - -+ m~çao nas outras tres direçoes coordenadas (div U), cada uma cmm
constente de proporcionalidade diferente. que são propriedades do
flcido, ob-tendo-se daÍ a coincid~ncia e, portanto, a isotropia desejada.
Assim.a seguinte representação ~ adotada
T .. ll
T .. lJ
eq. 6.3.7.1
eq. 6.3.7.2
As octras componentes sao obtidas por mutuação convenien
te dos fndices. Paro assegurar isotropia À. e p devem ser as mes-
mas oara todos os trds T ... O fator 2 que precede p na primeira e ll
quac~o ~ q estão de mera conveni~ncia.
"'u. o l
!\lu:e que o -+ div U representa uma variação volum~trica e
representa uma variação de forma. como já visto no dX.
l
6. 3. 6
-+ -+ T À
p
p
A.ssirn
-)-
di v u
~, u . r o J + . d X .
l
3uk r + l--
ax. ' l
->--+ T fica
au~ + 2p .l.. p -"--ox.
l
3u. __ l) À dX.
J
3u. __ l) p ()Xk
3u. d u. êlu. (--l (--l + __ J) p
dX. dX. Clxk J J..
-+ 3uj 3u. di v u + 2p p (--J
~ 3xk J
3uk au. -+ (- + __ J)
À di v u d X j axk
capítulo
u ~) + dX.
l
au k + -)
dX. J
3uk + 2p
Clxk
47
-+ -+
Também as componentes de T podem ser escritas em forma
compacta, utilizando-se da convensão de Einstein para somatórias,
a saber-
T •• l.J
ô . . À d u k + 2]1 ( d ui + l.J dXk dXj
onde o delta de Kronecker
o .. l.J
zero se i I j e ô .. l.J
1 se i
A soma dos elementos da diagonal fica
I:. T .• J. ll
L:. T •. l J.J.
-+ -+ 3À" div U + 211 div U
(3À + 2]1) -+
div U
k I i, j
j
a s~b~~. a soma dos elementos da diagonal do tensor depende do -+ . fator 3À + 2]1 e do divergente de U. EvJ.dente e que sempre qu~
2::. T. l l ~'
zero. o valor da pressao poderá indiretamente compor -+ T.
Case c-:Jntrário,não. ->-
Evidentemente. se div U = zero (que é o caso de fluidos
i~comr:essiveis). aquela identidade é sempre nula. Para o caso
de flL~dos compressfveis, ser~overificadasas condiç6es para as
quais T •• ll
= o
6.3,8 - Hipótese de Stokes
A hipótese oe Stokes foi elaborada em 1845. potta~to há
mais d um s~culo e msio atrás. Entretanto. embora o valor de À
utiliz do nas equaç~~3 permaneça inalterado desde aquela
seu ~ignificado fÍsico para escoamentos compressíveis (div
epoca, -+ U I O)
perman:.ce em aberto. sendo objeto de pesquisa até os dias prese_!2
tes.
A hipótese formulada por Stokes considera
3À + 2]1 zero
do c:ue resulta
eq. 6.3.8.1
48
e o numero ~e propriedades (duas) do fluido que participam da de+
finição de L reduz-se a um , em virtude da relação anterior.
Substituindo o valor de À na componente normal L.. do ~~
tensor desvio,obtém-se para qualquer i a expressão seguinte
e as
cam
L .. ll
2 êlui - -~ div U + 2~ ---
3 êlx. ~
+ componentes genéricas + normlais, 0 .. , e tangenciais, L ..• de T fi-
~~ ~J
~~ + êlui
0 .. - p - di v u + 2~ ~ ~~ J eq. 6.3.8.~
~
8u. êlui T .. = ~ (--J. + -}
lJ êlx. êlx. J l
eq. 6.3.8.3
Neste caso, a Equação da Quantidade de Movimento (equa-
çao 5.2.4L na direção i e na sua forma constitutiva será dada pe-
la express3o obtida por substituiçaõ das equações 6.3.8.2
6.3.8.3 na equaçao 5.2.5
o ~ _3_· {- ~~ au· êluj êluk
i - p u. + (--~ + + -)
Dt l dX. êlx.
3 êJx. êlx. ~xk l l l J
e
+
eq. 6.3.8,4
Aé componentes em j e k sao obtidas por procedimento se-
quencial id~ tico.
A e uaç~o 6.3.8.4 tem sido submetida a inGmeras provasde
aplic2c~c fencmenol6gica pr~tica. com bons resultados, subsistindo
mesmo jentro de co~diç6es rigordsas. Embora o significado fisico
de À n~o esteja comoletamente esclarecido e a equação da Quantid~
de de Me imanto possa nao ssr a expressao exata da verdade fenome
nol6gic2 ditada pa~a natureza. sem sombra de duvida·ela consti
tui excelente aproximaç~o te6rico-prática.
Relativamente ~ dissipação de+energia nos escoamentos. so ->-
m8nts as componentes do tensor desvio L contribuem quantitativa-
componentes tangenciais L .. produzem um trabalho que lJ
e
49
integralmente dissipado irreversivelmente e~ energia +irmica. cujo
valor numjrico i dado por
O mesmo não ocorre relativamente a tensão normal. princi
palmente se considerada sua forma globaL como expressa na equaçao
6.3.8.2. A pressão p. que i a re~çao do fluido nas fronteiras do
elemento que o contém. origina sobre suas fronteiras um trabalho -+
revers!vel sempre que div U i zero. Entretanto T.i apresenta umcom ~ -
portamento todo peculiar. podendo ou não contribuir parcialmente P2 ra o mecanismo de dissipação.
Assim embora concomitantemente ao mecanismo de transferên
cia de quantidade de movimento. T .. sempre ocorre como um proces~J
so de dissipação de energia, o mesmo nao ocorre necessáriamente com
o termo cr .. como será visto no Ítem a seguir ~~
6.3.9 - Viscosidade Média, (Bulk Viscosity)
Pressão Termodinâmica
O raciocínio a ser desenvolvido.concernente ao sigÃifica
do fÍsico de cr .• e À, nao levará em conta a existência de T ..• uma ~~ ~J
vez que os fenômenos a ele associados estão já suficientemente es-
clareciçlos.
Considere-se então o caso do sistema que contém um fluido
compressivel. como por exemplo um gás, ilustrado na figura 6.3.9.1
(J
(J • (J
(J
Compressão quase estática Movimento oscilatório
Fig. 6.3.9.1
50
-+ -+ Considerando o sistema ~m repouso~ j~ se sabe que l = - ~
e crii sempre é i~ual a pressão termodinâmica do fluido. no caso em
questão,comportando-se hidrostaticamente.
e
e também
As expressões
cr m
+ aui - p .,_ À div U + 21l ~
Cl x-.
= (J m
- p + (À + ;'ll) -+ div U
J.
-+
obtidas em capítulos anteriores. reproduzem o expresso por l -+
fazendo-~e U = zero.
-+ -+
- p
O problema.porém.é saber-se e~ que c~ndições,para um caso -+ -+
genérico de escoamento, pode-se fazer T = - P ou seja. quando a m
tensão média agent.e crm é igual a pressão termodinâmica. no ponto co.!:!_
siderado.
Duas condiçÕes levam a isso. A primeira e ter-se uma ex
pensao ou compressão quase estática que ocorrem no caso limite ~
~ediv ~tende a zero. A segunda é quando (3À + 21lj é identicamen-+
te nulo, independentemente do valor do div U.
Entretanto na natureza. ocorre que determinados fluidos a
presentam ll'. coeficiente a seguir definido. com valor maiorq0e ze -+
ro sempre que div U assume valores diferentes de zero. casos em
que a dissi~açâo de energia ocorrerá.
ll' 2
= À + -'jl 3
O coeficiente ll' recebe o nome de viscosidade média (Bulk
Viscosity), e e propriedade do fluido. Nesse caso~ essa segunda
viscosidade de um fluido Newtoniana deve ser determinada para que
as equaçoes constitutivas. que representam o escoamento, possamser
obtidas. '!l 1• assim como 'jl, possui uma ação dissi~adora de energia.
embora ~or mecanismos físicos diferentes. Ressalt,-ie que ll' nao +
possui a capacidade de difundir a quantidade de movimento pU.
Se uma transformação que envolva fenômeno de compressibil_!.
-+ d .:J d e , r d i v U f O ) f o r r P v e r s 1 v e 1 n e c e s s á r i a rn P n t. e lJ '
n u 1 o e a t e n s ã o rn ~ d i a a é ig u a l a o v a 1 o r d a rn
-prpssao
observando-se no entanto que lJ' zero nao irr•plica
reversível. Se ,porém, di v ..... U e ]J' forem diferentes de
e identicamPnte ..... ..... ..... .....
p ou seja T =-P, m
em transformação
zero, entao ne-
cessáriamente a transformação considerada será irreversível, com dis
sipação de energia.
Detalhes mais especÍficos podem ser estudados em trabalhos
que tratem de Termodinãmica dos Fen6menos Irreversíveis tais como
os ~de J. Merxner, I. Prigogine, S.R. de Groot e P. Mazur (Ref. 2 pg
6 o ) . Os m~todos utilizados para estudos sobre o tema localizam-
se na termodinãmica estatistica, mas não estão ainda suficientemen-
te desenvolvidos para análises completas. Medidas experimentais de
]J' são extremamente difíceis. No entanto, parece que lJ' é identicamen
te nulo para gases de baixa densidade e muito pequeno para gases de
alta densidade, o que implica a validade da equação da Quantidade
de Movimento,se não integral, pelo menos com boa aproximação, para
a maioria dos problemas de escoamentos compressíveis usuais em eng~
nharia.
No caso de fluidos com problemas de relaxação, que ocorrem
e~' gases fora das condiçÕes de equilÍbrio quÍmico ou em gases com
estruturas moleculares complexa~ em que o processo de transfer~ncia
de energia entre os diversos graus de liberdade é lento, verifica-
se experimentalmente a ocorr~ncia de processo irreversível devido a
existência de )J'. Em linhas gerais o processo que provoca o apareci
rnento de ]J' e delineado a seguir.
A energia introduzida em um gas é absorvida pelas molécu-
las, segundo seus diversos graus de liberdade. Entretanto o grau de
liberdade que causa um aurrento de temperatura e de pressão no flui
do é aquele associado a energia cinética de translação. Considere-se~
rna transformação adiabática, em que a energia introduzida. sob a for--+
ma de trabalho das forças externas sobre o elemento fluido (div U<OJ
é absorvida mais rapidamente em forma de energia cinética de trans
lação do que nos outros graus de liberdade da molécula, e posterior-
mente,por processo lento,essa energia é transferida para aqueles
o u t r o s g r a u s de l i b e r d a d e . E n t ã o, a s t em p e r a t '·' r a s e p r e s s Õ e s d o f 1 u i
do serão maiores nesta que na transformação associada quase estáti-
c a fdiv u 1 O), em que a energia introduzida no sistema é assirnilada len
ta e adequadamente segundo aqueles diversos graus de liberdade. As-
sim, na transformação primeira, mais rápida, -CJ trabalho sera rna:ior
que na segunda, mais lenta. A energia correspondente c9 diferença de
trabalho das forças externas entre os dois processos ficará arma-
52
zenada no fluido sob a forma de energia interna o que representa
uma irreversibilidade. No caso de expansão. processo análogo ocor
rerá. observando-se sempre que a a~álise ~ feita considerando-seo
trabalho das forças externas sobre o elemento fluido.
Poderia.como conclusio~ ser questionado como nao intuiti
vo o fato de que. embora verificada a hip6tese de Stokes a saber.
J.l' zero. um gas submotido a uma transformação de compressao nao
oroduza uma dissipação de energia.tendo em vista o fato de a cons
tante ].1 aparecer na formulação de a .. que comp6e a equaçao 6.3.8.2 ~~
'~r:,l que
a .. l.l
Rec rde-se,no entanto, que a forma de cr .. deve satisfa-7 ~~
zer. dentro do tensor desvio t. propriedades matemáticas compatl-
veis com as propriedades fisi2as da isotropia que o fluido Newto
niana po~sui. ~ de notar-se que ].1 tem o significado fisico de vis
cos:i.oade o;-,1 processos afins cc-,rn os ilustrados no {tem 6.3.5 e que 1.§_
varam a dedução da Lei de Newton da Viscosidade. Sua atividade dis a ui
s i p a do r a c! e e n e r g :L a é v e r i f i c a d e n o e s c o ame n t o q u a n d o -':'\- i O • s i oX·
tuaç§o essa inexistente na fenomenologia física associad~ as equ~ -çoes 6.3.7.1 ou 6.3.8.2.
i\ssim a forma
T J.i d :L v
ne~ tem significado de dissipação de energia. mas
u~ ~mp~nente 0etorial que participa de um equilÍ-
brio co fr.~_'ças ext<: as que age<tl sobre a fronteira do elemento flui
do sub~atid a em processo ds compressao numa transforma-
ção re e:r:.,s:l:vel. Jo .. ' ccnveniência de forma. sua formulação contém
a viscJ i ads ].1 do fluido. Essa componente ~ de caracteristica e-
lastic~ sa o ~recesso for ~eva~sivel (].1' zero) ou então ~ de ca
ractaristica el~stico-dissipativa (].1' i zero) se a transformação
for ir~ev rsfvel.