10.2 REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID

Controle PID de plantas. A Figura 10.1 mostra o controle PID de uma planta. Se urn modelo co da planta pode ser obtido, entao e possfvel aplicar varias tecnicas de projeto na determina<;ao dos tros do controlador que vao impor as especifica<;oes do regime transit6rio e do regime permanente do de malha fechada. Contudo, se a planta for muito complexa, de modo que seu modelo matematico ser obtido facilmente, en tao a abordagem analftica do projeto do controlador PID nao sera possfvel. entao de recorrer a abordagens experimentais de sintonia de controladores PID.

Figura 10.1. Controle PID de uma planta.

0 processo de selecionar parametros dQ controlador que garantam uma dada especifica<;ao nho e conhecido como sintonia do controlador. Ziegler e Nichols sugeriram regras para a .,J.L.u ... ,J.lu,u. .. u,

ladores PID ( o que significa ajustar os valores de KP, 1i e Td) baseadas na resposta experimental no valor de KP que resulta em uma esta1Jilidade marginal, quando somente uma a<;ao · da. As regras de Ziegler-Nichols, as quais sao brevemente apresentadas a seguir, sao uteis quamto;< los matematicos da planta sao desconhecidos. (Essas regras podem, e clara, ser aplicadas ao projeto com modelos matematicos conhecidos.) Elas sugerem urn conjunto de valores de KP, 1i e Td que cionar uma opera<;ao estavel do sistema. Contudo, o sistema resultante pode exibir urn maximo grande devido a resposta do degrau, o que e inaceitavel. Nesse caso, precisamos fazer uma serie finas ate que urn resultado aceitavel seja obtido. De fato, as regras de sintonia de Ziegler estimativas dos.valores dos parametros e proporcionam urn ponto de partida na sintonia fina, e definitivos de KP, 1i e Td logo na primeira tentativa.

Regras de Ziegler-Nichols para sintonia de controladores PID. Ziegler e Nichols gras para a determina<;ao de valores do ganho proporcional KP, do tempo integral7i e do Td baseadas na caracterfstica da resposta temporal de uma dada planta. Essa determina<;ao dos controladores PID pode ser feita por engenheiros de campo, por meio de experimentos (Numerosas regras de sintonia para controladores PID vern sendo propostas desde a n-..t-.nr .. ,.,.,.

Nichols. Elas estao disponfveis na literatura e com os fabricantes desses controladores.) Existem dais metodos denominados regras de sintonia de Ziegler-Nichols: o primeiro e o

do. Fornecemos aqui uma breve apresenta<;ao desses dais metodos.

Primeiro metodo. No primeiro metoda, obtemos experimentalmente a resposta da trada em degrau unitario, como mostra a Figura 10.2. Se a planta nao possui integradores plexos conjugados dominantes, entao essa curva de resposta ao degrau unitario pode ter o S, como mostra a Figura 10.3. Esse metoda se aplica sea curva de resposta ao degrau de pecto de urn S. Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada experimentalmente ou a la<;ao dinamica da planta.

Capitulo 10 I Controle PID e Sistemas de Controle com Do is Graus de Liberdade 559

__ t ___ ._....,.-~f;::l ... __ V ___ ....... _ u(t) L:J c(t)

Figura 10.2 Resposta ao degrau unitario de uma planta.

c(t)

""'- Linha tangente no ponto de inflexao

Figura 10.3 Curva de resposta em forma de S.

A curva como formato em S pode ser caracterizada por duas constantes, o atraso L e a constante de tempo T. 0 atraso e a constante de tempo sao deteiminados desenhando-se uma linha tangente no ponto de inflexao da curva com o forma to em S e determinando-se a intersec~ao da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha c(t) = K, como mostra a Figura 10.3.A fun~ao de transferencia C(s)/U(s) pode ser aproximadapor urn sis­tema de primeira ordem com urn atraso de transporte, comose segue:

C(s) Ke-Ls

U(s) Ts + 1

Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores de KP, 1i e Td de acordo com a formula que aparece na Tabela 10.1.

Note que o controlador PID sintonizado pelo primeiro metodo das regras de Ziegler-Nichols fornece:

G,(s) = KP( 1 + ;,s + Tds)

= 1,2 ~ ( 1 + Z~s + 0,5Ls)

(s + _!_)2

= 06T L ' s

Portanto, o controlador PID te!ll urn polo na origem e zeros duplos em s == -1/ L.

Tabela 10.1 Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da planta (primeiro metodo ).

Tipo de controlador K· p 1i Td

p T 0 - 00

L

T L PI o,9£ - 0

0,3

PID T

1,2 L 2L 0,5L

560 Engenharia de Controle .Moderno

c(t)

Figura 10.4 Sistema de malha fechada com urn controlador proporcional.

c(t)

0

Figura.10.5 Oscila<;ao sustentada com periodo Per.

Segundo metodo. No segundo metodo, definimos primeiro 1i = oo e Td = 0. Utilizando somente a a~ao de controle proporcional (veja a Figura 10.4), aumente KP de 0 ao valor critico Ken no qual a saida exibe uma oscila~ao sustentada pela primeira vez. (Sea saida nao exibe uma oscila~ao sustentada para qualquer valor que KP pode assumir, entao esse metodo nao se aplica.) Portanto, o ganho critico Ker eo correspondente periodo Per sao determinados experimentalmente (veja a Figura 10.5).

Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores dos parametros KP, 1i e Td de acordo com a formula mostrada na Tabela 10.2.

Note que o controlador PID sintonizado pelo segundo metodo das regras de Ziegler-Nichols fomece:

G,(s) = KP( 1 + ;,s + Tds)

= 0,6K.,( 1 + O,S~.,s + 0,125P.,s)

(s+ ;J = 0,075KerPer ___ _;:___

s

Portanto, o controlador PID tern urn polo na origem e zeros duplos ems= -4/Per· Note que, se o sistema tern o modelo matematico conhecido (como a fun~ao de transferencia), entao

podemos utilizar o metodo do Iugar das raizes para encontrar o ganho critico Ker e a freqiiencia de oscila<;oes sustentadas Wen onde 2Tr1Wer = Per· Esses valores podem ser encontrados a partir dos pontos de cruzamento dos ramos do Iugar das raizes com o eixo jw ( obviamente, se os ramos do Iugar das raizes nao cruzam o eixo jw, esse metodo nao se aplica.) -

Tabela 10.2 Regrade sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho critico Kcr e no periodo critico Per (segundo metodo).

Tipode controlador KP 1i Td

p 0,5Kcr 00 0

PI 0,45Kcr 1

0 UPcr '

PID 0,6Kcr 0,5Pcr 0,125Pcr

Capitulo 10 I Controle PID e Sistemas de Controle com Do is Graus de Liberdade 561

Comentarios. As regras de sintonia de Ziegler-Nichols ( e outras regras de sintonia apresentadas na literatura) vern sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em sistemas de controle de pro­cesso em que as dinamicas da planta nao sao precisamente conhecidas. Por muitos anos, essas regras de sin­tonia provaram ser muito uteis. As regras de sintonia de Ziegler-Nichols podem, e claro, ser aplicadas as plantas cujas dinamicas sao conhecidas. (Seas dinamicas da planta sao conhecidas, varias abordagens gra­ficas e analiticas para o projeto de controladores PID estao disponfveis, alem das regras de Ziegler-Nichols).

EXEMPLO 10.1 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 10.6 no qual urn controlador PID e utiliza­do para controlar o sistema. 0 controlador PID tern a fun~ao de transferencia

Gc(s) = KP(1 + __!_ + Tds) ~s

Embora varios metodos analiticos estejam disponfveis para o projeto de urn controlador PID, para o sistema dado, vamos aplicar uma regrade sintonia de Ziegler-Nichols na determina~ao dos parametros KP, ~ e Td. Para tanto, obtenha a curva de resposta ao degrau unitario e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de maximo sobre-sinal. Se o maximo sobre-sinal for excessivo ( 40% ou mais ), fa~a uma sintonia fina e reduza o valor do maximo sobre-sinal para aproximadamente 25% ou menos .

. Como a planta tern urn integrador, utilizamos o segundo metodo das regras de sintonia de Ziegler-Nichols. Fazen­do ~ = oo e Td = 0, obtemos a fun~ao de transferencia de malha fechada como se segue:

C(s) KP

R(s) s(s + l)(s + 5) + KP

0 valor KP que toma o sistema marginalmente estavel, de modo que ocorram oscila~6es sustentadas, pode ser obti­do pelo uso do criterio de estabilidade de Routh. Uma vez que a equa~ao caracteristica do sistema em malha fechada e:

s3 + 6s2 + 5s + KP = 0

o arranjo de Routh fica como:

Examinando os coeficientes da primeira col una da tabela de Routh, determinamos que, se KP = 30, oscila~6es sus­tentadas vao existir. Portanto, o valor crftico Kcr e:

Kcr = 30

Como ganho KP igual a "Kcr (= 30), a equa~ao caracterfstica resulta em:

s3 + 6s2 + 5s + 30 = 0

Para encontrar a freqiiencia da oscila~ao sustentada, substituimos s = jw na equa~ao caracteristica, como se segue:

(jw) 3 + 6(jw? + 5(jw) + 30 = 0

C(s)

s(s + l)(s + 5)

Controlador PID

Figura 10.6 Sistema com controle PID.

562

6,3223 (s + 1,4235f s

controlador PID

Engenharia de Controle

C(s)

s(s + l)(s + 5)

Figura 10.7 Diagrama de blocos do sistema com o controlador PID projetado com o uso da regra de sintonia de Ziegler-Nichols (segundo metodo ).

a partir da qual determinamos a freqiiencia da oscila<;ao sustentada como w2 = 5 ou w = V5. Logo, o periodo de cila<;ao sustentada e:

p = 27T = 2

7T = 2 8099 cr W y15 '

Referindo-se a Tabela 10.2, determinamos KP, ~ e Td como se segue:

Kp = 0,6Kcr = 18

~ = 0,5Pcr = 1,405

Td = 0,125Pcr = 0,35124

A fun<;ao de transferencia do controlador PID e, portanto,

Gc(s) = KP(1 + ;s + Tds)

= 18( 1 + 1,4~5s + 0,35124s)

6,3223(s + 1,4235)2

s

0 controlador PID tern urn polo na origem e urn zero duplo ems = -1,4235. Urn diagrama de blocos do de controle como controlador PID projetado e mostrado na Figura 10.7.

Em seguida, vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitario.A fun<;ao de transferencia C(s)/R(s) e da por:

C(s)

R(s) 6,3223s2 + 18s + 12,811

s4 + 6s3 + 11,3223s2 + 18s + 12,811

A resposta ao degrau unitario desse sistema pode ser facilmente obtida como MATLAB. Veja o Programa 1 em MATLAB. A curva de resposta ao degrau unitario resultante e mostrada na Figura 10.8. 0 maximo sobre-sinal resposta ao degrau unitario e de aproximadamente 62%. 0 valor do maximo sobre-sinal e excessivo. Ele pode ser duzido fazendo-se uma sintonia fina dos parametros do controlador. Essa sintonia fina pode ser feita no cornptltaclor.:. Obtemos que, mantendo KP = 18 e movendo o zero duplo do controlador PID para s = -0,65, ou seja, utilizando controlador PID,

( 1 ) (s+065)2

Gc(s) = 18 1 + 3

,077

s + 0,7692s = 13,846 s'

o maximo sobre-sinal na resposta ao degrau unitario pode ser reduzido para aproximadamente 18% (veja a t<1o-nr::~.''•

10.9). Se o ganho proporcional KP for aumentado para 39,42, sem alterar a localiza<;ao do zero duplo (s = -0,65), seja, utilizando o controlador PID,

( 1 ) (s + 0,65)2

Gc(s) = 39,42 1 + 3

,077

s + 0,7692s = 30,322 s (10.2)\

en tao, a velocidade de resposta e aumentada, porem o maximo sobre-sinal e tambem aumentado para aproximadamente: 28%, como mostra a Figura 10.10. Uma vez que o maximo sobre-sinal nesse caso e bern proximo a 25% e a resposta e mais rapida do que a do sistema com a Gc( s) da Equa<;ao (10.1 ), podemos considerar a Gc( s) dada pela Equa<;ao (10.2) como aceitavel.Assim, os valores sintonizados de KP, ~ e Td resultam em:

KP = 39,42, ~ = 3,077, Td = 0,7692

E interessante observar que esses valores sao de aproximadamente o dobro dos valores sugeridos pelo segundo metodo das regras de sintonia de Ziegler-Nichols. 0 aspecto importante a ser observado aqui e que a regra de sinto­nia de Ziegler-Nichols forneceu urn ponto de partida para a sintonia fina.

Capitulo 10 I Controle PID e Sistemas de Controle com Do is Graus de Liberdade 563

Resposta ao degrau unitario 1,8

1,6

1,4

1,2

,g .~ ]' 0,8 <

0,6

0,4

0,2

0 0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

Figura 10.8 Curva de resposta ao degrau unitario de urn sistema com controlador PID projetado com o uso da regrade sintonia de Ziegler-Nichols (segundo metodo ).

Programa 10.1 em MATLAB

% ---------- Resposta ao degrau unWirio ---------­num = [0 0 6.3223 18 12.811]; den= [1 6 11.3223 18 12.811]; step(num,den) grid title('Resposta ao Degrau Unitario')

E instrutivo notar que, para o caso em que o zero duplo esta localizado ems = -1,4235, aumentar o valor de KP aumenta a velocidade de resposta. Contudo, sendo o maximo sobre-sinal o objetivo, a variac;ao do ganho KP tern pouqufssima influencia. A razao para isso pode ser vista por meio da analise do Iugar das rafzes. A Figura 10.11 mostra o grafico do Iugar das rafzes para o sistema projetado pelo uso do segundo metodo das regras de sintonia de Ziegler-Nichols. Uma vez que os ramos dominantes do Iugar das rafzes estao sobre as linhas com C = 0,3 para uma faixa consideravel de K, variar o valor de K (de 6 a 30) nao alterara muito o coeficiente de amortecimento dos p6los dominantes de malha fechada. Contudo, a variac;ao da localizac;ao do zero duplo tern urn efeito significativo no maxi­mo sobre-sinal, porque o coeficiente de amortecimento dos p6los dominantes da malha fechada pode ser alterado sig­nificativamente. Isso tambem pode ser visto pela analise do Iugar das rafzes. A Figura 10.2 mostra o grafico do Iugar das rafzes para o sistema em que o controlador PID tern o zero duplo ems = -0,65. Note a alterac;ao na configurac;ao do Iugar das rafzes. Essa alterac;ao na configurac;ao torna possfvel modificar o coeficiente de amortecimento dos p6los dominantes de malha fechada.

Resposta ao degrau unitario

t (s)

Figura 10.9 Resposta ao degrau unitario do sistema mostrado na Figura 10.6 com o controlador PID que tern como parametros KP = 18, ~ = 3,077 e Td = 0,7692.

564 Engenharia de Controle

Resposta ao degrau unitario 1 '4 .----.----.----.----.------,.------,.------,.------,.------,r------,

1.2 ········'······;···:·· , ·1····· r r·······~ r······

0,5 1,5 2 2,5 t (s)

3 3,5 4 4,5 5

Figura 10.10 Resposta ao degrau unitario do sistema mostrado na Figura 10.6, como controlador PID que tern como parametros KP = 39,42, 1j = 3,077 e Td = 0,7692.

jw

(s + 1,4235i K s s(s + 1)(s + 5)

Figura 10.11 Grafico do lugar das raizes do sistema quando o controlador PID tern urn zero duplo em s = -1,4235.

Na Figura 10.12, note que, no caso em que o sistema tiver ganho K=30,322, os p6los de malha fechada em s = -2,35 ± j4,82 agirao como p6los dominantes. Dois p6los adicionais de malha fechada estao muito pr6:ximos ao zero duplo ems = -0,65, resultando que esses p6los de malha fechada eo zero duplo se cancelam entre si. 0 par dominante de p6los de malha fechada determina, na verdade, a natureza da resposta. Por outro lado, quando o sistema tern urn K = 13,846, os p6los de malha fechada ems = -2,35 ± j2,62 nao sao realmente dominantes, porque os outros dois p6los de malha fechada, que estao pr6ximos ao zero duplo em s = -0,65, tern urn efeito consideravel na resposta. 0 maximo sobre-sinal na resposta ao degrau nesse caso (18%) e muito maior do que no caso em que o sistema e de se­gunda ordem, possuindo apenas p6los dominantes de malha fechada. (No Ultimo caso, o maximo sobre-sinal na resposta ao degrau seria de aproximadamente 6%.)

Capitulo 10 I Controle PID e Sistemas de Controle com Do is Graus de Liberdade

(s + 0,65)2

K s s(s + l)(s +5)

K= 13,846

K= 30,322

jw

K=60

K=60

Figura 10.12 Gnifico do Iugar das raizes do sistema em que o controlador PID tern urn zero duplo em s = -0,65. K = 13,846 corresponde a Gc(s) dada pela Equa~o (10.1) e K = 30,322 corresponde a Gc(s) dada pela Equa<;ao (10.2).

565

E possivel fazer uma terceira, uma quarta e ainda outras tentativas para obter uma resposta melhor. No entanto, isso requer muitos calculos, gastando-se muito tempo. Se mais tentativas forem desejadas, sugere-se o uso da abor­dagem computacional apresentada na Se<;ao 10.3. 0 Problema A.lO.ll resolve essa questao com a abordagem com­putacional por meio do MATLAB. Ele determina o conjunto de valores de parametros que vao levar o maximo sobre-sinal a 10% ou menos eo tempo de acomoda<;ao a 3 segundos ou menos. Uma solu<;ao para esse problema, obti­da no Problema A.lO.ll, e que para 0 controlador PIP definido por:

os valores de K e a sao:

(s + a)2

Gc(s) = K---s

K = 29, a= 0,25

como maximo sobre-sinal igual a 9,52% eo tempo de acomoda<;ao igual a 1,78 s. Outra possivel solu<;ao obtida naque­le problema e:

K = 27, a= 0,2

com 5,5% de maximo sobre-sinal e 2,89 s de tempo de acomoda<;ao. Veja o Problema A.lO.ll para obter detalhes.