Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Análise de dAdos e probAbilidAde

Guia do professor

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Jogo da trilha

Objetivos da unidadeDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade 1. condicional;Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento 2. de informações através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de 3. seu conhecimento matemático.

Guia do professor

SinopseO Jogo da Trilha é bastante simples e exige como material apenas um dado de 6 faces. Além disso, nesta atividade a intuição dos alunos será desa­fiada quando eles tiverem de optar por uma estratégia que acreditam ser vencedora. Por fim, o experimento culminará em uma análise probabilística guiada pelo professor.

ConteúdosProbabilidade: Eventos Equiprováveis, Probabilidade Condicional, Repre­sentação Gráfica, Permutação e Combinação;

ObjetivosDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade condicional;1. Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento de informações 2. através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de seu conhecimento 3. matemático.

DuraçãoUma aula dupla.

Jogo da trilha

A probabilidade é um tópico importante da Matemática que lida com o conceito de incerteza. Utilizamos a probabilidade para modelar experi-mentos ou observações cujo resultado não conhecemos com precisão. Para sua formalização, utilizamos o conceito de experimento (ou observação) aleatório, que é qualquer experimento cujo resultado não é conhecido exa-tamente. Alguns exemplos de experimento aleatório podem ser o resultado do próximo jogo de seu time, as faces observadas em dois lançamentos de um dado, a quantidade de etnias indígenas existentes no Brasil em 1500 etc. Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados pos-síveis do experimento aleatório. No primeiro exemplo, o espaço amostral poderia ser ou um conjunto numé-rico repre sentando o saldo de gols marcados pelo seu time. No segundo exemplo, denotando por o resultado do primeiro lançamento e o resultado do segundo, o espaço amostral pode ser

.

Por fim, no último exemplo, o espaço amostral pode ser o conjunto dos números naturais, . Denominamos evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Dessa forma, seguindo os exemplos anteriores, podemos dizer dos eventos que:

“o seu time não perde o próximo jogo”

“segundo lançamento é 2”

“pelo menos 200 etnias”

Dois eventos de um experimento aleatório são chamados de mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente. No exemplo dos lançamentos do dado, os eventos e

“a soma das faces é 9”

são mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer simultaneamente. Probabilidade é também um conceito fortemente relacionado com infor-mação: a probabilidade de um evento representa a chance de este evento acontecer de acordo com a informação disponível ao observador. Para estar bem definida, uma probabilidade deve satisfazer certas regras.

Dizemos que é uma função de probabilidade definida em um conjunto de eventos associados ao espaço amostral se:

1. , para todo evento ;2. ;3. sempre que e forem eventos mutua-

mente exclusivos.

No exemplo do seu time, podemos concluir da informação disponível que, no próximo jogo,

Nos dois lançamentos do dado, pode ser razoável supor que todas as faces têm a mesma chance de ocorrer e, assim, nenhum par é mais provável que outro, ou seja,

, para todo .

Definição

Sobre as etnias indígenas no Brasil, um antropólogo voltado a tais estudos poderia afirmar, por exemplo, que . Esse quadro, contudo, pode se modificar se houver uma nova informação a respeito das probabilidades em um evento. Por exemplo, qual é a proba-bilidade de que seu time não perca o próximo jogo se souber que foi comprado um excelente jogador? Ou ainda, qual é a probabilidade de que o evento ocorra se souber que ocorreu o evento

“a soma das faces obtidas é 3” ?

O antropólogo Darcy Ribeiro estima que em 1957 havia 150 etnias indí-genas no Brasil. Conhecendo o processo de dizimação que a popu lação indígena sofreu, poderíamos dizer que, com essa nova informação, a pro-babilidade de que houvesse mais de 200 etnias indígenas no Brasil em 1500 passa a ser 0,8, por exemplo. A atualização da probabilidade de um evento em face de uma nova informação é obtida pelo conceito de probabilidade condicional.

Sejam e eventos, tais que . Definimos a probabilidade condicional de dado como

.

No exemplo dos lançamentos de um dado, a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo que ocorreu , é dada pela definição anterior

.

Definição

Observe que a probabilidade de o segundo lançamento ser 2, que era originalmente igual a ¹⁄6, passa a ser igual a ½ no momento em que nos é informado que a soma das faces é 3. Ao contrário, quando a nova informação não modifica a probabilidade original de um evento, dizemos que eles são independentes. Mais formal-mente, dados dois eventos , , com , dizemos que e são independentes se , ou seja, da definição de probabili-dade condicional, e são independentes se

.

Esta última equação é também válida para o caso em que . Caso contrário, dizemos que e são eventos dependentes.

No lançamento de um dado, a maioria das pessoas estará de acordo em que se o dado for balanceado e o lançamento for equilibrado, então a chance de obter uma face qualquer é a mesma para cada face, ¹⁄6. Neste jogo, avançamos por uma trilha de acordo com lançamentos de um dado, até chegar à oitava casa da trilha (ou passar dela). Qual é a chance de obter uma da face dada no último lançamento? Saber que o lançamento é o último, muda a chance de obter face 1 ou face 4, por exemplo? Estes eventos são dependentes ou independentes? As perguntas anteriores são primeiro respondidas a partir da obser-vação de um grande número de jogadas, e no Fechamento sua resposta exata é obtida pela teoria, corroborando os valores empíricos obtidos.

Jogando e coletando informações

Lembremos que as regras do jogo são:Cada aluno lança o dado e, por ordem decrescente do valor obtido 1. no lançamento, escolhe um dos conjuntos , ,

;Inicialmente o Peão deverá ser colocado na casa “Saída”;2. O primeiro aluno lança o dado e move o peão pela trilha, de acordo com 3. o resultado obtido; repete o procedimento até que o peão alcance o fim da trilha (a oitava casa) ou passe dela;Marca um ponto o aluno que tiver escolhido o conjunto com a face 4. obtida no último lance da rodada;Vence a partida o aluno que somar 10 pontos primeiro.5.

Nesta primeira etapa, os alunos realizam jogadas, registram e analisam os resultados obtidos. Faremos tal procedimento analisando um exemplo de jogo. Na Tabela 1, registramos os resultados de cada rodada.

O time ganhou este jogo, completando 10 pontos, enquanto que o time completou 8 pontos e o time , 6 pontos.

Faces obtidas por rodada Total de lançamentos

Face do último lançamento

Conjunto vencedor

4 4 2 4 B5 4 2 4 B1 5 3 3 3 A6 2 2 2 A1 5 2 3 2 A4 2 6 3 6 C4 6 2 6 C4 1 5 3 5 C4 2 1 1 4 1 A6 5 2 5 C5 4 2 4 B3 3 3 3 3 A3 4 5 3 5 C1 4 2 2 4 2 A6 4 2 4 B2 1 1 1 3 5 3 A5 4 2 4 B3 3 2 3 2 A5 5 2 5 C5 5 2 5 C6 5 2 5 C1 3 4 3 4 B2 6 2 6 C2 1 6 3 6 C

tabela 1

Representação gráfi ca

A Tabela 2 resume a informação da tabela anterior, em relação às frequên-cias observadas das faces: em cada lançamento (na 2ª linha) e apenas no último lançamento (na 3ª linha).

Desta tabela, podemos extrair algumas informações, como por exemplo que o dado é aparentemente balanceado já que as faces têm aproximada-mente a mesma frequência, de acordo com a 2ª linha da tabela. Já pela 3ª linha, observamos que no último lançamento as faces maiores são mais frequentes que as menores: no último lançamento, a face 1 só apareceu uma vez em 24, enquanto que a face apareceu 5 apareceu 6 vezes em 24. Nesta etapa, os dados da Tabela 2 são representados também grafi ca-mente. Nos gráfi cos a seguir são representadas as frequências de cada resultado em todos os lançamentos (figura 1) e apenas no último lança-mento (figura 2).

Face sorteada 1 2 3 4 5 6 Total

Frequência das faces

11 10 9 13 13 8 64

Frequência no último lançamento

1 4 3 6 6 4 24

tabela 2

A variável “face obtida no último lançamento” é do tipo quantitativo discreto, pois pode assumir um número fi nito de resultados numéricos. Neste caso, o gráfi co de barras é o mais indicado, pois respeita a ordem natural dos valores observados (1 é menor que 4). O gráfi co de barras indica a frequência observada em cada categoria de acordo com a altura da barra correspondente. É indiferente se a frequência utilizada é a absoluta (11 faces 1, 10 faces 2, etc.) ou a relativa (17% de faces 1 e 16% de faces 2, etc.), pois a altura relativa entre as barras permanece a mesma. Em ambos os gráfi cos, o tamanho da amostra é sempre uma informação importante, pois amostras pequenas apresentam normalmente fl utuações maiores do que amostras grandes, quando forem representativas. Observamos no gráfi co anterior que faces maiores têm mais chance de aparecer no último lançamento.

1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

fig. 1 Todos os lançamentos

fig. 2 Último lançamento

No Fechamento, propomos a solução teórica do jogo. Na Tabela 3, podemos ver um resumo dos resultados do último lança-mento associados a cada um dos conjuntos, para o jogo do exemplo ante-rior. Em sala de aula, devem ser considerados os resultados das jogadas de todos os grupos.

Observamos no gráfico anterior, o primeiro indício da baixa probabili-dade de obter faces pequenas no último lançamento. Este gráfico é refor-çado pela Tabela 3, com os resultados de todas as jogadas. Intuitivamente, podemos esquematizar a solução deste problema da seguinte maneira:

a face 1 só pode sair no último lançamento se o peão estiver na casa 7; �

a face 2 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6 �

ou 7;a face 3 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6, �

7 ou 8;e assim por diante até: a face 6 pode sair no último lançamento se o peão �

estiver em qualquer uma das casas de 2 a 7.

Portanto, a face 6 tem mais chances de ser a última do que 5, que tem mais chances de ser a última do que a 4, e assim sucessivamente.

Último lançamento A B C Total

1 2 3 4 5 6

Frequência 1 4 3 6 6 4 24

8 6 10 24

tabela 3

Mais formalmente, denotemos por o número de lançamentos neces-sários para chegar à oitava casa, por a posição do peão antes do lançamento final, e por a face nele observada. Se , então o lançamento seguinte pode ser qualquer face, com mesma chance. Por outro lado, implica que o lançamento seguinte não pode ser 1, pois se fosse 1, este não seria o último lançamento. Então deve ser qualquer uma das faces 2, 3, 4, 5, ou 6, todas com mesma probabilidade igual a ¹⁄5. Assim, pela lei da probabilidade total,

O mesmo raciocínio pode ser utilizado com as demais faces, obtendo assim que

Com estas desigualdades provamos que as faces maiores são mais prováveis no último lançamento. Para obter a probabilidade de cada face no último lançamento, preci-samos calcular as probabilidades das possíveis posições depois do penúl-timo lançamento, . O evento é impossível, pois nenhum resultado no dado fará do próximo o último lançamento. O evento ocorre se e somente se forem observadas as seguintes sequências nos lançamentos: . Portanto,

.

Do mesmo modo, o evento ocorre se e somente se forem observadas as seguintes sequências nos lançamentos:

ou suas possíveis permutações. Portanto,

Continuando com esta contagem sistematicamente, obtemos

Assim, finalmente,

Logo, a probabilidade de cada conjunto marcar um ponto é:

conjunto marca um ponto

conjunto marca um ponto

conjunto marca um ponto

Portanto, o conjunto é a melhor opção.

Feller, W. Introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações. Editora Edgard Blucher, 1976.

Meyer, Paul. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora, 2003.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoraLaura Letícia Ramos Rifo

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaAna Cecília Agua de Melo e Carolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design