JALGB#18 – JOGOS PARA O PENSAMENTO ALGÉBRICO Nº 18MÉTODOS DE PROVA DE TEOREMAS

Os Métodos de Prova de Teoremas envolvem raciocínios da Lógica bem como conhecimentos bastante complexos de Geometria e de Álgebra. Neste JALGBR iremos mostrar muitos destes métodos e exemplificá-los a cada passo.

18.1.- Introdução

O conceito de Teorema – ‘afirmações que podem ser provadas’ – foi introduzido por

Euclides de Alexandria (360 a.C./295 a.C.) em sua obra Os Elementos em que ele enuncia um

limitado conjunto de axiomas e, a partir destes e de definições, prova vários Teoremas.

18.1.1.- Axiomas, Teoremas, Corolários, Lemas e Conjecturas

Quando começamos a nos aprofundar no estudo da Matemática nós iremos nos deparar com

os axiomas, as definições e os Teoremas. No entanto, há além destes, outros elementos a serem

considerados nesta estrutura denominada Teoria da Prova, a saber:

Definição: operação linguística que busca a determinação clara e precisa de um conceito

ou um objeto, estabelecendo suas características, propriedades e suas delimitações

exatas. O conceito ou objeto ‘a definir’ (onde ‘a definir’ = ‘definiendum’, do latim –

termo que designa o objeto a ser determinado pelo conjunto de ‘termos definidores’

(onde ‘termos definidores’ = ‘definiens’, do latim termos com os quais se determina o

objeto a definir determinando as características gerais do conceito ou objeto).

Axioma: Os axiomas são afirmações ou proposições consideradas verdades básicas que

serão utilizadas como conjuntos de hipóteses nas provas de Teoremas. Os axiomas são

afirmações que não necessitam de prova e são aceitas como necessárias para o

desenvolvimento de uma Teoria.

Teorema: Em geral os teoremas são representados como uma implicação: “Se P então

Q” ou em símbolos “P Q”, onde P é o antecedente e Q o consequente da implicação

que, em se tratando de teoremas, são respectivamente denominada hipótese e tese.

Alguns autores assumem a notação “P Q” de um teorema, como podendo P ser

composto por um conjunto de verdades, ou seja, x [P1(x), P2(x)...Pn(x)] x Q(x),

onde P1(x), P2(x)...Pn(x) é a hipótese, composta normalmente por definições, axiomas,

lemas e teoremas.

Corolário de um Teorema: É um teorema que entre as suas hipóteses se inclui um

teorema anteriormente provado, um corolário deve ser entendido como uma

consequência de um teorema anteriormente provado.

Lema: os lemas são geralmente apresentados como um conjunto de ‘pré-teoremas’,

básicos e necessários para se provar um teorema mais complexo. A prova de um teorema

complexo a partir da adoção de lemas se constitui na estratégia de dividir para

conquistar, ou seja, resolver subproblemas (provar os lemas) para em seguida resolver o

problema principal (provar o teorema mais complexo).

Conjectura: é uma proposição hipotética aceita como verdadeira apesar de não poder ser

provada, mas também não poder ser rejeitada. Uma conjectura é tal que não se consegue

encontrar nenhum caso em que ela tenha falhado e por isto vem sendo utilizada como

verdadeira apesar, de não se ter encontrado ainda uma forma de prová-la.

Outros nomes dados aos Teoremas: Outros nomes, não muito utilizados, podem ser

dados eventualmente aos teoremas, mas isto quando necessário para o desenvolvimento

de uma teoria mais ampla ou intrincada, tais como: Lei, Princípio, Regra.

18.8.- Métodos de Prova

Para provarmos proposição – um lema, um teorema ou um corolário – podemos escolher

entre vários métodos aquele mais conveniente ou indicado para cada caso. Um método de prova

envolve a utilização de rigorosos argumentos lógicos e matemáticos – sejam aritméticos e/ou

algébricos e/ou geométricos – que demonstrem inequivocamente a verdade da proposição.

Há pelo menos quatro Métodos de Prova mais importantes no campo do Pensamento

Lógico-Matemático que são os seguintes:

Prova Direta

Sem Uso de Palavras

Por Dissecção (ou Dissecação)

Por Métodos Hiptético-Dedutivos

Prova Indireta

Por Redução ao Absurdo

Prova por Contradição

Indução Matemática

18.2.1.- Métodos Diretos de Prova

18.2.1.- Prova Sem o Uso de Palavras

É um Método de Prova que, baseado em elementos visuais e/ou numéricos sequenciais, exige

apenas que se descubra algum tipo de Lei de Formação da sequência. Normalmente a descoberta

destas leis é intuitiva dispensando argumentos formais lógico-matemáticos, quase não havendo a

necessidade de argumentação linguística ou até mesmo de comentários – por isto prova sem o uso

de palavras.

18.2.1.1.- Exemplo:

Veja o exemplo a seguir, onde os números pitagóricos triangulares são mostrados de forma

figurativa acompanhados das respectivas contagens de pontos que participam de cada uma das

figuras.

Por inspeção direta aos dados acima apresentados devemos tentar primeiramente entender a

forma de construção das próximas figuras da sequência, bem como os próximos valores da

sequência numérica.

Veja abaixo a figura seguinte da série mostrada anteriormente:

Veja abaixo a sequência numérica com a nova figura:

(1, 3, 6, 10, 15, ..., n)

Onde:

1 = 1

1 + 2 = 3

1+ 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...

...

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n-1 + n = ...

A forma de se encontrar os próximos valores da sequência é construtiva: optamos por seguir

adicionando novos valores numéricos aos valores anteriormente obtidos, ou então teremos

que construir figura a figura, o que seria mais complicado do que a alternativa anterior.

Veremos mais à frente neste texto, que poderemos provar pelo Método da Indução Finita

que a fórmula que permite calcular diretamente o valor numérico da n-ésima figura da

sequência:

1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n - 1) + n =

Veja a prova desta fórmula no item 19.4.2.

18.2.2.2.- Contra-exemplo:

Muito cuidado deve ser tomado com relação às formulas, que testadas para uma certa

quantidade de termos de uma sequência, são adotadas como válidas. Vejamos a seguir um destes

tipos de fórmula que deixa de valer a partir de algum termo da sequência de número primos:

Considere a seguinte sentença:

“nN, n2 + n + 41 é um número primo”.

Esta sentença é verdadeira para n = 0, n = 1, e espantosamente é válida até que até n seja

igual a 40. No entanto, ela falha para n = 41, pois: 412 + 41 + 41 = 1763 não é um número primo,

isto é, 1763 é um número composto, pois é divisível por 41 e 43, ou seja: 1763 = 41 43. É

evidente que basta um exemplo de falha desta fórmula para mostrar que ela não é válida..

18.2.2.- Prova por Dissecação (Dissecção)

Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou

torná-lo compreensível. Um teorema que é comumente provado por dissecção (ou dissecação) é o

Teorema de Pitágoras.

Exemplo:

Há mais de 40 maneiras de provar o Teorema de Pitágoras pelo método da dissecação. A

seguir iremos mostrar dois exemplos de prova deste teorema.

Teorema de Pitágoras

“Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados das medidas dos catetos”

Hipótese: Seja um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede “a” e os catetos medem “b” e “c”

Tese: Então é válida a seguinte relação: a2 = b2 + c2

18.2.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens

Esta é uma prova baseada unicamente em rigorosos argumentos lógicos e matemáticos

normalmente justificados através de linguagem natural envolvendo os elementos não definidos, os

axiomas e as eventuais definições de uma teoria. Normalmente, neste caso, é utilizada a regra de

inferência lógica conhecida como Modus Ponens (Afirmação do Antecedente):

Seja P Q uma implicação lógica , então a seguinte regra é, válida:

, que significa, “Se ‘P’ e ‘P Q’ são válidas, então ‘Q’ é válida”.

Note que as proposições acima do traço são as premissas válidas, a proposição abaixo do

traço é a conclusão, validada pelas premissas.

Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da

prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:

Teorema:

‘Se P então Q’

Hipótese: P

Tese: Q

Prova: Mostra-se que a hipótese é verdadeira, isto é, “Se P é verdade então Q será verdade”.

Observação:

Uma outra regra de inferência que pode ser utilizada na prova de Teoremas é aquela

denominada Modus Tollens (Negação do Consequente):

, que significa: “Se ‘P’ e ‘P Q’ são válidas, então ‘Q’ é válida”.

Exemplo 1: Teorema do tipo P Q (implicação)

Teorema: Se n é um número inteiro ímpar então n2 é ímpar.

Em símbolos: nZ, n ímpar n2 é ímpar.

Observações:

1. Não basta mostrar que a proposição vale para alguns valores de n: 5 5 = 25, 3 3 =9, 1

1 = 1, 1 1 = 1, 3 3 = 9, 5 5 = 25, 7 7 = 49 e assim por diante, é preciso provar

algebricamente que o Teorema é válido para todo nZ.

2. A prova algébrica deste Teorema envolve dois conceitos definidos:

2.1. Definição: xZ é par se existir kZ tal que x = 2k.

2.2. Definição: xZ é ímpar se existir kZ tal que x = 2k+1.

Prova:

Hipótese: nZ, n é ímpar Tese: n2 é ímpar

Seja por hipótese n um número inteiro ímpar, então por definição n = 2k+1 para algum k inteiro.

Seja tomar o quadrado de n: n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1.

Adotando 2k2+2k = KZ podemos escrever: n2 = 2K + 1, de onde pela definição podemos tirar que: n2 é um número inteiro ímpar.

CQD

Exemplo 2: Teorema do tipo P Q (bi-implicação ou equivalência)

Teorema: ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a0 , a,b,cR, a0

Observação:

Provar este Teorema implica em provar a duas seguintes implicações:

(Ida: ) ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a0 , a,b,cR, a0

(Volta: ) , a,b,cR, a0 ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a0

Como mera sugestão pedagógica, sugerimos que o educador aborde primeiramente a prova da

validade da volta deste teorema, por exigir menos ideias teóricas, enquanto a ida por ser mais

complexa e exigir um conhecimentos algébrico bastante mais avançado, deve ser reservado para

uma aula especial em que os pré-requisitos sejam bem estudados.

18.2.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição

Este método leva em conta a seguinte equivalência da Lógica proposicional:

(P Q) (Q P).

Dado um Teorema da forma "p implica q" podemos colocá-lo na forma contrapositiva: "q não

implica p" ou seja: “a negação de q implica a negação de p”. Não se deve confundir este tipo de

prova com a prova por contradição. Em resumo, os passos por provar um teorema através de

contraposição são os seguintes :

1. Escreva a declaração na forma: “p implica q” ou (p q);

2. Escreva a contrapositiva da declaração inicial: “não q não implica p” ou (q p).

3. Prove a contraposição de forma direta.

4. Conclua que o teorema é verdadeiro, baseado na equivalência: (pq)(qp).

Exemplo:

TEOREMA

P: “Se n2 é um número inteiro par” então Q: “n é um número par”.

A ser provado por contraposição, isto é: (P Q) (Q P)

Prova:

1. Vamos negar que n seja um número par: q “n é um número ímpar” ou q “n não é um

número par”.

2. A contraposição da afirmativa é: q “Se n é um número inteiro ímpar”, então p “n2 é um

número ímpar” ou p “n2 não é um número par”.

3. Se n é um número inteiro ímpar então n = 2x + 1, x Z (q é verdadeira).

4. Vamos calcular o quadrado de n: n2 = (2x + 1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 2(2x 2 + 2x) + 1.

5. Fazendo (2x 2 + 2x) = y , y Z iremos obter: n2 = 2(2x 2 + 2x) + 1 = 2y + 1 é um número ímpar

(p é verdadeira).

6. CQD - O teorema está provado.

18.3.- Método Indireto de Prova:

18.3.1.- Prova por Redução ao Absurdo

A prova de teoremas por redução ao absurdo é um método de prova que se inicia por

estabelecer uma afirmativa contrária àquilo que se pretende provar. Esta afirmativa deve levar a uma

contradição, ou seja um absurdo. Assim o objeto da prova, antes negado e constatado como falso,

agora deve ser assumido como verdadeiro.

O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia

da Lógica Predicativa: quer-se provar que:

então usa-se: , onde é a contradição.

Teorema:

Se P então Q

Hipótese: P é verdade; Assumir Q como verdade, por hipótese;

Tese: Q é verdade.

Se Q acarreta uma contradição, isto é, P P passam a ocorrer, então Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.

Exemplo:

TEOREMA

é um número Irracional.

Prova:

Vamos supor como hipótese que é um número racional (o que contraria a tese do Teorema).

Assim sendo, pode ser escrito sob a forma de razão: = , com a,bZ, impondo-se que

mdc(a,b) = 1 (a e b não têm fatores comuns).

Seja quadrar a expressão = 2 = 2b2 = a2.

Temos que: 2b2 = a2 a2 = 2b2 ,ou seja, a2 é um número par.

Se a2 é um número par, então deve existir kZ tal que a = 2k.

Se 2b2 = a2 e a = 2k então 2b2 = (2k)2 = 4k2.

Mas se 2b2= 4k2 então b2 = 2k2 ou seja, fazendo k = 2K2, b = 2K,

NOTA: Já provamos acima que: ‘Se b é ímpar b2 é ímpar’ (vide item 19.2.3.) e que ‘Se b é par b2 é par’ (vide item 19.2.4.) obtém-se que b também é par

b2 = 2K implica que b é par,

Se a e b são números pares temos que: mmc(a,b) = 2 ou seja, a e b têm como fator comum o 2 o que contraria a hipótese.

Logo é um número irracional.

18.4.- Indução Matemática

Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais

ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números

naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da

Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução

Matemática:

Se P(0) é verdadeira e se para algum nN, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira,

então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro N.

18.4.1.- Princípio de Indução Matemática – Um Exemplo

Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

Prova:

Provar a validade da fórmula consiste em mostrar que:

X = {x | x = , para nN } = N.

Vamos usar o princípio da Indução Finita:

(1) Verificar a validade para n = 0: x = 0 X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado kX: 1 + 2 + 3 + ... + k =

(3) Verificar se a igualdade é válida para k + 1:

Será que 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = é verdadeira?

Vejamos duas maneiras distintas de se mostrar a validade de (3)

1ª Maneira de provar a Fórmula:

De (2) acima vamos supor por hipótese que: 1 + 2 + 3 + ... + k = é verdade

Adicionando (k+1) à igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = + (k+1)

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = de onde colocando-se o fator (k+1) em

evidência, obtém-se, finalmente: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = que prova o que

queríamos.

2ª Maneira de Provar a Fórmula:

Seja tomar: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =

=

de onde 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = e está provada a igualdade.

18.4.2.- Princípio de Indução Matemática – Um Contra-Exemplo

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n - 1) + n = ,

mostre que apesar de P(0), P(1), ..., P(n) para um certo n finito, serem verdadeiras,

esta relação não é verdadeira para P(n+1).

Sugestão:

Teste a relação para 1, 2 e 3, e diga o que pôde ser concluído.

Veja que a adição de números inteiros deve sempre resultar um número inteiro, no entanto,

para n = 3: , ou seja: 1 + 2 + 3 = o que mostra que a fórmula é falsa.

Basta que a fórmula falhe para um dado valor para aceitarmos que ela não é válida. Veja no

item a seguir a prova de que a igualdade é falsa por métodos algébricos.

Prova Algébrica da Falsidade da uma Fórmula

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = ,

mostre pelo método da indução finita matemática que ela é falsa.

Prova:

Seja adotar Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = ,

Assim teremos para n = 1 que: Soma(1) = ,

Se n = n1 então:

Soma(n-1) = =

Assim, iremos adotar como hipótese de indução: Soma(n-1) = .

Substituindo na igualdade original Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...(n - 1) + n= , a

nossa hipótese de indução, teremos:

Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n =

Soma(n) = + n = , mas isto vai acarretar uma desigualdade, veja a

seguir:

+ n = =

= = + = que é uma

igualdade falsa, ou seja, uma desigualdade.

18.5.- Expressões Utilizadas na Teoria da Prova de Teoremas

Há algumas expressões e símbolos utilizados durante e ao final de demonstrações de

teoremas. Vamos analisar algumas delas a seguir.

18.5.1.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.

Q.E.D. (às vezes escrito QED) é a abreviatura da expressão Latina "quod erat

demonstrandum" ("como queríamos demonstrar") que em português corresponde a C.Q.D. (às vezes

escrito como CQD), normalmente é colocado no final de uma demonstração matemática para indicar

que ela foi completada. Um pequeno quadrado preenchido ou , ou então vazio ,

normalmente podem ser utilizados, com a mesma finalidade, em textos impressos.

18.5.2.- O que quer dizer “Sem perda de generalidade”

Ao provarmos um teorema podemos estabelecer hipóteses onde a variável envolvida é

apenas uma das muitas que poderiam escolhidas ou selecionadas. Na verdade, o que se vai provar

para aquela variável é válido para todas as demais, por extensão, e isto torna conveniente a menção

de “Seja supor sem perda de generalidade, que”: é uma hipótese que envolvendo apenas uma das

variáveis ou um dos valores pode ser estendida a todas as demais variáveis ou valores.

18.6.- Concluindo

No JALGB#20 iremos continuar a análise do Método de Indução Matemática, tanto a finita

como a infinita, para somente então provar a validade da fórmula que permite calcular a quantidade

mínima de movimentos na Torre de Hanói por Indução Matemática.