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IV Seminário da Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp - Bauru

ALGORITMO PARA CONSTRUÇÃO DE SUPERFÍCIES DE FALHA EM SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Gláucia Kelly Silvestre ClaroAluna do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. Osvaldo Luis ManzoliOrientador – Depto de Engenharia Civil – Unesp – Bauru

RESUMOPara representar discretamente o surgimento e a propagação de descontinuidades em

meios inicialmente contínuos, sem a necessidade de alteração geométrica da malha de elementos finitos, faz-se necessário conhecer a posição da superfície potencial de falha no interior de cada elemento finito. O presente trabalho contribui para a generalização dos estudos numéricos de problemas de formação e propagação de fraturas, mediante a formulação de elementos finitos com descontinuidades incorporadas, desenvolvida por Manzoli e Shing (2006), para problemas bidimensionais. Nos problemas planos as falhas correspondem a linhas, que podem ser construídas de maneira relativamente simples, por meio de seqüenciamento de segmentos retos orientados de acordo com a direção de falha, no interior de cada elemento do sólido. Já na análise tridimensional devem-se construir superfícies de falha constituídas por superfícies planas no interior de cada elemento finito, e essas superfícies devem ser contínuas entre os elementos. No presente trabalho apresenta-se uma técnica para a construção da superfície de falha em problemas tridimensionais. Essa técnica é baseada na solução de um problema térmico equivalente, estabelecido através das direções da superfície fornecida pelo critério de falha. Tais informações provêm do estado de tensões da solução do problema mecânico, que, por sua vez, é afetado pelas superfícies de falha construídas pelo problema térmico equivalente. A solução do problema térmico equivalente por elementos finitos é realizada mediante as mesmas discretização e interpolações do problema mecânico. A validação ocorre através de simulações tridimensionais de problemas básicos e de ensaios experimentais de fratura existentes na literatura, contrastando os resultados encontrados numericamente com os experimentais.

PALAVRAS-CHAVE: Elementos finitos tridimensionais, descontinuidades fortes, fratura.

1. INTRODUÇÃO

No decorrer dos últimos anos foram desenvolvidas metodologias numéricas para a representação discreta de descontinuidade sem a necessidade de mudança geométrica da malha de elementos finitos. Apresentando, por um lado, os elementos finitos com descontinuidade incorporada, que se baseiam no enriquecimento do campo de deformações de cada elemento para representar os efeitos da descontinuidade que o atravessa. Por outro lado os elementos finitos generalizados ou estendidos (X-FEM), que se baseiam no enriquecimento das funções interpoladoras associadas aos nós existentes.

Ambas as metodologias requerem o conhecimento da posição da descontinuidade no interior de cada elemento finito. Como a posição da superfície de falha em geral é a incógnita do problema, faz-se necessário a utilização de algoritmos que construam a superfície de falha após o carregamento. A construção deve basear-se nas direções de propagação estabelecidas


pelo critério de falha na região próxima à descontinuidade. Tais superfícies devem ser contínuas e compatíveis com as direções de falha indicadas pelo correspondente critério.

Destacam-se quatro estratégias para a propagação da superfície de fissura tridimensional. A primeira delas é o esquema de trajetória de fissura fixa, assim como para uma base computacional semelhante aos elementos de interface clássicos, o caminho de fratura tem que ser a priori conhecido. Este algoritmo é bem simples para decidir se as tensões no elemento próximo ao caminho potencial de fratura exercem uma tensão de fissura crítica e o elemento falha ou permanece contínuo. De um ponto de vista computacional, este algoritmo é particularmente robusto e estável.

Uma técnica ligeiramente mais complicada é o método de trajetória de fissura local que pode ser interpretado como a generalização tridimensional de fratura localizada da análise de fratura bidimensional. Nesse caso, a fissura se estende essencialmente de pontos da vizinhança e segue a direção normal a tensão principal máxima. Como este conceito poderia render, eventualmente, superfícies não-regulares, Belytschko (2001) sugeriu ajustar o plano normal de falha baseado no ponto de intersecção na vizinhança da fissura. O sistema é super determinado e a fissura diverge apenas de uma superfície planar.

Há também a estratégia de trajetória de fissura não-local, esta calcula a média do plano normal de falha ao longo de uma certa vizinhança. Gasser e Holzapfel (2006)asseguram que a superfície gerada é em média regular. Porém, como para todas as técnicas de médias não-locais, este conceito realmente não é viável para elementos de natureza modular de análises de elementos finitos. Embora seja teoricamente elegante, é bastante incômodo incluí-lo em códigos de elementos finitos existentes, ele afeta não apenas o ponto de integração e o nível de elemento, mas também a nível estrutural global.

E por fim, o método de trajetória de fissura global introduzido recentemente por Oliver et.al. (2004) empregada com êxito em diversos problemas bi e tridimensionais, Manzoli et.al. (2006), Blanco (2007), Oliver et.al. (2008). Apresenta uma solução de elemento finito específico para o problema de fratura cinemática caracterizada por um valor escalar adicional desconhecido que define uma ou múltiplas superfícies de fratura como iso-surfaces. Contínuas, planares ou superfícies curvas descontinuas podem ser descritas de uma maneira robusta e estável, porém, às custas da solução de um sistema global adicional de equações dentro do pós-processo. A trajetória de fissura global não é só, sem dúvida, a mais geral de todas as quatro estratégias, mas também pode ser incorporado em códigos de elementos finitos existentes de modo eficiente e direto.

2. METODOLOGIA

O presente trabalho utiliza como base a técnica de construção de trajetória global para desenvolver e implementar um algoritmo para a construção de trajetórias superficiais de falha para a análise de sólidos tridimensionais pelo Método de Elementos Finitos, cujo comportamento não-linear provém da formação de descontinuidades durante o processo de carregamento. O algoritmo destina-se à representação da formação e propagação de fissuras de tração em materiais quase-frágeis ou superfícies de deslizamento em materiais dúcteis, devendo ser desenvolvido dentro do contexto da Aproximação Contínua de Descontinuidades Fortes.

A partir do campo vetorial de direções de falha, indicado pelo critério de falha aplicado ao campo de tensões do problema mecânico, o algoritmo deve construir superfícies potenciais de falha, que além de compatíveis com esse campo vetorial, devem ser contínuas entre os elementos finitos tridimensionais. O algoritmo deve ser capaz de representar superfícies de falha, sem elevar demasiadamente o tempo de processamento computacional, para que isso seja possível, acrescenta-se ao algoritmo global o tratamento localizado da


fissura, ou seja, mapeia-se toda a malha e a cada passo de carga identifica-se o elemento que atingiu o critério de falha bem como todos os elementos que fazem parte da sua vizinhança, os elementos vizinhos são os candidatos a fissurar, logo, apenas a região em questão será tratada, o que restringe o tratamento a um domínio menor de elementos.

2.1. Elementos finitos com descontinuidade incorporada

No contexto de elementos finitos, o melhor desempenho é fornecido pelos elementos finitos equipado com modos de deformação que possam capturar os saltos deslocamentos que caracterizam as descontinuidades. Sendo esta a motivação para o desenvolvimento do chamado elemento finito com descontinuidade incorporada. São construídos com base no elemento finito padrão, enriquecidos com modos de deslocamento adicional tornando-os compatíveis com a cinemática descontinuidade forte. Neste contexto, tem-se dois grupos distintos: os elementos com enriquecimento elementar que vem a ser o enriquecimento do campo de deformações de cada elemento para representar o salto de deslocamento o e os elementos com enriquecimento nodal, representando o enriquecimento da função de forma dos nós existentes, representados na Figura 1.

Figura 1: (a) Modo de enriquecimento elementar, (b) Modo de enriquecimento nodal, Oliver et.al. (2006)

Ao que diz respeito aos elementos com enriquecimento elementar descreve-se a extensão a problemas tridimensionais da técnica de incorporação de descontinuidades nointerior de elementos finitos, proposta por Manzoli et.al. (2006).

Seja o elemento finito tetraédrico de quatro nós, de domínio tridimensional eΩ contendo uma superfície descontínua, S , que divide o elemento em duas

partes, isolando um ou dois nós dos demais. Seja Tzyx nnn=n o vetor unitário normal à

superfície S , e Tzyx mmm=m o vetor unitário, correspondente ao gradiente da soma das

funções de forma dos nós isolados, que, no caso de haver somente um nó isolado, corresponde a um vetor normal à face oposta ao nó isolado, como mostra a Figura 2.

A presença da descontinuidade proporciona um deslocamento relativo do nó isolado com relação aos demais, que pode ser visto na Figura 2, e expresso por:

0

0

0

4

3

2

=d

=d

=d

u=d

R

R

R

R1

(1)


a)

m

b) n

sendo que o vetor 1,2,3,4=iiRd reúne as componentes dos deslocamentos de cada nó

produzidos pela descontinuidade e u é o vetor das componentes dos deslocamentos relativos na superfície descontínua, como mostra a Figura 2: .

Figura 2: (a) Elemento finito tridimensional, (b) Vetor deslocamento relativo à descontinuidade, com deslocamento de um nó, (c) Elemento finito com superfície de

descontinuidade, (d) Elemento finito com deslocamento de dois nós.

Os deslocamentos nodais produzidos pela descontinuidade, Rd i , são oriundos de

movimento de corpo rígido entre as duas porções do elemento separadas pela

descontinuidade. Logo, ao determinar as deformações, Txzyzzxyyx εεε= ε , a partir dos

deslocamentos nodais do elemento, Rd i , a componente dos deslocamentos nodais associados

à descontinuidade, id , deve ser subtraída, ou seja:

Riii ddB=ε

4

=1i

4

1ii uBdB=ε1=i

(2)

RεBd=ε sendo que a matriz B agrupa as matrizes iB (deformação-deslocamento) convencionais do

Método dos Elementos Finitos, o vetor d agrupa os vetores de deslocamentos nodais de todos

os nós, id , e uB=ε 1R corresponde à parte das deformações associadas ao deslocamento

de corpo rígido, originadas pela descontinuidade:

c) d)


z

y

x

xz

yz

z

xy

y

x

Rxz

Ryz

Rz

Rxy

Ry

Rx

NN

NN

N

NN

N

N

ε

ε

ε

u

u

u

11

11

1

11

1

1

0

0

00

0

00

00

z

y

x

xz

yz

z

xy

y

x

e

Rxz

Ryz

Rz

Rxy

Ry

Rx

mm

mm

m

mm

m

m

lε

ε

ε

u

u

u

0

0

00

0

00

00

(3)

onde 1N é a função de forma convencional do Método de Elementos Finitos (M.E.F.),

associada ao nó isolado. Na (3), el é o inverso da norma do vetor gradiente da soma das

funções de forma dos nós isolados, que no caso ilustrado com apenas um nó isolado, corresponde à distância entre o nó isolado e a face oposta, denominada aqui “comprimento característico” do elemento. Portanto, na (3) teve-se em conta que:

e

z

e

y

e

x

zyx l

m

l

m

l

mNNN,,,, 111 (4)

Considerando-se comportamento elástico linear na parte contínua do elemento, as

tensões Txzyzzxyyx σσσ= σ podem ser obtidas por:

RεBdE=σ

Eε=σ

(5)

sendo E a matriz constitutiva elástica linear. Na (5), observa-se que as deformações Rεdesempenham o papel de deformações inelásticas compatíveis com o deslocamento relativo do nó isolado provenientes da descontinuidade.

Dado que as tensões são constantes no elemento, o vetor de forças internas do elemento pode ser expresso por:

eint

eint

V

Ω

σB=f

σdB=fT

T (6)

sendo eV o volume do elemento finito.

Completa-se a formulação do elemento finito com descontinuidade incorporada introduzindo-se a lei constitutiva discreta da interface, ]])([[ut , que estabelece a relação entre as componentes da descontinuidade e as forças de superfície, juntamente com a condição de continuidade ente as forças de superfície da parte contínua e da interface:

0=TσNut (7)

Pelas (5)e (3), as (6) e (7) podem ser reescritas como:

eint V

u

l

MBdEB=f

e

T

(8)


0=uM

BdENut T

el(9)

onde

xyz

zxy

zyxT

nnn

nnn

nnn

000

000

000

N ;

xyz

zxy

zyxT

eT

mmm

mmm

mmm

l

000

000

000

1BM (10)

Em um procedimento incremental e iterativo, a (9 é usada para calcular os saltos de deslocamentos no elemento, para um determinado valor dos deslocamentos nodais. Então, utiliza-se a (8 para o cálculo das forças internas do elemento.

2.2. Formulação do algoritmo de construção da trajetória de fissura

A partir da solução do problema mecânico adquire-se o campo de tensões do problema, que com base no critério de falha, é possível estabelecer um campo vetorial das direções normais às superfícies de falha existentes. Logo, para cada ponto x do domínio analisado, Ω , o critério de falha gera um vetor normal à superfície de falha

Tzyx nnn=t,xn . Vetor este que pode variar com o tempo t da análise, em função das

tensões locais, até que essas alcancem o critério de falha. Como conseqüência, a superfície de falha no ponto se consolida, mantendo sua orientação fixa durante o resto da análise.

A partir da direção de propagação t,xn , é possível definir, para cada ponto do domínio, dois vetores, s e t, ortogonais à n e entre si:

Tn,= 23n0,t, xs (11)

Tnn= 13 ,0,t, xt (12)

Por construção, as superfícies de descontinuidade potenciais, iS , são tangentes, em cada ponto, aos vetores s e t, como mostra a Figura 3.

Figura 3: Superfície de falha incorporada no elemento, Ibanez (2007).

O objetivo é encontrar um campo escalar t,θ x cujas superfícies de iso-valores

Rθ,θ=t,θ ii x sejam as superfícies potenciais de falha. De modo que o campo definido

pelos vetores normais às superfícies de iso-valores de θ , θ , coincida com o campo de vetores normais a n.


Contudo, a identidade nθ= pode ser então colocada da seguinte forma para todo domínio Ω :

0=θs (13)

0=θt (14)

ou, de maneira mais condensada como:

(15)

sendo q vetor de fluxo e K tensor de condutividade dado por:

(16)

A equação diferencial (15) define um problema do tipo térmico, com as seguintes condições de contorno:

0=νq em qΓ (17)

θ =θ em θΓ (18)

onde ν é o vetor normal ao contorno do sólido, θq ΓΓ=Γ e θ representa valores

prescritos de θ no contorno. A Figura 4 ilustra o problema de valores de contorno do tipo térmico, cuja incógnita

é o campo escalar t,θ x .A forma variacional do problema é dada por:

Ω

=θdΩδθ 0K (19)

com θ pertencente ao espaço de funções de solução, no qual θ=θ em θΓ , e δθ pertencente

ao espaço de variações admissíveis (funções peso), no qual 0=δθ em θΓ .

Figura 4: Problema de valores de contorno tipo térmico, Ibáñez (2007).

A solução numérica do campo aproximado hθ pode ser encontrada empregando-se a

mesma aproximação de elementos finitos do problema mecânico original, como ilustra aFigura 3.

Conhecendo-se o campo escalar hθ , as superfícies de falha são construídas a partir

dos elementos que alcançam o critério de falha. Uma vez detectado o início de falha em um elemento, determina-se o valor médio de

hθ no elemento, fazendo-se uma média aritmética de seus valores nodais. Esse valor médio,


iθ , caracteriza então uma superfície de iso-valores de θ em toda a malha, que corresponde a

uma superfície de falha potencial, iS . Essa superfície de falha associada ao valor iθ pode ser

construída através de interpolação dos valores nodais da malha, como ilustra a Figura 5. Somente permite-se a formação de novas superfícies a partir de elementos que alcançam a condição de falha e que não contenham uma superfície pré-existente.

Figura 5: Elemento finito com superfície de descontinuidade, Samaniego (2002).

2.3. Tratamento localizado junto ao algoritmo de trajetória de fissura

Durante o processamento do algoritmo verifica-se o elemento finito que atingiu o critério de falha, ou seja, o elemento que contem a descontinuidade incorporada. A direção da tensão principal máxima deste servirá de parâmetro para a construção da superfície de fissura de um dos elementos que compartilham do mesmo nó e/ou vértice, ou seja, de um dos elementos vizinhos ao elemento rompido. Os elementos vizinhos sofrerão a ação do carregamento até que um deles também atinja o critério e falhe. Então os dados do elemento finito recém fissurado também são armazenados, servindo como parâmetro para os novos elementos vizinhos. O processo se repete até a ruptura total, ou seja, o processo se repete até que o seqüenciamento dos elementos que atingiram o critério de falha construa a superfície de fissura do modelo.

Embora seja necessário mapear todos os elementos finitos do modelo para tornar possível a identificação da sua vizinhança, a técnica de unir o tratamento global e local de trajetória de fissura minimiza consideravelmente o gasto computacional das simulações.

3. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Os resultados apresentados abaixo são alguns problemas típicos utilizados na análise propagação de fissura, resolvidos pelo método dos elementos finitos.

Nas simulações utilizou-se metade da espessura dos modelos, trabalhando assim com a simetria dos problemas.

3.1. Bloco retangular submetido à tração

Inicialmente apresenta-se uma simulação realizada por Jäger et. al (2008). Trata-se de um bloco retangular submetido a tração, com seção transversal de 1mm2 quadrados e uma altura de 2mm. Ele é fixado na parte inferior e carregado por uma carga de linha em seu lado superior direito, conforme a Figura 6A fissura tem início no lado de aplicação da carga no modelo induzindo a uma superfície curva de ruptura. Os parâmetros utilizados foram os descritos na Tabela 1, sendo GF a energia de fratura, ft a resistência à tração, E o Módulo de Elasticidade e o coeficiente de Poisson

Os parâmetros do material são:


GF (N/mm) ft (N/mm2)λ

(N/mm2) μ(N/mm2)

100 200 577 385

Tabela 1: Propriedades mecânicas do concreto

Figura 6: Bloco retangular submetido à tração, Jäger et.al. (2008).

Abaixo, na Figura 7 é possível verificar o bloco retangular com a malha original, bem como a deformação ocorrida após a aplicação da carga.

Figura 7: a) Malha original e b) Malha deformada.

Com a solução do algoritmo apresentado tornou possível a construção das possíveis superfícies de fissura, Figura 8, assim como a superfície que contém os elementos finitos que possuem a descontinuidade incorporada a eles, descrevendo a trajetória da fissura mostrada na Figura 9 em duas formas diferentes, o bloco com todos os seus elementos inclusive a superfície de fissura, o bloco apenas com os elementos finitos que fazem parte da superfície de fissura, com e sem preenchimento.


Figura 8: Superfícies potenciais de fissura.

Figura 9: Superfície de fissura.

O resultado obtido pode ser comparado a figura anterior pode ser comparado com o resultado encontrado na literatura apresentado na Figura 10.

Figura 10: Resultado da literatura, Jäger et.al. (2008).

3.2. Ensaio brasileiro de fratura

Neste ensaio, um cilindro é comprimido por todo comprimento de seu diâmetro, mantendo o eixo de revolução paralelo aos apoios que transmitem a compressão. A Figura 11mostra um cilindro de concreto com comprimento 300mm=B , diâmetro 150mm=D ,


submetido a uma compressão diametral P, cujas propriedades do material estão especificadas na Tabela 2, onde GF é a energia de fratura, ft a resistência à tração, E o Módulo de Elasticidade e o coeficiente de Poisson.

GF (N/m) ft (MPa) E (GPa)

115 32.0 32.4 0.2


Figura 11: Modelo do teste brasileiro de fratura, Ibáñez (2007).

Na Figura 12 é possível visualizar o modelo discretizado em elementos finitos com malha tetraédrica.

Figura 12: Modelo original discretizado em elementos finitos.

A resolução do problema mecânico permitiu a solução problema térmico equivalente, resultando nas superfícies potenciais de fissura, apresentadas na Figura 13, superfícies estas normais a direção de tensão principal em cada nó.


Figura 13: Superfícies potencias de fissura.

A Figura 14 apresenta o modelo deformado. Este apresenta uma superfície de fratura vertical no centro do cilindro, visível quando comparado ao modelo original, representado na figura, pela linha de azul.

Figura 14: Modelo original representado pela linha azul e modelo deformado.

Na Figura 15 está representa a superfície de falha após o carregamento. Vê-se o corte nos elementos que atingiram o critério de falha, ou seja, 0iθ .

Figura 15: Superfície de fissura.

3.1 Flexão de viga entalhada submetida a forças em quatro pontos.

Analisou-se também a viga entalhada testada por Gálvez et.al. (1998), buscando fundamentar a aplicação do algoritmo proposto como um ganho na análise das descontinuidades.


Trata-se de uma viga, com 50 mm de espessura, submetida a forças em quatro pontos. Sua geometria e condições de contorno estão expostas na Figura 16. Os parâmetros experimentais do material estão expostos na Tabela 3, onde GF é a energia de fratura, ft a resistência à tração, E o Módulo de Elasticidade e o coeficiente de Poisson.

GF (N/m) ft (MPa) E (GPa)

69 3.0 38 0.2


Figura 16: Ensaio de viga com entalhe de geometria com unidades em mm. Pedrini (2008).

A malha de elementos finitos tetraédricos empregada na análise é mostrada na a Figura 17.

Figura 17: Modelo original discretizado em elementos finitos.

A Figura 18 apresenta a solução do problema térmico equivalente, o que possibilita visualizar as superfícies potenciais de falha.


Figura 18: Superfícies potenciais de falha.

Na Figura 19 vê-se representada a iso-superfície que satisfez o critério de falha, esta contem um desvio na curva ocorrido pela alta compressão existente na região.

Figura 19: Superfície de falha.

A Figura 20 mostra a configuração deformada, no estágio final do processo de carregamento, na qual se pode observar a formação de uma superfície de fratura inclinada e praticamente plana, em conformidade com a superfície descrita na Figura 19, sendo esta compatível com o resultado experimental.

Figura 20: a) Modelo com fissura incorporada ativa obtido com a técnica apresentada e

b) Modelo com fissura ativa, Pedrini (2008).

b)

Nó monitorado

b)a)


Figura 21: a) Gráfico de Deslocamento x Carregamento obtido com a técnica apresentada e b) Gráfico experimental do modelo em questão retirado de Pedrini (2008).

Na Figura 21 é apresentado o gráfico de deslocamento versus carregamento no nó monitorado visível na Figura 20, juntamente com o gráfico do resultado experimental

4 CONCLUSÕES

Os resultados obtidos nas simulações contrastados com os resultados bibliográficos, permitem concluir que:

O algoritmo contribui para a generalização dos estudos numéricos de problemas de formação e propagação de fissuras, mediante a formulação de elementos finitos com descontinuidades incorporadas para problemas tridimensionais;

Refinar a malha de elementos finitos apenas na região próxima a fissura e adicionar o tratamento local de trajetória de fissura ao algoritmo global reduziu consideravelmente o tempo de processamento.

O trabalho apresentado indicou pontos a serem aprofundados, o que sugere os seguintes itens para trabalhos futuros:

Implementação da metodologia para a representação de múltiplas fissuras; Análise mais aprofundada do algoritmo ao que diz respeito às áreas de alta

compressão.

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