INTRODUÇÃO

A Origem da Geometria

Muitos séculos antes de Cristo, desenvolveu-se junto ao rio Nilo, na África, uma das mais importantes civilizações da Antiguidade: os Egípcios. Esta civilização tinha nas margens férteis do rio Nilo sua principal fonte de sobrevivência.

A econômia dos egípcios era baseada na agricultura e esta era regulada de acordo com as épocas de enchente e vazante deste grande rio.

Uma vez por ano, de julho a setembro, as águas do Nilo transbordavam e inundavam grandes extensões de terras ao longo de suas margens.

Quando as águas baixavam, uma substância negra, chamada húmus, depositava-se sobre a terra fertilizando o solo.

Após cada inundação os egípcios precisavam medir a extensão de suas propriedades e redividir suas terras, para não perde-las. Assim foram descobrindo várias propriedades geométricas.

Mais ou menos na mesma época os gregos motivados pela curiosidade científica começaram a

usar o raciocínio lógico no estudo da geometria.

O matemático grego Euclides, III AC., foi o primeiro a reunir todas as principais descobertas em geometria e organizá-las de forma lógica e gradual.

A idéia era provar, sem experiências e medições, que os resultados práticos conhecidos são sempre verdadeiros. Com este objetivo, Euclides escreveu “Os Elementos” onde parte de algumas suposições simples para concluir ou provar propriedades geométricas através de raciocínio lógico.

“Os Elementos” foi a obra mais importante de Euclides e até hoje é baseado nela que as escolas de Ensino Fundamental e Médio ensinam conceitos geométricos aos alunos.

Sólidos Geométricos

Introdução

Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos.

São objetos que lembram Poliedros: São objetos que lembram corpos redondos:

Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a dois,

um lado comum. Elementos de um poliedro:

Face: Região poligonal que limita o poliedro. Aresta: Interseção de duas faces. Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas. Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces.

Poliedro Convexo : Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo.

Vértice

Face

Aresta

x1

x2

De acordo com o número de faces , os poliedros convexos possuem nomes especiais. Veja a tabela abaixo:

NÚMERO DE FACES NOME DO POLIEDRO 4 TETRAEDRO 5 PENTAEDRO 6 HEXAEDRO 7 HEPTAEDRO 8 OCTAEDRO 12 DODECAEDRO 20 ICOSAEDRO

Observe alguns poliedros:

TETRAEDRO PENTAEDRO

HEXAEDRO HEPTAEDRO

OCTAEDRO DODECAEDRO

Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo:

Nela vemos que existem pontos X1 e X2 do poliedro tais que o segmento de reta X1X2 não está contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento “esta fora” do poliedro. De acordo com o seu n. de faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e assim por diante.

A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo.

Fórmula de Euler

O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço (1707-1783), que produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc. Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais ainda o seu mundo interior.

Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação:

V-A+F = 2 Onde V= n.. de vértices A= n. de arestas F= n. de faces

Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual contaremos os vértices, as arestas e as faces de um poliedro. V=8 vértices F=6 faces A=12 arestas V-A+F=2 8-12+6=2

x1

x2

Poliedros de Platão

Denomina-se poliedro de Platão1 ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições:

- todas as faces têm o mesmo número de arestas - de cada vértice parte o mesmo número de arestas Existem cinco e somente cinco poliedros de Platão Tetraedro – possui 4 faces triangulares Hexaedro – possui 6 faces quadrangulares Octaedro – possui 8 faces triangulares Dodecaedro – possui 12 faces pentagonais Icosaedro – possui 20 faces triangulares

Poliedros Regulares

Denomina-se poliedros regulares àquele: - cujas as faces são polígonos regulares, - e seus ângulos poliédricos congruentes. Só existem 5 tipos de poliedros regulares.

1 Platão (427AC). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não como matemático, mas como “O Criador de Matemáticos“. Os poliedros regulares foram chamados de “Sólidos de Platão” devido a maneira pela qual Platão os aplicou para explicar fenômenos científicos.

Tetraedro regular

V = 4; F = 4; A = 6 (faces triangulares)

Octaedro regular

V = 6; F = 8; A = 12 (faces triangulares)

Icosaedro regular

V = 12; F = 20; A =30 (faces triangulares)

Hexaedro regular

V = 8; F = 6; A = 12 (faces quadrangulares)

Dodecaedro regular

V = 20; F = 12; A = 30 (faces pentagonais)

Soma dos Ângulos das Faces A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V-2).360º onde V é o número de vértices. Demonstração: V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam n1, n2, n3, ...,nF os números de lados das faces 1,2,3,...,F, ordenadamente. A soma dos ângulos de uma face é (n-2).180º Para toda as faces temos: S = (n1-2).180º + (n2-2).180º + (n3-2).180º + ... + (nF-2).180º S = n1180º - 360º + n2180º - 360º + n3180º - 360º + ... + nF180º - 360º S = (n1 + n2 + n3 +...+nF).180º - F.360º mas n1 + n2 + n3 +...+nF = 2A, logo S = 2A.180º - F. 360º S = 360º.A – F.360º S = (A – F).360º Da relação de Euler, temos V-A+F = 2 ⇒ V-2 = A – F S = (V – 2).360º

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12, calcular o número de arestas.

F = 8 Relação de Euler V-A+F = 2 V = 12 12 – A + 8 = 2 ⇒ A = 18 Logo, o poliedro tem 18 arestas

2)Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértice desse poliedro.

Vamos determinar inicialmente o número de arestas. 6 faces quadrangulares: 6.4 =24 arestas 2 faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas Como cada aresta foi contada 2 vezes, temos 2A = 24 + 12 ⇒ A = 18 Aplicando a relação de Euler, temos V – A + F = 2 ⇒ V – 18 + 8 = 2 ⇒ V = 12 Logo, o número de vértices é 12

Sendo V(vértices) o número de átomos e A(arestas) o número de ligações entre eles, temos: 12 faces pentagonais: 12 x 5 = 60 ligações 20 faces hexagonais: 20 x 6 = 120 ligações Como cada aresta(ligação) foi contada 2 vezes, vem 2 A= 60 + 120 ⇒ A = 90 O número de átomos(vértices) pode ser obtido pela relação de Euler. V – A + F = 2 ⇒ V – 90 + 32 = 2 ⇒ V = 60 Logo, a molécula possui 60 átomos e 90 ligações. 3) Determine a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 12 vértices. V = 12 S = (V – 2). 360º ⇒ S = (12 – 2).360º ⇒ S = 3600º Logo, a soma dos ângulos das faces é igual 3600º.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Resp: V= 8 2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices. Sabe-se que de 4 vértices partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9 3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar:

a) o número de vértices desse poliedro, Resp: 10 b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º

3) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas as faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckmin- ter Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o nu- mero d e átomos de carbono nessa molécula e o número de liga- coes entre eles.

4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número faces é igual ao núme- ro de vértices. Quantas faces tem esse poliedro ? Resp: 11 faces 5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces. Resp: 8 faces 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces, sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces 7) Calcule a soma dos ângulos das faces do: a) tetraedro regular Resp: 720º b) octraedro regular Resp: 1440º c) icosaedro regular Resp: 3600º 8) Qual a área da superfície de:

a) tetraedro regula de aresta 6m, Resp: 72 2 m2

b) icosaedro regular de aresta 5cm Resp: 125 3 cm2 9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é: a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d 10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:

a) 33 vértices e 22 arestas b) 12 vértices e 11 arestas c) 22 vértices e 11 arestas d) 11 vértices e 22 arestas e) 12 vértices e 22 arestas Resp: e

Bibliografia - Matemática 2° grau-Vol. Único. José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Rui Giovanni

Junior. Editora F.T.D. - Matemática 2° grau – Vol. Único. Gelson Iezzi, Osvaldo Dulce, David Mauro Dregenszayn, Roberto

Périgo. Editora Atual. - Matemática 2° grau – Vol. Único. Paulo Bucchi. Editora Moderna. - Matemática 2° grau – Vol. Único. Edwaldo Bianchini, Herval Paccola,. Editora Moderna. - Matemática 2° grau – Vol. Único. Luiz Roberto Dante, Editora Atual - Matemática 2° grau – Vol. Único. Benigno Barreto Filho&Cláudio Xavier da Silva, Editora FTD Apostila elaborada pelo Prof. Luiz Carlos Souza Santos

ESCOLA “DR. ALFREDO JOSÉ BALBI”-UNITAU

APOSTILA

POLIEDROS REGULARES

ÍNDICE

INTRODUÇÃO..............................................................................................PAG. 1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS................................................PAG. 2 FÓRMULA DE EULER.................................................................................PAG. 4 POLIEDROS DE PLATÃO E POLIEDROS REGULARES.........................PAG. 5 SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO....PAG. 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................PAG. 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS..........................................................................PAG. 7 BIBLIOGRAFIA.............................................................................................PAG. 8