INTRODUÇÃO

O atual clímax tecnológico do homem se deve em muito ao seu avanço nas áreas exatas e dentre elas a matemática é uma das mais importantes.

Para termos a aproximação da matemática às necessidades do cotidiano teve-se que aprimorar e acrescentar um universo maior de conjuntos numéricos. Os números naturais já não se faziam capazes de solucionar problemas que se apresentavam com o crescente avanço do conhecimento humano. Dessa forma, teve-se que expandir o que chamamos de conjunto dos números naturais para o conjunto dos números inteiros. Este progresso colaborou satisfatoriamente por um período. No entanto, não era suficiente para resolver questões de divisão de inteiros. Essa solução não contemplava o simples problema de dividir um por dois.

Uma afirmação dessa necessidade de aprimoramento da matemática é ratificada por Cavalieri (2005, p. 17), conforme a seguir.

Historicamente, a necessidade de criar novos números, além dos naturais foi sentida e sugerida naturalmente por problemas práticos da natureza geométrica. Houve tempo em que o homem não conhecia as frações. Mas a necessidade de medir terras, colheitas, líquidos, tecidos, com exatidão levou o homem a introduzir a frações e a criar unidades padrão para as medidas. Ao escolher uma determinada unidade padrão para medir, perceberam muitas vezes que o resultado obtido não era um número inteiro e sentiram a necessidade de fracionar a unidade de medida.

Os egípcios já conhecedores da matemática acharam uma solução para o problema e desenvolveram uma fração cujo numerador era sempre o número um e o denominador era um número natural. Isto solucionava em grande parte os problemas com a demarcação dos terrenos. Com o tempo a fração foi evoluindo, pois o numerador deixou de ser o número um para ser representado por qualquer número inteiro. Assim, medições e demarcações se tornaram mais precisas.

JUSTIFICATIVA

A fração acabou sendo um recurso indispensável, porque desde os pequenos problemas como dividir um bolo até cálculos algébricos mais avançados a fração se tornou uma ferramenta extremamente útil, justificando-se o seu ensino nas escolas. A partir do conhecimento do significado da fração e da possibilidade de se comparar itens, podemos realizar a análises mais complexas a respeito destes, viabilizando tomadas de decisão mais corretas.

Este trabalho tem por objetivo evidenciar uma das formas de se ensinar o conteúdo de frações para alunos de forma que eles possam compreender o significado e a aplicabilidade desse conteúdo na prática.

Assim, estruturou-se o trabalho da seguinte forma: o primeiro capítulo apresenta o conteúdo de frações na visão de autores de livros didáticos, o segundo capítulo explica

a colocação de cada algoritmo utilizado nas respectivas operações, já o terceiro capítulo informa a sequência didática a ser utilizado para ensinar frações. Neste capítulo há a explicitação de o que é fração; sua aplicação no dia a dia; conceito de frações equivalentes; adição e subtração; multiplicação e divisão.

UMA VISÃO DE COMO É TRABALHADO AS FRAÇÕES NOS LIVROS DIDÁTICOS.

As frações são apresentadas de forma interpretativa na maioria dos livros usando figuras geométricas para que os alunos estabeleçam relações com a geometria das figuras e suas medidas.

O uso desses meios são trabalhados com exercícios que envolvem a divisão de figuras geométricas ou exercícios que poderiam ser identificados como interpretação das representações geométricas para as numéricas ou numéricas para geométricas.

Entretanto, há um esforço dos autores em dar uma diversificada nos exercícios ou interpretações que argumentem de um outro ponto de vista. O uso de exercícios situação-, subtração, multiplicação, divisão, porcentagem, interpretação de gráficos que será visto em estatística e uma gama de exercícios que se pode articular de várias formas. problema é típico desse conteúdo, pois oferecem aos alunos situações que vão além de mero exercício da tradução entre figuras, já que embasam fatos típicos de serem vivenciado entre os alunos. Neste caso as representações geométricas usadas nos livros servem como recurso para uma melhor compreensão das propriedades. E, sem dúvida, deve ser a melhor maneira de apresentar aos alunos, num primeiro contato, pois seu caráter nessa articulação assume uma forma funcional.

Exemplos:

Objetivos:

Desenvolver através de brincadeiras, o aprendizado, raciocínio e manipulação de frações.

Os círculos:

Os círculos são de preferência da maioria dos livros, não sei exatamente porque, mas acredito que deve ser sua forma, pois qualquer reta que passe pelo centro divide ela em duas partes iguais. Os dados são figuras pouco usadas, mas dá para se trabalhar de várias formas.

Os dados:

O jogo:

Os jogos são outra prática habitual nos livros recentes. Neles a interatividade dos alunos se torna mais forte como é afirmado pelos autores, pois a discursão a respeito do porquê dos resultados é mais ativo, já que está incluso no jogo a competição, a disputa pela vitória.

Deve se destacar aqui que a grande variedade de propostas envolvendo as frações articula seu uso em diversas áreas matemáticas, pois aqui já há um contato com os números racionais, geometria, medidas, soma.

Explicar o algoritmo de cada operação

Adição: Adição, em matemática, expressa a idéia de juntar. Esta ação, entretanto, faz sentido somente quando juntamos coisas de mesma natureza. No caso das frações, a natureza é a forma como a unidade é dividida. A visualização geométrica auxilia.

Ex: ao efetuarmos , estamos buscando uma fração que contenha todas as

unidades existentes nas parcelas. Observamos uma representação geométrica:

Como realizar a soma de frações como e ? Estas não são frações de mesma

natureza: a primeira expressa uma parte de unidade dividida em 4, enquanto a segunda expressa uma parte de unidade dividida em 6. Porém, podemos observar que existem frações equivalentes, ou seja, embora sejam de naturezas distintas, expressam a sua quantidade de forma proporcional.

Por exemplo, uma parte de 4 expressa quantidade proporcional a duas partes de 8, e uma parte de 6 expressa a mesma quantidade que duas partes de 12. Ainda assim,

não possuímos frações de mesma natureza - e não tem a unidade dividida em

partes iguais. Mas podemos seguir observando outras frações equivalentes às duas originais:

Como podemos concluir, e são frações de mesma natureza, e como são

equivalentes a e respectivamente, a soma resultante é igual a soma que

gostaríamos de obter. Representando novamente de forma geométrica, temos:

Portanto:

Existe uma maneira prática de realizar esta “busca” por frações equivalentes

com mesmo denominador. Como observado nas frações equivalentes de e , elas

tratam-se de frações onde o denominador é sempre um múltiplo da fração do princípio. Assim, os pares de frações de mesma natureza serão gerados quando o denominador for múltiplio comum a 4 e 6. O mais prático é obter o menor – portanto, o m.m.c.

Desta forma, para efetuar a adição entre duas frações de natureza distinta, basta tomar frações equivalentes a estas, nas quais o denominar a ser utilizado será o m.m.c entre os denominadores das frações solicitadas.

O raciocínio é o mesmo no caso em que possuímos frações com numerador maior que o denominador – chamadas frações impróprias.

Subtração: A subtração é a operação inversa a adição; nela, subtraímos uma segunda quantidade de uma primeira quantidade. Mais uma vez, para que esta operação faça sentido, é necessário termos frações de mesma natureza (consideraremos aqui o caso em que o subtraendo é menor que o minuendo; o oposto a isto também é válido quando abordamos frações de números inteiros).

Uma vez compreendida a adição, a subtração torna-se bastante evidente.

Ex: é uma subtração possível; possuímos duas frações de mesma natureza.

Recorrendo à visualização geométrica. Dos retiramos :

Restando :

Para denominadores distintos, o processo é o mesmo que na adição: devemos buscar frações equivalentes às solicitadas, de forma que estas equivalentes sejam de mesma natureza, ou seja, possuam o mesmo denominador. Para obter isto de forma prática, como visto no caso da adição, basta obter o m.m.c. dos denominadores, e buscar frações equivalentes com este novo denominador.

Multiplicação: No universo dos números naturais, multiplicar um número por outro é somar o segundo número tantas vezes quanto for o primeiro número (a ordem no sentido contrário tem resultado igual). Isto também á de fácil observação quando multiplicamos uma fração por um número natural. Por exemplo:

E para realizar ? O raciocínio anterior não serve. Portanto, devemos pensar

de outra forma. Quando pensamos no primeiro exemplo, , podemos ver que

estamos obtendo o triplo de . Também existe a forma de pensar como a quarta

parte. Unindo as duas ideias, podemos pensar que ao realizar , estamos obtendo o

dobro da terça parte de . Observe a imagem, que representa :

Tomamos, agora, a terça parte disto:

Mas queremos o dobro disto:

O que obtemos foi o seguinte:

A imagem anterior representa . Observando os passos, o total de partes no

início era 9; este número foi multiplicado por 3, para tomarmos a terça parte. Ou seja,

multiplicamos os denominadores. Após, os 4 espaços que existiam da “terça parte de

” foram multiplicados por 2. Ou seja, multiplicamos os numeradores. A fração produto foi obtida, portanto, com o numerador sendo o produto dos numeradores e o denominador sendo o produto dos denominadores.

Divisão: Dividir um número natural por outro implica em determinar qual é o número – quociente – que multiplicado pelo segundo resulta no primeiro. Essa forma de raciocínio torna-se complicada quando trabalhamos com frações. Assim, utilizaremos

seguinte idéia para o cálculo que será tomado com exemplo, .

A primeira etapa é constatar que ao multiplicarmos dividendo e divisor pelo mesno número não altera a divisão. Por exemplo, 8:4 tem o mesmo resultado que 16:8; observando que multiplicamos dividendo e divisor por 2. Portanto, faremos uma pequena mudança na forma de escrever o nosso cálculo, sem alterar o resultado.

A segunda etapa é perceber que todo número possuí um inverso multiplicativo –

dois números cujo produto é igual a 1. Por exemplo, o inverso multiplicativo de 2 é .

Também podemos pensar que o inverso multiplicativo de um número e o oposto dele

em relação à multiplicação; o oposto de 2 no que diz respeito à multiplicação é . Este

exemplo é intuitivo, e serve como molde para trabalharmos com o divisor . Para este

número, a idéia não é tão direta, mas basta realizar o cálculo e observar que ,

e, portanto, o inverso multiplicativo de é .

Vamos multiplicar dividendo e divisor por . Como observado, este par de

multiplicações não altera o resultado. E o motivo de fazer tal operação é perceber que, desta forma, o divisor torna-se igual a 1; assim, o quociente é o próprio dividendo, restando apenas determinar quanto este último vale. Observemos as imagens, que aplicam o que foi explicado:

Como o ponto de interrogação é, por um lado o resultado de , e por outro

lado o resultado obtido por , chegamos a conclusão que dividir por

é equivalente a multiplicar pelo seu inverso multiplicativo, que é .

Sequência didática

O que é fração?

Segundo Wikipédia: “Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si.”

Em outras palavras, é quando se divide uma parte em vários pedaços iguais entre si. Abaixo seguem dois exemplos a respeito do significado de frações.

a)

A figura é dividida em quatro partes iguais. A parte pintada representa um quarto do total da figura, visto que a área total da figura é representada pela soma das

partes:

b)

A figura é dividida em cinco partes iguais. As partes pintadas representam três quintos do total da figura, visto que a área total da figura é representada pela soma das

partes:

Aplicação

Desde o Egito antigo até os dias atuais a fração é utilizada no nosso cotidiano, desde o seu uso em ferramentas para indicar o seu tamanho até em uma simples divisão de bolo, conforme ilustrado nas figuras abaixo.

Ilustração 1: Exemplo de uso de frações na determinação do tamanho de ferramentas.

Fonte: IMENES e LELLIS (2008)

Ilustração 2: Exemplo de uso de frações na divisão de um bolo.

Fonte: IMENES e LELLIS (2008)

Embora seu uso seja contínuo, a dificuldade de compreender as frações leva a dúvidas simples de como se soma?, como se subtrai?, qual é a maior fração? Para resolver estas questões, trabalhamos as frações visando à melhor compreensão do assunto por parte do aluno.

Nomenclatura das frações

Na representação de uma fração há dois números separados por uma barra horizontal. O número abaixo da barra é o denominador. Ele indica em quantas partes iguais algo foi dividido. O número em cima da barra é o numerador. Ele mostra quantas das partes iguais foram consideradas.

Os nomes das frações dependem do denominador. Se ele for três, temos terços. Se for quatro, temos quartos. Se for cinco, temos quinto. Se for seis, temos sextos e assim por diante.

Para funções com denominadores diferentes, que não sejam de um a dez e nem cem mil, usamos a palavra avo.

Exemplos:

a) - três sextos

b) - um meio

c) - três décimos

d) - um centésimo

e) - trinta e três milésimos

f) - onze doze avos

FRAÇÕES EQUIVALENTES

Iremos fazer uma atividade para ver do que trata frações equivalentes.

1- Nesta atividade você vai usar uma folha de papel, régua, caneta e um lápis vermelho.

a) Dobre a folha ao meio. Com régua e caneta, marque a linha sobre a dobra. Pinte

uma das partes de vermelho.

b) Dobre outra vez e marque a dobra com caneta. Agora a folha está dividida em 2

partes iguais e a parte vermelha corresponde a da folha.

c) Dobre novamente. Marque as dobras com caneta. A folha agora está dividida em

oito partes iguais e a parte vermelha de acordo com a figura, corresponde a .

(pedir para os alunos verificar nos desenhos e ver se há algo em comum entre eles)

Conclusão: , e representam o mesmo pedaço da folha, por isso se diz que são frações equivalentes.

Indicamos assim:

2- Copie e identifique os pares de fração com = se forem frações equivalentes e com se não forem.

a)

b) c)

d)

3- Complete a sequência de números equivalentes.

a)

b)

c)

d)

4- Quando dividimos ou multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, obtemos outra fração equivalente.

Ex: a) b) c) Isto vale porque quando se multiplica ambos por um número não altera o valor da fração.

Assim concluímos que frações equivalentes, quando não está em sua forma irredutível, tem fatores comuns estre o numerador e o denominador. Esta propriedade que encontramos nas frações equivalentes permite que se fale em simplificação de frações.

Simplificação de Frações.

Ex. olhando para esta fração percebe-se que não há como dividi-la, não se pode reduzi-la, logo concluímos que ela esta em sua forma inredutível.

Porém, este método pode ser muito trabalhoso caso estejamos trabalhando com frações que tenham em seu denominador e numerador valores muito elevados. Neste caso deve-se fazer uso do MDC (máximo divisor comum).

Ex. no exemplo anterior pode-se efetuar sua simplificação com mdc.

Logo pode-se fazer a simplificação direto po 12.

6- Simplifique as frações fazendo uso do mdc.

a) b) c) d)

7- indique com V (verdadeiro) se a fração, em questão, está em sua forma irredutível e com F (falso) caso não.

a) b) c) d) e) f)

Vamos ver agora problemas que seguidamente encontramos no dia-dia envolvendo comparações de frações.

Ex. qual das frações representam a maior parte de um inteiro.

ou . Vamos ver isto num exercício situação problema.

De um palete com 30 caixas de tomate foram vendidos, se estragaram com o tempo

e foram trocados por caixas de maçâ.

Como poderemos descobrir o número exato de caixas de tomate que foram vendidas? Uma maneira de fazer isto é descobrir uma fração equivalente com o mesmo denominador em ambas frações.

Ex. tomates vendidos , tomates estragados

Tomates trocados por maçâ

Logo, comparando as frações podemos concluir que foram vendidas 12 caixas de tomates.

Na comparação também poderemos dizer quais das frações representam a maior parte do inteiro.

8- Utilizando este mesmo processo coloque entre os parenteses a letra que representa a frações na régua segundo sua parte num pedaço de dez centímetros.

a) c) e) g) i)

b) d) f) h)

( ) ( e ) ( ) ( ) ( ) ( d ) ( ) ( ) ( )

Adição de frações

As adições de frações devem respeitar duas condições de operações: - Primeira condição: Quando as frações possuem denominadores iguais Quando os denominadores são iguais, os numeradores devem ser somados e o valor do denominador mantido. Observe os exemplos:

- Segunda condição: Quando as frações possuem denominadores diferentes

Nas operações da adição envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores que temos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, obtendo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais. Observe os cálculos:

+ =

MMC (6,8) + = = =

6,8 -- 2

3,4 -- 2

3,2 -- 2

3,1 -- 3

1,1 -- (2x2x2x3) = 24

Exercícios :

Some as frações com denominadores iguais:

a) + = c) + =

b) = d) + =

Some a fração:

a)

+

=

Subtração entre frações

Na subtração trabalharemos com a mesma idéia decorrida anteriormente, ou seja, para subtrair trabalharemos com frações semelhantes.

Ex.

MENOS LOGO

A S FRAÇÕES NA SUBTRAÇÃO :

Como dá para perceber a subtração usa valores que representam um mesmo inteiro. O primeiro representa 3 partes de um inteiro de 4 partes e o segundo 1 parte do mesmo inteiro.

9- Efetue as operações.

Ex. a) d)

b) e)

c) f)

obs. Mas nem sempre teremos frações com os mesmos denominadores.

Ex. Utilizando a propriedade das equivalências consigo chegar em frações

com os mesmos denominadores e . Portanto, desta

maneira a divisão será feita sem problemas .

10- Faça a subtração das frações conforme o exemplo anterior.

a) c)

b) d)

No exercício anterior fizemos uso da multiplicação da fração por um inteiro até chegarmos a frações com o mesmo denominador; porém, certas frações tornam este caminho muito trabalhoso. No entanto, o mínimo múltiplo comum (MMC) ajudará a simplificar esta operação.

Ex.

Assim:

11- Resolva os exercícios anteriores, só que agora, utilizando o MMC.

Multiplicação de Frações:

A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe: 

X

=

Exercícios:

a)

X

b)

X

c)

d)

DIVISÃO DE FRAÇÕES

A divisão de fração é a operação que divide uma parte de um inteiro em mais partes.

Ex. Dividir um pedaço de um bolo que representa do bolo inteiro por dois.

A parte do bolo

Esta parte será dividida em duas partes iguais. Seu pedaço dividido por 2.

Como seu pedaço é do bolo, fica assim a divisão de uma fração por um número

natural:

Ex. a)

b)

Isto se justifica com a ideia de que dividir por 2 significa descobrir um meio de ,

ou seja,

12- Efetue as divisões.

a) d)

b) e)

c) f)

Bibliografia

http://educar.sc.usp.br/matematica/mod5.htm

http://www.blogviche.com.br/2007/10/12/fracoes-operacoes-parte-iii/

CAVALIERI, Leandro. O Ensino das Frações. Umuarama, 2005.

O que é fração. Brasil, 2010. - obra cuja autoria não é determinada, entrada pelo título. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 26 jun. 2010.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática Para Todos: 5ª série, 3º ciclo.3. ed. São Paulo: Scipione, 2008.