introducao otimizacao linear

8/18/2019 Introducao Otimizacao Linear

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇ ÃOTECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

Programa de Mestrado em Modelagem

Matemática e Comnputacional

Otimização Linear

Professor: Sérgio Ricardo de Souza

Belo Horizonte, fevereiro de 2010


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Sumário

1 Introdução 41.1 Otimização de sistemas . . . . . . . . . . 41.2 Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . 61.3 Programação Linear (História) . . . . . 91.4 Classificação dos Problemas de Otimi-

zação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Exemplos de Problemas de Programação Li-near 14

3 Estrutura de um Problema de PL 34

4 Formato do Problema de Programação Li-near 36

5 Manipulação do Problema Linear 375.1 Transformar desigualdades em igual-

dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Transformar igualdades em desigual-

dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Eliminação de Variável irrestrita em

sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Variável com limitante inferior . . . . . 425.5 Variável com limitante superior . . . . 42

6 Formato Matricial de um PL 43


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1 Introdução

1.1 Otimização de sistemas

Problema de Tomada de Decisões

Modelagem Matemática de um sistema

com a finalidade de tomar decisões

Problemas Reais do Cotidiano

Caracteŕısticas:

* Variáveis inter-relacionadas;

* Vários objetivos, conflitantes entre si;

* Escassez de recursos;* Grande número de variáveis.


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⇒ Buscar o melhor desempenho de um sistema, tendo emvista as diversas restrições que dificultam a escolha desseresultado.

Complexidade dosProblemas Reais

X Problemas cuja solução seja

posśıvel de ser determinada

Significado de Solução

Ferramentas de Análise

X

Solução Correta


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1.2 Pesquisa Operacional

• Metodologia para a análise e tomada de decisões.

Formulaçãodo Problema

Construçãodo Modelo

Solução doModelo

Implementaçãode Resultados

Técnicas deOtimização Dados

Comparação


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• Problemas T́ıpicos

* Filas

* Estoques

* Ordenação de Tarefas

* Distribuição, Transporte e Alocação

* Redes, Grafos

* Localização

* Plano de Produção, etc


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• Técnicas usadas em PO

* Programação Linear

* Programação Não - Linear

* Programação Inteira

* Programação Dinâmica

* Programação Estocástica

* Programação Geométrica

* Programação Heuŕıstica

* Simulação, etc


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1.3 Programação Linear (História)

• Fonte inicial −→ Modelos empı́ricos e teóricos de sistemaseconômicos

* Quesnay, “Tableau Economique”(1758)

* Walsas, (1874)

* Leontief, “Modelos de Input-Output de InterligaçãoTecnológica entre Setores da Indústria” (1936)

* Von Neumann, “Modelos Dinâmicos de Equiĺıbrio E-conômico”(1937)

* Kantorovich, “Modelos Matemáticos na Organizaçãoe Planejamento da Produção”(1939)


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• II Guerra Mundial

– Problemas de fornecimento– Problemas de manutenção

– Treinamento de pessoal

– Problemas de transporte

=⇒ Problemas de como tomar uma decisão

=⇒ Inspiração militar

• Programação Linear → G. B. Dantzig(1947)

– Método Simplex: Dantzig (1949);

– Advento do Computador;

– Ampla classe de aplicações, devido a:

∗ Simplicidade do código;∗ Grande número de problemas práticos podem ser

descritos como problemas lineares;

∗ Possibilidade de se encontrar soluções em um númeromáximo de iterações;

∗ Utilização como parte do algoritmo em diversos métodosde otimização não-linear.


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1.4 Classificação dos Problemas de Otimização

min f (x)

sujeito a g(x) ≤ 0

h(x) = 0

x ≥ 0

• Quanto à existência de restrições:

– Problemas sem restrições ou irrestritos;

– Problemas com restrições.

• Quanto à natureza das variáveis de projeto:– Problema de Otimização Estática ou Paramétrica;

– Problema de Otimização Dinâmica ou de Otimizaçãode Trajetórias.


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• Quanto à estrutura f́ısica do problema:

– Problema de Controle Ótimo;

– Problema de Controle Não-Ótimo.

• Quanto à natureza da formulação matemática:

– Problema de Programação Não-Linear;

∗ Problema de Programação Geométrica;

∗ Problema de Programação Quadrática.

– Problema de Programação Linear.

• Quanto aos valores permitidos para as variáveis de pro-

jeto:

– Problema de Programação Inteira;

– Problema de Programação Real.


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2 Exemplos de Problemas de Programação Li-near

Exemplo 1 Planejamento do Fornecimento.

Uma f´ abrica de alimentos congelados produz batatinhas fritas, picadinho de batatas e flocos para purê de batata.

• Fases da produç˜ ao:

1. Compra da batata a partir de duas fontes produ-toras;

2. Classificaç˜ ao das batatas por comprimento e quali-dade;

3. Distribuiç˜ ao pelas linhas de produç˜ ao.

• As fontes diferem na qualidade das batatas fornecidas:

Produto Produtor 1 Produtor 2

Batatinha Frita 0, 2 0, 3

Picadinho de Batata 0, 2 0, 1

Flocos de Purê 0, 3 0, 3

• Refugo equivalente a 30% para a batata comprada de cada produtor.


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• Lucro por tonelada das batatas advindas de cada fonte produtora:

Produtor 1($/ton)

Produtor 2($/ton)

Lucro 5 6

• Limitaç˜ ao de mercado:

Produto Limite de Vendas (ton)

Batatinha Frita 1, 8

Picadinho de Batata 1, 2

Flocos de Purê 2, 4

• Problema: Quantas toneladas de batatas devem ser compradas de cada fonte produ-tora?


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A funç˜ ao que expressa o lucro da empresa é dada por:

f (x1, x2) = 5x1 + 6x2

Ent˜ ao, o problema de otimizaç˜ ao é:

max f (x1 + x2) = 5x1 + 6x2 (funç˜ ao de lucro)

sujeito a 0, 2x1 + 0, 3x2 ≤ 1, 8 (batatinha frita)

0, 2x1 + 0, 1x2 ≤ 1, 2 (picadinho de batata)

0, 3x1 + 0, 3x2 ≤ 2, 4 (flocos de purê)

x1 ≥ 0 (fornecedor 1)

x2 ≥ 0 (fornecedor 2)

Soluç˜ ao ´ otima (gr´ afica):

x1 = 4, 5 ton

x2 = 3 ton

⇒ Problema de Programação Linear


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Exemplo 2 Companhia de Mineraç˜ ao

A companhia de mineraç˜ ao Mais Nada Resta possui duas minas de extraç˜ ao de minério de ferro que, ap´ os benefi-ciado, é classificado em três categorias: alto grau, médiograu e baixo grau. A companhia venceu a concorrência para o fornecimento de matéria-prima para uma Usina de Aço, de modo que deve entregar, por semana, 24 ton. de

minério de grau baixo, 8 ton. de minério de médio grau e 12 ton. de minério de alto grau. As caracteŕısticas de produç˜ ao das minas s˜ ao mostradas abaixo:

Produção (ton/dia)

Mina Custo/Dia (US$) Alta Média Baixa

X 180 6 3 4

Y 160 1 1 6

Quantos dias por semana cada mina deve ser operada para garantir o contrato de fornecimento?


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Algumas formas de tratamento desse problema:

• Trabalhar um dia por semana nas minas X e Y.

Resultado: Tipo ProduçãoAlto 7

Médio 4

Baixo 10Insuficiente para atender as exigências do contrato ⇒Infact́ıvel.

• Trabalhar 4 dias por semana na mina X e 3 dias por semana na mina Y.

Resultado: Tipo ProduçãoAlto 27

Médio 15Baixo 34

Suficiente para atender as exigências docontrato ⇒ Fact́ıvel.

Problema: ´ E o menor custo ?


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Exemplo 3 ´ Arvore de Decis˜ ao

Deseja-se contratar um novo funcion´ ario entrevistan-do-se no m´ aximo três candidatos à vaga.

A partir de experiências anteriores, verificou-se que é posśıvel determinar, a partir da entrevista, se um dado candidato ser´ a um funcion´ ario excelente, bom ou regular.

A tabela abaixo mostra os pesos atribuı́dos a cada um dos casos:

Expectativa deDesempenho

Peso

Excelente 3

Bom 2

Regular 1


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A experiência anterior também informa a respeito das chances de se encontrar um funcion´ ario com as especi- ficaç˜ oes desejadas:

Expectativa de Desempenho Chances

Excelente 0,2

Bom 0,5

Regular 0,3

A decis˜ ao deve ser r´ apida, pois sabe-se que os can-didatos também est˜ ao concorrendo ao mesmo cargoem outras empresas.

Problema: Selecionar o melhor candidato, nomenor tempo posśıvel.


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• Modelamento ⇒ ´ Arvore de Decis˜ ao

– n´ os com ćırculos: candidatos entrevistados;

– ramos: eventos incertos e suas probabilidades de ocorrência;

– quadrados: pontos de tomada de decis˜ ao;

– n´ umero no fim de um ramo: valor encontrado casose interrompa o processo de decis˜ ao naquele ponto.

• Técnica de soluç˜ ao: Programaç˜ ao Dinˆ amica via Induç˜ aoReversa.


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R 0, 3Continua R 0, 3 Continu

B 0, 5

Pare

B 0, 5

Pare

E 0, 2

Pare

E 0, 2

1

1 2


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Exemplo 4 Planejamento da Produç˜ ao

Matéria Prima Sapato Botina Disponibilidade Couro 2 1 8 Borracha 1 2 7 Cola 0 1 3 Lucro por unidade 1 1 —

x1: quantidade de sapatos fabricados;x2: quantidade de botinas fabricadas;

Logo:

2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 7

x2 ≤ 3

Funç˜ ao de lucro:

z = x1 + x2

Portanto:(PL) max z = x1 + x2

suj. a 2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 7x2 ≤ 3x1 ≥ 0

x2 ≥ 0


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Exemplo 5 Problema de Transporte

Uma empresa fabrica latas de conserva em 2 f´ abricas e as vende através de 3 dep´ ositos.

Fábrica

Depósito

1

1

2

2

3

ai : Capacidade de produç˜ ao da f´ abrica i.

b j : Demanda de produtos no dep´ osito j.

cij : Custo por produto transportado da f´ abrica i para odep´ osito j.


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A empresa deseja saber como distribuir a produç˜ ao pela rede de modo a:

1. Respeitar as capacidades produtivas de cada f´ abrica.

2. Respeitar as demandas de cada dep´ osito.

3. Minimizar o custo total de transporte.

Defina xij como a quantidade de produto transportado da f´ abrica i para o dep´ osito j.

Logo:

x11 + x12 + x13 ≤ a1x21 + x22 + x23 ≤ a2

Produç˜ aox11 + x21 ≥ b1x12 + x22 ≥ b2x13 + x23 ≥ b3

Demanda

xij ≥ 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3

Funç˜ ao de custo:

z = c11x11 + c12x12 + c13x13 + c21x21 + c22x22 + c23x23


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Porém, surge um transportador, propondo a terceirizaç˜ aodeste serviço, na forma:

1. Transportar toda a mercadoria, respeitando capaci-dades de produç˜ ao e de demanda.

2. Pagar ao fabricante π1 e π2 reais por unidade a produç˜ ao

das f´ abricas 1 e 2 e, em seguida, lhe vender por η1,η2 e η3 reais por unidade em cada um dos dep´ ositos,garantindo, porém, que:

η j − πi ≤ cij, i = 1, 2 j = 1, 2, 3

η j ≥ 0

πi ≥ 0


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De sua parte, o transportador vai procurar estabelecer os preços de modo a maximizar o seu lucro:

Funç˜ ao de receita e despesa do transportador:

φ = (b1n1 + b2n2 + b3n3) (Receita)

− (a1π1 + a2π2) (Despesa)

Qual das duas alternativas é mais conveniente ao fabri-cante?

* A soluç˜ ao ´ otima entre o problema 1 e o problema 2,

para o fabricante, ser´ a aquela que maximiza o seu lu-cro, ou seja:

z ≤ φ

* Portanto, se o custo com o transporte no problema do

transportador for maior que o custo do transporte pelopr´ oprio fabricante, ent˜ ao a soluç˜ ao 1 é a ideal, doponto de vista do fabricante.


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Exemplo 6 Problema de transporte: Uma aplicaç˜ ao aoplanejamento de Redes Telefˆ onicas.

aib j

ai = N´ umero de assinantes na ´ area i.

b j = Capacidade da central j.

cij = Custo para conectar um assinante da ´ area i à central j.

O problema consiste em alocar assinantes à centrais de modo a minimizar o custo de ligaç˜ ao assinante-central.Trata-se, assim, de um sub-problema do problema-master de localizaç˜ ao de centrais.


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xij: n´ umero de assinantes da ´ area i conectados à central j

a1

a2

an

b1

b2

bn

...

...

...

...

min z =

i

j

cijxij

suj. a

j

xij ≥ ai , ∀i

i

xij ≤ b j , ∀ j

xij ≥ 0 , ∀i, ∀ j


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Exemplo 7 Problema da Dieta

Disp˜ oe de 5 tipos de alimentos, com diferentes composiç˜ oes de nutrientes (protéınas e sais minerais). Uma vez con-hecido o custo de cada alimento, deseja-se determinar a dieta que satisfaz os padr˜ oes nutritivos desejados e que tenha o mı́nimo custo.

Nutriente Alimentos Quant.

Mı́nima1 2 3 4 5

Protéınas 3 4 5 3 6 42 Sais Minerais 2 3 4 3 3 24Custo 25 35 50 33 36 —

xi: quantidade de alimento i presente na dieta.

(PL) min z = 25x1 + 35x2 + 50x3 + 33x4 + 36x5suj. a 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 6x5 ≥ 42

2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 + 3x5 ≥ 24

xi ≥ 0, i = 1, . . . , 5

Variaç˜ oes: Problema da raç˜ ao


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Exemplo 8 O setor de transporte de carga de uma em-presa aérea, operando em S˜ ao Paulo, disp˜ oe de 8 avi˜ oes B-727, 15 avi˜ oes ELECTRA e 12 avi˜ oes Bandeirante para vˆ oos amanh˜ a. H´ a cargas para remeter para o Riode Janeiro (150 ton) e Porto Alegre (100 ton). Os custos operacionais de cada avi˜ ao e suas capacidades s˜ ao:

B-727 ELECTRA Bandeirante SP −→ Rio 23 5 1,4SP −→ PA 58 10 3,8

Capacidade 45 7 4

Quantos e quais avi˜ oes devem ser mandados para o Rio e Porto Alegre a fim de satisfazer a demanda e minimizar os custos?


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xij = avi˜ ao de modelo i na rota j.

i = 1, 2, 3

i = 1 → B-727 i = 2 → ELECTRAi = 3 → Bandeirante

j = 1, 2

j = 1 → Rio j = 2 → Porto Alegre

Total de avi˜ oes:

x11 + x12 ≤ 8x21 + x22 ≤ 15x31 + x32 ≤ 12

Restriç˜ oes de demanda:

45x

11 + 7x

21 + 4x

31 ≥ 15045x21 + 7x22 + 4x32 ≥ 100

Custo a ser minimizado:

z = 23x11 + 5x21 + 1, 4x31 + 58x12 + 10x22 + 3, 8x32


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3 Estrutura de um Problema de PL

A partir dos exemplos apresentados, a estrutura de um pro-blema de programação linear é na forma:

min z = c′xsuj. a Ax ≥ b

x ≥ 0

ou seja:

min z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxnsuj a a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≥ b2... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≥ bmx1 ≥ 0, x2 ≥ 0 . . . xn ≥ 0

ondez = c′x → função objetivo, linear em x.

c → vetor de custo.c j → coeficiente de custo.x → vetor de variáveis de decisão ou de variáveis

de estrutura ou de ńıveis de atividade.xi → variável de decisão.aij → coeficiente tecnológico.A → matriz de restrições.bi → exigência a ser satisfeita.b → vetor do lado direito.

x j ≥ 0 → restrição de não negatividade ou de sinal.

ai1x1 + ai2x2 + . . . , ainxn ≥ bi → i-ésima restrição


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O problema de programação linear, então, pode ser escritocomo:

Otimizar uma funç˜ ao objetivo linear tendo em vista um conjunto de restriç˜ oes lineares.

Definição 1 (Ponto Fact́ıvel) Um conjunto de valores x1, . . . , xn que satisfaça (atenda) a todas as restriç˜ oes é denominado um ponto fact́ıvel ou um vetor fact́ıvel doproblema.

Definição 2 Espaço ou regi˜ ao de factibilidade: conjuntode pontos fact́ıveis.

Problema de Programação Linear: determinar, dentrodo região de factibilidade, o vetor que otimiza a funçãoobjetivo.


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4 Formato do Problema de Programação Linear

• Formato Padrão:

– Restrições de igualdade.

– Todas as variáveis são não-negativas.

– O método simplex só pode ser aplicado a este formato:

min z = c′xsuj. a Ax = b

x ≥ 0

• Forma Canônica:

– Todas as restrições na forma maior ou igual (problemade minimização).

– Todas as variáveis são não-negativas:

min z = c′xsuj. a Ax ≥ b

x ≥ 0


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5 Manipulação do Problema Linear

Alteração do formato do problema original, reduzindo-o ou àforma padrão ou à forma canônica.

5.1 Transformar desigualdades em igualdades

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi variável de folgaai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn + yi = bi

yi ≥ 0

Portanto:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + y1 = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + y2 = b2

... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn + ym = bm

A I x

y

= b

x ≥ 0y ≥ 0


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De forma equivalente:

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥ bi variável de excessoai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn − yi = bi

yi ≥ 0

Portanto:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn − y1 = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn − y2 = b2

... ... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn − ym = bm

A −I xy = b

x ≥ 0y ≥ 0


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5.2 Transformar igualdades em desigualdades

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi

ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≥ bi

5.3 Eliminação de Variável irrestrita em sinal

1. Considere x j irrestrita em sinal. Então:

x j = u j − v ju j ≥ 0v j ≥ 0

Em seguida, substituir x j em todas as equações.

2. Considere um conjunto x1, . . . , xk de variáveis irrestritas.

Então, para j = 1, . . . , k:x j = u j − vu j ≥ 0,

v ≥ 0

v: variável mais negativa.

⇒ Introdução de redundância.


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3. Expressar a variável irrestrita em função das variáveis re-stritas em sinal, substituindo-a no conjunto de equaçõese descartando a equação utilizada.

⇒ Eliminação da variável irrestrita.

⇒ Dif́ıcil aplicação prática.

⇒ Diminui o número de variáveis do problema.

Exemplo 9 Seja o problema de programaç˜ ao linear:

min

1 3 4 x1x2

x3

suj. a 1 2 12 3 1

x1x2

x3

=

56

x2 ≥ 0

x3 ≥ 0

x1: vari´ avel irrestrita.


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Portanto, para eliminar x1:

x1 = −2x2 − x3 + 5

⇓

min x2 + 3x3

suj. a x2 + x3 = 4x2 ≥ 0x3 ≥ 0

⇓

min x2 + 3x3suj.a x2 + x3 ≤ 4

x2 + x3 ≥ 4x2 ≥ 0x3 ≥ 0


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5.4 Variável com limitante inferior

x j ≥ l j

⇓

t j = x j − l j

t j ≥ 0

⇒ Aumento do número de variáveis.

5.5 Variável com limitante superior

x j ≤ u j

⇓

t j = u j − x j

t j ≥ 0

⇒ Aumento do número de variáveis.


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6 Formato Matricial de um PL


x ≥ 0⇐⇒

min z =n

j=1

c jx j

suj. an

j=1

A jx j = b

x j ≥ 0 , j = 1, . . . , n

c ∈ ℜn , x ∈ ℜn

A ∈ ℜmxn , b ∈ ℜm

c =

c1c2...

cn

, x =

x1x2...

xn

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

... ... ... ...am1 am2 . . . amn

, b =

b1b2...

bm


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Seja I um conjunto ordenado de ı́ndices tal que:

I ⊆ {1, 2, . . . , n}

e seja o vetor x, na forma:

x =

x1x2...xn

Se I contiver p elementos, então xI será o vetor p-colunacujos componentes são xi, i ∈ I .

Exemplo 10 Seja o vetor:

x =

x1x2x3x4x5

e seja o conjunto ordenado:

I = {2, 4, 5}

Ent˜ ao:

xI = x2x4x5


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Seja então a matriz A na forma:

A = A

1

...Am

=

A1 . . . An

e sejam os conjuntos ordenados de ı́ndices:

I ⊆ {1, 2, . . . , m}

J ⊆ {1, 2, . . . , n}

de modo que:

Ai: i-ésima linha de A.

A j: j-ésima coluna de A.

aij: elemento da linha i e coluna j.

AI

: matriz obtida pela união das linhas Ai, i

∈ I

.

AJ : matriz obtida pela união das colunas A j, j ∈ J .

AI J : sub-matriz cujos elementos são aij, i ∈ I, j ∈ J .


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Exemplo 11 Seja a matriz:

A = 1 7 4 1 1 03 8 3 5 1 1

5 9 2 2 9

e sejam os conjuntos ordenados:

I = {1, 2}

J = {2, 3, 5}

Ent˜ ao:

AI =

1 7 4 1 103 8 3 5 11

AJ =

7 4 108 3 11

9 2 9

AI J =

7 4 108 3 11


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7 Solução Geométrica do Problema de PL

Exemplo 12 Escala de produç˜ ao da f´ abrica de sapato.

max z = x1 + x2suj. a 2x1 + x2 ≤ 8 (a)

2x1 + 2x2 ≤ 7 (b)x2 ≤ 3 (c)

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

z = 1 z = 2

z = 3

z = 4 z = 5

(a)

(a)

(b)

(b)

(c)(c)

c

x1

x2

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

Região de factibilidade

Direção de crescimento

Soluç˜ ao ´ otima :

x∗1 = 3

x∗2 = 2=⇒ z ∗ = 5


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48

8 Tipos de solução de Problemas de PPL (Pro-blema de Min)

1. Solução ótima finita e única:

⇒ Ocorre em um ponto extremo do conjunto dos pontosfact́ıveis.

x∗

c

RegiãoFact́ıvelLimitada

x∗

c

RegiãoFact́ıvelIlimitada


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49

2. Solução ótima finita e múltipla:

⇒ Curvas de ńıvel da função objetivo paralelas a umadas arestas do conjunto dos ponto fact́ıveis.

x∗

c

Região deFactibilidadeLimitada

x∗

c

Região deFactibilidade

Ilimitada


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50

3. Solução ótima ilimitada:

x∗

c

Região deFactibilidadeIlimitada


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52

9 Espaço das Restrições

• Restrições de Igualdade:

Seja o problema:


x ≥ 0

min z =n

j=1 c jx jsuj. a

n j=1

A jx j = b

x j ≥ 0, j = 1, . . . , n

O sistema formado por:n

j=1

A jx j para x j ≥ 0, j = 1, . . . , n

Cone das Restrições


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53

Exemplo 14

2x1 + x2 + x3 = −1−x1 + 3x2 + x4 = 2

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

⇓

2 1 1 0−1 3 0 1

x1x2

x3x4

=

−1

2

x ≥ 0

⇓

2−1 x1 + 13 x2 + 10 x3 + 01 x4 = −12 x ≥ 0

b

a4

a2

a3

a1

⇒ Inconsistente


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54

Exemplo 15

2x

1 + x2 + x3 = 2−x1 + 3x2 + x4 = 3x1, x2, x3, x4 ≥ 0

⇓

2 1 1 0−1 3 0 1

x1x2x3x4

= 23

x ≥ 0

⇓

2−1 x1 + 13 x2 + 10 x3 + 01 x4 = 23 x ≥ 0

b

a4

a2

a3

a1

⇒ Admite soluções

fact́ıveis


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55

• Restrições de Desigualdade:

n j=1

A jx j ≤ b

x j ≥ 0, j = 1, . . . , n

b

a1

a2

a3

Região ≤ b


=⇒ Sistema

fact́ıvel

b

a1

a2

a3

Região ≤ b


=⇒ Sistema

infact́ıvel


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56

10 Otimalidade no Espaço de Restrições

min z =n

j=1

c jx j

suj. an

j=1

A jx j = b

Determinar escalares não-negativos x1, x2, . . . , xn tais que:

c1A1

x1 +

c2A2

x2 + . . . +

cnAn

xn =

z

b

e z seja o menor posśıvel.

Representar o vetor

z

b

no cone gerado pelos vetores

c jA j , j = 1, . . . , n para o menor valor posśıvel de z .


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57

Exemplo 16

min z = −2x1 − 3x2suj. a x1 + 2x2 ≤ 2x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

⇓

min z = −2x1 − 3x2 + 0x3suj. a x1 + 2x2 + x3 = 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

⇓−2

1

x1 +

−3

2

x2 +

01

x3 =

z

2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

−3

2

01

−2

1

Pontos naforma

z 2


Valormı́nimoz ∗ = −4

x∗ =

200


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58

Exemplo 17

min z = −2x1 − 3x2suj. a x1 + 2x2 ≥ 2x1, x2 ≥ 0

⇓

min z = −2x1 − 3x2 + 0x3suj. a x1 + 2x2 − x3 = 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

⇓−2

1

x1 +

−32

x2 +

0−1

x3 =

z

2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

−32

0

−1

−2

1

Pontos na forma

z

2

introducao otimizacao linear

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