Introdução aos Escoamentos Compressíveis

José Pontes, Norberto Mangiavacchi e Gustavo R. Anjos

GESAR – Grupo de Estudos e Simulações Ambientais de ReservatóriosUERJ – Universidade do Estado do Rio de Janeiro

30 de julho a 5 de agosto de 2017

Conteúdo do curso

1. Escoamentos tridimensionais:1.1 Equações Básicas;1.2 Escoamentos Potenciais Compressíveis.

2. Escoamentos quase unidimensionais:2.1 Escoamentos Isoentrópicos;2.2 Choque Normal;2.3 Escoamentos com Transf. de Calor – Linha de Rayleigh;2.4 Escoamentos com Atrito – Linha de Fanno;2.5 Choque Oblíquo.

3. Resolução Numérica de Escoamentos Compressíveis.

2

Escoamentos Isoentrópicos

Bocal convergente - divergente

A/A * 8

p0

x

A*

Relação área-velocidade:

Entropia: TDsDt

=1ρτ : grad v +

κ

ρ∇2T +

Q̇ρ

Quant. movimento: ududx

= −1ρ

dpdx

−→ u du = −dpρ

u du = −1ρ

(∂p∂ρ

)s

dρ. = −a2 dρρ

3

Relação área-velocidade

u du = −a2 dρρ

dρρ

+dAA

+duu

= 0

−→ u du = a2(

dAA

+duu

)

Obtém-se:(M2 − 1

) duu

=dAA

onde: M =ua

(Compressível)

(Fr2 − 1

) duu

=12

dll

onde: Fr =u√gh

(Canal aberto)

4

Analogia Compressível – Hidráulica de Canal Aberto

Compressível

A/A * 8

p0

x

A*

ρA u = Cte

p +12ρu2 =

(p + ∆p) +12ρ (u + ∆u)2

−∆p = u ∆u

Canal Aberto:

x

x+ x l(x)

h(x)

x

A u = h l u = Cte

h +u2

2g=

(h + ∆h) + (u + ∆u)2 /2g−∆h = u ∆u/g

5

Relação de T ,P e ρ com o M – esc. isoentrópicosHipóteses:

1. Gás perfeito;

2. CpT0 = CpT +u2

2

3. s = Cte −→(∂p∂ρ

)s

= a2

4. Cp − Cv = R,Cp

Cv= γ

Obtém-se:

T0

T= 1 +

γ − 12

M2 ρ0

ρ=

(1 +

γ − 12

M2)1/(γ−1)

p0

p=

(1 +

γ − 12

M2)γ/(γ−1)

onde T0: tempertura de estagnação6

Relação de T ,P e ρ com o M – esc. isoentrópicos

Caso M = 1 na garganta e γ = 1,4:

T ∗

T0=

(1 +

γ − 12

M2)−1

= 0,833

ρ∗

ρ0=

(1 +

γ − 12

M2)−1/(γ−1)

= 0,634

p∗

p0=

(1 +

γ − 12

M2)−γ/(γ−1)

= 0,528.

7

Perfis subsônicos, supersônicos e choque normal

A/A * 8

p0

A*

ps

M <1s

x

p/p0

1

0

1 2 3

x

0T/T

1

x0.81

23

1

0

1

23

x

M

A/A* 8

p0

A*

ps

sM >1

x

0 x

M 1

2

p/p0

1

0 x

0 x

0T/T

1

A/A * 8

A*

ps

sM >1

x

p0

choque

p/p0

x0

1

2

M

0 x

1

1

0 x

0T/T

Subsônico Supersônico Choque normal

8

Bocal isoentrópico e com choque normal

9

Choque normal – a relação de Rankine Hugoniot

Choque normal: Descontinuidade do campo, com passagemdo supersônico para o subsônico, aumento de pressão eprodução de entropia. O choque é induzido por:

1. Pressão mais alta a juzante;2. Adição de calor ou efeitos viscosos.

Conservam-se massa, quantidadede movimento e energia:

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u2

2

CpT1 +u2

12

= CpT2 +u2

22

= CpT0

A ρAp , , vA ρB B Bp , , v

A B

Em particular, conserva-se a temperatura de estagnação, T0.

10

Choque normal – a relação de Rankine Hugoniot

Obtém-se:

ρ2

ρ1=

u1

u2=

γ + 1γ − 1

p1

p2+ 1

γ + 1γ − 1

+p1

p2

T2

T1=

p2

p1

γ + 1γ − 1

+p2

p1

1 +γ + 1γ − 1

p1

p2

1 10 100 1000p /p

1

10

ρ /

ρ

12

12

21

1. Compressão isoentrópica;2. Choque normal.

Há um limite de aumento de ρ.

11

Choque normal

Outras propriedades:1. u1u2 = a∗2 (Relação de Prandtl-Meyer);2. M∗

1M∗2 = 1;

3. Um lado é supersônico e o outro, subsônico;

4. No entanto:s2 − s1

R≈ 2γ

(γ + 1)2

(M2

1 − 1)3

3> 0;

O choque se dá no sentido Supersônico −→ Subsônico;

5.s2 − s1

R≈ γ + 1

12γ2

(∆pp1

)3

Choques fracos: a produção de entropia é O(∆p)3.

12

Choque normal

Outras relação entre propriedades dos dois lados dochoque:

T2

T1= 1 +

2 (γ − 1)

(γ + 1)2γM2

1 + 1M2

1

(M2

1 − 1)

u1

u2=

ρ2

ρ1=

(γ + 1)M21

2 + (γ − 1)M21

p2

p1= 1 +

2γγ + 1

(M2

1 − 1)

∆pp1

=2γγ + 1

(M2

1 − 1)

M22 =

2 + (γ − 1) M21

2γM21 − γ + 1

13

Linha de RayleighLinha de Rayleigh – aquecimento em duto de seção constante.

Conservam-se massa equantidade de movimento:

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u2

2

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0

S = (s-s*)/R

0.0

0.5

1.0

h=

T/T

*

1. Alteram-se: CpTt = CpT +u2

2pt = p +

12ρu2

2. Ramo superior (supersônico): aquecimento reduz M atéM = 1;

3. Ramo inferior (subsônico): aquecimento aumenta M atéM = 1;

4. Há um limite de entropia, isso é, de aquecimento.14

Linha de Rayleigh

Dois efeitos:1. Aquecimento além do limite da Linha de Rayleigh provoca

drástica mudança nas condições de entrada do duto:1.1 Supersônico, obtido em bocal convergente-divergente:

choque normal na região divergente e retorno aosubsônico;

1.2 Subsônico: Redução da pressão na entrada do duto atéque M = 1 seja atingido com a quantidade de calorfornecido.

2. Transição entre os regimes supersônico e subsônico:2.1 Aceleração subsônico −→ supersônico: fornecimento

de calor até M = 1 e retirada de calor com M > 1;2.2 Desaceleração supersônico −→ subsônico:

fornecimento de calor até M = 1 e retirada de calor comM < 1.

15

Linha de Fanno

Linha de Fanno – escoamento com atrito em duto de seçãoconstante.

Conservam-se massae energia:

dρρ

+duu

= 0

CpT0 = CpT +u2

2.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

s

0.8

1.0

1.2

h=

T/T

*

Rayleigh

Fanno

16

Linha de Fanno

Quantidade de movimento:Taxa de acumulaçãode quantidade de mo-vimento dentro do vo-lume de controle

= −

Fluxo líquido dequantidade de movi-mento para fora dovolume

+

(Forças de pressão) +

(Forças de atrito comas paredes

)

Obtém-se: Fa =(−pB − ρu2

B + pA − ρu2A) πD2

4

onde: Fa = −τxrπD∆x = −12ρu2fπD∆x

e: f −→ fator de Fanning

17

Linha de Fanno

Distância entre dois pontos cujos números de Mach sãoprescritos:

4fLD

=1γ

(1

M21− 1

M22

)+γ + 1

2γln

[M2

1

M22

1 + M22 (γ − 1) /2

1 + M21 (γ − 1) /2

]

Comprimento crítico L∗: distância entre o ponto onde o númerode Mach é M e o ponto onde M = 1.

4fL∗

D=

1−M2

γM2 +γ + 1

2γln

(γ + 1) M2

2 + (γ − 1) M2 .

Se M =∞:

4fL∗

D= 0,8215 (γ = 1,4)

18

Linha de Fanno

Dutos com comprimento maior que o crítico:1. Escoamento inicialmente subsônico: redução do

número de Mach e da vazão de entrada:2. Escoamento inicialmente supersônico:

estabelecimento de onda de choque no bocal de origem epassagem ao regime subsônico.

19

Linha de Fanno

Relações entre as propriedades do ponto onde o número deMach é M e as do ponto onde M = 1:

TT ∗ =

γ + 12 + (γ − 1) M2

pp∗ =

1M

[γ + 1

2 + (γ − 1) M2

]1/2

ρ

ρ∗=

1M

[2 + (γ − 1) M2

γ + 1

]1/2

p0

p∗0

=1M

[2 + (γ − 1) M2

γ + 1

](γ+1)/2(γ−1)

.

20

Efeitos viscosos e de adição de calor – resumo:

Adição de calorLinha de Rayleigh

Supersônico:1. Aumentam: p e T0;2. T aumenta para M < γ−1/2

e diminui para M > γ−1/2;3. Diminuem: M,p0 e u.

Subsônico:1. Aumentam: M,T0,T e u;2. Diminuem: p e p0.

Atrito gás/dutoLinha de Fanno

Supersônico:1. Aumentam: p e T ;2. Diminuem: M,p0 e u.

Subsônico:1. Aumentam: M e u;2. Diminuem: p,T e p0.

21

Choque oblíquo

Choque oblíquo: induzido por mudança de direção impostaao escoamento.

M1 =w1

a1

M2 =w2

a2choque

u2w1

1u w2

β−θ

v

v

β

choque

w1w2

β

θ

Existência do choque oblíquo: sen−1 1M1

< β <π

2

β =π

2ou:

u1

a1= 1 −→ u2

a2= 1

não há deflexão (θ = 0);

A deflexão tem um máximo entre os dois limites.22

Choque oblíquo

0 10 20 30 40 50

Ângulo de deflexão do escoamento- (graus)

0

20

40

60

80

Âng

ulo

do c

hoqu

e -

(gr

aus)

β

θ

1,2

1,41,6

M <1

3,0

4,0

5,0 10,0

8M =1

2,0

1,05

2M =1

θ=θmax

M >1

2

2

23

Choque oblíquo – escoamento sobre cunhas ediedros

θ

1M 2

β

choque(a)

M

1M 2

M2

M1

M

choque

2β

(b)

2θ

1

M1

,β

,θ

M2

,

M2M

β

(c)

θ

choque

1

θ>θmax

(d)

M

choque destacado

24

Choque oblíquo

Propriedades do choque oblíquo:1. Para uma dada deflexão θ há dois valores possíveis de β;

2. β < βmax −→ choque fraco, β > βmax −→ choque forte;

3. Choque fraco: M2 > 1 exceto em pequena região dodiagrama β × θ;

4. O valor de β selecionado depende da pressão a juzante;

5. Existência de valor limite θmax ;6. θ > θmax −→ choque destacado corpo;

7. Relação entre propriedades dos dois lados: obtidas dasrelações de choque normal, substituindo-se:M1 −→ M1 senβ.

25

Choque oblíquo

Propriedades do choque oblíquo:

ρ2

ρ1=

(γ + 1)M21 sen 2β

2 + (γ − 1)M21 sen 2β

p2 − p1

p1=

2γγ + 1

(M2

1 sen 2β − 1)

T2

T1= 1 +

2 (γ − 1)

(γ + 1)2γM2

1 sen 2β + 1M2

1 sen 2β

(M2

1 sen 2β − 1)

26