introdução ao planejamento de experimentos rochelle costa

Introdução ao Planejamento de Introdução ao Planejamento de ExperimentosExperimentos

Rochelle Costa

PROJETO DE EXPERIMENTOS

Introduzida por Fischer em 1935

Inicialmente aplicada a experimentos de agricultura

Agronomia, Biologia, Engenharia Química, Engenharia

Industrial e Engenharia da Qualidade

Inicialmente

Todas as áreas de conhecimento

Atualmente

Fortemente apoiada em conceitos estatísticos

A eficiência de experimentos assim projetados é superior em termos de informação a qualquer outra seqüência de não

estruturada de ensaios.

Otimizar o planejamento, execução e análise de um experimento

Objetiva

Se estruture uma seqüência de ensaios de forma a traduzir os objetivos preestabelecidos pelo pesquisador

Permite

Projeto de Experimentos

É utilizada na otimização de um SISTEMA

Avaliado por...

ProdutoProduto

ProcessoProcesso

ServiçoServiçoEx.: tênis para

absorver impacto

Ex.: treinamento

Indicadores de desempenho

Características de qualidade resultantes da sua operação

Ex.: Eficácia do treinamento em aumentar o VO2máx


Influenciar o desempenho do

sistema

Fatores de ruído

Variáveis Intervenientes

Controle


Objetivo central do projeto de experimentos

Maximizar o desempenho do sistema;

Minimizar custos;

Tornar o desempenho do sistema pouco sensível ao efeito dos fatores de ruído.

Procedendo uma avaliação estatística dos resultados para...

Assegurar respaldo científico;

Maximizar as informações obtidas.


Fases do projeto de experimentos


Objetivo do Experimento

Metodologia do Experimento

Planejamento Final e Execução do Experimento

Análise

Otimização

Trabalho em Equipe

Exige...

Conhecimentos Mercadológicos(Ex.: Lacunas na literatura)

Conhecimentos Técnicos(Ex.: Procedimentos para a coleta de dados)

Conhecimentos Estatísticos(Ex.:para selecionar e executar os testes adequados para cada experimento)


Terminologias


Parâmetros do Processo (Procedimentos Metodológicos)

Todos os fatores que podem ser alterados e que talvez tenham um

efeito sobre as variáveis dependentes.

Fatores Controláveis (Variáveis independentes)

São aqueles parâmetros dos procedimentos metodológicos que serão

estudados a vários níveis experimentais.

Variáveis de Resposta (Variáveis Dependentes)

São os parâmetros que serão medidos, avaliados pelo experimento.

Terminologias


Fatores de Ruído (Variáveis Intervenientes)

São as variáveis que não podem ser controladas mas que afetam o

experimento. São responsáveis pelo erro experimental (variabilidade).

Fatores Constantes (Variáveis de Controle)

São os parâmetros que não entram no experimento e que são

mantidos constantes durante o estudo.

Etapas de um Experimento

1. Objetivo do Experimento (O QUÊ)

• Revisão de literatura – procurando as lacunas na literatura;

• Definir os objetivos gerais e específicos do estudo;

• Analisar a importância/relevância desses objetivos.

2. Metodologia do Experimento (COMO)

• Definir as variáveis dependentes associadas aos objetivos do estudo;

• Identificar outras variáveis de interesse;

• Identificar os procedimentos metodológicos;

• Identificar os fatores controláveis;

• Definir o número de níveis para cada variável independente;

• Definir possíveis interações entre as variáveis independentes;

• Identificar as restrições experimentais (limitações do estudo);

• Escolher o modelo estatístico do experimento.




3. Planejamento Final e Execução do Experimento

• Escrever o delineamento experimental;

• Definir a ordem das coletas (aleatorização);

• Definir os procedimentos de coleta (uniformização);

• Desenhar as planilhas de coleta de dados;

• Executar o experimento e anotar os resultados.

4. Análise

• Realizar a análise dos dados;

• Criar uma tabela com os dados descritivos;

• Elaborar gráficos dos efeitos dos fatores principais;

• Elaborar gráficos das interações significativas.



5. Otimização

• Modelar individualmente cada variável dependente;

V.D. = f (F.C.)

• Definir uma função objetivo:

L = f1 (V.D.) → L = f2 (F.C.)

• Otimizar, isto é, achar o ajuste dos fatores controláveis que

minimiza/maximiza L.

• Verificar a consistência da solução.

Aplicações Práticas dos Resultados

ANOVA ONE-WAYANOVA ONE-WAY

COMPARAÇÃO DE VÁRIOS GRUPOS

(One-Way Analysis of Variance)

Técnica estatística desenvolvida por R. A. Fisher.

Consiste em um procedimento que decompõe, em vários componentes

identificáveis, a variação total entre os valores obtidos no experimento.

Cada componente atribui a variação a uma causa ou fonte de variação

diferente.

O número de causas de variação ou “fatores” depende do delineamento

da investigação.

ANOVA One-Way

Quando utilizar?

Experimentos que envolvem:

• 1 Variável Dependente

• 1 Variável Independente a vários níveis (grupos)

ANOVA One-Way

Variação global é subdividida em duas frações:

Variação entre as médias dos vários grupos, quando comparadas com a

média geral de todos os indivíduos do experimento – representa o efeito

dos diferentes tratamentos.

Variação entre as unidades experimentais de um mesmo grupo ou

tratamento, com relação à média desse grupo – representa as diferenças

individuais, ou aleatórias, nas respostas.

Variação TotalVariação entre

tratamentosVariação dentro dos

tratamentos= +

ANOVA One-Way

Variação entre os grupos experimentais = variância entre os tratamentos

Variância Entre

Variação dentro do mesmo tratamento = média das variâncias de cada grupo, sendo chamada Variância Média Dentro dos Grupos

Variância Intra

...Como representa também a fração da variabilidade que não é explicada pelo efeito dos tratamentos

Variância Residual

Variância do Erro Experimental

ou

ANOVA One-Way

O teste de comparação entre os efeitos dos tratamentos baseia na

pressuposição de que os k tratamentos A, B, ... podem originar médias

diferentes, mas a variação entre os indivíduos (σ²) é igual em todas as

populações que estão sendo comparadas.

Em outras palavras...

H0 : μA = μB = ... = μk

Supondo homocedasticidade, ou seja...

σ²A = σ²B = … = σ²K = σ²

ANOVA One-Way

Dessa forma, deduz-se que se houver efeito diferencial entre tratamentos, a

variação entre eles deve ser maior que a variação dentro do mesmo

tratamento.

Variância Variância EntreEntre

Variância Variância IntraIntra>>

Variância Entre

Variância Intra> 1

vs. tabelaH0

H0

Razão F de VariânciasRazão F de Variâncias

ANOVA One-Way

Cálculos para obtenção das variâncias entre e intra

Variável Dependente: flexibilidade

Variável Independente: treinamento (3 tipos)

T1T1 T2T2 T3T3

(i=1) (i=2) (i=3) Total

1 5 2 ----

3 7 0 ----

---- 8 3 ----

n 2 3 3 8

Σx = Ti 4 20 5 29

Σx² 10 138 13 161

x 2 6,7 1,7 ----

s 1,41 1,52 1,53 ----

Incremento flexibilidade

(x)

Tabela 1 Incremento nos níveis de flexibilidade (variando de 0 a 10) em indivíduos submetidos a três tipos de treinamento (T).

ANOVA One-Way

Causas variação SQ GL QM Fcalc F5%;2;5

Entre tratamentos 44,55 2 22,28 9,82 5,79

Intra trat. (resíduo) 11,33 5 2,27 ---- ----

Total 55,88 7 ---- ---- ----

Tabela 2 Análise da variância realizada com os dados da Tabela 1.

SQ = soma dos quadrados; GL = graus de liberdade; QM = quadrado médio

SQ Total SQt = Σx² - C

QM Intra ou QM ResidualQMi = SQi / GLi

Termo de Correção CC = (Σx)²/Σn

SQ Intra ou SQ Residual SQi = SQt – SQe

SQ Entre

Σ(T²n ) - CSQe =

GL TotalGLt = (Σn) – 1

GL Entre GLe = k -1

GL Intra ou GL ResidualGLi = (Σn) – k

QM EntreQMe = SQe / GLe

Fcalc

Fcalc = QMe/QMi

ANOVA One-Way

Fcalc = 1 Se H0 verdade Variância Entre = Variância Intra

Porém...

Mesmo sendo H0 verdadeira, podem se esperar diferenças aleatórias

entre as variâncias entre e intra porque os experimentos são realizados

com amostras. Assim, existe a possibilidade que Fcalc flutue, ao acaso, ao

redor de 1, sem que isso indique um efeito diferencial nos tratamentos.

Então...

Para testar a significância do valor de F obtido no experimento, isto é,

verificar se o valor de Fcalc difere de 1 ao acaso ou por efeito dos

tratamentos, compara-se este valor com um Ftabelado. Este estipula o

limite para uma diferença aleatória entre as variâncias entre e intra.

Tabela F

GL entre

GL intra

Tabela F

ANOVA One-Way

Se...

FFcalccalc << F Ftabeladotabelado

Não há ≠ entre os tratamentos já que a

variação observada entre populações é da

mesma ordem daquela observada dentro

das populações.

FFcalccalc >> F Ftabeladotabelado Há ≠ entre as populações.

9,82 > 5,79

Fα;glN;glD

ANOVA One-Way

Resumindo...

1. Ho: μ1 = μ2 = μ3

H1: existe alguma diferença entre essas médias.

2. α = 0,05

3. GLnumerador (entre) = k – 1 = 3 – 1 = 2

GL denominador (intra) = (Σn) – k = 8 – 3 = 5

Então, F0,05;2;5 = 5,79

4. Fcalc = 9,82 > F0,05;2;5 = 5,79.

Rejeita-se H0

ANOVA One-Way

Condições para o uso da ANOVA

Variâncias amostrais (s²) devem ser semelhantes nas diferentes amostras;

Os dados devem ter distribuição normal.

Amostras iguais

Amostras ≈ iguais

n n

ANOVA é válida ...

ANOVA

FC

4786.745 2 2393.372 10.035 .000

7870.912 33 238.512

12657.657 35

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Output

ANOVA One-Way

ANOVA One-Way

Valor F significativo na ANOVA

Porém...

Quais tratamentos são diferentes entre si

Comparações Múltiplas entre MédiasComparações Múltiplas entre Médias

μA μB μA μC μB μC

Porque não fazer vários testes t ?

N de médias (k)Nível de significância usado no teste

0,05 0,01 0,001

2 0,05 0,01 0,001

3 0,14 0,03 0,003

4 0,26 0,06 0,006

5 0,40 0,10 0,010

6 0,54 0,14 0,015

10 0,90 0,36 0,044

ANOVA One-Way

Tabela 3 Valores dos níveis de significância usados nos testes de acordo com o número de médias testadas.

ANOVA One-Way

Semelhantes ao teste t, porém...

Levam em conta o número

de comparações feitas no

experimento.

A variância dentro dos grupos é estimada

usando o QM resíduo, que é baseado em

todas as amostras, enquanto no teste t a

variância é estimada com base em duas

amostras apenas.

Comparações Múltiplas entre MédiasComparações Múltiplas entre Médias

Mais usados...

• Teste de Tukey

• Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)

• Correção de Bonferroni

Multiple Comparisons

Dependent Variable: FC

-9.68167 6.30493 .288 -25.1527 5.7893

-27.82000* 6.30493 .000 -43.2910 -12.3490

9.68167 6.30493 .288 -5.7893 25.1527

-18.13833* 6.30493 .019 -33.6093 -2.6673

27.82000* 6.30493 .000 12.3490 43.2910

18.13833* 6.30493 .019 2.6673 33.6093

-9.68167 6.30493 .320 -25.8423 6.4789

-27.82000* 6.30493 .000 -43.9806 -11.6594

9.68167 6.30493 .320 -6.4789 25.8423

-18.13833* 6.30493 .025 -34.2989 -1.9777

27.82000* 6.30493 .000 11.6594 43.9806

18.13833* 6.30493 .025 1.9777 34.2989

-9.68167 6.30493 .134 -22.5091 3.1458

-27.82000* 6.30493 .000 -40.6475 -14.9925

9.68167 6.30493 .134 -3.1458 22.5091

-18.13833* 6.30493 .007 -30.9658 -5.3109

27.82000* 6.30493 .000 14.9925 40.6475

18.13833* 6.30493 .007 5.3109 30.9658

-9.68167 6.30493 .403 -25.5840 6.2207

-27.82000* 6.30493 .000 -43.7224 -11.9176

9.68167 6.30493 .403 -6.2207 25.5840

-18.13833* 6.30493 .021 -34.0407 -2.2360

27.82000* 6.30493 .000 11.9176 43.7224

18.13833* 6.30493 .021 2.2360 34.0407

-9.68167 5.31566 -24.0385 4.6752

-27.82000* 6.30465 -44.8479 -10.7921

9.68167 5.31566 -4.6752 24.0385

-18.13833 7.15901 -37.4738 1.1971

27.82000* 6.30465 10.7921 44.8479

18.13833 7.15901 -1.1971 37.4738

(J) intensidade80 bpm

100 bpm

60 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

(I) intensidade60 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

100 bpm

60 bpm

80 bpm

100 bpm

Tukey HSD

Scheffe

LSD

Bonferroni

Dunnett C

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval

The mean difference is significant at the .05 level.*.

60 = 80 < 100

60 = 80

60 < 100

80 = 100

Comparações Múltiplas

Testes de Comparações Múltiplas

Teste de Tukey

Complemento à ANOVA;

Visa identificar quais as médias que, tomadas duas a duas, diferem

significativamente entre si;

Método que protege o testes de um aumento no nível de significância

devido ao grande número de comparações efetuadas;

Se forem utilizados k grupos experimentais, é possível realizar k(k – 1)/2

comparações de médias duas a duas.

Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)

É similar ao Tukey, com exceção de que o valor crítico depende não do

número de tratamentos (k) envolvidos no experimento, mas do número de

médias incluídas (k´) na amplitude de médias que será sendo testada.


Correção de Bonferroni

Consiste em corrigir o valor de α, calculando-se:

αBonf =αm

α = nível de significância global do experimentom = nº de comparações a serem realizadas

tBonf = xA - xB

√QMi( )1 1nA nB

+

É usada em muitos testes estatísticos;

No caso de comparações múltiplas após a ANOVA, o procedimento consiste

em calcular uma diferença entre médias usando a fórmula:

Vantagem: não requer que as várias comparações sejam independentes;

Desvantagem: produz um teste mais conservador que o Tukey, a menos

que seja usada uma correção (procedimento seqüencial de Holm).


Teste de Dunnet

Teste utilizado para comparar uma média, geralmente a do grupo-controle,

com as demais;

Aplica-se quando o pesquisador não está interessado em realizar todas as

comparações possíveis, mas apenas as (k – 1) de cada tratamento com o

controle, aproveitando a vantagem de maior poder da análise de variância.

Teste de Scheffé

Teste menos poderoso que o de Tukey ou o SNK;

Especialmente útil nos casos dos contrastes múltiplos, quando se quer

comparar um grupo de tratamentos com outro, por exemplo, A2 + A3 contra A1.


Apresentação dos Resultados

Treinamento A2 A1 A3

n 3 2 3

Média¹ 6,7 2,0 1,7

Treinamento n Média¹

A1 2 2,0a

A2 3 6,7b

A3 3 1,7a

Tabela 4 Modelo de apresentação dos resultados de uma comparação múltipla de médias.

Tabela 5 Modelo 2 de apresentação dos resultados de uma comparação múltipla de médias.

¹ Médias sublinhadas não diferem significativamente entre si pelo teste de Tukey (α =5%)

Modelo 1

¹ Médias indicadas pela mesma letra não diferem significativamente entre si pelo teste de Tukey (α =5%)

Modelo 2

[email protected]

• Termo de correção C → C = (Σx)²/Σn → C = (29)²/8 = 105,12

• SQ Total → SQt = Σx² - C → SQt = 161 – 105,12 = 55,88

• SQ Entre → SQe = Σ(T²n ) - C → 4² 20² 5²+ +

2 3 3- 105,12 = 149,67 – 105,12 = 44,55

• SQ Intra ou SQ Residual → SQi = SQt – SQe → 55,88 – 44,55 = 11,33

• GL Total → GLt = (Σn) – 1 → 8 – 1 = 7

• GL Entre → GLe = k -1 → 3 – 1 = 2

• GL Intra ou GLResidual → GLi = (Σn) – k → 8 – 3 = 5

• QM Entre → QMe = SQe / GLe → 44,55 / 2 = 22,28

• QM Intra ou QM Residual → QMi = SQi / GLi → 11,33 / 5 = 2,27

ANOVA One-Way

Cálculos da ANOVA

introdução ao planejamento de experimentos rochelle costa

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