introdução à robótica

i

SUMÁRIO

1. Introdução .................................................................................02

2. Histórico....................................................................................03

2.1. Introdução .......................................................................03

2.2. Principais Eventos ...........................................................04

3. Classificação Cronológica ........................................................06

3.1. Introdução .......................................................................06

3.2. Classificação ...................................................................06

3.2.1. Primeira Geração......................................................06

3.2.2. Segunda Geração......................................................07

3.2.3. Terceira Geração ......................................................07

4. Critérios de Seleção ..................................................................08

4.1. Introdução .......................................................................08

4.2. O Que Verificar...............................................................08

4.2.1. Aplicações ................................................................08

4.2.1.1. Aplicações Industriais........................................09

4.2.1.2. Aplicações de Serviços ......................................09

4.2.2. Dimensões das Peças................................................09

4.2.3. Tipo de Movimento ..................................................10

4.2.4. Tempo de Manuseio .................................................10

4.2.5. Layout da Máquina...................................................10

4.2.6. Acessibilidade ..........................................................10

ii

4.3. Relação Custo – Benefício ..............................................11

5. Como Movimentar os Robôs ....................................................12

5.1. Introdução .......................................................................12

5.2. Atuadores ........................................................................12

5.2.1. Pneumático............................................................12

5.2.2. Hidráulico .............................................................13

5.2.3. Elétrico..................................................................13

6. Robôs Industriais ......................................................................14

6.1. Introdução .......................................................................14

6.2. Estrutura ..........................................................................15

6.3. Tipos de Juntas ................................................................17

6.4. Graus de Liberdade (GL) ................................................18

7. Espaço de Trabalho...................................................................20

7.1. Introdução .......................................................................20

8. Anatomia do Manipulador ........................................................22

8.1. Introdução .......................................................................22

8.2. Robôs Cartesianos...........................................................22

8.2.1. Especificações Técnicas Reais..............................24

8.3. Robôs Cilíndricos............................................................24


iii

8.4. Robôs Polares ou Esféricos .............................................26


8.5. Robôs SCARA ................................................................28


9. Efetuadores ...............................................................................30

9.1. Introdução .......................................................................30

9.2. Características .................................................................30

9.3. Acionamento ...................................................................30

9.4. Medição...........................................................................31

9.5. Classificação ...................................................................31

9.5.1. Garras .......................................................................31

9.5.1.1. Garras com Dedos..............................................31

9.5.1.2. Garras a Vácuo...................................................32

9.5.1.3. Garras Magnéticas .............................................33

9.5.1.4. Garras Adesivas .................................................34

9.5.1.5. Ganchos .............................................................34

9.5.2. Ferramentas ..............................................................35

10. Sistema de Coordenadas .........................................................36

10.1. Introdução .....................................................................36

10.2. Significado ....................................................................36

iv

11. Representação Matemática .....................................................39

11.1. Introdução .....................................................................39

11.2. Representação de Posição .............................................39

11.3. Representação de Orientação ........................................41

11.4. Representação por Ângulos de Euler ............................45

12. Transformações Homogêneas .................................................48

12.1. Aritmética de Transformações ......................................50

12.1.1. Transformação Composta.......................................50

12.1.2. Transformação Inversa ...........................................51

13. Cinemática ..............................................................................52

13.1. Introdução .....................................................................52

13.2. Cinemática Direta..........................................................52

13.2.1. Notação Denavit Hartenberg (DH).........................53

13.2.1.1. Descrição Cinemática de Elo ...........................54

13.2.1.2. Descrição Cinemática de Junta ........................55

13.2.1.3. Transformação de Elo ......................................55

13.3. Cinemática Inversa........................................................58

14. Controle de Movimento ..........................................................61

14.1. Introdução .....................................................................61

14.2. Geração de Trajetória ....................................................62

v

14.2.1. Geração em Espaço de Juntas.................................63

14.2.1.1. Interpolação Linear ..........................................65

14.2.1.2. Interpolação com Polinômio Cúbico................68

14.2.1.3. Interpolação Linear com Bordas Parabólicas...69

15. Programação de Robôs ...........................................................75

15.1. Introdução .....................................................................75

15.2. Funções Básicas de Programação .................................75

15.2.1. Definição de Variáveis. .......................................75

15.2.2. Definição de Rótulos ...........................................76

15.2.3. Definição de Contadores .....................................76

15.2.4. Manipulação de Contadores ................................76

15.2.5. Definição de Pontos de Parada ............................76

15.2.6. Manipulação de Interfaces...................................77

15.2.7. Tempo de Espera .................................................77

15.2.8. Controle de Velocidade .......................................77

15.2.9. Controle do Efetuador .........................................77

15.2.10. Movimento Absoluto.........................................78

15.2.11. Movimento Relativo..........................................78

15.2.12. Geração de Trajetória ........................................78

15.2.13. Comandos Especiais ..........................................78

vi

RELAÇÃO DE FIGURAS

Fig. 1 – Manipulador industrial ....................................................16

Fig. 2 – Tipos de juntas.................................................................17

Fig. 3 – Simbologia das juntas ......................................................18

Fig. 4 – Ângulos de roll, pitch e yaw............................................19

Fig. 5 – Espaço de trabalho...........................................................20

Fig. 6 – Modelos de manipuladores ..............................................21

Fig. 7 – Robô cartesiano ...............................................................23

Fig. 8 – Robô cilíndrico ................................................................24

Fig. 9 – Robô polar .......................................................................26

Fig. 10 – Robô SCARA ................................................................28

Fig. 11 – Garra de dedos paralelos com engrenagens...................32

Fig. 12 – Garra a vácuo com duas ventosas ..................................33

Fig. 13 – Garra magnética dom ímã permanente ..........................34

Fig. 14 – Ponta de solda por arco..................................................35

Fig. 15 – Coordenadas generalizadas............................................37

Fig. 16 – Coordenadas generalizadas ampliadas...........................38

Fig. 17 – Representação gráfica do ponto P..................................39

Fig. 18 – Representação do vetor posição.....................................40

Fig. 19 – Representação de um corpo rígido ................................41

Fig. 20 – Rotação em torno do eixo z ...........................................42

Fig. 21 – Ângulos de Euler ZYX ..................................................45

vii

Fig. 22 – Orientação relativa entre dois referenciais.....................47

Fig. 23 – Translação pura..............................................................48

Fig. 24 – Parâmetros de elo...........................................................54

Fig. 25 – Parâmetros de junta .......................................................55

Fig. 26 – Manipulador planar e atribuição de referenciais............56

Fig. 27 – Manipulador (a) cilíndrico, (b) RD5 e (c) XYZ ............58

Fig. 28 – Múltiplas soluções .........................................................60

Fig. 29 – Malha de controle em espaço de juntas .........................63

Fig. 30 – Malha de controle em espaço cartesiano .......................63

Fig. 31 – Trajetória descrita por um manipulador planar..............63

Fig. 32 – Manipulador planar com 1 GL ......................................64

Fig. 33 – Posição em função do tempo .........................................67

Fig. 34 –Velocidade em função do tempo ....................................67

Fig. 35 – Perfil linear com bordas parabólicas..............................70

INTRODUÇÃO À ROBÓTICA PROF. HENRIQUE

GETIN Pág. 2

01 - INTRODUÇÃO

No mundo globalizado, a necessidade de se realizar ta-

refas com eficiência e precisão é cada vez maior. Existem tam-

bém tarefas a serem realizadas em lugares onde a presença hu-

mana se torna difícil, arriscada e até mesmo impossível. Para

realizar essas tarefas se faz necessária à presença de dispositivos

ou equipamentos, que as faça sem risco de vida. A ROBÓTICA é

a área que se preocupa com o desenvolvimento destes dispositi-

vos. Robótica é multidisciplinar e busca o desenvolvimento e a

integração de técnicas e algoritmos para a criação de ROBÔS.

A robótica envolve áreas como engenharia mecânica,

engenharia elétrica, inteligência artificial, entre outras, com uma

perfeita harmonia, que se faz necessária para se projetar essas

máquinas.

Não é errado afirmar que todo aquele que trabalha com

automação industrial (independente do nível) é, na essência, um

INTEGRADOR de tecnologias.

O presente trabalho tem por objetivo abrir as portas da

robótica industrial (particularmente manipuladores robóticos)

aos alunos do curso de Tecnologia em Automação Industrial do

CEFET-RN, aproveitando se caráter multidisciplinar para pro-

mover a integração entre as diversas disciplinas do curso através

de projetos (desafios) e/ou competições.


GETIN Pág. 3

02 - HISTÓRICO

2.1. INTRODUÇÃO

A palavra robô tem origem na palavra tcheca ROBOT-

NIK, que significa servo, o termo robô foi utilizado inicialmente

por Karel Capek (teatrólogo tcheco) em 1923.

Não é só o homem moderno que tem o desejo de cons-

truir robôs, existem alguns fatos históricos que nos mostram que

a idéia não é nova, por exemplo, existem inúmeras referências

sobre o "Homem Mecânico" construído por relojoeiros com a

finalidade de se exibir em feiras. Há relatos também da realiza-

ção de várias "Animações Mecânicas" como o leão animado de

Leonardo da Vinci, e seus esforços para fazer máquinas que re-

produzissem o vôo das aves. Porém estes dispositivos eram

muito limitados, pois não podiam realizar mais que uma tarefa,

ou um número reduzido delas.

A idéia de se construir robôs começou a tomar força no

início do século XX com a necessidade de aumentar a produti-

vidade e melhorar a qualidade dos produtos. É nesta época que

o robô industrial encontrou suas primeiras aplicações (George

Devol – considerado o pai da robótica industrial).

Atualmente, devido aos inúmeros recursos que os sis-

temas de microcomputadores nos oferece, a robótica atravessa

uma época de contínuo crescimento que permitirá, em um curto


GETIN Pág. 4

espaço de tempo, o desenvolvimento de robôs inteligentes fa-

zendo assim a ficção do homem antigo se tornar à realidade do

homem atual.

2.2. PRINCIPAIS EVENTOS

SÉCULO XVIII ⇒ Bonecos encenavam peças musicais.

⇒ O controle era rudimentar. Feito através de cabos e ou-

tros dispositivos mecânicos.

ANO DE 1923 ⇒ Karel Capek – Peça RUR.

ANO DE 1939 ⇒ Isaac Asimov – Eu Robô (livro), postulando as três leis

fundamentais da robótica: (1ª) um robô

não deve machucar um humano ou,

por sua inércia, deixar que este sofra

dano; (2ª) um robô deve obedecer às

ordens que lhe são dadas por um hu-

mano, exceto quando essas ordens

contradigam a 1ª lei; (3ª) um robô deve

proteger sua própria existência até on-

de esta não entre em conflito com a 1ª

ou 2ª leis.


GETIN Pág. 5

ANO DE 1943 ⇒ Colossus – 1º Computador Eletrônico (Inglaterra).

ANO DE 1951 ⇒ 1º Computador em Tempo Real.

ANO DE 1952 ⇒ Construção da 1ª Máquina Operatriz com NC (MIT).

ANO DE 1954 ⇒ 1ª Teoria com Auxílio da Eletrônica.

⇒ Patente do 1º Robô Industrial Automático.

ANO DE 1958 ⇒ Manipulador Copiador com Câmera na Garra.

A PARTIR DE 1959... ⇒ A automatização dos Sistemas.

⇒ O Homem Passa a Executar Tarefas menos Repetitivas.

⇒ Robôs “invadem” o Parque Industrial Mundial.

⇒ Sistemas Robóticos são Utilizados na Medicina.

⇒ Robôs na Exploração Espacial.

⇒ Robôs Resgatam de Vítimas de Catástrofes.

⇒ Robôs operados via internet.


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03 – CLASSIFICAÇÃO CRONOLÓGICA

3.1. INTRODUÇÃO

O avanço da tecnologia permitiu o surgimento e desen-

volvimento de várias estruturas, necessitando classificá-los de

acordo com a época de aparecimento, situando-os tecnologica-

mente no tempo.

3.2. CLASSIFICAÇÃO

Devido a várias diferenças em função de características

e propriedades, existem diversas classes de robôs que se dife-

renciam em suas aplicações e formas de trabalhar.

3.2.1. PRIMEIRA GERAÇÃO

São dotados apenas de sensores (percebem apenas estados

internos do robô).

Requerem um ambiente estruturado (objetos bem posicio-

nados).

Têm seqüência fixa (repetem a mesma tarefa).

Precisam ser re-programados para outras tarefas.

Dotados de pequeno poder computacional.

Ex: “Braços” para coleta de amostras submarinas.


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3.2.2. SEGUNDA GERAÇÃO

São dotados com sensores internos e externos (percebem

os estados do ambiente).

Podem atuar em um ambiente parcialmente estruturado.

Seus atuadores são pneumáticos, hidráulicos ou elétricos.

Ex: Manipuladores.

3.2.3. TERCEIRA GERAÇÃO

Fazem uso intensivo de sensores.

Algoritmos de percepção.

Algoritmos de controle inteligente.

Comunicação com outras máquinas.

Tomam decisões autônomas diante de situações não pre-

vistas.

Podem atuar em um ambiente não estruturado.

Uso incipiente na indústria.

Ex: Robôs utilizados em missões espaciais (exploradores).


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04 – CRITÉRIOS DE SELEÇÃO

4.1. INTRODUÇÃO

O mercado nacional e internacional está repleto de uma

infinidade de modelos de robôs. Para saber qual é o melhor mo-

delo em vista da aplicação, devem-se observar alguns pontos

cruciais:

Aplicação do robô;

Dimensões das Peças;

Tipo de Movimento;

Tempo de Manuseio;

Layout da máquina;

Acessibilidade.

4.2. O QUE VERIFICAR

4.2.1. APLICAÇÕES

Inicialmente, as principais aplicações dos robôs eram

do tipo industrial e concentravam-se na realização de tarefas

repetitivas, precisas e rápidas. Porém, há alguns anos começa-

ram a serem usados em outros trabalhos, além dos repetitivos,

onde não se conhece com precisão o entorno: ROBÔS DE SERVI-

ÇO.


GETIN Pág. 9

4.2.1.1. APLICAÇÕES INDUSTRIAIS

Empilhamento e Empacotamento;

Montagem e Desmontagem de Materiais;

Medição, Inspeção;

Soldagem;

Aplicação de Fluidos;

Corte.

4.2.1.2. APLICAÇÕES DE SERVIÇO

Agricultura, Medicina e Domésticos;

Exploração Espacial;

Ajuda a Incapacitados;

Arredores Perigosos;

Minas e Construções.

4.2.2. DIMENSÕES DAS PEÇAS

A dimensão e natureza da peça a ser manipulada influ-

enciam diretamente na estrutura do robô. Peças pesadas, por

exemplo, podem exigir efetuadores hidráulicos. Por outro lado,

peças delicadas necessitam de efetuadores pneumáticos ou até

com ventosas.


GETIN Pág. 10

4.2.3. TIPO DE MOVIMENTO

É determinado pelo campo de atuação do robô.

4.2.4. TEMPO DE MANUSEIO

Influencia diretamente a produção diária, portanto, de-

ve ser cuidadosamente analisado (cumprir a demanda).

4.2.5. LAYOUT DA MÁQUINA

A geometria e o layout das máquinas, produtoras das

peças a serem manipuladas, devem ser consideradas na escolha

do robô. Muitos layouts requerem versões especiais de robôs ou

graus de liberdade adicionais para que a demanda do processo

seja atendida.

4.2.6. ACESSIBILIDADE

A principal função de um robô manipulador em um

processo produtivo é diminuir os custos da produção através de

um melhor aproveitamento da capacidade instalada. Para isso,

quanto melhor a acessibilidade à peça, tanto menor o tempo de

manobra. Portanto, as geometrias da máquina e a do robô de-

vem ser compatíveis de modo a facilitar as operações de mani-

pulação.


GETIN Pág. 11

4.3. RELAÇÃO CUSTO BENEFÍCIO

De posse das informações acima já se pode definir um

modelo de robô e conseqüentemente já se ter uma idéia do seu

preço.

O próximo passo será definir se o investimento é eco-

nomicamente viável. O que deve ser feito, então, é uma relação

entre custo e benefício.

CUSTO DA IMPLEMENTAÇÃO BENEFÍCIOS Preço do robô.

Preço total dos acessórios.

Possíveis modificações nas máquinas

que irão operar em conjunto com o

robô.

Possíveis alterações no layout da

planta fabril.

Equipamentos periféricos.

Instalação.

Treinamento de pessoal.

“Start-up”.

Redução de trabalho.

Otimização das máquinas de produção.

Flexibilidade.

Melhora da qualidade do produto. Di-

minuição do tempo e passos da pro-

dução.

Diminuição dos riscos pessoais em tra-

balhos perigosos ao homem.

Incremento da produtividade.

Diminuição do “refugo”.

PROBLEMA 01: Deseja-se instalar uma célula flexível de manu-

fatura para gravação de CDs. Utilizando os crité-

rios apresentados, escolha o robô que melhor se

adapta a tarefa proposta. Justifique sua resposta.


GETIN Pág. 12

05 – COMO MOVIMENTAR OS ROBÔS

5.1. INTRODUÇÃO

Os circuitos de potência, comandados pelo controlador,

são os responsáveis pelo acionamento, aplicando a energia ne-

cessária, nos atuadores, à realização dos movimentos.

5.2. ATUADORES

São os elementos responsáveis pela conversão da ener-

gia disponível em energia mecânica para movimentar o robô.

Podem ser:

Pneumático;

Hidráulico;

Elétrico.

5.2.1. PNEUMÁTICO

Tipo de atuador que utiliza um gás pressurizado para

movimentar o robô. Características principais:

Leves;

Baratos;

Movimentos Rápidos;

Baixa Precisão (operação do tipo pega e coloca);

Não são robustos.


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5.2.2. HIDRÁULICO

Faz utilização de um fluido a pressão para realizar os

movimentos programados. Características principais:

Mais Fortes;

Mais Caros;

Perdem precisão quando o fluido muda de temperatura;

Grande Potência e Velocidade;

Baixa Precisão.

5.2.3. ELÉTRICO

Utiliza a energia elétrica para executar suas tarefas. Ca-

racterísticas principais:

Mais Fortes;

Mais Caros;

Podem ser extremamente rápidos;

Têm dependência do tipo do motor;

Porte Médio;

Maior Precisão.

PROBLEMA 02: Em relação ao problema 01, qual o tipo de acio-

namento mais indicado e por quê? Faça uma esti-

mativa das características dos componentes utili-

zados.


GETIN Pág. 14

06 – ROBÔS INDUSTRIAIS

6.1. INTRODUÇÃO

Na indústria moderna e também em laboratórios de en-

sino e pesquisa, cada vez mais estão sendo utilizados diversos

tipos de robôs nos processos de manufatura ou de controle da

qualidade.

Mas, o quê se entende exatamente por um ROBÔ? Exis-

tem muitas definições diferentes, dependendo do ponto de vista

e, em geral, da área na qual se trabalha com os robôs. Uma a-

cepção supostamente "oficial" do termo robô foi estabelecida

pelo Instituto Americano de Robótica (RIA):

"Um robô industrial é um manipulador reprogramável, multifuncional, projetado para mover materiais, peças, ferramentas ou dispositivos específicos em movimentos variáveis programados para a realização de uma vari-edade de tarefas".

Essa definição, do ponto de vista mais amplo do termo

robô, corresponde apenas a uma classe específica, precisamente

a dos ROBÔS MANIPULADORES.

São exemplos de robôs manipuladores os braços mecâ-

nicos, ou qualquer sistema que, em geral, tenha por objetivo

deslocar material de um ponto para outro do espaço ou acompa-

nhando uma trajetória dentro de um volume de trabalho.

Da definição dada podem ser extraídas diversas con-


GETIN Pág. 15

clusões sobre as características dos robôs manipuladores. Uma

delas é que, como qualquer robô, a tarefa a realizar deve estar

previamente programada e seu acionamento dependerá desse

programa de controle. Essa característica é invariável para todo

robô, portanto também para os manipuladores.

Uma outra conclusão é que os manipuladores têm co-

mo principal objetivo deslocar materiais, que podem ser peças

diversas, ferramentas que irão trabalhar sobre uma peça, ou sis-

temas de visão que deverão monitorar o andamento de um de-

terminado processo, entre outras possibilidades.

O tipo mais conhecido de robô manipulador é o braço

mecânico. Ele consiste numa série de corpos rígidos interliga-

dos por juntas que permitem um movimento relativo entre esses

corpos, assemelhando-se assim sua forma geral à de um braço

humano, às vezes quase com as mesmas possibilidades de mo-

vimento.

6.2. ESTRUTURA

Os robôs industriais são projetados com o intuito de

realizar um trabalho produtivo. O trabalho é executado quando

o robô movimenta sua estrutura a fim de deslocar o objeto a ser

manipulado.

A estrutura de um robô manipulador consiste basica-

mente numa série de corpos rígidos, idealmente sem deforma-


GETIN Pág. 16

ção pela ação de forças aplicadas sobre eles e que, em geral, são

feitos de um material resistente como aço, que se denominam

ELOS (links). Esses elos podem ter diversos tamanhos e formas

dependendo da aplicação, estando unidos por JUNTAS (articula-

ções) que lhes permitem ter um movimento relativo entre eles.

Assim, em alguma localização do elo, existirá uma junta que o

une com o elo seguinte, permitindo-lhe um movimento. Con-

forma-se assim uma cadeia cinemática aberta de elos interliga-

dos por juntas.

Em geral, os manipuladores estão montados sobre uma

BASE fixa, à qual está unido o primeiro elo através da primeira

junta. Esta base pode estar montada sobre uma superfície tam-

bém fixa, ou num veículo (automatizado ou não), que lhe per-

mita um deslocamento pelo local de trabalho.

O ponto extremo do último elo é conhecido com o

nome de PUNHO, e é onde costuma estar fixado o EFETUADOR;

no caso particular dos braços mecânicos ele se assemelha à mão

no extremo do antebraço (Fig. 1).

Fig. 1 – Manipulador Industrial.


GETIN Pág. 17

6.3. TIPOS DE JUNTAS

As articulações são uniões entre as diferentes partes

motrizes; nos robôs, essas articulações são denominadas juntas.

O movimento pode ser de giro (Fig. 2b), onde o elo

pode rodar de um determinado ângulo com respeito ao anterior;

nesse caso a junta chama-se ROTACIONAL, ROTATIVA ou de RE-

VOLUÇÃO.

O deslocamento também pode ser linear (Fig. 2a), on-

de um elo se afasta ou aproxima do anterior uma determinada

distância, caso em que a junta é chamada de PRISMÁTICA ou LI-

NEAR.

Fig. 2 – Tipos de juntas.

Na Fig. 3 vemos os diferentes tipos de juntas rotativas:

de torção (Fig. 3a), de elevação (Fig. 3b) e de guinada (Fig. 3c).

Enquanto que na Fig. 3d vê-se a simbologia de uma junta line-

ar.


GETIN Pág. 18

(a) (b) (c)

(d)

Fig. 3 – Simbologia das Juntas

Um manipulador não necessita ter todas as juntas do

mesmo tipo, podendo ser algumas de revolução e outras pris-

máticas, segundo a conveniência da configuração projetada.

Nos braços mecânicos as juntas costumam ser de revolução,

justamente por visarem uma proximidade com o braço humano.

As juntas, então, determinam os movimentos possíveis

do manipulador, e juntamente com as características físicas dos

elos, determinam a anatomia do manipulador.

A anatomia do robô deve considerar suas aplicações

específicas. Por exemplo, um manipulador destinado a colocar

componentes eletrônicos numa PCI deve ser substancialmente

diferente de um outro destinado a deslocar carros numa linha de

montagem.

6.4. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

O número total de juntas do manipulador é conhecido

com o nome de GRAUS DE LIBERDADE (ou DoF).

Um manipulador típico possui 6 graus de liberdade,


GETIN Pág. 19

sendo três para o posicionamento do punho dentro do ESPAÇO

DE TRABALHO, e três para obter uma orientação do efetuador,

conhecidas como PUNHO.

As juntas de punho têm por objetivo orientar o efetua-

dor numa direção arbitrária, conveniente para a tarefa a ser rea-

lizada. Essas juntas são sempre de revolução, pois o objetivo é

a orientação do efetuador e não seu posicionamento. Estes ân-

gulos recebem os nomes de "PITCH” (guinada), "YAW” (giro) e

"ROLL” (torção).

Na Fig. 4, observa-se que as juntas de roll, pitch e yaw

têm os eixos de rotação perpendiculares entre si, permitindo

uma orientação em qualquer ângulo de rotação, de inclinação à

esquerda ou direita, e de inclinação para cima e para baixo.

Fig. 4 – Ângulos de Roll, Pitch e Yaw.

Portanto, a maioria dos robôs industriais de hoje em

dia, mesmo que controlados por computadores, são basicamen-

te simples máquinas posicionais.

PROBLEMA 03: Em relação ao problema 02, quais os tipos de

juntas mais indicados e por quê?


GETIN Pág. 20

07 – ESPAÇO DE TRABALHO

7.1. INTRODUÇÃO

É definido como o volume total conformado pelo per-

curso do punho, quando o manipulador efetua todas as trajetó-

rias possíveis (Fig. 5). O volume dependerá da anatomia do ro-

bô, do tamanho dos elos, assim como dos limites dos movimen-

tos das juntas.

Fig. 5 – Espaço de trabalho.

A posição do punho pode ser representada no espaço

de trabalho ou no ESPAÇO DAS JUNTAS.

A "posição no espaço de trabalho" é determinada pela

posição do punho segundo um sistema de três eixos cartesianos

ortogonais, cuja origem é à base do robô.

A "posição no espaço das juntas" é representada pelo

vetor de coordenadas generalizadas, relativas a uma posição i-

nicial arbitrária.


GETIN Pág. 21

PROBLEMA 04: Obtenha o espaço de trabalho dos manipulado-

res apresentados na Fig. 6.

Fig. 6 – Modelos de manipuladores.


GETIN Pág. 22

08 – ANATOMIA DO MANIPULADOR

8.1. INTRODUÇÃO

Existem diferentes configurações físicas ou anatomias

nos manipuladores. Essas são determinadas pelos movimentos

relativos das três primeiras juntas, aquelas destinadas ao posi-

cionamento do efetuador.

Para cada combinação possível haverá uma anatomia

diferente, que independe do tamanho dos elos, pois estes de-

terminarão o tamanho do espaço de trabalho, mas não sua for-

ma.

As anatomias dos robôs são caracterizadas pelas coor-

denadas de movimento ou pelas três primeiras coordenadas ge-

neralizadas, que representam seu movimento.

8.2. ROBÔS CARTESIANOS (Fig. 7)

O formato deste tipo de robô lhe permite realizar três

movimentos lineares e perpendiculares entre si. Cada um dos

movimentos está localizado num dos três eixos cartesianos.

Esta configuração possui três articulações prismáticas

(PPP), uma em cada eixo. A posição de um ponto é especifica-

da usando-se coordenadas cartesianas (x, y, z).


GETIN Pág. 23

Fig. 7 – Robô cartesiano.

Esta configuração dá lugar a robôs que se caracterizam

por:

Alta precisão;

Velocidade;

Capacidade de grandes e constantes cargas;

Ampla área de trabalho.

Porém, esta configuração resulta inadequada para a-

cessar pontos situados em espaços relativamente fechados; a-

lém do mais, o volume de trabalho torna-se pequeno se compa-

rado com o de outras configurações.

O volume de trabalho será um paralelepípedo, ou seja,

o produto das distâncias dos três eixos. Portanto, se o compri-

mento máximo de cada elo for “L”, então o volume será L3.

Este tipo de configuração é bastante usual em estrutu-

ras industriais como:

Pórticos – empregados para transporte de cargas;

Sistema de Armazenamento Automático – mani-

pulação de caixas.


GETIN Pág. 24

8.2.1. ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS REAIS

Área de trabalho: Eixo X = 300 mm; Eixo Y = 300 mm; Eixo Z = 300 mm;

Carga: Mesa = 11 kg; Cabeceira = 6 kg;

Velocidade: X e Y de 8 a 800 mm/s; Z de 3,2 a 320 mm/s;

Memória: 100 programas ou 6.000 pontos;

Temperatura de trabalho: de 0 a 40º C;

Programação: entrada manual ou remota;

Resolução: 0,01 mm em cada eixo.

8.3. ROBÔS CILÍNDRICOS (Fig. 8)

O robô de configuração cilíndrica pode realizar dois

movimentos lineares e um rotativo, de acordo com sua estrutura

mecânica. Assim os movimentos lineares são localizados nos

eixos X e Y e o movimento de rotação é feito em torno do eixo

Z (roll).

Fig. 8 – Robô cilíndrico.


GETIN Pág. 25

A configuração contém duas articulações prismáticas e

uma rotacional, sendo a primeira, de rotação, na base (RPP). A

posição de um ponto é especificada usando-se coordenadas ci-

líndricas (x, y, α).

Comparando-se o robô cartesiano com o cilíndrico, ve-

rificamos que este último apresenta:

Melhor manobrabilidade;

Maior velocidade;

Simplicidade de instalação;

Maior acessibilidade para alcançar cargas atrás.

Esta configuração resulta adequada em instalações sem

obstáculos, onde as máquinas estejam distribuídas de forma ra-

dial e o acesso ao ponto desejado se faz horizontalmente.

O volume de trabalho será um cilindro. Portanto, se o

comprimento máximo dos eixos X e Y forem “L”, então o vo-

lume será πL3.

Este tipo de configuração é bastante usado nas estrutu-

ras industriais como:

Carga e descarga;

Alimentação de máquina.


GETIN Pág. 26


Área de trabalho: Roll α = 360º Eixo X = 1200 mm Eixo Y = 1070 mm;

Carga útil: 20 kg;


Resolução: 0,5 mm na direção do punho.

8.4. ROBÔS POLARES OU ESFÉRICOS (Fig. 9)

O robô de configuração polar pode realizar dois mo-

vimentos de rotação e um linear, sendo os eixos rotativos per-

pendiculares entre si. Assim o movimento linear está localizado

no eixo X e os movimentos de rotação são de roll (em torno de

Z) e pitch (em torno de X).

Fig. 9 – Robô polar.

Esta configuração possui duas articulações de rotação

e uma prismática (RRP). A posição de um ponto é especificada

através de (x, α, β).


GETIN Pág. 27

Esta configuração dá lugar a robôs que se caracterizam

por:

Boa acessibilidade (melhor que os anteriores);

Grande capacidade de carga;

Ampla zona de trabalho.

Porém, a configuração apresenta alguns inconvenien-

tes como:

Dificuldade em movimento de translação;

Perde precisão com cargas pesadas ou braço

muito estendido.

O volume de trabalho, supondo que o raio de giro seja

de 360º e que a articulação linear varie de L a 2L, será o que

existe entre uma esfera de raio 2L e outra concêntrica de raio L.

Portanto, o volume será (28/3)πL3.

Este tipo de configuração tem sido usado para manipu-

lar cargas que não precisam de movimentos complexos.


Área de trabalho: Roll α = 180º Pitch β = 80º Eixo X = 100 mm;

Carga útil: 6 kg;


Resolução: 0,5 mm na direção do punho.


GETIN Pág. 28

8.5. ROBÔS SCARA (Fig. 10)

O exemplo mais comum de uma configuração não

clássica é representado pelo robô tipo SCARA – “Selective

Compliance Assembly Robot Arm” (Braço Robótico para Mon-

tagem com Flexibilidade Seletiva).

Fig. 10 – Robô SCARA.

Esta configuração possui duas articulações rotacionais

e uma prismática (RRP). Os eixos são paralelos entre si, sendo

o prismático com deslocamento vertical. Assim o movimento

linear está localizado no eixo Z e os movimentos de rotação são

de roll (em torno de Z), sendo a posição especificada por (α, β,

z).

Esta configuração foi desenhada para poder executar

trabalhos que requerem movimentos simples de manipulação de

peças sobre uma superfície plana, tais como:

Montagem de peças;

Inserção de componentes;

Empacotamento.

Este robô pode realizar movimentos horizontais de


GETIN Pág. 29

maior alcance devido disposição de suas articulações rotacio-

nais.

O volume de trabalho não representa nenhuma figura

geométrica conhecida. Portanto, se o comprimento máximo de

cada elo for “L”, um raio de giro de 360º, então o volume será

4πL3.


Área de trabalho: Raio mínimo = 270 mm Raio máximo = 800 mm Roll do Eixo1 α = 360º Roll do Eixo2 β = 295º Eixo Y = 240 mm;

Carga nominal: 5 kg;

Velocidade máxima: 8,48 mm/s;

Memória: 1 Mb com conexão serial para PC;


Umidade: 50% a 40º C e 90% a 20º C.

PROBLEMA 05: Em relação ao problema 03, qual a anatomia do

manipulador escolhido e qual o seu espaço de tra-

balho?

PROBLEMA 06: Em relação ao problema 05, quais as especifica-

ções técnicas do manipulador escolhido?


GETIN Pág. 30

09 – EFETUADORES

9.1. INTRODUÇÃO

O objetivo dos robôs manipuladores é interagir com

seu meio ambiente deslocando um objeto ou uma ferramenta ou

algum dispositivo especial. Para isso, necessita de um dispositi-

vo que permita tal interação. Esse dispositivo é conhecido com

o nome de ÓRGÃO TERMINAL ou EFETUADOR.

9.2. CARACTERÍSTICAS

Elemento encarregado do manuseio da peça, propriamen-

te dito.

Fixado no extremo do último elo (PUNHO).

Projetado para fácil remoção e substituição.

Projetado para uma aplicação específica.

9.3. ACIONAMENTO

Motor elétrico (CC ou de passo).

Pistões pneumáticos.

Eletroímãs.

Ventosas a vácuo.

Pistões hidráulicos.


GETIN Pág. 31

9.4. MEDIÇÃO

Força exercida sobre o objeto segurado.

Orientação para exercer a força sobre o objeto.

Sistema de visão digital.

9.5. CLASSIFICAÇÃO

Garras.

Ferramentas.

9.5.1. GARRAS

Efetuadores destinados a pegar e segurar objetos.

Deslocar objetos no espaço de trabalho do manipulador.

Podem deslocar ferramentas.

Tipos de garras: Garras com dedos mecânicos.

Garras a vácuo.

Garras magnéticas ou eletroímãs.

Ganchos.

Garras adesivas.

9.5.1.1. GARRAS COM DEDOS

As mais comuns possuem 2 ou 3 dedos.

Abertura e fechamento mecânico.

Os dedos fazem o contato direto com a peça.


GETIN Pág. 32

Podem ter dedos substituíveis para se adaptar a peça.

Segura a peça por constrição ou por atrito.

Especificações de Projeto: Ângulos de abertura máxima e mínima.

Distâncias de abertura máxima e mínima.

Comprimento dos dedos.

Presença ou não de articulações intermédias nos dedos.

Fig. 11 – Garra de dedos paralelos com engrenagens.

9.5.1.2. GARRAS A VÁCUO

São conformadas por copos de SUCÇÃO ou VENTOSAS.

Os objetos devem ser PLANOS, LISOS E LIMPOS.

Para objetos duros, copos de material elástico (borracha

ou plástico); para objetos macios, copos de material duro

(geralmente metal).


GETIN Pág. 33

O peso transportado depende da pressão e superfície da

ventosa.

Exigem apenas uma superfície de contato.

Peso relativamente leve.

Aplicáveis a uma grande quantidade de materiais.

Desvantagem: Utilizados apenas em superfícies planas e com área maior

que as ventosas.

Fig. 12 – Garra a vácuo com duas ventosas.

9.5.1.3. GARRAS MAGNÉTICAS

Formato similar às garras a vácuo.

Eletroímãs ou ímãs permanentes no lugar das ventosas.

Modo razoável de manipular materiais ferromagnéticos.

Objetos devem ter uma superfície plana.

Podem carregar até carros.


GETIN Pág. 34

Vantagens: Tempos de pegada muito rápidos.

Pequenas variações de tamanho são toleráveis

Mais universais que as a vácuo.

Podem manusear peças com furos.

Necessitam apenas de uma superfície de contato.

Fig. 13 – Garra magnética com ímã permanente.

9.5.1.4. GARRAS ADESIVAS

Usam substâncias adesivas para segurar a peça.

Principal aplicação com tecidos e materiais leves.

Perdem aderência com o uso repetitivo.

Projetadas com fita contínua (máquina de datilografar).

9.5.1.5. GANCHOS

Em muitas aplicações onde é preciso transportar volumes

pesados, as garras podem ser inadequadas.


GETIN Pág. 35

A vantagem deste sistema é a sua versatilidade, pois não

é necessário mudar o efetuador se o tipo de peça mudar.

A desvantagem é que a peça deve apresentar um ponto

onde o gancho possa pegá-la.

9.5.2. FERRAMENTAS

Pontas de solda para soldagem a ponto.

Maçaricos para soldagem a arco.

Bicos para pintura por pulverização.

Mandris.

Aplicadores de cimento.

Ferramentas de corte por jato de água.

Ferramentas de corte a laser.

Fig. 14 – Ponta de solda por arco.

PROBLEMA 07: Em relação ao problema 06, qual o tipo de efe-

tuador que melhor se adapta a tarefa do manipula-

dor escolhido?


GETIN Pág. 36

10 – SISTEMA DE COORDENADAS

10.1. INTRODUÇÃO

As características variáveis das juntas são aquelas

grandezas físicas que permitem representar o movimento rela-

tivo de um elo em relação ao anterior. Nas juntas de revolução,

serão os ângulos de rotação e nas prismáticas à distância dos

elos.

O estado dessas variáveis é suficiente para determinar

a posição do punho, pois, se for conhecida a posição de cada

uma das juntas a partir da primeira e os comprimentos dos elos,

é possível conhecer a sua posição. Essas variáveis são conheci-

das pelo nome de COORDENADAS GENERALIZADAS.

Em geral, as coordenadas generalizadas são represen-

tadas por meio de um vetor de tantas componentes quantas jun-

tas tenha o manipulador, independentemente de que algumas

dessas componentes representem ângulos ou distâncias.

10.2. SIGNIFICADO

A Fig. 15 apresenta um manipulador com duas juntas

de revolução (manipulador planar). As coordenadas generaliza-

das serão dadas pelo vetor q = [ql q2]T, cujas componentes re-

presentam os ângulos dessas juntas.

Conhecendo-se esse vetor e o comprimento dos elos

(L1 e L2), é possível determinar a posição do punho, expressa


GETIN Pág. 37

em função de um sistema de eixos ortogonais. Portanto, a posi-

ção do punho é representada no espaço de trabalho como um

vetor p = [x y z]T.

Fig. 15 – Coordenadas generalizadas de um manipulador.

Como o robô não apresenta deslocamento na direção z

(saindo do plano do papel), então o punho pode ser definido pe-

lo vetor posição p = [x y]T.

A determinação da posição do punho no espaço de tra-

balho é feita pela obtenção das componentes do vetor p em co-

ordenadas generalizadas.

O vetor p pode ser escrito na forma matricial como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

21pEloEloEloElo

yx

(1)

De acordo com a Fig. 15, a posição do Elo1 é dada por:

111 cosθLx = (2a)

111 θsenLy = (2b)


GETIN Pág. 38

e a do Elo2 por:

( )2122 cos θθ += Lx (3a)

( )2122 θθ += senLy (3b)

Portanto, a posição do punho é dada por:

( )21211 coscos θθθ ++= LLx (4a)

( )21211 θθθ ++= senLsenLy (4b)

A Fig. 16 ilustra essa localização, bem como a disposi-

ção dos deslocamentos angulares para cada junta. Observa-se

que o Elo2 se desloca de um ângulo θ2 em relação ao eixo do

Elo1 e não do sistema de referência.

Fig. 16 – Coordenadas generalizadas ampliadas.

PROBLEMA 08: Considere o manipulador da Fig. 15. Sabe-se

que a posição angular da junta 1 é 30º e da junta 2

é de 15º. O comprimento dos elos é de 1 metro.

Qual a posição cartesiana do punho?


GETIN Pág. 39

11 – REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA

11.1. INTRODUÇÃO

Para o desenvolvimento das equações cinemáticas do

manipulador há necessidade de estabelecer vários sistemas de

coordenadas para representar as posições e orientações de cor-

pos rígidos.

Também é preciso conhecer as transformações de co-

ordenadas entre esses sistemas, de modo a possibilitar que veto-

res representativos de posições, velocidades e acelerações, da-

dos em um determinado sistema de coordenadas, possam ser re-

presentados em outros sistemas de coordenadas.

Neste capítulo serão consideradas as operações de rota-

ção e de translação de um sistema em relação a um outro siste-

ma e apresentada a noção de transformação homogênea.

11.2. REPRESENTAÇÃO DE POSIÇÃO

Seja um ponto genérico P, no espaço 3D (Fig. 17).

Fig. 17 – Representação gráfica do ponto P.


GETIN Pág. 40

Sabemos que um vetor é um segmento de reta orienta-

do, isto é, dois pontos definem um vetor (origem, destino e mó-

dulo).

Se tomarmos o ponto P como destino e a origem do sis-

tema como início, temos o vetor p dado por:

p = [Px Py Pz]T (5)

A partir de agora será adotado o seguinte modelo de

representação (Fig. 18):

O sistema ao qual o vetor está referido será representado

por uma letra maiúscula entre chaves {A};

O vetor deverá conter informações sobre qual sistema de

coordenadas ele está definido;

O vetor será representado por uma letra maiúscula com um

sobrescrito à esquerda para indicar o sistema onde estar re-

ferido AP.

Fig. 18 – Representação do vetor posição.

Portanto, (5) toma a forma

AP = [APx APy APz]T (6)


GETIN Pág. 41

11.3. REPRESENTAÇÃO DE ORIENTAÇÃO

A localização de um corpo rígido B em relação a um

referencial qualquer {A} é definida pela localização do seu refe-

rencial associado {B} em relação à {A} (Fig. 19).

Fig. 19 – Representação de um corpo rígido.

Portanto, a posição de {B} em relação à {A} é definida

pelo vetor de posição APB ligando a origem de {A} à origem de

{B}, expresso em coordenadas de {A}.

APB = [APBx APBy APBz]T (7)

Os vetores unitários de {B} são: XB; YB e ZB. Cada ve-

tor de {B} deve ser escrito no sistema {A}, portanto cada ele-

mento de {B} terá três componentes em {A}.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

BZA

BYA

BXA

BA

XXX

X (8)

Se tomarmos uma matriz, onde as colunas sejam os

vetores AXB, AYB e AZB. Essa matriz será chamada de MATRIZ

DE ROTAÇÃO e descreverá a orientação do corpo {B} no sistema


GETIN Pág. 42

de referência {A}. A matriz de rotação é denotada como ARB e

expressa por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

BZA

BZA

BZA

BYA

BYA

BYA

BXA

BXA

BXA

BA

ZYXZYXZYX

R (9)

A matriz de rotação ARB é também chamada de matriz

de cossenos diretores, pois cada elemento é representado pelo

produto interno entre um eixo unitário de {A} e um eixo unitá-

rio de {B}.

PROBLEMA 09: Prove que ARB é a matriz de cossenos diretores

de {B} em {A}.

PROBLEMA 10: Encontre BRA na representação dada na Fig. 19 e

mostre que é uma matriz ortogonal.

Considere dois referenciais coincidentes {A} e {B} (Fig. 20).

Suponha que {B} gira de um ângulo θ em torno do eixo zB. En-

contre a matriz de rotação ARB.

Fig. 20 – Rotação em torno do eixo z.


GETIN Pág. 43

Da Fig. 20, através de relações trigonométricas, temos que:

AxB = [cos(θ) sen(θ) 0]T AyB = [-sen(θ) cos(θ) 0]T AzB = [0 0 1]T

Substituindo em (9), obtém-se

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000)cos()(sen0)(sen)cos(

R θθθθ

BA

(10)

PROBLEMA 11: Repita o exemplo anterior para rotações em tor-

no de xB e yB.

PROBLEMA 12: Considere dois referenciais {A} e {B} com a

mesma orientação, com a origem de {B} localiza-

da a 5 unidades ao longo do eixo xA. Considere um

ponto P, expresso em {B} como BP = [2 2 1]T.

Determine a posição de {B} em relação à {A} bem

como a representação do ponto P em {A}.

PROBLEMA 13: Determine a posição de um corpo em relação ao

referencial {A}, sabendo que este se encontra nas

coordenadas [5 -3 2]T em relação ao referencial

{B} e que a origem de {B} está a [4 0 -1]T da ori-

gem de {A}.

PROBLEMA 14: Considere dois referenciais coincidentes, {A} e

{B}. Suponha que {B} gira de um ângulo θ em

torno do eixo AzB. Considere um ponto P expresso


GETIN Pág. 44

em coordenadas de {B}, BP. Encontre a represen-

tação do ponto P em coordenadas de {A}, AP.

PROBLEMA 15: Um corpo {B} está rotacionado em relação à re-

ferência {A} de um ângulo de 30º sobre o eixo z.

O eixo z é o vetor que sai do plano da página. Es-

creva AP e ARB, sabendo que BP é [5 -3 2]T e que

os referenciais têm mesma origem.

PROBLEMA 16: Um corpo {B} está rotacionado em relação à re-

ferência {A} de um ângulo de 30o sobre o eixo z e

está 10 unidades à frente em x e 5 em y. Encontrar AP, onde BP = [3 7 0]T.

PROBLEMA 17: Um corpo é rotacionado em torno do eixo z de

um ângulo de 45o. Em seguida sofre uma nova ro-

tação em torno do eixo x de 30º. Determine a ori-

entação resultante.

PROBLEMA 18: Encontre a posição de um corpo em relação ao

referencial {A}, sabendo que sua posição em rela-

ção à referência {B} é [0 4 -2]T e a posição de

{A} em {B} é [3 -2 5]T e que {B} está rotaciona-

do de um ângulo de 60o sobre o eixo y de {A}.

PROBLEMA 19: Determinar a posição P de um corpo em relação

à referência {A} a partir de sua posição [0 0 5]T

em {C}. Sabe-se que {C} está rotacionado de um

ângulo de 30o sobre o eixo z de {B}, que a origem

de {B} se encontra em [2 0 1]T da origem de {C}


GETIN Pág. 45

e em [5 4 0]T da origem de {A} e que {A} e {B}

têm mesma orientação.

11.4. REPRESENTAÇÃO POR ÂNGULOS DE EULER

A orientação de {B} em relação à {A} é representada

por três ângulos de rotação (φ, θ, ψ), executados em torno de z,

y e x de um referencial móvel (Fig. 21), conhecidos como ân-

gulos de Euler ZYX.

Rφθψ = Rz,φ.Ry,θ.Rx,ψ (11)

Fig. 21 – Ângulos de Euler ZYX.

Definindo-se sen(θ) = sθ e cos(θ) = cθ. Temos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

ψψψψ

θθ

θθφφφφ

φθψ

cs0sc0001

c0s010

s0c

1000cs0sc

R

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−++−

=)c.().c()-(

)s.cc.s.(s)c.cs..s()c.s()s.sc.s.(c)c.ss.s.c()c.c(

Rψθψθθ

ψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθφθφ

φθψ

csss (12)


GETIN Pág. 46

Conhecendo-se a orientação na forma de uma matriz

Rφθψ, é possível encontrar os ângulos de Euler ZYX a partir de

relações entre seus elementos.

Para evitar ambigüidades, utilizaremos a função arco-

tangente definida nos quatro quadrantes (arco-tangente de dois

argumentos) atan2(a, b) = arg(a + jb) → argumento de a+jb.

Portanto, θ = atan2(sen(θ), cos(θ)) = atan2(ksen(θ), kcos(θ)),

com k>0, sendo a matriz de rotação dada por (9). Assim:

),(atan2 1121 RR=φ (13a)

),(atan2 233

23231 RRR +±−=θ (13b)

),(atan2 3332 RR=ψ (13c)

PROBLEMA 20: Deduza as expressões (13a), (13b) e (13c).

Verifica-se que a solução para os ângulos de Euler não

é única. Tomando o sinal positivo, o que equivale a limitar θ

ao intervalo –π/2 ≤ θ ≤ π/2, eliminamos esta ambigüidade.

Verifica-se também que, para θ = -π/2 ou θ = π/2, a so-

lução degenera (ocorre divisão por zero), o que resulta em infi-

nitas soluções. Isto ocorre porque θ é a soma de φ e ψ, que pode

ter infinitos pares (φ, ψ) diferentes. Neste caso:

Para θ = -π/2 → ψ + φ = atan2(-R12, R22) (14)

Para θ = π/2 → ψ - φ = atan2(R12, R22) (15)


GETIN Pág. 47

Os ângulos de Euler ZYX são também chamados de

ângulos de roll, pitch e yaw, termos derivados dos movimentos

de rotação de naves ou aeronaves em torno dos seus eixos prin-

cipais.

PROBLEMA 21: Encontre a matriz de orientação bem como os

ângulos de Euler ZXZ e ZYZ.

PROBLEMA 22: Dados os referenciais {A} e {B} (Fig. 22), obte-

nha a matriz de rotação ARB bem como a sua repre-

sentação em ângulos de Euler ZXZ, ZYZ e ZYX.

Fig. 22 – Orientação relativa entre dois referenciais.


GETIN Pág. 48

12 – TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS

Até agora, foram consideradas apenas rotações de um

sistema de coordenadas em relação a um outro. Neste item, se-

rão introduzidos, também, os movimentos de translação.

Seja um sistema móvel {1}, obtido por translação pura

a partir do sistema fixo {0}, conforme Fig. 23.

Fig. 23 – Translação pura.

Como se observa, a origem {1} do sistema móvel foi

deslocada de uma distância representada pelo vetor 0P1. Tal ve-

tor fornece apenas a posição do sistema móvel em relação ao

sistema fixo, nada indicando quanto a sua orientação, a qual,

conforme já foi visto, é dada pela matriz de rotação 0R1.

Consideremos, agora, a combinação de translação com

rotação. Nesse caso, um ponto P do espaço 3D é representado,

no sistema fixo {0}, pela soma vetorial do vetor posição da ori-

gem do sistema móvel, 0P1, com o vetor 1P, em relação ao sis-

tema móvel {1}, então:

0P = 0R1 1P + 0P1 (16)

ou, desenvolvendo:


GETIN Pág. 49

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

x

x

x

z

y

x

PPP

PPP

RRRRRRRRR

PPP

10

10

10

1

1

1

333231

232221

131211

0

0

0

(17)

onde os elementos Rij são os elementos da matriz de rotação de

acordo com (9).

Uma outra forma de apresentar a equação acima, com

apenas uma multiplicação matricial, é:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

10

333231

10

232221

10

322111

0

0

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

PPP

PRRRPRRRPRRR

PPP

(18)

Pode-se, ainda, colocar a expressão acima em uma for-

ma mais conveniente, de modo que a matriz seja quadrada 4x4:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

110001

1

1

1

10

333231

10

232221

10

322111

0

0

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

PPP

PRRRPRRRPRRR

PPP

(19)

A matriz 4x4 acima é conhecida como Matriz de

Transformação Homogênea (0T1) e representa de modo com-

pacto a posição e a orientação de {1} em relação à {0}. A linha

inferior foi acrescentada para resultar numa matriz quadrada e

assim ser inversível.


GETIN Pág. 50

PROBLEMA 23: Dado o referencial {B} rotacionado 45º em tor-

no do eixo z e transladado a uma distância de duas

unidades ao longo do eixo x do referencial {A},

determinar as coordenadas do ponto BP = [1 1 0]T

em relação à {A}.

12.1. ARITMÉTICA DE TRANSFORMAÇÕES

12.1.1. TRANSFORMAÇÃO COMPOSTA

Conhecendo a localização de {C} em relação à {B} e a

localização de {B} em relação à {A}, determine a localização

de {C} em relação à {A}.

Dado um ponto P representado em {A}, {B} e {C}, como AP = ATB BP AP = ATC CP BP = BTC CP

Então, AP = ATB BP = ATB (BTC CP) = (ATB BTC) CP

Como AP = ATC CP = (ATB BTC) CP

Logo

ATC = ATB BTC (20)

Ou, na forma matricial

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

1000.. CA

BA

BA

CB

BA

CA PRPRRT

(21)


GETIN Pág. 51

12.1.2. TRANSFORMAÇÃO INVERSA

Conhecendo a localização de {B} em relação à {A},

determinar a localização de {A} em relação à {B}.

Dado um ponto P representado em {A} e {B}, como AP = ARB BP + APB

Multiplicando-se a expressão acima pela inversa de ARB, tem-se

(ARB)-1 AP = (ARB)-1 [ARB BP + APB] BP = (ARB)-1 (AP - APB)

Como ARB é uma matriz ortogonal, pode-se escrever BP como BP = (ARB)T AP - (ARB)T APB

Então, o operador matricial que relaciona AP e BP é

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −== −

1000.)R()R(1 BAT

BAT

BA

BA

AB P

TT (22)

a equação (15) pode ser estendida ao caso com “N” referenciais

0TN = 0T1 1T2 . . . N-2TN-1 N-1TN (23)

PROBLEMA 24: Seja uma célula de trabalho com os referenciais

{B} (base), {G} (garra), {E} (estação) e {O} (ob-

jeto). Determinar GTO a partir das transformações

homogêneas conhecidas BTG, BTE e ETO.

PROBLEMA 25: Seja um referencial {B} rotacionado em relação

à {A} em 30º e transladado de 4 unidades em xA e

3 unidades em yA. Obtenha BTA.


GETIN Pág. 52

13 – CINEMÁTICA

13.1. INTRODUÇÃO

A cinemática é o estudo dos movimentos relativos e-

xistentes entre os diferentes componentes de um robô manipu-

lador. Neste capítulo veremos a cinemática direta e a inversa.

13.2. CINEMÁTICA DIRETA

O problema de cinemática direta de robôs manipulado-

res consiste em determinar a localização da garra (eventualmen-

te de cada elo do manipulador) a partir do valor atual das variá-

veis de junta (ângulos ou deslocamentos), o qual pode ser re-

solvido para qualquer robô manipulador serial utilizando trans-

formações homogêneas que relacionam a localização de um elo

em relação ao anterior.

A solução da cinemática direta é única e pode ser obti-

da tanto na forma analítica quanto na forma numérica através

de um procedimento sistemático.

A seguir, apresenta-se um método sistemático para so-

lucionar o problema da cinemática direta de robôs manipulado-

res. Para esta solução é necessário caracterizar matematicamen-

te os elos do robô através de referenciais e parâmetros cinemá-

ticos atribuídos de acordo com convenções apropriadas.


GETIN Pág. 53

13.2.1. NOTAÇÃO DENAVIT HARTENBERG (DH)

Do ponto de vista cinemático, o robô manipulador po-

de ser considerado como um conjunto de corpos rígidos interli-

gados numa cadeia cinemática aberta através de juntas, com

uma extremidade fixa na base do manipulador e com uma garra

ou ferramenta na outra extremidade, que é livre.

O elo (corpo rígido) define a relação geométrica entre

dois eixos de juntas vizinhas na cadeia cinemática. Para identi-

ficar elos usaremos números inteiros, onde a base receberá o

número 0 (zero) e os elos seguintes são numerados em ordem

crescente na cadeia (da base até a garra).

A partir do eixo de junta se dá a movimentação relati-

va entre 2 (dois) elos vizinhos. Para identificar juntas usaremos

números inteiros, onde a junta mais próxima da base receberá o

número 1 (um) e as juntas seguintes são numeradas em ordem

crescente na cadeia (da base até a garra).

O eixo zi do referencial do elo {i} é coincidente com o

eixo de movimento da junta i. A origem de {i} é estabelecida

na interseção entre o eixo zi e a reta normal a zi e a zi+1.

O eixo xi é estabelecido sobre a reta normal a zi e a zi+1

e apontando de zi para zi+1. Enquanto que o eixo yi é definido

pela regra da mão direita.

O referencial {0} é atribuído de maneira a ser coinci-

dente com o referencial {1} quando a variável de junta 1 (q1)


GETIN Pág. 54

for nula. Já o referencial {N} é atribuído de maneira a ser coin-

cidente com o referencial de elo {N+1} quando a variável da

junta N (qN+1) for nula. O referencial {N+1} é posicionado na

ponta da ferramenta e com a mesma orientação do referencial

{N}.

13.2.1.1. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA DE ELO (Fig. 24)

O comprimento do elo i (ai) é à distância entre os eixos

zi e zi+1 e medida ao longo do eixo xi. Enquanto que, o ângulo

de torção do elo i (αi), que é a defasagem entre os eixos zi e zi+1

é medido em torno do eixo xi.

Fig. 24 – Parâmetros de elo.


GETIN Pág. 55

13.2.1.2. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA DE JUNTA (Fig. 25)

O deslocamento da junta i (di) é à distância entre os ei-

xos xi-1 e xi e medida ao longo do eixo zi. Enquanto que, o ân-

gulo da junta i (θi), que é a defasagem entre os eixos xi-1 e xi é

medido em torno do eixo zi.

Fig. 25 – Parâmetros de junta.

A variável da junta i (qi) será igual ao ângulo de junta

(θi) se esta for rotacional ou igual ao deslocamento de junta (di)

se for prismática.

13.2.1.3. TRANSFORMAÇÃO DE ELO

De acordo com as convenções acima, a localização do

referencial {i} em relação ao referencial anterior {i-1} pode ser

obtida a partir de uma seqüência de translações e rotações ao

longo dos eixos xi e zi.


GETIN Pág. 56

i-1Ti = T(xi, ai-1) R(xi, ai-1) T(zi, di) R(zi, qi)

Portanto,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

=−−−−

−−−−

−

−

1000

0

1111

1111

1

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

ii

cdccssssdsccsc

asc

Tααθαθαααθαθα

θθ

(24)

onde cθ = cos(θ), sθ = sen(θ), cα = cos(α) e sα = sen(α).

A solução da cinemática direta será a composição de

transformações homogêneas.

EXEMPLO: Dado o manipulador planar com 3 GL da Fig. 26, ob-

tenha a sua cinemática direta.

Fig. 26 – Manipulador planar e atribuição de referenciais.

i ai-1 αi-1 di θi

1 0 0 0 θ1

2 L1 0 0 θ2

3 L2 0 0 θ3


GETIN Pág. 57

As transformações de elo são obtidas em função dos parâmetros

DH da tabela acima.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

100001000000

11

11

10 θθ

θθcssc

T

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000010000

0

22

122

21 θθ

θθcs

Lsc

T

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000010000

0

33

233

32 θθ

θθcs

Lsc

T

( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++−

=

10000100

00

12211123123

12211123123

30 sLsLcs

cLcLsc

T

onde c1 = cos(θ1), s1 = sen(θ1), c12 = cos(θ1+θ2), s12 = sen(θ1+θ2), c123 = cos(θ1+θ2+θ3) e s123 = sen(θ1+θ2+θ3).


GETIN Pág. 58

PROBLEMA 26: Para os manipuladores da Fig. 27, obtenha as

equações da cinemática direta..

Fig. 27 – Manipulador (a) cilíndrico, (b) RD5 e (c) XYZ.

13.3. CINEMÁTICA INVERSA

O problema da cinemática inversa é fundamental no

controle de robôs manipuladores. Normalmente, a tarefa é es-

pecificada em espaço cartesiano, enquanto que os controladores

atuam em espaço de juntas, requerendo que as referências de

controle sejam especificadas neste espaço. Deste modo, torna-

se necessário mapear referências especificadas em espaço carte-

siano em referências equivalentes em espaço de juntas.

Portanto, dada a localização desejada da garra deve-se

obter as variáveis de junta que conduzem a garra para tal situa-

ção. Assim, dois problemas adicionais devem ser levados em

conta: a verificação de existência de solução e a possibilidade

de existirem múltiplas soluções para uma dada localização da

garra.


GETIN Pág. 59

As equações são resolvidas por métodos algébricos,

freqüentemente fazendo uso de considerações geométricas, re-

sultando numa expressão analítica computável.

Considerando a posição e a orientação da garra especi-

ficada , por três valores (x, y, φ), onde (x, y) define a posição da

garra e φ é o ângulo de orientação. Chamando a transformação

homogênea resulte de T* e igualando a matriz da cinemática di-

reta obtém-se as variáveis de junta desejadas (vetor θ*).

T* = T (25)

EXEMPLO: No manipulador planar da Fig. 26, obtenha as variá-

veis de junta necessárias para alcançar a tarefa especi-

ficada, ou seja, ir para o ponto (x, y, φ).

( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⇒=

10000100

00

10000100

00

12211123123

12211123123

* sLsLcscLcLsc

ycsxsc

TTφφφφ

Logo, cφ = c123 sφ = s123 x = L1c1+L2c12 y = L1s1+L2s12.

Assim,

21

22

21

22

2 2 LLLLyxc −−+

= se 11 2 ≤≤− c existe solução.


GETIN Pág. 60

22 1 cs −±= implica em múltiplas soluções (Fig.

28).

Então:

θ∗2 = atan2(s2, c2)

θ∗1 = atan2(y, x) – atan2(L2s2, L1+L2c2)

φ = atan2(s123, c123)

θ∗3 = φ – θ∗1 – θ∗2

Fig. 28 – Múltiplas soluções.

PROBLEMA 27: Determinar a cinemática inversa dos manipula-

dores da Fig. 27.


GETIN Pág. 61

14 – CONTROLE DE MOVIMENTO

14.1. INTRODUÇÃO

O controle de robôs manipuladores consiste na especi-

ficação de uma tarefa até a determinação dos esforços que de-

vem ser aplicados pelos atuadores de juntas de modo a executá-

la. Neste curso nos limitaremos apenas a geração de trajetória

em espaço de juntas, enquanto que o controle cinemático e o

dinâmico ficam para os cursos de engenharia.

O problema de controle de posição envolve várias eta-

pas. Inicialmente, o operador especifica um ou mais objetivos a

serem alcançados. Neste processo, pode ser necessário especifi-

car algumas características adicionais: o tempo de percurso pa-

ra atingir cada objetivo, o tipo de trajetória a ser percorrida e

outras mais.

O cálculo da trajetória entre a posição atual e a final

tem por finalidade gerar referências intermediárias para os con-

troladores de juntas, de tal modo que o manipulador possa se

movimentar suavemente até o seu objetivo, evitando esforços

excessivos nos atuadores. A trajetória pode ser gerada tanto em

espaço de juntas quanto em espaço cartesiano.

Quando a trajetória é gerada no espaço de juntas não

há a necessidade de um modelo geométrico e a operação de a-

prendizagem é realizada diretamente, junta a junta, pelo opera-


GETIN Pág. 62

dor. Caso a trajetória seja gerada em espaço cartesiano, torna-se

necessário o mapeamento das referências intermediárias para

suas correspondentes em espaço de juntas. Um problema que

surge neste processo de mapeamento é a existência de configu-

rações singulares e/ou matrizes de rotação intermediárias não

ortogonais.

14.2. GERAÇÃO DE TRAJETÓRIA

Uma tarefa é especificada em linguagem de alto nível

e o controlador interpreta o comando, gerando a trajetória que

leva a garra ao ponto desejado. O controlador deve computar

uma trajetória suave (restrição mecânica) que sirva de referên-

cia a ser seguida pelos servo-controladores das juntas (controle

por rastreamento). Neste ponto faz-se necessário à distinção en-

tre o caminho percorrido pelo robô e a trajetória propriamente

dita.

Caminho → é a descrição geométrica do conjunto dos pon-

tos percorridos (restrição espacial) pelo manipu-

lador da posição atual ao alvo. É uma curva con-

tínua, contendo o maior número possível de deri-

vadas contínuas.

Trajetória → é o caminho sujeito a restrições temporais

(duração do deslocamento).

A geração de uma trajetória envolve a descrição tem-


GETIN Pág. 63

poral da posição, velocidade e aceleração de cada GL do mani-

pulador, podendo ser realizada previamente (off-line) ou em

tempo real (durante a execução).

14.2.1. GERAÇÃO EM ESPAÇO DE JUNTAS

Os pontos extremos são especificados diretamente no

espaço de juntas (Fig. 29) ou no cartesiano (Fig. 30). Em virtu-

de da facilidade operacional, a entrada de dados é geralmente

feita em espaço cartesiano (Fig. 30) e estes são convertidos, pe-

lo controlador, em pontos no espaço de juntas (Fig. 30) e os

pontos intermediários da trajetória (linha verde na Fig. 31) são

obtidos por interpolação.

Fig. 29 – Malha de controle em espaço de juntas.

Fig. 30 – Malha de controle em espaço cartesiano.

Fig. 31 – Trajetória descrita por um manipulador planar.


GETIN Pág. 64

O procedimento é independente para cada junta e não

apresenta problemas de singularidades, porém nada se pode ga-

rantir sobre o posicionamento do manipulador no espaço carte-

siano para os pontos interpolados da trajetória.

Métodos de geração em espaço de juntas fazem uso de

vários tipos de perfis de interpolação: polinômios de ordem va-

riada (primeira, terceira, quinta ou maior), função linear com

limites parabólicos e tantos outros.

Para apresentar os conceitos básicos será usado um

simples modelo composto apenas por um elo e uma junta rota-

tiva, ou seja, um GL. No modelo da Fig. 32, nota-se que o bra-

ço tem comprimento L e gira em torno da origem do sistema de

coordenadas XY.

Fig. 32 – Manipulador planar com 1 GL.

O ponto cuja trajetória será controlada é a extremidade

livre que, dependendo do ângulo θ, alcança diferentes coorde-

nadas (x, y). O algoritmo utilizado para gerar a trajetória é a-

presentado a seguir.


GETIN Pág. 65

Escolher perfil de interpolação; Aplicar as condições de contorno; Encontrar os coeficientes do polinômio; Montar as equações de posição, velocidade e aceleração.

14.2.1.1. INTERPOLAÇÃO LINEAR

A forma mais simples de se mover uma junta rotativa

da posição inicial θ até a posição final θ* em um tempo T é u-

sando uma interpolação linear, ou seja, utilizando uma veloci-

dade angular constante.

Escolhendo ( ) taat 10 +=θ (26)

para t = 0 → ( ) θθ =0 (posição inicial)

para t = T → ( ) *θθ =T (posição final) fornecendo,

( ) ( ) θθθ =⇒=+= 001 00 aaa

( ) ( )T

aTaT θθθθθ −=⇒=+=

*

1*

1

Finalmente obtém-se que:

( ) tT

t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

θθθθ*

(27)

( )T

t θθθ −=

• *

(28)

( ) 0=••

tθ (29)


GETIN Pág. 66

Lembrando que θ e θ* são vetores cuja dimensão cor-

responde à quantidade de GL do manipulador, isto é, para cada

junta temos um conjunto de expressões como as apresentadas

acima e para manipuladores com “n” GL os elementos dos ve-

tores são:

θ = [θ1 θ2 θ3 ... θn]T (30)

θ* = [θ*1 θ*

2 θ*3 ... θ*

n]T (31)

Como dito anteriormente, a especificação da tarefa é

feita em espaço cartesiano, assim é necessário que o controla-

dor conheça tanto a cinemática direta quanto a inversa. Neste

caso,

Cinemática Direta: θcosLx = (32)

θLseny = (33)

Cinemática Inversa: ),(2tan xya=θ (34)

EXEMPLO: Suponha que o manipulador da Fig. 32 esteja inici-

almente orientado a 0º e que se deseja atingir a orien-

tação de 90º em um intervalo de 10 segundos.

Substituindo estes valores nas equações (27) a (29), temos

θ(t) = 9t ω(t) = 9

As figuras 33 e 34 mostram a variação de posição e velocidade

ao longo do tempo para a junta.


GETIN Pág. 67

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tempo (s)

Theta (graus)

Fig. 33 – Posição em função do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tempo (s)

Omega (graus/s)

Fig. 34 – Velocidade em função do tempo.

NOTA: 1) Não se deve esquecer que, apesar do gráfico de posi-

ção angular mostrar uma reta, no espaço cartesiano o

braço executa um arco de circunferência.

2) Em termos práticos, a aceleração é considerada nula,

porém é necessário um pico de aceleração para iniciar

o movimento e um pico de desaceleração para pará-lo.

Isso faz com que ocorram choques mecânicos muito

fortes no início e no final da trajetória, tornando este

perfil de controle pouco adequado.


GETIN Pág. 68

14.2.1.2. INTERPOLAÇÃO COM POLINÔMIO CÚBICO

O uso de uma equação cúbica (utilizada quando a junta

inicia e termina o movimento com velocidade nula) para repre-

sentar a posição angular no tempo elimina os choques da inter-

polação linear. Da mesma forma exposta no caso linear, as e-

quações de velocidade e aceleração são obtidas por derivação.

Escolhendo ( ) 33

2210 tatataat +++=θ (35)

para t = 0 → ( ) θθ =0 (posição inicial)

( ) 00 =•

θ (velocidade inicial)

para t = T → ( ) *θθ =T (posição final)

( ) 0=•

Tθ (velocidade final) logo,

( ) ( ) ( ) ( ) θθθ =⇒=+++= 0012

23

3 0000 aaaaa

( ) ( ) ( ) ( ) *1

22

33 θθθ =+++= TaTaTaT

então

( ) ( ) ( ) 0002030 1122

3 =⇒=++=•

aaaaθ

( ) ( ) ( ) 023 22

3 =+=•

TaTaTθ

( )2

*

23

Ta θθ −

= e

( )3

*

32

Ta θθ −

−=


GETIN Pág. 69

Finalmente obtém-se que:

( ) 33

*2

2

*

23 tT

tT

t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

θθθθθθ (36)

( ) 23

*

2

*

66 tT

tT

t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

• θθθθθ (37)

( ) tTT

t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

••

3

*

2

*

126 θθθθθ (38)

PROBLEMA 28: Considere as condições do exemplo anterior en-

contre as equações da posição, velocidade e acele-

ração como função do tempo, usando um polinô-

mio cúbico. Trace as curvas para cada variável.

14.2.1.3. INTERPOLAÇÃO LINEAR COM BORDAS PA-

RABÓLICAS

Outra estratégia de movimentação é, de certa forma, a

união dos conceitos anteriores. Tem-se uma movimentação li-

near com início e final suave (quadrático). Nota-se que há três

fases distintas.

Fase 1 – Início parabólico: No início do movimento há uma

aceleração constante que faz com que a velocidade au-

mente linearmente. Esse comportamento faz com que a


GETIN Pág. 70

posição se altere mais rapidamente.

Fase 2 – Deslocamento linear: Nesta etapa a aceleração deixa

de existir, fazendo com que a velocidade seja constante

que, por sua vez, faz com que o deslocamento seja line-

ar.

Fase 3 – Final parabólico: Para finalizar o movimento é usada

uma desaceleração de valor constante. Essa desacelera-

ção diminui a velocidade de forma linear e faz com que

a posição varie cada vez mais lentamente até atingir a

sua meta.

Fig. 35 – Perfil linear com bordas parabólicas.

Na Fig. 35 vemos que o instante no qual ocorre a tran-

sição da entrada parabólica para o deslocamento linear é deno-

minado de TA e a posição angular nesse instante é definida co-

mo θA. Da mesma maneira, o instante da transição do desloca-

mento linear para a finalização parabólica é chamado de TB e a


GETIN Pág. 71

posição angular de θB.

O equacionamento deste caso assume que os segmen-

tos parabólicos têm a mesma duração (Fig. 35), fazendo com

sejam simétricos em relação ao ponto central.

A duração dos segmentos parabólicos depende do va-

lor adotado para a aceleração e desaceleração. Quanto maior

este valor, menor é a porção parabólica, fazendo com que o

movimento tenda a uma interpolação linear simples. Por outro

lado, quanto menor a aceleração, menor é a porção linear. Há

um valor mínimo para a aceleração, que faz com que a porção

linear não exista. Considere que a aceleração mínima é dada

por:

( )2

*

min4

Tθθθ −

=••

(39)

o valor adotado para a aceleração é dado pela expressão a se-guir, onde c > 1 (como valor inicial pode-se usar c = 10).

min

••••

= θθ c (40)

A duração dos segmentos parabólicos é dada por:

( )••

••••

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

±=θ

θθθθ

2

4

2

*2

TTTA (41)

se θ* - θ > 0 → subtrai e adiciona caso contrário


GETIN Pág. 72

TB = T – TA (42)

2

2 AA T••

+=θθθ (43)

2*

2 BB T••

−=θθθ (44)

AB

AB

TT −−

=• θθθ (45)

As equações de posição, velocidade e aceleração são: Fase 1:

( ) 2

21 tt

••

+= θθθ (46)

( ) tt•••

=θθ (47)

( )••••

=θθ t (48)

Fase 2:

( ) ( )AA Ttt −+=•

θθθ (49)

( )••

=θθ t (50)

( ) 0=••

tθ (51)


GETIN Pág. 73

Fase 3:

( ) ( ) ( )221

BBB TtTtt −−−+=•••

θθθθ (52)

( ) ( )2BTtt −−=••••

θθθ (53)

( )••••

−= θθ t (54)

PROBLEMA 29: Deduza as equações (46) a (54).

PROBLEMA 30: Trace as curvas de posição, velocidade e acele-

ração usando interpolação linear com bordas para-

bólicas com os dados do problema 28.

Um algoritmo de controle pode ser visto a seguir:

Entre tarefa desejada. Calcule θ*. Gerar trajetória (vetor de pontos intermediários). Enquanto θ[i] <> θ* faça.

Enviar θ[i] para atuador. Incremente i. Leia θ.

Obtenha tarefa atual. Calcule erro.


GETIN Pág. 74

PROBLEMA 31: Para o manipulador da Fig. 32, obtenha as equa-

ções para posição, velocidade e aceleração usando

um polinômio de quinta ordem. Esboce os gráficos

e faça uma análise crítica dos resultados.

PROBLEMA 32: Gerar a trajetória para os manipuladores da Fig.

27, utilizando os três perfis vistos acima. Esboce

os gráficos de cada variável de junta e compare-os

criticamente.

PROBLEMA 33: Dimensione o modelo de controle de cada ma-

nipulador da Fig. 27.


GETIN Pág. 75

15 – PROGRAMAÇÃO DE ROBÔS

15.1. INTRODUÇÃO

Diferentemente dos Controladores Lógicos Programá-

veis (CLP) e das máquinas de Comando Numérico Computado-

rizado (CNC), os robôs industriais não têm uma linguagem de

programação padronizada e assim cada fabricante desenvolveu

sua própria forma de programar seus equipamentos.

Independentemente da linguagem e da maneira como

os fabricantes implementam cada comando, pode-se descrever

genericamente as principais funções que devem existir para se

realizar uma programação adequada das tarefas a serem realiza-

das pelo robô.

15.2. FUNÇÕES BÁSICAS DE PROGRAMAÇÃO

15.2.1. DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

Serve para auxiliar no desenvolvimento do programa

dando-lhe maior flexibilidade.

As variáveis podem conter coordenadas geométricas,

tempos ou outras informações.

A alteração do valor de uma variável pode afetar todo o

programa, simplificando as alterações e/ou adaptações.


GETIN Pág. 76

15.2.2. DEFINIÇÃO DE RÓTULOS

Esta definição permite que saltos (condicionados ou

não) possam ocorrer para endereços previamente conhecidos

(rótulos).

15.2.3. DEFINIÇÃO DE CONTADORES

Facilitam o processo de manufatura, pois permitem que

o sistema realize a contagem de eventos. Portanto, seu início

deve ser pela definição do tipo de contador (crescente ou de-

crescente) e a ele associar um nome (identificador).

15.2.4. MANIPULAÇÃO DE CONTADORES

As operações relacionadas costumam ser:

Definição do valor inicial;

Incremento ou decremento;

Teste de finalização.

15.2.5. DEFINIÇÃO DE PONTOS DE PARADA

Quando da depuração (processo passa a passo), o em-

prego de pontos de parada (breakpoints) pode facilitar o proces-

so (execução automática até o ponto já depurado). Além disso,

pode haver a necessidade de interromper a execução em certos

instantes.


GETIN Pág. 77

15.2.6. MANIPULAÇÃO DE INTERFACES

Um robô deve ser capaz de se comunicar com o ambi-

ente a sua volta e para isto se faz necessário o uso de comandos

que escrevam valores nas portas de saída (output) e leia valores

nas portas de entrada (input) que podem ser digitais ou analógi-

cas.

15.2.7. TEMPO DE ESPERA

Algumas tarefas em uma aplicação ocorrem em tempos

pré-definidos. Isso permite ao programador usar comandos que

interrompam a execução do programa durante esse período de

tempo conhecido e assim sincronizar o robô com o seu meio ex-

terno.

15.2.8. CONTROLE DE VELOCIDADE

Há aplicações onde à velocidade deve ser a maior pos-

sível e a precisão não precisa ser extrema e há outras em que o

inverso é necessário. Portanto, deve haver comandos que defi-

nam a velocidade máxima de um movimento ou a precisão de-

sejada para atingir a meta.

15.2.9. CONTROLE DO EFETUADOR

Muitos efetuadores possuem apenas dois estados (ati-

vado ou desativado), mas o processo de acionamento pode per-


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mitir ao efetuador atuar numa faixa maior de possibilidades en-

tre os valores limites (uso de sensores ou posições intermediá-

rias).

15.2.10. MOVIMENTO ABSOLUTO

São comandos que movimentam o ponto de controle

em relação a um sistema de coordenadas fixo (origem), podendo

ser lineares ou rotativos.

15.2.11. MOVIMENTO RELATIVO

São comandos que movimentam o ponto de controle

em relação à posição atual e também podem ser lineares ou rota-

tivos.

15.2.12. GERAÇÃO DE TRAJETÓRIA

Define a forma de movimentação das juntas para sair

da posição atual e chegar ao destino.

15.2.13. COMANDOS ESPECIAIS

São comandos específicos para realização de tarefas

próprias de cada configuração ou aplicação.

introdução à robótica

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