Intervalos de Confiana

Intervalos de ConfianaProblemas Resolvidos

1. Uma mquina de ensacar caf deveria produzir embalagens contendo exatamente 500 g de caf. Em funo das imperfeies da mquina, as quantidades produzidas variam aleatoriamente de embalagem para embalagem segundo uma distribuio normal com desvio padro 12 g. Uma amostra aleatria de 25 embalagens foi retirada da produo e a massa lquida (j descontando a massa da embalagem) foi medida, sendo encontrado o valor mdio de 502,4 g. O que pode ser dito sobre o valor lquido mdio produzido pela mquina? Use o nvel de confiana de 95%.

Soluo:

Determine o intervalo de confiana da mdia das massas lquidas das embalagens produzidas pela mquina a partir da mdia de uma amostra de tamanho 25. A distribuio normal e seu desvio padro conhecido e igual a 12 g.

O intervalo de confiana para a mdia com ( = 0,05 calculado por:

Substituindo os valores:

2. A mquina da questo anterior tem uma regulagem que permite estabelecer o valor mdio da massa lquida de caf que estar presente nas embalagens produzidas. O valor regulado poder ser qualquer valor entre 450,0 g e 550,0 g. Para garantir que 99% das embalagens produzidas possuam massa lquida de caf no inferior a 500,0 g a mquina deve ser regulada para um valor R maior que 500,0. Que valor este?Soluo:

A regulagem R determinar o valor mdio das embalagens produzidas. Dever ser estabelecido de forma que 99% da rea sobre a distribuio normal esteja direita de 500,0 g (veja figura). A distribuio representada corresponde s embalagens produzidas, isto , aos indivduos. O desvio padro correspondente o dos indivduos: ( = 12,0 g.

A distribuio normal padronizada correspondente determinada por:

Que para o ponto 500,0 g corresponde a:

Cujo valor de R calculado por:

A mquina deve ser regulada para 527,9 g.

3. Considerando ainda a mesma mquina das questes anteriores, para que valor da regulagem R a mquina deve ser ajustada para garantir que em 99% dos casos caixas com 100 embalagens produzidas possuam massa lquida de caf no inferior a 50,00 kg?Soluo:

Garantir que 99% dos conjuntos de 100 embalagens tenham massa lquida no inferior a 50,00 kg o mesmo que garantir que a mdia da massa lquida de cada 100 embalagens produzidas seja no menor que 500 g. A distribuio da mdia de 100 embalagens ser ainda normal, mas seu desvio padro ser calculado por:

A distribuio normal padronizada correspondente determinada por:

Que para o ponto 500,0 g corresponde a:

Cujo valor de R calculado por:

A mquina deve ser regulada para 502,8 g.

4. Considerando ainda a mesma mquina das questes anteriores, e que ela foi regulada para que a mdia lquida das embalagens seja R = 502,8 g, determine que percentual das embalagens individualmente produzidas tero massa lquida inferior a 500,0 g?

Soluo:

O valor regulado R = 502,8 g posiciona a mdia da distribuio dos indivduos, que normal e tem desvio padro 12,0 g. O percentual das embalagens cuja massa lquida inferior a 500,0 g corresponde rea hachuriada.

Esta rea pode ser calculada a partir da distribuio normal padronizada, dada por:

Que para o problema corresponde a:

Cuja rea a esquerda obtida da distribuio normal acumulada por:

Portanto, para esta regulagem espera-se que 40,8% das embalagens produzidas possuam massas lquidas no superiores a 500,0g.5. Uma srie de cinco corpos de prova de uma mesmo material foi submetida a um ensaio de trao. As cargas de ruptura so apresentadas abaixo. Com o nvel de confiana de 95%, o que pode ser afirmado acerca da carga de ruptura deste material? Nota: considere a distribuio normal.

8520 N

8640 N

8390 N

8470 N

8400 N

Soluo:

A carga de ruptura do material corresponde ao valor mdio da carga de ruptura, cujo intervalo de confiana pode ser estimado a partir dos cinco valores disponveis. Como o desvio padro no conhecido, e a distribuio normal, o intervalo de confiana da mdia deve ser estimado usando o coeficiente t de Student com base nos dados calculado a partir da amostra.

O intervalo de confiana calculado por:

Assim, a carga de ruptura do material deve estar dentro do intervalo (8484 127)N.

6. Para verificar se automveis tipo flex consomem mais combustvel que automveis mono-combustvel, foi feito o seguinte teste: dois automveis novos do mesmo modelo e potncia foram selecionados, sendo um flex e outro mono. Ambos percorreram os mesmos trajetos, usando o mesmo tipo de combustvel. Os resultados esto na tabela abaixo. possvel afirmar, com o nvel de confiana de 95% que este automvel mono percorre pelo menos 1,5 km/L a mais que este automvel flex?

TrajetoDistncia (km)Volume Flex (L)Volume Mono (L)Consumo

flex (km/L)Consumo mono (km/L)Diferena (km/L)

140028,925,313,8415,811,97

232023,620,913,5615,311,75

351036,632,813,9315,551,62

425018,316,413,6615,241,58

548035,130,113,6815,952,27

638027,924,513,6215,511,89

Soluo:

O consumo em km/L no constante em cada trajeto devido ao de variveis aleatrias. Assumindo que as distribuies destas variveis normal, a distribuio da diferena entre elas tambm ser. Como o desvio padro no conhecido, dever ser calculado com base nos dados experimentais. A distribuio t de Student dever ser usada para estimar o intervalo de confiana.

Analisando a ltima coluna, possvel calcular a mdia e o desvio padro da amostra da diferena de consumo:

Assim, o intervalo de confiana para a diferena mdia de consumo, estimado com 95% de nvel de confiana, :

possvel afirmar com 95% de nvel de confiana que a diferena mdia entre os consumos est dentro do intervalo acima. Assim, possvel afirmar com 95% de nvel de confiana que o automvel mono percorre pelo menos 1,5 quilmetros a mais por litro de combustvel que o automvel flex.

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