interseção de retas_e_de_planos

Jorge FreitasESAS 2006

Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas

( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ

( )1 2 3, ,v v v vr

( )1 2 3, ,u u u urr

s

1. Rectas Paralelas

Se as rectas são paralelasos vectores directores são

colinearesv ku=r r

ou seja:

31 2

1 2 3

vv v

u u u= =


Exemplo 1

( ) ( ) ( ), , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

( ) ( ) ( ), , 1,0,0 6, 4,2 ,s x y z k k→ = + − − ∈ℜ

• São paralelas porque os vectores

( ) ( )3,2, 1 e 6, 4,2v u− − −r r

são colineares

3 2 12

6 4 2u v

−= − ⇔ = =− −

r r


Exemplo 2

( ) ( ) ( ), , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 2 3

6 4 2

x y zs

− + −→ = =− −

• São paralelas porque os vectores

( ) ( )3,2, 1 e 6, 4,2v u− − −r r

são colineares3 2 1

26 4 2

u v−= − ⇔ = =

− −r r


Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas

( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ

( )1 2 3, ,v v v vr

( )1 2 3, ,u u u ur

rs

2. Rectas Perpendiculares

Se as rectas são perpendicularesos vectores directores são

perpendiculares

0v u× =r r

ou seja:

1 1 2 2 3 3 0v u v u v u+ + =


Exemplo 1

( ) ( ) ( ), , 1,0,2 3,2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

( ) ( ) ( ), , 1,0,0 1,0,3 ,s x y z k k→ = + ∈ℜ

• São perpendiculares porque os vectores

( ) ( )3,2, 1 e 1,0,3v u−r r

são perpendiculares

( )0 3 1 2 0 1 3 0u v× = ⇔ × + × + − × =r r


Exemplo 2

( ) ( ) ( ), , 1,0,2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 3

2 63

x zs

y

− − =→ = −

• São perpendiculares porque os vectores

( ) ( )3,2, 1 e 2,0, 6v u− −r r


( )0 3 2 2 0 1 6 0u v× = ⇔ × + × + − × =r r


α

β

0=+++→ dczbyaxα0=′+′+′+′→ dzcybxaβ

),,( cbavr

),,( cbau ′′′r

Paralelismo e Perpendicularidade de Planos1. Planos Paralelos

Se os planos são paralelosos vectores perpendiculares

aos planos são colineares

v ku=r r

ou seja:

a b c

a b c= =

′ ′ ′


3 2 7 0x y zα → − + − =2 6 4 5 0x y zβ → − + − + =

Exemplo

• São paralelos porque os vectores

( ) ( )1, 3, 2 e 2,6, 4v u− − −r r

são colineares

1 3 22

2 6 4u v

−= − ⇔ = =− −

r r


αβ

0=+++→ dczbyaxα0=′+′+′+′→ dzcybxaβ

),,( cbavr

),,( cbau ′′′r

Paralelismo e Perpendicularidade de Planos2. Planos Perpendiculares

Se os planos são perpendicularesos vectores perpendiculares aos

planos são perpendiculares entre si

. 0v u =r r

ou seja:

0aa bb cc′ ′ ′+ + =


3 2 7 0x y zα → − + − =2 2 5 0x y zβ → − − − + =

Exemplo

• Os planos são perpendiculares porque os vectores

( ) ( )1, 3,2 e 2, 2, 1v u− − − −r r


( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 3 2 2 1 0u v× = ⇔ × − + − × − + × − = ⇔r r

0 4 6 2 0u v× = ⇔ − + − =r r


α

0=+++→ dczbyaxα1 1 1

1 2 3

x x y y z zr

v v v

− − −→ = =

( , , )u a b cr

1 2 3( , , )v v v vr

Perpendicularidade de Rectas e Planos

Se a recta é perpendicular aoplano, é paralela ao vector

perpendicular ao plano

// ou v u v ku=r r r r

ou seja:

r

31 2 vv v

a b c= =


3 2 7 0x y zα → − + − =Exemplo

• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores

( ) ( )1, 3, 2 e 2, 6, 4v u− −r r

são colineares (ou paralelos)

( ) ( ) ( ), , 1,0,2 2, 6,4 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

1 3 22

2 6 4u v

−= ⇔ = =−

r r


α

0=+++→ dczbyaxα1 1 1

1 2 3

x x y y z zr

v v v

− − −→ = =

( , , )u a b cr

1 2 3( , , )v v v vr

Escola Secundária Alberto SampaioJorge Manuel Carneiro de Freitas

Março 2006

Paralelismo de Rectas e Planos

Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao vector perpendicular ao plano

ou 0v u v u⊥ × =r r r r

ou seja:

0aa bb cc′ ′ ′+ + =


3 2 7 0x y zα → − + − =Exemplo

• A recta é paralela ao plano porque os vectores

( ) ( )1, 3,2 e 2, 2,2v u−r r


( ) ( ) ( ), , 1,0,2 2,2,2 ,r x y z λ λ→ = − + ∈ℜ

( )0 1 2 3 2 2 2 0u v× = ⇔ × + − × + × = ⇔r r

0 2 6 4 0u v× = ⇔ − + =r r


Intersecção de planos


αβ

γ

Posição relativa de 3 planos

0ax by cz dα + + + =→0a x b y c z dβ ′ ′ ′ ′+ + + =→0a x b y c z dγ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + =→

),,( cbavr

( , , )u a b c′ ′ ′r

( , , )w a b c′′ ′′ ′′r


=′′+′′+′′+′′=′+′+′+′

=+++

0

0

0

dzcybxa

dzcybxa

dczbyax

A intersecção de três planos obtém-seA intersecção de três planos obtém-seresolvendo o sistema:resolvendo o sistema:


αβ

γA

Sistema possível Sistema possível e determinado.e determinado.

A solução éA solução é(x(x00,y,y00,z,z00))

(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto A)A)

),,( cbavr

),,( cbau ′′′r

),,( cbaw ′′′′′′r

weuvrrr

,não são colineares


β

γA

Os 3 planos intersectam-seOs 3 planos intersectam-senum ponto. O sistemanum ponto. O sistemaé possível e determinado.é possível e determinado.

A solução éA solução é(x(x00,y,y00,z,z00))

(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto AA)) α

),,( cbav ),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

weuv



2 6 0

3 4

3 2 1

x y z

x y z

x y z

+ − + = + + = − − =

Exemplo

• Os três planos intersectam-se num ponto.

Resolver o sistema:

• O sistema tem solução

1

2

3

x

y

z

= = − =

• na calculadora• método da substituição• método da redução


α

γ

β

r

Os três planosOs três planosintersectam-se segundointersectam-se segundouma recta.uma recta.O sistema O sistema é possível eé possível eindeterminado.indeterminado.

As soluções sãoAs soluções sãotodos os pontos da rectatodos os pontos da recta rr

),,( cbav ),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

weuv



2 3 6

2 3

2 3

x y z

x y z

x y z

+ − = − − − = + − = −

Exemplo

• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado

0 3 03

3 1 1 1

z x x y zx y z

z y

= − + −⇔ = + = ⇔ = = = +


α

β

γ

r

Dois dos planos sãoDois dos planos sãocoincidentes.coincidentes.O sistemaO sistemaé possível eé possível eindeterminado.indeterminado.

As soluçõesAs soluçõessão as coordenadassão as coordenadasde cada um dos de cada um dos pontos da rectapontos da recta rr

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wu

//


2 3 6

2 4 6 12

2 3

x y z

x y z

x y z

+ − = − + − = − + − = −

Exemplo

• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado

0 3 03

3 1 1 1

z x x y zx y z

z y

= − + −⇔ = + = ⇔ = = = +

• Dois dos planos são coincidentes


α

βγ

Os 3 planos sãoOs 3 planos sãocoincidentescoincidentes

O sistema éO sistema éindeterminadoindeterminado

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wuv

////

Qualquer ponto destesQualquer ponto destesplanos é soluçãoplanos é soluçãodo sistema.do sistema.


2 3 6

2 4 6 12

2 3 6

x y z

x y z

x y z

+ − = − + − = −− − + =

Exemplo

• Qualquer ponto de um dos planos pertence também aos outros planos • O sistema é indeterminado

• Os três planos são coincidentes


α

β

γ

Os 3 planos sãoOs 3 planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos

O sistema éO sistema éimpossívelimpossível

Os planosOs planosnão se intersectamnão se intersectam

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wuv

////


2 3 6

2 3 0

2 3 5

x y z

x y z

x y z

+ − = − + − = + − =

Exemplo

• O sistema é impossível

• Os três planos estritamente paralelos

• Os três planos nunca se interceptam


α

β

γDois dos planos sãoDois dos planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos


Os 3 planosOs 3 planosnão senão seintersectamintersectam

),,( cbav

),,( cbau ′′′),,( cbaw ′′′′′′

uv

//


2 3 6

2 3 0

2 3 2

x y z

x y z

x y z

+ − = −− − + = + − =

Exemplo

• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas paralelas entre si


• Dois dos planos são estritamente paralelos

8 8

2 2

x y y x

x y y x

− + = − = − ⇔ − = = −


α

βγ

Os 3 planosOs 3 planosintersectam-seintersectam-se2 a 2 segundo 2 a 2 segundo rectas rectas estritamenteestritamenteparalelasparalelas


),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

weuv



6

2 1

3 2

x y z

x y

x z

+ + = − = − + =

Exemplo

• Os planos intersetam-se dois a dois segundo rectas paralelas


• Os três planos não são paralelos

3 2 11

3 2 16

3 2 7

y z

y z

y z

+ = − + = + =


F i mF i m

interseção de retas_e_de_planos

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