interaÇÃo dinÂmica veÍculo-estrutura em pequenas
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INTERAÇÃO DINÂMICA VEÍCULO-ESTRUTURA
EM PEQUENAS PONTES RODOVIÁRIAS
Eduardo Souza de Melo
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
_____________________________________________
Profa. Michèle Schubert Pfeil, D.Sc.
_____________________________________________
Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.
_____________________________________________
Prof. José Luís Drummond Alves, D.Sc.
____________________________________________
Profa. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.
_____________________________________________
Prof. Benjamin Ernani Diaz, Dr.Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2007
ii
MELO, EDUARDO SOUZA DE
Interação dinâmica veículo-estrutura
em pequenas pontes rodoviárias. [Rio de
Janeiro] 2007.
XIX, 129p. 29,7cm (COPPE/UFRJ,
M.Sc., Engenharia Civil, 2007).
Dissertação – Universidade Federal do
Rio de Janeiro, COPPE
1. Pontes;
2. Cargas móveis;
3. Fator de amplificação dinâmica;
4. Tráfego Rodoviário.
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
iii
Aos meus pais: Nilson Feijó de Melo e
Eleniza Souza de Melo.
iv
Agradeço
Primeiramente a Deus pela saúde e pela oportunidade de estar realizando este
trabalho.
À minha noiva Daniella, pelo carinho, amor, paciência, dedicação e
cumplicidade durante este momento da minha vida
À minha irmã Eliane, meu cunhado Carlos e à Carolina pelo incentivo.
À Antonietta e Walter pelo carinho e paciência.
Aos meus orientadores, Michèle Schubert Pfeil e Ronaldo Carvalho Battista,
pela dedicação, amizade, empenho e orientação.
Aos colegas da UFF, Allan, Aline e Maurício que ingressaram junto comigo
neste desafio.
À professora Eliane por ter nos acolhido com tanto carinho na UFRJ.
Aos colegas da COPPE/UFRJ, Adcleides, Emerson, Walber, Tiago, Ana Maria,
Norma e Luis pelo companheirismo.
Aos professores pelo empenho e paciência.
A todos que de alguma forma contribuíram, muito obrigado.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
INTERAÇÃO DINÂMICA VEÍCULO-ESTRUTURA
EM PEQUENAS PONTES RODOVIÁRIAS
Eduardo Souza de Melo
Março/2007
Orientadores: Michèle Schubert Pfeil
Ronaldo Carvalho Battista
Programa: Engenharia Civil
Os efeitos dinâmicos da passagem de veículos pesados sobre as pontes são,
convencionalmente e de acordo com as normas brasileiras, considerados nos projetos
através da aplicação, aos esforços estáticos, do coeficiente de impacto calculado em
função apenas do comprimento dos vãos das pontes. Com intuito de determinar de
forma mais precisa os valores deste coeficiente em pontes no Brasil, foi desenvolvido e
implementado um modelo analítico-numérico simplificado para representar a interação
veículo-pavimento-estrutura. Nesta modelagem, a ponte é representada por modelo
unifilar (elementos de barra ao longo do eixo da obra), com propriedades de rigidez à
flexão e à torção e o veículo de 3 eixos é simulado por um sistema plano de 5 graus de
liberdade. O perfil longitudinal do pavimento foi obtido por geração aleatória a partir de
uma função de densidade espectral de irregularidades de pavimentos. O modelo foi
aplicado a uma ponte com vãos contínuos de 12 m sob a passagem de veículos de 3
eixos, a qual foi monitorada para reabilitação estrutural. A comparação, bastante
favorável, entre os resultados numéricos e os correspondentes resultados experimentais
demonstrou a validade do modelo. Apresenta-se ainda um estudo paramétrico do fator
de amplificação dinâmica da resposta em deslocamentos para pontes típicas de vãos
curtos no Brasil.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
VEHICLE-STRUCTURE DYNAMIC INTERACTION
FOR SHORT SPAN HIGHWAY BRIDGES
Eduardo Souza de Melo
March/2007
Advisors: Michèle Schubert Pfeil
Ronaldo Carvalho Battista
Department: Civil Engineering
The dynamic effects on bridges caused by the traffic of heavy weight vehicles
are due to the interaction between the vehicle mechanics and the structural system
having the deck pavement roughness as a mean of interactive transfer force. These
dynamic effects are usually, according to the Brazilian regulations, taken into
consideration in bridges’ structural design by applying to the static forces an impact
coefficient which is estimated as a sole function of the bridge span. In order to estimate
more accurately this coefficient an analytical-numerical model to simulate the vehicle-
structure interaction was developed and implemented in a computer program in which
the bridge is represented by a unifilar finite element model and a three axles vehicle is
represented by a planar mechanical model with five degrees of freedom. The
longitudinal profile of the pavement was obtained by random generation based on a
spectral density function of the pavement roughness. This analytical-numerical
modeling was applied to a continuous twelve meters spans bridge and the numerical
results were successfully compared to their experimental counterparts, demonstrating
the modeling validity. Moreover, the results of a parametric study of the dynamic
amplification factor for typical Brazilian short span bridges are presented and shortly
discussed.
vii
Índice
I Introdução
I.1 Motivação................................................................................................................. 1
I.2 Objetivos e Metodologia .......................................................................................... 3
I.3 Revisão Bibliográfica............................................................................................... 4
I.4 Apresentação do Trabalho...................................................................................... 10
II Características e Propriedades dos veículos, pavimentos e estruturas de pontes
típicas no Brasil
II.1 Introdução ............................................................................................................. 11
II.2 Veículos ................................................................................................................ 11
II.2.1 Classes de veículos ...................................................................................... 11
II.2.2 Base reduzida de dados de veículos............................................................. 13
II.2.3 Propriedades e tipos de suspensões dos veículos pesados ........................... 16
II.2.4 Propriedades dos Pneus ............................................................................... 25
II.3 Pavimento ............................................................................................................. 28
II.3.1 Conceito de Irregularidade Longitudinal dos Pavimentos........................... 28
II.3.2 Escalas adotadas na medição das irregularidades longitudinais .................. 31
II.3.3 Condições dos pavimentos nas rodovias federais brasileiras segundo o
DNER .................................................................................................................... 32
II.4 Descrição das estruturas de pontes consideradas.................................................. 38
III Modelagem analítico-numérica da interação veículo – pavimento – estrutura
III.1 Modelagem dos veículos ..................................................................................... 41
III.1.1 Veículo com um grau de liberdade (GL).................................................... 41
III.1.2 Veículo com dois GL’s............................................................................... 42
III.1.3 Veículo com 4 GL’s ................................................................................... 44
III.1.4 Veículo com 5 GL’s ................................................................................... 47
III.2 Equações de Movimento da Estrutura ................................................................. 51
III.3 Modelagem da interação dinâmica veículo-pavimento-estrutura........................ 53
III.3.1 Modelo com 1 GL para veículo com suspensão única ............................... 53
viii
III.3.2 Modelo com 2 GL’s para veículo com suspensão única ............................ 57
III.3.3 Modelo com 4 GL’s para veículo com 2 eixos........................................... 59
III.3.4 Modelo com 5 GL’s para veículo com 3 eixos........................................... 63
III.4 Implementação computacional ............................................................................ 66
IV Comparação teórico-experimental
IV.1 Introdução............................................................................................................ 71
IV.2 Descrição sumária da estrutura............................................................................ 72
IV.3 Observações realizadas durante a vistoria da obra.............................................. 73
IV.4 Ensaios experimentais estáticos e dinâmicos ...................................................... 74
IV.4.1 Instrumentação e processamento de sinais................................................. 74
IV.4.2 Cargas móveis utilizadas nos ensaios......................................................... 75
IV.4.3 Resultados dos ensaios estáticos ................................................................ 76
IV.4.4 Resultados dos ensaios dinâmicos.............................................................. 78
IV.5 Modelo Numérico da Estrutura e Calibração em termos de freqüências naturais
.................................................................................................................................... 82
IV.6 Comparação teórico – experimental das respostas estáticas ............................... 88
IV.7 Comparação teórico – experimental das respostas no tempo.............................. 92
V Efeitos da passagem de veículos sobre pontes típicas do Brasil
V.1 Introdução............................................................................................................. 97
V.2 Parâmetros do problema ....................................................................................... 98
V.3 Respostas típicas das pontes ............................................................................... 100
V.4 Fator de amplificação dinâmica e o coeficiente de impacto da NBR 7188........ 103
V.5 Efeitos da relação entre as freqüências naturais do veículo e da estrutura......... 105
V.6 Efeitos da razão das massas e da velocidade reduzida ....................................... 106
V.7 Efeitos das condições do pavimento sobre a resposta das estruturas ................. 107
V.8 FAD para veículos pesados ................................................................................ 110
VI Conclusões e sugestões para trabalhos futuros
VI.1 Resumo e conclusões ........................................................................................ 114
VI.2 Sugestões ........................................................................................................... 116
ix
Anexo A Sistemas de medição de irregularidade longitudinal
A.1 Introdução......................................................................................................... 124
x
Índice de Figuras
Figura I.1 – Modelo utilizado por HUANG e VELETSOS (1970) e no Brasil por
BRUCH (1973), CARNEIRO (1986) e FERREIRA (1999)...................................... 6
Figura I.2 – Modelo utilizado em HUANG et al. (1992), HUANG et al (1995) e
CHATTERJEE et al (1994). (a) modelo em vista longitudinal, (b) modelo em vista
transversal................................................................................................................... 7
Figura I.3 – Modelo de veiculo utilizado em GREEN et al (1995).................................. 8
Figura I.4 – Modelo utilizado em KWASNIEWSKI et al. (2006). .................................. 9
Figura I.5 – Estrutura discretizada em elementos finitos (KWASNIEWSKI et al., 2006).
.................................................................................................................................... 9
Figura II.1 – Caminhão rígido convencional (www.pastre.com.br)............................... 11
Figura II.2 – Veículo semi-reboque (www.pastre.com.br)............................................. 11
Figura II.3 – Caminhão rígido rebocando carretas (veículos tipo reboque)
(www.mercedes-benz.com.br, WIDMER, 2002). .................................................... 12
Figura II.4 – Cavalo mecânico (www.scania.com.br), com a quinta roda. .................... 13
Figura II.5 – Distâncias entre eixos e percentuais do peso total em cada eixo dos
veículos mais freqüentes (ROSSIGALI, 2006). ....................................................... 13
Figura II.6 – Distribuição de freqüências relativas em P51, apenas com as classes de
veículos consideradas neste trabalho (ROSSIGALI,2006). ..................................... 14
Figura II.7 – Histogramas refinados de peso das seis classes de veículos mais freqüentes
(ROSSIGALI,2006).................................................................................................. 16
Figura II.8 - Representação de um sistema de suspensão simples. ................................ 17
Figura II.9 – Diferentes tipos de suspensão. (a) - Suspensão formada por molas em feixe
de lâminas (www.omecanico.com.br), (b) Suspensão formada por mecanismos
pneumáticos (www.serv-molas.com.br)................................................................... 18
Figura II.10 – Suspensões em tandem mais comuns (FANCHER et al., 1986)............. 20
Figura II.11 – Relação força-deflexão característica de uma mola em feixe de lâminas
(adaptada de GILLESPIE et al., 1992). .................................................................... 21
xi
Figura II.12 – Diferentes tipos de eixos considerados na Tabela II.1. ........................... 23
Figura II.13 – Diferentes tipos de molas consideradas na Tabela II.1 (www.elo-sa.pt). 24
Figura II.14 – Eixos e dimensões de referência para o momento de inércia de massa
(adaptada de FANCHER et al., 1986). ..................................................................... 24
Figura II.15 – Pneus em arranjos simples e duplos. ....................................................... 26
Figura II.16 – Deflexão vertical em função do carregamento em pneus (adaptada de
FANCHER et al., 1986). .......................................................................................... 26
Figura II.17 – Pneus diagonal e radial (www.michelin.com.br). ................................... 27
Figura II.18– Ondulações transversais e longitudinais (adaptada de YODER et al.,
1975)......................................................................................................................... 30
Figura II.19– Conservação da malha federal pavimentada por região geográfica
(adaptada de SGP-DNER, 2001). ............................................................................. 34
Figura II.20 – Perfis longitudinais gerados para representar as condições dos pavimentos
no Brasil.................................................................................................................... 37
Figura II.21 Tabuleiros de modelo antigo do DNER (a) e o atual (b) –unidades em cm -
(PFEIL, 1985)........................................................................................................... 39
Figura II.22 Seções transversais das pontes e esquemas longitudinais. ......................... 40
Figura III.1– Veículo com 1GL (uv) sobre superfície rígida lisa................................... 41
Figura III.2 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR) de mv. ..... 42
Figura III.3 – Veículo com 2 GL’s (uv e up) sobre superfície rígida plana. .................. 43
Figura III.4 – DCL’s e DFR’s das massas...................................................................... 43
Figura III.5 – Veículo com 4GL ),,,( 21 ppvv uuu θ sobre superfície rígida lisa. ............ 44
Figura III.6 – Veículo de dois eixos (2C)....................................................................... 44
Figura III.7 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR). (a) massa
suspensa, (b) conjunto eixo-rodas-pneus 1 e (c) conjunto eixo-rodas-pneus 2. ....... 46
Figura III.8 – Veículo de três eixos (3C)........................................................................ 47
Figura III.9 – Veículo com 5 GL’s sobre superfície rígida regular................................ 48
xii
Figura III.10 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR). (a) massa
suspensa, (b) conjunto eixo-rodas-pneus 1, (c) conjunto eixo-rodas-pneus 2 e (d)
conjunto eixo-rodas-pneus 3..................................................................................... 49
Figura III.11 – Modelo 3D e modelo unifilar utilizados na análise (representação
esquemática). ............................................................................................................ 52
Figura III.12 – Veículo com 1 GL sobre superfície flexível irregular. .......................... 54
Figura III.13 – DCL da estrutura. ................................................................................... 54
Figura III.14 – Diagrama de corpo livre (DCL) da estrutura. ........................................ 60
Figura III.15 – Esquematização de uma estrutura típica avaliada.................................. 67
Figura III.16 – Esquematização de uma estrutura típica avaliada.................................. 68
Figura III.17 – Atualização dos graus de liberdade. (a) posição do eixo antes do ponto
M, (b) posição do eixo após o ponto M.................................................................... 69
Figura III.18 – Processo de suavização do perfil de irregularidade longitudinal. .......... 70
Figura III.19 – Distância de aproximação considerada. ................................................. 70
Figura IV.1 – Planta de situação da ponte com destaque para o vão ensaiado(5º vão).. 72
Figura IV.2 – Detalhes do vão típico ensaiado. (a) Vão típico em elevação, (b) Seção
transversal típica. ...................................................................................................... 73
Figura IV.3 – Esquema do plano de instrumentação do vão ensaiado. .......................... 75
Figura IV.4 – Descrição das cargas móveis empregadas na análise. (a) Caminhão com
pneus maciços, (b) Caminhão com pneus comuns. .................................................. 75
Figura IV.5 – Posicionamento das cargas para realização dos ensaios estáticos (unidades
em cm). ..................................................................................................................... 77
Figura IV.6 – Respostas no tempo para a passagem dos caminhões de pneus maciços e
comuns no centro da pista. ....................................................................................... 79
Figura IV.7 – Respostas no tempo para a passagem do caminhão de pneus maciços na
faixa 1. ...................................................................................................................... 80
Figura IV.8 – Espectros de aceleração vertical para passagens do caminhão com pneus
maciços. .................................................................................................................... 81
xiii
Figura IV.9 – Modelo empregado na análise de vibrações livres (elaborado no programa
SAP 2000®). ............................................................................................................ 83
Figura IV.10 – Representação da excentricidade dos elementos de pórtico espacial em
relação ao plano médio da laje (unidades em cm).................................................... 84
Figura IV.11 – Modos naturais de flexão vertical da estrutura obtidos no SAP 2000. .. 86
Figura IV.12 – Modos naturais de torção da estrutura obtidos no SAP 2000. ............... 87
Figura IV.13 – Modo de flexão transversal da estrutura obtido no SAP 2000 (f = 23,9
Hz.). .......................................................................................................................... 87
Figura IV.14 – Corte na direção transversal para o primeiro modo de flexão de torção.88
Figura IV.15 – Flechas estáticas para o Caminhão c/ Pneus Maciços com os eixos
traseiros no ½ vão..................................................................................................... 90
Figura IV.16 – Flechas estáticas para o Caminhão c/ Pneus Comuns com os eixos
traseiros no ½ vão..................................................................................................... 91
Figura IV.17 – Ilustração dos parâmetros considerados no modelo do veículo............. 93
Figura IV.18 – Veículo de pneus maciços a 15 km/h no centro da pista (comparação
para os dois flexímetros)........................................................................................... 94
Figura IV.19 – Veículo de pneus maciços a 16 km/h na faixa 1 (comparação com o
flexímetro 1). ............................................................................................................ 95
Figura IV.20 – Obstáculo colocado no meio do vão (ripa de madeira).......................... 95
Figura IV.21 – Veículo de pneus maciços a 26 km/h no centro da pista passando sobre
obstáculo (comparação com o flexímetro 1) ............................................................ 96
Figura V.1 – Recalque da laje de acesso (ressalto) ........................................................ 98
Figura V.2 – Ilustração da malha da ponte de 10m. ....................................................... 98
Figura V.3 – Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão em função da
posição do eixo dianteiro do veículo 3C com peso de 250 kN............................... 101
Figura V.4 – Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão em função da
posição do eixo dianteiro do veículo 3C com 250 kN a 100 km/h com e sem
introdução de ressalto na cabeceira da obra ........................................................... 102
xiv
Figura V.5 – Espectro de aceleração para a estrutura de 30m de vão sujeita ao veículo
3C de 250 kN a 100 km/h....................................................................................... 103
Figura V.6 – FAD em função do comprimento do vão para as velocidades de 20, 60 e
100 km / h ............................................................................................................... 105
Figura V.7 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura
para os vãos de 10m, 20m e 30m. .......................................................................... 106
Figura V.8 – FAD em função da velocidade reduzida para seis veículos da classe 3C e
para as estruturas de 10m, 20 e 30m....................................................................... 107
Figura V.9 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura
para o vão de 10m, e para os três tipos de pavimento. ........................................... 108
Figura V.10 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura
para o vão de 30m, e para os três tipos de pavimento. ........................................... 109
Figura V.11 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o de projeto ( )36/ δϕδ din para
diversos veículos 3C e o veículo normativo (classes 36) em função da velocidade
reduzida para a estrutura de 10m e com tabuleiro antigo do DNER. ..................... 110
Figura V.12 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o deslocamento de projeto pelo
veículo-tipo classe 45 (δdin / φδ45) em função da velocidade reduzida................ 111
Figura V.13 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o deslocamento de projeto pelo
veículo-tipo classe 36 (δdin / φδ36) em função da velocidade reduzida................ 112
xv
Índice de Tabelas
Tabela II.1 – Propriedades das suspensões..................................................................... 22
Tabela II.2 – Valores médios para o momento de inércia de massa (adaptada de
FANCHER et al, 1986). ........................................................................................... 25
Tabela II.3 – Propriedades típicas dos pneus (adaptada de GILLESPIE et al., 1992). .. 28
Tabela II.4 – Faixas de classificação de irregularidade longitudinal, com base no IRI
(adaptada de FARIAS et al., 2002). ......................................................................... 32
Tabela II.5 – Conservação da malha federal pavimentada por Estado (SGP-DNER,
2001)......................................................................................................................... 33
Tabela II.6 – Classificação da superfície de rolamento de acordo com os padrões da ISO
(HONDA et al, 1982). .............................................................................................. 36
Tabela II.7 – Correlação observada entre as classificações das condições do pavimento
adotadas no Brasil (IRI) e pela ISO conforme HONDA et al, 1982. ....................... 36
Tabela II.8 Dimensões dos elementos estruturais (m).................................................... 40
Tabela IV.1 – Distribuição de cargas por eixo nos caminhões utilizados...................... 76
Tabela IV.2 – Resultados dos ensaios estáticos realizados no vão típico. ..................... 77
Tabela IV.3 – Freqüências e os modos de vibração identificados nos ensaios. ............. 78
Tabela IV.4 – Freqüências naturais da estrutura. ........................................................... 84
Tabela IV.5 - Flechas estáticas no meio do vão. Caminhão c/ Pneus Maciços.............. 89
Tabela IV.6 – Parâmetros de massa, rigidez, amortecimento e geométricos para os
caminhões de pneus maciços e comuns.................................................................... 93
Tabela V.1 – Faixas de variação dos parâmetros adimensionais. ................................ 100
Tabela V.2 – Deslocamentos no meio do vão para os veículos normativos. ............... 110
xvi
Lista de símbolos
Símbolos romanos
a parâmetro de locação
A1 amplitude de onda
b parâmetro de escala
fb largura total da mesa da longarina
tb largura da transversina
wb largura da alma da longarina
c parâmetro de forma
Ce matriz de amortecimento global da estrutura
ejc constante de amortecimento modal para o j-ésimo modo de vibração
cp coeficiente de amortecimento do conjunto eixo-rodas-pneus
cv coeficiente de amortecimento da suspensão do veículo
d parâmetro de forma
e base do sistema natural de logaritmos
F vetor de forças nodais
af força de amortecimento
ef força elástica
intF força de interação veículo-pavimento-estrutura
jF força generalizada associada ao modo j
g aceleração da gravidade
h altura total da longarina
th altura da transversina
ji, contadores
Icc momento de inércia de massa em trono do eixo cc
ejI massa rotacional modal para o modo j
vI momento de inércia da massa suspensa do veículo
Ke matriz de rigidez global da estrutura
xvii
ejk rigidez generalizada para o j-ésimo modo de vibração da estrutura
kp rigidez do conjunto eixo-rodas-pneus
kv rigidez da suspensão do veículo
L comprimento de vão
L i distância do eixo i ao centro de massa do veículo
M massa do sólido
Me matriz de massa global da estrutura
ejm massa modal da estrutura para o j-ésimo modo de vibração
mp massa do conjunto eixo-roda-pneus
mv massa suspensa do veículo
n número de modos de vibração considerados
N número total de termos da série
Pp peso do conjunto eixo-rodas-pneus do veículo
Pv peso do veículo
rS função de densidade espectral
ft espessura da mesa da longarina ou espessura da laje
jT momento torçor generalizado
eU&& vetor de aceleração dos pontos nodais da estrutura
eU& vetor de velocidade dos pontos nodais da estrutura
eU vetor de deslocamento dos pontos nodais da estrutura
eju amplitude do modo j
iru rugosidade aleatória do pavimento
kU deslocamento um ponto nodal qualquer k da estrutura
pu&& aceleração vertical da massa inferior do veículo
pu& velocidade vertical da massa inferior do veículo
pu deslocamento vertical da massa inferior do veículo
ru coordenada vertical dos pontos na superfície irregular do pavimento
vu&& aceleração vertical do corpo do veículo
vu& velocidade vertical do corpo do veículo
xviii
vu deslocamento vertical do corpo do veículo
v velocidade do veículo
x posição do eixo do veículo
Símbolos gregos
α coeficiente espectral de rugosidade
kα amplitude de rugosidade
jα modos de torção
β expoente de rugosidade do espectro
iδ deslocamento medido no ponto i
tΔ intervalo de tempo
vθ&& aceleração angular da massa suspensa do veículo
λ comprimento de onda
ejξ taxa de amortecimento da estrutura para o j-ésimo modo
ϕ coeficiente de impacto da NBR 7187 (2003)
ejω frequência angular da estrutura para o j-ésimo modo
kω freqüência de rugosidade
kφ ângulo de fase aleatória
jφ autovetor do modo j
jkφ elemento do auto-vetor associado ao modo j e ao ponto nodal k
21 vv φφ , amplitudes modais
xix
Lista de siglas
Sigla Significado
CVC Combinação de Veículos de Carga
DER Departamento de Estradas de Rodagem
DNER Departamento Nacional de Estradas de Rodagem
DNIT Departamento Nacional de Infra-estrutura de Transportes
PBT Peso Bruto Total
PBTC Peso Bruto Total Combinado
TD eixo tandem duplo
TT eixo tandem triplo
1
I Introdução
I.1 Motivação
Conforme a evolução dos métodos executivos, dos materiais empregados na
construção e das ferramentas computacionais, os engenheiros passaram a dispor de
maiores possibilidades no que diz respeito tanto ao projeto de novas estruturas quanto à
avaliação de estruturas já existentes.
Esse novo contexto abrange também o universo das pontes rodoviárias, que ao
longo dos anos foi evoluindo consideravelmente em termos de projeto e construção.
Observa-se que estas obras vêm se tornando cada vez mais esbeltas e que muitas delas
encontram-se no limite máximo de comprimento de vão livre para o tipo de sistema
estrutural que possuem.
Além disso, o desenvolvimento do tráfego rodoviário no Brasil vem se
caracterizando pela multiplicidade de configurações dos veículos, acréscimo de seu
peso bruto total e seu volume de tráfego.
Para considerar o aumento do peso dos veículos, a norma brasileira de cargas
móveis para pontes rodoviárias, NBR 7188 (1982), antiga NB 6 (1960), evoluiu no
sentido de substituir os veículos-tipo de 12, 24 e 36 toneladas por classes mais pesadas
(atualmente 12, 30 e 45 toneladas), aumentando também os valores das “cargas de
multidão” (dadas em unidade de força por m2) que acompanham o veículo-tipo, para
simular os efeitos da passagem simultânea de veículos mais leves na ponte. A
configuração do veículo, no entanto, foi convenientemente mantida para que não se
perdesse o uso das tabelas utilizadas durante décadas na prática de projetos para
determinação de esforços em lajes.
A adoção de um coeficiente de impacto, extraído de códigos normativos e
baseado geralmente em aspectos geométricos (comprimento do vão), para consideração
dos efeitos dinâmicos por meio de solicitações estáticas equivalentes, revela-se, por
vezes, insuficiente para atender, em serviço, os critérios de fissuração excessiva, os
critérios de vibrações e deformações excessivas ou, até mesmo, implicando na redução
da margem de segurança e a estabilidade da estrutura.
A investigação das respostas dinâmicas das estruturas de pontes submetidas à
passagem de veículos vem sendo abordada sob diversos enfoques que vão desde
análises experimentais e teóricas até modelagens computacionais. Nestas, devem-se
2
considerar dados referentes ao tráfego real atuante na malha rodoviária brasileira, bem
como a qualidade de conservação dos pavimentos rodoviários como parâmetros que
auxiliem na melhor compreensão das condições mais influentes na resposta dinâmica
dessas estruturas.
As mais modernas normas de projeto de pontes (Eurocódigo 1, 2003, AASHTO
LRFD, 2005) apresentam modelos de cargas móveis desenvolvidos e calibrados de
forma a cobrir os efeitos do tráfego rodoviário, com um certo grau de confiabilidade, e
já incluindo os efeitos dinâmicos devido á passagem dos veículos (PRAT, 2001;
NOVAK, 1993).
Este trabalho está inserido em uma linha de pesquisa que pretende contribuir
com a modernização das normas de cargas de veículos no Brasil. Tratando estas cargas
como variáveis aleatórias no contexto do método semi-probabilístico de projeto,
denominado no Brasil método dos estados limites, pretende-se obter modelos de cargas
de veículos que representem o tráfego real e efetuar calibração de novos coeficientes de
segurança.
No que se refere ao desenvolvimento dos modelos de carga, prevê-se um extenso
programa de trabalho, cujas etapas são resumidas a seguir (ROSSIGALI, 2006).
1) Seleção dos sistemas estruturais representativos das obras de arte existentes
na malha rodoviária brasileira e das tendências das obras a serem projetadas no futuro.
2) Monitoração do tráfego real e posterior estudo estatístico envolvendo as
seguintes variáveis: classificação dos veículos por número de eixos, distâncias entre
eixos, peso total dos veículos e sua distribuição por eixo, comprimento dos veículos,
espaçamento entre veículos, velocidade e densidade de veículos por faixa de rolamento.
3) Simulação de situações de tráfego tais como escoamento livre com um ou
mais veículos sobre a pista e engarrafamentos, que reproduzam as condições reais.
4) Cálculo dos efeitos dinâmicos do tráfego real em pontes representativas das
obras brasileiras considerando diferentes comprimentos de vão, números de faixas de
tráfego e classes de rodovia.
5) Extrapolação dos efeitos calculados para um determinado período de retorno.
Os efeitos a serem calculados são esforços solicitantes em seções transversais críticas
dos elementos estruturais das obras representativas.
6) Busca, através de processos de otimização, de modelos de carga, compostos
de forças concentradas e distribuídas, que reproduzam os efeitos do tráfego real levando
em conta os níveis de probabilidade selecionados.
3
O presente trabalho trata do item 4 ora mencionado.
Os modelos de carga assim desenvolvidos substituiriam o carregamento de
projeto constante atualmente na NBR 7188, devendo estar sujeitos a periódicas
recalibrações em função de novos dados de tráfego e de sua própria evolução.
Recentemente foi reativada a operação de alguns dos Postos de Monitoramento,
Contagem e Pesagem de veículos espalhados pelo país. O Departamento Nacional de
Infra-estrutura de Transportes (DNIT) disponibiliza na internet (www.dnit.gov.br) os
resultados das medições efetuadas entre dezembro de 1999 e outubro de 2002 em 15
Postos de Monitoramento espalhados pelo Brasil.
Estes dados de tráfego foram utilizados por ROSSIGALI (2006) para elaborar
um estudo estático dos esforços solicitantes em pontes típicas de malha rodoviária
brasileira. Foram consideradas pontes em grelha com duas longarinas e transversinas
com vãos entre 10 e 40 m e balanços ente 2,5 e 10 m.
No trabalho de ROSSIGALI (2006) os esforços solicitantes foram calculados
estaticamente e posteriormente multiplicados pelo coeficiente de impacto conforme
expresso pela NBR 7188 como uma função vão da obra. A partir dos histogramas de
freqüência de ocorrência dos veículos por faixa de peso bruto total, foram construídos
os histogramas dos esforços solicitantes nas seções críticas das pontes consideradas
devidas à passagem de veículos isolados. O ajuste de funções de densidade de
probabilidade a estes histogramas permitiu o uso da estatística de extremos para se
estimar os máximos efeitos do tráfego real no intervalo de tempo de referência.
I.2 Objetivos e Metodologia
O principal objetivo deste trabalho é a avaliação por meio de modelagem
analítico-numérica, dos fatores de amplificação dinâmica em termos de deslocamentos
em pontes de pequenos vãos devidos ao tráfego de veículos reais, os quais deverão,
posteriormente, ser considerados no desenvolvimento de modelos de cargas móveis no
Brasil.
Para cumprir este objetivo foi desenvolvida uma ferramenta computacional para
simulação da interação veículo-pavimento-estrutura em pontes (IVPE-unifilar), a qual
foi validada através de comparação com resultados experimentais obtidos por
BATTISTA (1993) na Ponte de Sepetiba, Rio de Janeiro.
A seguinte metodologia do trabalho foi seguida:
4
1 - Levantamento das condições brasileiras referentes a (i) classes de veículos
pesados mais freqüentes e suas características; (ii) estados de conservação de
pavimentos e descrição de seus perfis de irregularidade longitudinal; (iii) esquemas
estruturais de pontes típicas da malha rodoviária brasileira.
2 - Formulação das equações de movimento dos sistemas acoplados veículo-
estrutura.
3 - Implementação do programa de análise. Nos modelos analíticos, os veículos
são considerados como conjuntos de corpos rígidos interligados por molas e
amortecedores e as estruturas são simuladas por modelo unifilar de barras com graus de
liberdade de flexão vertical e torção.
4 - Validação do programa por meio da comparação de seus resultados para
análise da Ponte de Sepetiba com os resultados da monitoração realizada por
BATTISTA (1993).
5 - Elaboração de estudos paramétricos do Fator de Ampliação Dinâmica (FAD)
considerando as faixas de variação dos parâmetros relevantes para a realidade brasileira.
Para cada esquema estrutural considerado são determinados os deslocamentos devidos à
passagem do veículo e por fim são realizadas comparações com os resultados fornecidos
pela aplicação dos veículos normativos.
Os sistemas estruturais selecionados para este trabalho incluem pontes em
grelha, com duas vigas de seção retangular constante e transversinas de apoio e
intermediárias, biapoiadas. Os comprimentos dos vãos adotados foram de 10m, 15m,
20m, 25m e 30m para estes sistemas estruturais
Para cada esquema estrutural selecionado, são determinados os efeitos
dinâmicos devidos à passagem dos veículos monolíticos de 3 eixos (os mais freqüentes
da base de dados). Os efeitos são avaliados sob diversas condições do pavimento,
velocidade e peso do veículo e colocação de obstáculos simulando juntas de dilatação
ou recalques no pavimento.
I.3 Revisão Bibliográfica
Durante a segunda metade do século XIX, em conseqüência do surgimento de
novos veículos mais pesados e velozes, houve maior motivação para o estudo de
vibrações em pontes. Problemas dinâmicos, até então inexistentes, passaram a ser
observados.
5
A partir deste momento, os pesquisadores passaram a propor soluções que
possibilitavam a análise do problema de forma simplificada.
Em SILVA (1996) pode-se encontrar um histórico dos primórdios na abordagem
do problema. Destaca-se a primeira abordagem introduzida por WILLIS (1849) que
deduz uma equação de movimento baseada em um modelo formado por uma massa
deslocando-se com velocidade constante sobre uma viga simplesmente apoiada, flexível
e de massa desprezível. No mesmo ano, STOKES (1849) obtém a solução exata dessa
equação de movimento, empregando uma técnica de expansão em séries.
KRYLOV (1905) considera uma carga com massa desprezível em comparação
com a viga e assim avalia o problema equivalente a uma força constante deslocando-se
sobre a estrutura.
INGLIS (1934) propõe soluções aproximadas para o problema obtidas
numericamente, admitindo que a resposta dinâmica de uma viga bi-apoiada, possui
sempre a forma do seu primeiro modo de vibração. Dessa maneira, reduz-se o problema
a apenas 1 Grau de Liberdade generalizado.
Mas, somente após a segunda metade dos anos 50, com o desenvolvimento das
ferramentas computacionais e principalmente com a utilização do Método de Elementos
Finitos (a partir dos anos70), a análise de vibrações em pontes pôde ser feita com
hipóteses mais sofisticadas.
Identificam-se duas abordagens teóricas para o problema da interação veículo-
estrutura: a) modelos simplificados do veículo e da estrutura; b) modelo numérico
completo em elementos finitos. A primeira abordagem se baseia em modelos analíticos
do veículo como sistemas massa-mola-amortecedor para desenvolver as equações de
movimento do sistema acoplado veículo-estrutura. Esta será também a abordagem
adotada no presente trabalho. Os primeiros modelos de veículos a serem utilizados estão
ilustrados na Figura I.1. O modelo do veículo como um corpo rígido (massa) suspenso
por um sistema de mola e amortecedor (suspensão do veículo) como ilustrado na Figura
I.1a foi empregado por HUANG e VELETSOS (1970) e no Brasil por BRUCH (1973),
CARNEIRO (1986) e FERREIRA (1999) para a análise de vigas com diversas
condições de apoio discretizadas com massas concentradas. No modelo da Figura I.1b
mv é a massa suspensa do veículo e a massa mp representa o conjunto eixo-roda-pneus.
A estrutura por sua vez é, em geral, modelada como uma viga ou grelha. A
interação entre os sistemas mecânicos do veículo e de estrutura é formulada
6
considerando uma superfície de contato irregular para representar a rugosidade dos
pavimentos.
Pode-se citar uma extensa lista de autores (TIMOSHENKO, 1928; LOONEY,
1944; HILLERBORG, 1951) que se utilizam da abordagem (a) para analisar o problema
da interação veículo-estrutura em pontes. Muitos deles (GREEN e CEBON, 1994; LI e
FAFITIS, 1995; GREEN et al, 1995) apresentam comparações teórico-experimentais
para validar seus modelos e procedimentos de cálculo.
Em relação à simulação do veículo, observa-se a crescente complexidade do
modelo analítico, como aquele ilustrado na Figura I.2, com 12 graus de liberdade (GL)
utilizado por HUANG et al (1992) para análise de pontes de vãos contínuos em vigas
múltiplas, por HUANG et al (1995) para análise de pontes de seção celular e ainda por
CHATTERJEE et al (1994).
v
p
v
p
v
v
k
k
c
c
mm
mpkv c v
(a) (b)
Figura I.1 – Modelo utilizado por HUANG e VELETSOS (1970) e no Brasil por BRUCH (1973), CARNEIRO (1986) e FERREIRA (1999).
mv1
p1 p2 p3
k v1 v2k v3kv1C Cv2 Cv3
Cp1p1k kp2 p2C k p3 p3C
v1u α αuv2Lv1
Lv2
mp1 p2mu u u
p3m
Figura I.2a - Vista longitudinal do modelo
7
v1u
αTv1
up1
Tp1α
v4Ck v4 v1k Cv1
k C p1kCp1p4 p4
Figura I.2b - Vista transversal do modelo
Figura I.2 – Modelo utilizado em HUANG et al. (1992), HUANG et al (1995) e CHATTERJEE et al (1994). (a) modelo em vista longitudinal, (b) modelo em vista transversal.
CHANG e LEE (1994) empregam modelo simplificado de veículo com 2 GL
(Figura I.1b) para avaliar o comportamento de pontes de vão único e simplesmente
apoiados e concluem que códigos normativos avaliados tendem a subestimar o fator de
impacto, especialmente para o caso de grandes vãos com superfícies de má qualidade.
LI e FAFITIS (1995) também avaliam a resposta dinâmica de pontes com
superfícies rugosas devido à passagem de veículos. Avalia-se o fator de amplificação
dinâmica de acordo com o tipo de superfície empregado. LI e FAFITIS (1995) sugerem
que, para velocidades normais, menores comprimentos de onda da irregularidade do
pavimento produzem maiores efeitos em vãos curtos. Maiores comprimentos de ondas
teriam maior efeito em vãos mais longos.
GREEN et al (1995) comparam a resposta dinâmica de 3 pontes rodoviárias
curtas sob a passagem de caminhões com suspensão em feixe de molas e suspensão
pneumática. As respostas para o veículo com suspensão a ar foram muito menores do
que as respectivas respostas para o veículo com suspensão em feixe de molas. Naquele
trabalho são empregados modelos de 9 GL (ver Figura I.3) complexos para os veículos,
onde é considerada a não-linearidade do comportamento da suspensão.
8
θy1
zv1
xv1
θy2
zp1zp2
zp3zp4
θy3θy4
θy5
Figura I.3 – Modelo de veiculo utilizado em GREEN et al (1995).
CHIOSTRINI et al (1995), LI e FAFITIS (1995) e SILVA (1996) mostram que a
rugosidade dos pavimentos e a presença de pequenos ressaltos na pista são fatores
influentes na resposta dinâmica de pontes.
BARBOSA (1998) avaliou os efeitos da interação veículo-pavimento-estrutura
em pontes metálicas de tabuleiro ortotrópico.
FERREIRA (1999) desenvolveu um modelo simplificado para a análise
dinâmica de estruturas mistas de pontes e PERLINGEIRO (2002) baseou-se neste
mesmo modelo para avaliar a influência da interação veículo – pavimento – estrutura na
análise dinâmica de potes.
A abordagem teórica (b) mencionada anteriormente faz uso de modelos em
elementos finitos em que todos os componentes do sistema são modelados
explicitamente.
KWASNIEWSKI et al. (2006) apresenta os resultados da interação dinâmica
entre um caminhão pesado e uma ponte rodoviária com validação experimental. Nesse
trabalho emprega-se um modelo sofisticado do veículo em Elementos Finitos 3D que
considera o movimento das rodas, a pressão interna dos pneus, o contato dos pneus com
o tabuleiro e os componentes da suspensão em elementos espaciais (Figura I.4).
9
Figura I.4 – Modelo utilizado em KWASNIEWSKI et al. (2006).
A estrutura é também discretizada em elementos sólidos (Figura I.5). Para
efetuar a análise de cerca de 204.000 elementos por vão os autores utilizaram o
programa comercial LS-DYNA e um super-computador na Universidade da Flórida nos
EUA.
Figura I.5 – Estrutura discretizada em elementos finitos (KWASNIEWSKI et al., 2006).
Verificações teórico-experimentais, como a de BATTISTA (1997) sobre as
condições da ponte Rio - Niterói e BATTISTA (1993) sobre a ponte de acesso ao porto
de Sepetiba, objetivando uma real avaliação das estruturas, passaram a ser realizadas
com certa freqüência.
MELCER et al. (1993) realiza testes teórico-experimentais na ponte sobre o rio
Danúbio em Bratislava, antes de a obra ser aberta ao público. PROULX et al. (1993) faz
testes em várias pontes de Quebec no Canadá com intenção de avaliar o fator de
amplificação dinâmica.
10
I.4 Apresentação do Trabalho
O texto do trabalho, cujo escopo foi descrito na Seção I.2, é apresentado em
capítulos com a formatação indicada a seguir:
No Capítulo II são apresentados detalhes sobre os veículos típicos da malha
rodoviária brasileira, bem como parâmetros que podem ser tomados como referência
para a modelagem dos mesmos. Também são expostos conceitos sobre perfil de
irregularidade longitudinal do pavimento e dados sobre as condições de qualidade dos
pavimentos das principais rodovias brasileiras. Por fim, apresentam-se algumas
estruturas de pontes típicas encontradas no Brasil. No Capítulo III são deduzidas as
equações utilizadas para a modelagem analítico – numérica da interação veículo –
pavimento – estrutura e são apresentados detalhes referentes à implementação
computacional.
No Capítulo IV consta uma comparação teórico-experimental da ponte de acesso
ao Porto de Sepetiba, Rio de Janeiro, baseada em estudo realizado por equipe da
Fundação COPPETEC sob a coordenação do Prof. Ronaldo Battista (BATTISTA,
1993). Já no Capítulo V são realizados estudos de diversos casos, para a verificação do
comportamento de diversas pontes típicas submetidas a alguns dos veículos que
compõem o tráfego real no Brasil. Também são adotadas diferentes qualidades do
pavimento para a avaliação da influência deste fator na resposta dinâmica das estruturas.
Por fim, no Capítulo VI são expostas as conclusões e sugestões para futuros
trabalhos desta linha de pesquisa.
11
II Características e Propriedades dos veículos, pavimentos e
estruturas de pontes típicas no Brasil.
II.1 Introdução
Este capítulo apresenta um resumo dos dados levantados sobre os veículos
trafegando nas rodovias brasileiras, as condições dos pavimentos nas rodovias federais e
as estruturas de pontes de pequenos vãos no Brasil. Com estes dados foi possível se
realizar estimativas de variação do coeficiente de impacto em função de diferentes
parâmetros para as condições brasileiras, conforme apresentado mais adiante no Cap.V.
II.2 Veículos
II.2.1 Classes de veículos
Os veículos pesados podem ser simples (ou monolíticos) - quando formados por
somente uma parte - (ver Figura II.1) ou composto, quando há uma unidade tratora
transportando uma ou mais unidades de carga (ver Figura II.2 e Figura II.3).
Figura II.1 – Caminhão rígido convencional (www.pastre.com.br).
Figura II.2 – Veículo semi-reboque (www.pastre.com.br).
12
Figura II.3 – Caminhão rígido rebocando carretas (veículos tipo reboque) (www.mercedes-benz.com.br, WIDMER, 2002).
Basicamente, dois tipos de engate entre as partes do veículo costumam ser
empregados. São conexões do tipo semi-reboque e do tipo reboque. Na conexão tipo
semi-reboque, a unidade traseira (carreta) se engata na dianteira (tratora) pelo pino-rei e
se apóia diretamente no prato articulado (denominado quinta roda) montado na unidade
dianteira. A unidade tratora que disponibiliza a quinta roda chama-se cavalo mecânico;
a Figura II.4 mostra um deles. Os veículos compostos cuja unidade tratora é o cavalo
mecânico são conhecidos como semi-reboques (Figura II.2).
A conexão tipo reboque é uma barra de tração que conecta o eixo, ou conjunto
de eixos, da unidade anterior na unidade posterior. Os veículos compostos que utilizam
esse princípio de tração são conhecidos como reboques (Figura II.3), sendo a unidade
tratora um caminhão rígido convencional (Figura II.1).
Os tipos de veículos pesados são agrupados em classes e identificados por
códigos. Os sistemas de identificação da classe de veículos devem contemplar algumas
informações básicas sobre o veículo: o número de partes que o constituem, a
configuração dos eixos e o tipo de conexão usada nas partes do veículo.
De acordo com os órgãos rodoviários, como os DER’s e o antigo DNER, a
classificação dos veículos pode ser feita de forma expedita, como se explica a seguir: os
veículos monolíticos e as ligações tipo reboque são representados pela letra C, enquanto
as ligações semi-reboque são representadas pela letra S. Em ambos os casos, busca-se
apenas informar o total de eixos de cada unidade. As mesmas regras valem, em geral,
para caminhões e ônibus; entretanto, para garantir unicidade, seus códigos são
diferenciados com a incorporação da letra O inicial ao código destes.
Em ROSSIGALI (2006) encontra-se uma extensa descrição dos veículos
pesados típicos e sua nomenclatura.
13
Figura II.4 – Cavalo mecânico (www.scania.com.br), com a quinta roda.
II.2.2 Base reduzida de dados de veículos
A partir de dados de tráfego em rodovias federais publicados pelo DNIT
(www.denit.gov.br), ROSSIGALI (2006) efetuou um cuidadoso estudo estatístico para
criar uma base reduzida de dados, composta dos veículos com maior freqüência de
ocorrência. A Figura II.5 ilustra estes veículos com suas respectivas nomenclaturas,
dimensões médias, além de percentuais médios de carga por eixo ou grupo de eixos. A
Figura II.6 mostra a distribuição de freqüências relativas considerando-se apenas os seis
veículos mais freqüentes observados no posto P51 do DNIT. Os histogramas refinados
de peso para cada tipo de veículo encontram-se na Figura II.7.
Estes histogramas foram obtidos a partir das planilhas de número de veículos de
cada classe por faixa de peso total constantes de dados publicados pelo DNIT, e
posteriormente refinados com a utilização de dados oriundos das planilhas de peso por
tipo de eixo (ROSSIGALI, 2006).
Na Figura II.7 estão identificados os valores limites legais de peso para cada
classe de veículo. Observa-se a ocorrência da prática de excesso de peso, em alguns
casos com significativa freqüência de ocorrência.
3,9m 1,3m5,9m8,6m 1,3m3,9m6,0m 1,3m
1,3m 5,9m4,8m4,0m
2S3
59,2%15,3% 25,5%31,8%27,9% 40,3%
2S2
65,6%34,4%
O3C
55,5%44,5%
O2C
27,0% 73,0%
3C
53,4%
2C
46,6%
Figura II.5 – Distâncias entre eixos e percentuais do peso total em cada eixo dos veículos mais freqüentes (ROSSIGALI, 2006).
14
7.0%5.5%
22.8%
40.9%
5.8%
18.0%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
O2C O3C 2C 3C 2S2 2S3
CLASSES DE VEÍCULOS
FREQ
ÜÊN
CIA
Figura II.6 – Distribuição de freqüências relativas em P51, apenas com as classes de veículos consideradas neste trabalho (ROSSIGALI,2006).
160kNLIMITE LEGAL
PESO (kN)
10%
0%
FREQ
ÜÊ
NC
IA
20%
30%
40%
50%
80%
70%
60%
650
450
400
300
250
200
150
100500
500
550
350
600
Figura II.7a - Histograma refinado de peso da classe O2C em P51.
15
LIMITE LEGAL195kN
600
350
550
5000 50 100
150
200
250
300
400
450
650
60%
70%
80%
50%
40%
30%
20%
FRE
QÜ
ÊNC
IA
0%
10%
PESO (kN)
Figura II.7b - Histograma refinado de peso da classe O3C em P51.
LIMITE LEGAL160kN
600
350
550
5000 50 100
150
200
250
300
400
450
650
60%
70%
80%
50%
40%
30%
20%
FREQ
ÜÊ
NC
IA
0%
10%
PESO (kN)
Figura II.7c - Histograma refinado de peso da classe 2C em P51.
230kNLIMITE LEGAL
600
350
550
5000 50 100
150
200
250
300
400
450
650
60%
70%
80%
50%
40%
30%
20%
FRE
QÜ
ÊNC
IA
0%
10%
PESO (kN)
Figura II.7d - Histograma refinado de peso da classe 3C em P51.
16
LIMITE LEGAL330kN
PESO (kN)
10%
0%
FRE
QÜ
ÊNC
IA
20%
30%
40%
50%
80%
70%
60%
650
450
400
300
250
200
150
100500
500
550
350
600
Figura II.7e - Histograma refinado de peso da classe 2S2 em P51.
415kNLIMITE LEGAL
600
350
550
5000 50 100
150
200
250
300
400
450
650
60%
70%
80%
50%
40%
30%
20%
FREQ
ÜÊ
NC
IA
0%
10%
PESO (kN)
Figura II.7f - Histograma refinado de peso da classe 2S3 em P51.
Figura II.7 – Histogramas refinados de peso das seis classes de veículos mais freqüentes (ROSSIGALI,2006).
II.2.3 Propriedades e tipos de suspensões dos veículos pesados
Uma das funções do sistema de suspensão é isolar a estrutura do veículo e seus
ocupantes de choques e vibrações geradas pelas irregularidades do pavimento. O
objetivo é conciliar a sensibilidade humana e manter a estabilidade, o controle
direcional e todas as necessidades de manobra de um veículo em seu comportamento
dinâmico.
A sensibilidade humana às vibrações é bastante complexa, tendo sido estudada
com detalhes por Donald Bastow (BASTOW, 1993 apud CAMPOS, 2004). De um
modo geral, freqüências de vibrações verticais entre 1,5 e 2,3 Hz são consideradas
17
confortáveis, bem como são aceitáveis as oscilações longitudinais ou laterais abaixo de
1,5 Hz.
Entretanto, a função básica da suspensão em um veículo não é proporcionar
conforto aos ocupantes, embora seja desejável, mas sim a manutenção do contato entre
as rodas e a superfície da estrada, pois o controle direcional e a estabilidade do veículo
dependem disso.
Um sistema de suspensão pode ser representado de forma simplificada como um
quarto de veículo, conforme mostrado na Figura II.8. A massa suspensa representa o
corpo do veículo e seus ocupantes, sendo apoiada por intermédio de uma mola sobre a
massa não suspensa, que neste caso representa o conjunto formado pelo eixo, roda,
freio, mecanismos de articulação da suspensão e pneus, que por sua vez apóiam-se ao
solo com a rigidez do pneu atuando como uma mola. Quando excitada, a massa
suspensa oscila verticalmente com a sua freqüência natural, devido à ação das molas de
suspensão e dos pneus combinados. Para eliminar rapidamente as oscilações é montado
um absorsor de choques combinado com a mola de suspensão vertical.
Amortecedor
uk
MassaSuspensa
SuspensaMassa não
de choquesRigidez da mola
principal
Rigidez do pneu
Figura II.8 - Representação de um sistema de suspensão simples.
O absorsor de choques normalmente é composto por um amortecedor hidráulico,
que reage com forças de resistências contrárias aos movimentos oscilatórios e
proporcionais ao quadrado da velocidade da massa suspensa em relação à massa não
suspensa. Os pneus também apresentam uma pequena parcela de amortecimento.
Os atritos internos no sistema de suspensão também contribuem para o
amortecimento das oscilações, sendo independentes da velocidade e da amplitude.
Um dos principais elementos de um sistema de suspensão é a mola, que é o
elemento flexível cuja função é de se defletir quando a roda encontra um ressalto (ou
uma depressão) e sofre um rápido impulso para cima ou para baixo. Se não existisse
18
uma mola entre a roda e a carroceria, o choque transmitido seria considerável. Com a
presença da mola, a intensidade da força transmitida à carroceria é apenas a necessária
para comprimir (ou descomprimir) a mola suficientemente para que a roda passe pelo
obstáculo (ou depressão).
Após a passagem pelo distúrbio, seja um ressalto ou uma depressão, o
movimento subseqüente da carroceria é a sua vibração livre sobre as molas, sendo
pequena a aceleração.
Durante uma deflexão, a mola armazena energia potencial, seja linearmente ou
angularmente, conforme a configuração da mesma. A grandeza “rigidez” é medida em
Newton por metro (N/m) no Sistema Internacional (SI), considerando as molas por
deflexão linear, e de Newton-metro por radiano (N.m/rad) , para as molas de deflexão
angular.
Tipos de suspensão de eixos múltiplos
Para poder suportar cargas muito elevadas, veículos comerciais são
freqüentemente equipados com suspensões de eixos múltiplos. E para evitar sobrecarga
nos elementos da suspensão, quando se trafega por pavimentos de superfícies desiguais,
estes eixos são interconectados com mecanismos que equalizam a carga entre eles. As
suspensões em tandem duplo são particularmente as mais freqüentes entre os eixos não
direcionais do veículo e podem ser formadas por molas em feixes de lâminas (Figura
II.9a) ou por mecanismos pneumáticos (Figura II.9b).
(a) - Suspensão em feixe de lâminas (b) - Suspensão formada por mecanismos pneumáticos
Figura II.9 – Diferentes tipos de suspensão. (a) - Suspensão formada por molas em feixe de lâminas (www.omecanico.com.br), (b) Suspensão formada por mecanismos pneumáticos (www.serv-
molas.com.br).
19
De acordo com FANCHER et al. (1986), os três tipos de suspensão em tandem
mais comuns são formados por: quatro molas em feixes de lâminas (4-molas), conforme
Figura II.10a, molas pneumáticas (Figura II.10b) e por viga de eixo (Figura II.10c).
A suspensão tipo 4-molas possui um mecanismo nivelador de carga entre as
extremidades das duas molas localizadas no mesmo lado do veículo. Este mecanismo
permite que haja um ajuste de carga entre os eixos, inclusive durante a interação entre o
veículo e pavimento durante o tráfego em altas velocidades. A suspensão em molas
pneumáticas se comporta como duas suspensões a ar independentes por causa da ação
moderada do sistema pneumático de equalização de carga empregado. Já a suspensão
formada por viga de eixo possui uma viga em cada lado do veículo que conecta os dois
eixos. A mola é conectada por meio de pivôs ao centro da viga de eixo. Essa suspensão
é muito boa para equalização da carga estática, mas não possui igual desempenho
quando se tratam de vibrações em altas velocidades.
Figura II.10a - Suspensão formada por quatro molas em feixes de lâminas.
Figura II.10b - Suspensão formada por molas pneumáticas.
20
Figura II.10c - Suspensão formada por viga de eixo.
Figura II.10 – Suspensões em tandem mais comuns (FANCHER et al., 1986).
Propriedades mecânicas das suspensões
As suspensões de veículos pesados possuem uma série de requisitos básicos para
um bom desempenho, tais como, capacidade de transportar uma determinada carga de
forma adequada, atender a certas exigências de custo, carga máxima, manutenção e vida
útil. Destacam-se, contudo, as propriedades da suspensão que exercem influência sobre
o desempenho dinâmico do veículo. Considerando-se que, esse desempenho é dominado
pelas forças e momentos produzidos pelo contato dos pneus com o pavimento, então
fica evidente que a suspensão desempenha um papel fundamental, já que influencia
diretamente o comportamento dos diversos pneus que compõe o veículo.
Embora as suspensões de veículos comerciais possuam uma infinita variedade
de tamanhos e formas, com grande variedade de molas, ligações, e outros elementos,
cada tipo de suspensão possui propriedades mecânicas básicas que determinam como a
suspensão trabalha. Em quase todos os casos, e principalmente neste trabalho, o
desempenho dos vários elementos pode ser interpretado em termos das seguintes
propriedades mecânicas:
• Rigidez vertical
• Amortecimento
Rigidez vertical da suspensão
A maior parte dos veículos comerciais utiliza suspensão formada por molas de
aço, que podem ser helicoidais ou em feixes de lâminas. O segundo tipo mais comum
utiliza suspensão a ar. Outros tipos menos comuns podem ser compostos por barras de
torção feitas de aço ou elementos de borracha que exercem as mesmas funções das
molas de suspensão. Os diferentes valores de cargas a serem transportadas pela
21
suspensão implicam em diferentes demandas para o valor da rigidez da mesma. As
molas devem ser rígidas o suficiente para suportar cargas elevadas sem que ocorram
deflexões indevidas, porém, essa rigidez elevada pode tornar o percurso extremamente
desconfortável no caso do veículo estar trafegando descarregado. As suspensões ativas,
contudo, adaptam o valor da sua rigidez de acordo com as condições de carregamento a
que são submetidas (GILLESPIE et al., 1992).
As propriedades das molas em feixes de lâminas são caracterizadas pela relação
entre força e deflexão, cuja forma é mostrada na Figura II.11. Submetidas a grandes
deslocamentos, as molas exibem uma rigidez nominal determinada por suas
características principais (geométricas). Em geral essa rigidez deve ser elevada o
suficiente para que os deslocamentos do veículo carregado estaticamente sejam
limitados a apenas alguns centímetros.
Sob pequenos deslocamentos, tipicamente durante a locomoção do veículo, a
rigidez efetiva da mola pode alcançar um valor de 3 a 10 vezes maior que a rigidez
nominal (FANCHER et al., 1986). A força de atrito de Coulomb, que afeta a rigidez em
locomoção, pode ser variada no projeto da mola. Molas em feixes de lâminas
parabólicas geralmente oferecem menor fricção entre os seus elementos e podem
requerer um sistema auxiliar de absorsores de choque.
0
0
15,0
10,0
5,0
107,55,02,5
FOR
ÇA
(kN
)
DESLOCAMENTO (cm)
RIGIDEZ EM LOCOMOÇÃO
RIGIDEZ NOMINAL180 kN/m
540 kN/m
FORÇA DE ATRITO DE COULOMB
Figura II.11 – Relação força-deflexão característica de uma mola em feixe de lâminas (adaptada de
GILLESPIE et al., 1992).
22
A Tabela II.1 (adaptada de GILLESPIE et al., 1992) mostra as propriedades
típicas mais importantes utilizadas em simulações numéricas e que foram obtidas
durante experimentos realizados com diversos tipos de suspensão de diversos
fabricantes. Na terceira coluna encontram-se os valores mínimos e os máximos para a
rigidez de diferentes tipos de suspensão. Na quarta coluna pode-se observar o
coeficiente de amortecimento proveniente dos absorsores de choque. Os valores da
massa não suspensa incluem o eixo, o sistema de freios, os elementos de conexão e o
conjunto formado pelos aros e pneus. No caso da suspensão em tandem duplo, a massa
não suspensa corresponde à soma dos dois eixos e deve ser considerada como
distribuída em 50% para cada um deles. A Figura II.12 ilustra os diferentes tipos de
eixos citados na Tabela II.1 e os diferentes tipos de molas mencionados podem ser
observados na Figura II.13.
Tabela II.1 – Propriedades das suspensões.
Posição da
suspensão
Tipo de
suspensão
Faixa de Rigidez
(Por mola)
(kN / m)
Coef. de
Amortecimento
(por amortecedor)
(kN.s / m)
Massa não
Suspensa
(kg)
Eixo direcional Lâminas convencionais
(capacidade 55kN) 241 até 295 3,0 635,0
Eixo direcional Laminas parabólicas 165 até 192 3,0 635,0
Eixo direcional Lâminas convencionais
(capacidade 82kN) 375 até 429 3,0 635,0
Eixo simples trativo Feixe de lâminas 482 até 589 6,0 1089,0
Eixo trativo em tandem
duplo 4-molas convencionais 482 até 589 6,0 2132,0
Eixo trativo em tandem
duplo 4-molas parabólicas 321 até 393 6,0 2132,0
Eixo trativo em tandem
duplo Molas pneumáticas 161 até 179 9,0 2132,0
Eixo trativo em tandem
duplo Viga de eixo 2679 até 3214 0,0 2223,0
Eixo dianteiro Molas pneumáticas 161 até 179 9,0 635,0
Eixo simples de semi-
reboques Feixe de Lâminas 482 até 589 6,0 680,0
23
Tabela II.1 – (Continuação)
Posição da
suspensão
Tipo de
suspensão
Faixa de Rigidez
(Por mola)
(kN / m)
Coef. de
Amortecimento
(por amortecedor)
(kN.s / m)
Massa não
Suspensa
(kg)
Eixo de semi-reboques
em tandem duplo
4-molas
convencionais 482 até 589 6,0 1361,0
Eixo de semi-reboques
em tandem duplo 4-molas parabólicas 321 até 393 6,0 1361,0
Eixo de semi-reboques
em tandem duplo Molas pneumáticas 161 até 179 9,0 1361,0
Eixo simples de
reboques Feixe de lâminas 482 até 589 3,0 680,0
Eixo de reboques em
tandem duplo 4-molas parabólicas 321 até 393 6,0 1361,0
Eixo direcional
Eixo simplesTrativo
semi-reboqueTandem duplo
Tandem duploreboque
Eixo trativotandem duplo
semi-reboqueEixo simples Eixo simples
reboque Figura II.12 – Diferentes tipos de eixos considerados na Tabela II.1.
Figura II.13a - Molas parabólicas
24
Figura II.13b - Molas convencionais
Figura II.13 – Diferentes tipos de molas consideradas na Tabela II.1 (www.elo-sa.pt).
Propriedades de massa dos veículos
Para efeitos de previsão da carga dinâmica exercida pelos eixos, os veículos
podem ser tratados como um conjunto formado por diversos corpos rígidos. O corpo do
veículo (massa suspensa) suportado por sistemas de suspensão em cada um dos eixos é
considerado rígido com propriedades de massa concentradas no seu centro de gravidade
e momento de inércia em torno do centro de gravidade.
Considerando-se devidamente as dimensões e a forma geométrica de um
paralelepípedo, a eq. (II.1) pode ser usada para estimar o momento de inércia em torno
do eixo de referência yy ilustrado na Figura II.14.
( )12
22 caMIcc+
= (II.1)
onde, Icc é o momento de inércia em trono do eixo cc (em 2mkg ⋅ ); M é a massa do
sólido em kg e a e c são as dimensões do sólido em m.
No caso do presente trabalho, o interesse se limita ao momento de inércia de
massa em torno do eixo yy (Figura II.14), por se tratar de um programa que considera
apenas modelos unifilares.
Figura II.14 – Eixos e dimensões de referência para o momento de inércia de massa (adaptada de FANCHER et al., 1986).
xx
xx yy=cc
yy
25
Na Tabela II.2 são apresentados valores típicos para o momento de inércia de
massa em torno do eixo yy. Os valores foram obtidos de acordo com FANCHER et al.
(1986) e podem ser utilizados como referência para os modelos dos veículos de carga.
Tabela II.2 – Valores médios para o momento de inércia de massa (adaptada de FANCHER et al, 1986).
Descrição Modelo Iyy (t.m2)
Caminhões Rígidos GMC 8500 V-6 55
Ford 9000 37
GMC Astro 95 28 Cavalos mecânicos
Ford 800 19
14,6 m Eixo em tandem (Vazio) 153
14,6 m Eixo em tandem (Carregado) 558
13,7 m Eixo em tandem (Vazio) 126
13,7 m Eixo em tandem (Carregado) 462
12,8 m Eixo em tandem (Vazio) 109
12,8 m Eixo em tandem (Carregado) 385
8,5 m Eixo simples (Vazio) 55
8,5 m Eixo simples (Carregado) 140
8,2 m Eixo simples (Vazio) 48
Semi-Reboques
(De acordo com o comprimento)
8,2 m Eixo simples (Carregado) 124
II.2.4 Propriedades dos Pneus
Os pneus usados atualmente em caminhões podem ser configurados em arranjos
simples ou duplos (Figura II.15). Em eixos dianteiros de direção são usados pneus
simples. No caso dos eixos de tração dos veículos e nos eixos dos reboques,
normalmente são usadas configurações de pneus duplos. Pneus simples de base larga, de
uso não muito difundido no Brasil, podem ser usados em eixos dianteiros quando a
carga aplicada excede o valor de 63,5 kN ou então nos demais eixos no lugar dos pneus
duplos (FANCHER et al., 1986).
26
(a) Pneus em arranjo simples (b) Pneus em arranjo duplo
Figura II.15 – Pneus em arranjos simples e duplos.
Rigidez vertical dos pneus
Os pneus são componentes que contribuem sobremaneira para que um veículo
realize mudanças na sua trajetória, cesse seu movimento ou aumente sua velocidade.
Quando se deseja avaliar a interação entre veículo, pavimento e estrutura a consideração
dos pneus torna-se fundamental, já que é por intermédio destes que são transmitidas as
forças ao tabuleiro das pontes.
Na Figura II.16 encontra-se o gráfico que representa a variação típica da carga
em função da deflexão vertical de pneus utilizados em caminhões. A figura mostra que
a deflexão inicial do pneu, a partir de carregamento nulo, envolve inicialmente uma
região de comportamento não linear e que posteriormente prevalece o regime linear.
Compo
rtamen
to lin
ear
VerticalRigidez
zDeflexão vertical
Car
ga v
ertic
al
Fz
Figura II.16 – Deflexão vertical em função do carregamento em pneus (adaptada de FANCHER et al., 1986).
Eventualmente, podem ser empregados pneus diagonais ou pneus radiais em
veículos de carga. Os pneus diagonais (ou convencionais) possuem a carcaça formada
por lonas (fibras têxteis) sobrepostas e cruzadas umas em relação às outras (ver Figura
II.17a). Os pneus radiais possuem carcaça disposta em arcos perpendiculares ao plano
27
de rodagem e orientada em direção ao centro do pneu (ver Figura II.17b). A
estabilização do piso é obtida através de 3 ou 4 lonas de aço sobrepostas.
Um valor típico de rigidez vertical, segundo FANCHER et al. (1986), para o
pneu diagonal pode ser tomado como 893 kN/m e para o pneu radial pode-se adotar 821
kN/m.
(a) Pneu diagonal em corte (menor área de contato) (b) Pneu radial em corte (maior área de contato)
Figura II.17 – Pneus diagonal e radial (www.michelin.com.br).
A pressão interna, obviamente, exerce forte influência na rigidez de um pneu. A
rigidez vertical, entretanto, sofre maior influência do conjunto formado pelos aros e
eixos do que da pressão interna (FANCHER et al., 1986). Contudo, embora a rigidez
não seja diretamente proporcional à pressão interna, devem-se observar os valores a
serem adotados para determinados níveis de carregamento aplicado sobre os eixos, de
acordo com a recomendação de cada fabricante.
Valores típicos para as propriedades dos pneus
O pneu é um toróide visco elástico que suporta a massa não suspensa sobre o
pavimento da rodovia. Os pneus são modelados como um conjunto de molas e
amortecedores que conectam os eixos ao pavimento. As molas e amortecedores que
representam os pneus apresentam comportamento linear
Os valores típicos, de acordo com GILLESPIE et al. (1992), para as
propriedades de rigidez e o coeficiente de amortecimento para cada grupo de pneus são
resumidos na Tabela II.3.
28
Tabela II.3 – Propriedades típicas dos pneus (adaptada de GILLESPIE et al., 1992).
Tipo de Pneu Rigidez por pneu
(kN / m)
Coef. de Amortecimento por pneu
(kN.s / m)
Convencional Simples 839 1,0
Base Larga Simples 1250 1,0
Convencional Duplo 839 1,0
“Heavy Duty” Duplo1 1071 1,0 1- Usado em suspensões formadas por viga de eixo
II.3 Pavimento
II.3.1 Conceito de Irregularidade Longitudinal dos Pavimentos
A irregularidade longitudinal, segundo GILLESPIE et al. (1980), é o parâmetro
mais utilizado internacionalmente para a avaliação funcional dos pavimentos.
PATERSON (1987) considera como irregularidade longitudinal de um
pavimento, o conjunto dos desvios da superfície deste em relação a um plano de
referência que afetam a qualidade de rolamento e a ação dinâmica das cargas sobre a
rodovia. É uma grandeza física mensurável, seja direta ou indiretamente, que permite
melhor avaliação de custo operacional dos veículos, conforto, segurança, velocidade de
percurso e economia das viagens. Pode ter origem nas imperfeições ocorridas durante o
processo construtivo, assim com pode resultar de problemas ocorridos após a
construção, como resultado da atuação do tráfego, do clima e outros fatores causadores
da degradação do pavimento.
A contínua solicitação imposta pelo tráfego ao pavimento, que através de
deformações permanentes, localizadas ou não, altera as condições de sua superfície com
o passar dos anos, é função da solicitação estática, da velocidade dos veículos, e de
parâmetros relativos à suspensão dos mesmos.
Existe ainda uma forte contribuição dos fatores ambientais para o aparecimento
e aumento da irregularidade longitudinal ao longo do tempo, posto que, segundo
YSHIBA (2003), a combinação da água das chuvas com as solicitações impostas pelo
tráfego enfraquece a ligação entre o ligante betuminoso e o agregado, desagregando o
revestimento asfáltico. Além disso, as elevadas temperaturas, às quais o revestimento
asfáltico é submetido, reduzem a viscosidade do ligante provocando deformações
plásticas no revestimento, e as baixas temperaturas, com elevados gradientes térmicos,
29
podem provocar trincas térmicas, que irão facilitar a penetração da água das chuvas e,
conseqüentemente, provocar a redução da capacidade de suporte do pavimento.
A irregularidade do perfil longitudinal tem influência nos seguintes aspectos
(adaptado de DNIT/IPR-720, 2006):
• Interação da superfície da via com os veículos, gerando efeitos sobre os
próprios veículos, sobre os passageiros e sobre as cargas transportadas.
• Custo operacional dos veículos e, sobre as viagens, afetando sua segurança,
seu conforto e sua velocidade.
• Dinâmica dos veículos em movimento, aumentando o seu desgaste; e
causando também, prejuízos à sua condução.
• Aumento da ação das cargas dinâmicas dos veículos sobre a superfície do
pavimento e, em decorrência, acelera o desgaste da sua estrutura. No caso
das pontes, ocorre o aumento das cargas dinâmicas sobre a superestrutura e
conseqüentemente para o restante da obra, podendo acarretar em esforços
maiores do que os previstos em projeto, dependendo do grau de
irregularidade.
• Efeitos adversos sobre a drenagem da superfície do pavimento, na medida
em que propicia a formação de poças d’água que vão afetar negativamente a
segurança e o desempenho da rodovia.
Segundo BENEVIDES (2006), pode-se atribuir o desconforto dos usuários aos
deslocamentos verticais oriundos das imperfeições longitudinais do perfil do pavimento.
Entretanto, os deslocamentos laterais são responsáveis pelas maiores ações das cargas
dinâmicas dos veículos, pois resultam de movimentos laterais em torno do eixo
longitudinal do veiculo, originados pelas diferenças nas declividades transversais do
pavimento e pelas curvas horizontais. Destaca-se também, a importância da velocidade
de tráfego do veículo no grau de percepção da irregularidade do pavimento pelo usuário.
CAMPOS (2004 apud BENEVIDES, 2006), explica que a irregularidade pode
ser dividida em categorias, de acordo com a amplitude (A1) e o comprimento de onda
(λ):
Ondas curtas, possuem 0,50 m ≤ λ ≤ 5 m e 1 mm ≤ A1 ≤ 20 mm
Ondas médias, possuem 5 m ≤ λ ≤ 15 m e 5 mm ≤ A1 ≤ 50 mm
Ondas longas, possuem 15 m ≤ λ ≤ 50 m e 10 mm ≤ A1 ≤ 200 mm
30
As ondas com dimensões superiores aos intervalos anteriormente descritos não
são consideradas como irregularidade longitudinal, e as ondas com dimensões inferiores
são consideradas somente na avaliação de microtextura, macrotextura e megatextura. A
Figura II.18, adaptada de YODER et al. (1975), caracteriza as ondulações longitudinais
e transversais.
Figura II.18– Ondulações transversais e longitudinais (adaptada de YODER et al., 1975).
De acordo com GILLESPIE et al. (1980), por se tratar de um parâmetro
indicador de desempenho capaz de traduzir tanto as condições de conforto ao rolamento
quanto às condições de segurança ao usuário, a irregularidade longitudinal dos
pavimentos vem desempenhando papel de destaque entre os demais parâmetros
relacionados ao pavimento.
Uma das grandes responsabilidades dos departamentos de transporte do nosso
país é a manutenção dos pavimentos das rodovias. Esta é uma atividade fundamental e
que demanda um consumo de boa parte do dinheiro público. É dentro deste contexto, e
de acordo com um planejamento objetivo, que a medição da rugosidade dos pavimentos
pode auxiliar nas seguintes funções (GILLESPIE et al., 1980):
• Monitoração das condições gerais da malha rodoviária;
• Informação necessária para tomada de decisão de alocação de recursos para
manutenção de determinados trechos;
• Como medida de qualidade para obras recém construídas.
• Como série histórica de desempenho do pavimento e que pode ser usada para
avaliação de alternativas de projeto;
31
• Programas de conservação de pavimento;
• Projetos de restauração de pavimentos;
• Pesquisa;
• Avaliação do custo operacional dos veículos;
• Previsão da velocidade dos veículos rodoviários;
• Previsão da deterioração dos pavimentos;
• Caracterização de uma determinada rede de rodovias ou aeroportos;
• Avaliação do desempenho estrutural de pontes e viadutos.
II.3.2 Escalas adotadas na medição das irregularidades longitudinais
Diversas escalas padronizadas podem ser adotadas na medida da irregularidade
do pavimento, dependendo apenas do equipamento utilizado para a avaliação das
condições da superfície.
Como resultado de uma pesquisa internacional de medição de irregularidade, por
iniciativa do Banco Mundial, realizada em Brasília no ano de 1982 (SAYERS et al.,
1986 apud BENEVIDES, 2006), foi estabelecida a escala Internacional Roughness
Index, IRI, que é uma escala de referência transferível para todos os sistemas de
medição.
O IRI pode ser definido como um índice estatístico que sumariza as variações do
perfil longitudinal do pavimento nas trilhas de roda (trajetória percorrida pelos pneus).
É determinado pelo sistema medidor tipo resposta, no qual instrumentos acoplados a um
determinado veículo acumulam os movimentos relativos entre o eixo traseiro do veículo
e sua carroceria.
Por ser um parâmetro internacional o IRI pode ser entendido em qualquer país.
Um valor igual a três para o IRI representa o mesmo grau de irregularidade, seja no
Brasil, nos Estados Unidos da América ou no Chile. Porém, cada país estabelece o seu
limite de aceitabilidade para o valor do IRI, considerando além das condições
específicas, o grau de importância atribuído pelos usuários à irregularidade quando das
avaliações dos pavimentos.
Na Tabela II.4 são apresentadas as faixas de classificação dos pavimentos
quanto a irregularidade longitudinal, em IRI, em função da qualidade do rolamento
proporcionado por estas vias, para diversos países (adaptada de FARIAS et al., 2002).
32
Verifica-se então, a variabilidade na adoção de limites de aceitabilidade de um
país para outro.
Tabela II.4 – Faixas de classificação de irregularidade longitudinal, com base no IRI (adaptada de FARIAS et al., 2002).
EUA Brasil Espanha Chile Uruguai Honduras
Muito Bom 0 - 0,95 Excelente < 2,5 Excelente 0 - 1,5 Muito
Bom 0 - 3,2
Bom 0,95 - 1,5 Bom 2,5 - 3,0 Aceitável 1,5 - 2,5 Bom 0 - 3,0 Bom 3,2 - 3,9 Bom 0 - 3,0
Regular 1,5 - 2,7 Regular 3,0 - 4,0 Regular 2,5 - 4,0 Regular 3,0 - 4,0 Regular 4,0 - 4,6 Regular 3,5 - 6,0
Ruim > 2,7 Mau 4,0 - 5,0 Não desejável > 4,0 Ruim > 4,0 Ruim > 4,6 Ruim > 6,0
Péssimo > 5,0
Fonte: AASHTO (1999)
Fonte: SGP-DNER (2001) Fonte: Rio (1977) Fonte: Partifio e Anguas (1998)
II.3.3 Condições dos pavimentos nas rodovias federais brasileiras segundo o DNER
Em setembro de 2001, o Departamento Nacional de Estradas de Rodagem
(DNER) publicou estudos referentes ao Sistema de Gerência de Pavimentos da Malha
Rodoviária Federal (SGP-DNER, 2001). Este estudo apontou as condições de cada uma
das rodovias federais em todo o país.
Os levantamentos que indicavam os defeitos e irregularidades da pista foram
realizados com base nos critérios aprovados e utilizados pelo Banco Mundial (Bird). O
objetivo do trabalho era determinar o serviço de recuperação necessário em cada trecho
da malha rodoviária, garantindo melhor alocação dos recursos e agilidade nos processos
executivos.
Ao todo, foram percorridos 49.503 km de rodovias federais e foram encontrados
27,7% do pavimento em bom estado, 36,2% em estado regular e 36,1% em mau estado
de conservação.
A coleta de dados foi feita por uma avaliação visual e outra com um
equipamento a laser. Os levantamentos foram concluídos no mês de abril/2001 e a
consolidação dos dados em agosto/2001.
33
Levantamentos realizados
Foram feitos levantamentos preliminares do volume de tráfego, estrutura do
pavimento, idade da última restauração além de outros parâmetros. Após a análise dos
dados obtidos, procedeu-se a realização dos seguintes procedimentos:
a) Levantamento Visual Contínuo (LVC) dos pavimentos, registrando-se as
ocorrências existentes em cada km.
b) Levantamento do Índice de Irregularidade Internacional (IRI) executados de
100 em 100 metros, agrupando-se também os levantamentos realizados com sensores a
laser.
c) Levantamentos cadastrais, compreendendo a atualização e validação de
outros dados, incluindo tráfego, estrutura, deflexão, etc.
Resultados obtidos
A Tabela II.5 mostra, para cada um dos Estados brasileiros, a porcentagem da
malha rodoviária federal levantada juntamente com o estado de conservação observado
nos levantamentos. A Figura II.19 apresenta o estado de conservação dos trechos
levantados separados por região geográfica e também para todo o país.
Tabela II.5 – Conservação da malha federal pavimentada por Estado (SGP-DNER, 2001).
UF Extensão
Levantada (km)Bom Regular Mau
AC 362,6 34,7% 44,1% 21,2%
AL 578,6 16,8% 35,8% 47,5%
AM 377,3 28,7% 27,7% 43,6%
BA 3.703,7 7,9% 44,5% 47,6%
CE 1.820,7 19,9% 45,1% 35,0%
DF 233,7 47,8% 43,9% 8,4%
ES 573,9 54,1% 33,6% 12,3%
GO 2.972,7 15,8% 33,2% 51,1%
MA 2.944,2 31,1% 47,8% 21,1%
MG 7.511,7 10,9% 43,1% 46,1%
MS 2.976,1 10,6% 29,5% 59,9%
MT 2.051,6 3,8% 44,2% 52,0%
34
Tabela II.5 – (Continuação)
UF Extensão
Levantada (km)Bom Regular Mau
PB 1.217,4 14,6% 48,8% 36,6%
PE 2.258,8 13,3% 36,7% 49,9%
PI 1.973,8 8,8% 46,4% 44,8%
PR 2.972,0 73,9% 15,7% 10,4%
RJ 1.804,7 61,9% 28,3% 9,7%
RN 1.359,1 13,1% 48,0% 38,9%
RO 1.087,6 44,8% 37,4% 17,8%
RR 636,3 43,0% 43,2% 13,8%
RS 4.814,0 56,3% 25,5% 18,1%
SC 2.154,9 44,4% 36,7% 18,9%
SE 230,4 11,2% 71,1% 17,7%
SP 1.340,5 73,8% 14,1% 12,1%
TO 912,1 5,4% 33,1% 61,5%
Total 49.503,4 27,7% 36,2% 36,1%
12% 16% 26
%
29%
59%
28%
35%
45% 32
% 37%
25%
36%
53% 39
%
43% 35
%
36%
16%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Centro-Oeste Nordeste Norte Sudeste Sul Brasil
MauRegularBom
Figura II.19– Conservação da malha federal pavimentada por região geográfica (adaptada de SGP-DNER,
2001).
É possível observar, considerando a distribuição dos dados em todo o Brasil, que
a distribuição dos pavimentos com estado de conservação considerados bom, regular e
mau é aproximadamente uniforme.
35
Quando se avaliam os dados por região geográfica, porém, observa-se,
principalmente nas regiões Centro-Oeste e Nordeste, que a extensão da malha
rodoviária em boa conservação é extremamente reduzida em relação às demais.
Justifica-se, portanto, a adoção dos pavimentos nos três estados (bom, regular e
mau) de conservação para a estimativa da faixa de variação do coeficiente de impacto
em pontes no Brasil conforme proposto neste trabalho. A descrição da metodologia
adotada para a geração de perfis longitudinais, representativos destes pavimentos, será
apresentada no trecho seguinte.
Geração aleatória de perfil de rugosidade
O perfil da rugosidade de uma estrada pode ser tomado como um processo
aleatório estacionário e ergódigo, com média zero. Para a descrição da superfície de
uma estrada podem ser utilizadas funções de densidade espectral obtidas
experimentalmente a partir das quais são gerados perfis de irregularidade longitudinal.
Em HONDA et al. (1982), por exemplo, o espectro que representa a rugosidade da
superfície para pontes rodoviárias é apresentado com base na medição de 84 trilhas de
roda em 56 pontes diferentes no Japão. Estas pontes tinham diferentes tipos estruturais
tais como sistemas de vigas simples e contínuas, treliças e arcos e pavimentos em
concreto e em asfalto.
A função de densidade espectral da rugosidade do pavimento pode ser expressa
por uma função exponencial da mesma forma que para o pavimento na rodovia em geral
(HONDA et al, 1982):
βωαω −= )()( krS (II.2)
onde α é o coeficiente espectral de rugosidade que depende do estado de conservação
do pavimento, o qual pode ser classificado em cinco categorias de acordo com os
padrões ditados pelo “Internacional Organization for Standardization (ISO)” (ver
Tabela II.6 ); e β é o expoente de rugosidade do espectro, tomado igual a 2,03 por
HONDA et al. (1982) como um valor médio quando se trata de pavimentos asfálticos, e
igual a 1,85 para pavimento em concreto.
36
Tabela II.6 – Classificação da superfície de rolamento de acordo com os padrões da ISO (HONDA et al, 1982).
Condição do pavimento α (m2/(m/ciclo)) Muito boa α ≤ 0,24 x 10-6
Boa 0,24 x 10-6 < α ≤ 1,0 x 10-6 Regular 1,0 x 10-6 < α ≤ 4,0 x 10-6 Ruim 4,0 x 10-6 < α ≤ 16,0 x 10-6
Muito Ruim α > 16,0 x 10-6
Entretanto, para se compatibilizar os padrões da ISO com a escala de
classificação de irregularidade adotada no Brasil (Tabela II.4), foi realizado o cálculo do
IRI, de acordo com a metodologia exposta no Anexo A, para cada perfil gerado.
Portanto, o IRI foi calculado de acordo com os padrões do quarto – de – carro e para
esta simulação numérica utilizou-se um Software disponibilizado em SAYERS, (1995)
(http://www.umtri.umich.edu/divisionPage.php?pageID=62).
Tabela II.7 – Correlação observada entre as classificações das condições do pavimento adotadas no Brasil (IRI) e pela ISO conforme HONDA et al, 1982.
Condição do pavimento
(IRI no Brasil) α (m2/(m/ciclo))
IRI
(m / km)
Excelente α ≤ 0,24 x 10-6 IRI ≤ 1,90
Excelente → Regular 0,24 x 10-6 < α ≤ 1,0 x 10-6 1,90 < IRI ≤ 3,80
Regular → Péssimo α > 1,0 x 10-6 IRI > 3,80
A correlação foi obtida para os extremos dos intervalos dos valores de α da
Tabela II.6, conforme os padrões da ISO, portanto, dentro destes intervalos é possível
observar mais de uma classificação das condições do pavimento de acordo com o IRI no
Brasil (ver Tabela II.4).
Os perfis longitudinais gerados para representar os pavimentos encontrados no
Brasil encontram-se na Figura II.20, juntamente com os parâmetros α e β utilizados e
o valor de IRI obtido. Estes perfis foram gerados (SANTOS, 2005) a partir do espectro
da eq. (II.2) como uma série de co-senos:
( )kk
N
kkir xu φπωα += ∑
=
2cos)(1
(II.3)
onde )(xuir é a rugosidade aleatória do pavimento, kα é a amplitude de rugosidade, kω é
a freqüência de rugosidade em ciclos por metro, kφ é o ângulo de fase aleatória definido
37
no intervalo [0,2π], x é a posição do eixo do veículo ao longo da sua trajetória e N é o
número total de termos da série.
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Coordenada horizontal (m)
Coor
dena
da v
ertic
al (m
m)
(a) Perfil longitudinal gerado e considerado em bom estado
(α = 0,5 10-6 m2/m/ciclo, β =2,03, IRI = 2,70).
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Coordenada horizontal (m)
Coor
dena
da v
ertic
al (m
m)
(b) Perfil longitudinal gerado e considerado em estado regular.
(α = 1,0 10-6 m2/m/ciclo, β =2,03, IRI = 3,80).
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Coordenada horizontal (m)
Coor
dena
da v
ertic
al (m
m)
(c) Perfil longitudinal gerado e considerado em mau estado.
(α = 1,5 10-6 m2/m/ciclo, β =2,03, IRI = 4,70).
Figura II.20 – Perfis longitudinais gerados para representar as condições dos pavimentos no Brasil.
38
II.4 Descrição das estruturas de pontes consideradas
Em ROSSIGALI (2006) encontra-se a descrição da geometria de pontes
representativas das obras de arte especiais encontradas na malha rodoviária brasileira.
A seção transversal das pontes é determinada em função das dimensões dos
veículos que nelas deverão trafegar e do número de faixas de tráfego; além disso, na
largura total devem estar incluídos os guarda-rodas, os acostamentos e suas distâncias
mínimas (para garantir a distância de obstáculo contínuo). Para a passagem de pedestres
podem ser previstos passeios (MASON, 1977).
Os acostamentos são usados como eventuais refúgios de veículos danificados ou
mesmo para o trânsito de pedestres, quando não houver passeios. A finalidade das
faixas de segurança é relativa ao acondicionamento psicológico do motorista.
Durante muitos anos, as rodovias federais de Classe I com pista simples de duas
faixas de tráfego (rodovias de mão dupla) foram construídas com largura entre 7,00m e
7,20m, com acostamentos de 2,50m. Para compensar a obstrução psicológica provocada
pelos 0,30m de altura dos guarda-rodas, alargava-se a pista 0,50m ou 0,60m para cada
lado. Os tabuleiros das pontes para estas rodovias foram construídos de forma
padronizada, com pista de 8,20m de largura e guarda-rodas de 0,90m, com largura total
de 10m (modelo antigo do DNER), sem acostamentos (ver a Figura II.21a).
Posteriormente o DNER orientou-se pelo padrão americano e adotou para as pontes
rurais a largura total da estrada, com a pista e os acostamentos, de modo a reduzir a
obstrução psicológica: passou-se a considerar a largura útil padrão de 12,20m (o modelo
atual, ver a Figura II.21b). Para impedir a saída dos veículos da pista, alguns guarda-
rodas dos tabuleiros estreitos antigos foram substituídos por barreiras laterais do tipo
New-Jersey (PFEIL, 1985). Esses tabuleiros são, portanto, representativos das obras de
arte na malha rodoviária nacional, que ainda têm pistas de mão dupla.
Muitas das principais rodovias do país foram construídas entre as décadas de
1960 e de 1980, adotando-se o modelo antigo do DNER e utilizando-se para o projeto
das pontes o veículo-tipo Classe 36 da antiga norma NB 6 (1960). Os tabuleiros do
modelo atual começaram a ser utilizados pelo DNER anteriormente à mudança da NB 6
para a NBR 7188; portanto, existem obras com a geometria do modelo atual projetadas
para as Classes 36 e 45.
39
820
(a)
1220
(b)
Figura II.21 Tabuleiros de modelo antigo do DNER (a) e o atual (b) –unidades em cm - (PFEIL, 1985)
O presente estudo restringiu-se aos vãos de 10m, 15m, 20m, 25m, para os quais a
ação determinante é a da passagem do tráfego normal e não a situação de
engarrafamento ou acúmulo de veículos sobre as pontes.
Quanto ao esquema estrutural longitudinal, foram considerados os casos de viga
bi-apoiada.
As pontes analisadas são de concreto armado, com as seções transversais
ilustradas na Figura II.22, e que constam de laje associada a duas longarinas principais
de seção retangular constante. Este sistema representa grande parte das obras de arte em
concreto armado nas rodovias federais na faixa de vãos estabelecida.
A Tabela II.8 apresenta as dimensões adotadas para os elementos estruturais
ilustrados na Figura II.22. Estas dimensões seguem de forma coerente o padrão usual de
dimensionamento das obras de arte em concreto armado. Consideraram-se duas
transversinas intermediárias para os vãos bi-apoiados sem balanços.
18
T
600200 110 90
1000
820
h
wb
h
h
bw
750275 235 40
1300
h
1220
T
25
Figura II.22a – Seção transversal do modelo
antigo (unidades em cm). Figura II.22b – Seção transversal do modelo novo
(unidades em cm).
40
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
Figura II.22c – Esquema longitudinal das estruturas simplesmente apoiadas (unidades em m).
Figura II.22 Seções transversais das pontes e esquemas longitudinais.
Tabela II.8 Dimensões dos elementos estruturais (m).
Elemento estrutural Dimensão 10m 15m 20m 25m 30m
h 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 Viga
bw 0,35 0,35 0,40 0,40 0,45
ht 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 Transversina
bt 0,25 0,30 0,30 0,30 0,30
41
III Modelagem analítico-numérica da interação veículo –
pavimento – estrutura
Com base em modelos analíticos dos veículos e da estrutura foram formuladas
equações do sistema interativo veículo-pavimento-estrutura, as quais são apresentadas
neste capítulo. Além das modelagens simplificadas dos veículos com 1 grau de
liberdade (1GL) e 2GL, consideram-se também veículos com 4GL e 5GL
representativos dos veículos monolíticos com 2 e 3 eixos respectivamente (veículos 2C -
Figura III.6 - e 3C - Figura III.8).
Para a modelagem da estrutura considera-se uma discretização unifilar com
elementos de pórtico espacial e escreveram-se as equações de movimento em
coordenadas generalizadas (método de superposição modal) admitindo-se modos de
vibração de flexão vertical e de torção.
Na última seção deste capítulo apresenta-se uma descrição da implementação
computacional efetuada.
III.1 Modelagem dos veículos
III.1.1 Veículo com um grau de liberdade (GL)
Apresenta-se esquematicamente na Figura III.1, o modelo que representa, de
forma simplificada, um veículo qualquer cuja massa total se apóia sobre uma suspensão
única, representada pelo conjunto mola - amortecedor. Destaca-se que este modelo não
conta com os efeitos dinâmicos causados pelo conjunto formado pelas rodas e pneus.
rígida lisaSuperfície
vu
z
x
mv
v cte
kv cv
CM
Figura III.1– Veículo com 1GL (uv) sobre superfície rígida lisa
42
Na Figura III.2 são mostrados os diagramas de corpo livre (DCL) e de força
resultante (DFR) da massa suspensa mv do modelo da Figura III.1.
Considerando-se então, a atuação do peso do veículo (Pv), da força elástica (fe)
proveniente da mola de suspensão e da força de amortecimento (fa), e aplicando-se a
segunda lei de Newton aos respectivos diagramas da Figura III.2, tem-se:
vvvaev umPffF &&=−−−=∑ (III.1)
DCL DFR
mvvm
vP
CMCM
fe
af
Figura III.2 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR) de mv.
Substituindo na eq. (III.1) as expressões das forças elástica ( vve ukf = ) e de
amortecimento ( vva ucf &= ) chega-se à equação do movimento do veículo deslocando-se
sobre uma superfície horizontal plana e sem rugosidade, dada por:
vvvvvvv Pukucum −=++ &&& (III.2)
onde vu&& , vu& e vu são, respectivamente, aceleração, velocidade e deslocamento
vertical do corpo do veículo; mv, cv e kv são a massa, o coeficiente de amortecimento e a
rigidez da suspensão do veículo, respectivamente; Pv é o peso do veículo (Pv = mvg) e g
é a aceleração da gravidade. O índice v será sempre utilizado com referência à massa
suspensa que compõe o veículo.
III.1.2 Veículo com dois GL’s
Este veículo difere do anterior pelo fato de contar com os efeitos dinâmicos
causados pelo conjunto de massa mp formado pelo eixo, rodas e pneus, conforme
ilustrado na Figura III.3.
De acordo com o mesmo procedimento, utilizado para o modelo com 1GL,
consideram-se o diagramas de corpo livre e de força resultante (Figura III.4), e obtêm-se
as seguintes equações para o equilíbrio de forças verticais da massa suspensa e de massa
não suspensa (conjunto eixo-rodas-pneus) do veículo:
vvum &&
43
vvvpvvpvvvavev umPuucuukPff &&&& =−−−−−=−−− )()( (III.3a)
ppppppppvvpvvpapepavev umPucukuucuukPffff &&&&& =−−−−+−=−−−+ )()( (III.3b)
onde pu&& , pu& e pu são, respectivamente, aceleração, velocidade e deslocamento vertical
da massa inferior do veículo (mp). Nota-se que o índice p é introduzido para indicar o
conjunto formado pelo eixo, rodas e pneus do veículo; mp, cp e kp são a massa,
amortecimento e rigidez do referido conjunto, respectivamente; e Pp é o peso do
conjunto eixo-rodas-pneus do veículo (Pp = mpg).
Superfície
vu
z
x
mv
v cte
kv cv
CM
up
pk pc
pm
rígida lisa
Figura III.3 – Veículo com 2 GL’s (uv e up) sobre superfície rígida plana.
DCL DFR
mvvm
vP
CMCM
fev
avf
DCL DFR
mppm
pP
CMCM
fep
apf
evf
fav
Figura III.4a- massa suspensa (mv) Figura III.4b- massa não suspensa - conjunto eixo-
roda-pneus (mp).
Figura III.4 – DCL’s e DFR’s das massas.
As equações de movimento vertical do veículo de 2 GL’s deslocando-se sobre
uma superfície horizontal plana e sem rugosidade são então dadas por:
ppum &&
ppum &&
44
vpvvpvvvv Puucuukum −=−+−+ )()( &&&& (III.4a)
pvvvvpvppvppp Pucukuccukkum −=−−++++ &&&& )()( (III.4b)
III.1.3 Veículo com 4 GL’s
Este modelo apresenta-se mais completo que os anteriores, pois além de
considerar o deslocamento vertical do conjunto eixo-pneu considera também a rotação
de corpo rígido do veículo (Figura III.5).
rígida lisaSuperfície
vu
z
x
up2
kv2 cv2v1cv1
ctev
vm
k
c p1k p1p2k p2c
p1u mp1 p2m
vθ
Figura III.5 – Veículo com 4GL ),,,( 21 ppvv uuu θ sobre superfície rígida lisa.
O presente modelo de 4GL’s representa o veículo monolítico composto por 2
eixos (Figura III.6) de nomenclatura 2C que será explicada no capítulo III.
Figura III.6 – Veículo de dois eixos (2C).
Seguindo o mesmo procedimento do modelo com 2 GL’s, deduzem-se as
equações de movimento do veículo com o auxílio da Figura III.7. Assim, as equações
45
do movimento para a massa suspensa do veículo de 4 GL’s são dadas por (ver Figura
III.7a):
vi
avievivv Pffum −+−= ∑=
2
1
)(&& (III.5a)
ii
avievivv LffI ⋅+= ∑=
2
1
)(θ&& (III.5b)
onde, evif e avif são, respectivamente, a força elástica e a força de amortecimento
correspondentes a suspensão do veículo no eixo i (i=1,2); iL é a distância do eixo i ao
centro de gravidade (CG) da massa suspensa e vI e vθ&& são, respectivamente, o
momento de inércia e a aceleração angular da massa suspensa do veículo (mv).
Considerando-se devidamente as forças atuantes no veículo, as equações (III.5)
podem ser escritas da seguinte forma:
vpvvpvv
pvvpvvvv
PLuukLuuc
uLukuLucum
−−−−−−−
+−−+−−=
)]([)]([
)]([)]([
θθ
θθ
222222
111111
&&&
&&&&& (III.6a)
{ }{ } 2222222
1111111
LLuukLuuc
LuLukuLucI
pvvpvv
pvvpvvvv
⋅−−+−−
−⋅+−++−=
)]([)]([
)]([)]([
θθ
θθθ&&&
&&&&& (III.6b)
O índice i=1 está associado à massa mp1 (eixo traseiro) enquanto que o índice
i=2 representa os parâmetros da massa mp2 (eixo dianteiro).
A equação de movimento da massa do eixo i do veículo transitando sobre uma
superfície lisa é dada por:
gmffffum piapiepiavievipipi −−−+=&& (III.7)
Conforme a Figura III.7b, para o caso do eixo traseiro tem-se:
gmukucuLukuLucum ppppppvvpvvpp 1111111111111 )]([)]([ −−−+−++−= &&&&&& θθ (III.8a)
E conforme a Figura III.7c, para o caso do eixo dianteiro as equações são:
gmukuc
LuukLuucum
ppppp
pvvpvvpp
22222
22222222 )]([)]([
−−−
+−−+−−=
&
&&&&& θθ (III.8b)
46
DCL DFR
Pv
L1 L2
mvCM
vm CM
(a) DCL e DRF da massa suspensa
DCL DFR
P p1
CM
mp1CM
p1m
(b) Conjunto eixo-rodas-pneus 1
DCL DFR
P p2
CMp2m
CM
mp2
(c) Conjunto eixo-rodas-pneus 2
Figura III.7 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR). (a) massa suspensa, (b)
conjunto eixo-rodas-pneus 1 e (c) conjunto eixo-rodas-pneus 2.
mp1.üp1 )]([ 111 pvv uLuc &&& +− θ
)]([ 111 pvv uLuk +− θ
11 pp uc &
11 pp uk
)]([ 222 θ&&& Luuc pvv −−
)]([ 222 θLuuk pvv −−
22 pp uk
vvum &&
)]([ 111 pvv uLuk +− θ
vvI θ&&
)]([ 111 pvv uLuc &&& +− θ
)]([ 222 θLuuk pvv −−
)]([ 222 θ&&& Luuc pvv −−
mp2.üp2
22 pp uc &
47
Explicitando-se nas equações (III.6) e (III.8) os graus de liberdade do sistema
chega-se às equações de movimento para o veículo simulado através de 4 GL’s:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−++
++−+=
−+−−+
++−−=
+−+−−
++−+−−=
−++−++−
+++−++−=
gmukkLkuk
uccLcucum
gmukkLkuk
uccLcucum
uLkuLkLkLkuLkLk
uLcuLcLcLcuLcLcI
PukukLkLkukk
ucucLcLcuccum
pppvvvv
ppvvvvpp
pppvvvv
ppvvvvpp
pvpvvvvvv
pvpvvvvvvvv
vpvpvvvvvv
pvpvvvvvvvv
2222222
22222222
1111111
11111111
2221112
222
112211
2221112
222
112211
2211221121
2211221121
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(
)()()()(
)()(
)()(
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
&&&&&
&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
(III.9)
III.1.4 Veículo com 5 GL’s
Este modelo apresenta-se da mesma forma que o anterior (com quatro graus de
liberdade). Entretanto, o modelo com 5 GL’s (Figura III.9) representa de forma mais
exata os veículos compostos por 3 eixos, conforme configuração ilustrada na Figura
III.8. Assim, os dois eixos traseiros (tandem duplo) são representados de forma mais
realística.
Figura III.8 – Veículo de três eixos (3C).
De acordo com o procedimento adotado para o modelo de 4 GL’s, são
deduzidas as equações de movimento do veículo a partir dos diagramas de corpo livre e
de força resultante (Figura III.9). As equações do movimento para a massa suspensa do
veículo de 5 GL’s são dadas por:
vi
avievivv Pffum −+−= ∑=
3
1)(&& (III.10a)
ii
avievivv LffI ⋅+= ∑=
3
1)(θ&& (III.10b)
48
Considerando-se devidamente as forças atuantes no veículo, as equações (III.10)
podem ser escritas da seguinte forma:
vpvvpvv
pvvpvv
pvvpvvvv
PLuukLuuc
uLukuLuc
uLukuLucum
−−−−−−−
+−−+−−
+−−+−−=
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
θθ
θθ
θθ
333333
222222
111111
&&&
&&&
&&&&&
(III.11a)
{ }{ }{ } 3333333
2222222
1111111
LLuukLuuc
LuLukuLuc
LuLukuLucI
pvvpvv
pvvpvv
pvvpvvvv
⋅−−+−−−
⋅+−++−+
⋅+−++−=
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
θθ
θθ
θθθ
&&&
&&&
&&&&&
(III.11b)
rígida lisaSuperfície
vu
z
x
up3
kv3 cv3v2cv2
ctev
vm
k
cp2kp2 p3k p3c
p1u
p1kp1c
kv1 cv1
mp1 p2m mp3p2u
vθ
Figura III.9 – Veículo com 5 GL’s sobre superfície rígida regular.
DCL DFR
Pv
L1 L3
L2
ev1 f
f av1 av2 f
f ev2ev3 f
f av3
CMvm
CMmv
Figura III.10a – DCL e DRF da massa suspensa
mv.üv
vvI θ&&
49
DCL DFR
P p1
CMp1m
CM
mp1
(b) Conjunto eixo-rodas-pneus 1
DCL DFR
P p2
CMp2m
CM
mp2
(c) Conjunto eixo-rodas-pneus 2
DCL DFR
P p3
CM
mp3CM
p3m
(d) Conjunto eixo-rodas-pneus 3
Figura III.10 – Diagramas de corpo livre (DCL) e de força resultante (DFR). (a) massa suspensa, (b)
conjunto eixo-rodas-pneus 1, (c) conjunto eixo-rodas-pneus 2 e (d) conjunto eixo-rodas-pneus 3.
mp1.üp1 )]([ 111 pvv uLuc &&& +− θ
)]([ 111 pvv uLuk +− θ
11 pp uc &
11 pp uk
)]([ 333 θ−− &&& Luuc pvv
)]([ 333 θ−− Luuk pvv
33 pp uk
mp3.üp3
33 pp uc &
mp2.üp2 )]([ 222 pvv uLuc &&& +θ−
)]([ 222 pvv uLuk +θ−
22 pp uc &
22 pp uk
50
A equação de movimento de uma das rodas do eixo i do veículo transitando
sobre uma superfície lisa é dada pela eq. (III.7).
Conforme a Figura III.10b, para o caso do primeiro eixo traseiro tem-se:
gmukucuLukuLucum ppppppvvpvvpp 1111111111111 )]([)]([ −−−+−++−= &&&&&& θθ (III.12a)
Da mesma forma, seguindo o mesmo procedimento adotado para o eixo anterior,
obtêm-se as equações para os demais eixos:
gmukuc
uLukuLucum
ppppp
pvvpvvpp
22|222
22222222 )]([)]([
−−−
++−++−=
&
&&&&& θθ (III.12b)
gmukuc
LuukLuucum
ppppp
pvvpvvpp
33333
33333333 )]([)]([
−−−
+−−+−−=
&
&&&&& θθ
(III.12c)
Explicitando, nas eqs. (III.11) e (III.12) os graus de liberdade do sistema chega-
se ao sistema de equações de movimento para o veículo simulado através de 5GL:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−++
++−+=
−+−−+
++−−=
−+−−+
++−−=
+−−
++−−
+++−−++
+++−−+=
−++++++
+−++++−
+−++++−=
gmukkLkuk
uccLcucum
gmukkLkuk
uccLcucum
gmukkLkuk
uccLcucum
uLkuLkuLk
uLcuLcuLcLkLkLkuLkLkLk
LcLcLcuLcLcLcI
gmukukukucucucLkLkLkukkk
LcLcLcucccum
pppvvvv
ppvvvvpp
pppvvvv
ppvvvvpp
pppvvvv
ppvvvvpp
pvpvpv
pvpvpv
vvvvvvv
vvvvvvvvv
vpvpvpvpvpvpv
vvvvvvv
vvvvvvvvv
3333333
33333333
2222222
22222222
1111111
11111111
333222111
333222111
233
222
211332211
233
222
211332211
332211332211
332211321
332211321
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()(
)()()()()(
)()(
)()()()(
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&
&&&&
&&&
&&&&
(III.13)
51
III.2 Equações de Movimento da Estrutura
Discretizando-se uma estrutura contínua via Método dos Elementos Finitos
(MEF), a equação de movimento é dada por:
FUKUCUM eeeeee =++ &&& (III.14)
onde,
Me é a matriz de massa global da estrutura;
Ce é a matriz de amortecimento global da estrutura;
Ke é a matriz de rigidez global da estrutura;
eee UUU e&&& , são, respectivamente, vetores de aceleração, velocidade e deslocamento
dos pontos nodais da estrutura e
F é o vetor de forças nodais variável no tempo e no espaço.
Determinando-se os modos e freqüências naturais de vibração, por meio da
análise de vibrações livres, pode-se assumir as amplitudes das componentes modais
como coordenadas generalizadas.
O deslocamento total ( kU ) de um ponto nodal qualquer k dessa estrutura é dado
pela superposição modal das amplitudes de seus n principais modos de vibração,
descrito pela seguinte expressão:
∑=
=+++=n
jejjkennkekekek tutututuU
12211 )()(...)()( φφφφ (III.15)
onde,
)(tuej é a amplitude do modo j,
n é o número de modos do sistema,
jkφ é o elemento do auto-vetor associado ao modo j e ao ponto nodal k.
Utilizando-se o principio da superposição modal (CLOUGH e PENZIEN, 1993)
o sistema de equações (III.14) transforma-se em n equações desacopladas da seguinte
forma:
jejejejejejej Fukucum =++ &&& (III.16)
onde,
ejm , é a massa modal da estrutura para o j-ésimo modo de vibração da estrutura;
ejc , é a constante de amortecimento modal para o j-ésimo modo de vibração da
estrutura;
52
ejk , é a rigidez generalizada para o j-ésimo modo de vibração da estrutura;
jF , é a força generalizada associada ao modo j, calculada pelo produto vetorial Fjφ ,
sendo jφ o autovetor do modo j;
Pode-se ainda realizar as seguintes substituições (CLOUGH e PENZIEN, 1993):
ejejejej mc ξω2= (III.17a)
2ejejej mk ω= (III.17b)
Obtendo-se a seguinte equação:
ej
jejejejejejej m
Fuuu =++ 22 ωξω &&& (III.18a)
onde,
ejω é a frequência angular da estrutura para o j-ésimo modo;
ejξ é a taxa de amortecimento da estrutura para o j-ésimo modo.
No presente trabalho utilizou-se um modelo unifilar para representar a estrutura
tridimensional (ver Figura III.11). Foram considerados modos de vibração de flexão
vertical e de torção. Para os modos de torção ( jα ) a equação (III.18) é escrita na
seguinte forma:
ej
jejejejejejej I
T=++ αωαξωα 22 &&& (III.18b)
onde,
jT é o momento torçor generalizado;
ejI é a massa rotacional modal para o modo j.
xy
z
MODELO 3D
φ i
iα
MODELO UNIFILAR
z
yx
Figura III.11 – Modelo 3D e modelo unifilar utilizados na análise (representação esquemática).
53
III.3 Modelagem da interação dinâmica veículo-pavimento-estrutura
O veículo atua como carregamento móvel, que varia no tempo e no espaço, e
que, devido a sua ação dinâmica, excita a estrutura da ponte quando trafega pela mesma
sob determinada velocidade. Esta excitação é provocada pelo efeito inercial da massa
suspensa do veículo, cujo movimento vertical é induzido pela irregularidade geométrica
do pavimento e pelo próprio movimento da estrutura.
Assim, a equação de movimento da estrutura de uma ponte submetida a esse tipo
de carregamento, pode ser escrita como:
)(UKUCUM inteeeeee tF=++ &&& (III.14a)
onde )(int tF é a força de interação veículo-pavimento-estrutura em cada ponto k de
contato entre os pneus do veículo e o pavimento aderente a superficie da estrutura, que
pode ser escrita como:
∑=
+=n
iaiei fftF
1int )()( (III.19)
onde aiei fef são, respectivamente, as forças elásticas e amortecedoras exercidas pelos
componentes de mola e amortecimento do eixo i do veículo (pneus) em contato com a
estrutura.
Considera-se que não há perda de contato do pneu com o pavimento, isto é, as
forças de interação estão sempre presentes.
III.3.1 Modelo com 1 GL para veículo com suspensão única
O modelo da Figura III.12, representa um sistema mecânico-estrutural acoplado,
onde se levam em consideração a irregularidade do pavimento e o deslocamento da
estrutura.
As forças que o veículo exerce sobre a estrutura no ponto k de contato (Figura
III.13) são as forças fe (elástica) e fa (amortecimento), funções do movimento vertical do
veículo em relação a estrutura e não mais do movimento absoluto do veículo como
ilustrado na Figura III.2.
Sendo assim:
)]([)]([)(int revvrevv uUucuUukfafetF &&& +−++−=+= (III.20)
54
onde ru é a coordenada vertical dos pontos na superfície irregular do pavimento, e ru&
sua derivada no tempo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
=∂∂
= vxu
tuur& .
flexível irregularSuperfície
-(uruv
vu
z
x
ur
Ue
+Ue)
k+1k-1 k
v cte
kv cv
deformadaEstrutura
estrutura indeformadaModelo numérico da
CM
vm
Figura III.12 – Veículo com 1 GL sobre superfície flexível irregular.
k+1k-1 k
DCL
Figura III.13 – DCL da estrutura.
Substituindo a eq. (III.20) em (III.14a) e introduzindo-se o movimento relativo
do veículo na eq. (III.2), em substituição ao movimento absoluto do veículo chega-se às
seguintes equações de movimento do sistema mecânico-estrutural:
{ }{ }
{ }⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=+−++−+
+−++−=++
+−++−=++
+−++−=++
+++++++
vrevvrevvvv
revvrevvknnenenenenene
revvrevvkjjejejejejeje
revvrevvjkejjeejjeejje
PuUukuUucum
uUucuUukukucum
uUucuUukukucum
uUucuUukukucum
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
,
,
&&&&&
&&&&&&
M
&&&&&&
&&&&&&
φ
φ
φ
1111111
(III.21)
ef
af
55
onde, ejejej ueuu &&& , são a aceleração, velocidade e deslocamento generalizados da
estrutura para o j-ésimo modo de vibração e,
∑=
=n
jjjee uU
1φ (III.15)
é o deslocamento do ponto k da estrutura em contato com o veículo (ver Figura III.12).
As n primeiras equações representam as equações de movimento da estrutura
para os n modos de vibração considerados na aplicação do método da superposição
modal. A última representa a equação de movimento do veículo (massa suspensa).
As equações (III.21) podem ser escritas na forma matricial da seguinte forma:
PKUUCUM =++ &&& (III.22)
Assim, facilita-se a representação das mesmas, pois os veículos com maior
número de graus de liberdade apresentam equações mais extensas. Além disso, observa-
se que o numero de equações cresce de acordo com o número de graus de liberdade
considerado para o veículo.
Os vetores que representam respectivamente a aceleração, velocidade e
deslocamento do sistema são apresentados da seguinte forma:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
v
ne
je
je
u
u
u
u
&&
&&
M
&&
&&
&&
1
U ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
v
ne
je
je
u
u
u
u
&
&
M
&
&
&
1
U e
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
v
ne
je
je
u
u
u
u
M
1
U (III.23)
As matrizes de massa, rigidez, amortecimento e o vetor de forças que formam o
sistema de equações diferenciais, representado pela eq. (III.22), são apresentadas pelas
sub-matrizes que as compõem, da seguinte maneira:
)()(vv
ee
M0
0MM
11111
1
+×+××
××
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
KK
KKK
11111
1
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
CC
CCC
11111
1
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n e
)()(v
e
P
PP
1111
1
×+×
×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
n)(
)(n
(III.24)
onde,
56
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
×
ne
je
je
n)(n
m
m
m
00
00
000
0
1
OM
L
eeM ; [ ]v)( m=× 11vvM ;
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
+
++++
+
×
21
12
111
12
nnejnvjnv
njvjjejjv
njvjjvjje
n)(n
kkk
kkkkkk
φφφφφ
φφφφφφφφφφ
L
MMMM
L
L
eeK ; [ ]v)( k=× 11vvK ;
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−= +× nvjvjvn)( kkk φφφ L11veK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=+
×
nv
jv
jv
)(n
k
k
k
φ
φ
φ
M
1
1evK ;
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
+
++++
+
×
21
12
111
12
nnejnvjnv
njvjjejjv
njvjjvjje
n)(n
ccc
cccccc
φφφφφ
φφφφφφφφφφ
L
MMMM
L
L
eeC ; [ ]v)( c=× 11vvC ;
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−= +× nvjvjvn)( ccc φφφ L11veC ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=+
×
nv
jv
jv
)(n
c
c
c
φ
φ
φ
M
1
1evC ;
( )( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
=+
×
rvrvn
rvrvj
rvrvj
)(n
ukuc
ukuc
ukuc
&
M
&
&
φ
φ
φ
1
1eP e ( )[ ]vrvrv)( Pukuc −+=× &11vP
Nas equações (III.24), com a finalidade de simplificar a notação, os elementos
dos autovetores jφ associados ao nó k de contato foram designados por jφ , ao invés de
jkφ .
A metodologia adotada para a representação das matrizes demonstra grande
utilidade na conferência do programa desenvolvido em linguagem FORTRAN. Pode-se
observar também que as matrizes não tomam grandes proporções, facilitando assim a
sua visualização e a acomodação das mesmas ao longo do corpo da tese.
57
III.3.2 Modelo com 2 GL’s para veículo com suspensão única
Na Figura III.4 encontram-se ilustrados os DCL’s das massas do veículo com 2
GL’s. As forças de interação atuantes no sistema dependem do deslocamento (up) da
massa inferior do veículo (mp) e do deslocamento Ue do ponto da estrutura em contato
com o veículo, além da rugosidade do pavimento. Então, de acordo com esses
parâmetros obtém-se a força de interação dinâmica pela seguinte equação:
)]([)]([)(int repprepp uUucuUukfafetF &&& +−++−=+= (III.25)
Introduzindo-se a eq. (III.25) nas equações (III.14a) de movimento da estrutura e
também o movimento relativo do veículo nas equações (III.4) chega-se ao seguinte
sistema de equações acopladas que representam o sistema mecânico-estrutural em
questão:
{ }{ }
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−−−−+−++−+
−=−+−+
+−++−=++
+−++−=++
+−++−=++
+++++++
ppvvpvvrepprepppp
vpvvpvvvv
reppreppknnenenenenene
reppreppkjjejejejejeje
reppreppkjejjeejjeejje
PuukuucuUukuUucum
Puukuucum
uUucuUukukucum
uUucuUukukucum
uUucuUukukucum
)()()]([)]([
)()(
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
,
,
,
&&&&&&&
&&&&
&&&&&&
M
&&&&&&
&&&&&&
φ
φ
φ
1111111
(III.26)
As n primeiras equações representam as equações de movimento da estrutura
para os n modos de vibração considerados na aplicação do método da superposição
modal. As duas últimas representam respectivamente a equação de movimento do
veículo (massa suspensa) e do conjunto formado pelo eixo, roda mais pneu (massa não
suspensa).
Representam-se as equações (III.26) na forma matricial da mesma maneira que
foi apresentada na eq. (III.22), sendo os vetores aceleração, velocidade e deslocamento:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
p
v
ne
je
je
uuu
uu
&&
&&
&&
M
&&
&&
&&
1
U ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
p
v
ne
je
je
uuu
uu
&
&
&
M
&
&
&
1
U e
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
p
v
ne
je
je
uuu
uu
M1
U (III.27)
58
As matrizes de massa, rigidez, amortecimento e o vetor de forças são
apresentadas a seguir, de acordo com a mesma metodologia utilizada para o veículo
com 1GL:
)()(vv
ee
M0
0MM
22222
2
+×+××
××
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
KK
KKK
22222
2
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
CC
CCC
22222
2
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n e
)()(v
e
P
PP
1212
1
×+×
×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
n)(
)(n
(III.28)
onde,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
×
ne
je
je
n)(n
m
m
m
00
0
000
0
1
MOM
L
eeM ; ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=×
p
v
)( mm
0
022vvM ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
+
++++
+
×
pnnejnpjnp
njppjjejjp
njpjjppjje
n)(n
kkkk
kkkk
kkkk
21
12
111
12
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφ
L
MMMM
L
L
eeK ;
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−=×
vpv
pv
)( kkk
kk22vvK ;
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=+
×npjpjp
n)( kkk φφφ L
L
12
0veK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=+
×
np
jp
jp
)(n
k
k
k
φ
φ
φ
M
M 1
2
0
evK ;
59
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
+
++++
+
×
pnnejnpjnp
njppjjejjp
njpjjppjje
n)(n
cccc
cccc
cccc
21
12
111
12
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφ
L
MMMM
L
L
eeC ;
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−=×
vpv
pv
)( ccc
cc22vvC ;
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−=+
×npjpjp
n)( ccc φφφ L
L
12
0veC ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=+
×
np
jp
jp
)(n
c
c
c
φ
φ
φ
M
M 1
2
0
evC ;
( )( )
( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
=+
×
rvrvn
rvrvj
rvrvj
)(n
ukuc
ukuc
ukuc
&
M
&
&
φ
φ
φ
1
1eP e
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−=×
prprp
v
)( PukucP
&12vP
Nas equações (III.28) os elementos dos autovetores jφ associados ao nó k de
contato também foram designados por jφ , ao invés de jkφ .
III.3.3 Modelo com 4 GL’s para veículo com 2 eixos
O veículo de 4 GL’s da Figura III.5 tem dois pontos de contato com a estrutura,
correspondentes aos eixos dianteiro (sub-índice 2) e traseiro (sub-índice 1). As forças de
interação para cada eixo i, ilustrados na Figura III.14 podem ser escritas como:
2,1,)( =+= ifftF aieiei (III.29)
onde,
)]([
)]([
riiepipiai
riiepipiei
uUucf
uUukf
&&& +−=
+−= (III.30)
Nas eqs. (III.30) Uei é o deslocamento vertical do ponto da estrutura em contato
com o eixo i em cada instante de tempo:
∑=
=n
jjijeei uU
1φ ; n é o número de modos de vibração. (III.31)
60
e uri é a coordenada do perfil longitudinal do pavimento no ponto de contato com o eixo
i em cada instante de tempo.
k+1k
DCL
k-1
Figura III.14 – Diagrama de corpo livre (DCL) da estrutura.
Substituindo a equação (III.29) em (III.14a) e realizando as devidas operações,
chega-se ao sistema de equações de movimento acopladas do sistema mecânico-
estrutural, expresso por:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−−+−−
+−−+−−=
−+−−+−−
++−++−=
⋅+⋅−⋅+−⋅−
+⋅+⋅−⋅+−⋅−=
−⋅+⋅+⋅−+⋅+−
+⋅+⋅+⋅−+⋅+−=
+++=++
+++=++
+++=++
++++++++
222222222
22222222
111111111
11111111
2221112
222
112211
2221112
222
112211
2211221121
2211221121
222111
22121111111111
222111
prepprepp
pvvpvvpp
prepprepp
pvvpvvpp
pvpvvvvvv
pvpvvvvvvvv
vpvpvvvvvv
pvpvvvvvvvv
aenaennenenenenene
aejaejjejejejejeje
aejaejejjeejjeejje
PuUukuUuc
LuukLuucum
PuUukuUuc
uLukuLucum
uLkuLkLkLkuLkLk
uLcuLcLcLcuLcLcI
gmukukLkLkukk
ucucLcLcuccum
ffffukucum
ffffukucum
ffffukucum
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
&&&
&&&&&
&&&
&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&
M
&&&
&&&
θθ
θθ
θ
θθ
θ
θ
φφ
φφ
φφ
(III.32)
Nas eqs. (III.32), as forças elásticas (fe) e amortecedoras (fa) de interação
veículo-estrutura para os dois eixos do veículo são expressas de acordo com as eqs.
(III.30).
)]([ 2222 repp uUuk +−
)]([ 2222 repp uUuc &&& +−
)]([ 1111 repp uUuk +−
)]([ 1111 repp uUuc &&& +−
61
As equações (III.32) são representadas na forma matricial de acordo com o
exposto no item III.3.2 e os correspondentes vetor de deslocamento U, matrizes de
massa, rigidez, amortecimento e vetor de forças são:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
2
1
1
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
&&
&&
&&
&&
&&
M
&&
&&
&&
θ
U ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
2
1
1
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
&
&
&
&
&
M
&
&
&
θ
U e
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
2
1
1
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
θ
M
U (III.33)
)()(vv
ee
M0
0MM
44444
4
+×+××
××
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
KK
KKK
44444
4
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
CC
CCC
44444
4
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(ne
)()(v
e
P
PP
1414
1
×+×
×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
n)(
)(n
(III.34)
onde,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
×
ne
je
je
n)(n
m
m
m
00
0
000
0
1
MOM
L
eeM ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
2
144
00
00
000
0
p
p
v
v
)(
m
mI
m
M
L
vvM ;
62
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++
++++
=
++
+++++++
++
×
npnpnejnpjnpjnpjnp
njpnjpjpjpjejjpjjp
njpnjpjjpjjpjpjpje
n)(n
kkkkkkk
kkkkkkk
kkkkkkk
222
21112221111222111
2122111112221
211121221111
22211112221111222
211
φφφφφφφφφφ
φφφφφφφφφφ
φφφφφφφφφφ
L
MMMM
L
L
eeK
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−
−+−−
−+−
=×
)(
)(
)(
)(
K vv
22222
11111
22112
222
112211
21221121
44
0
0
pvvv
pvvv
vvvvvv
vvvvvv
)(
kkLkk
kkLkk
LkLkLkLkLkLk
kkLkLkkk
;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+×
npjpjp
npjpjpn)(
kkk
kkk
2212222
11111114
0
0
φφφ
φφφ
L
L
L
L
veK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=++
×
npnp
jpjp
jpjp
)(n
kk
kk
kk
2211
122111
2211
4
00
φφ
φφ
φφ
MM
MMevK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
++++
++++
=
++
+++++++
++
×
npnpnejnpjnpjnpjnp
njpnjpjpjpjejjpjjp
njpnjpjjpjjpjpjpje
n)(n
ccccccc
ccccccc
ccccccc
222
21112221111222111
2122111112221
211121221111
22211112221111222
211
φφφφφφφφφφ
φφφφφφφφφφ
φφφφφφφφφφ
L
MMMM
L
L
eeC
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−
−+−−
−+−
=×
)(
)(
)(
)(
Cvv
22222
11111
22112
222
112211
21221121
44
0
0
pvvv
pvvv
vvvvvv
vvvvvv
)(
ccLcc
ccLcc
LcLcLcLcLcLc
ccLcLccc
;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+×
npjpjp
npjpjpn)(
ccc
ccc
2212222
11111114
0
0
φφφ
φφφ
L
L
L
L
veC ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=++
×
npnp
jpjp
jpjp
)(n
cc
cc
cc
2211
122111
2211
4
00
φφ
φφ
φφ
MM
MMevC ;
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
+−+−
+−+−
=++
×
2222211111
222212111111
2222211111
1
rprpnrprpn
rprpjrprpj
rprpjrprpj
)(n
ucukucuk
ucukucuk
ucukucuk
&&
M
&&
&&
φφ
φφ
φφ
eP ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=×
2
114
0
p
p
v
)(
P
P
P
vP
63
Nas eqs. (III.34) j2φ e j1φ representam os componentes do autovetor do modo j
correspondentes aos pontos de contato da estrutura com os eixos 2 e 1 do veículo
respectivamente, os quais variam ao longo do tempo.
III.3.4 Modelo com 5 GL’s para veículo com 3 eixos
Para o veículo de 5 GL’s são 3 os pontos de contato com a estrutura. As forças
de interação são então aplicadas nestes 3 pontos e são escritas segundo a eq. (III.29)
sendo i = 1, 3.
Substituindo a equação (III.29) em (III.14) e realizando as devidas operações,
chega-se ao sistema de equações de movimento acopladas do sistema mecânico-
estrutural, expresso por:
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−−+−−
+−−+−−=
−+−−+−−
++−++−=
−+−−+−−
++−++−=
+−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+
++−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+=
−+++⋅−++⋅++−
++++⋅−++⋅++−=
+=++
+=++
+=++
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=+++++++
=
333333333
33333333
222222222
22222222
111111111
11111111
333222111
3
1
2332211
333222111
3
1
2332211
332211332211321
332211332211321
3
1
3
11111111
3
1
prepprepp
pvvpvvpp
prepprepp
pvvpvvpp
prepprepp
pvvpvvpp
pvpvpvi
ivivvvv
pvpvpvi
ivivvvvvv
vpvpvpvvvvvvvv
pvpvpvvvvvvvvvv
iaieininenenenenene
iaieijijejejejejeje
iaieijiejjeejjeejje
PuUukuUuc
LuukLuucum
PuUukuUuc
uLukuLucum
PuUukuUuc
uLukuLucum
uLcuLcuLcLkuLkLkLk
uLcuLcuLcLcuLcLcLcI
PukukukLkLkLkukkk
ucucucLcLcLcucccum
ffukucum
ffukucum
ffukucum
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)]([)]([
)()()()(
)()()()(
)()(
)()(
&&&
&&&&&
&&&
&&&&&
&&&
&&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&
&&&
M
&&&
&&&
θθ
θθ
θθ
θ
θθ
θ
θ
φ
φ
φ
(III.35)
64
A representação matricial das equações (III.35) possui os seguintes vetor de
deslocamentos, matrizes de massa, rigidez, amortecimento e vetor de forças:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
3
2
1
1
p
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
u
&&
&&
&&
&&
&&
&&
M
&&
&&
&&
θ
U
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
3
2
1
1
p
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
u
&
&
&
&
&
&
M
&
&
&
θ
U
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
3
2
1
1
p
p
p
v
v
ne
je
je
u
u
u
u
u
u
u
θ
M
U
(III.36)
)()(vv
ee
M0
0MM
55555
5
+×+××
××
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
KK
KKK
55555
5
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(n,
)()(vvve
evee
CC
CCC
55555
5
+×+××
××
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
nn)(n)(
)(nn)(ne
)()(v
e
P
PP
1515
1
×+×
×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
n)(
)(n
(III.37)
onde,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
×
ne
je
je
n)(n
m
m
m
00
0
000
0
1
MOM
L
eeM ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
3
2
155
0000000
000
p
p
p
v
v
)(
mm
mI
m
M
M
L
L
vvM ;
65
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
==+
=
=+
=++
=+
==+
=
×
3
1
23
11
3
1
3
11
3
11
21
3
11
3
1
3
11
3
1
2
inipine
ijinipi
ijinipi
inijipi
ijipije
ijijipi
inijipi
ijijipi
ijipije
n)(n
kkkk
kkkk
kkkk
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφ
L
MMMM
L
L
eeK
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−
−+−−
−+−
=×
)(
)(
)(
)(
K vv
22222
11111
22112
222
112211
21221121
44
0
0
pvvv
pvvv
vvvvvv
vvvvvv
)(
kkLkk
kkLkk
LkLkLkLkLkLk
kkLkLkkk
;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+×
npjpjp
npjpjpn)(
kkk
kkk
2212222
11111114
0
0
φφφ
φφφ
L
L
L
L
veK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=++
×
npnp
jpjp
jpjp
)(n
kk
kk
kk
2211
122111
2211
4
00
φφ
φφ
φφ
MM
MMevK ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
==+
=
=+
=++
=+
==+
=
×
3
1
23
11
3
1
3
11
3
11
21
3
11
3
1
3
11
3
1
2
inipine
ijinipi
ijinipi
inijipi
ijipije
ijijipi
inijipi
ijijipi
ijipije
n)(n
cccc
cccc
cccc
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφ
L
MMMM
L
L
eeC
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−
−+−−
−+−
=×
)(
)(
)(
)(
Cvv
22222
11111
22112
222
112211
21221121
44
0
0
pvvv
pvvv
vvvvvv
vvvvvv
)(
ccLcc
ccLcc
LcLcLcLcLcLc
ccLcLccc
;
66
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
+
+×
npjpjp
npjpjpn)(
ccc
ccc
2212222
11111114
0
0
φφφ
φφφ
L
L
L
L
veC ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=++
×
npnp
jpjp
jpjp
)(n
cc
cc
cc
2211
122111
2211
4
00
φφ
φφ
φφ
MM
MMevC ;
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
+−+−
+−+−
=++
×
2222211111
222212111111
2222211111
1
rprpnrprpn
rprpjrprpj
rprpjrprpj
)(n
ucukucuk
ucukucuk
ucukucuk
&&
M
&&
&&
φφ
φφ
φφ
eP ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=×
3
2
115
0
p
p
p
v
)(
P
P
P
P
vP
III.4 Implementação computacional
A implementação computacional da análise de interação dinâmica veículo-
pavimento foi realizada com o auxílio de programação em linguagem FORTRAN
(Programa IVPE-U) e a análise da estrutura em vibrações livres (para determinação de
modos e freqüências naturais) foi efetuada no programa SAP 2000®. A metodologia de
interação entre os dois programas é descrita no parágrafo seguinte.
Primeiro, efetua-se a extração dos modos de flexão vertical e torção de um
modelo de grelha representativo da estrutura analisado através do SAP 2000. O
programa IVPE-U considera estes modos de forma simplificada. Como ilustração,
toma-se a estrutura apresentada na Figura III.15 que é modelada em elementos de
pórtico espacial (Figura III.15c) com inércia e área equivalentes à seção transversal da
estrutura. Observa-se, também na Figura III.15c, a ampliação e representação de um dos
nós do modelo 3D e os graus de liberdade considerados para a extração dos modos
simplificados.
Figura III.15a – Seção transversal da estrutura (unidades em cm).
67
Figura III.15b – Perfil longitudinal da estrutura (unidades em cm).
inó
TRANSVERSINA CENTRAL
VIGA V1
TRANSVERSINA DE APOIO
VIGA V2
TRANSVERSINA DE APOIOα i
iφ
xy
z
Figura III.15c – Representação esquemática da estrutura por modelo em grelha com elementos de pórtico espacial.
Figura III.15 – Esquematização de uma estrutura típica avaliada.
Os modos de flexão vertical, utilizados no programa IVPE-U, são obtidos
diretamente pelas amplitudes modais ( 21 vv e φφ ) geradas no modelo 3D, conforme
mostra a Figura III.16a. Já os modos de torção são considerados pela rotação ( kα ) da
seção transversal que é obtida pela relação entre as amplitudes verticais( 21 TT e φφ ) dos
modos de torção e a meia-distância ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2e entre estes pontos e o eixo longitudinal de
simetria (ver Figura III.16b). A relação é expressa pela equação (III.38).
evi
ijφ
α2
= (III.38)
68
v1φ φv2
v1φ v2φφk
Seção transversal
k
nó do modelounifilar
Figura III.16a – Primeiro modo de flexão (representação esquemática).
k
φT1
φT2
Seção transversal
T1φ
T2φ
kα
nó do modelounifilar
e
Figura III.16b - Primeiro modo de torção (representação esquemática).
Figura III.16 – Esquematização de uma estrutura típica avaliada.
Os modos de vibração obtidos são então normalizados, ou seja, todas as
amplitudes de njj e φφ1 do modo j são divididas pela maior amplitude do modo j em
valor absoluto. Dessa forma o maior dos valores de ijφ em valor absoluto passa a ser 1.
Em seguida, calculam-se as massas modais para os modos de flexão e de torção
de acordo com as equações (III.39) - válidas para estruturas de inércia constante ao
longo do vão.
( )∑=
=n
iijFj LmM
1
2φ (III.39a)
( )∑=
=n
iijpTj LIM
1
2α (III.39b)
69
Onde, FjM é a massa modal para um modo j qualquer de flexão; TjM é a massa
modal para um modo j qualquer de torção; L é o comprimento do elemento;
( )zyp III += é o momento de inércia de massa em torno do eixo longitudinal
(momento polar de inércia); Iy e Iz são respectivamente os momentos de inércia (de
massa) por unidade de comprimento em torno do eixo y e do eixo z do elemento de
pórtico espacial (ver Figura III.15b); jiji e αφ são amplitudes dos modos de flexão e de
torção respectivamente.
A atualização do grau de liberdade referente à posição dos eixos do veículo é
feita de acordo com o seguinte procedimento: Num determinado instante de tempo ti ≤ t
< T, com a posição do eixo do veículo até o ponto médio do elemento (ponto M), os
arranjos são montados admitindo o grau de liberdade iφ como sendo cφ , onde c é o
ponto de contato. Para um instante de tempo T ≤ t < tj, com o eixo posicionado à frente
do ponto M o grau de liberdade cφ passa a ser jφ . A Figura III.17 ilustra o
procedimento.
M
φ i
Eixoc= φ jφ
t = t t = Ti jt = t
M
φ j
Eixoc= φiφ
t = t t = Ti jt = t
(a) (b) Figura III.17 – Atualização dos graus de liberdade. (a) posição do eixo antes do ponto M, (b) posição do
eixo após o ponto M.
Deve-se ressaltar que as imprecisões geradas por este tipo de atualização dos
graus de liberdade, para um refinamento razoável, são toleráveis (CARNEIRO, 1986).
O programa IVPE-U utiliza o Método de Runge-Kutta para a integração das
equações diferenciais no tempo. São inseridos os seguintes dados de entrada para o
veículo:
• Massas suspensas (e momentos de inércia) e não suspensa;
• Valores de rigidez (k) e coeficiente de amortecimento (c);
• Distância dos eixos ao centro de massa do veículo (ou parte dele).
• Os dados do pavimento são fornecidos através de tabelas com amplitudes do
perfil ao longo da posição longitudinal e com a declividade em cada ponto.
70
A determinação das condições iniciais dos graus de liberdade do veículo (uv, vθ ,
up1 e etc) é tomada pelos deslocamentos (ou rotações) obtidos pelo equilíbrio estático
sob a ação do peso próprio do veículo.
O perfil da irregularidade do pavimento foi submetido a uma suavização para
que se pudesse considerar a área de contato entre os pneus e o pavimento de forma mais
realística. Para a suavização foi aplicado um processo conhecido como média móvel,
onde se substitui cada ponto Pi do perfil original pelo valor da média aritmética
calculada entre N pontos à esquerda e N pontos a direita de Pi, além é claro do próprio
valor da amplitude em Pi. A Figura III.18 ilustra mais claramente o processo de
aplicação da média móvel. Foi considerada uma distância de aproximação de 50m para
o veículo antes de trafegar sobre a estrutura.
B
Largura de contato
Ponto de aplicação
de cargaPerfil gerado
Perfil suavizado
Pneu
2N +Pi
Pi
Figura III.18 – Processo de suavização do perfil de irregularidade longitudinal.
Rodovia Ponte
Distância de aproximação Comprimento da ponte
Figura III.19 – Distância de aproximação considerada.
71
IV Comparação teórico-experimental
IV.1 Introdução
A ponte de acesso ao Píer de Minério do Porto de Sepetiba, Rio de Janeiro teve
seu comportamento dinâmico avaliado experimentalmente por equipe do Programa de
engenharia Civil da COPPE (BATTISTA, 1993). O objetivo deste trabalho foi
apresentar recomendações técnicas para atenuar os efeitos dinâmicos produzidos pela
passagem das cargas móveis que causavam danos, tais como o estado de fissuração
observado em algumas vigas. O problema foi resolvido com a instalação de ADS –
Atenuadores Dinâmicos Sintonizados projetados pelo Prof. Ronaldo Battista
(BATTISTA E MAGLUTA, 1994) que reduziram as amplitudes dos deslocamento
produzidos pela passagem de caminhões carregados de sucata de aço.
Os resultados da avaliação experimental do comportamento dinâmico da Ponte
de Sepetiba são utilizados neste capítulo para fim de comparação com os resultados
teóricos obtidos com a análise através do modelo analítico – numérico desta ponte
descrito no Cap.III.
Este modelo foi desenvolvido de acordo com as características geométricas da
obra e materiais utilizados na execução, e calibrado em termos das freqüências naturais
de vibração obtidas experimentalmente.
Os dois caminhões tipo basculante carregados e utilizados nos ensaios
experimentais, um com pneus comuns e o outro com pneus maciços, tiveram
determinadas as suas características geométricas e dinâmicas, além da carga por eixo.
Os ensaios experimentais foram realizados para esses caminhões trafegando
sobre a ponte ao longo das duas faixas de tráfego e também para passagem desses
caminhões sobre uma ripa de madeira posicionada sobre a pista para simular impactos
causados pela passagem das rodas sobre detritos e pedaços de material sólido
transportado, caídos sobre a pista.
A comparação teórico-experimental é feita em termos de resposta em
deslocamento da estrutura sob ação do peso de veículos (ensaios estáticos) e da
passagem de veículos (ensaios dinâmicos).
72
IV.2 Descrição sumária da estrutura
A Figura IV.1 mostra a planta de situação da ponte de acesso ao píer e indica o
vão selecionado para os ensaios.
CONTINENTE
PIER
48 v
ãos
TREC
HO
NO
RTE
- SU
L
5º vão
48 vãos
Vão Ensaiado
Figura IV.1 – Planta de situação da ponte com destaque para o vão ensaiado(5º vão).
Cada um dos trechos Norte-Sul e Leste-Oeste da ponte possui 48 vãos, sendo
que cada trecho é subdividido em 44 vãos típicos de 12,0 metros de comprimento e os 4
vãos restantes, vizinhos às juntas de dilatação e aos encontros, possuem um
comprimento de 10,25 metros cada.
A Figura IV.2 mostra esquematicamente o vão típico em elevação e a seção
transversal característica da obra em questão.
1200
6520
Preenchimento de concreto Viga pré-moldada
Figura IV.2a - Detalhe do vão típico em elevação (unidades em cm).
73
V4V3V2V1
165165165
20
38
101.5 101.5
698
45
20
65
25
Figura IV.2b - Seção transversal no vão (unidades em cm).
Figura IV.2 – Detalhes do vão típico ensaiado. (a) Vão típico em elevação, (b) Seção transversal típica.
A meso-estrutura é composta apenas por travessas de concreto armado moldadas
diretamente sobre as estacas.
A superestrutura é composta por 4 vigas pré-moldadas de concreto armado
ligadas entre si por laje de concreto moldada por trechos. A seção transversal da obra
possui 6,98 m metros de largura onde são acomodadas duas pistas de tráfego de 3,0 m
cada uma e dois guarda-rodas de 0,25 metros de largura.
Não há aparelhos de apoio sob as vigas, portanto, estas foram assentadas sobre
camada de argamassa regularizadora. Não há transversinas nas linhas de apoio nem ao
longo dos vãos. Os guarda-rodas foram executados simultaneamente com a laje e
funcionam como enrijecedores dos bordos longitudinais dos tabuleiros.
A infra-estrutura é constituída por estacas de grande diâmetro com camisas
metálicas, resultando num conjunto de grande rigidez.
IV.3 Observações realizadas durante a vistoria da obra
De acordo com BATTISTA (1993), durante as vistorias pôde-se observar o
seguinte:
• O acabamento da superfície da pista constituía-se pelo próprio concreto da
laje do tabuleiro. A superfície apresentava rugosidade normal e algum
desgaste, deixando à mostra os agregados da massa de concreto. A
rugosidade aparente foi estimada em 2,5%, observando-se também
irregularidades (elevações com cerca de 0,5 a 1,0 cm) resultantes das juntas
74
transversais de concretagem da laje. O estado da pista pôde ser considerado
como normal, já que não apresentava buracos nem danos consideráveis.
• Observaram-se fissuras típicas de flexão com pequena abertura (0,2 a 0,3
mm), na face inferior prolongando-se nas faces laterais das vigas mais
extremas sob a faixa de 1 tráfego (Figura IV.3) do lado direito, no sentido
pier-terra (Sul-Norte) na qual trafegavam os caminhões carregados com
sucata de ferro. Por isso, a fissuração era mais evidente na viga mais externa,
atenuando-se na viga vizinha e praticamente desaparecendo nas vigas da
extremidade oposta.
Em função do estado de fissuração observado, selecionou-se para ensaios o
quinto vão do trecho Sul – Norte (ver Figura IV.1).
Não foi observada nenhuma incompatibilidade entre o projeto e a execução da
estrutura em questão.
Dentre outras observações, destacam-se as que dizem respeito ao tipo de pneus
usados pelos caminhões que utilizam os de borracha maciça. Também se observou a
rodagem desses pneus sobre peças de sucata caídas sobre a pista, provocando desgastes
e cortes na borracha dos pneus e ao mesmo tempo impactos sobre a estrutura.
IV.4 Ensaios experimentais estáticos e dinâmicos
IV.4.1 Instrumentação e processamento de sinais
Na medição das flechas estáticas, no meio do vão selecionado, foram utilizados
transdutores de deslocamento instalados nos guarda-rodas do tabuleiro. Os mesmos
transdutores também foram usados para medir os deslocamentos provocados pelo
tráfego dos caminhões.
Como as referências de medida não eram fixas a terra, foram usados também
micro-acelerômetros para estimar as correções de medidas que se fizeram necessárias.
A Figura IV.3 mostra um esquema da instrumentação, onde foram utilizados
dois flexímetros (FLEX 1 e FLEX 2) e três acelerômetros (AC1, AC2 e AC3).
75
EstacaEstaca
AluminaEsteira de
AC2
FLEX2FLEX1 AC1
AC3
Travessa
Passarela
VigaConcreto Armado
Tabuleiro
Faixa 1 Faixa 2
V1 V2 V3 V4
VBVA
Concreto Armado
Figura IV.3 – Esquema do plano de instrumentação do vão ensaiado.
IV.4.2 Cargas móveis utilizadas nos ensaios
Dois caminhões rígidos basculantes, com características distintas, mas com
aproximadamente o mesmo peso total, foram usadas nos ensaios realizados. Esses
caminhões estão ilustrados na Figura IV.4, onde se podem observar as distâncias entre
os três eixos e suas bitolas (espaçamento entre as rodas na direção transversal).
Portanto, suas características distintas são: as distâncias entre eixos, seus pesos
nominais descarregados e o tipo e número de pneus usados.
A Tabela IV.1 mostra a repartição de pesos por eixo desses caminhões,
descarregados e carregados com carvão, medidos em uma balança da Companhia Docas
do Rio de Janeiro (CDRJ) no porto de Sepetiba. Destaca-se que a carga de carvão
mineral foi utilizada para simulação das cargas reais de sucata metálica, transportadas
sobre a ponte pelos caminhões.
2,3m
P3P2P1
3,5m 1,2m
2,0m
P3
1,3m
P2P1
4,15m
(a) – Caminhão rígido basculante (marca Ford)
com 3 eixos e 6 pneus maciços. (b) – Caminhão rígido basculante (marca Mercedes - Benz) com 3 eixos e 10 pneus
comuns.
Figura IV.4 – Descrição das cargas móveis empregadas na análise. (a) Caminhão com pneus maciços, (b) Caminhão com pneus comuns.
76
Tabela IV.1 – Distribuição de cargas por eixo nos caminhões utilizados.
(a) - Cargas sobre os eixos do caminhão de pneus maciços.
Cargas por eixo (kN) Pesagem
Peso Total
(kN) P1 P2 P3 (P2+P3)
Descarregado 109,1 42,3 33,4 33,4 66,8
Carregado c/
carvão 192,4 60,6 65,9 65,9 131,8
(b) - Cargas sobre os eixos do caminhão de pneus comuns
Cargas por eixo (kN) Pesagem
Peso Total
(kN) P1 P2 P3 (P2+P3)
Descarregado 74,8 26,0 24,4 24,4 44,8
Carregado c/
carvão 191,0 33,2 78,9 78,9 157,8
IV.4.3 Resultados dos ensaios estáticos
Os ensaios estáticos foram realizados colocando-se, separadamente, sobre o
tabuleiro cada um dos caminhões carregados. As medições de flechas no meio do vão,
tomadas com referência aos guarda-rodas, foram feitas para algumas combinações de
posições longitudinais e transversais da carga, conforme explicado nos dois itens a
seguir:
• Posição longitudinal do caminhão no vão: eixo dianteiro ou centro dos eixos
traseiros no meio do vão.
• Posição transversal do caminhão no vão: na faixa 1 (sentido Sul-Norte), na
faixa 2 (sentido Norte-Sul) e no centro da pista.
A Tabela IV.2 mostra, para cada um dos caminhões, os resultados obtidos para
flechas estáticas medidas experimentalmente nos pontos A e B e com as cargas
posicionadas conforme a Figura IV.5.
77
V1 V2 V3 V4
349
174.5
VAVB
Faixa 1 Faixa 2
349
V4V3V2V1
Centro da pista
VA VB
(a) - Posicionamento da carga na faixa 1. (b) - Posicionamento da carga no centro da pista .
1200
600
(c) - Posicionamento do eixo dianteiro sobre o meio do vão.
1200
600
(d) - Posicionamento do centro dos eixos traseiros sobre o meio do vão.
Figura IV.5 – Posicionamento das cargas para realização dos ensaios estáticos (unidades em cm).
Tabela IV.2 – Resultados dos ensaios estáticos realizados no vão típico.
(a) - Flechas estáticas iδ (±0,02 mm) no meio do vão para o caminhão c/ Pneus Maciços
Eixo dianteiro no ½ vão Eixo traseiro no ½ vão Posição do Caminhão
Aδ (mm) Bδ (mm) Aδ (mm) Bδ (mm)
Centro da
Pista Experimental 0,32 0,4 0,52 0,50
Faixa 1 Experimental 0,96 0,23 1,31 0,27
Faixa 2 Experimental 0,0 0,99 0,02 1,30
78
(b) - Flechas estáticas iδ (±0,02 mm) no meio do vão para o caminhão c/ Pneus Comuns.
Eixo dianteiro no ½ vão Eixo traseiro no ½ vão Posição do Caminhão
Aδ (mm) Bδ (mm) Aδ (mm) Bδ (mm)
Centro da
Pista Experimental 0,09 0,30 0,47 0,56
Faixa 1 Experimental 0,50 0,13 1,36 0,24
Faixa 2 Experimental 0,0 0,55 0,01 1,26
IV.4.4 Resultados dos ensaios dinâmicos
a) Obtenção das características dinâmicas da estrutura
Para determinação das freqüências naturais de vibração, o vão selecionado para
ensaios foi excitado por meio de impactos no centro do tabuleiro. Os impactos foram
dados com uma marreta sobre um cepo de madeira. As freqüências e os respectivos
modos de vibração identificados encontram-se na Tabela IV.3.
Tabela IV.3 – Freqüências e os modos de vibração identificados nos ensaios.
1º modo de flexão 1º modo de torção Flexão transversal
9,6 Hz 14,0 Hz 24,8 Hz
As taxas de amortecimento estimadas nos ensaios situam-se na faixa de 10%
para o primeiro modo (9,6 Hz) e 5,5% para o modo de flexão transversal (24,8 Hz).
b) Características dinâmicas de carga móvel
A determinação da freqüência de oscilação vertical do caminhão (referida a
massa da caçamba carregada e suspensão dos eixos traseiros) foi feita através de
arrancadas e frenagens súbitas do veículo instrumentado com um acelerômetro na
direção vertical instalado no chassis, junto aos feixes de mola. Os resultados obtidos
foram os seguintes:
• Freqüências de oscilação vertical, f ≈ 2,0 Hz e 4,0 Hz
• Taxa de amortecimento, ξ ≈ 7,5 %
79
c) Respostas para passagem de veículos
Os ensaios dinâmicos de um vão típico foram realizados com a passagem dos
caminhões, no centro da pista e na faixa 1, em duas velocidades distintas, v1 e v2, sendo
v1 em torno de 20 km/h e v2 em torno de 30 km/h.
Algumas das respostas no tempo da estrutura submetida às cargas dinâmicas
típicas dos ensaios podem ser observadas na Figura IV.6 (veículo no centro da pista) e
na Figura IV.7 (veículo na faixa 1). Estas respostas se referem às flechas medidas nos
pontos A e B (flexímetro 1 e 2 respectivamente) da seção do meio do vão ensaiado,
conforme indicado na Figura IV.3.
-1.80
-1.60
-1.40
-1.20
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Flexímetro1
Flexímetro2
(a) – Caminhão de pneus comuns trafegando no centro da pista ( v ≈ 20 km / h)
-1.80-1.60-1.40-1.20-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.40
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Flexímetro 1Flexímetro 2
(b) – Caminhão de pneus maciços trafegando no centro da pista ( v ≈ 15 km / h)
Figura IV.6 – Respostas no tempo para a passagem dos caminhões de pneus maciços e comuns no centro da pista.
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
80
-1.80-1.60-1.40-1.20-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.40
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Flexímetro 1Flexímetro 2
(a) – Caminhão de pneus maciços trafegando na faixa ( v ≈ 16 km / h)
-1.80-1.60-1.40-1.20-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.40
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Flexímetro 1Flexímetro 2
(b) – Caminhão de pneus maciços trafegando na faixa 1 ( v ≈ 23 km / h)
Figura IV.7 – Respostas no tempo para a passagem do caminhão de pneus maciços na faixa 1.
A Figura IV.8 mostra a resposta no domínio da freqüência da estrutura para
diversas situações do caminhão com pneus maciços, carregado com carvão. Observam-
se nesses espectros as freqüências dos modos dominantes, obtidas através dos sinais dos
micro-acelerômetros instalados no meio do vão.
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
81
0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
8.0E-03
1.0E-02
1.2E-02
1.4E-02
0 5 10 15 20 25 30
Frequência (Hz)
Ace
lera
ção
(m/s2 )
Acelerômetro 1Acelerômetro 2
(a) – Caminhão de pneus maciços trafegando no centro da pista ( v ≈ 15 km / h)
0.0E+002.0E-034.0E-036.0E-038.0E-031.0E-021.2E-021.4E-021.6E-021.8E-022.0E-02
0 5 10 15 20 25 30
Frequência (Hz)
Ace
lera
ção
(m/s2 )
Acelerômetro 1Acelerômetro 2
(b) – Caminhão de pneus maciços trafegando na faixa 1( v ≈ 16 km / h)
Figura IV.8 – Espectros de aceleração vertical para passagens do caminhão com pneus maciços.
Nota-se na Figura IV.8a e b que o pico de freqüência de aproximadamente 8,6Hz
correspondente ao primeiro modo de vibração (Figura IV.11a)considerando a massa do
caminhão e o estado de fissuração das vigas extremas sob a faixa 1. Observa-se também
que existe grande influência de modos de vibração com freqüências entre 13 e 17 Hz,
conforme foi verificado posteriormente na análise de vibrações livres (ver Figura
IV.11e-i e a Figura IV.12c –f). As freqüências de 24 a 26 Hz correspondem aos modos
de flexão transversal do tabuleiro (ver Figura IV.13).
Para o caminhão no centro da pista sob um vão vizinho ao instrumentado a fecha
negativa registrada pelo flexímetro 2 é maior que a do flexímetro 1. Isto porque as vigas
fissuradas sob a faixa 1 (lado do flex 1) contém flecha residual positiva que deve ser
vencida (fechamento das fissuras) para avançar para a flecha negativa; fenômeno este
8,6 Hz
8,6 Hz
24,6 Hz
26,2 Hz
26,2 Hz
82
que não ocorre para as vigas não fissuradas sob a faixa 2. Por outro lado, os
deslocamentos verticais positivos (para baixo) associados do caminhão sobre o vão
instrumentado são semelhantes. Vale ressaltar que esses deslocamentos são referidos a
pontos localizados exatamente no meio do vão ensaiado.
IV.5 Modelo Numérico da Estrutura e Calibração em termos de
freqüências naturais
O comportamento elástico da estrutura de um vão típico da ponte, sob
carregamentos estáticos e dinâmicos, foi analisado através da correlação entre
resultados experimentais obtidos dos ensaios e resultados numéricos obtidos com a
modelagem computacional da estrutura, discretizada em elementos finitos.
O modelo foi elaborado a partir dos dados geométricos constantes das plantas de
projeto uma vez que, durante a vistoria, não foi observada qualquer inconsistência da
estrutura em relação ao projeto. O modelo considera a estrutura íntegra.
O modelo numérico espacial representa 7 vãos contínuos de 12 m e mais dois
meios-vãos nas extremidades com condições de continuidade (simetria). A Figura IV.9a
mostra o modelo completo e a Figura IV.9b mostra a discretização de um trecho, típico
da ponte em vãos contínuos. As vigas e as barreiras laterais em concreto armado. foram
modeladas em elementos de pórtico espacial e a laje em elementos planos de casca. Os
elementos de pórtico espacial têm eixo longitudinal excêntrico em relação ao plano
médio da laje (ver Figura IV.10 ).
O modulo de elasticidade adotado para o concreto, com uma idade de
aproximadamente 15 anos e fck = 22 MPa, foi Ec = 26 GPa.
O modelo em elementos finitos foi analisado em vibrações livres com o
programa SAP 2000® e calibrado com os resultados experimentais para freqüências
naturais de vibração, apresentadas na seção IV.4.4. Com o modelo numérico pôde-se
também detectar os modos de vibração associados às freqüências experimentais.
83
(a) – Modelo completo empregado na análise.
(b) - Discretização de um dos trechos da ponte em vãos contínuos
Elementos de pórtico espacial
Elemento plano de casca
3 x 0,349 x 0,553 x 0,34
0,60
0,60
0,60
(c) – Dimensões dos elementos utilizados (Vista superior da malha com unidades em m).
Figura IV.9 – Modelo empregado na análise de vibrações livres (elaborado no programa SAP 2000®).
6m
12m
12m
12m
12m
84
da lajePlano médio
Eixo longitudinaldas vigas
22
Eixo longitudinaldo guarda-rodas
42,5
Figura IV.10 – Representação da excentricidade dos elementos de pórtico espacial em relação ao plano
médio da laje (unidades em cm).
Da Figura IV.11a até a Figura IV.11i são ilustrados os primeiros modos de
vibração da superestrutura da ponte e a Tabela IV.4 mostra como se comparam as
freqüências experimentais e teóricas, indicando uma boa calibração do modelo em
elementos finitos. Deve-se notar que, em função da posição dos impactos – no centro do
tabuleiro – dados nos ensaios e também da posição dos acelerômetros, o 2º modo de
flexão longitudinal da ponte não foi excitado experimentalmente.
Tabela IV.4 – Freqüências naturais da estrutura.
Freqüências experimentais
(Hz)
Freqüências teóricas
(Hz) Descrição dos modos
9,6 9,65 1º Modo de flexão
14,0 12,3 1º Modo de torção
24,8 23,9 1º Modo de flexão transversal1 1-Este modo não foi empregado na análise teórica.
A Figura IV.14 apresenta os cortes na direção transversal do 1º modo de flexão
e do 1º modo de torção . Em função da ausência de transversinas, observa-se que os
modos de flexão vertical das vigas e torção do tabuleiro são acompanhados de flexão
transversal do tabuleiro.
As freqüências naturais, modos de vibração e massas modais obtidos deste
modelo espacial constituem-se nos dados para o modelo unifilar correspondente, a ser
analisado sob ação da passagem de veículos conforme descrito no Cap.III . Neste caso
de modelo unifilar não é possível incluir a flexão transversal do tabuleiro nos modos de
flexão vertical e torção. Para montar os autovetores normalizados do modelo unifilar
foram consideradas as formas modais das vigas extremas (ver V1 e V4 na Figura IV.3).
85
Figura IV.11a - 1º modo de flexão – f = 9,6 Hz.
Figura IV.11b - 2º modo de flexão – f = 9,9 Hz.
Figura IV.11c - 3º modo de flexão – f = 10,7 Hz.
Figura IV.11d - 4º modo de flexão – f = 11,9 Hz.
Figura IV.11e - 5º modo de flexão – f = 13,3 Hz.
Figura IV.11f - 6º modo de flexão – f = 14,8 Hz.
Figura IV.11g - 7º modo de flexão – f = 16,3 Hz.
Figura IV.11h - 8º modo de flexão – f = 17,4 Hz.
86
Figura IV.11i - 9º modo de flexão – f = 17,6 Hz.
Figura IV.11 – Modos naturais de flexão vertical da estrutura obtidos no SAP 2000.
Figura IV.12a - 1º modo de torção – f = 12,3 Hz. Figura IV.12b - 2º modo de torção – f = 12,5 Hz.
Figura IV.12c - 3º modo de torção – f = 13,3 Hz. Figura IV.12d - 4º modo de torção – f = 14,3 Hz.
Figura IV.12e - 5º modo de torção – f = 15,6 Hz. Figura IV.12f - 6º modo de torção – f = 17,0 Hz.
87
Figura IV.12g - 7º modo de torção – f = 17,9 Hz. Figura IV.12h - 8º modo de torção – f = 18,16 Hz.
Figura IV.12i - 9º modo de torção – f = 18,6 Hz.
Figura IV.12 – Modos naturais de torção da estrutura obtidos no SAP 2000.
Figura IV.13 – Modo de flexão transversal da estrutura obtido no SAP 2000 (f = 23,9 Hz.).
88
no modelo unifilarModo de flexão
IndeformadaGeometria
no modelo espacialModo de flexão
(a) Corte transversal (1º modo de flexão).
no modelo espacialModo de torção
Geometria Indeformada
no modelo unifilarModo de torção
(b) Corte transversal (1º modo de torção).
Figura IV.14 – Corte na direção transversal para o primeiro modo de flexão de torção.
IV.6 Comparação teórico – experimental das respostas estáticas
Os resultados teóricos correspondentes aos deslocamentos estáticos no meio do
vão foram obtidos para passagens lentas (1 km/h), dos veículos de carga na estrutura.
Dessa forma, foi possível comparar os resultados fornecidos pelo programa IVPE-U
com as respostas experimentais e também com os resultados fornecidos pelo SAP
2000® (ver Tabela IV.5 a – b). A Figura IV.15 e a Figura IV.16 ilustram o giro da seção
transversal para o caso mais desfavorável (Eixos traseiros no ½ vão), comparando as
respostas experimentais com o SAP 2000 e com o IVPE-U.
89
Tabela IV.5a - Flechas estáticas no meio do vão. Caminhão c/ Pneus Maciços.
Eixo dianteiro no ½ vão Eixo traseiro no ½ vãoPosição do Caminhão
Aδ (mm) Bδ (mm) Aδ (mm) Bδ (mm)
Experimental -0,32 -0,40 -0,52 -0,50 SAP 2000 -0,36 -0,36 -0,50 -0,50 Centro da Pista IVPE-U -0,40 -0,40 -0,55 -0,55
Experimental -0,96 -0,23 -1,31 -0,27
SAP 2000 -0,98 -0,09 -1,40 -0,12 Faixa 1 IVPE-U -0,97 0,04 -1,31 0,05
Experimental 0,0 -0,99 -0,02 -1,30
SAP 2000 -0,09 -0,98 -0,12 -1,40 Faixa 2 IVPE-U 0,04 -0,97 0,05 -1,31
Tabela IV.5b - Flechas estáticas no meio do vão.Caminhão c/ Pneus Comuns.
Eixo dianteiro no ½ vão Eixo traseiro no ½ vão Posição do Caminhão
Aδ (mm) Bδ (mm) Aδ (mm) Bδ (mm)
Experimental -0,09 -0,30 -0,47 -0,56 SAP 2000 -0,21 -0,21 -0,50 -0,50 Centro da
Pista IVPE-U -0,27 -0,27 -0,55 -0,55
Experimental -0,50 -0,13 -1,36 -0,24 SAP 2000 -0,61 -0,05 -1,47 -0,11 Faixa 1 IVPE-U -0,63 0,03 -1,36 0,08
Experimental 0,0 -0,55 -0,01 -1,26
SAP 2000 -0,05 -0,61 -0,11 -1,47 Faixa 2 IVPE-U 0,03 -0,63 0,08 -1,36
90
-0,90-0,80-0,70-0,60-0,50-0,40-0,30-0,20-0,100,00
0,0 3,5 7,0Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-U
δA δB
(a) Caminhão c/ Pneus Maciços com os eixos traseiros no ½ vão (centro da pista)
-1,50
-1,25
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,250,0 3,5 7,0
Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-U
δA
δB
(b) Caminhão c/ Pneus Maciços com os eixos traseiros no ½ vão (Faixa 1)
-1,50
-1,25
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,250,0 3,5 7,0
Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-U
δA
δB
(c) Caminhão c/ Pneus Maciços com os eixos traseiros no ½ vão (Faixa 2)
Figura IV.15 – Flechas estáticas para o Caminhão c/ Pneus Maciços com os eixos traseiros no ½ vão.
91
-1,20
-1,00
-0,80
-0,60
-0,40
-0,20
0,000,0 3,5 7,0
Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-UδA δB
(a) Caminhão c/ Pneus Comuns com os eixos traseiros no ½ vão (centro da pista)
-1,50
-1,25
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,250,0 3,5 7,0
Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-U
δA
δB
(b) Caminhão c/ Pneus Comuns com os eixos traseiros no ½ vão (Faixa 1)
-1,50
-1,25
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,250,0 3,5 7,0
Posição Transversal (m)
Des
loca
men
to V
ertic
al (m
m) Experimental
SAP 2000IVPE-U
δA
δB
(c) Caminhão c/ Pneus Comuns com os eixos traseiros no ½ vão (Faixa 2)
Figura IV.16 – Flechas estáticas para o Caminhão c/ Pneus Comuns com os eixos traseiros no ½ vão.
92
IV.7 Comparação teórico – experimental das respostas no tempo
Após a calibração do modelo, em termos de freqüências naturais e
deslocamentos devidos ao carregamento estático, foi possível proceder com a
comparação entre as respostas no tempo devidas à passagem dos veículos. Para isso,
foram utilizados os registros de aquisição de dados obtidos no dia do ensaio
experimental.
Os registros utilizados foram obtidos nas seguintes situações:
• Caminhão de pneus comuns trafegando no eixo longitudinal da obra (centro
da pista);
• Caminhão de pneus maciços trafegando no eixo longitudinal da obra (centro
da pista);
• Caminhão de pneus maciços trafegando na faixa 1 (sentido Sul-Norte);
• Caminhão de pneus maciços trafegando no eixo longitudinal e passando por
obstáculo (ripa de madeira) localizado no meio do vão ensaiado.
O modelo unifilar da estrutura foi construído a partir do modelo tridimensional
da Figura IV.9a de acordo com o exposto no item III.4.Foram considerados todos os
modos de flexão vertical e torção até a freqüência de 18,6 Hz (totalizando 18 modos de
vibração, ver Figura IV.11 e Figura IV.12). Os modos de flexão transversal (a partir de
23 Hz) não podem ser representados no modelo unifilar (ver Figura IV.13).
Para análise do modelo numérico com o programa IVPE-U, os parâmetros de
rigidez e amortecimento das suspensões e dos pneus foram adotados segundo padrões
da literatura utilizada neste trabalho (ver Figura IV.17 e Tabela IV.6) . Com as cargas
atuantes nos eixos dos veículos foram calculados o centro de massa do mesmo e o
momento de inércia da massa suspensa (Io). As larguras de contato dos pneus (para
efeito de suavização do perfil de rugosidade do pavimento, ver Figura III.18) foram
tomados iguais a 15 cm para pneus maciços e 20 cm para pneus comuns.
93
kv3 cv3
vm
cp2kp2 p3k p3cp1kp1c
kv1 cv1
mp1 p2m mp3
cv2kv2
vI
CM
L1 L3
L2
Figura IV.17 – Ilustração dos parâmetros considerados no modelo do veículo.
Tabela IV.6 – Parâmetros de massa, rigidez, amortecimento e geométricos para os caminhões de pneus
maciços e comuns.
Parâmetros Caminhão c/ pneus comuns Caminhão c/ pneus maciços
mv 16,3 t 16,5 t
Iv 80,5 t m2 80,5 t m2
mp1= mp2 1,06 t 1,06 t
mp3 0,635 t 0,635 t
kv1= kv2 1180 kN / m 1180 kN / m
kv3 580 kN / m 580 kN / m
kp1= kp2 3360 kN / m (4 pneus) 3360 kN / m (2 pneus)
kp3 1680 kN / m (2 pneus) 3360 kN / m (2 pneus)
cv1= cv2 12 kN s / m 12 kN s / m
cv3 6 kN s / m 6 kN s / m
cp1= cp2 4 kN s / m (4 pneus) 0
cp3 2 kN s / m (2 pneus) 0
L1 1,55 m 1,90 m
L2 0,25 m 0,70 m
L3 3,90 m 2,80 m
Como não havia precisão no registro de velocidade do veículo e nem garantia de
que a velocidade se mantinha constante, os valores de velocidade utilizados na analise
teórica foram ajustados de modo a compatibilizar os instantes de deslocamento nulo nas
respostas dinâmicas teórica e experimental.
A Figura IV.18 mostra as respostas para a passagem do veículo de pneus
maciços e comuns trafegando no eixo longitudinal. A resposta numérica é comparada
aos dois flexímetros em uma mesma figura já que o veículo trafegou pelo centro da
94
pista. Na Figura IV.19 observam-se as respostas no tempo para o veículo de pneus
maciços trafegando na faixa 1.
Por fim, apresenta-se a situação em que o veículo de pneus maciços trafega no
eixo longitudinal da obra e passa por um obstáculo localizado exatamente na metade do
vão ensaiado. O obstáculo é materializado por uma ripa de madeira com seção
transversal de 2,5 cm de altura por 5,0 cm de largura (Figura IV.20). As respostas no
tempo para esta situação encontram-se na Figura IV.21.
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Numérico
Flexímetro 1Flexímetro 2
Figura IV.18a - Veículo de pneus comuns a 23 km/h no centro da pista (comparação para os dois
flexímetros).
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
NuméricoFlexímetro 1
Flexímetro 2
Figura IV.18b – Veículo de pneus maciços a 15 km/h no centro da pista (comparação para os dois
flexímetros).
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
95
-1.75-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.50
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Numérico1
Flexímetro 1
Figura IV.19a – Veículo de pneus maciços a 16 km/h na faixa 1 (comparação com o flexímetro 1).
-1.75-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.50
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Numérico2
Flexímetro 2
Figura IV.19b – Veículo de pneus maciços a 16 km/h na faixa 1 (comparação com o flexímetro 2).
Ripa de Madeira
5 cm
2,5
cm
Figura IV.20 – Obstáculo colocado no meio do vão (ripa de madeira).
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
Flex 1 Faixa 1 Faixa 2 Flex 2
96
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
12 13 14 15 16 17Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Numérico1
Flexímetro1
Figura IV.21a – Veículo de pneus maciços a 26 km/h no centro da pista passando sobre obstáculo
(comparação com o flexímetro 1)
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
12 13 14 15 16 17Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
m)
Numérico2
Flexímetro2
Figura IV.21b – Veículo de pneus maciços a 26 km/h no centro da pista passando sobre obstáculo
(comparação com o flexímetro 2)
Em geral as respostas teórico-numéricas obtidas com o programa IVPE-U
acompanham muito bem as respostas experimentais, particularmente no caso do veículo
passando sobre obstáculo no meio do vão. Para os casos de veículo passando no meio da
pista as respostas teóricas se correlacionam melhor com os registros do flexímetro 2,
localizado no lado das vigas não fissuradas.
Nas respostas experimentais observa-se a vibração em freqüências mais altas do
que aquelas apresentadas pelas respostas teóricas; estas vibrações estão associadas aos
modos de flexão transversal não considerados no modelo unifilar. Por outro lado, as
amplitudes de oscilação estão bastante bem correlacionadas.
Diante da boa correlação teórico-experimental alcançada com esta ponte pode-se
considerar que a modelagem analítico-numérica adotada representa bem o problema da
interação veículo-estrutura em pontes para a faixa de velocidades tratada.
97
V Efeitos da passagem de veículos sobre pontes típicas do
Brasil.
V.1 Introdução
Este capítulo apresenta um estudo paramétrico com a intenção de fornecer uma
melhor compreensão da importância dos parâmetros mais influentes no fator de
amplificação dinâmica (FAD) definido como:
est
dinFADδδ
= (V.1)
onde, dinδ é o deslocamento máximo devido à passagem do veículo em velocidade e
estδ é o maior deslocamento devido ao peso do veículo.
Primeiramente são identificados os parâmetros que interferem na resposta
dinâmica das pontes para em seguida avaliar-se as influências de alguns destes
parâmetros. As faixas de variação dos mesmos representam valores da realidade
brasileira.
Apresentam-se também respostas típicas em termos da posição do eixo dianteiro
do veiculo e uma apreciação do coeficiente de impacto conforme indicado na NBR
7188 (2003).
Foram consideradas pontes com duas vigas principais biapoiadas com vãos entre
10 e 30m (ver Figura II.22c) sujeitas a passagem de veículos da classe 3C (Figura III.8)
com diferentes velocidades. Admitiram-se pavimentos com perfis classificados como
bom, regular e mau conforme o valor de IRI (ver Figura II.20). Considerou-se também a
possibilidade de existência de descontinuidade na pista de rolamento devido a recalques
da laje de acesso conforme ilustrado pela Figura V.1 e foi dada ao veículo uma distância
de percurso de 50m antes de entrar na estrutura.
No modelo unifilar da estrutura foram considerados 3 modos de flexão vertical e
3 modos de torção. A construção deste modelo unifilar está descrita no item III.4. Os
elementos de pórtico representativos das vigas principais foram adotados com 25 cm de
comprimento totalizando 40, 80 e 120 elementos respectivamente para as pontes de 10,
20 e 30m. Na Figura V.2 encontra-se ilustrada a malha para a ponte de 10m de vão.
98
(a) – Cortina sem dente de apoio.
(b) – Giro da laje de acesso devido a recalque do pavimento.
Figura V.1 – Recalque da laje de acesso (ressalto)
1 11 21 31 41
40 Elementos de Pórtico (25cm cada)
Figura V.2 – Ilustração da malha da ponte de 10m.
V.2 Parâmetros do problema
Os parâmetros que regem o problema da resposta dinâmica de pontes sob ação
da passagem de veículos são identificados a seguir:
• Variável dependente
dinδ é o deslocamento do centro do vão, função do tempo.
99
• Variáveis independentes referentes à estrutura representada por um modo de
vibração
fe é a frequência natural de vibração da estrutura;
me é a massa modal da estrutura;
eξ é a taxa de amortecimento associado ao modo de vibração
L é o comprimento do vão da estrutura;
• Variáveis independentes referentes ao veículo representado pelo modo de
vibração da massa suspensa
fv é a frequência natural de translação vertical da massa suspensa;
m é a massa total do veículo;
vξ é a taxa de amortecimento do veículo;
v é a velocidade do veículo.
• Variáveis independentes referentes ao pavimento
iru é o valor rms da amplitude do perfil longitudinal do pavimento;
h é a altura da descontinuidade na pista de rolamento.
• Fatores de forma geométrica
Os seguintes parâmetros adimensionais (números π ) podem ser obtidos pela
teoria da semelhança física (CARNEIRO, 1993):
velocidade reduzida ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Lf
v
e
;
razão de frequências ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
e
v
ff
;
razão de massas ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
emm ;
amortecimento da estrutura ( )eξ ;
amortecimento do veículo ( )vξ ;
qualidade do pavimento ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛L
uir ou alternativamente o valor IRI do pavimento;
fator de amplificação dinâmica ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Ldinδ
ou alternativamente ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
est
dinFADδδ
.
A Tabela V.1 apresenta as faixas de variação dos parâmetros adimensionais
conforme adotado no estudo paramétrico.
100
Tabela V.1 – Faixas de variação dos parâmetros adimensionais.
Parâmetros Faixa de variação dos valores
v / fe L 0,15 a 1,30
fv / fe 0,15 a 0,84
m / me 0,03 a 0,99
IRI
Pavimento em bom estado = 2,70
Pavimento em estado regular = 3,80
Pavimento em mau estado = 4,70
eξ 2,5 %
vξ ≈ 5%
h / L 20 mm / L
V.3 Respostas típicas das pontes
Apresentam-se a seguir as respostas em termos de deslocamentos no meio do
vão para as estruturas de tabuleiro de modelo atual do DNER (Figura II.22b). As
mesmas foram submetidas à passagem de um veiculo da classe 3C (Figura III.8) com
um peso total de 250 kN. Foi empregado o pavimento considerado em bom estado de
conservação de acordo com os padrões expostos no Capítulo II (Tabela II.4). As
velocidades de tráfego do veículo foram variadas de 20 a 100 km / h.
A variação do deslocamento é apresentada na Figura V.3 em função da posição
do eixo dianteiro do veículo para cada valor de velocidade. Este formato alternativo de
apresentação das respostas no tempo foi adotado para permitir a comparação entre as
respostas para diferentes velocidades e a resposta estática.
Observa-se na Figura V.3 que a resposta à passagem do veículo a baixas
velocidades (20 km/h) é bem próxima da resposta estática enquanto que para médias e
altas velocidades a estrutura apresenta comportamento dinâmico. Para a estrutura com
30m de vão e veículo a 100 km/h as oscilações têm significativa amplitude na
freqüência de 28 Hz, correspondente ao 3º modo de flexão vertical e ao 3º modo de
torção, conforme se observa na Figura V.5 que apresenta o espectro de aceleração da
estrutura para este caso. Verifica-se, portanto, que o tráfego de veículos em altas
velocidades pode excitar modos de vibração com freqüências mais elevadas. Não foi
obtida uma diferença significativa entre os espectros de aceleração para o pavimento
bom, com ou sem a introdução de ressalto, porém, as respostas no tempo para estas
situações mostram-se bem diferentes (ver Figura V.4c).
101
A Figura V.4 apresenta as respostas das estruturas considerando a presença de
um ressalto igual a 20mm na cabeceira da ponte (ver Figura V.1) sob a passagem de
veículo em alta velocidade (100 km/h).
Verifica-se uma grande alteração na resposta dinâmica, tanto maior quanto
menor for o comprimento do vão, indicando a grande importância deste tipo de
irregularidade no comportamento das pontes.
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
20 km/h
60 km/h
100 km/h
Estático
10,0 m
V1
V1
(a) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 10m com pavimento bom .
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
20 km/h
60 km/h
100 km/h
Estático
20,0 m
V1
V1
(b) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 20m com pavimento bom .
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
20 km/h
60 km/h
100 km/h
Estático
30,0 m
V1
V1
(c) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 30m com pavimento bom .
Figura V.3 – Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão em função da posição do eixo dianteiro do veículo 3C com peso de 250 kN.
102
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
Pavimento bomPavimento bom c/ ressalto
Estático
10,0 m
V1
V1
(a) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 10m.
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
Pavimento Bom
Pavimento Bom c/ ressalto
Estático
20,0 m
V1
V1
(b) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 20m.
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Posição do eixo dianteiro (m)
Des
loca
men
to (m
m)
Pavimento BomPavimento Bom c/ ressalto
Estático
30,0 m
V1
V1
(c) Deslocamento no meio do vão para a estrutura de 30m.
Figura V.4 – Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão em função da posição do eixo dianteiro do veículo 3C com 250 kN a 100 km/h com e sem introdução de ressalto na cabeceira da obra
103
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0 5 10 15 20 25 30 35Frequência (Hz)
Ace
lera
ção
(m/s
2 )
Pavimento BomPavimento Bom c/ ressalto
Figura V.5 – Espectro de aceleração para a estrutura de 30m de vão sujeita ao veículo 3C de 250 kN a
100 km/h.
V.4 Fator de amplificação dinâmica e o coeficiente de impacto da NBR
7188
O coeficiente de impacto da NBR 7188 tem por finalidade afetar as respostas
estáticas (em termos de deslocamentos e de esforços internos) para levar em conta os
efeitos dinâmicos da passagem dos veículos. Este coeficiente é expresso em função do
vão L da ponte da seguinte forma:
1007041 ≥−= L,,ϕ (V.2)
onde L é o comprimento do vão.
A Figura V.6 apresenta os valores de FAD (equação (V.1)) em função do vão de
pontes em vigas bi-apoiadas com pavimento bom sob a passagem de veículos 3C com
diferentes massas m e diferentes velocidades v trafegando sobre estruturas com tabuleiro
de modelo atual do DNER. Observa-se na Figura V.6a-b referentes a velocidades baixas
e médias (20 a 60 km/h) que realmente existe uma tendência de redução do FAD em
função do vão. Entretanto, isto não se verifica para altas velocidades (v = 80 e 100
km/h, Figura V.6c–d).
Os valores de FAD para veículos pesados (m = 42 t) que mais se aproximam do
coeficiente φ da NBR 7188 estão associados a velocidades médias (60 km/h, Figura
V.6b), isto sem considerar a presença de ressaltos na pista.
A importância dos diferentes parâmetros que interferem no comportamento
dinâmico das pontes pode ser analisada nos itens seguintes.
104
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
0 5 10 15 20 25 30 35
Comprimento do vão (m)
FAD
(δdi
n / δ
est)
m = 9 tm = 17 tm = 22 tm = 25 tm = 31 tm = 42 tφ (L)
Figura V.6a - FAD em função do comprimento do vão para v =20 km / h.
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
0 5 10 15 20 25 30 35
Comprimento do vão (m)
FAD
(δdi
n / δ
est)
m = 9 tm = 17 tm = 22 tm = 25 tm = 31 tm = 42 tφ (L)
Figura V.6b - FAD em função do comprimento do vão para v = 60 km / h.
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
0 5 10 15 20 25 30 35
Comprimento do vão (m)
FAD
(δdi
n / δ
est)
m = 9 tm = 17 tm = 22 tm = 25 tm = 31 tm = 42 tφ (L)
Figura V.6c - FAD em função do comprimento do vão para v = 80 km / h.
105
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
0 5 10 15 20 25 30 35
Comprimento do vão (m)
FAD
(δdi
n / δ
est)
m = 9 tm = 17 tm = 22 tm = 25 tm = 31 tm = 42 tφ (L)
Figura V.6d - FAD em função do comprimento do vão para v = 100 km / h.
Figura V.6 – FAD em função do comprimento do vão para as velocidades de 20, 60 e 100 km / h
V.5 Efeitos da relação entre as freqüências naturais do veículo e da
estrutura
A Figura V.7 mostra os gráficos do fator de amplificação dinâmica em função da
razão de freqüências (fv/fe). Observa-se que há uma clara tendência de amplificação da
resposta quando esta relação fv/fe se aproxima de 1. Também observa-se que este fato se
acentua para obras de vãos mais longos, pois estas possuem freqüências naturais de
vibração mais baixas, e portanto mais próximos das freqüências dos veículos. Os
gráficos da Figura V.7 foram traçados para as estruturas de tabuleiro com modelo atual
do DNER e para vãos indicados.
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est)
v = 20km/hv = 40km/hv = 60km/hv = 80km/hv = 100km/hφ (10)
Figura V.7a - FAD em função de fe/fv para o vão de 10m.
106
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est)
v = 20km/h
v = 40km/h
v = 60km/h
v = 80km/h
v = 100km/h
φ (20)
Figura V.7b - FAD em função de fe/fv para o vão de 20m.
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est)
v = 20km/hv = 40km/hv = 60km/hv = 80km/hv = 100km/hφ (30)
Figura V.7c - FAD em função de fe/fv para o vão de 30m.
Figura V.7 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura para os vãos de 10m, 20m e 30m.
V.6 Efeitos da razão das massas e da velocidade reduzida
A Figura V.8 ilustra, para as estruturas de 10, 20 e 30m com tabuleiro atual do
DNER, a importância da relação entre as massas do veículo e estrutura e da velocidade
reduzida. Observa-se que os veículos mais leves são os responsáveis pelos maiores
valores de FAD, pois são também os que tendem a se aproximar da freqüência natural
da estrutura.
Em relação ao parâmetro de velocidade reduzida não é possível identificar uma
tendência de comportamento comum aos 3 vãos considerados.
107
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
Velocidade reduzida ( v / f e L )
FAD
(δdi
n / δ
est)
m/me = 0,15m/me = 0,28m/me = 0,35m/me = 0,39m/me = 0,49m/me = 0,66φ (10)
(a) FAD em função da velocidade reduzida (vão de 10m)
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00Velocidade reduzida ( v / f e L )
FAD
(δdi
n / δ
est)
m/me = 0,06m/me = 0,12m/me = 0,15m/me = 0,17m/me = 0,21m/me = 0,28φ (20)
(b) FAD em função da velocidade reduzida (vão de 20m)
1,001,101,201,301,401,501,601,701,801,902,00
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
Velocidade reduzida ( v / f e L )
FAD
(δdi
n / δ
est)
m/me = 0,03m/me = 0,07m/me = 0,08m/me = 0,09m/me = 0,12m/me = 0,16φ (30)
(c) FAD em função da velocidade reduzida (vão de 30m)
Figura V.8 – FAD em função da velocidade reduzida para seis veículos da classe 3C e para as estruturas de 10m, 20 e 30m.
V.7 Efeitos das condições do pavimento sobre a resposta das estruturas
Nesta seção são apresentadas comparações entre as respostas para três tipos de
pavimentos sobre os tabuleiros das pontes e também para pavimento bom com ressalto.
Foram selecionadas as estruturas de 10m e 30m com tabuleiro atual do DNER como
representativas e para cada uma delas foram empregadas velocidades de 20, 60 e 100
km/h. Os resultados do FAD em função da razão de freqüências estão mostrados na
Figura V.9 e na Figura V.10.
108
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est )
Pavimento BomPavimento RegularPavimento MauPav Bom c/ ressaltoφ (10)
(a) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 10m de vão e veículo a 20 km/h
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est )
Pavimento Bom
Pavimento Regular
Pavimento Mau
Pav Bom c/ ressalto
φ (10)
(b) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 10m de vão e veículo a 60 km/h
1,001,25
1,501,752,002,25
2,502,753,00
3,253,50
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est)
Pavimento BomPavimento RegularPavimento MauPav Bom c/ ressaltoφ (10)
(c) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 10m de vão e veículo a 100 km/h
Figura V.9 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura para o vão de 10m, e para os três tipos de pavimento.
109
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est )
Pavimento Bom
Pavimento Regular
Pavimento Mau
Pav Bom c/ ressalto
φ (30)
(a) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 30m de vão e veículo a 20 km/h
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est )
Pavimento BomPavimento RegularPavimento MauPav Bom c/ ressaltoφ (30)
(b) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 30m de vão e veículo a 60 km/h
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90fv / fe
FAD
(δdi
n / δ
est )
Pavimento BomPavimento RegularPavimento MauPav Bom c/ ressaltoφ (30)
(c) FAD em função de fe/fv para a estrutura de 30m de vão e veículo a 100 km/h
Figura V.10 – FAD em função da relação entre as freqüências do veículo e da estrutura para o vão de 30m, e para os três tipos de pavimento.
Conforme esperado, a qualidade do pavimento influencia a resposta dinâmica da
estrutura, mas é a presença de ressalto considerado na cabeceira da obra que induz às
maiores diferenças no comportamento dinâmico, podendo conduzir a valores bastante
altos do FAD, maiores do que 4,0 (ver Figura V.9b).
110
V.8 FAD para veículos pesados
Conforme foi possível observar na Figura V.6 e na Figura V.8 os maiores
valores de FAD foram obtidos para veículos 3C mais leves. Entretanto, em termos
absolutos, os veículos mais pesados produziram os maiores deslocamentos, conforme
ilustrado na Figura V.11.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75
Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ36
)
m/me = 0.22m/me = 0.41m/me = 0.53m/me = 0.59m/me = 0.73m/me = 0.99
Figura V.11 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o de projeto ( )36/ δϕδ din para diversos veículos 3C e o veículo normativo (classes 36) em função da velocidade reduzida para a estrutura de 10m
e com tabuleiro antigo do DNER.
Nesta seção são apresentadas comparações entre os deslocamentos devidos aos
veículos reais mais pesados ( dinδ ) e aqueles obtidos pela aplicação dos veículos
normativos das classes 36 e 45 devidamente majorados pelo coeficiente de impacto da
NBR-7187 ( 4536 δϕδϕ e ). Os resultados foram obtidos para as estruturas de tabuleiro
estreito, no caso do trem-tipo classe 36, e para o tabuleiro mais largo, para o trem-tipo
classe 45. A Tabela V.2 mostra os deslocamentos obtidos no meio vão para a aplicação
dos veículos normativos nas estruturas de 10, 20 e 30m. O veículo 3C utilizado na
comparação possui massa total de 42 toneladas e foi aplicado a velocidades de 20 a
100km/h.
Tabela V.2 – Deslocamentos no meio do vão para os veículos normativos.
δϕ em função do comprimento do vão (mm) Trem-tipo
10 m 20 m 30 m
Classe 45 -8,5 -10,3 -12,0
Classe 36 -6,8 -8,2 -9,7
111
A Figura V.12 mostra a relação 45/ δϕδ din para as estruturas projetadas com o
veículo da classe 45 e a Figura V.13 mostra 36/ δϕδ din para as estruturas da classe 36.
Ambas as relações são mostradas em função da velocidade reduzida.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ45
)
L=10m Pav bom c/ ressalto
L=10m Pav bom
10,0 m
V1
V1
(a) Relação 45/ δϕδ din para a estrutura de 10m.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ45
)
L=20m Pav bom c/ ressalto
L=20m Pav bom
20,0 m
V1
V1
(b) Relação 45/ δϕδ din para a estrutura de 20m.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ45
)
L=30m Pav bom c/ ressalto
L=30m Pav bom
30,0 m
V1
V1
(c) Relação 45/ δϕδ din para a estrutura de 30m.
Figura V.12 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o deslocamento de projeto pelo veículo-tipo classe 45 (δdin / φδ45) em função da velocidade reduzida.
112
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ36
)L=10m Pav bom c/ ressalto
L=10m Pav bom
10,0 m
V1
V1
(a) Relação 36/ δϕδ din para a estrutura de 10m.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ36
)
L=20m Pav bom c/ ressalto
L=20m Pav bom
20,0 m
V1
V1
(b) Relação 36/ δϕδ din para a estrutura de 20m.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Velocidade reduzida ( v / f e L )
(δdi
n / φ
δ36
)
L=30m Pav bom c/ ressalto
L=30m Pav bom
30,0 m
V1
V1
(c) Relação 36/ δϕδ din para a estrutura de 30m.
Figura V.13 – Relação entre o deslocamento dinâmico e o deslocamento de projeto pelo veículo-tipo classe 36 (δdin / φδ36) em função da velocidade reduzida.
113
O carregamento da classe 45 mostrou-se conservador para a passagem do
veículo 3C, tanto mais conservador quanto maior for o comprimento do vão, pois nota-
se que os valores de 45/ δϕδ din afastam-se de 1,0 para os vãos de 20 e 30m. Esta
tendência foi verificada mesmo com a introdução de ressalto no pavimento.
Para o carregamento da classe 36, entretanto, verificou-se valores de 36/ δϕδ din
mais próximos de 1 para as estruturas de 20 e 30m e no caso do vão de 10m, 36/ δϕδ din
chegou a alcançar o valor de 1,2 com a introdução de ressalto no pavimento. A
tendência de decaimento de 36/ δϕδ din com o aumento do comprimento do vão também
foi observada para as estruturas de tabuleiro com modelo antigo.
Entretanto, estas conclusões não podem ser generalizadas para as outras classes
de veículos, principalmente os da classe 2S3 (ver Figura II.5 e Figura II.7f) que
trafegam em faixas de peso maiores do que a classe 3C.
114
VI Conclusões e sugestões para trabalhos futuros
VI.1 Resumo e conclusões
De acordo com as normas brasileiras (NBR 7188), para se levar em conta os
efeitos dinâmicos das cargas móveis sobre as pontes, multiplicam-se os efeitos estáticos
devido a um carregamento especificado pelas normas, pelo coeficiente, anteriormente
denominado coeficiente de impacto, função apenas do vão da ponte. Esta abordagem
não corresponde à realidade do comportamento das pontes já que uma série de outros
parâmetros interfere na resposta dinâmica das estruturas.
As normas de projeto mais modernas (Eurocódigo 1 e AASHTO) prescrevem
modelos de cargas móveis nos quais já se encontram incluídos os efeitos das ações
dinâmicas. Estes modelos foram desenvolvidos a partir de medições do tráfego
existente.
Para contribuir com a elaboração de modelos de cargas móveis no Brasil que
representem o tráfego real, desenvolveu-se neste trabalho uma modelagem analítico-
numérica da interação veículo- estrutura e sua implementação computacional. Neste
modelo os veículos são considerados como conjuntos de corpos rígidos associados a
molas e amortecedores enquanto a estrutura é representada por um modelo unifilar de
barras (dispostas ao longo do eixo central da obra).
A avaliação das respostas teóricas obtidas com este modelo foi efetuada por
comparação com resultados experimentais da monitoração da Ponte do Porto de
Sepetiba realizada por BATTISTA (1993). Em função das características particulares
da Ponte do Porto de Sepetiba, como por exemplo a ausência de transversinas, o modelo
unifilar da estrutura não representou os modos de flexão transversal presentes na ponte.
Mesmo assim, verificou–se que o modelo desenvolvido representou bem o
comportamento da ponte tanto em termos de deslocamento máximo quanto de
amplitude de vibração, especialmente no caso crítico da passagem do veículo sobre uma
ripa de madeira colocada no meio do vão para simular a existência de obstáculos na
pista.
Para a aplicação do modelo desenvolvido à realidade brasileira efetuou-se um
levantamento dos estudos estatísticos existentes com respeito ao tráfego de veículos e às
condições de qualidade dos pavimentos. Assim, foi elaborado um estudo paramétrico,
para avaliar as faixas de variação do fator de ampliação dinâmica (FAD)- definido pela
115
razão est
din
δδ
- para pontes de vãos curtos no Brasil sob ação da passagem do veículo de 3
eixos (o mais freqüente) com diferentes velocidades (entre 20 e 100 km/h) e pesos (100
a 420 kN). Este estudo conduziu às seguintes conclusões:
• O FAD depende de diversos fatores que envolvem as características
dinâmicas tanto da estrutura quanto do veículo, além das condições da
irregularidade do pavimento.
• A razão de freqüências do veículo e da estrutura mostrou-se como um
importante parâmetro. Os valores de FAD aumentaram à medida que a razão de
freqüências se aproxima de 1, o que ocorre para a estrutura mais flexível
considerada neste estudo (com vão de 30 m) e veículo mais leve.
• Em geral os maiores valores de FAD para uma mesma estrutura foram
obtidos com a passagem dos veículos mais leves, já que estes são mais
facilmente excitáveis.
• A velocidade do veículo também influencia muito a resposta, mas não se
identificou uma clara tendência ao se considerar o parâmetro de velocidade
reduzida de forma isolada. A consideração da qualidade do pavimento mostrou-
se de grande influência na resposta dinâmica das estruturas, mas a introdução de
ressalto na cabeceira da obra (simulando descontinuidades devidas a recalques
da laje de acesso) conduziu às maiores diferenças no comportamento dinâmico,
levando a valores bastante elevados do FAD, da ordem de 4,0, para os veículos
mais leves.
Apesar dos maiores valores de FAD estarem associados a veículos leves, os
maiores deslocamentos dinâmicos são originados da passagem dos veículos mais
pesados (420 kN conforme adotado neste trabalho). Efetuou-se então uma comparação
entre estes deslocamentos máximos e os deslocamentos devidos aos carregamentos
classe 36 e classe 45 das normas brasileiras NBR 6 (1960) e NBR 7188 (2003)
respectivamente, afetados do coeficiente de impacto das normas. Estes resultados foram
apresentados na forma das razões 36/ δϕδ din e 45/ δϕδ din entre deslocamentos devidos
à passagem do veículo pesado e os deslocamentos devidos aos carregamentos das
normas.
Os resultados mostraram que os deslocamentos devidos ao carregamento da
classe 45 são maiores do que os obtidos para a passagem do veículo pesado de 3 eixos.
116
O carregamento classe 45 se apresenta tanto mais conservador quanto maior o
comprimento do vão. Já para o carregamento da classe 36, verificaram-se valores de
36/ δϕδ din mais próximos de 1 para as estruturas de 20 e 30m e no caso do vão de 10m,
36/ δϕδ din chegou a alcançar o valor de 1,2 com a introdução de ressalto no pavimento,
ou seja, verifica-se que os deslocamentos de projeto estão sendo excedidos para esta
situação.
VI.2 Sugestões
Para a continuidade deste trabalho no sentido de elaborar modelos de carga
móveis que representem o tráfego real, o modelo de interação veículo-estrutura aqui
desenvolvido e implementado deve ser utilizado na determinação de histogramas de
freqüência de ocorrência de esforços solicitantes em pontes típicas da malha rodoviária
brasileira. Seguindo o trabalho realizado por ROSSIGALI (2006) para os esforços
solicitantes sem considerar a interação veículo-estrutura, após o ajuste de densidade de
probabilidade destes histogramas chega-se, por meio da estatística de extremos, aos
valores representativos dos esforços associados a um determinado tempo de recorrência.
Os modelos de carga móvel devem ser então buscados, por otimização, de forma a
reproduzir nas estruturas analisadas, os esforços extremos devidos ao trafego real.
Os dados de tráfego disponíveis e que foram utilizados por ROSSIGALI (2006)
devem ser atualizados e complementados para incluir dimensões e pesos de todas as
classes de veículos catalogadas além de espaçamentos entre veículos. Isto permitirá a
simulação de tráfego com vários veículos sobre a ponte, com fluxo livre ou a baixas
velocidades além de engarrafamentos em distintas faixas. Além de pontes em grelhas e
de pistas simples e de vãos curtos devem ainda ser consideradas outras situações tais
como:
- outras classes de pontes, com 4 faixas de tráfego;
- outros sistemas estruturais e outras faixas de comprimentos de vão:
- pontes em laje, para vãos curtos, com comprimento entre 5m e 10m;
- pontes com mais de duas longarinas de seção aberta, (3, 4, 5, 6...);
- pontes de seção celular, para meios urbanos (onde há redução da altura da
seção);
- vãos maiores, de 50m a 200m.
Modelagem do veículo e da estrutura em três dimensões.
117
Resolução das equações por métodos diretos para verificar se há mudança dos
modos de vibração conforme a passagem dos veículos.
Outra linha de pesquisa pode ser seguida para desenvolvimento de modelos de
cargas móveis específicos para segurança à fadiga de pontes metálicas ou mistas.
118
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124
Anexo A Sistemas de medição de irregularidade
longitudinal
A.1 Introdução
Para realizar a medida de parâmetros ligados à irregularidade longitudinal,
diversos equipamentos ou processos foram concebidos, podendo genericamente ser
enquadrados em quatro grupos (BENEVIDES, 2006):
• Sistemas de medidas diretas do perfil
• Sistemas de medidas indiretas do perfil
• Sistemas baseados na reação do veiculo
• Sistemas de medida com sonda sem contato
Sistemas de medidas diretas do perfil
Envolvem medidas diretas ou manuais da geometria vertical do pavimento,
mediante emprego de equipamentos de topografia ou instrumentos adequados. Os
resultados obtidos devem ser processados para fornecer valores estatísticos indicativos
de irregularidade. Como exemplos, têm-se:
• Método do nível e mira (Figura A.1a)
• Abay Beam do TRRL
• Dipstick (Figura A.1b)
(a) - Método do nível e mira (adaptada de SAYERS e KARAMIHAS,1998).
125
(b) - Esquema de um Dipstick (adaptada de SAYERS e KARAMIHAS,1998).
Figura A.1 – Sistemas de medidas diretas do perfil. (a) método do nível e mira, (b) Dipstick
Sistemas de medidas indiretas do perfil
Estes sistemas executam medidas mecanizadas do perfil da via. Os dados
resultantes devem ser processados para fornecer valores como amplitude de onda,
coeficiente de regularidade, etc. Como exemplos, têm-se:
• Perfilômetro dinâmico de superfície – GMR
• Perfilômetro AASHTO
• Analisador de perfil longitudinal – APL
• Perfilômetro CHLOE
• MERLIN do TRRL
Sistemas baseados na reação do veiculo
Também conhecidos como sistemas medidores tipo-resposta, estes, baseiam-se
em instrumentos que determinam acumulativamente os movimentos relativos entre o
eixo traseiro do veículo e sua carroceria, a partir do que, estatisticamente, pode-se
caracterizar a irregularidade. Os sistemas tipo-resposta mais conhecidos são:
• Rugosímetro BPR
• Maysmeter
• Bump Integrator
• Integrados de deslocamentos lineares sul-africano (LDI)
• PCA roadmeter
• Sistema integrador IPR/USP
126
Os sistemas do tipo-resposta são montados em veículos de passeio
convencionais ou em pequenos reboques. Seu funcionamento é estritamente dependente
das características da suspensão e dos pneus do veiculo ou do reboque utilizado, o que
requer um procedimento de calibração para que os resultados obtidos por vários
sistemas sejam reprodutíveis e compatíveis entre si. Além disso, qualquer alteração no
sistema de rodagem ou na suspensão do veiculo pode provocar alterações nas leituras
fornecidas, o que leva a necessidade de calibrações periódicas.
Figura A.2 – Sistemas medidores tipo-resposta (adaptada de SAYERS e KARAMIHAS,1998).
Modelo algorítmico para os sistemas baseados na reação do veiculo
Processando-se as medidas de um modelo algorítmico (por exemplo, o modelo
de quarto-de-carro), que simula a forma com que os veículos respondem às
irregularidades dos pavimentos. O modelo de simulação de quarto-de-carro, apresentado
na Figura A.4 é um sistema composto por uma massa suspensa (mv), uma mola de
suspensão (kv), um amortecedor (cv), uma roda, que tem comportamento de uma mola
(kp) e a sua respectiva massa (mp). A resposta à irregularidade, obtida pela simulação de
movimentos no quarto-de-carro, é aceita como uma medida padrão de irregularidade e é
expressa em “metros por quilômetro” (m / km).
pm up
pkru
vcvk
vm uv
Massasuspensa
não-suspensaMassa
Figura A.4 – Modelo representativo do quarto de carro.
127
O IRI é calculado por integração das diferenças das velocidades entre a massa
amortecida e a massa não amortecida. O resultado obtido é o somatório da diferença de
elevação entre a carroceria e o eixo do veículo, como resposta ao perfil longitudinal da
rodovia (SAYERS, 1995). A eq. (A.1) representa a fórmula matemática utilizada para o
cálculo.
dtuuL
IRIvx
pv∫ −=/
0
1&& (A.1)
onde:
IRI é o Índice Internacional de Irregularidade (mm/m ou m/km);
L é o comprimento da seção (m);
x é a distância longitudinal percorrida (m);
v é a velocidade de percurso (m/s);
vu& é a velocidade vertical da massa suspensa (m/s);
pu& é a velocidade vertical da massa não amortecida (m/s).
As equações diferenciais de movimento do modelo da Figura A.4, deduzidas da
mesma forma que na seção III.1.2 , que representam o comportamento do quarto-de-
carro são as seguintes:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=−+−+
rpppppvv
pvvpvvvv
ukukumum
uukuucum&&&&
&&&& 0)()( (A.2)
onde,
cv é a constante de amortecimento da suspensão;
kv é a rigidez da suspensão;
kp é a rigidez dos pneus;
mv é a massa suspensa (porção da massa do corpo do veículo sustentada por uma roda);
mp é a massa não suspensa (composta pelo conjunto formado pelo pneu, roda e metade
do eixo de suspensão);
uv é a altura (coordenada vertical) da massa suspensa;
up é a altura (coordenada vertical) da massa não-suspensa;
ur é a altura (coordenada vertical) correspondente ao perfil irregular.
128
De acordo com SAYERS e KARAMIHAS, (1998), os parâmetros do quarto de
carro são especificados como parte da estatística de cálculo do IRI e a velocidade v de
percurso especificada para a simulação é de 80 km / h. A proporção entre os parâmetros
é a seguinte:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
(-)150
)s / (1363
)s / (1653
s) / (106
2
2
,
,
,
v
p
v
v
v
p
v
v
mmmkmkmc
(A.3)
Vantagens e desvantagens dos sistemas do tipo-resposta
As principais vantagens desse tipo de dispositivo são: custo relativamente baixo,
simplicidade de operação e possibilidade de medição em altas velocidades (GILLESPIE
et al, 1980). Uma das suas desvantagens é a dificuldade em correlacionar as medidas
realizadas com outros sistemas similares ou não. Outra grande dificuldade é a sua
suscetibilidade a mudanças que afetem a estabilidade das respostas no tempo. A maior
parte dos usuários tenta minimizar os efeitos destas mudanças através de calibrações
periódicas.
Alguns procedimentos de calibragem utilizados resumem-se em realizar o
processo de medição em rodovias que tenham sido aceitas previamente como
superfícies de referência. As medidas obtidas são então comparadas aos valores de
rugosidade da superfície de referência. Baseando-se nessa comparação, é obtida uma
correlação que pode ser aplicada a medições realizadas em outras rodovias. Existem
dois problemas com essa metodologia de calibragem: primeiro que os valores de
rugosidade da superfície de referência são de difícil determinação e em segundo lugar,
uma vez determinados, esses valores podem ser alterados com a ação das intempéries,
envelhecimento da rodovia e em função do seu próprio uso.
No Brasil, o Departamento Nacional de Estradas de Rodagem (DNER)
determina, através de determinados procedimentos (DNER PRO 164/94), os padrões e
recomendações que devem ser obedecidos para calibragem e manutenção dos
equipamentos do tipo-resposta.
129
Sistemas de medida com sonda sem contato
Baseiam-se na reflexão de uma onda sonora ou raio laser emitido por um
dispositivo situado sob o veiculo. Estes aparelhos digitais coletam dados do perfil em
pontos discretos que servem de entrada para um programa de computador que calcula as
elevações, distâncias e índices de irregularidade. Como exemplos desses equipamentos,
têm-se:
• Perfilômetro laser do TRRL (“Transport and Road Research Laboratory of
England”)
• Perfilômetro “acústico” da universidade FELT
• ARAN (Automatic Road Analyser)
• Laser Road Surface Test (RST)
Figura A.3 – Esquema do perfilômetro com sonda sem contato (adaptada de SAYERS e KARAMIHAS,1998).
Para maiores detalhes sobre os sistemas de medida do pavimento, recomenda-se
a leitura do estudo criterioso realizado por BENEVIDES, (2006).